EQUAÇÃO DE 1° GRAU

Para resolver equação de 1° grau usaremos um método pratico seguindo o roteiro:

1) Isolar no 1° membro os termos em x e no 2° membro os termos que não apresentam x ( devemos trocar o sinal dos termos que mudam de membro para outro)

2) Reduzir os termos semelhantes

3) Dividir ambos os membros pelo coeficiente de x

Exemplos

1) 3X – 4 = 2X + 8
3X- 2X = 8 + 4
X = 12

2) 7X – 2 + 4 = 10 + 5X
7X – 5X = 10 + 2 – 4
7X – 5X = 10 + 2 – 4
2X = 8
X = 8/2
X= 4

3) 4(X + 3) =1
4X + 12 = 1
4X = 1 – 12
X = -11/4

4) 5(2x -4) = 7 ( x + 1) – 3
10x – 20 = 7x + 7 -3
10x – 7x = 7 -3 + 20
3x = 24
x = 24/ 3
x = 8

5) x/3 + x/2 = 15
2x / 6 + 3x / 6 = 90 / 6
2x + 3x = 90
5x = 90
x = 90 / 5
x = 18



EXERCICIOS

1)Resolva as equações

a) 6x = 2x + 16 (R:4)b) 2x – 5 = x + 1 (R: 6)
c) 2x + 3 = x + 4 (R: 1)
d) 5x + 7 = 4x + 10 (R: 3)
e) 4x – 10 = 2x + 2 (R: 6)
f) 4x – 7 = 8x – 2(R:-5/4)
g) 2x + 1 = 4x – 7 (R:4)
h) 9x + 9 + 3x = 15 (R: ½)
i) 16x – 1 = 12x + 3 (R:1)j) 3x – 2 = 4x + 9 (R:-11)
l) 5x -3 + x = 2x + 9 (R:3)
m) 17x – 7x = x + 18 (R: 2)
n) x + x – 4 = 17 – 2x + 1 ( 11/2)
o) x + 2x + 3 – 5x = 4x – 9 ( R:2)p) 5x + 6x – 16 = 3x + 2x - 4 (R:2)q) 5x + 4 = 3x – 2x + 4 (R: 0 )

2) Resolva as seguintes equações

a) 4x – 1 = 3 ( x – 1) (R: -2)
b) 3( x – 2) = 2x – 4 (R:2)
c) 2( x – 1) = 3x + 4 ( R: -6)d) 3(x – 1) – 7 = 15 (R: 25/3)
e) 7 ( x – 4) = 2x – 3 (R: 5)
f) 3 ( x –2) = 4(3 – x) (R:18/7)
g) 3 ( 3x – 1) = 2 ( 3x + 2) ( R: 7/3)
h) 7 ( x – 2 ) = 5 ( x + 3 ) (R: 29/2)
i) 3 (2x – 1) = -2 ( x + 3) (R: -3/8)
j) 5x – 3( x +2) = 15 (R: 21/2)
k) 2x + 3x + 9 = 8(6 –x) (R:3)
l) 4(x+ 10) -2(x – 5) = 0 (R: -25)
m) 3 (2x + 3 ) – 4 (x -1) = 3 ( R: -5)
n) 7 (x – 1) – 2 ( x- 5) = x – 5 (R: -2)
o) 2 (3 – x ) = 3 ( x -4) + 15 (R: 3/5)
p) 3 ( 5 – x ) – 3 ( 1 – 2x) = 42 (R:10)
q) ( 4x + 6) – 2x = (x – 6) + 10 +14 (R:12)
r) ( x – 3) – ( x + 2) + 2( x – 1) – 5 = 0 ( R:6)s) 3x -2 ( 4x – 3 ) = 2 – 3( x – 1) ( R ½)t) 3( x- 1) – ( x – 3) + 5 ( x – 2) = 18 ( R: 4)
u) 5( x – 3 ) – 4 ( x + 2 ) = 2 + 3( 1 – 2x) (R:4)


3) Resolva as seguintes equações

a) 2x + 5 - 5x = -1 (R=2)
b) 5 + 6x = 5x + 2 (R=-3)
c) x + 2x - 1 - 3 = x (R=2)d) -3x + 10 = 2x + 8 +1 (R= 1/5)
e) 5x - 5 + x = 9 + x (R=14/5)f) 7x - 4 - x = -7x + 8 - 3x (R=12/16)
g) -x -5 + 4x = -7x + 6x + 15 (R=5)
h) 3x - 2x = 3x + 2 (R=-1)
i) 2 - 4x = 32 - 18x + 12 (R=3)
j) 2x - 1 = -3 + x + 4 (R= 2)l) 3x - 2 - 2x - 3 = 0 (R= 5)
m) 10 - 9x + 2x = 2 - 3x (R=2)
n) 4x - 4 - 5x = -6 + 90 (R= -88)
o) 2 - 3x = -2x + 12 - 3x (R=5)

4) Resolva as seguintes equações

a) 7(x - 5) = 3 (x + 1) (R=19/2 ou 38/4)
b) 3 ( x - 2 ) = 4 (-x + 3) (R=18/7)
c) 2 (x +1) - (x -1) = 0 (R= -3)d) 5(x + 1) -3 (x +2) = 0 (R= 1/2)
e) 13 + 4(2x -1) = 5 (x +2) (R=1/3)
f) 4(x + 5) + 3 (x +5)= 21 (R=-2)g) 2 (x +5 ) - 3 (5 - x) =10 (R=3)
h) 8 ( x -1) = 8 -4(2x - 3) ( R= 7/4)




EQUAÇÕES QUE APRESENTAM DENOMINADORES

Vamos resolver as equações abaixo, eliminando inicialmente os denominadores

exemplos:

