Fatoração

Professor de Matemática no Colégio Estadual Dinah Gonçalves

E Biologia na rede privada de Salvador-Bahia

Professor Antonio Carlos carneiro Barroso

email accbarroso@hotmail.com

Blog HTTP://ensinodematemtica.blogspot.com eHTTP://accbarroso60.wordpress.com

1) Expressões algébricas fatoradas (fatoração simples).

a) ax + ay + az    = a(x + y + z)

b) 4m² + 6am    =2m(2m 3a)

c) 7xy² - 21x²y = 7xy(y - 3x)

 2) Expressões algébricas fatoradas (por agrupamento)

a) ax + bx + am + bm = x(a + b) + m(a + b) = (a + b).(x + m)

b) 2x + 4y + mx +  2my = 2(x + 2y) + m(x + 2y) = (x + 2y).(2 + m)

3) Expressões algébricas fatoradas (diferença de dois quadrados)

a) 9x² - 16 = (3x - 4).(3x + 4)

b) 25 - 4a²m⁶ = (5 - 2am³.(5 + 2m³)

c) 0, 81b⁴ - 36 = (0,9b² - 6).(0,9b² + 6)

d) (a + 3)² - 9 = (a + 3 - 3).(a + 3 +3) = a(a + 6)

e) (m + 1)² - (k - 2)² = [(m + 1 - (k - 2].[m + 1 + (k -2)] =

 (m +1 - k + 2).(m + 1 + k - 2) = (m - k +3).(m + k - 1)

4) Fatoração de trinômios quadrados perfeitos

a) x² - 4x + 4 =  (x - 2)² = (x - 2).(x - 2)                  

 b) x² - 6x + 9  = (x - 3)² = (x - ).(x - 3)          

c) x² - 10x + 25  = (x - 5)² = (x - 5).(x - 5)              

d) m² + 8m + 16  = (m + 4)² = (m + 4).(m + 4)           

e) p² - 2p + 1 =  (p - 1)² = (p - 1).(p - 1)             

f) k⁴ + 14k² + 49 = (k² + 7)² = (k² + 7).(k² + 7)

g) (m + 1)² - 6(m + 1) + 9 =  (m + 1 - 3)² = (m - 2)² = (m - 2).(m - 2)

6) Fatoração da soma e da diferença de dois cubos

a) a³ + b³ = (a + b).(a² - ab + b²)

b) m³ - 8n³ = m³ - (2n)³ = (m - 2n)(m² + 2mn + 4n²)

c) x⁶ + 64 = (x²)³ + 4³ = (x² + 4).(x⁴ - 4x² + 16)

d) y³ - 125 =  y³ - 5³  = (y - 5).(y² + 5y + 25)

7) Fatore até as expressões tornarem-se irredutíveis:

a) m⁸ - 1 = (m⁴)² - 1² =

 (m⁴ - 1).(m⁴ + 1) =

(m² - 1)(m² + 1).(m⁴ + 1)=

(m - 1).(m + 1).(m² + 1).(m⁴ + 1)

b) ax³ - 10ax² + 25ax = ax(x² - 10x + 25) = ax(x - 5)² = ax(x - 5).(x - 5)

c) 2m³ - 18m = 2m(m² - 9) = 2m(m - 3).(m + 3)

d) [(x -3)² - 4(x - 3) + 4] - [(x - 3)² + 4(x - 3) + 4] = [(x - 3 - 2)²] - [(x - 3 + 2)² = (x - 5)² - (x - 1)²

[(x - 5 - (x - 1)].[x - 5 + (x - 1)] = - 4(2x - 6) = - 4. 2(x - 3) = -8.(x - 3)

Fonte: www.nilsong.com.br

Inequações do 2º grau

As inequações são expressões matemáticas que utilizam na sua formatação, os seguintes sinais de desigualdades:

>: maior que
<: menor que
≥: maior ou igual
≤: menor ou igual
≠: diferente

As inequações do 2º grau são resolvidas utilizando o teorema de Bháskara. O resultado deve ser comparado ao sinal da inequação, com o objetivo de formular o conjunto solução.

Exemplo 1

Vamos resolver a inequação 3x² + 10x + 7 <>.

S = {x Є R / –7/3 < x < –1}

Exemplo 2

Determine a solução da inequação –2x² – x + 1 ≤ 0.

