Conjunto

Números reais

O conjunto R
O conjunto de números reais é simbolizado pela letra R. Todo número inteiro ou decimal é considerado real.

Estrutura de R

Propriedades da adição

Associativa: (x + y) + z = x + (y + z)
Comutativa: x + y = y + x
Elemento neutro: x + 0 = 0 + x = x
Simétrico Aditivo ou aposto: x + (-x) = (-x) + x = 0

Propriedades de multiplicação

Associativa: (x. y) . z = x . (y. z) Comutativa: x . y = y. x
Elemento neutro: x . 1 = 1 . x = x
Simétrico multiplicativo ou inverso: x . x-1 = x-1 . x = 1

Propriedade distributiva da multiplicação em relação á adição

x . (y + z) = xy + xz

Propriedades da Relação de ordem

Reflexiva: x ≤ x
Anti-simétrica: x ≤ y e y ≤ x ⇒ x = y Transitiva: x ≤ y e y ≤ z ⇒ x ≤ z
Tricotomia ou ordem total: x < y ou x = y ou x > y
Compatibilidade com a adição: x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z
Compatibilidade com a multiplicação:

z > 0 logo, x ≤ y ⇒ x . z ≤ y . z
z < 0 logo, x ≤ z ⇒ x . z ≥ y . z



Valor absoluto

Considere . Sendo assim, o módulo de x (valor absoluto de x), é um número real positivo, representado por |x|. Este número é determinado desta maneira:

x ≥ 0 ⇒ |x| = x

x ≥ 0 ⇒ |x| = - x

ângulos

Ângulo reto

Ângulos retos são duas retas concorrentes que possuem um único ponto em comum. As retas concorrentes estabelecem quatro regiões angulares adjacentes. Quando estas forem congruentes, uma delas definirá uma região de ângulo reto.

Observação:

Equação Exponencial

Estudo das equações exponenciais

O estudo das equações surge a partir do momento em que desejamos calcular um valor desconhecido. Os modelos equacionais mais comuns são aqueles em que a variável (termo desconhecido comumente representado pelas letras x, y e z) se encontra na base da equação, de acordo com os seguintes exemplos:

2x + 3 = 0
4y + 7 = 2
5z – 6 = 0
x²+ 2x – 6 = 0
4x² + 10x = 9
5z³ + 6z² - 2z = 1
Observe que em todas as equações a incógnita se encontra na base.

Na equação exponencial a incógnita se apresenta no expoente de pelo menos uma potência. Observe:

2^x = 32
3^z = 27
3^{y + 9} = 27
4^x+1 = 16^x

Essas equações possuem um modelo de resolução diferente dos outros modelos.
Uma boa metodologia de resolução consiste em reduzir as bases ao mesmo valor, mantendo a base sempre maior que zero e diferente de um. Aplicando essa regra prática podemos desenvolver a seguinte propriedade:

b^x1 = b^x2
x₁ = x₂


Exemplos resolvidos

1) 2^x = 512 (512 = 2⁹)
2^x = 2⁹
x = 9

2) 5^x+2 = 125 (125 = 5³)
5^x+2 = 5³
x+2 = 3
x = 3 – 2
x = 1

3) 2^{4x + 1} * 8 ^{–x + 3} = 16^–1
2^4x+1 * 2 ^{3(–x + 3)} = 2^4(–1)
4x + 1 – 3x + 9 = – 4
4x – 3x = – 4 – 1 – 9
x = – 14


4) 2 ^{x + 1} * 2 ^{3x + 1} = 8 ^{x – 1} 
2 ^{x + 1} * 2 ^{3x + 1} = 2 ^{3(x – 1)}
x + 1 + 3x + 1 = 3x – 3
x + 3x – 3x = – 1 – 1 – 3
x = – 5


5) 2 ^2x+1 – 2 ^x+4 = 2 ^x+2 – 32
2 ^2x * 2 ¹ – 2 ^x * 2 ⁴ = 2 ^x * 2 ² – 32

Considere 2^x = y, então:

2y ² – y * 2 ⁴ = y * 2 ² – 32
2y ² – 16y = 4y – 32
2y ² – 16y – 4y + 32= 0
2y ² – 20y + 32 = 0

Resolvendo a equação do 2º grau, temos:
y’ = 8
y” = 2

2x = 8
2x = 23
x = 3

2x = 2
x = 1

Solução: x = 3 e x = 1

As equações exponenciais possuem diversas aplicações na Biologia, na Química, na Física e em situações matemáticas envolvendo logaritmos.

Por Marcos Noé

Histograma

Na estatística, um histograma é uma representação gráfica da distribuição de frequências de uma massa de medições, normalmente um gráfico de barras verticais. É uma das Sete Ferramentas da Qualidade.

O histograma é um gráfico composto por retângulos justapostos em que a base de cada um deles corresponde ao intervalo de classe e a sua altura à respectiva freqüência. Quando o número de dados aumenta indefinidamente e o intervalo de classe tende a zero, a distribuição de freqüência passa para uma distribuição de densidade de probabilidades.

A construção de histogramas tem caráter preliminar em qualquer estudo e é um importante indicador da distribuição de dados. Podem indicar se uma distribuição aproxima-se de uma função normal, como pode indicar mistura de populações quando se apresentam bimodais.

Histograma:

Gráfico composto por duas linhas perpendiculares onde a altura representa o valor da grandeza, e as grandezas são colocadas na linha horizontal. Sobre cada uma levanta-se uma barra que termina na altura relativa ao valor de sua grandeza. Conhecido também como gráfico de barras.

Representação histográfica, constituída de uma série de retângulos justapostos que têm por base o intervalo de classe. A área de cada retângulo é proporcional à freqüência da classe correspondente e tem grande aceitação nos casos de distribuição contínua de freqüência.

O campo da computação, chamado, processamento de imagem, é um exemplo prático de como histogramas podem ser utilizados. Numa imagem a informação da quantidade de vezes que uma determinada cor se repete representa o histograma dessa imagem. Como as possibilidades de cores são altas, esse tipo de histograma é gerado com base numa foto preto e branco.Uma informação assim sobre a imagem é importante pois pode gerar parâmetros para a avaliação da qualidade da mesma, como nitidez, luminosidade e profundidade.