1) Resolver a equação:

x/3 + x/2 = 15

2x/6 + 3x/6 = 90/6

2x + 3x = 90

5x = 90

x = 90/5

x = 18

2) Resolver a equação

(x-1)/4 - (x - 3)/6 = 3

3(x - 1) / 12 - 2 (x - 3) / 12 = 36 / 12

3(x - 1) -2 (x - 3) =36

3x - 3 -2x + 6 =36

3x - 2x = 36 + 3 - 6

x = 33


EXERCÍCIOS

1) resolva as seguintes equações, sendo

a) x /2 - x/4 = 1 /2 (R:2)
b) x/2 - x/4 = 5 (R:20)c) x/5 + x/2 = 7/10 (R:1)d) x/5 + 1 = 2x/3 (R: 15/7)
e) x/2 + x/3 = 1 (R: 6/5)
f) x/3 + 4 = 2x (R: 12/5)
g) x/2 + 4 = 1/3 (R: -22/3)h) 5x/3 - 2/5 = 0 (R: 6/25)
i) x - 1 = 5 - x/4 (R: 24/5)j) X + X/2 = 15 (R:10)
l) 8x/3 = 2x - 9 (R: -27/2)
m) x/2 + 3/4 = 1/6 (R: -7/6)
2) Resolva as seguintes equações

a)x/2 - 7 = x/4 + 5 (R:48)b) 2x - 1/2 = 5x + 1/3 (R: -5/18)
c) x - 1 = 5 - x/4 (R: 24/5)
d) x/6 + x/3 = 18 - x/4 (R: 24)
e) x/4 + x/6 + x/6 = 28 (R:48)
f) x/8 + x/5 = 17 - x/10 (R: 40)
g) x/4 - x/3 = 2x - 50 (R: 24)
h) 5x /2 + 7 = 2x + 4 ( R: -6)i) x/4 - x/6 = 3 (R: 36)
j) 3x/4 - x/6 = 5 (R: 12)
l) x/5 + x/2 = 7/10 (R:1)
m) 2x - 7)/5 = (x + 2)/3 (R:31)
n) 5x/2 = 2x + (x - 2) / 3 (R: -4)o) (x - 3)/4 - (2x - 1) / 5 = 5 (R:-37)




3) Resolva as seguintes equações

a) x/2 + x/3 = (x + 7)/3 (R: 14/3)
b) (x + 2) / 6 + (x +1)/4 = 6 (R: 13)c) (x -2) /3 - (x + 1)/ 4 =4 (R:59)
d) (x - 1) /2 + (x - 2) /3 = (x -3)/4 (R: 5/7)
e) (2x- 3) / 4 - (2 - x)/3 = (x -1) / 3 (R: 13/6)
f) (3x -2) / 4 = (3x + 3) / 8
g) 3x + 5) / 4 - (2x - 3) / 3 = 3 (R: 9)h) x/5 - 1 = 9 (R: 50)
i) x/3 - 5 = 0 (R: 15)j) x/2 + 3x/5=6 (R:60/11)
l) 5x - 10 = (x+1)/2 (R:7/3)
m) (8x - 1) / 2 - 2x = 3 (R: 7/4)
o) (x - 1) /2 + (x - 3)/3 = 6 (R: 9)
p) (5x - 7)/2 = 1/2 + x ( R: 8/3)
q) (2x - 1) / 3 = x - (x - 1)/5 (R:-4)

Equação irracional

EQUAÇÕES IRRACIONAIS

Considere as seguintes equações:

Observe que todas elas apresentam variável ou incógnita no radicando. Essas equações são irracionais.

Ou seja:

Equação irracional é toda equação que tem variável no radicando.

RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO IRRACIONAL
A resolução de uma equação irracional deve ser efetuada procurando transformá-la inicialmente numa equação racional, obtida ao elevarmos ambos os membros da equação a uma potência conveniente.
Em seguida, resolvemos a equação racional encontrada e, finalmente, verificamos se as raízes da equação racional obtidas podem ou não ser aceitas como raízes da equação irracional dada ( verificar a igualdade).
É necessária essa verificação, pois, ao elevarmos os dois membros de uma equação a uma potência, podem aparecer na equação obtida raízes estranhas à equação dada.
Observe alguns exemplos de resolução de equações irracionais no conjunto dos reais.

• 

Solução

Logo, V= {58}.

• 

Solução

Logo, V= { -3}; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional.

• 

Solução

Logo, V= { 7 }; note que 2 é uma raiz estranha a essa equação irracional.

• 

Solução

Logo, V={9}; note que é uma raiz estranha a essa equação irracional.
www.somatematica.om.br

Combinações

Combinação simples é um tipo de agrupamento no estudo sobre análise combinatória. Os agrupamentos formados com os elementos de um conjunto serão considerados combinações simples se os elementos dos agrupamentos diferenciarem apenas pela sua natureza.

Se considerarmos o conjunto B ={A,B,C,D} formados por 4 pontos não colineares (que não pertence a mesma reta), qual a quantidade de triângulos que podemos formar?

Esse é um problema de análise combinatória, pois iremos formar agrupamentos. Nesse caso o agrupamento é formar triângulos utilizando 4 pontos não colineares. Se destacarmos dois agrupamentos formados teremos: ABC e BCA, esses são triângulos formados com os mesmos pontos, mas em ordens diferentes que torna os triângulos iguais. Portanto, os agrupamentos formados nesse exercício são combinações.

As combinações simples podem ser consideradas um tipo particular de arranjo simples, pois os agrupamentos formados nos arranjos são diferenciados pela ordem e pela natureza dos seus elementos. A combinação simples são esses arranjos diferenciados apenas pela natureza de seus elementos.

Considerando o exemplo acima veja todas as possibilidades de triângulos formados com os quatro pontos não colineares:

ABC, BAC, CAB, DAB
ABD, BAD, CAD, DAC
ACB, BCA, CBA, DBA
ACD, BCD, CBD, DBC
ADB, BDA, CDA, DCA
ADC, BDC, CDB, DCB

Percebemos que há vários agrupamentos que se diferem pela ordem de seus elementos, esses representam o mesmo triângulo, por isso que consideramos esse exercício como sendo uma combinação simples, assim a quantidade de combinações simples que os 4 pontos não colineares (A,B,C,D), tomados 3 a 3 irão formar será 4, pois os seus agrupamentos se diferem pela natureza de seus elementos e não pela ordem.

