Gráfico de uma Função do 1º grau

Toda função definida por f(x) = ax + b, com a e b pertencentes aos reais e a 0 é considerada uma função do 1º grau e possui representação gráfica no plano cartesiano.
O gráfico de uma função do 1º grau é uma reta podendo ser crescente ou decrescente.

Construa uma tabela com duas colunas, na primeira coloque valores de x (domínio) e na segunda os valores de f(x) (imagem da função). Marque no plano cartesiano os pares ordenados (x,y), depois trace a reta da função.

Traçando o gráfico de uma função do 1º grau crescente. (a > 0)



Traçando o gráfico de uma função do 1º grau decrescente. (a < 0)

f(x) = -2x + 3

mundoeducacao

Juros Compostos

Os juros compostos são somados ao capital para o cálculo de novos juros nos tempos posteriores, o chamado juros sobre juros.
Observe o exemplo a seguir:

Pedro aplicou R$ 300,00 num banco que paga juros compostos de 3% ao mês. Qual será seu montante após o período de 6 meses?

O montante após 6 meses de aplicação será de R$ 358,21.

Exemplo 2

Qual o montante produzido por um capital de R$ 2.000,00, aplicado a juros compostos de 2% ao mês, durante um ano?
Fórmula para o cálculo de juros compostos M = C*(1 + i)^t , onde:

M = montante
C = capital
i = taxa
t = tempo

Dados
M = ?
C = 2000
i = 2% = 2/100 = 0,02
t = 1 ano = 12 meses (pois a taxa é ao mês)

M = C* (1 + i)^t
M = 2000* (1+0,02)¹²
M = 2000 * 1,0212
M = 2000*1,268242
M = 2.536,48

O montante produzido ao final de um ano será de R$ 2.536,48.

Exemplo 3

Qual deve ser o capital que, no sistema de juros compostos, à taxa de 4% ao mês, gera um montante de R$ 12.154,90 ao final de 1 ano e 6 meses?

M = 12.154,90
C = ?
i = 4% = 4/100 = 0,04
t = 1 ano e 6 meses = 18 meses

M = C* (1 + i)^t
12.154,90 = C * (1 + 0,04)¹⁸
12.154,90 = C * 1,04¹⁸
12.154,90 = C * 2,0258
C = 12.154,90 / 2,0258
C = 6.000

O capital será de R$ 6.000,00.

Exemplo 4
Calcule o montante de um capital de R$ 12.000,00 aplicado durante 3 anos em um banco que paga no regime de juros compostos uma taxa de 1,5% a.m.

M = ?
C = 12.000
i = 1,5% = 1,5/100 = 0,015
t = 3 anos = 36 meses (pois a taxa de juros é mensal)

M = C* (1 + i)^t
M = 12000 * (1 + 0,015)³⁶
M = 12000 * 1,015³⁶
M = 12000 * 1,70914
M = 20.509,68

O montante será de R$ 20.509,68.


Exemplo 5

O capital de R$ 1.500,00, aplicado a juros compostos, rendeu, após 2 meses, juros de R$ 153,75. Qual foi a taxa de juros?

M = 1500 + 153,75 = 1653,75
M = C * (1 + i)^t
1653,75 = 1500 * (1 + i) ²
1653,75 / 1500 = (1 + i) ²
(1 + i) ² = 1,1025
√(1 + i) ² = √1,1025 (use a calculadora para extrair a raiz quadrada de 1,1025)
1 + i = 1,05
i = 1,05 – 1
i = 0,05 ou 5%

A taxa de juros empregada foi de 5%.
fonte: mundoeducacao.com.br

Entenda a fórmula dos juros compostos

Conforme estudado no tópico juros simples, vimos que o valor dos juros apurado a cada período não é acrescentado ao valor principal, por isto, na prática tal modalidade de juros não é utilizada pelas instituições financeiras.

Vejamos a seguinte situação:

Alguém toma R$ 100.000,00 emprestados, a uma taxa de juros de 1% a.m., qual é o valor total que deverá ser pago após 100 meses?

Os dados para o cálculo dos juros são:

Na modalidade de juros simples teríamos:

Para o cálculo do montante utilizaremos a fórmula:

Substituindo j pela fórmula do juro acima:

Substituindo o valor dos termos:

Ou seja, tomaríamos cem mil e pagaríamos duzentos mil. Cem mil de juros e mais cem mil referentes ao valor principal.

Você acha muito? Veja então o cálculo na modalidade de juro composto:

Os dados para o cálculo seriam os mesmos:

Abaixo temos a fórmula para o cálculo na modalidade de juro composto:

Substituindo as variáveis:

Isto é, pagaríamos um montante de R$ 270.481,38. A diferença de R$ 70.481,38 entre o cálculo realizado na modalidade juros simples e o cálculo na modalidade de juros compostos se refere aos juros que foram cobrados sobre os próprios juros apurados no período.

Na modalidade de juros compostos pagaríamos R$ 170.481,38 de juros, bem mais que os R$ 100.000,00da modalidade de juros simples. Esta diferença será percentualmente maior, quanto maior forem a taxa de juros e o período da operação.

Apenas a título de exemplo, os mesmos R$ 100.000,00 emprestados, a uma taxa de juros de 5% a.m., após 240 meses produzirão um juros total de R$ 1.200.000,00 na modalidade simples e deR$ 12.173.857.374,22 na modalidade composta.

Percebeu porque não é interessante se manter uma dívida de cartão de crédito ou de cheque especial por um longo período de tempo?

Fonte:www.calcularjuros.com.br

Regra de três Composta

Regra de três composta

A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
Exemplos:
1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m³ de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m³?
Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:

Horas	Caminhões	Volume
8	20	160
5	x	125

Identificação dos tipos de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).

A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.
Observe que:
Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).

Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, serão necessários 25 caminhões.

---

2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?
Solução: montando a tabela:

Homens	Carrinhos	Dias
8	20	5
4	x	16

Observe que:
Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).

Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, serão montados 32 carrinhos.

---

3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro?
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois colocam-se flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e discordantes para as inversamente proporcionais, como mostra a figura abaixo:

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias.

---

Exercícios complementares
Agora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando fazer esses exercícios:
1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas? Resposta: 6 horas.
2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão? Resposta: 35 dias.
3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m? Resposta: 15 dias.
4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h? Resposta: 10 horas por dia.
5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos? Resposta: 2025
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Proporção

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

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Proporção

Podemos definir proporção como a igualdade entre duas razões. As proporções são muito utilizadas nas situações envolvendo proporcionalidade direta ou inversa. Para determinarmos se duas razões são proporcionais podemos aplicar a regra fundamental das proporções, que diz: “o produto dos extremos é igual ao produto dos meios”. Veja:

Exemplo 1
Determine o valor de x na proporção a seguir.

