Fatoração

As fatorações são utilizadas no intuito de transformar expressões e equações algébricas em procedimentos envolvendo o produto de duas ou mais expressões. Dessa forma, em algumas situações, as equações podem ser resolvidas de forma simples e direta. Para a realização da fatoração simultânea, o conhecimento das técnicas envolvendo termo comum em evidência, agrupamento, diferença entre dois quadrados, trinômio quadrado perfeito e trinômio soma e produto, é de extrema importância. Em alguns polinômios, a fatoração por completo exige a utilização de duas ou mais técnicas informadas.

Observe alguns exemplos envolvendo a utilização da fatoração simultânea:


Exemplo 1

x³ + 2x² + x
1ª fatoração: fator comum em evidência
x * (x² + 2x + 1)
2ª fatoração: trinômio quadrado perfeito
x * (x + 1)²

x³ + 2x² + x → x * (x + 1)²


Exemplo 2

a²x – b²x
1ª fatoração: fator comum em evidência
x * (a² – b²)
2ª fatoração: diferença entre dois quadrados
x * (a + b) * (a – b)

a²x – b²x → x * (a + b) * (a – b)



Exemplo 3

x²b + 5bx + 6b
1ª fatoração: fator comum em evidência
b * (x² + 5x + 6)
2ª fatoração: trinômio soma e produto
b * (x + 2) * (x + 3)

x²b + 5bx + 6b → b * (x + 2) * (x + 3)


Exemplo 4

4x³ + 3x² – 4y²x – 3y²
1ª fatoração: agrupamento
x² * (4x + 3) – y² * (4x + 3)
(x² – y²) * (4x + 3)
2ª fatoração: diferença entre dois quadrados
(x + y) * (x – y) * (4x + 3)

4x³ + 3x² – 4y²x – 3y² → (x + y) * (x – y) * (4x + 3)



Exemplo 5

a³ – a
1ª fatoração: fator em evidência
a * (a² – a)
2ª fatoração: diferença entre dois quadrados
a * (a + 1 ) * (a – 1)

a³ – a → a * (a + 1 ) * (a – 1)



Exemplo 6

12x³ – 3xy²
1ª fatoração: fator em evidência
3x * (4x² – y²)
2ª fatoração: agrupamento
3x * (2x – y) * (2x + y)

12x³ – 3xy² → 3x * (2x – y) * (2x + y)
Fatorar é o mesmo que decompor o número em fatores primos, isto é, escrever um número através da multiplicação de números primos. Na fatoração utilizamos os números primos obedecendo a uma ordem crescente de acordo com as regras de divisibilidade em razão do termo a ser fatorado. Números primos são aqueles que podem ser divididos somente por um e por ele mesmo. Observe a decomposição em fatores primos dos números a seguir:

24 = 2 x 2 x 2 x 3
10 = 2 x 5
52 = 2 x 2 x 13
112 = 2 x 2 x 2 x 2 x 7
600 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 x 5

Forma prática de fatoração

O número a ser fatorado deverá ocupar a coluna da esquerda e a coluna da direita será preenchida com os fatores primos. Ao dividir o número pelo algarismo primo os resultados deverão ser colocados na coluna da direita. As divisões deverão ser efetuadas no intuito de simplificar ao máximo o número, isto é reduzi-lo ao número 1.



Objetivos da fatoração

Cálculo da raiz quadrada de um número.

Vamos determinar a raiz quadrada do número 144.

De acordo com a fatoração do número 144 temos: 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3.
No caso da raiz quadrada, podemos representar o número 144 da seguinte forma:
2² x 2² x 3². Como o índice da raiz quadrada é 2, podemos simplificar os expoentes de valor 2 com o índice 2 da raiz. As bases dos expoentes simplificados saem da raiz multiplicadas entre si. Acompanhe a demonstração a seguir:

Dado dois números quaisquer x e y. Se subtrairmos ficará: x – y, se montarmos uma expressão algébrica com os dois números obteremos: x2 + xy + y2, assim, devemos multiplicar as duas expressões encontradas.