Para encontrar essa quantidade de agrupamentos formados em uma combinação simples utilizamos a seguinte fórmula:

Cn,p = n!
p! (n – p)

n é a quantidade de elementos de um conjunto
p é um número natural menor ou igual a n, que representa a quantidade de elementos que irão formar os agrupamentos.

Substituindo os dados acima na fórmula teremos:

n = 4
p = 3
C4,3 = 4!
3! (4-3)!


C4,3 = 4 . 3!
3! . 1

C4,3 = 4

Saiba mais sobre o noni, o fruto proibido pela Anvisa que é moda na internet

Apesar de diversos sites garantirem os benefícios do noni, a agência cita casos de efeitos colaterais sérios

Apesar de diversos sites garantirem seus benefícios, há suspeita de que o noni desencadeie hepatite e hepatotoxicidade Foto: stock.schng / Divulgação

A Morinda citrifolia, mais conhecida como noni, é o centro de uma polêmica. Originário do sudeste asiático, o fruto amarelado, com cheiro estranho (em alguns lugares, é chamado de fruta de queijo ou fruta de vômito, devido ao odor) e gosto ruim, não é muito conhecido no Brasil, mas bastante popular na Ásia e nas ilhas do Oceano Pacífico. As principais formas de consumo são o suco de noni, as sementes da fruta assadas, o chá das folhas e o extrato em cápsulas — embora os aborígenes australianos prefiram consumi-la crua com sal.

Apesar de alardeado como dono de mais de 101 aplicações medicinais — entre elas, ação anti-inflamatória e antioxidante, melhora do sistema digestivo, e até a cura do câncer —, o alimento é proibido pela Agência Nacional de Vigilância Sanitária (Anvisa). Segundo o órgão, as poucas informações e os estudos toxicológicos disponíveis até o momento são insuficientes para um consumo seguro. Os testes foram realizados somente em ratos. "Com o intuito de proteger e promover a saúde da população, os produtos contendo noni não devem ser comercializados no Brasil como alimento até que os requisitos legais que exigem a comprovação de sua segurança de uso sejam atendidos", diz o informe.

Apesar de diversos sites na internet garantirem os benefícios do noni — com direito a depoimentos de pessoas cujos males supostamente regrediram com o uso —, a agência cita casos de efeitos colaterais sérios. Por exemplo, há suspeita de que o fruto desencadeie hepatite e hepatotoxicidade. A professora de nutrição Juliana Toledo explica que os problemas hepáticos ocorrem porque o fígado é a porta de entrada de qualquer substância no organismo, funcionando como um filtro. Como não há pesquisas conclusivas, não se pode dizer com certeza se a causa do fenômeno é a composição nutricional da fruta ou a ingestão exagerada — a recomendação é de, no máximo, 30ml do suco por dia. Ou seja, menos do que uma xícara de café.

É verdade que existem alguns artigos científicos comprovando os efeitos do noni. A maioria vem de países asiáticos e é escrita a partir do uso feito por consumidores regulares — em geral, incrivelmente longevos. É a chamada medicina baseada em evidências.

— Mas a população asiática tem um estilo de vida completamente diferente do do homem ocidental, cultural e nutricionalmente falando. Não se pode atribuir a longevidade só ao noni, há outros fatores envolvidos. Por isso, não se aceitam esses estudos como base — explica Juliana.

Sob suspeita até segunda ordem

Defensores do noni alegam que a fruta é rica em proxeronina, mas não há testes que provem a presença ou a função real da substância no organismo. Outra alegação é que é rica em antioxidantes, substâncias capazes de combater os radicais livres, responsáveis pelo envelhecimento.

— A fruta é muito nutritiva, e contém mesmo antioxidantes. O problema é que as pessoas acham que os antioxidantes são a solução contra o envelhecimento. Os radicais livres vão surgindo ao longo da vida, não é tão simples erradicá-los. Não há a comprovação científica dos polifenois que dizem existir no noni — alerta a nutricionista Juliana Toledo.

Ela conta que alguns produtos derivados do noni continuam sendo comercializados sob a alegação de que estariam protegidos pela Resolução nº 27/2010 da Anvisa, que isenta alguns alimentos de registro. Porém os fabricantes não podem rotular suas embalagens sem o conhecimento do órgão — e o noni se encaixa como "alimentos com alegações de propriedade funcional e/ou de saúde", que precisam de registro.

— Os produtos acabam sendo vendidos em feiras e farmácias de forma ilegal, enganando o consumidor — alerta.

Apesar da proibição, não é difícil encontrar produtos derivados do noni. Em busca rápida na internet, quatro sites de venda aparecem logo na primeira página, oferecendo sucos, chás, cápsulas e até mudas da planta.http://zerohora.clicrbs.com.br

Dígrafo

Dígrafo é quando duas letras emitem um único som! Teste os dígrafos dessas palavras: assar, banho, arroz, querido.

Percebe que ao pronunciar ss em assar, nh em banho, rr em arroz e qu em querido, emitimos apenas um fonema?

Então, quando isso ocorre, chamamos de dígrafo, o qual compreende o seguinte grupo de letras: lh, nh, ch, rr, ss, qu e gu (seguidos de e ou i), sc, sç, xc, xs.

Observe as palavras: quente e sequência. A primeira possui o dígrafo “qu”. No entanto, a segunda não compreende um dígrafo, uma vez que a vogal “u” é pronunciada.
Da mesma forma ocorre com a dupla “cegueira” e “aguentar”. O “u” no primeiro termo não é pronunciado e, portanto, trata-se de um dígrafo, ao contrário do que acontece no segundo termo.

Portanto, fique atento aos dígrafos “gu” e “qu” seguidos de e ou i!

