Sistema Método de Cramer aula 2

Logaritmo

Os logaritmos criados por John Napier e Jobst Burgi, e posteriormente adaptados por Henry Briggs, possuem a seguinte lei de formação:

logab = x, onde:

a = base do logaritmo
b = logaritmando
x = logaritmo

O logaritmo de um número b em uma base a é o expoente x que se deve aplicar à base a para se ter o número b. Dessa forma:

logab = x ↔ ax = b

Exemplos:

log39 ↔ 32 = 9
log10100 ↔ 102 = 100
log216 ↔ 24 = 16
log981 ↔ 92 = 81

A partir dessa definição podemos apresentar algumas definições que auxiliarão no desenvolvimento de algumas situações envolvendo logaritmo. Veja:

O logaritmo do número 1 em qualquer base sempre será igual a 0.

loga1 = 0, pois a0 = 1

O logaritmo de qualquer número a na própria base a será igual a 1.

logaa = 1, pois a1 = a

O logaritmo de uma potência da base é o expoente, em qualquer base.

logaam = m, pois m * logaa = m * 1 = m

A potência de base a e expoente logab é igual a b.

alogab = b, pois logab = x → ax = b

Dois logaritmos são iguais, quando seus logaritmandos forem iguais.

logab = logac ↔ b = c



Exemplos

Aplicar a definição de logaritmo para calcular o valor de x em cada caso:

a) log327 = x → 3x = 27 → x = 3

b) log81x = 3/4 → x = 813/4 → x = (34)3/4 → x = 312/4 → x = 33 → x = 27

c) log4√2 = x → 4x = √2 → 22x = √2 → 22x = 21/2 → 2x = 1/2 → x = 1/4

d) logx8 = 2 → x2 = 8 → √x = √8 → x = 2√2

e) log4(2x – 1) = 1/2 → 2x – 1 = 41/2 → 2x – 1 = √4 → 2x – 1 = 2 → 2x = 3 → x = 3/2

f) log1818 = x → 18x = 18 → x = 1

g) logx1024 = 2 → x2 = 1024 → √x² = √1024 → x = 32

h) log40,25 = x → 4x = 0,25 → 4x = 25/100 → 4x = 1/4 → 4x = 4–1 → x = –1

i) 16log25 = (24)log25 = (2log25)4 = 54 = 625

j) log0,01 = x → 10x = 0,01 → 10x = 1/100 → 10x = 10–2 → x = –2

Integrais por Substituição de funções trigonométricas Aula 8.

Climas no mundo

Os climas conforme os trópicos

Os climas no mundo são bastante diversificados, provenientes das variadas massas de ar, localização geográfica, entre outros. No mundo se classificam pelo menos dez climas, os principais são:

Equatorial: possui temperaturas médias acima de 25°C; clima quente e úmido, com índices pluviométricos anuais acima de 2000 mm.

Tropical: temperatura variando em 20°C no inverno e 25°C no verão, com duas estações bem definidas, uma seca e outra chuvosa.

Subtropical: possui temperaturas médias entre 15°C e 20°C no verão, e no inverno as médias variam entre 0°C a 10°C, chuvas bem distribuídas.

Oceânico: recebe influência dos oceanos e mares, tornando os invernos menos rigorosos.

Continental: praticamente não recebe influência dos oceanos, possui um inverno mais rigoroso.

Mediterrâneo: possui invernos chuvosos e verões quentes, com quatro estações bem definidas.

Desértico: as temperaturas médias anuais variam entre 20°C e 30°C, os índices de precipitações não ultrapassam 250 mm ao ano.

Semiárido: caracterizado por altas temperaturas podendo chegar a 32°C, os índices pluviométricos são inferiores a 600 mm anuais e as chuvas são irregulares.

Frio (subpolar): possui índices pluviométricos anuais variando, dependendo da região, entre 200 mm e 1000 mm, características de um inverno negativo e verão com temperaturas por volta de 10°C.

Frio de montanha: temperatura determinada pela altitude, quanto mais alto mais frio, mesmo em regiões tropicais.

Polar: caracteriza-se por longos invernos e verões secos e curtos, temperaturas anuais sempre abaixo de zero, e marcante presença de neve e gelo.

Eduardo de Freitas
Graduado em Geografia

Ciclo Trigonométrico arcos aula 1

Logaritmos

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

email accbarroso@hotmail.com

 www.ensinodematemtica.blogspot.com.br

www.accbarrosogestar.blogspot.com.br 

Logaritmo podem simbolizar potência de outra forma. Como 10 ao quadrado = 100, então log 100 = 2.
Eles são mais curtos que as potências.
Imagine que as potências indiquem a altura de um foguete que, depois de lançado, atinge 10 m em 1 segundo, 100 m em 2 segundo, e assim sucessivamente. O tempo é sempre o logaritmo da altitude.
Se o foguete está a 10.000 m acima do solo, a sua altura é 4. Portanto, o logaritmo de 10.000 é 4.