S = {x Є R / x < –1 ou x > 1/2}



Exemplo 3

Determine a solução da inequação x² – 4x ≥ 0.

S = {x Є R / x ≤ 0 ou x ≥ 4}

Exemplo 4

Calcule a solução da inequação x² – 6x + 9 > 0.

S = {x Є R / x <> 3}

Uma inequação será identificada como modular se dentro do módulo tiver uma expressão com uma ou mais incógnitas, veja alguns exemplos de inequações modulares:

|x| > 5

|x| < 5

|x – 3| ≥ 2

Ao resolvermos uma inequação modular buscamos encontrar os possíveis valores que a incógnita deverá assumir, obedecendo às regras resolutivas de uma inequação e as condições de existência de um módulo.

Condição de existência de um módulo, considerando k um número real positivo:

Se |x| < k então, – k < x < k

Se |x| > k então, x < – k ou x > k

Para compreender melhor a resolução de inequações modulares veja os exemplos abaixo:

Exemplo 1

|x| ≤ 6

Utilizando a seguinte definição: se |x| < k então, – k < x < k, temos que:

– 6 ≤ x ≤ 6

S = {x Є R / – 6 ≤ x ≤ 6}


Exemplo 2

|x – 7| <>

Utilizando a seguinte definição: se |x| < k então, – k < x < k, temos que:

– 2 < x – 7 < 2
– 2 + 7 < x < 2 + 7
5 <>

S = {x Є R / 5 <>



Exemplo 3
|x² – 5x | > 6
Precisamos verificar as duas condições:

|x| > k então, x < – k ou x > k

|x| < k então, – k < x < k

Fazendo |x| > k então, x < – k ou x > k
x² – 5x > 6
x² – 5x – 6 > 0
Aplicando Bháskara temos:
x’ = 6
x” = –1
Pela propriedade:
x > 6
x < –1

Fazendo |x| < k então, – k < x < k
x² – 5x < – 6
x² – 5x + 6 < 0
Aplicando Bháskara temos:
x’ = 3
x” = 2
Pela propriedade:
x > 2
x < 3
S = {x Є R / x < –1 ou 2 <> 6}.

Filo Cordados

Pré-sal

Wagner de Cerqueria e Francisco

Localização da camada pré-sal

A descoberta de reservas de hidrocarboneto (petróleo) em rochas calcárias nas porções marinhas do litoral brasileiro é denominada pré–sal. Esse termo é utilizado pelo fato dessas rochas estarem localizadas abaixo de camadas de sal, podendo atingir entre 5 a 7 mil metros de profundidade abaixo do nível do mar.

Desde a década de 1970, geólogos da Petrobras acreditavam na possibilidade da existência de uma reserva petrolífera na camada pré-sal, no entanto, os mesmos eram desprovidos de tecnologia capaz para a realização de pesquisas mais aprofundadas.

Até o momento, a descoberta da camada pré–sal possui aproximadamente 800 quilômetros de extensão e 200 quilômetros de largura, localizada do litoral de Santa Catarina ao do Espírito Santo.

O petróleo encontrado nesta área engloba três bacias sedimentares (Santos, Campos e Espírito Santo), a capacidade estimulada da reserva pode proporcionar ao Brasil a condição de exportador de petróleo. Vários poços de petróleo e gás natural já foram descobertos na camada pré-sal, entre eles estão o Tupi, Guará, Bem te vi, Carioca, Júpiter e Iara.

Tupi, na bacia sedimentar de Santos, é o principal campo de petróleo descoberto, tem uma reserva estimada pela Petrobras de 5 a 8 bilhões de barris de petróleo, sendo considerado uma das maiores descobertas do mundo dos últimos sete anos. Já o poço de Guará, também na Bacia de Santos, tem volumes de 1,1 a 2 bilhões de barris de petróleo leve e gás natural.

Para extrair o óleo e o gás da camada pré-sal será necessário ultrapassar uma lâmina d’água de mais de 2.000m, uma camada de 1.000m de sedimentos e outra de aproximadamente 2.000m de sal. É um processo complexo e que não se sabe ainda as reais consequências ambientais.

Conforme Haroldo Borges Rodrigues Lima, diretor geral da ANP (Agência Nacional do Petróleo, Gás Natural e Biocombustíveis), as descobertas do pré-sal irão triplicar as reservas de petróleo e gás natural do Brasil, a estimativa é que a produção alcance a marca de 50 bilhões de barris.