Vejamos alguns exemplos de palavras com dígrafos:

alho = lh
chuva = ch
ninho = nh
carro = rr
assistir = ss
águia = gu
aquilo = qu
nascer = sc
descer = sc
cresça = sç
exceção = xc
exsurgir = xs


Além desses, há os chamados dígrafos vocálicos, os quais são formados pelas vogais nasais seguidas de “m” ou “n” (am, an, em, en, im, in, om, on, um e un): amparar, antigo, lembrar, encontrar, importar, indicar, ombro, onda, umbigo, fundo.

Interessante: Uma observação que podemos fazer é que toda segunda letra do dígrafo não compreende um fonema, mas sim uma letra diacrítica, ou seja, ela constata que tipo de som deverá ser emitido. Lembre-se também que o “h” não é um fonema, mas uma letra, considerada etimológica, ou seja, que permanece em nosso idioma por uma questão de origem.

IMPORTANTE: Jamais confunda encontro consonantal com dígrafo, pois no primeiro há o encontro de duas consoantes com sons distintos (cartela=rt) e no segundo, como vimos, há a pronúncia de apenas um som (massa).

Por Sabrina Vilarinho
Graduada em Letras
Equipe Brasil Escola

Fração

Frações de frações

Definição: Fração de fração é uma ou mais partes de uma fração

Regra - Para se calcular uma fração, basta fazer a multiplicação das frações.

Redução de fração

Reduzir inteiros a fração imprópria

Regra – Para se reduzir um número inteiro a fração imprópria de denominador conhecido, multiplica-se o número inteiro pelo denominador e escreve-se a fração cujo numerador é o produto obtido e o denominador é o denominador dado.
Seja reduzir 8 inteiros a quartos.
Um inteiro vale 4 quartos: 8 inteiros valerão 8 vezes 4 quartos ou 32/4.

Reduzir um número misto a fração imprópria

Regra – Para se reduzir um número misto a fração imprópria, multiplica-se o número inteiro pelo denominados da fração, e junta-se ao produto o numerador da fração. A soma é o numerador da fração imprópria equivalente procurada; o denominador é o do número misto.
Vamos reduzir o número misto 54/7 a fração imprópria.
Segundo a regra temos o resultado 39/7.

Extrair inteiros de uma fração imprópria

Regra – Para se extrair os inteiros de uma fração imprópria, divide-se o numerador pelo denominador; o quociente dá os inteiros. O resto, se houver, é o numerador de uma fração que tem, como denominador, o denominador da fração imprópria.

Vamos extrair os inteiros da fração imprópria 26/9.

Efetuando-se a divisão, obtém-se o quociente 2 e o resto 8, que é o numerador de uma fração cujo denominador é 9.

A fração imprópria 26/9 contém, pois, 2 inteiros e 8/9.

Simplificar frações

- Simplificar uma fração é representá-la por termos menores, sem lhe alterar o valor.

Simplificam-se as frações para se reconhecer mais facilmente o seu valo e facilitar os cálculos.

A simplificação de frações baseia-se no princípio já visto: Pode-se dividir os dois termos de uma fração por um mesmo número sem lhe alterar o valor.

Reduzir uma fração à mais simples expressão

- Reduzir uma fração à mais simples expressão, é representá-la pelos menores números possíveis.

Obtém-se este resultado, dividindo-se sucessivamente os dois termos da fração por todos por divisores que lhes são comuns:

Na fração 900/1 260.

Os dois termos terminados por zero podem ser divididos por 10, e a fração torna-se 90/126.
Os dois termos desta nova fração são depois divididos por 9. Efetuando-se a operação, obtém-se 10/14, cujos termos, 5 e 7. São primos entre si.

A mais simples expressão da fração 900/1260 é a fração 5/7.

Abrevia-se consideravelmente os cálculos da simplificação, dividindo-se logo os dois termos por seu máximo divisor comum.

Assim o m.d.c. dos dois termos da fração 900/1260 é 180; temos assim a mais simples desta fração:

900/180 = 5
1260/180 = 7

Simplificar frações impróprias ou expressões fracionárias

– Pode-se começar por extrair os inteiros da fração imprópria e, em seguida, pelos processos ordinários, simplificar a nova fração, se existir.

Vamos simplificar a fração imprópria 84/15.

Extraindo os inteiros, temos: 5 inteiros e 9/15. Simplificando 9/15, temos para resultado final: 5 inteiros e 3/5.

(Ensino Fundamental e Médio. São Paulo:ed. Didática Paulista. s/d. Matemática, p.16

Polinômios

A multiplicação com polinômio (com dois ou mais monômios) pode ser realizada de três formas:

Multiplicação de monômio com polinômio.

Multiplicação de número natural com polinômio.

Multiplicação de polinômio com polinômio.

As multiplicações serão efetuadas utilizando as seguintes propriedades:
• Propriedade da base igual e expoente diferente: an . am = a n + m

• Monômio multiplicado por monômio é o mesmo que multiplicar parte literal com parte literal e coeficiente com coeficiente.

Multiplicação de monômio com polinômio

• Se multiplicarmos 3x por (5x2 + 3x – 1), teremos:
3x . ( 5x2 + 3x – 1) → aplicar a propriedade distributiva.

3x . 5x2 + 3x . 3x + 3x . (-1)

15x3 + 9x2 – 3x

Portanto: 3x (5x2 + 3x – 1) = 15x3 + 9x2 – 3x

• Se multiplicarmos -2x2 por (5x – 1), teremos:

-2x2 (5x – 1) → aplicando a propriedade distributiva.

-2x2 . 5x – 2x2 . (-1)

- 10x3 + 2x2

Portanto: -2x2 (5x – 1) = - 10x3 + 2x2

Multiplicação de número natural

• Se multiplicarmos 3 por (2x2 + x + 5), teremos:

3 (2x2 + x + 5) → aplicar a propriedade distributiva.

3 . 2x2 + 3 . x + 3 . 5

6x2 + 3x + 15.

Portanto: 3 (2x2 + x + 5) = 6x2 + 3x + 15.

Multiplicação de polinômio com polinômio

• Se multiplicarmos (3x – 1) por (5x2 + 2)

(3x – 1) . (5x2 + 2) → aplicar a propriedade distributiva.