Etimologia

A etimologia da palavra histograma é incerta. Algumas vezes é dito que essa palavra deriva do termo grego histos "não erguido" (como os mastros do navio ou as barras verticais do histograma) egramma "desenhar, escrever, gravar". Também se fala que a palavra deriva de "historical diagram", Karl Pearson teria introduzido o termo em 1895.

Repórter: Com informações Wikipédia

Quartis

A mediana é o valor que divide a amostra em duas partes iguais, deixando exactamente 50% das observações de cada lado.

Também a poderíamos dividir em quatro partes iguais, cada uma contento 25% dos dados. Nesse caso cada uma das partes seria um quartil.



O primeiro quartil escreve-se abreviadamente Q1/4, correspondendo a 25% dos dados. O segundo quartil Q2/4, corresponde à mediana. O terceiro quartil Q3/4, corresponde a 75% das observações.

O seu cálculo é análogo ao da mediana. Começa-se por determinar a respectiva classe observando as frequências relativas acumuladas.



A amostra também pode ser divida em 10 partes de 10% cada, originando os decis ou em 100 partes de 1% obtendo-se os percentis.


1. Utilizando a Tabela 5, calcula:
- O primeiro quartil, Q1/4
- O segundo quartil, Q2/4
- O terceiro quartil, Q3/4
fonte:estatisticax.blogspot.com.br

Colocação Pronominal

A posição normal dos pronomes átonos é depois do verbo (ênclise).

Isso acontece:

a) quando o verbo abrir o período.

Exemplos:

Ordeno-lhe que saía imediatamente.

Levantei-me assim que você saiu.

b) quando o sujeito - substantivo ou pronome (que não seja de significação negativa) - vier imediatamente antes do verbo, tanto nas orações afirmativas como nas interrogativas.

Exemplos:

O aluno queixava-se do calor.

João convidou-o para sair.

Desde então, ele afastou-se da nossa casa.

Os dois amavam-se desde a infância?



Próclise

A próclise é obrigatória:

a) nas orações negativas (não, nem, nunca, ninguém, nenhum, nada, jamais etc.), desde que não haja pausa entre o verbo e as palavras de negação.

Exemplos:

Ninguém me recuse este favor.

Ninguém o castigou.

Nunca se notou a ausência dele.

Não faz a felicidade dos outros, nem se sente feliz ele mesmo.

b) nas orações exclamativas, começadas por palavras exclamativas, bem como nas orações optativas.

Exemplos:

Como te iludes!

Quanto nos custa dizer a verdade!

Os céus te favoreçam!

Deus o abençoe, meu filho!

Raios o partam!

c) nas orações interrogativas, começadas por palavras interrogativas.

Exemplos:

Por que te afliges tanto?

Quem o obrigou a sair?

d) nas orações subordinadas.

Exemplos:

Quando o recebo em minha casa, fico feliz.

Há pessoas que nos querem bem.

É justo que o ampares.

e) com advérbios e pronomes indefinidos, sem que haja pausa.

Exemplos:

Aqui se aprende a defender a Pátria.

Tudo se fez como você recomendou.

Observação:

Se houver pausa depois do advérbio, prevalecerá a ênclise:

Depois, encaminhei-me para ele.

Com verbos no gerúndio, a regra geral é ainda a ênclise:

Cumprimentou os presentes, retirando-se mudo como entrara.

Porém haverá próclise se o gerúndio vier precedido de:

preposição EM;

advérbio que o modifique diretamente, sem pausa.

Exemplos:

Em se tratando de minorar o sofrimento alheio, podemos contar com a sua colaboração.

Não nos provando essa grave denúncia, a testemunha será processada.



Mesóclise

Ocorrerá mesóclise com futuro do presente e futuro do pretérito, se não houver fator de próclise.

Exemplos:

Far-te-ei o prometido.

Dir-lhe-ia, se viesse.

Colocação dos pronomes átonos nos tempos compostos

Nos tempos compostos, os pronomes átonos ficam junto do verbo auxiliar e nunca do particípio, podendo ocorrer próclise, ênclise ou mesóclise.

Exemplos:

Os alunos tinham-se levantado. (ênclise ao auxiliar)

Nunca a tínhamos encontrado. (próclise ao auxiliar)

Ter-lhe-ia sido nociva alguma de minhas prescrições? (mesóclise ao auxiliar)

Colocação dos pronomes átonos nas locuções verbais

a) Verbo auxiliar + infinitivo

NÃO HAVENDO FATOR DE PRÓCLISE:

Devo dizer-lhe a verdade. (ênclise ao infinitivo)

Devo-lhe dizer a verdade. (ênclise ao auxiliar)

HAVENDO FATOR DE PRÓCLISE:

Não me devo calar. (próclise ao auxiliar)

Não devo calar-me. (ênclise ao infinitivo)

b) Verbo auxiliar + preposição + infinitivo

NÃO HAVENDO FATOR DE PRÓCLISE:

Deixou de contratá-la. (ênclise ao infinitivo)

Deixou de a contratar. (próclise ao infinitivo)

HAVENDO FATOR DE PRÓCLISE:

Não a deixou de contratar. (próclise ao auxiliar)

Não deixou de contratá-la. (próclise ao infinitivo)

c) Verbo + auxiliar + gerúndio

NÃO HAVENDO FATOR DE PRÓCLISE:

Vou-me arrastando.

Vou arrastando-me.

HAVENDO FATOR DE PRÓCLISE:

Não o estou criticando.

Observação:

Na literatura já aparece o pronome átono proclítico ao verbo principal, pois isso ocorre na linguagem falada do Brasil.

"Você está me machucando."

(Fernando Sabino)

"Mas aos poucos foi se adaptando."