Em maio de 2009, a Petrobras iniciou o teste de longa duração da área de Tupi, com capacidade para processar até 30 mil barris diários de petróleo. Um mês depois a Refinaria de Capuava, em São Paulo, refinou o primeiro volume de petróleo extraído da camada pré-sal da Bacia de Santos.

Sistema sensorial Órgãos captam estímulos e informações

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

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Microscopia eletrônica mostrando papilas gustativas da língua
O sistema sensorial é um conjunto de órgãos dotados de células especiais chamadas de receptores. Através dos receptores, o indivíduo capta estímulos e informações do ambiente que o cerca e do seu próprio corpo. Os estímulos são transmitidos na forma de impulsos elétricos até o sistema nervoso central. Por sua vez, o sistema nervoso central processa as informações, traduzindo-as em sensações e gerando respostas.

É assim que enxergamos o que está ao nosso redor, sentimos quando alguém nos belisca, percebemos se a água do banho está fria, sentimos o gosto das comidas, entre muitas outras sensações.

Em humanos, os principais órgãos do sistema sensorial são: pele, língua, nariz, ouvidos e olhos. Estes órgãos captam estímulos físicos ou químicos e os transformam em impulsos elétricos, que são transmitidos ao sistema nervoso central.

Pele
A pele é o maior órgão do corpo humano e, além de outras funções, é responsável pelo tato. É através dela que percebemos sensações como calor e dor. A pele possui milhares de células receptoras em sua superfície.

Dentre essas células, encontramos os corpúsculos de Pacini. O corpúsculo é um mecanorreceptor que capta estímulos mecânicos, como movimentos ou alterações na pressão, e os transmite, na forma de impulsos elétricos, para o sistema nervoso central.

Língua
A língua possui receptores chamados de papilas gustativas, responsáveis pelo paladar. As papilas são quimiorreceptoras, isso quer dizer que elas são especializadas em detectar a presença de substâncias químicas.

Existem papilas gustativas especializadas na percepção dos quatro sabores básicos: doce, amargo, azedo e salgado. Cada tipo de papila se localiza numa região específica da língua. A combinação de estímulos nesses quatro tipos de receptores transmite ao sistema nervoso informações acerca, por exemplo, do sabor dos alimentos que ingerimos.

Porém, o olfato também possui um papel importante na percepção dos sabores. É por isso que quando estamos com o nariz entupido não conseguimos sentir direito o gosto dos alimentos.

Nariz
O nariz é o órgão que contém os receptores responsáveis pelo olfato. No interior da cavidade nasal existe um tecido especializado, o epitélio olfativo, que contém milhares de receptores, chamados de células olfativas.

As células olfativas possuem pelos sensoriais que captam moléculas voláteis ou de outras substâncias dispersas no ar inspirado. Em resposta à presença dessas moléculas, as células olfativas produzem estímulos nervosos. Estes são conduzidos até o sistema nervoso central onde são traduzidos em sensações.

O olfato atua em conjunto com o paladar na percepção dos sabores. O olfato também pode nos alertar sobre alimentos estragados, venenosos ou outras substâncias que, se ingeridas, podem causar danos ao nosso organismo.

Ouvidos
Os ouvidos sãos os órgãos responsáveis pela audição e pelo equilíbrio. No interior do ouvido existem células mecanorreceptoras. Estas células captam estímulos mecânicos, traduzindo-os em impulsos nervosos.

Inicialmente, vamos ver como funciona a audição. O som é uma vibração, originada por alterações na pressão, que se propaga através de meios elásticos. As ondas sonoras são captadas pelo ouvido externo, composto pela orelha e o canal auditivo externo.

Ao final do conduto auditivo existe uma membrana que vibra de acordo com a intensidade e a frequência do som, o tímpano. As vibrações do tímpano são transmitidas para um conjunto de pequenos ossículos articulados (martelo, bigorna e estribo) situados no ouvido médio. O movimento desses ossículos promove a passagem do som do ouvido externo para o interno.

A vibração dos ossículos age sobre uma câmara chamada de janela oval. No interior dessa cavidade existe um líquido, denominado perilinfa, no qual estão imersas células receptoras. Estas células são dotadas de pelos sensoriais que captam as vibrações no meio líquido, transformando-as em impulsos nervosos que são transmitidos para o sistema nervoso central.