(x - y) (x2 + xy + y2) é necessário utilizar a propriedade distributiva;

x3 + x2y + xy2 - x2y –xy2 - y3 unir os termos semelhantes;

x3 - y3 é uma expressão algébrica de dois termos, os dois estão elevados ao cubo e subtraídos.

Assim, podemos concluir que x3 - y3 é uma forma geral da soma de dois cubos onde
x e y podem assumir qualquer valor real.

A forma fatorada de x3 - y3 será (x - y) (x2 + xy + y2).

Com o conhecimento de todos os casos de fatoração, quando for preciso fatorar alguma expressão algébrica devemos sempre observar em qual dos casos ela se enquadra, veja os exemplos de como fazer esse reconhecimento.

Exemplo:
Se tivermos que fatorar a seguinte expressão algébrica 27x3 – y3 devemos observar que ela tem dois termos. Lembrando dos casos de fatoração, o único caso que fatora dois termos é a diferença de dois quadrados, soma de dois cubos e a diferença de dois cubos.

No exemplo acima os dois termos estão ao cubo e entre eles há uma subtração, então devemos utilizar o 7º caso de fatoração (diferença de dois cubos), para fatorarmos devemos escrever a expressão algébrica 27x3 – y3 da seguinte forma:
(x - y) (x2 + xy + y2). Ao tirar as raízes cúbicas dos dois termos, temos: 27x3 – y3.

A raiz cúbica de 27x3 é 3x e a raiz cúbica de y3 é y. Agora, basta substituir valores, no lugar de x colocaremos 2x e no lugar de y colocaremos 3 na forma fatorada
(x - y) (x2 + xy + y2) , ficando assim:

(3x – y) ((3x)2 + 3x . y + y2)

(3x – y) (9x2 + 3xy + y2)

Então, (2x – 3) (4x2 + 6x + 9) é a forma fatorada da expressão algébrica 8x3 – 27.

Exemplo 2
Para resolvemos a fatoração utilizando a diferença de dois cubos devemos seguir os mesmos passos do exemplo anterior. Fatorando a expressão algébrica r3 – 64 temos: As raízes cúbicas de r3 é r e de 64 é 4, substituindo teremos no lugar de x o r e no lugar de y o 4.

(r – 4) (r2 + 4r + 16) é a forma fatorada de r3 – 64.

Dado dois números quaisquer x e y, se somarmos os dois obteremos x + y, se montarmos uma expressão algébrica com os dois números teremos x2 - xy + y2, agora devemos multiplicar as duas expressões encontradas.

(x + y) (x2 - xy + y2) utilize a propriedade distributiva;

x3 - x2y + xy2 + x2y –xy2 + y3 una os termos semelhantes;

x3 + y3 é uma expressão algébrica de dois termos onde os dois estão elevados ao cubo e somados.

Assim, podemos concluir que x3 + y3 é uma forma geral da soma de dois cubos onde
x e y poderão assumir qualquer valor real.

A forma fatorada de x3 + y3 será (x + y) (x2 - xy + y2).

Veja alguns exemplos:

Exemplo1:
27x3 + 1000 é a soma de dois cubos.

Podemos escrever essa expressão da seguinte forma:

33x3 + 103, assim: x = 3x e y = 10
Agora, basta usarmos a forma geral e fazermos as substituições.

(x + y) (x2 - xy + y2)
(3x + 10) ((3x)2 – 3x . 10 + 102)
(3x + 10) (9x2 – 30x + 100)

Portanto, a fatoração de 27x3 + 1000 será (3x + 10) (9x2 – 30x + 100).

Exemplo 2:
x3 + 1 é a soma de dois cubos.
Podemos escrever essa expressão da seguinte forma:

(x)3 + 13 assim: x = x e y = 1
Agora, basta usarmos a forma gral e fazermos as substituições.