Exemplo 2
Calcule o valor de x na proporção .

3*(4x – 2) = 4*(2x – 1)
12x – 6 = 8x – 4
12x – 8x = – 4 + 6
4x = 2
x = 2/4
x = 1/2


A proporção também é muito utilizada nas situações envolvendo porcentagem.
Exemplo 3
Um fogão que custava R$ 1 400,00 estava sendo vendido em uma promoção por
R$ 980,00. Qual era o desconto em porcentagem?

Resolução:
Valor do desconto: 1400 – 980 = 420

O desconto corresponde a 30%.

As proporções constituem a base dos cálculos envolvendo regra de três simples e composta. Observe um exemplo de proporção na resolução da seguinte situação problema utilizando regra de três.

Exemplo 4
Para cada 6 automóveis que vende, Pedro ganha R$ 200,00 de comissão. Quanto ele recebeu de comissão no mês em que vendeu 15 automóveis?

comissão (R$)	automóveis
200	6
x	15

No mês em que ele vendeu 15 carros recebeu uma comissão de R$ 500,00.

Marcos Noé

Juros Compostos

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

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Noé

Capitalização composta

O juro composto é um regime de capitalização muito usado atualmente em razão de sua crescente rentabilidade. Nesse tipo de capitalização, o juro, a partir do segundo período, é calculado baseado no valor do montante do período anterior. Vamos através de planilhas demonstrar passo a passo a capitalização imposta por esse tipo de movimentação financeira.

Vamos supor que uma pessoa aplique o capital de R$ 2.000,00 a juros mensais de 2% ao mês durante 12 meses, no regime de capitalização composto (juros compostos). Qual o montante ao final da aplicação?

Utilizando a fórmula M = C * (1 + i)^t

C = 2000
t = 12 meses
i (taxa de juros) = 2% = 2/100 = 0,02

M = 2000 * (1 + 0,02)¹²
M = 2000 * 1,0212
M = 2000 * 1,268241794562545318301696
M = 2.536,49

Planilha da aplicação

Regra de três Exercícios

Grandezas Proporcionais


Tudo o que possa ser mensurado, medido, contado é definido como grandeza, assim: O tempo, a massa de um corpo,
a velocidade de um trem, o comprimento de uma rua, a área de um terreno e a capacidade de trabalho de uma pessoa são
exemplos de grandezas.

Por inúmeras vezes em nosso dia a dia vivemos situações em que relacionamos duas ou mais grandezas.

Analisemos algumas dessas situações :

Exemplo I - Dúzias de laranjas e o preço pago por elas
Exemplo II - Latas de tinta e área a ser pintada
Exemplo III - Velocidade de um automóvel e o tempo gasto para percorrer certa distancia
Exemplo IV - Número de operários e o tempo gasto numa obra
Exemplo V - A idade de uma criança e a sua estatura

Grandezas Diretamente Proporcionais


Duas grandezas são definidas como diretamente proporcionais quando o aumento de uma deles ocasionar o aumento proporcional
da outra, ou da mesma forma, quando a diminuição de uma delas significar a diminuição proporcional da outra.

Analisemos com auxilio da tabela abaixo o nosso exemplo II :

Quanto pagarei por ... dúzias de laranjas se por uma dúzia pago R$ 1,30

Laranjas Preço
1 dúzia R$ 1,30
2 dúzias R$ 2,60
3 dúzias R$ 3,90
10 dúzias R$ 13,00


Observemos que :

Se a quantidade de dúzias de laranjas dobrar, o preço a ser pago também dobrará.
Se a quantidade de dúzias de laranjas triplicar, o preço a ser pago também triplicará.
Se a quantidade de dúzias de laranjas for multiplicada por 10, o preço a ser pago também ficará multiplicado por 10.

Observemos, que as razões entre as dúzias de laranjas e o preço a ser pago são sempre iguais.



Neste caso as duas grandezas envolvidas, quantia a ser paga e quantidade de dúzias de laranjas, são chamadas
grandezas diretamente proporcionais.

Analisemos, agora, com auxilio da tabela o nosso exemplo II:

Para pintar uma parede de 32 m2 gasto 1 lata de tinta, quantas latas de tinta gastarei para pintar .....

Latas de Tinta Área a ser pintada
1 lata 32 m2
2 latas 64 m2
3 latas 96 m2
15 latas 480 m2


Observemos que :

Se a quantidade de latas de tinta dobrar, a área a ser pintada também dobrará.
Se a quantidade de latas de tinta triplicar, a área a ser pintada também triplicará.
Se a quantidade de latas de tinta for multiplicada por 15, a área a ser pintada também ficará multiplicado por 15.

Observemos, que as razões entre as latas de tinta e a área a ser pintada são sempre iguais.



Também neste caso as duas grandezas envolvidas, latas de tinta e área a ser pintada, são Grandezas Diretamente
Proporcionais.

Grandezas Inversamente Proporcionais


Duas grandezas são definidas como inversamente proporcionais quando o aumento de uma deles ocasionar uma diminuição
proporcional da outra, ou da mesma forma, quando a diminuição de uma delas significar um aumento proporcional da outra.

Analisemos, agora, com auxilio da tabela abaixo o nosso exemplo III :

Viajando a 20 km/h percorro uma certa distância em 12 horas, quanto tempo levarei se viajar a ... km/h

Velocidade Tempo
20 km/h 12 horas
30 km/h 8 horas
40 km/h 6 horas
80 km/h 3 horas


Observemos que :
Se a velocidade dobrar, o tempo decorrido se reduzirá a metade.
Se a velocidade triplicar, o tempo decorrido se reduzirá à sua terça parte.
Se a velocidade for multiplicada por 4, o tempo decorrido será dividido por 4.

Observemos, que as razões entre as velocidades e o inverso dos tempos decorridos são sempre iguais, ou de uma forma
mais prática, o produto entre a velocidade e o tempo é sempre constante.



Neste caso as duas grandezas envolvidas, velocidade e o tempo decorrido, são chamadas
Grandezas Inversamente Proporcionais

Analisemos com auxilio da tabela abaixo o nosso exemplo IV :

3 operários pavimentam uma rua em 24 dias, quantos operários serão necessários para pavimentar a mesma estrada em .... dias.

Operários Tempo
3 operários 24 dias
4 operários 18 dias
6 operários 12 horas
12 operários 6 horas


Observemos que :
Se o número de operários dobrar, o tempo da obra se reduzirá a metade.
Se o número de operários triplicar, o tempo da obra se reduzirá à sua terça parte.
Se a velocidade for multiplicada por 4, o tempo da obra será dividido por 4.