O ouvido também é responsável pelo equilíbrio e pela percepção dos movimentos. Três regiões do ouvido interno participam dessas funções: o sáculo, o utrículo e os canais semicirculares. O sáculo e o utrículo são pequenas bolsas cheias de líquido e dotadas de células receptoras ciliadas em sua parede. Entre os cílios das células receptoras existem pequenos cristais de carbonato de cálcio denominados otólitos. Conforme a cabeça e o corpo se movimentam, os otólitos também se movem e estimulam os cílios das células sensoriais. Estas transformam o estímulo mecânico em impulso nervoso, que é encaminhado ao sistema nervoso central.

Os canais semicirculares também são preenchidos por líquido e possuem um conjunto de células receptoras ciliadas. Conforme a cabeça e o corpo se movimentam, o líquido no interior dos canais se move e pressiona os cílios das células sensoriais. Estas captam o estímulo e transmitem impulsos nervosos ao sistema nervoso central.

Visão
Os olhos possuem células fotorreceptoras, isto é, capazes de captar estímulos luminosos, produzindo estímulos nervosos transmitidos ao sistema nervoso central. Estas células se situam na retina, uma camada de revestimento interno do olho, e são de dois tipos: bastonetes e cones. Os bastonetes são muito sensíveis a variações na intensidade luminosa, mas não distinguem cores, o que é realizado pelos cones.

Os raios luminosos penetram nos olhos e passam pela pupila. A pupila é uma estrutura capaz de controlar a quantidade de luz que penetra no olho. Em ambientes muito claros ela se fecha; em locais escuros ela se abre.

Após passar pela pupila, os raios atingem o cristalino. O cristalino atua como uma lente que projeta os raios luminosos no fundo dos olhos, onde se encontram os bastonetes e cones. Porém, o cristalino projeta a imagem de ponta-cabeça. A correção da posição é realizada pelo sistema nervoso central.
*Alice Dantas Brites é professora de biologia.

Sistema urinário Conjunto de órgãos filtra o sangue e elimina toxinas

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

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Corte transversal de um rim
O sistema urinário é um conjunto de órgãos responsável pela filtração do sangue. Entre suas funções estão o controle da quantidade de líquidos no organismo (equilíbrio hídrico) e a eliminação, através da urina, de substâncias tóxicas (excretas) ou em excesso.

Em humanos, o sistema urinário é formado por um par de rins, um par de ureteres, pela bexiga e pela uretra.

Os rins são os órgãos responsáveis pela filtração do sangue. Eles se situam na região dorsal do corpo e possuem uma forma similar a de um grão de feijão (mas, é claro, em tamanho bem maior).

Cada rim é formado por milhares de pequenas unidades filtradoras chamadas de néfrons. O néfron é uma estrutura tubular que se inicia numa porção dilatada denominada cápsula de Bowman. No interior da cápsula de Bowman existe uma rede de pequenos capilares que formam o glomérulo de Malpighi. Os capilares do glomérulo desembocam em um duto coletor que recolhe as substâncias filtradas. Esses dutos se ligam a outros canais, formando estruturas maiores, que acabam por formar um duto único, chamado de ureter.

Agora que já conhecemos a estrutura dos rins, vamos ver qual é o caminho do sangue através desses órgãos. O sangue chega ao rim através das artérias renais e segue através de uma série de arteríolas até o glomérulo de Malpighi.

No interior do glomérulo, o sangue é submetido a uma forte pressão, que força a passagem de substâncias dissolvidas no plasma sanguíneo para o interior da cápsula de Bowman. Entre essas substâncias, podemos citar a água, a ureia, pequenas moléculas de sais, glicose e aminoácidos. As proteínas, por serem moléculas grandes, não conseguem passar através da parede dos glomérulos. A esse conjunto de substâncias filtradas é dado o nome de urina primária ou filtrado glomerular.

O filtrado glomerular segue por uma série de alças e dutos até atingir o duto coletor. Durante esse percurso, parte da água e algumas substâncias importantes, como, por exemplo, vitaminas e sais minerais, são reabsorvidos e voltam para a circulação sanguínea. O sangue filtrado deixa o rim através da veia renal.