3x . 5x2 + 3x . 2 – 1 . 5x2 – 1 . 2

15x3 + 6x – 5x2 – 2

Portanto: (3x – 1) . (5x2 + 2) = 15x3 + 6x – 5x2 – 2

• Multiplicando (2x2 + x + 1) por (5x – 2), teremos:

(2x2 + x + 1) (5x – 2) → aplicar a propriedade distributiva.

2x2 . (5x) + 2x2 . (-2) + x . 5x + x . (-2) + 1 . 5x + 1 . (-2)

10x3 – 4x2 + 5x2 – 2x + 5x – 2

10x3+ x2 + 3x – 2

Portanto: (2x2 + x + 1) (5x – 2) = 10x3+ x2 + 3x – 2
Observe que os polinômios são formados através de coeficientes (an, an–1, an–2, ... , a2, a1, a0) pertencentes ao conjunto dos números reais ligados à variável x. São classificados quanto ao grau, observe:

p(x) = 2x + 7 → grau 1

p(x) = 3x2 + 4x + 12 → grau 2

p(x) = 5x³ + 2x² – 4x + 81 → grau 3

p(x) = 10x4 – 3x³ + 2x² + x – 10 → grau 4

p(x) = 4x5 + 2x4 – 3x3 + 5x2 + x – 1 → grau 5


As expressões polinomiais possuem valores numéricos. Para esse modelo de cálculo, basta substituir a incógnita x por um número real. Observe:

Vamos calcular o valor numérico do polinômio p(x) = 2x³ + 5x² + 6x – 10, para x = 3 ou p(3):

p(3) = 2 * (3)³ + 5 * (3)² – 6 * 3 – 10
p(3) = 2 * 27 + 5 * 9 – 18 + 11
p(3) = 54 + 45 – 18 + 11
p(3) = 92

Temos que p(3) = 92

Veja outro exemplo envolvendo o polinômio p(x) = 2x² – 15x + 3, para x = 9 ou p(9):

p(9) = 2 * 9² – 15 * 9 + 3
p(9) = 2 * 81 – 135 + 3
p(9) = 162 – 135 + 3
p(9) = 30

Portanto p(9) = 30


Ao calcularmos o valor numérico de um polinômio e encontrarmos como resultado zero, dizemos que o número trocado por x na expressão é a raiz do polinômio. Por exemplo, na expressão p(x) = x² – 6x + 8, temos que o número real 2 é considerado raiz do polinômio, pois:

p(x) = x² – 6x + 8
p(2) = 2² – 6 * 2 + 8
p(2) = 4 – 12 + 8
p(2) = 0


Na expressão p(x) = –x² + 5x – 6 = 0, verifique se o número real 2 é raiz do polinômio.

p(2) = –(2)² + 5 * 2 – 6
p(2) = –4 + 10 – 6
p(2) = –4 + 10 – 6
p(2) = – 10 + 10
p(2) = 0

Ao verificar p(2) = 0 no polinômio p(x) = –x² + 5x – 6 = 0, concluímos que o número 2 é considerado sua raiz.


Observando mais um exemplo, vamos verificar se no polinômio
p(x) = 4 – (x – 5)² – 2 * (x – 3) * (x + 3) a condição p(3) = 0.

p(x) = 4 – (x – 5)² – 2 * (x – 3) * (x + 3)
p(x) = 4 – (x² – 10x + 25) – 2 * (x² + 3x – 3x – 9)
p(x) = 4 – x² + 10x – 25 – 2 * (x² – 9)
p(x) = 4 – x² + 10x – 25 – 2x² + 18
p(x) = –3x² + 10x – 3

p(3) = –3 * 3² + 10 * 3 – 3
p(3) = –3 * 9 + 30 – 3
p(3) = –27 + 30 – 3
p(3) = – 30 + 30
p(3) = 0

A condição de p(3) = 0 é verificada corretamente para o polinômio p(x) = 4 – (x – 5)² – 2 * (x – 3) * (x + 3). Dessa forma, temos que o número 3 é raiz do polinômio especificado.

Termos semelhantes
Para que um polinômio tenha termos semelhantes ele deverá possuir dois ou mais monômios. Esses termos semelhantes são monômios encontrados em um mesmo polinômio que possui partes literais e expoentes iguais.

Veja o exemplo de polinômios com termos semelhantes:

2x2 – 5x + 3 – 3x2 – 3 + 7x é um polinômio com 6 monômios.

2x2 e – 3x2 são semelhantes, pois as suas partes literais são as mesmas.

– 5x e 7x são semelhantes, pois possuem partes literais iguais.

+3 e – 3 são semelhantes, pois nenhum dos dois possui partes literais.

Sabendo quais são os termos semelhantes no polinômio podemos uni-los, ou seja, colocar um do lado do outro.

2x2 – 3x2 – 5x + 7x + 3 – 3
↓ ↓ ↓
- x2 + 2x + 0

- x2 + 2x

O polinômio encontrado é o polinômio 2x2 – 5x + 3 – 3x2 – 3 + 7x na forma reduzida, ou seja, sem nenhum termo semelhante.


Grau de um polinômio

O grau de um monômio é a soma dos expoentes da sua parte literal;

9x5 possui apenas um expoente, então o monômio é do 5º grau.

8x2 y4 possui dois expoentes, então devemos somá-los 2 + 4 = 6, portanto esse polinômio é de 6º grau.

19abc possui três expoentes, devemos somá-los 1 + 1 + 1 = 3, portanto esse polinômio é de 3º grau.

Num polinômio que possui mais de 2 monômios, para encontrarmos o seu grau é preciso observar se ele está com os termos semelhantes reduzidos se estiver escrito na forma reduzida, o grau que ele irá assumir é o do monômio que tiver o grau maior.