Observemos, que as razões entre o número de operários e o inverso do tempo da obra são sempre iguais, ou de uma forma
mais prática, o produto entre o número de operários e o tempo da obra é sempre constante.



Neste caso as duas grandezas envolvidas, número de operários e o tempo da obra, são chamadas Grandezas Inversamente
Proporcionais

Grandezas Não Proporcionais


Em muitas situações de nosso dia a dia nos deparamos com grandezas não proporcionais. O nosso exemplo V é um desses
casos, não podemos estabelecer proporcionalidade entre as grandezas idade de uma criança e a sua estatura.

Se uma criança de 5 anos tem 80 cm de altura, nada nos leva a concluir que aos 10 anos ela terá 1,60 m, ou que aos 15 anos
ela teria proporcionalmente 2,40 m e teria, nessa proporção, inimagináveis 8 metros de estatura aos 50 anos de idade.

Portanto, são inúmeras as grandezas que não guardam entre si qualquer tipo de proporcionalidade.

Regra de Três


Definimos regra de três como sendo a regra prática que utilizamos para a resolução de problemas envolvendo grandezas
proporcionais, sejam elas diretamente ou inversamente proporcionais.

Regra de Três Simples


Uma regra de três é simples quando envolve, tão somente, duas grandezas proporcionais.

I - Se as grandezas envolvidas são diretamente proporcionais dizemos que a Regra de Três é Simples e Direta.
II - Se as grandezas envolvidas são inversamente proporcionais dizemos que a Regra de Três é Simples e Inversa.

E como regra de três se aprende exercitando, vamos a alguns exemplos :

Exemplo 1 - Por três quilos de cenouras pago R$ 2,25 , quanto pagarei por 5 quilos de cenouras ?

Ao compararmos as grandezas quilos de cenouras e preço a pagar percebemos que elas são diretamente proporcionais,
já que quanto mais de cenoura eu compro mais eu tenho que pagar e com isso as razões entre suas medidas são iguais.
Montando a igualdade entre essas razões teremos :



Esse é um exemplo de uma Regra de Três Simples e Direta

Exemplo 2 - Um relógio atrasa 7 segundos a cada 10 minutos. Quanto atrasará em 4 horas e 30 minutos ?

Ao compararmos as grandezas segundos de atraso e tempo percebemos que elas são diretamente proporcionais, já que
quanto mais tempo o relógio funcionar mais atrasado ele ficará e com isso as razões entre suas medidas são iguais.
Montando a igualdade entre essas razões teremos :

Antes porém transformemos 4 h 30 min em minutos è 4 x 60 + 30 = 270 min



Esse é mais um exemplo de uma Regra de Três Simples e Direta

Exemplo 3 - Viajando a 60 km/h chego em Rezende em 4 horas, Em quanto tempo chegarei se aumentar a minha velocidade
para 80 km/h ?

Ao compararmos as grandezas velocidade e o tempo gasto percebemos que elas são inversamente proporcionais, já que quanto
maior a minha velocidade menos tempo gastarei para chegar a meu destino e com isso a razão entre as medidas da grandeza
velocidade será igual ao inverso da razão entre as medidas da grandeza tempo. Montando a igualdade entre essas razões teremos :



Esse é um exemplo de uma Regra de Três Simples e Inversa

Na prática o que fazemos é igualar uma das razões ao inverso da outra razão

Exemplo 4 - Tenho uma certa quantidade de livros para distribuir entre meus melhores alunos, se escolher 6 deles darei a cada um
12 livros. Quantos alunos acabei escolhendo se cada um deles recebeu 8 livros?

Ao compararmos as grandezas numero de alunos e quantidade individual de livros percebemos que elas são inversamente
proporcionais, já que quanto maior for o número de alunos escolhidos menor será a quantidade de livros recebidos por cada
um deles e com isso a razão entre a quantidade de livros será igual ao inverso da razão entre a quantidade de alunos escolhidos.
Montando a igualdade e dessa vez já invertendo uma das razões, teremos :



Esse é mais um exemplo de uma Regra de Três Simples e Inversa

Regra de Três Simples - Exercícios Propostos


01) Se 5 kg de café custam R$ 7,50 quanto se deverá pagar por 12 kg ?

02) Em cada 5 voltas, um parafuso avança 3,5 mm. Quantas voltas dará para avançar 4,2 mm ?

03) Um mecânico torneia 84 peças em 6 horas. Quantas peças ele tornearia em 8 horas de trabalho ?

04) Em uma prova de valor 7, Rodrigo obteve a nota 5,6. Se o valor da prova fosse 10, qual seria a nota obtida por Rodrigo ?

05) A água do mar contém 2,5 g de sal para cada 100 ml de água. Quantos gramas de sal teremos em 5 litros de água do mar ?

06) Um trem, com velocidade de 48 km/h, gasta 1 hora e 20 minutos para percorrer certa distância. Para fazer o mesmo percurso a
60 km/h o trem gastaria.

07) Completamente abertas, 2 torneiras enchem um tanque em 75 minutos. Em quanto tempo 5 torneiras, semelhantes às primeiras
e completamente abertas, encheriam esse mesmo tanque ?

08) Para fazer uma cerca, são necessários 80 postes distantes entre si de 2,5 m. Quantos postes serão necessários, se a distância
entre eles for de 2 m?

09) Se 3,5 kg de feijão custam R$ 4,55, quanto custarão 6,5 kg ?

10) Junior pagou R$ 4,20 por 6 kg de farinha. Quanto pagará por 8,5 kg ?

11) Com 100 kg de trigo podemos fabricar 65 kg de farinha. Quantos quilogramas de trigo são necessários para fabricar 136,5 kg de
farinha?

12) Ricardo comprou 4,70 m de fita por R$ 11,28, quanto pagaria por 7,40 m da mesma fita?

13) Se 22 litros de álcool custam R$ 12,10, qual será o preço de 27 litros ?

14) Em 5 ha de um sítio foram plantados 8 000 pés de café. Quantos hectares seriam necessários para serem plantados 36 000 pés
de café ?

15) Com 72 kg de lã, faz-se uma peça de fazenda de 63 m de comprimento. Quantos kg de lã seriam necessários para fazer 84 m da
mesma fazenda?

16) Com o preço equivalente a 1,6 kg de frango posso comprar 10 kg de milho. Quantos quilos de frango necessitarei para comprar
1,8 toneladas de milho ?