(x + y) (x2 - xy + y2)

(x + 1) ((x)2 –x .1 + 12)

(x – 1) (x2 –x + 1)

Exemplo 3:
8x3 + y3 é a soma de dois cubos.
Podemos escrever essa expressão da seguinte forma:

(2x)3 + y3 assim: x = 2x e y = y
Agora, basta usarmos a forma gral e fazermos as substituições.

(x + y) (x2 - xy + y2)

(2x + y) ((2x)2 – 2xy + y2)

(2x + y) (4x2 – 2xy + y2)
Para fatorar uma expressão algébrica utilizando esse primeiro caso de fatoração, todos os monômios da expressão algébrica devem ter pelo menos algum termo em comum.
A fatoração é feita colocando o termo comum em evidência, veja alguns exemplos:

►a – ab é uma expressão algébrica, veja como devemos fatorar:

É preciso analisar se o 1º caso poderá ser utilizado para a fatoração, então é necessário analisar todos os seus monômios (termos) para ver se há termos em comum.

a – ab essa expressão tem dois monômios a e ab
Os dois possuem termos semelhantes: o termo semelhante é a. Então, colocamos esse termo comum em evidência.

Quando colocamos a em evidência devemos dividir a e ab (os monômios) por a (termo comum), assim:

a : a = 1, pois todo número (ou letra) dividido por ele mesmo é igual a 1.

ab : a = b, pois a : a = 1, então ficaria 1b que é o mesmo que b.

Portanto a – ab = a (1 – b)
↓
Termos
em evidência

►a3 – 4a2 é uma expressão algébrica, veja como fatorar:

Essa expressão algébrica tem 2 monômios a3 e 4a2, eles têm o a como termo semelhante, então podemos colocá-lo em evidência, mas poderá surgir uma dúvida, devemos colocar o a3 ou a2? Devemos colocar sempre o de menor expoente, então colocamos a2.

Assim, devemos dividir a3 e 4a2 por a2, assim:

a3 : a2 = a, pois a3 = a .a .a, então a . a . a : a2 é o mesmo que 1a = a.

4a2 : a2 = 4, pois a2 : a2 = 1, então ficaria 4 . 1 que é mesmo que 4.

Portanto a3 – 4a2 = a2 (a – 4).
↓
Termos
em evidência


►x4 - 2x3 + x2 + x é uma expressão algébrica que tem quatro monômios, eles têm termos em comum, como esses termos têm mesma base devemos pegar o de menor expoente, então o termo em comum é x.

O termo em evidência deverá ser dividido pelos monômios x4 , 2x2 , x2 e x, assim:

x4 : x = x3, pois em bases iguais conservamos a base e diminuímos os expoentes.

2x3 : x = 2x2, pois em bases iguais conservamos a base e diminuímos os expoentes.

x2 : x = x, pois em bases iguais conservamos a base e diminuímos os expoentes.

x : x = 1, pois qualquer número ou letra dividido por ele mesmo é igual a 1.

Portanto x4 - 2x3 + x2 + x = x (x3 – 2x2 + x – 1).
↓
Termos
em evidência

► 4r + 12 é uma expressão algébrica, olhando rapidamente podemos pensar que não existe termo semelhante, o que seria errado, pois o número 12 pode ser fatorado em dois fatores 12 = 4 . 3, com essa fatoração percebemos que há um termo em comum na expressão algébrica, esse é o 4.

Então, pegamos os monômios 4r e 12 e dividimos por 4, ficando assim:

4r : 4 = 1r ou r

12 : 4 = 3

Portanto, 4r + 12 = 4 (r + 3)
↓
Termos
em evidência

► Para fatorarmos a expressão algébrica (x + 1) (x – 3) + 2 (x + 1) devemos ter um pouco mais de cuidado, pois em primeiro lugar separamos os termos:

(x + 1) (x – 3) + 2 (x + 1) a expressão possui dois termos.
↓ ↓
1º termo 2º termo

O termo semelhante é (x + 1), pois é encontrado tanto no 1º termo, como no 2º.