5x4 + 3x2 – 5 está escrito na forma reduzida e o monômio de maior grau é o 5x4, então o polinômio será do 4º grau.

x2 + 4x – x2 + 10, possui termo semelhante (x2), então a sua forma reduzida ficará
4x + 10, o monômio de maior grau é 4x, portanto o grau do polinômio será de 1º grau.
Dado um polinômio p(x), temos que seu valor numérico é tal que x = a é um valor que se obtém substituindo x por a, onde a pertence ao conjunto dos números reais. Dessa forma, concluímos que o valor numérico de p(a) corresponde a p(x) onde x = a. Por exemplo, dado o polinômio p(x) = 4x² – 9x temos que seu valor numérico para x = 2 é calculado da seguinte maneira:

p(x) = 4x² – 9x
p(2) = 4 * 2² – 9 * 2
p(2) = 4 * 4 – 18
p(2) = 16 – 18
p(2) = –2


Se, ao calcularmos o valor numérico de um polinômio determinarmos p(a) = 0, temos que esse número dado por a corresponde à raiz do polinômio p(x). Observe o polinômio p(x) = x² – 6x + 8 quando aplicamos p(2) = 0.

p(2) = 2² – 6 * 2 + 8
p(2) = 4 – 12 + 8
p(2) = 12 – 12
p(2) = 0

Dessa forma, percebemos que o número 2 é raiz do polinômio p(x) = x² – 6x + 8, pois temos que p(2) = 0.



Exemplo 1

Dado o polinômio p(x) = 4x³ – 9x² + 8x – 10, determine o valor numérico de p(3).

p(3) = 4 * 3³ – 9 * 3² + 8 * 3 – 10
p(3) = 4 * 27 – 9 * 9 + 24 – 10
p(3) = 108 – 81 + 24 – 10
p(3) = 41


O valor de p(x) = 4x³ – 9x² + 8x – 10 para p(3) é 41.


Exemplo 2

Determine o valor numérico de p(x) = 5x4 – 2x³ + 3x² + 10x – 6, para x = 2.

p(2) = 5 * 24 – 2 * 23 + 3 * 22 + 10 * 2 – 6
p(2) = 5 * 16 – 2 * 8 + 3 * 4 + 20 – 6
p(2) = 80 – 16 + 12 + 20 – 6
p(2) = 90

De acordo com o polinômio fornecido temos que p(2) = 90.
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Equações logaritmicas

Os estudos sobre logaritmos são atribuídos aos matemáticos John Napier e Henry Briggs. Toda equação deve possuir uma igualdade e uma variável qualquer. Aquelas em que a variável se encontra no logaritmando ou na base serão chamadas de equações logarítmicas.

Observe alguns exemplos:

log2(x + 1) = 10
log5(x + 100) = 3
log3x = 2


Vamos considerar duas situações gerais:

logbx = logby, onde x = y

logbx = a, onde x = ba

Exemplos Resolvidos

1) log4(x+3) = 1
x + 3 = 41
x = 4 – 3
x = 1

2) log 1/5 (log1/2x) = – 1
log1/2x = (1/5) –1
log1/2x = 5
x = (1/2)5
x = 1/32

3) log4(x – 3) = log4(– x + 7)
x – 3 = – x + 7
x + x = 7 + 3
2x = 10
x = 10/2
x = 5

4) log0,2(3x – 2) = – 1
3x – 2 = 0,2–1
3x – 2 = (2/10)–1
3x – 2 = (10/2)1
3x – 2 = 51
3x = 5 + 2
3x = 7
x = 7/3
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Logaritmos

Os logaritmos criados por John Napier e Jobst Burgi, e posteriormente adaptados por Henry Briggs, possuem a seguinte lei de formação:

log_ab = x, onde:

a = base do logaritmo
b = logaritmando
x = logaritmo
O logaritmo de um número b em uma base a é o expoente x que se deve aplicar à base a para se ter o número b. Dessa forma:

log_ab = x ↔ a^x = b

Exemplos:

log₃9 ↔ 3² = 9
log₁₀100 ↔ 10² = 100
log₂16 ↔ 2⁴ = 16
log₉81 ↔ 9² = 81

A partir dessa definição podemos apresentar algumas definições que auxiliarão no desenvolvimento de algumas situações envolvendo logaritmo. Veja:

O logaritmo do número 1 em qualquer base sempre será igual a 0.

log_a1 = 0, pois a⁰ = 1

O logaritmo de qualquer número a na própria base a será igual a 1.

log_aa = 1, pois a¹ = a

O logaritmo de uma potência da base é o expoente, em qualquer base.

log_aa^m = m, pois m * log_aa = m * 1 = m

A potência de base a e expoente logab é igual a b.

a^log_ab = b, pois log_ab = x → a^x = b

Dois logaritmos são iguais, quando seus logaritmandos forem iguais.

log_ab = log_ac ↔ b = c



Exemplos

Aplicar a definição de logaritmo para calcular o valor de x em cada caso:

a) log₃27 = x → 3^x = 27 → x = 3

b) log₈₁x = 3/4 → x = 81^3/4 → x = (3⁴)^3/4 → x = 3^12/4 → x = 3³ → x = 27

c) log₄√2 = x → 4^x = √2 → 2^2x = √2 → 2^2x = 2^1/2 → 2x = 1/2 → x = 1/4

d) log_x8 = 2 → x² = 8 → √x = √8 → x = 2√2

e) log₄(2x – 1) = 1/2 → 2x – 1 = 4^1/2 → 2x – 1 = √4 → 2x – 1 = 2 → 2x = 3 → x = 3/2

f) log₁₈18 = x → 18^x = 18 → x = 1

g) log_x1024 = 2 → x² = 1024 → √x² = √1024 → x = 32

h) log₄0,25 = x → 4^x = 0,25 → 4^x = 25/100 → 4^x = 1/4 → 4^x = 4^–1 → x = –1

i) 16^log₂5 = (2⁴)^log₂5 = (2^log₂5)⁴ = 5⁴ = 625

j) log0,01 = x → 10^x = 0,01 → 10^x = 1/100 → 10^x = 10^–2 → x = –2Os logaritmos foram criados no intuito de facilitar os cálculos envolvendo números muito grandes ou muito pequenos. Os logaritmos reduzem esses números a algumas bases, a mais utilizada é a base decimal. As propriedades operatórias dos logaritmos possuem o objetivo de transformar multiplicações em somas, divisões em subtrações, potenciações em multiplicações e radiciações em divisões. Essas transformações facilitam os cálculos mais extensos.