O produto resultante após a filtração e reabsorção é chamado de urina. A urina deixa os néfrons através dos dutos coletores e chega ao ureter. O ureter leva a urina até a bexiga urinária. A bexiga é um órgão elástico que armazena a urina até ela ser eliminada. Da bexiga parte um canal, chamado uretra, que transporta a urina da bexiga para o meio externo.

Controle da reabsorção de água
Uma das funções do sistema urinário é manter o equilíbrio hídrico do organismo. Ou seja, eliminar ou reabsorver líquidos de acordo com a concentração destes na circulação sanguínea.

Esse controle é realizado por um hormônio chamado de hormônio anti-diurético ou ADH (sigla para o termo em inglês: antidiuretic hormone). O ADH é liberado pela hipófise, uma glândula do sistema endócrino. O hormônio atua nos dutos que deixam os néfrons, favorecendo a reabsorção e, assim, aumentando a quantidade de líquido que retorna ao sangue. Portanto, o resultado é a formação de uma urina mais concentrada. Quando a concentração de líquidos no sangue volta ao normal, a liberação de ADH é inibida e a urina se torna mais diluída.

Problemas do sistema urinário
Existem diversas disfunções ou doenças que afetam os órgãos do sistema urinário. Entre elas, podemos citar a incontinência urinária, a cistite, os cálculos renais e a nefrite.

A incontinência urinária atinge principalmente as mulheres e sua incidência aumenta com a idade. Existem diversos tipos de incontinência, mas, de maneira geral, o problema é caracterizado pela eliminação involuntária de urina através da uretra.

Existem diversas causas para a incontinência urinária, tais como comprometimento da musculatura que controla a micção, inflamações no sistema urinário e doenças que comprimem a bexiga. O tratamento varia de acordo com a causa que provoca a incontinência.

Cistite é o nome dado ao processo de inflamação ou infecção da bexiga, geralmente provocado por bactérias. Alguns dos sintomas da cistite são: aumento da frequência de micção, dor ou ardência ao urinar, febre e dores na região da bexiga. O tratamento é realizado através da administração de antibióticos, receitados de acordo com o tipo de bactéria infectante.

Durante os processos de filtração e reabsorção do sistema urinário pode ocorrer a formação de pequenos cristais de sais minerais e outras substâncias. Dependendo do tamanho dos cristais e de características individuais do organismo, estes podem passar despercebidos ou provocar uma doença conhecida como cálculo renal. No segundo caso, a pessoa sente fortes dores na região dos rins e muita dor ao urinar. Dependendo do tamanho do cálculo, ele pode ser eliminado naturalmente com a urina, ou pode ser necessária uma intervenção cirúrgica para a sua remoção.

A nefrite é uma inflamação nos néfrons que provoca lesões nos glomérulos de Malpighi. Existem dois tipos principais de nefrite: a aguda e a crônica.

A nefrite aguda pode ser causada por alguns vírus ou bactérias. A forma crônica pode ser uma evolução da nefrite aguda ou pode ser uma doença autoimune. No caso da nefrite autoimune, as células do sistema imunológico não reconhecem os glomérulos e passam a atacá-los, provocando as lesões. Retenção de líquidos e aumento da pressão arterial são alguns dos sintomas dessa doença.

Devido ao mau funcionamento dos néfrons, o sangue não é filtrado de maneira apropriada e substâncias tóxicas começam a se acumular no organismo. Em casos muito graves é necessário realizar hemodiálise. A hemodiálise é um procedimento no qual uma máquina realiza a filtração do sangue, ou seja, realiza a função dos rins, desintoxicando o organismo.
*Alice Dantas Brites é professora de biologia.

Cilindro

Introdução aos cilindros
O conceito de cilindro é muito importante. Nas cozinhas encontramos aplicações intensas do uso de cilindros. Nas construções, observamos caixas d'água, ferramentas, objetos, vasos de plantas, todos eles com formas cilíndricas. Existem outras formas cilíndricas diferentes das comuns, como por exemplo o cilindro sinuzoidal obtido pela translação da função seno.
Aplicações práticas: Os cilindros abaixo recomendam alguma aplicação importante em sua vida?

