Cálculo de Derivadas

Olá, na matéria de hoje vou mostrar a definição e o modo prático para se calcular a derivada de um função explícita (y ou f(x) isolado). No próximo artigo, vou mostrar algumas propriedades da diferenciação.

- Definição:

OBS: Para usar a definição, é nescessário um conhecimento prévio sobre Limites.

Definição:

Lim f(x+Δx) – f(x)
Δx >> 0 Δx

- Método prático:

OBS: Esse método só serve para derivadas de uma função potência (não exponencial natural).

Método Prático: Dx(x^n) = n.x^n-1 (leia-se Derivada de x elevado a n é igual a n multiplicado por x elevado a n-1.

Exemplo: f(x) = x³ então f’(x) = 3x² .
Obs.: f é uma função, f’ é a sua derivada.

==> Derivadas:

*Função Constante:
f’( c ) = 0;

Exemplo: f’(5) = 0;

*Função Identidade:
f’(x) = 1;

Exemplo: f’(2x) = 2.1 = 2; (Quando se tem uma constante no termo, ela permanece. No caso de uma constante estar sozinha num termo, a sua derivada vale zero.

*Função Exponencial Natural:
f’(e^x) = (e^x) . x’;

Exemplo: f’(e^2x) = (e^2x) . 2 = 2e^2x; (O símbolo ^ significa “elevado à”)

*Função Logaritmo natural:
f’(ln|x|) = x’/x;

Exemplo: f’(ln|2x+1|) = 2/2x+1;

*Derivada da soma de duas funções:
f’(g(x)+h(x)) = f’(g(x)) + f’(h(x));

Exemplo: f’((2x) + (5x^2+5)) = 2 + 10x;

*Derivada do produto de uma constante por uma função:
f’(c.g(x)) = c.g’(x);

Exemplo: f’(2.(2x)) = 2.2 = 4;

*Função potência:
f’(x^n) = n.x^(n-1);

Exemplo: f’(x^3) = 3x^2;

*Derivada do produto de duas funções:
f’(g(x) . h(x)) = g’(g).h(x) + g(g).h’(x);

Exemplo: f’(3x^2 . 5x) = 6x.5x + (3x^2).5 = 30x^2 + 15x^2 = 45x^2;
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Mosaico

Por Alunos Online

Exemplo de Mosaico

Mosaico é o agrupamento de pequenas pedras, ou outras peças (pequenos pedaços de vidro, mármore ou cerâmica) formando um desenho ou alguma representação artística. O mosaico surgiu na época greco-romana, onde era usado na decoração de pavimentos e paredes.

A principal característica do mosaico é a colocação de tesselas, pequenos fragmentos de pedras, às vezes semi-preciosas, pastilhas de vidro, seixos e outros materiais, sobre uma superfície.
Durante um momento o mosaico perdeu sua força, se comparado a outras formas de manifestações artísticas como a pintura e a escultura, por exemplo. Porém, nota-se que recentemente o mosaico tem sido cada vez mais utilizado artisticamente, na decoração de ambientes interiores e exteriores.
Entre alguns exemplos de mosaicos que estão presentes no nosso dia-dia podemos citar o calçadão de Copacabana, a colocação de pisos e azulejos de uma casa, ou em algumas gravuras do artista holandês M.C. Escher que utiliza essa técnica.

Relações Métricas Triângulo retângulo

Num triângulo retângulo, os lados perpendiculares, aqueles que formam um ângulo de 90º, são denominados catetos e o lado oposto ao ângulo de 90º recebe o nome de hipotenusa. O teorema de Pitágoras é aplicado ao triângulo retângulo e diz que: hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos catetos, hip² = c² + c².

Relações métricas no triângulo retângulo

Observe os triângulos:


Os triângulos AHB e AHC são semelhantes, então podemos estabelecer algumas relações métricas importantes:


h² = mn b² = na c² = am bc = ah


Aplicações do Teorema de Pitágoras

Diagonal do quadrado

Dado o quadrado de lado l, a diagonal D do quadrado será a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos l, com base nessa definição usaremos o teorema de Pitágoras para uma expressão que calcula a diagonal do quadrado em função da medida do lado.



Altura de um triângulo equilátero

O triângulo PQR é equilátero, vamos calcular sua altura com base na medida l dos lados. Ao determinarmos a altura (h) do triângulo PQR, podemos observar um triângulo retângulo PHQ catetos: h e l/2 e hipotenusa h. Aplicando o teorema de Pitágoras temos:




Diagonal do bloco retangular (paralelepípedo)

Observe o bloco de arestas a, b e c, iremos calcular a diagonal (d), mas usaremos a diagonal x da base em nossos cálculos. Veja:

x² = a² + b²
d² = x² + c²

substituindo, temos:


Diagonal do cubo (caso particular do paralelepípedo)

Consideremos o cubo um caso particular de um bloco retangular, então:
a = b = c = l

fonte : http://matematicarev.blogspot.com

Equação de 2º grau

Resolva:

2) Uma equação do 2º grau possui duas raízes reais e distintas quando ∆ > 0, então:
3) A equação tem rais unica:
4) Resolva :

Derivadas

Derivadas

A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , é igual ao valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y=f(x), no ponto x = x0, ou seja, a derivada é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto x0.

A derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos:
y' , dy/dx ou f ' (x).

A derivada de uma função f(x) no ponto x₀ é dada por:

Algumas derivadas básicas

Nas fórmulas abaixo, u e v são funções da variável x.
a, b, c e n são constantes.

Derivada de uma constante

Derivada da potência

Portanto:

Soma / Subtração

Produto por uma constante

Derivada do produto

Derivada da divisão

Potência de uma função

Derivada de uma função composta

Derivadas

Regra da cadeia

A fórmula:

é conhecida como regra da cadeia. Ela pode ser escrita como:

Outra fórmula similar é a seguinte:

Derivada da função inversa

A inversa da função y(x) é a função x(y):

Derivadas de funções trigonométricas e suas inversas

Derivadas de funções exponencial e logarítmica

Derivada do logaritmo natural

Derivada do logaritmo

em outras bases

Exponencial

Lembre-se da definição da função logarítmica com base a > 0:

Derivadas das funções hiperbólicas e suas inversas

Lembre-se das definições das funções trigonométricas:

Derivadas de alta ordem

Seja y = f(x). Temos:

A segunda derivada é dada por:

A terceira derivada é dada por:

A enésima derivada é dada por:

Em alguns livros, a seguinte notação também é usada:

www.somatematica.com.br