(Vivaldo Coaracy)

Autoria: Fernando Sérgio Zucoloto

Análise Sintática

Conceitos essenciais

Em uma análise sintática podemos ter:

1- Frase

É a reunião de palavras que expressam uma idéia completa, constitui o elemento fundamental da linguagem, não precisam necessariamente conterem verbos.
Ex.:"Final de ano, início de tormento". ( Revista Nova Escola, 11/00)

2- Oração

É idéia que se organiza em torno de um verbo.
Ex.: "Tudo começa com o pagamento da dívida." ( Revista Vida Pessoal, 12/99, p.07)

O verbo pode estar elíptico (não aparece, mas existe)
Ex.: "O Jeca-Tatu de Monteiro Lobato fez tanto sucesso quanto (fizeram) os Fradinhos que Henfil lançou nas páginas do Pasquim." ( Revista Época, 24.05.99, p.06 )

3- Período

É o conjunto de orações. Ele pode ser constituído por uma ou mais orações.
O período pode ser:
simples- constituído por apenas uma oração
Ex.: "Macunaíma é o herói com muita preguiça e sem nenhum caráter". (Época, 24.05.99, p.7)

Composto- constituído por mais de uma oração.
Ex.: "Nós não podemos fingir /que as crianças não têm inconsciente".
(Nova Escola, 11/00)

Autoria: Judson Nascimento Rios

Racionalização de radicais

Operações com conjuntos

Professor de Matemática e Ciências Antonio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

email accbarroso@hotmail.com

Blog HTTP://ensinodematemtica.blogspot.com.br

Reunião ou União

Consideremos os dois conjuntos:

A = {b, l, o, g, i, e} e B = {b, v, i, l, c, h, e}

Podemos pensar num novo conjunto C, constituído por aqueles elementos que pertencem a A ou que pertencem a B. No exemplo em questão esse novo conjunto é:

C = {b, l, o, g, v, i, c, h, e}

Repare que o conjunto C foi formado a partir dos conjuntos A e B, onde os elementos repetidos (os que estão em A e em B) foram escritos apenas uma vez, e dizemos que se trata da reunião (ou união) do conjunto A com o conjunto B. A reunião (ou união) de A e de B (ou de A com B) é usualmente representada por A U B. Com esta notação tem-se:

A U B = {b, l, o, g, v, i, c, h, e}

Esse exemplo sugere-nos a seguinte definição geral para a reunião de conjuntos.
Definição 1. Dados dois conjuntos quaisquer A e B, chama-se união ou reunião de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um desses conjuntos (podendo, evidentemente, pertencer aos dois), isto é, o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. Em símbolos:

Exemplos:

• {1; 2} U {3; 4} = {1; 2; 3; 4}
• {n, e, w, t, o, n} U {h, o, r, t, a} = {a, e, h, n, o, r, t, w}

A definição 1 nos diz que um elemento x pertencer a A U B é equivalente a dizer que uma das proposições “x pertence A” ou “x pertence a B” é verdadeira. Desse fato decorre que:
Propriedades da União
Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer. Então são verdadeiras as seguintes propriedades:

1. Idempotência: A U A = A -> A união de um conjunto qualquer A com ele mesmo é igual a A;
2. Comutativa: A U B = B U A;
3. Elemento Neutro: Ø U A = A U Ø = A -> O conjunto Ø é o elemento neutro da união de conjuntos;
4. Associativa: (A U B) U C = A U (B U C).

Demonstração da propriedade comutativa:
Da definição da união de conjuntos temos:

Como A U B é o conjunto dos elementos de U (universo) que, ou pertencem a A, ou pertencem a B e B U A é o conjunto dos elementos de U que, ou pertencem a B, ou pertencem a A, e as proposições p v q (p ou q) e q v p (q ou p) têm o mesmo valor lógico, concluí-se que a propriedade é verdadeira.

Intersecção

Seja A o conjunto dos eleitores que votaram em Lula para Presidente e B o conjunto dos eleitores que votaram em Arlete para Governadora do DF, no primeiro turno das eleições de 2006. É certo supor que houve eleitores que votaram simultaneamente nos dois candidatos no primeiro turno. Assim somos levados a definir um novo conjunto, cujos elementos são aqueles que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. Esse novo conjunto nos leva à seguinte definição geral.
Definição 2. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Chamaremos intersecção de A e de B (ou de A com B) a um novo conjunto, assim definido:

Exemplos:

Da definição de intersecção resulta que:

Os fatos acima nos diz que A intersecção B é um subconjunto de A e de B, ou seja:

Propriedades da Intersecção
Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer. Então são verdadeiras as seguintes propriedades:
1. Idempotência:

2. Comutativa:

3. Elemento Neutro – O conjunto universo U é o elemento neutro da intersecção de conjuntos:

4. Associativa:

Demonstração da propriedade associativa:
O conjunto do primeiro membro da igualdade é constituído pelos elementos x pertencentes a U tais que (por definição):

onde na segunda passagem foi utilizada, novamente, a definição de intersecção entre os conjuntos B e C. Tendo em vista que a proposição p ^ (q ^ r) tem o mesmo valor lógico da proposição (p ^ q) ^ r vem que esse conjunto é constituído por elementos de U tais que:

Assim, fica demonstrado que o primeiro conjunto da igualdade está contido no segundo. Para concluir a demonstração, isto é, provar que o segundo conjunto está contido no primeiro, é só seguir o caminho inverso
Quando dois conjuntos quaisquer A e B não têm elemento comum, dizemos que A e B são conjuntos disjuntos. Em outras palavras, dois conjuntos são disjuntos quando a intersecção entre eles é igual ao conjunto vazio.

Propriedades da União e Intersecção

Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer, então valem as seguintes propriedades que inter-relacionam a união e intersecção de conjuntos:

Note que a propriedade 3 é a distributiva da união em relação à intersecção e a 4 a distributiva da intersecção em relação à união.

Diferença

Seja A o conjunto dos eleitores que votaram em Lula para Presidente e B o conjunto dos eleitores que votaram em Arlete para Governadora do DF, no primeiro turno das eleições de 2006. É certo pensar que teve eleitores que votaram em Lula mas não votaram em Arlete. Isto nos leva ao conjunto dos elementos de A que não são elementos de B.
Definição 3. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Chamaremos a diferença entre A e B o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B.