O que é logaritmo e onde utilizá-lo ?

A palavra logaritmo originou-se das palavra gregas Logos (razão) e arithmos (números).
No século XVII, havia dificuldades na elaboração de cálculos devido principalmente às operações de multiplicação, divisão e potenciação.
Burgi, em 1620, e John Napier, em 1614, publicaram as primeiras tabelas de logaritmos, cuja finalidade era a simplificação de cálculos numéricos complicados.
Embora as tabelas de logaritmos não seja tão usadas atualmente como instrumento de cálculo, os logaritmos são de grande importância em diversas áreas, por exemplo, na medição de terremotos.
Para compreendermos melhor o que é logaritmo, consideramos uma base positiva e diferente de 1.
Ex: 3⁴ = 81
Ao expoente dessa potência damos o nome de logaritmo. Portanto, 4 é o logaritmo de 81 na base 3.
3⁴ = 81 ⇔ log 81₃ = 4
Dados dois números reais e positivos a e b, sendo 1, chama-se logaritmo b na base a o expoente que deve colocar à base a.
Indicamos : log_a b = x ⇔ a = b.
Onde b é o logaritmando
a é a base
x é o logaritmo

Condição de existência
CE b > 0
1 a > 0
SISTEMA DE LOGARITMO
Chama-se sistema de logaritmo de base a ( 1 > 0 ), o conjuntos dos logaritmos de todos os números reais positivos na base a.
Dois sistemas de logaritmos destacam-se pelo seu importante papel no campo das Ciências, são eles: sistema de logaritmos decimais (ou sistema de logaritmo de Briggs) e sistema de logaritmos neperianos (ou sistema de logaritmos naturais).

LOGARITMOS DECIMAIS
São aqueles na base 10. Indicaremos por log b = x, sem necessidade de colocar a base 10.

SISTEMA NEPERIANO OU NATURAL
É o conjunto dos logaritmos na base e (e é um número irracional que recebe o nome de número de Euler, que vale 2,71828...). Indicaremos In b = x.

CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO
A partir da definição, temos:a) log_a 1 = 0
O logaritmo de 1 é sempre 0, pois a⁰ = 1.
b) log_a a = 1
Quando a base é igual ao logaritmando, o logaritmo é sempre 1, pois a¹ = a .
b) log_a ⁿa = n
O logaritmo de potência da base é sempre o expoente dessa base pois aⁿ = aⁿ.
d) a^{log a b} = b
Um número a, elevado ao logaritmo de b na base a, é sempre igual a b.
e) log_a b = log_a c ⇔ b = c
Dois valores são iguais, então, seus logaritmos, na mesma base, também são iguais.

DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Chamamos a condições de existência de um logaritmo de campo de existência ou domínio dos logaritmos.
Exemplo:
a) Determinar o campo de existência da função f (x) = log₂ (x-3 ) indica-se condição de existência por CE.

PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS
• Logaritmo de um produto

• Logaritmo de um quociente

• Logaritmo de uma potência

• Logaritmo de uma raiz


EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS

Podemos classificar as equações em redutíveis, que são solucionadas por meio da definição de logaritmo.
Para resolvermos um equação, devemos obter:
• Condição de existência.
• Verificação com as soluções da equação nas condições de existência.

MUDANÇAS DE BASE
As vezes, em algumas situações, devemos transformar o logaritmo em outra base. Para mudarmos a base de um logaritmo, utilizamos a seguinte fórmula:
Log b em que c será a nova base
Log_a b = ______ condições: b > 0
Log_c a 0 < a 1

Conseqüência:
a) log_a b . log_c a = log_c b
b) log_a b = 1
____
log_b a
coladaweb.com

Produto da soma pela diferença

Uma situação interessante envolvendo expressões algébricas se apresenta na seguinte forma:
(a + b)(a – b), sendo denominada Produto da Soma pela Diferença, podendo ser resolvida através da propriedade distributiva da multiplicação ou através de uma regra prática. Essa expressão pode ser considerada um produto notável, pela característica regular apresentada na resolução de situações semelhantes.

Aplicando a propriedade distributiva na resolução da expressão (a + b)(a – b).
(a + b)(a – b) = a*a – a*b + b*a – b*b = a² – b²Note que os termos – ab e + ba são opostos, por isso se anulam.