17) Determine o número de tacos de 6 cm de largura por 24 cm de comprimento necessários para assoalhar uma sala de 3,6 m de
largura por 4,2 cm de comprimento.

18) Pedro comprou 2,4 m de tecido para fazer uma calça. Quantos metros de tecido seriam necessários para que Pedro pudesse
fazer 9 calças iguais.

19) Um determinado relógio atrasou 26 minutos em 48 horas. Determine o atraso em 30 dias.

20) As dimensões de um tanque retangular são 1,5 m, 2,0 m e 3,0 m. Com uma torneira de vazão igual a 10 litros por minuto, qual o
menor tempo gasto para enchê-lo ?

21) Uma vara de 5 m, colocada em posição vertical, projeta no chão uma sombra de 3,5 m. Calcule a altura de um prédio que, na
mesma hora e o mesmo local, projeta uma sombra de 12,6 m.

22) Um edifício projeta uma sombra de 12 m no mesmo instante em que um objeto de 2 m de altura projeta uma sobra de 80 cm.
Calcule a altura do edifício.

23) Numa viagem de automóvel, uma pessoa gastou 9 horas andando à velocidade de 80 km/h. Na volta, quanto tempo irá gastar,
se andar com velocidade de 100 km/h ?

24) Abrindo completamente 3 torneiras idênticas consegue-se encher um tanque com água em 2 h 24 min. Dispondo-se de 5 dessas
torneiras, em quanto tempo é possível encher o mesmo tanque?

25) Trabalhando 10 horas por dia, certa máquina faz um trabalho em 240 dias. Se a mesma máquina funcionar 8 horas por dia, em
quantos dias fará o mesmo trabalho?

26) Uma torneira enche um tanque de 100 litros em 1 hora, enquanto uma segunda gasta 2 horas. As duas juntas encherão o tanque
em quanto tempo?

27) Para escrever um texto, usando 54 letras por linha, foram necessárias 15 linhas. Quantas linhas serão necessárias para 30 letras
em cada linha?

28) Cinco pedreiros constroem uma casa em 300 dias. Quantos dias serão necessários para que 10 pedreiros construam essa mesma
casa?

29) Para fazer um determinado serviço, 15 homens gastam 40 dias; para fazer o mesmo serviço, em 30 dias quantos novos operários
têm de ser contratados?

30) Se 15 operários levam 10 dias para completar um certo trabalho, quantos operários farão esse mesmo trabalho em 6 dias.

31) Num campeonato, há 48 atletas e alimento suficiente para um mês. Com a eliminação de 16 atletas para quantos dias dará a
quantidade de alimento ?

32) Três operários constroem uma piscina em 10 dias. Quantos dias levarão 10 operários para construírem a mesma piscina?

33) ( EsPECEx - 1983 ) Um trem percorreu 200 km em certo tempo. Se tivesse aumentado sua velocidade em 10 km/h, teria percorrido
essa distância em 1 hora menos. Determinar a velocidade do trem, em km/h.

34) ( Vunesp - SP ) Um secretário gastou 15 dias para desenvolver um certo projeto, trabalhando 7 horas por dia. Se o prazo concedido
fosse de 21 dias para realizar o mesmo projeto, poderia ter trabalhado :

A) 2 horas a menos por dia B) 2 horas a mais por dia
C) 3 horas a menos por dia D) 3 horas a mais por dia

Regra de Três Simples - Respostas dos Exercícios Propostos


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Porcentagem

Percentagem? Ora, isto todo mundo sabe!!!

Bem, o mais correto é dizer que todo o mundo ouviu falar sobre percentagens. Nossa experiência é que esse é um assunto onde a grande maioria das pessoas, de alunos a até mesmo muito professor, fazem erros grosseiros e usam métodos super-complicados para resolverem os mais simples problemas.

Essa deficiência é indesculpável na medida em que o cálculo de percentagens, muito provavelmente, é o assunto matemático mais útil que se estuda na Escola. É objetivo deste texto ajudar a sanar essa deficiência.


Significado do sinal de percentagem: %

O sinal % é uma mera abreviação da expressão dividido por 100. De modo que, 800 % é a mesma coisa que 800/100, ou seja é o mesmo que que 8 por 1. Ou seja, é a mesma coisa dizermos: 800 % ou 800 por 100, ou 80 por 10, ou 8 por 1, etc.


O cálculo de percentagens compostas ou concatenadas

Estamos falando de situações como a seguinte:

Se a inflação de novembro foi 3% e a de dezembro foi 5%, qual a inflação dos dois meses?

A enorme maioria das pessoas acha que esse tipo de problema resolve-se por soma. Isso é totalmente errado. Problemas deste tipo são resolvidos por multiplicação.Vejamos:

Se no início de novembro, um produto custava p reais, no início de dezembro ele custará p reais mais 3% de p, ou seja, custará p' = p + 0,03 p = 1,03 p.

O novo preço p' terá subido, no início de janeiro, para:

p''= 1,05 p' = 1,05 x 1,03 p = 1,0815 p .

Conseqüentemente, a inflação total foi de 8,15 %.

É simplesmente fundamental que V. entenda isso. Para tal, faça os seguintes problemas, de ordem crescente de dificuldade:


EXERCÍCIO 1

Maria e José ficaram janeiro e fevereiro na praia. Maria engordou 10% em jan e 20% em fev, já José engordou 20% em jan e 10% em fev. Quem engordou mais?

RESPOSTA: sabendo que podemos fazer o produto de dois números em qualquer ordem, sem alterar o resultado, é desnecessário fazer qualquer conta para ver que os dois engordaram o mesmo percentual .


EXERCÍCIO 2

Se nossa Maria tivesse engordado 10% em jan, mas emagrecido 10% em fev, qual o efeito total?

RESPOSTA: pelo que já vimos, espero que V. tenha saído da vala comum da imensa maioria dos vestibulandos, os quais acham que o efeito total é zero ( pois 10 - 10 = 0 ). Claro que não é, pois 1,10 x 0,90 não é 1, mas 0,99 ( ie, Maria emagreceu 1%)


EXERCICIO 3

Se uma caderneta de poupança rende 0,5% ao mês, uma aplicação de 300 reais terá que saldo após 8 meses?

RESPOSTA: V. já sabe que o juro pago não é 8 x 0,5 = 4 % e que então o saldo não é 1,04 x 300 , mas sim :

1,0058 x 300 = 1,040707 x 300 = 312,21


EXERCICIO 4

No custo industrial de um livro, 60% é devido ao papel e 40% a impressão. Sendo que num ano o papel aumentou 259% e a impressão 325%, qual o aumento percentual no custo do livro?