A Construção de cilindros
Seja P um plano e nele vamos construir um círculo de raio r. Tomemos também um segmento de reta PQ que não seja paralelo ao plano P e nem esteja contido neste plano P.
Um cilindro circular é a reunião de todos os segmentos congruentes e paralelos a PQ com uma extremidade no círculo.
Observamos que um cilindro é uma superfície no espaço R³, mas muitas vezes vale a pena considerar o cilindro com a região sólida contida dentro do cilindro. Quando nos referirmos ao cilindro como um sólido usaremos aspas, isto é, "cilindro" e quando for à superfície, simplesmente escreveremos cilindro.
A reta que contém o segmento PQ é denominada geratriz e a curva que fica no plano do "chão" é a diretriz.

Em função da inclinação do segmento PQ em relação ao plano do "chão", o cilindro será chamado reto ou oblíquo, respectivamente, se o segmento PQ for perpendicular ou oblíquo ao plano que contém a curva diretriz.

Objetos geométricos em um "cilindro"
Num cilindro, podemos identificar vários elementos:

• Base
  É a região plana contendo a curva diretriz e todo o seu interior. Num cilindro existem duas bases.
• Eixo
  É o segmento de reta que liga os centros das bases do "cilindro".
• Altura
  A altura de um cilindro é a distância entre os dois planos paralelos que contêm as bases do "cilindro".
• Superfície Lateral
  É o conjunto de todos os pontos do espaço, que não estejam nas bases, obtidos pelo deslocamento paralelo da geratriz sempre apoiada sobre a curva diretriz.
• Superfície Total
  É o conjunto de todos os pontos da superfície lateral reunido com os pontos das bases do cilindro.
• Área lateral
  É a medida da superfície lateral do cilindro.
• Área total
  É a medida da superfície total do cilindro.
• Seção meridiana de um cilindro
  É uma região poligonal obtida pela interseção de um plano vertical que passa pelo centro do cilindro com o cilindro.

Extensão do conceito de cilindro
As características apresentadas anteriormente para cilindros circulares, são também possíveis para outros tipos de curvas diretrizes, como: elipse, parábola, hipérbole, seno ou outra curva simples e suave num plano.
Mesmo que a diretriz não seja uma curva conhecida, ainda assim existem cilindros obtidos quando a curva diretriz é formada por uma reunião de curvas simples. Por exemplo, se a diretriz é uma curva retangular, temos uma situação patológica e o cilindro recebe o nome especial de prisma.
Em função da curva diretriz, o cilindro terá o nome de cilindro: elíptico, parabólico, hiperbólico, sinuzoidal (telha de eternit).

Classificação dos cilindros circulares

• Cilindro circular oblíquo
  Apresenta as geratrizes oblíquas em relação aos planos das bases.
• Cilindro circular reto
  As geratrizes são perpendiculares aos planos das bases. Este tipo de cilindro é também chamado de cilindro de revolução, pois é gerado pela rotação de um retângulo.
• Cilindro eqüilátero
  É um cilindro de revolução cuja seção meridiana é um quadrado.

Volume de um "cilindro"
Em um cilindro, o volume é dado pelo produto da área da base pela altura.

V = A_base × h

Se a base é um círculo de raio r, então:

V = r² h

Exercício: Calcular o volume de um cilindro oblíquo com base elíptica (semi-eixos a e b) e altura h. Sugestão: Veja nesta mesma Página um material sobre a área da região elíptica.

Áreas lateral e total de um cilindro circular reto
Quando temos um cilindro circular reto, a área lateral é dada por:
A_lat = 2 r h
onde r é o raio da base e h é a altura do cilindro.
A_tot = A_lat + 2 A_base
A_tot = 2 r h + 2 r²
A_tot = 2 r(h+r)


Exercício: Dado o cilindro circular equilátero (h=2r), calcular a área lateral e a área total.
No cilindro equilátero, a área lateral e a área total é dada por:
A_lat = 2 r. 2r = 4 r²
A_tot = A_lat + 2 A_base
A_tot = 4 r² + 2 r² = 6 r²
V = A_base h = r². 2r = 2 r³
Exercício: Seja um cilindro circular reto de raio igual a 2cm e altura 3cm. Calcular a área lateral, área total e o seu volume.

• Cálculo da Área lateral
  A_lat = 2 r h = 2 2.3 = 12 cm²
• Cálculo da Área total
  A_tot = A_lat + 2 A_base
  A_tot = 12 + 2 2² = 12 + 8 = 20 cm²
• Cálculo do Volume
  V = Abase × h = r² × h
  V = 2² × 3 = × 4 × 3 = 12 cm³³