(2x + 4)(2x – 4) = 2x*2x – 2x*4 + 4*2x – 4*4 = 4x² – 8x + 8x – 16 = 4x² – 16
(7x + 6)(7x – 6) = 7x*7x – 7x*6 + 6*7x – 6*6 = 49x² – 42x + 42x – 36 = 49x² – 36
(10x³ – 12)(10x³ + 12) = 10x³*10x³ + 10x³*12 – 12*10x³ –12*12 = 100x6 + 120x³ – 120x³ – 144 = 100x⁶ – 144
(20z + 10x)(20z – 10x) = 20z*20z – 20z*10x + 10x*20z – 10x*10x = 400z² – 200zx + 200xz – 100x² = 400z² – 100x²
Aplicando a regra prática
A aplicação da regra prática se dá através da seguinte situação: “o primeiro termo elevado ao quadrado menos o segundo termo elevado ao quadrado”

(4x + 7)(4x – 7) = (4x)² – (7)² = 16x² – 49
(12x + 8)(12x – 8) = (12x)² – (8)² = 144x² – 64
(11x² – 5x)(11x² + 5x) = (11x²)² – (5x)² = 121x⁴ – 25x²

(20b – 30)(20b + 30) = (20b)² – (30)² = 400b² – 900

Marcos Noé

Fração

01 – Com 12 litros de leite, quantas garrafas de 2/3 de litros poderão ser cheias ?

02 – Coriolano faz um cinto com 3/5 de um metro de couro. Quantos cintos poderão ser feitos com 18 metros de couro ?

03 – Qual é o número cujos 4/5 equivalem a 108 ?

04 – Distribuíram-se 3 1/2 quilogramas de bombons entre vários meninos. Cada um recebeu 1/4 de quilograma. Quantos eram os meninos ?

05 – Para ladrilhar 2/3 de um pátio empregaram-se 5 456 ladrilhos. Para ladrilhar 5/8 do mesmo pátio, quantos ladrilhos seriam necessários ?

06 – Dona Solange pagou R$ 5.960,00 por 4/7 de um terreno. Quanto pagaria por 4/5 desse terreno?

07 – Luciano fez uma viagem de 1.210 km, sendo 7/11 de aeroplano; 2/5 do resto, de trem, 3/8 do novo resto, de automóvel e os demais quilômetros, a cavalo. Calcular quantos quilômetros percorreu a cavalo ?

08 – A terça parte de um número adicionado a seus 3/5 é igual a 28. Calcule a metade desse número ?

09 – Carolina tinha R$ 175,00. Gastou 1/7 de 1/5 dessa importância. Quanto sobrou ?

10 – Que número é necessário somar a um e três quartos para se obter cinco e quatro sétimos ?

11 – A soma de dois números é 850. Um vale 12/5 do outro. Quais são eles ?

12 – Se dos 2/3 de um número subtrairmos seus 3/7, ficaremos com 45. Qual é o número?

13 – A soma de três números é 30. O primeiro corresponde aos 2/3 do segundo e este, aos 3/5 do terceiro. Calcular o produto destes três números.

14 – Se 7/8 de um terreno valem R$ 21.000,00, qual é o valor de 5/48 do mesmo terreno?

15 – Qual é o número que se da metade subtrairmos 8 unidades ficaremos com 1/3 dele mesmo ?

16 – Da terça parte de um número subtraindo-se 12, fica-se com 1/6 do mesmo número. Que número é esse ?

17 – Qual é o número que retirando 48 unidades de sua metade, encontramos a sua oitava parte ?

18 – A diferença entre dois números é 90; um é 3/13 do outro. Calcular os números.

19 – A soma de dois números é 345; um é 12/11 do outro. Calcule-os.

20 – Seu Áureo tendo gasto 4/7 do dinheiro que possuía, ficou com 1/3 dessa quantia mais R$ 164,00. Quanto tinha o velho Áureo?

21 – Divida R$ 1590,00 em três partes de modo que a primeira seja 3/4 da segunda e esta 4/5 da terceira.

22 – Se eu tivesse apenas 1/5 do que tenho, mais R$ 25,00. teria R$ 58,00. Quanto tenho ?

23 – A nona parte do que tenho aumentada de R$ 17,00 é igual a R$ 32,50. Quanto possuo ?

24 – Zé Augusto despendeu o inverso de 8/3 de seu dinheiro e ficou com a metade mais R$ 4,30. Quanto possuía ?

25 – Repartir 153 cards em três montes de forma que o primeiro contenha 2/3 do segundo o qual deverá ter 3/4 do terceiro.