Exemplos:

• {a, b, c} – {a, c, d, e, f} = {b}
• {a, b} – {e, f, g, h, i} = {a, b}
• {a, b} – {a, b, c, d, e} = Ø

Antes de prosseguirmos apresento, a título de ilustração, um diagrama de Euler-Venn com os conceitos até aqui tratados, onde a diferença corresponde à parte branca de A, a intersecção à parte cinza claro e a união à essas duas partes mais a cinza escuro.

Note que as propriedades 1. e 2. acima podem ser facilmente visualizadas nesse diagrama.

Complementar de B em A

Definição 4. Dados os conjuntos A e B quaisquer, com B contido em A, chama-se complementar de B em relação a A o conjunto A – B, e indicamos como:

Exemplos:

• A = {a, b, c, d, e, f} e B = {a, b} => complementar: A – B = {c, d, e, f}
• A = B = {1} => complementar: A – B = Ø

Observe que nos exemplos acima a condição para que o complementar de B em relação a A esteja definido é cumprida (B contido em A).
Propriedades da Complementação
Sendo B e C subconjuntos de A, valem as propriedades a seguir:

Vamos demonstrar apenas a primeira parte da propriedade 1. As demais deixo como exercício, me colocando à disposição para sanar eventuais dúvidas.
Da definição de intersecção de conjuntos e do complementar temos que:

Referências

1. Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977;
2. Matemática para o Ensino Médio: Volume Único, Manoel Jairo Bezerra, São Paulo, Editora Scipione, 2001.

Problemas do 2º grau

Professor de Matemática Antonio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

email accbarroso@hotmail.com

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Problemas II

Nesta seção, vamos resolver alguns problemas que exigem a aplicação de equações do 2º grau.

Devemos:

1) Construir as sentenças matemáticas

2) Resolver a equação

3) Interpretar as respostas obtidas


Exemplos:

1) Quais são os números inteiros consecutivos, cujo produto é 12?

Sendo x e (x+1) os números:

x.(x+1) = 12 » x²+x-12=0

Aplicando a fórmula de Bháskara:



x= 3 e x`=-4, interpretando o problema, concluímos que os dois números consecutivos são 3 e 4 ou -4 e -3.

2) A soma de dois números é 12 e a soma de seus quadrados é 74. Determine os dois números.

Sendo x e y os dois números, concluímos que:

x + y = 12 » y=12-x ... a
x²+y²=74 ... b

Substituindo a em b:

x²+(12-x)²=74 » x²+144-24x+x²=74 » 2x²-24x+70=0

Fatorando temos: 2(x²-12x+35)=0

Aplicando a fórmula de Bháskara em x²-12x+35:



x = 5 e x`= 7

Logo, os números procurados são 5 e 7.

3) Um pai tinha 30 anos quando seu filho nasceu. Se multiplicarmos as idades que possuem hoje, obtém-se um produto que é igual a três vezes o quadrado da idade do filho. Quais são as suas idades?

-Sendo x a idade do filho, a idade do pai será (x+30)

Logo: x(x+30)=3x² » x²+30x=3x² » 2x²-30x=0

Aplicando a fórmula de Bháskara temos:



Logo, x=0 e x`=15

Como x=0 não representa a idade do filho, concluímos que o filho possui 15 anos e como a idade do pai é representado por x+30, concluímos que o pai possui 45 anos

Resp: A idade do filho e de 15 anos e a do pai é de 45 anos

4) Os Elefantes de um zoológico estão de dieta juntos, num período de 10 dias devem comer uma quantidade de cenouras igual ao quadrado da quantidade que um coelho come em 30 dias. Em um dia os elefantes e o coelho comem juntos1.444 kg de cenoura. Quantos Kg de cenoura os elefantes comem em 1 dia?
[Resolução]
Sendo x a quantidade (Kg) de cenoura que um elefante come por dia e y a quantidade (Kg) de cenoura que um coelho come por dia.

-Pelo enunciado:
-Num período de 10 dias devem comer uma quantidade de cenouras igual ao quadrado da quantidade que um coelho come em 30 dias
10x = (30.y)²
10x = 900y²

Simplificando:
x=90y²

-Em um dia os elefantes e o coelho comem juntos 1.444 kg de cenoura
x+y=1444

- Resolvendo o sistema:

x + y = 1444
x = 90 y²

Substituindo o valor da segunda equação na primeira:


Resposta: O coelho come 4 kg de cenoura por dia e os elefantes comem 1440 kg de cenoura por dia.

Extraido do site www.exatas.mat.br

Geometria Analítica

1 - Introdução
A Geometria Analítica é uma parte da Matemática , que através de processos particulares , estabelece as relações existentes entre a Álgebra e a Geometria. Desse modo , uma reta , uma circunferência ou uma figura podem ter suas propriedades estudadas através de métodos algébricos .
Os estudos iniciais da Geometria Analítica se deram no século XVII , e devem-se ao filósofo e matemático francês René Descartes (1596 - 1650), inventor das coordenadas cartesianas (assim chamadas em sua homenagem), que permitiram a representação numérica de propriedades geométricas. No seu livro Discurso sobre o Método, escrito em 1637, aparece a célebre frase em latim "Cogito ergo sum" , ou seja: "Penso, logo existo".
1.1 - Coordenadas cartesianas na reta
Seja a reta r na Fig. abaixo e sobre ela tomemos um ponto O chamado origem.
Adotemos uma unidade de medida e suponhamos que os comprimentos medidos a partir de O, sejam positivos à direita e negativos à esquerda.

O comprimento do segmento OA é igual a 1 u.c (u.c = unidade de comprimento). É fácil concluir que existe uma correspondência um a um (correspondência biunívoca) entre o conjunto dos pontos da reta e o conjunto R dos números reais. Os números são chamados abscissas dos pontos. Assim, a abscissa do ponto A’ é -1, a abscissa da origem O é 0, a abscissa do ponto A
é 1, etc.
A reta r é chamada eixo das abscissas.