RESPOSTA: 285,4 %


EXERCICIO 5 ( muito importante )

A incidência da malária vinha dobrando a cada 2 anos. Qual o aumento percentual anual equivalente?

RESPOSTA: Indicando por x o percentual procurado, pelo visto acima, em dois anos, o número de malarientos passa de M para

M' = ( 1 + x )2 M = 2 M

Tudo o que lhe resta fazer é resolver para x = 0,41 = 41% , aproximadamente.



Aumentos e diminuições percentuais

A rigor já trabalhamos com isso acima, no exercício 2. Examinemos novamente a idéia envolvida, usando exemplo:

Se as vendas de uma empresa aumentaram 20%, então elas passaram de v para v + 0,20 v = 1,20 v.

Se as vendas de uma empresa diminuiram 20%, então elas passaram de v para v - 0,20 v = 0,80 v.


EXERCICIO 6

Se o lucro mensal de uma empresa aumentar e diminuir, alternadamente, 10% ao mês, mostre que no final de um ano o lucro estará em 94% do lucro no início do ano. Consequentemente, terá havido uma diminuição anual de 6%.


EXERCICIO 7

A ocorrência do ciclo verão-inverno, ao contrário do que acha a vasta maioria das pessoas, não é governada pela menor ou maior proximidade da Terra em relação ao Sol, mas pela inclinação do eixo de rotação da Terra.

Contudo, pode-se observar que o verão do hemisfério-sul ( HS ) é mais quente do que o verão do hemisfério-norte ( HN ). Para isso aponta-se duas causas:

a distância Terra ao Sol no verão do HS é 4 % menor do que a correspondente distância no verão do HN .

o HS tem mais oceanos

Pede-se: levando em conta apenas a primeira dessas causas, calcular em quantos percentos o verão do HS é mais quente do que o verão do HN.

( NOTA: a partir de perguntas de vários de nossos visitantes, informamos que não está faltando nenhum dado numérico para se resolver este problema! Por outro lado, por "mais quente" queremos dizer "recebe mais energia calorífica" )

RESPOSTA: 8.5 %


Pontos percentuais

A noção de "pontos percentuais", atualmente, é bastante empregada nos meios de comunicação de massa e pelos economistas brasileiros. Seu significado pode ser facilmente entendido a partir de alguns exemplos:

se a inflação subiu de 5% para 10%, podemos tanto dizer que houve um aumento de 100% na inflação como dizer que a inflação subiu cinco pontos percentuais

se o imposto XYZ subiu de 2% para 3%, é a mesma coisa dizer que o aumento foi de 50% e dizer que o imposto subiu um ponto percentual

se a taxa de juros passou de 20% para 50%, esse aumento pode ser descrito como sendo um aumento de 150% ou como sendo um aumento de trinta pontos percentuais.


Exercícios suplementares

EXERCICIO 9

A produção de uma fábrica aumentou de 240 para 312 unidades. Consequentemente, houve um aumento de 30% na produtividade. Pergunta-se:

porque está errado dizer que a produtividade antiga era 70% da atual?

o erro apontado acima é maior quando o aumento de produtividade for um percentual grande ou quando for um percentual pequeno? Por quê?


EXERCICIO 10

Os honorários de uma agência de propaganda são compostos de duas parcelas: o custo de produção ( artistas, filmes, etc ) e uma comissão de 15% sobre o custo de produção. Por sua vez o IR ( Imposto de Renda ) cobra, da agência, um imposto que:

era de 5% do valor da comissão

passou a ser 5% do valor da comissão e mais 5% dos honorários

Pergunta-se:

Que percentual da comissão o IR representava? E agora?

O novo lucro é que percentual do antigo? Isso justifica a gritaria das agências?

RESPOSTAS: 5%, 43.3%, 59.7%


EXERCICIO 11

Na beirada de um jardim circular, foi feita uma calçada circular que aumentou a área do mesmo em 96%. Sendo que a calçada tem 4 metros de largura, pede-se o raio do jardim original.

RESPOSTA = 10 m


EXERCICIO 12

Explique por que o seguinte método funciona se, num restaurante, V. quiser acrescentar uma gorjeta de 15% à despesa D:

Primeiro escrevo o valor D e então movo a virgula decimal de D uma casa para a esquerda e escrevo essa quantidade sobre D. Finalmente, divido essa última quantidade por 2 e escrevo o resultado dessa divisão. O total a pagar é a soma das 3 quantias escritas.


EXERCICIO 13

Um quadrado tem 400 cm2 de área. De qual percentual devemos diminuir seu lado para que a área diminua 20% ?

RESPOSTA: aprox 10.56%


EXERCICIO 14

O último censo do município XYZ mostrou que no mesmo:

as mulheres representam 55% da população adulta

os homens adultos com no máximo escola primária completa representam 80% da população adulta

as mulheres adultas com no máximo escola primária completa representam 90% da população adulta

Que percentual da população adulta do município foi além da escola primária?

RESPOSTA: 14.5%

Juros simples

Os juros simples são calculados com base no capital inicial (C), período a período. Por isso o valor dos juros simples é constante em cada período de tempo. Observe o exemplo a seguir:

Carlos aplicou R$ 500,00 a taxa de 3% no regime de juros simples. Qual será o montante no fim de 8 meses de aplicação?


Após 8 meses, Carlos terá um montante de R$ 620,00

Exemplo 2

Fernando aplicou R$ 1.200,00 em uma instituição bancária que paga juros simples de 2,5% ao mês. Qual será o montante no final de 10 meses?

O montante do juro simples e dado pela expressão: M = C + J
Fórmula para o cálculo de juros simples: J = C * i * t , em que:
J = juros
C = capital
i = taxa
t = tempo (período de aplicação)
M = montante

Dados do exercício:
J = ?
C = 1.200
i = 2,5% = 2,5/ 100 = 0,025 (taxa unitária)
t = 10 meses

Desenvolvendo
J = 1200 * 0,025 * 10
J = 300

M = 1200 + 300
M = 1500

O montante ao final de 10 meses será de R$1.500,00.

Exemplo 3

Um capital de R$ 2.000,00, aplicado no sistema de juros simples, produziu um montante de R$ 2.720,00 após 12 meses de aplicação. Qual foi a taxa de juros?
Dados:
C = 2.000
M = 2.720
J = M – C = 2720 – 2000 = 720
t = 12 meses
i = ?

J = C * i * t
720 = 2000 * 12 * i
720 = 24000 * i
i = 720/24000
i = 0,03 ou 3%

A taxa de juros usada foi de 3%.