26 – Distribuir 3.717 tijolos por três depósitos de tal maneira que o primeiro tenha 3/4 do segundo e este 5/6 do terceiro.

27 – O diretor de um colégio quer distribuir os 105 alunos da 4ª série em três turmas de modo que a 1ª comporte a terça parte do efetivo; a 2ª, 6/5 da 1ª, menos 8 estudantes e a 3ª, 18/17 da 2ª. Quantos alunos haverá em cada turma ?

28 – Dividiu-se uma certa quantia entre três pessoas. A primeira recebeu 3/5 da quantia, menos R$ 100,00; a segunda, 1/4 , mais R$ 30,00 e a terceira, R$ 160,00. Qual era a quantia ?

29 – Um número é tal que, se de seus 2/3 subtrairmos 1.036, ficaremos com 4/9 do mesmo. Que número é esse?

30 – Das laranjas de uma caixa foram retirados 4/9, depois 3/5 do resto, e ficaram 24 delas. Quantas eram as laranjas ?

31 – Marieta tinha R$ 240,00. Gastou um quinto dessa quantia, e, depois, a terça parte do resto. Com quanto ficou ?

32 – Repartir R$ 671,00 entre três pessoas de modo que a primeira seja contemplada com 2/5 do que receber a segunda e esta, 3/8 do receber a terceira.

33 – Dividir R$ 480,00 por três pessoas, de modo que as partes da primeira e da segunda sejam, respectivamente, 1/3 e 4/5 da parte a ser recebida pela terceira

34 – Argemiro tinha R$ 375,00. Despendeu 2/5, menos R$ 6,00; depois a terça parte do resto, mais R$ 18,00. Quanto sobrou ?

35 – Um reservatório é alimentado por duas torneiras. A primeira pode enchê-lo em 15 horas e a segunda, em 12 horas. Que fração do reservatório encherão em uma hora, as duas juntas ?

36 – Uma torneira enche um reservatório em 2 horas e outra em 3 horas. Ambas, em que tempo enchê-lo-ão ?

37 – Uma torneira enche uma cisterna em 1/8 da hora e uma válvula o esvazia em 1/4 da hora. Abertas, em que tempo o reservatório ficará completamente cheio ?

38 – Uma torneira enche um depósito d’água em 1/14 da hora enquanto uma válvula pode esvaziá-lo em 1/9 da hora. Trabalhando juntas, em quanto tempo o líquido contido no depósito atingirá seus 5/6 ?

39 – Um reservatório é alimentado por duas torneiras. A primeira pode enchê-lo em 15 horas e a segunda, em 10 horas. A primeira é conservada aberta durante 2/3 da hora e a segunda durante 1/2 hora. Que fração do reservatório ficará cheia ?

40 – Claudia fez 2/9 de um trabalho em 12 horas e Mariana, 4/7 do resto em 8 horas. Quantas horas levarão para fazer a mesma obra, se trabalharem juntas ?

41 – Taninha fez 2/5 de um bordado em 8 horas e Clarisse, 1/3 do resto em 6 horas. Em quanto tempo poderão concluí-lo, se trabalharem juntas ?

42 – Vó Marieta é capaz de fazer um bordado em 16 horas e tia Celeste, 5/7 do resto em 15 horas. Em quanto tempo aprontarão o bordado todo, se operarem juntas ?

43 – Roberval, um investidor no mercado de capitais, perdeu a quarta parte de um capital. Em outros negócios, ganhou o quíntuplo de R$ 30.000,00. Sendo a fortuna atual o dobro do capital inicial. Que capital era esse ?

44 – Um quitandeiro vendeu ao primeiro freguês 3/5 das melancias que tinha, mais quatro, e ao segundo, 1/3, também do total. Tendo o primeiro ficado com mais duas dúzias de melancias do que o outro, pergunta-se quantas melancias o comerciante possuía e com quantas ficou ?

45 – Andréa tem 2/9 do dinheiro necessário para comprar um apartamento, e seu marido, 3/11 dessa quantia. Se a essa importância o casal adicionar R$ 3.500,00 poderão comprar a casa própria. Qual é o preço do imóvel ? Quanto tem cada um deles ?

46 – Uma torneira enche um reservatório em 6 horas e outra, em 2 horas. Ambas, funcionando conjuntamente, em que tempo encherão o reservatório ?

47 – Uma torneira enche um tanque em duas horas e outra o esvazia em dez horas. O tanque estando vazio e abrindo-se as duas torneiras, em que tempo ficará ele completamente cheio ?

