Derivadas

Derivadas

A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , é igual ao valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y=f(x), no ponto x = x0, ou seja, a derivada é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto x0.

A derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos:
y' , dy/dx ou f ' (x).

A derivada de uma função f(x) no ponto x₀ é dada por:

Algumas derivadas básicas

Nas fórmulas abaixo, u e v são funções da variável x.
a, b, c e n são constantes.

Derivada de uma constante

Derivada da potência

Portanto:

Soma / Subtração

Produto por uma constante

Derivada do produto

Derivada da divisão

Potência de uma função

Derivada de uma função composta

Derivadas

Regra da cadeia

A fórmula:

é conhecida como regra da cadeia. Ela pode ser escrita como:

Outra fórmula similar é a seguinte:

Derivada da função inversa

A inversa da função y(x) é a função x(y):

Derivadas de funções trigonométricas e suas inversas

Derivadas de funções exponencial e logarítmica

Derivada do logaritmo natural

Derivada do logaritmo

em outras bases

Exponencial

Lembre-se da definição da função logarítmica com base a > 0:

Derivadas das funções hiperbólicas e suas inversas

Lembre-se das definições das funções trigonométricas:

Derivadas de alta ordem

Seja y = f(x). Temos:

A segunda derivada é dada por:

A terceira derivada é dada por:

A enésima derivada é dada por:

Em alguns livros, a seguinte notação também é usada:

www.somatematica.com.br

Função Exponencial

As funções exponenciais são utilizadas nas situações envolvendo crescimento e decrescimento, onde a variável está localizada no expoente de uma base. Sua lei de formação é dada pela relação de dependência entre y e x, da seguinte forma: y = ax ou f(x) = ax , de modo que a seja maior que 0 e diferente de 1. As funções exponenciais são classificadas em crescentes ou decrescentes.

As funções crescentes possuem base a com valor numérico maior que 1 ( a > 1) e as decrescentes possuem base a maior que 0 e menor que 1 (0 < a < 1).

Gráfico da Função Exponencial Crescente (a > 0)

y = 2x



Gráfico da Função Exponencial Decrescente (0 < a < 1)

y = (1/2)x

As aplicações financeiras envolvendo juros compostos são exemplos de funções exponenciais, em razão da propriedade acumulativa dos juros nesse regime de capitalização. A prática de juros sobre juros utilizada na cobrança de dívidas, no fornecimento de empréstimos e na aplicação de capitais são representadas por funções onde a variável se encontra no expoente.

No cálculo dos juros compostos utilizamos a expressão M = C * (1 + i)t, onde M (montante), C(capital), i(taxa de juros unitária) e t (tempo de aplicação). Observe que nessa expressão o montante está em função do produto entre o capital e o fator de capitalização (1 + i)t, onde t é o expoente da expressão. Vamos desenvolver uma aplicação de um capital de R$ 200,00, a taxa de 2% ao mês, no intuito de verificarmos o comportamento do gráfico dessa função. Veja:

Após 6 meses de aplicação
M = 200 * (1 + 0,02)6
M = 200 * 1,026
M = 200 * 1,1262
M = 225,23

Após 1 ano
M = 200 * (1,02)12
M = 200 * 1,2682
M = 253,65

Após 2 anos
M = 200 * (1,02)24
M = 200 * 1,6084
M = 321,69

Após 10 anos
M = 200 * 1,02120
M = 200 * 10,7672
M = 2 153,03

Observe o crescimento do coeficiente de capitalização do dinheiro: (1 + i)t

6 meses → 1,1262
1 ano = 12 meses → 1,2682
2 anos = 24 meses → 1,6084
10 anos = 120 meses → 10,7672

O gráfico representa uma curva que cresce exponencialmente de acordo com o decorrer dos meses.
www.bancodeconcursos

Produtos Notáveis

Produtos notáveis

É Muito comum nas Expressos algébrica o aparecimento de certos produtos. Para simplificar o trabalho nos cálculos será Muito úteis aplicação dos produtos notáveis. Veja a tabela abaixo:

Produtos notáveis


Exemplos

(A + b) 2 = a2 + 2ab + b2


(X + 3) 2 = x2 + 6x + 9

(B) 2 = a2-2ab + b2


(X-3) 2 = x2-6x + 9

(A + b) (b) = a2-b2


(X + 3) (x-3) = x2-9

(X + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + b


(X + 2) (x + 3) = x2 + 5x + 6

(A + b) 3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + B3


(X + 2) 3 = x3 + 6x2 + 12x + 8

(B) 3 = a3-3a2b + 3ab2-B3


(X-2) 3 = x3-6x2 + 12x-8

(A + b) (a2-b + b2) = a3 + b3


(X + 2) (x2-2x + 4) = x3 + 8

(B) (a2 + b + b2) = a3-B3


(X-2) (x2 + 2x + 4) = x3-8



Alguns exercícios resolvidos:

1) Desenvolva:

a) (3x + y) 2

(3x + y) 2 = (3x) 2 + 2.3x.y + y2 = 9x2 + 6xy + y2

b) ((1/2) + x2) 2

((1/2) + x2) 2 = (1/2) 2 + 2. (1/2) .x2 + (x2) 2 = (1/4) + x2 + x4

c) ((2x / 3) + 4y3) 2

((2x / 3) + 4y3) 2 = (2x / 3) 2-2. (2x / 3) .4y3 + (4y3) 2 = (4/9) x2- (16/3) xy3 + 16y6

d) (2x + 3y) 3

(2x + 3y) 3 = (2x) 3 + 3. (2x) 2.3y + 3.2x. (3y) 2+ (3y) 3 = 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3

e) (x4 + (1 / x2)) 3

(X4 + (1 / x2)) 3 = (x4) 3 + 3. (X4) 2. (1 / x2) + 3.x4. (1 / x2) 2+ (1 / x2) 3 = X12 + 3x6 + 3+ (1 / x6)

f) ((2x / 3) + (4y / 5)). ((2x / 3) - (4y / 5)

(2x / 3) + (4y / 5)). ((2x / 3) - (4y / 5)) = (2x / 3) 2- (4y / 5) 2 = (4/9) x2- (16 / 25) y2



2) Efetue as multiplicações:

a) (x-2) (x-3)

(X-2) (x-3) = x2 + ((- 2) + (- 3)) x + (- 2). (- 3) = x2-5x + 6

b) (x + 5) (x-4)

(X + 5) (x-4) = x2 + (5 + (- 4)) x + 5. (- 4) = x2 + x-20



3) Simplifique as Expressos:

a) (x + y) 2-x2-y2

(X + y) 2-x2-y2 = x2 + 2xy + y2-x2-y2 = 2xy

b) (x + 2) (x-7) + (x-5) (x + 3)

(X + 2) (x-7) + (x-5) (x + 3) = x2 + (2 + (- 7)) x + 2. (- 7) + x2 + (- 5 + 3) x + 3 . (- 5) =

x2-5x-14 + x2-2x-15 = 2x2-7x-29

c) (2x-e) 2-4x (xy)

(2x-e) 2-4x (xy) = (2x) 2-2.2x.y + y2-4x2 + 4xy = 4x2-4xy + y2-4x2 + 4xy = y2