Exemplo 4

Um capital de R$ 1.000,00, aplicado a juros simples com uma taxa de 2% ao mês, resultou no montante de R$ 1.300,00 após certo tempo. Qual o tempo da aplicação?

C = 1.000
M = 1.300
J = 1300 – 1000 = 300
i = 2% = 2/100 = 0,02
t = ?

J = C * i * t
300 = 1000 * 0,02 * t
300 = 20 * t
t = 300/20
t = 15 meses

O tempo de aplicação foi de 15 meses.

Aplicações dos Juros Compostos

Juros compostos: uma aplicação rentável

Juros Compostos são aqueles em que ao final de cada período os juros obtidos são somados ao capital, constituindo um novo capital a ser aplicado, isso ocorre sucessivas vezes até atingir o tempo máximo de aplicação do dinheiro. Os juros compostos são o alicerce do atual sistema financeiro, regendo todos os tipos de transações financeiras. As aplicações financeiras, principalmente a poupança em razão de sua praticidade, são bastante utilizadas pela população em geral, que buscam guardar suas economias em segurança e aproveitam para ganhar algum rendimento.

A fórmula utilizada nos juros compostos é a seguinte: M = C * (1 + i)^t, onde:

M: montante
C: capital
t: tempo de aplicação
i: taxa (:100)

Acompanhe alguns exemplos envolvendo a aplicação de juros compostos:


Exemplo 1 Qual o montante gerado pelo capital de R$ 1.500,00 aplicados durante 6 meses, a uma taxa de 2% ao mês?

Temos:
C: 1.500
i: 2% = 2/100 = 0,02
t: 6

M = 1.500 * (1 + 0,02)⁶ M = 1.500 * (1,02)⁶
M = 1.500 * 1,126162
M = 1.689,24



Exemplo 2
Determine o montante gerado pela aplicação de um capital de R$ 6.000,00 durante um ano a uma taxa de 3% ao mês.

C: 6.000
t: 1 ano = 12 meses
i: 3% = 3/100 = 0,03

M = 6.000 * (1 + 0,03)¹²
M = 6000 * (1,03)¹²
M = 6000 * 1,425761
M = 8.554,57


Exemplo 3 Qual o capital que, aplicado durante 8 meses, gerou um montante de R$ 9.575,19 a uma taxa de 1,5% ao mês?
M: 9.575,19
i: 1,5% = 1,5/100 = 0,015
t: 8 meses

9.575,19 = C * (1 + 0,015)⁸
9.575,19 = C * (1,015)⁸
9.575,19 = C * 1,126493
C = 9.575,19 / 1,126493
C = 8.500,00 

Por Marcos Noé

Grandezas proporcionais

clique aqui
para estudar através de uma simulação sobre razão e proporção. Testando as variadas formas de ampliação de uma foto responda:

* Por que algumas variações da forma da foto resultam no achatamento da imagem?
* Por que algumas variações da forma da foto resultam no alongamento da imagem?
* Qual a razão de ampliação de uma foto 3x4 para 6x8?
* Qual a razão de ampliação de uma foto 3x4 para 12x16?
* Qual deve ser a altura para que a foto 3x4 seja ampliada com uma largura de 21cm?
* Se reduzirmos uma foto 15x20 para 5x6 elas serão proporcional? E o que acontecerá com a imagem desta foto?
* Se reduzirmos esta mesma foto para 7,5x10 elas serão proporcionais? E o que acontecerá com a imagem?

Equivalência entre Taxas Percentuais

Marcos Noé

Taxas

Em algumas situações matemáticas envolvendo dados percentuais, como valorizações e desvalorizações financeiras, crescimento e decrescimento relativos, índices inflacionários acumulados, utilizamos os cálculos envolvendo a equivalência entre taxas percentuais. Vamos trabalhar com alguns exemplos, dessa forma a visualização dos cálculos será mais definida.
Exemplo 1
A população de uma cidade cresce de acordo com uma taxa de 1% ao ano. Determine o crescimento total dessa população após 20 anos.
Todas as taxas devem ser transformadas em unitárias:
1% = 1/100 = 0,01
Aplicando a expressão matemática referente à equivalência de taxas:

Após 20 anos a população terá crescido na faixa de 22,02%.
Exemplo 2
Em uma colônia, as bactérias crescem na faixa de 6% ao minuto. Qual terá sido o crescimento percentual após 1 hora?
Temos que:
6% = 6/100 = 0,06
1 hora = 60 minutos

As bactérias crescerão 3199% após 1 hora.
Exemplo 3
A taxa mensal de juros de um financiamento é de 1,5% ao mês. Determine a taxa acumulada de juros relativo ao período de 1 ano.
Temos que:
1,5% = 1,5/100 = 0,015
Período de 1 ano = 12 meses

A taxa acumulada de juros ao ano será de 19,56%.
Em algumas situações, os cálculos envolvem decrescimento. Dessa forma, a taxa a ser trabalhada será negativa.
Exemplo 4
O número de eleitores de uma determinada cidade interiorana diminui cerca de 2% ao ano. Após 15 anos, quanto restará dos eleitores inicialmente existentes?
Taxa:
2% = 2/100 = 0,02

Após 15 anos a população terá decrescido 26,14%.

Regra de Três Simples

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

email accbarroso@hotmail.com

 www.ensinodematemtica.blogspot.com.br

www.accbarrosogestar.blogspot.com.br 

www.accbarrosogestar.wordpress.com     

Regra de Três Simples - Exercícios Propostos


01) Se 5 kg de café custam R$ 7,50 quanto se deverá pagar por 12 kg ?

02) Em cada 5 voltas, um parafuso avança 3,5 mm. Quantas voltas dará para avançar 4,2 mm ?

03) Um mecânico torneia 84 peças em 6 horas. Quantas peças ele tornearia em 8 horas de trabalho ?

04) Em uma prova de valor 7, Rodrigo obteve a nota 5,6. Se o valor da prova fosse 10, qual seria a nota obtida por Rodrigo ?

05) A água do mar contém 2,5 g de sal para cada 100 ml de água. Quantos gramas de sal teremos em 5 litros de água do mar ?

06) Um trem, com velocidade de 48 km/h, gasta 1 hora e 20 minutos para percorrer certa distância. Para fazer o mesmo percurso a
60 km/h o trem gastaria.

07) Completamente abertas, 2 torneiras enchem um tanque em 75 minutos. Em quanto tempo 5 torneiras, semelhantes às primeiras
e completamente abertas, encheriam esse mesmo tanque ?

08) Para fazer uma cerca, são necessários 80 postes distantes entre si de 2,5 m. Quantos postes serão necessários, se a distância
entre eles for de 2 m?