Logaritmo de um produto

Considerando a, b e c números reais positivos e a ≠ 1, temos a seguinte propriedade:

log_a(b*c) = log_ab + log_ac

Exemplo 1

Dados log2 = 0,301 e log3 = 0,477, determine o log12.

log12 → log12 = log(2 * 2 * 3) → log12 = log2 + log2 + log3 → log12 = 0,301 + 0,301 + 0,477 → log 12 = 1,079

Exemplo 2

Determine o valor de log₂(8*32).

log₂(8*32) = log₂8 + log₂32 = 3 + 5 = 8


Logaritmo de um quociente
Considerando a, b e c números reais positivos e a ≠ 1, temos a seguinte propriedade:

loga(b/c) = log_ab – log_ac
Exemplo 3

Sabendo que log30 = 1,477 e log5 = 0,699, determine log6.

log6 = (30/5) = log30 – log5 = 1,477 – 0,699 = 0,778

Exemplo 4

log₃(6561/81) = log₃6561 – log₃81 = 8 – 4 = 5


Logaritmo de uma potência

Considerando a e b números reais positivos, com a ≠ 1, e m um número real, temos a seguinte propriedade:

log_ab^m = m * log_ab

Exemplo 5

Sabendo que log 2 = 0,3010, calcule o valor de log 64.

log 64 = log 2⁶ = 6 * log 2 = 6 * 0,3010 = 1,806


Exemplo 6

Dado log 2^x = 2,4 e log 2 = 0,3, calcule x.

log 2^x = 2,4 → x*log 2 = 2,4 → x * 0,3 = 2,4 → x = 2,4/0,3 → x = 8


Mudança de base

Para passarmos logab, com a e b positivos e a ≠ 1, para a base c, com c > 0 e c ≠ 1, utilizamos a seguinte expressão:

log_ab = log_cb/ log_ca, com log_ca ≠ 0


Exemplo 7

Passando log₄9 para a base 2.

log₄9 = log₂9 / log₂4 = log₂9 / 2


Exemplo 8

Sabendo que log 4 = 0,60 e log 5 = 0,70, calcule log₅4.

log₅4 = log4 / log5 = 0,60 / 0,70 → log₅4 = 0,86

O sistema de logaritmos neperianos possui como base o número irracional e (e = 2,718...). Esse sistema também é conhecido como sistema de logaritmos naturais, com a condição x > 0. Ele pode ser expresso por:

log_ex = ln x

Transformando base e para a base decimal.

Considere o número real positivo x, para tal temos:

Através da relação demonstrada, podemos resolver os problemas propostos envolvendo a base decimal e a base e.

Exemplo 1
Sabendo que log 5 = 0,70, determine ln5.
Resolução:
ln x = 2,3 * log x → ln 5 = 2,3 * log 5 → ln 5 = 2,3 * 0,70 → ln 5 = 1,61


Exemplo 2
Sendo ln 0,02 = – 3,9, determine log 0,02.
Resolução:Se ln x = 2,3 * log x, então:



Exemplo 3
Dados log 2 = 0,30 e log e = 0,43, calcule o valor de x na equação ex – 8 = 0.
Resolução:

Exemplo 4
Calcular o valor de y na equação,

Resolução:




Exemplo 5
A corrente elétrica que atravessa um circuito é dada por i = 10 * e^–0,02*t, em que i0 é o valor da corrente no instante t = 0 e i é o valor da corrente decorridos t segundos. Determine em quantos segundos a corrente atinge 2% do seu valor inicial. (dado: ln 0,02 = – 4)
Resolução:

A corrente elétrica leva 200 segundos para atingir 2% do seu valor inicial.
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As diferentes formas do plural das palavras terminadas em “-ÃO”

Variadas vezes nos deparamos com palavras terminadas em “ão” e ficamos em dúvida em relação à forma correta de empregarmos o plural. Como por exemplo, as palavras melão, cidadão, chapelão, entre outras.

Mas isso é um fenômeno natural que acomete a maioria das pessoas, em função da supressão de duas disciplinas que faziam parte da grade curricular de gerações anteriores: Latim e Gramática Histórica.
Para entendermos melhor esta questão, é necessário e ao mesmo tempo interessante voltarmos às raízes de algumas palavras.

Por que usamos ora “ÃOS”, ora “ÃES” para formarmos o plural das palavras terminadas em “ÃO”? A Gramática Histórica e o Latim nos ensinam assim. Vejamos:

Estas palavras terminavam no Latim em -ONE; -ANE e -ANU e aportuguesaram-se com finais: - OM; - Ã ou AM e - ÃO. Posteriormente todas passaram a - ÃO.
O plural, no entanto, obedece basicamente às raízes latinas. Assim:

# O plural - ÕES nasceu das palavras terminadas em ONE ou ONES e depois, as palavras na Língua Portuguesa permaneceram do mesmo modo, Como por exemplo:

Conditione - Condições
Coratione - Corações
Intentione - intenções
Natione - nações
Oratione - orações
Perfectione - perfeições
Ratione - razões
Sermone - sermões
Tentatione - tentações

# O plural - ÃES nasceu das palavras terminadas em - AN; -ANE ou -ANES(ás vezes -ANI, -ANIS):
Cane - cães
Pane - pães
Scribane - escrivães
Alemanni - alemães (porque veio pelo italiano e não pelo latim, onde seria Alemanu).
Capelan - capelães (porque veio do provençal, caso viesse direto do latim, o plural seria capelãos, porque no latim e capellanus).
Capitan - Capitães (porque veio pelo italiano, se fosse pelo latim, seria capitãos)
# O plural - ÃOS nasceu:

Das palavras terminadas em -ANU, -ANUS:
Manu - mãos
Germanu - irmãos
Paganus- pagãos
Granu - grãos
Planu - chãos

#As palavras paroxítonas também fazem o plural “-ÃOS”:
Bêncão - bênçãos
Órfão - órfãos
Órgão - órgãos
Sótão - sótãos

Existem certas palavras que permitem as duas terminações: ÃO e ÃES. São elas:

Vilão - vilãos ou vilões
Aldeão - aldeãos ou aldões
Ancião - anciãos - anciões - anciães
Por Vânia Duarte
Graduada em Letras
Equipe Brasil Escola

Pressão Atmosférica

Domiciano Correa Marques da Silva

Experimento realizado pelo físico Evangelista Torricelli.