1.2 - Coordenadas cartesianas no plano
Com o modo simples de se representar números numa reta, visto acima, podemos estender a idéia para o plano, basta que para isto consideremos duas retas perpendiculares que se interceptem num ponto O, que será a origem do sistema. Veja a Fig. a seguir:

Dizemos que a é a abscissa do ponto P e b é a ordenada do ponto P.
O eixo OX é denominado eixo das abscissas e o eixo OY é denominado eixo das ordenadas.
O ponto O(0,0) é a origem do sistema de coordenadas cartesianas.
Os sinais algébricos de a e b definem regiões do plano denominadas QUADRANTES.
No 1º quadrante, a e b são positivos, no 2º quadrante, a é negativo e b positivo, no 3º quadrante, ambos são negativos e finalmente no 4º quadrante a é positivo e b negativo.

Observe que todos os pontos do eixo OX tem ordenada nula e todos os pontos do eixo OY tem abscissa nula. Assim, dizemos que a equação do eixo OX é y = 0 e a equação do eixo OY é
x = 0.
Os pontos do plano onde a = b, definem uma reta denominada bissetriz do 1º quadrante, cuja equação evidentemente é y = x.
Já os pontos do plano onde a = -b (ou b = - a), ou seja, de coordenadas simétricas, definem uma reta denominada bissetriz do 2º quadrante, cuja equação evidentemente é y = - x.
Os eixos OX e OY são denominados eixos coordenados.

Exercícios Resolvidos

1) Se o ponto P(2m-8 , m) pertence ao eixo dos y , então :
a) m é um número primo
b) m é primo e par
c) m é um quadrado perfeito
d) m = 0
e) m <>
Solução:Se um ponto pertence ao eixo vertical (eixo y) , então a sua abscissa é nula.
Logo, no caso teremos 2m - 8 = 0, de onde tiramos m = 4 e portanto a alternativa correta é a letra C, pois 4 é um quadrado perfeito (4 = 2²).
2) Se o ponto P(r - 12 , 4r - 6) pertença à primeira bissetriz , então podemos afirmar que :
a) r é um número natural
b) r = - 3
c) r é raiz da equação x³ - x² + x + 14 = 0
d) r é um número inteiro menor do que - 3 .
e) não existe r nestas condições .
Solução:
Os pontos da primeira bissetriz (reta y = x), possuem abscissa e ordenada iguais entre si. Logo, deveremos ter: r - 12 = 4r - 6 de onde conclui-se r = - 2.
Das alternativas apresentadas, concluímos que a correta é a letra C, uma vez que -2 é raiz da equação dada. Basta substituir x por -2 ou seja:
(-2)³ - (-2)² + (-2) + 14 = 0 o que confirma que -2 é raiz da equação.
3) Se o ponto P(k , -2) satisfaz à relação x + 2y - 10 = 0 , então o valor de k ² é :
a) 200
b) 196
c) 144
d) 36
e) 0
Solução:
Fazendo x = k e y = -2 na relação dada, vem: k + 2(-2) - 10 = 0.
Logo, k = 14 e portanto k² = 14² = 196.
Logo, a alternativa correta é a letra B.

2 - Fórmula da distância entre dois pontos do plano cartesiano
Dados dois pontos do plano A(Xa,Ya) e B(Xb,Yb) , deduz-se facilmente usando o teorema de Pitágoras a seguinte fórmula da distancia entre os pontos A e B:

Esta fórmula também pode ser escrita como: d²_AB = (X_b - X_a)² + (Y_b - Y_a)² , obtida da anterior, elevando-se ao quadrado (quadrando-se) ambos os membros.

Exercício Resolvido

O ponto A pertence ao semi-eixo positivo das ordenadas ; dados os pontos B(2 , 3) e C(-4 ,1) , sabe-se que do ponto A se vê o segmento BC sob um ângulo reto . Nestas condições podemos afirmar que o ponto A é :
a) (3,0)
b) (0, -1)
c) (0,4)
d) (0,5)
e) (0, 3)
Solução:
Como do ponto A se vê BC sob um ângulo reto, podemos concluir que o triângulo ABC é retângulo em A. Logo, vale o teorema de Pitágoras: o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Portanto, podemos escrever: AB² + AC² = BC² (BC é a hipotenusa porque é o lado que se opõe ao ângulo reto A). Da fórmula de distância, podemos então escrever, considerando que as coordenadas do ponto A são (0,y) , já que é dado no problema que o ponto A está no eixo dos y e portanto sua abscissa é nula:
AB² = ( 0 - 2 )² + ( y - 3 )² = 4 + ( y - 3 )²AC² = ( 0 - (-4))² + ( y - 1)² = 16 + ( y - 1 )²BC² = ( 2 - (-4))² + ( 3 - 1 )² = 40
Substituindo, vem: 4 + ( y - 3 )² + 16 + ( y - 1 )² = 40 \ ( y - 3 )² + ( y - 1)² = 40 - 4 - 16 = 20
Desenvolvendo, fica: y² - 6y + 9 + y² - 2y + 1 = 20 \ 2y² - 8y - 10 = 0 \ y² - 4y - 5 = 0 , que resolvida, encontramos y = 5 ou y = -1. A raiz y = -1 não serve, pois foi dito no problema que o ponto A está no semi-eixo positivo . Portanto, o ponto procurado é A(0,5), o que nos leva a concluir que a alternativa correta é a letra D.
3 - Ponto médio de um segmento

Dado o segmento de reta AB , o ponto médio de AB é o ponto M Î AB tal que AM = BM .
Nestas condições, dados os pontos A(x₁ , y₁) e B(x₂ , y₂) , as coordenadas do ponto médio
M(x_m , y_m) serão dadas por:

Exercício Resolvido

Sendo W o comprimento da mediana relativa ao lado BC do triângulo ABC onde A(0,0), B(4,6) e C(2,4) , então W² é igual a:
a) 25
b) 32
c) 34
d) 44
e) 16
Solução:
Chama-se mediana de um triângulo relativa a um lado, ao segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. Assim, a mediana relativa ao lado BC será o segmento que une o ponto A ao ponto médio de BC. Das fórmulas de ponto médio anteriores, concluímos que o ponto médio de BC será o ponto M( 3, 5). Portanto, o comprimento da mediana procurado será a distância entre os pontos A e M. Usando a fórmula de distância encontramos AM = Ö 34 ou seja raiz quadrada de 34. Logo, W = Ö 34 e portanto W² = 34, o que nos leva a concluir que a resposta correta está na alternativa C.
4 - Baricentro de um triângulo
Sabemos da Geometria plana , que o baricentro de um triângulo ABC é o ponto de encontro das 3 medianas . Sendo G o baricentro , temos que AG = 2 . GM onde M é o ponto médio do lado oposto ao vértice A (AM é uma das 3 medianas do triângulo).
Nestas condições , as coordenadas do baricentro G(x_g , y_g) do triângulo ABC onde A(x_a , y_a) , B(x_b , y_b) e C(x_c , y_c) é dado por :


Conclui-se pois que as coordenadas do baricentro do triângulo ABC, são iguais às médias aritméticas das coordenadas dos pontos A , B e C.
Assim, por exemplo, o baricentro (também conhecido como centro de gravidade) do triângulo ABC onde A(3,5) , B(4, -1) e C(11, 8) será o ponto G(6, 4). Verifique com o uso direto das fórmulas.
Exercício resolvido
Conhecendo-se o baricentro B(3,5), do triângulo XYZ onde X(2,5) , Y(-4,6) , qual o comprimento do segmento BZ?
Solução:Seja o ponto Z(a,b). Temos, pela fórmula do baricentro:
3 = (2 - 4 + a) / 3 e 5 = (5 + 6 + b) / 3
Daí, vem que a = 11 e b = 4. O ponto Z será portanto Z(11, 4).
Usando a fórmula da distância entre dois pontos, lembrando que B(3,5) e Z(11,4),
encontraremos BZ = 65^1/2 u.c. (u.c. = unidades de comprimento).
Agora resolva este:
Os pontos A(m, 7), B(0, n) e C(3, 1) são os vértices de um triângulo cujo baricentro é o ponto
G(6, 11). Calcule o valor de m² + n².
Resposta: 850

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Cobras-cegas e cecílias

As cobras-cegas, ou cecílias, são animais da Classe Amphibia, de uma Ordem chamada Gymnophiona. Tais indivíduos, de corpo cilíndrico e alongado, não possuem patas e, diferentemente das serpentes e anfisbenas (cobras-de-duas-cabeças), há ausência de escamas. Além destas características, a pele das cobras-cegas é úmida, apresentando anéis queratinizados em todo o seu comprimento. Os olhos são atrofiados, mas a presença de tentáculos sensoriais auxilia quanto a esta função. Tais animais, ainda, possuem dentes que auxiliam na alimentação dos filhotes.

Os gimnofionos costumam viver enterrados (hábito fossorial) ou na superfície de solos úmidos, se alimentando de pequenos animais, como cupins e formigas.

Quanto à reprodução, machos possuem o falodeu: órgão que permite a fecundação interna. Ao nascerem, os filhotes, na maioria das espécies, recebem cuidados das mães até que adquiram maior independência.

Segundo a Sociedade Brasileira de Herpetologia – ciência esta que estuda os répteis e anfíbios – são conhecidas no Brasil, atualmente, 26 espécies de Gimnofionos.

Por Mariana Araguaia
Graduada em Biologia

SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU

SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU

I – INTRODUÇÃO:
Os sistemas de equação são ferramentas muito comuns na resolução de problemas em várias áreas ( matemática, química, física, engenharia,...) e aparecem sempre em concursos e exames, como é o caso do vestibular. Os sistemas, geralmente, são resolvidos com uma certa facilidade o que causa muitas vezes uma desatenção, por parte do aluno, já que ele não tem dificuldade para encontrar a solução do sistema. Mas ele esquece que a dificuldade está na armação e principalmente na solução final da questão. Os sistemas são ferramentas que mesmo funcionando necessitam de alguém que saiba o construir com elas.

II – MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU
Além de saber armar o sistema é bom saber fazer a escolha pelo método mais rápido de resolução.
Vou apresentar três métodos sendo que o mais utilizado é o método da adição.

1º) método da adição
Este método consiste em deixar os coeficientes de uma incógnita opostos. Desta forma, somando-se membro a membro as duas equações recai-se em um equação com uma única incógnita.
EXEMPLO: 2x + y = 5
2x + 3y = 2
1º passo: vamos multiplicar a primeira linha por -1 para podermos cortar –2x com 2x

2x + y = 6 . ( - 1 ) - 2x - y = - 6
2x + 3y = 2 2x + 3y = 2
2y = - 4
y = -4/2
y = - 2
2º passo: Substituir y = - 2, em qualquer um das equações acima e encontrar o valor de x.

2x + y = 6
2x + ( -2 ) = 6
2x – 2 = 6
2x = 6 + 2
x = 8/2
x = 4

3º passo: dar a solução do sistema.

S = { (4, -2) }

2º) método da substituição
Este método consiste em isolar uma incógnita numa equação e substituí-la na outra equação do sistema dado, recaindo-se numa equação do 1º grau com uma única incógnita.
EXEMPLO: 2x + y = 5
2x + 3y = 2
1º passo: vamos isolar o y na primeira equação para podermos substituir na Segunda equação.

2x + y = 6 \ 2x + y = 6 \ y = 6 – 2x
2x + 3y = 2


2º passo: Substituir y = 6 – 2x, na segunda equação para encontrar o valor de x.

2x + 3y = 2
2x + 3.( 6 – 2x ) = 2
2x + 18 – 6x = 2
- 4x = 2 – 18
- 4x = - 16
- x = -16/4
- x = - 4 . ( - 1 )
x = 4

3º passo: Substituir x = 4 em y = 6 – 2x, para encontrar o valor de y.
y = 6 – 2x
y = 6 – 2.4
y = 6 – 8
y = -2


4º passo: dar a solução do sistema.

S = { (4, -2) }


3º) método da igualdade
Este método consiste em isolar uma incógnita numa equação e a mesma incógnita na outra, depois basta igualar as duas, recaindo-se numa equação do 1º grau com uma única incógnita.
EXEMPLO: 2x + y = 5
2x + 3y = 2


1º passo: vamos isolar o y na primeira e na segunda equação equação para podermos igualar as equações.