09) Se 3,5 kg de feijão custam R$ 4,55, quanto custarão 6,5 kg ?

10) Junior pagou R$ 4,20 por 6 kg de farinha. Quanto pagará por 8,5 kg ?

11) Com 100 kg de trigo podemos fabricar 65 kg de farinha. Quantos quilogramas de trigo são necessários para fabricar 136,5 kg de
farinha?

12) Ricardo comprou 4,70 m de fita por R$ 11,28, quanto pagaria por 7,40 m da mesma fita?

13) Se 22 litros de álcool custam R$ 12,10, qual será o preço de 27 litros ?

14) Em 5 ha de um sítio foram plantados 8 000 pés de café. Quantos hectares seriam necessários para serem plantados 36 000 pés
de café ?

15) Com 72 kg de lã, faz-se uma peça de fazenda de 63 m de comprimento. Quantos kg de lã seriam necessários para fazer 84 m da
mesma fazenda?

16) Com o preço equivalente a 1,6 kg de frango posso comprar 10 kg de milho. Quantos quilos de frango necessitarei para comprar
1,8 toneladas de milho ?

17) Determine o número de tacos de 6 cm de largura por 24 cm de comprimento necessários para assoalhar uma sala de 3,6 m de
largura por 4,2 cm de comprimento.

18) Pedro comprou 2,4 m de tecido para fazer uma calça. Quantos metros de tecido seriam necessários para que Pedro pudesse
fazer 9 calças iguais.

19) Um determinado relógio atrasou 26 minutos em 48 horas. Determine o atraso em 30 dias.

20) As dimensões de um tanque retangular são 1,5 m, 2,0 m e 3,0 m. Com uma torneira de vazão igual a 10 litros por minuto, qual o
menor tempo gasto para enchê-lo ?

21) Uma vara de 5 m, colocada em posição vertical, projeta no chão uma sombra de 3,5 m. Calcule a altura de um prédio que, na
mesma hora e o mesmo local, projeta uma sombra de 12,6 m.

22) Um edifício projeta uma sombra de 12 m no mesmo instante em que um objeto de 2 m de altura projeta uma sobra de 80 cm.
Calcule a altura do edifício.

23) Numa viagem de automóvel, uma pessoa gastou 9 horas andando à velocidade de 80 km/h. Na volta, quanto tempo irá gastar,
se andar com velocidade de 100 km/h ?

24) Abrindo completamente 3 torneiras idênticas consegue-se encher um tanque com água em 2 h 24 min. Dispondo-se de 5 dessas
torneiras, em quanto tempo é possível encher o mesmo tanque?

25) Trabalhando 10 horas por dia, certa máquina faz um trabalho em 240 dias. Se a mesma máquina funcionar 8 horas por dia, em
quantos dias fará o mesmo trabalho?

26) Uma torneira enche um tanque de 100 litros em 1 hora, enquanto uma segunda gasta 2 horas. As duas juntas encherão o tanque
em quanto tempo?

27) Para escrever um texto, usando 54 letras por linha, foram necessárias 15 linhas. Quantas linhas serão necessárias para 30 letras
em cada linha?

28) Cinco pedreiros constroem uma casa em 300 dias. Quantos dias serão necessários para que 10 pedreiros construam essa mesma
casa?

29) Para fazer um determinado serviço, 15 homens gastam 40 dias; para fazer o mesmo serviço, em 30 dias quantos novos operários
têm de ser contratados?

30) Se 15 operários levam 10 dias para completar um certo trabalho, quantos operários farão esse mesmo trabalho em 6 dias.

31) Num campeonato, há 48 atletas e alimento suficiente para um mês. Com a eliminação de 16 atletas para quantos dias dará a
quantidade de alimento ?

32) Três operários constroem uma piscina em 10 dias. Quantos dias levarão 10 operários para construírem a mesma piscina?

33) ( EsPECEx - 1983 ) Um trem percorreu 200 km em certo tempo. Se tivesse aumentado sua velocidade em 10 km/h, teria percorrido
essa distância em 1 hora menos. Determinar a velocidade do trem, em km/h.

34) ( Vunesp - SP ) Um secretário gastou 15 dias para desenvolver um certo projeto, trabalhando 7 horas por dia. Se o prazo concedido
fosse de 21 dias para realizar o mesmo projeto, poderia ter trabalhado :

A) 2 horas a menos por dia B) 2 horas a mais por dia
C) 3 horas a menos por dia D) 3 horas a mais por dia

www.matematicamuitofacil.com

Juros simples

Juros

Juros simples

Juros simples é todo juros que é determinado a partir do capital inicial, por isso dizemos que o juros simples é diretamente proporcional ao capital e ao tempo de aplicação.

A fórmula para calcular o juros simples é



Onde:

C – capital
i – taxa
t – tempo
j - juros

Juros compostos

Juros composto é todo juros que é calculado a partir do montante, que é o capital inicial somado aos juros.

A fórmula para calcular o juros composto é



Onde:

C – capital
i – taxa
t – tempo
j - juros

Juros Compostos

Um capital foi aplicado a juros compostos, durante 9 meses, rendendo um montante igual ao triplo do capital aplicado. Qual a taxa trimestral da aplicação?
n = 9 meses = 3 trimestres
C = X
M = 3X
i = ?

M = C(1 + i)^n
3X = X(1 + i)^3
3 = (1 + i)^3
log 3 = 3.log(1 + i)
log(1 + i) = 0,477121255/3
1 + i = 10^0,159040418
i = 1,442249571 - 1
i = 0,442249571 => 44,22 % a.t.


Um capital foi aplicado a juros compostos, durante dez meses, rendendo um juro igual ao capital aplicado. Qual a taxa mensal desta aplicação?Se rendeu um juro igual ao capital aplicado, então dobrou.

n = 10 meses
C = X
M = 2X
i = ?

M = C(1 + i)^n
2X = X(1 + i)^10
2 = (1 + i)^10
log 2 = 10.log(1 + i)
log(1 + i) = 0,301029996/10
1 + i = 10^0,03010299996
i = 1,071773463 - 1
i = 0,071773463 => 7,18 % a.m.