Se pararmos para analisar, verificaremos que estamos rodeados por uma grande massa de ar. A nossa atmosfera é composta por diversos gases, como o oxigênio, o nitrogênio, o gás carbônico, vapor de água, etc.

Todos esses gases estão fazendo pressão sobre a superfície da Terra e a esta pressão damos o nome de pressão atmosférica. Quem primeiro realizou a experiência para determinar a pressão atmosférica ao nível do mar foi o físico Evangelista Torricelli.

Mas o que é pressão atmosférica?

Como qualquer outro corpo ou objeto, o ar também possui massa, portanto podemos dizer que o ar também tem peso.

Se pegarmos um litro de ar ao nível do mar, por exemplo, podemos verificar que a massa desse ar equivale a 1,3 kg. Podemos determinar o peso de um corpo multiplicando a massa pela aceleração gravitacional no local.

P = m x g P = 1,3 x 10 P = 13N

Dessa forma, verificamos que o ar tem peso; logo, a atmosfera exerce pressão sobre qualquer objeto que esteja mergulhado nela. Definimos pressão atmosfera da seguinte maneira:

Pressão atmosférica é a pressão exercida pelo peso do ar atmosférico sobre qualquer superfície em contato com ele.

Podemos mencionar várias situações do nosso cotidiano que envolvem a ação da pressão atmosférica.

Uma delas é que só conseguimos tomar refrigerante utilizando canudinho graças à pressão atmosférica. Quando sugamos na extremidade do canudo há uma redução na pressão do ar de dentro. A pressão atua na superfície do líquido, empurrando-o para cima. É graças também à pressão atmosférica que conseguimos respirar.

Produtos notaveis

Cubo da Soma (a + b)³

(2x + 3)³

1º passo: elevar o primeiro termo ao cubo → (2x)³ = 8x³
2º passo: realizar a seguinte multiplicação – três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo → 3 * (2x)² * 3 = 36x²
3º passo: realizar a seguinte multiplicação – três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo → 3 * 2x * (3)² = 54x
4º passo: elevar o segundo termo ao cubo → (3)³ = 27
5º passo: somar todos os resultados → 8x³ + 36x² + 54x + 27

Exemplos

(4x + 3)³

1º passo: (4x)³ = 64x³
2º passo: 3 * (4x)² * 3 = 144x²
3º passo: 3 * 4x * (3)² = 108x
4º passo: (3)³ = 27
5º passo: 64x³ + 144x² + 108x + 27

(2x + 3z)³

1º passo: (2x)³ = 8x³
2º passo: 3 * (2x)² * 3z = 36x²z
3º passo: 3 * 2x * (2z)² = 24xz²
4º passo: (3z)³ = 27z³
5º passo: 8x³ + 36x²z + 24xz² + 27z³

(5x + 7z)³

1º passo: (5x)³ = 125x³
2º passo: 3 * (5x)² * 7z = 525x²z
3º passo: 3 * 5x * (7z)² = 735xz²
4º passo: (7z)³ = 343z³
5º passo: 125x³ + 525x²z + 735xz² + 343z³

Produtos notaveis

O quadrado da soma e o quadrado da diferença são expressões algébricas que se enquadram nas condições de produtos notáveis, pois podem ser resolvidas através de generalizações lógicas.

Quadrado da soma (a + b)²

“O primeiro termo elevado ao quadrado mais o dobro do primeiro termo multiplicado pelo segundo termo mais o segundo termo elevado ao quadrado.”

(x + 5)² = (x)² + 2*x*5 + (5)² = x² + 10x + 25

(2x + 4)² = (2x)² + 2*2x*4 + (4)² = 4x² + 16x + 16

(5x + 9)² = (5x)² + 2*5x*9 + (9)² = 25x² + 90x + 81

(6x + 2/3)² = (5x)² + 2*6x*2/3 + (2/3)² = 25x² + 8x + 4/9

(10x² + 12) = (10x²)² + 2*10x²*12 + (12)² = 100x4 + 240x + 144

(x³ + 2x)² = (x³)² + 2*x³*2x + (2x)² = x6 + 4x4 + 4x²

(13x + 20)² = (13x)² + 2*13x*20 + (20)² = 169x² + 520x + 400


Quadrado da diferença (a – b)²

“O primeiro termo elevado ao quadrado menos o dobro do primeiro termo multiplicado pelo segundo termo mais o segundo termo elevado ao quadrado.”


(x – 6)² = (x)² – 2*x*6 + (6)² = x² – 12x +36

(5x – 8)² = (5x)² – 2*5x*8 + (8)² = 25x² – 80x + 64

(9x – 7)² = (9x)² – 2*9x*7 + (7)² = 81x² – 126x + 49

(6x² – 4/6)² = (6x²)² – 2*6x²*4/6 + (4/6)² = 36x4 – 8x² + 16/36 = 36x4 – 8x² + 4/9

(10x² – 12) = (10x²)² – 2*10x²*12 + (12)² = 100x4 – 240x + 144

(x4 – 2x²)² = (x4)² – 2*x4*2x² + (2x²)² = x8 – 4x6 + 4x4

(11x – 6z)² = (11x)² – 2*11x*6z + (6z)² = 121x² – 132xz + 36z²

extraido de www.mundoeducacao.com.br