2x + y = 6 \ 2x + y = 6 \ y = 6 – 2x
2x + 3y = 2 \ 2x + 3y = 2 \ y = ( 2 – 2x ) / 3


2º passo: igualar as duas equações para encontrar o valor de x.
6 – 2x = ( 2 – 2x ) / 3
3.( 6 – 2x ) = 2 – 2x
18 – 6x = 2 – 2x
2x – 6x = 2 – 18
-4x = -16
-x = -16/4
-x = -4 . ( -1 )
x = 4

3º passo: Substituir x = 4 em y = 6 – 2x, para encontrar o valor de y.
y = 6 – 2x
y = 6 – 2.4
y = 6 – 8
y = -2

4º passo: dar a solução do sistema.

S = { (4, -2) }


Como podemos observar, independente do método, a solução é a mesma. Então basta escolher o método que seja mais rápido e seguro.

APLICAÇÕES DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES

01 – Num depósito existem 24 extintores de incêndio, sendo de espuma química e dióxido de carbono. Sabendo-se que o de dióxido de carbono é o triplo do de espuma química, conclui-se que o número de extintores de espuma química existentes nesse depósito é:
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6

RESOLUÇÃO:
Vamos observar que é melhor adotar as iniciais das palavras. Pois se adotarmos x e y fica um pouco confuso na hora de dar a resposta.

E = número de extintores de espuma química
D = número de extintores de dióxido de carbono

E + D = 24 E + D = 24
D = 3E - 3E + D = 0

Como queremos o valor de E, basta multiplicar a segunda equação por (-1) e com o método da adição encontraremos o valor de E.

E + D = 24 E + D = 24
-3E + D = 0 3E - D = 0
4E = 24
E = 24/4
E = 6

O número de extintores de espuma química é de 6 extintores.
Opção: D



02 – Eu tenho o dobro da idade da minha filha. Se a diferença de nossas idades é 23 anos, minha idade é:
a) 40 anos b) 46 anos c) 48 anos d) 50 anos

RESOLUÇÃO:
M = minha idade
F = idade da filha
M = 2F M – 2F = 0 M – 2F = 0
M – F = 23 M – F = 23 . ( - 2 ) - 2M + 2F = - 46

- M = - 46 . (-1)
M = 46
A minha idade é 46 anos.
Opção: B


03 – A soma da minha idade com a da minha filha é 72. Daqui a 3anos a minha idade será o dobro da idade da minha filha. A minha idade atual , em anos é:
a) 47 b) 49 c) 51 d) 53

RESOLUÇÃO:
M = minha idade
F = idade da filha
M + F = 72 M + F = 72 M + F = 72
M + 3 = 2.(F + 3) M + 3 = 2F + 6 M - 2F = 6 - 3

M + F = 72 . ( 2 ) 2M + 2F = 144
M – 2F = 3 M – 2F = 3
3M = 147
M = 147/3
M = 49
A minha idade é 49 anos.
Opção: B

QUESTÕES OBJETIVAS

01 – Luís e Maria resolveram comparar suas coleções de “compact disc” . Descobriram que têm ao todo 104 CDs e que se Maria tivesse 12 CDs a menos teria o triplo do número de CDs do Luís. É possível afirmar que a quantidade de CDs que Luís possui é:
a) 46
b) 40
c) 32
d) 23

02 – Em um restaurante há 12 mesas, todas ocupadas. Algumas por 4 pessoas, outras por apenas 2 pessoas num total de 38 fregueses. O número de mesas ocupadas por apenas duas pessoas é ?
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7

03 – Um aluno ganha 5 pontos por exercícios que acerta e perde 3 por exercício que erra. Ao fim de 50 exercícios, tinha 130 pontos. Quantos exercícios acertou?
a) 35
b) 30
c) 25
d) 15

04 – Em um restaurante existem mesas de 3, 4 e 6 cadeiras num total de 16 mesas. Ocupando todos os lugares nas mesas de 3 e 4 cadeiras, 36 pessoas ficam perfeitamente acomodadas. Sabendo-se que o restaurante acomoda no máximo 72 pessoas, quantas mesas de cada tipo ( 3, 4 e 6) , respectivamente, existem?
a) 6, 4 e 6
b) 6, 6 e 4
c) 4, 6 e 6
d) 3, 7 e 6

05 – Um jogador de basquete fez o seguinte acordo com seu clube: cada vez que ele convertesse um arremesso, receberia R$ 10,00 do clube e cada vez que ele errasse pagaria R$ 5,00 ao clube. Ao final de uma partida em que arremessou 20 vezes, ele recebeu R$ 50,00. Pode-se afirmar que o número de arremessos convertidos pelo jogador foi:
a) 0
b) 5
c) 10
d) 15

06 – Um copo cheio tem massa de 385g; com 2/3 de água tem massa de 310g. A massa do copo com 3/5 da água é:
a) 160 g
b) 225 g
c) 260 g
d) 295 g



07 – Num escritório de advocacia trabalhavam apenas dois advogados e um secretária. Como Dr. André e Dr. Carlos sempre advogam em causa s diferentes, a secretária, Cláudia, coloca um grampo em cada processo do Dr. André e dois grampos em cada processo do Dr. Carlos, para diferenciá-los facilmente no arquivo. Sabendo-se que ao todo são 78 processos, nos quais foram usados 110 grampos, podemos concluir que o número de processos do Dr. Carlos é igual a:
a) 64
b) 46
c) 40
d) 32

08 - Uma pessoa retira R$ 70,00 de um banco, recebendo 10 notas, algumas de R$ 10,00 e outras de R$ 5,00. Calcule quantas notas de R$ 5,00 a pessoa recebeu.
a) 10
b) 6
c) 4
d) 2

09 – Numa lanchonete, 2 copos de refrigerantes e 3 coxinhas custam R$ 5,70. O preço de 3 copos de refrigerantes e 5 coxinhas é R$ 9,30. Nessas condições, é verdade que cada copo de refrigerante custa:
a) R$ 0,70 a menos que cada coxinha.
b) R$ 0,80 a menos que cada coxinha.
c) R$ 0,90 a menos que cada coxinha.
d) R$ 0,80 a mais que cada coxinha.