Calcule a taxa de depósito para que um capital qualquer duplique o seu valor sabendo-se que a capitalização é semestral, que o período de aplicação é de 1 ano e seis meses e que o regime de capitalização é composta.
A resposta do módulo é 25,99%n = 1,5 anos => 3 semestres

M = C(1 + i)^n
2x = x(1 + i)^3
2 = (1 + i)^3
log(2) = log[(1 + i)^3]
log(2) = 3.log(1 + i)
log(1 + i) = log(2)/3
log(1 + i) = 0,10034333188799373173791296490816
1 + i = 10^0,10034333188799373173791296490816
1 + i = 1,2599210498948731647672106072782
i = 1,2599210498948731647672106072782 - 1
i = 0,2599210498948731647672106072782

Então temos 25,99210498948731647672106072782 % ao semestre


1. Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.000 à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de 14 meses.
M = C(1 + i)^n
M = 8000(1 + 0,03)^14
M = 8000.1,03^14
M = 8000.1,512589725 = 12100,7178


2. Determine o juro de uma aplicação de R$ 20.000 a 4,5% a.m., capitalizados mensalmente durante 8 meses.
M = C(1 + i)^n
j = M - C
j = C(1 + i)^n - C
j = C[(1 + i)^n - 1]
j = 20000[(1 + 0,045)^8 - 1]
j = 20000[1,045^8 - 1]
j = 20000[1,422100613 - 1]
j = 20000.0,422100613 = 8442,01226


3. Qual o montante produzido pelo capital de R$ 6.800, em regime de juro composto, aplicado durante 4 meses, à taxa de 3,8% ao mês?
M = C(1 + i)^n
M = 6800(1 + 0,038)^4
M = 6800.1,038^4
M = 6800.1,160885573 = 7894,021896


4. Calcule o montante de R$ 8.500, a juros compostos de 2,5% ao mês, durante 40 meses.
M = C(1 + i)^n
M = 8500(1 + 0,025)^40
M = 8500.1,025^40
M = 8500.2,685063838 = 22823,04262


5. Determine o capital aplicado a juros compostos de 3,5% a.m., sabendo que após 8 meses rendeu um montante de R$ 19752.
M = C(1 + i)^n
C = M/(1 + i)^n
C = M(1 + i)^-n
C = 19752(1 + 0,035)^-8
C = 19752.1,035^-8
C = 19752.0,759411556 = 14999,89706


6. Em que prazo uma aplicação de R$ 100.000 produzirá um montante de R$ 146.853, à taxa de 3% a.m.?
M = C(1 + i)^n
146853 = 100000(1 + 0,03)^n
1,03^n = 146853/100000
1,03^n = 1,46853
log(1,03^n) = log(1,46853)
n.log(1,03) = log(1,46853)
n = log(1,46853)/log(1,03)
n = 0,166882823/0,012837225
n = 12,99991446 => 13 meses


7. Um capital de R$ 20.000 foi aplicado a juros compostos durante 7 meses, rendendo R$ 3.774 de juros. Determine a taxa de aplicação.
M = C(1 + i)^n
j = M - C
j = C(1 + i)^n - C
j = C[(1 + i)^n - 1]
3774 = 20000[(1 + i)^7 - 1]
(1 + i)^7 - 1 = 3774/20000
(1 + i)^7 = 0,1887 + 1
log[(1 + i)^7] = log(1,1887)
7.log(1 + i) = 0,075072263
log(1 + i) = 0,075072263/7
log(1 + i) = 0,010724609
(1 + i) = 10^0,010724609
i = 1,025001755 - 1
i = 0,025001755 => 2,5 % a.m.


8. Calcule o valor atual, à taxa de 2,5% ao mês, do capital de R$ 6.000 disponivel no fim de 4 meses.
M = C(1 + i)^n
M = 6000(1,025)^4
M = 6622,88


9. Qual o valor atual de um título de R$ 15.000, resgatado a 6 meses de seu vencimento, sabendo que a taxa de desconto (composto) é de 6% ao bimestre?
Você deve estar falando de Desconto Racional composto (por dentro). É esse que utilizei.
D = N[(1 + i)^n - 1]/(1 + i)^n
D = 15000[1,06^3 - 1]/1,06^3
D = 2405,71

Como D = N - A, vem:
2405,71 = 15000 - A
A = 15000 - 2405,71 = 12594,29


10. Um título de valor nominal de R$ 2.000 sofreu um desconto real de 40% ao ano, capitalizados semestralmente, 2 anos antes do vencimento. Qual o seu valor atual?
D = N[(1 + i)^n - 1]/(1 + i)^n
D = 2000[1,2^4 - 1]/1,2^4
D = 1035,49

A = N - D
A = 2000 - 1035,49 = 964,51


11. Um título de R$ 75.000 foi resgatado, com um desconto composto de 3,5% ao mês, por R$ 67.646. Calcule o tempo de antecipação do resgate.
D = N - A
D = 75000 - 67646 = 7354

D = N[(1 + i)^n - 1]/(1 + i)^n
7354 = 75000[1,035^n - 1]/1,035^n
7354.1,035^n/75000 - 1,035^n = -1
1,035^n(7354/75000 - 1) = -1
1,035^n = -1/(7354/75000 - 1)
1,035^n = 1,108713006
log(1,035^n) = log(1,108713006)
n.log(1,035) = log(1,108713006)
n = log(1,108713006)/log(1,035)
n = 2,999872344 => ~3 meses


12. Uma letra paga 5 meses antes de seu vencimento, com um desconto composto de 4% ao mês, ficou reduzida a R$ 24.658. Calcule o valor da letra.
D = N - A => D = N - 24658

mas D = N[(1 + i)^n - 1]/(1 + i)^n, donde vem:

D = N[(1 + i)^n - 1]/(1 + i)^n
N - 24658 = N[1,04^5 - 1]/1,04^5
N - N[1,04^5 - 1]/1,04^5 = 24658
N(1 - 0,178072893) = 24658
N = 24658/0,821927107
N = 30000,22726

13. Uma pessoa deposita R$ 200 no fim de cada mês. Sabendo que a taxa de juros é de 2% ao mês, quanto possuirá em 2 anos?S = R.FRS(2%;24)
S = 200.[(1 + i)^n - 1]/i
S = 200.[1,02^24 - 1]/0,02
S = 200.30,42186245
S = 6084,37249


14. Quanto devo aplicar mensalmente, durante 3 anos, para que possa resgatar R$ 35.457 no final dos 36 meses, sabendo que a aplicação proporciona um rendimento de 1½ % ao mês?
S = R.FRS(1,5%;36)
35457 = R.[1,015^36 - 1]/0,015
R = 35457/47,2759692
R = 750,0004886


15. Uma pessoa deposita R$ 5.000 em uma instituição financeira no início de cada trimestre. Sabendo que a taxa de juros é de 6% ao trimestre, qual o montante no fim de 1½ ano.
S = R.FRS(6%;6)
S = R.[(1 + i)^n - 1]/i
S = 5000.[1,06^6 - 1]/0,06
S = 5000.6,975318533
S = 34876,59267
fonte:financeaccess.blogspot.com.br