48 – Silvana executa um bordado em nove horas de trabalho e Fernanda, em doze horas. Com auxílio de Eliane, aprontam-no em quatro horas. Calcular o tempo em que Eliane faria o mesmo bordado sozinha.

49 – Alfredo pode pintar uma casa em sete horas de trabalho e seu irmão, em cinco horas. Juntos, que fração do trabalho executarão em uma hora ? Em quanto tempo farão todo a pintura da casa ?

50 – Um trem partiu do Rio com um certo número de passageiros. Na primeira parada, saltaram 3/7 dos passageiros e na quarta entraram 40 pessoas. Em outras estações saltaram 5/8 dos passageiros restantes. O trem chegou à estação final com 36 passageiros. Com quantos passageiros o trem partiu do Rio ?

51 – Um número vale 8/5 de um segundo ou 2/3 de um terceiro. Calcular os três números sabendo que sua soma é igual a 500.

52 – Cuidadosamente, Severina, a empregada dos “Cavalcante” arruma uma bela cesta de maçãs. O patriarca ao ver as maçãs toma para si 1/6 das frutas, sua esposa pega 1/5 das restantes, o filho mais velho pega para si 1/4 do restante, o filho do meio e o mais novo pegam, respectivamente 1/3 e 1/2 dos restantes. Quando Severina chega e percebe o cesto praticamente vazio, fica magoada com a gulodice dos patrões e decide pegar para si as 3 frutas restantes. Quantas eram as maçãs arrumadas originalmente por Severina ?


Resolução dos problemas

01) 18 garrafas
02) 30 cintos
03) 135
04) 14 meninos
05) 5.115
06) R$ 8.344,00
07) 165 km
08) 15
09) R$ 170,00
10)

11) 600 e 250
12) 189
13) 810
14) R$ 2.500,00
15) 48
16) 72
17) 128
18) 117 e 27
19) 180 e 165
20) R$ 1.722,00
21) R$ 397,50 , R$ 530,00 e R$ 662,50
22) R$ 165,00
23) R$ 139,50
24) R$ 34,40
25) 34 , 51 e 68
26) 945, 1260 e 1512
27) 35 , 34 e 36
28) R$ 600,00
29) 4.682
30) 108
31) R$ 128,00
32) R$ 66,00 , R$ 165,00 e R$ 440,00
33) R$ 75,00 , R$ 180,00 e R$ 225,00
34) R$ 136,00
35) 3/20
36) 1 horas e 12 minutos
37) 1/4 h ou 15 min
38) 1/6 h ou 10 min
39) 17/180
40) 13 h 30 min
41) 12 h
42) h

43) R$ 120.000,00
44) 75 e 1
45) R$ 6.930,00, R$ 1.540,00 e R$ 1.890,00
46) 1h 30 min
47) 2 h 30 min
48) 18 horas
49) 12/35 e 2 h 55 min
50) 98
51) 160 , 100 e 240
52) 18 maçãs

Determinantes Matriz de ordem 3 Sarrus e Laplace aula 3

Determinantes matriz de ordem maior que 3

Logaritmo

Teoria dos Logaritmos

1. DEFINIÇÃO

Sejam a e b números reais positivos diferentes de zero e b1. Chama-se logaritmo de a na base b o expoente x tal que bx = a:
logb a = x bx = az

Na sentença logb a = x temos:

a) a é o logaritmando;

b) b é a base do logaritmo;

c) x é o logaritmo de a na base b.

Exemplos:



Observação 1: Quando a base não vier expressa, fica subentendido que esta vale 10.

Exemplos:

a) log 3 = log 10 3

b) log 20 = log10 20

Condições de existência

a) A base tem de ser um número real positivo e diferente de 1.

b) O logaritmando tem de ser um número real positivo.


2. PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS

a) O logaritmo de um número, na base de valor igual a ele mesmo, é sempre igual a 1.

logb b = 1.

Exemplo:
log8 8 = 1.

b) O logaritmo de 1 em qualquer base é sempre igual a 0.

logb 1 = 0

Exemplo:
log9 1 = 0

c) Logaritmo de uma potência

logb ay = y. logb a

Exemplo:
Log2 34 = 4. log2 3

d) O logaritmo de um número b, na base b, elevado a um expoente x é sempre igual a x.

logb bx = x

Exemplo:

Log3 37 = 7

e) Um número b, elevado ao logaritmo de a na base b, é sempre igual a a.

blogb a = a

Exemplo:

7log7 13 = 13

f) Logaritmo do produto:

logc (m . n) = logc m + logc n, sendo m > 0, n > 0 e b 1.

Exemplo:
log2 (4 . 3) = log2 4 + log2 3

Produtos notaveis

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