10 – Carlos e sua irmã Andréia foram com seu cachorro Bidu à farmácia de seu avô. Lá encontraram uma velha balança com defeito que só indicava corretamente pesos superiores a 60kg. Assim eles se pesam dois a dois e obtiveram as seguintes marcas:

- Carlos e o cão pesam juntos 87kg;
- Carlos e Andréa pesam 123kg e
- Andréia e Bidu pesam 66kg.

Podemos afirmar que:
a) Cada um deles pesa menos que 60kg
b) Dois deles pesam mais de 60kg
c) Andréia é a mais pesada dos três
d) Carlos é mais pesado que Andréia e Bidu juntos.


GABARITO OBJETIVO

01 – D
02 – B
03 – A
04 – C
05 – C
06 – D
07 – D
08 – B
09 – C
10 – D
GABARITO COMENTADO

01 -
L = número de CDs de Luis
M = número de CDs de Maria
L + M = 104 L + M = 104 L + M = 104
M – 12 = 3L -3L + M = 12 . (-1) 3L – M = -12
4L = 92
L = 92/4 = 23
O número de CDs que Luis possui é: 23 CDs.
Opção: D
02 –
D = número de mesas com dois lugares
Q = número de mesas com quatro lugares

D + Q = 12 . ( -4 ) - 4D – 4Q = - 48
2D + 4Q = 38 2D + 4Q = 38

-2D = - 10 . (-1)
D = 10/2 = 5
O número de mesas com dois lugares é : 5 mesas
Opção: B

03 –
C = número de exercícios certos
E = número de exercícios errados

C + E = 50 .( 3 ) 3C + 3E = 150
5C – 3E = 130 5C - 3E = 130
8C = 280
C = 280/8 = 35
O número de exercícios certos é: 35 exercícios
Opção: A

04 –
T = número de mesas com três lugares
Q = número de mesas com quatro lugares
S = número de mesas com seis lugares
T + Q + S = 16
3T + 4Q = 36
3T + 4Q + 6S = 72

Substituindo a segunda na terceira
3T + 4Q = 36
3T + 4Q + 6S = 72 \ ( 36 ) + 6S = 72 \ 6S = 72 – 36 \ 6S = 36 \ S = 6

Substituindo o valor de S na primeira e montando um sistema com a primeira e Segunda,
T + Q + S = 16 T + Q + 6 = 16 T + Q = 10 . (-3) -3T - 3Q = - 30
3T + 4Q = 36 3T + 4Q = 36 3T + 4Q = 36 3T + 4Q = 36
- Q = - 6
- Q = - 6 . ( -1 ) \ Q = 6

Substituindo S = 6 e Q = 6 na primeira equação encontramos o valor de T
T + Q + S = 16
T + 6 + 6 = 16
T + 12 = 16 \ T = 16 – 12 = 4 \ T = 4

O restaurante possui quatro mesas de três lugares, seis mesas de quatro lugares e seis mesas de seis lugares.
Opção: C


05 –
C = número de arremessos certos
E = número de arremessos errados

C + E = 20 .( 5 ) 5C + 5E = 100
10C – 5E = 50 10C – 5E = 50

15C = 150
C = 150/15 = 10

O número de arremessos certos é: 10 arremessos
Opção: C


06 –
C = a massa do copo vazio
A = a massa de água de um copo cheio
C + A = 385 . ( -1 ) - C - A = - 385
C + (2/3)A = 310 C + (2/3)A = 310
(2/3)A – A = - 75
- (1/3)A = -75 A = 225g

Substituindo na primeira temos,
C +A = 385
C + 225 = 385
C = 385 – 225 = 160g

Voltando ao enunciado temos,
C + (3/5)A = 160 + (3/5)160 = 160 + 135 = 295g

A massa do copo com 3/5 de água é: 295g

Opção: D







07 –
A = número de processos do Dr. André
C = número de processos do Dr. Carlos
A + C = 78 .( -1) -A – C = - 78
A + 2C = 110 A + 2C = 110
C = 32

O número de processos do Dr. Carlos é: 32 processos
Opção: D

08 –
C = número de notas de R$ 5,00 ( cinco reais )
D = número de notas de R$ 10,00 ( dez reais )
D + C = 10 . (-10) - 10D - 10C = - 100
10D + 5C = 70 10D + 5C = 70

- 5 C = - 30 . (-1) \ 5C = 30 \ C = 30/5 \ C = 6
Recebeu 6 notas de notas de R$ 5,00.
Opção: B
09 –
R = preço de um copo de refrigerante
C = preço de uma coxinha
2R + 3C = 5, 7 . (-3) - 6R – 9C = -17,1
3R + 5C = 9, 3 . (2) 6R + 10C = 18,6
C = 1,5

Substituindo C = 1,5 na primeira equação temos,
2R + 3C = 5,7
2R + 3. 1,5 = 5,7 \ 2R + 4,5 = 5,7 \ 2R = 5,7 – 4,5 \ 2R = 1,2 \ R = 0,6

A diferença entre um copo de refrigerante e uma coxinha é 1,5 – 0,6 = 0,9. Então cada coxinha custa R$0,90 centavos a mais que um copo de refrigerante.
Opção: C

10 –
A = massa de Andréia
B = massa de Bidu
C = massa de Carlos
C + B = 87 \ B = 87 - C
C + A = 123 \ A = 123 - C
A + B = 66
Substituindo a primeira e a segunda na terceira,
A + B = 66 \ ( 87 – C ) + ( 123 – C ) = 66 \ 87 – C + 123 – C = 66
210 – 2C = 66
-2C = 66 – 210
-2C = -144 .(-1)
2C = 144
C = 72 kg
Substituindo temos B = 87 – 72 = 15 kg e A = 123 – 72 = 51kg
Então Carlos é mais pesado que Andréia e Bidu juntos.
Opção: D










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