Então, devemos dividir o 1º termo e o 2º por (x + 1), ficando assim:

[(x + 1) (x – 3)] : (x + 1) = (x – 3)

2 (x + 1) : (x + 1) = 2

Portanto, (x + 1) (x – 3) + 2 (x + 1) = (x + 1) (x – 3 + 2)
(x + 1) (x – 3) + 2 (x + 1) = (x + 1) (x – 1)
↓
Termos
em evidência

Para conferir se as fatorações estão corretas, basta efetuar as fatorações, veja:

Para verificar se a fatoração 4r + 12 = 4 (r + 3) está correta, basta pegar a expressão algébrica fatorada 4 (r + 3) e resolvê-la:

Aplicando a propriedade distributiva temos: 4 (r + 3) = 4 . r + 4 . 3 = 4r + 12. Podemos concluir que a fatoração está correta.

Quando aplicamos o caso de fatoração por agrupamento, utilizamos a fatoração por termos comuns. Veja:

Se observarmos a expressão ab + 3b + 7a + 21 veremos que não são todos os monômios que têm termos semelhantes, mas podemos unir os que possuem termos semelhantes.

Assim, temos: ab + 3b + 7a + 21, agora aplicamos o 1º caso de fatoração (termo comum), colocando em evidência cada elemento comum de cada agrupamento.

ab + 3b + 7a + 21
↓ ↓
b termo 7 é o termo comum
comum

Então: b (a + 3) + 7 (a + 3)

Mesmo fazendo essa fatoração observamos que ainda podemos fazer mais uma fatoração, pois os dois termos b (a + 3) e 7 (a + 3) possuem um termo em comum
(a + 3). Então, aplicamos o processo do fator comum, ficando assim a fatoração:

b (a + 3) + 7 (a + 3)
(a + 3) (b + 7)

Portanto, a expressão algébrica ab + 3b + 7a + 21 fatorada fica assim: (a + 3) (b + 7).

Dada a expressão algébrica y2 – 5y + 6, sabemos que é um trinômio, mas os seus dois membros das extremidades não estão elevados ao quadrado, assim descarta a possibilidade de ser quadrado perfeito.

Então, o único caso de fatoração que podemos utilizar para fatorar essa expressão algébrica é x2 + Sx + P. Dada a expressão y2 – 5y + 6, observe se ela está em ordem decrescente de seus expoentes (do maior para o menor), se estiver basta achar dois números que somados resultem em -5 e que o produto deles resulte em 6.

Vamos fazer as tentativas para que o produto resulte em 6:
2 . 3 = 6

(- 2) . (- 3) = 6

6 . 1= 6

- 6 . (- 1) = 6

Devemos, dentre essas possibilidades, achar uma que a soma dos números dê -5. Concluímos que -2 + (-3) = -5, portanto a forma fatorada desse trinômio será:

(y – 2) (y – 3).

Dada a expressão m2 + 7m – 8, devemos achar dois números que somados resulte 7 e o produto deles seja -8. Verificamos as possibilidades do produto resultar em - 8:
- 1 . 8 = - 8

1 . (-8) = - 8

4 . (- 2) = - 8

- 4 . 2 = - 8

Devemos, dentre essas possibilidades, achar uma que a soma dos números dê 7. Concluímos que -1 + 8 = 7, portanto a forma fatorada desse trinômio será:

(m – 1) (m + 8).

Dado a expressão x2 + 4x – 12, devemos achar dois números que somados resulte em 4 e o produto do mesmo seja – 12. Verifiquemos as possibilidades de o produto resultar em -12:

1 .(-12) = -12

-1 . 12 = -12

6 . (-2) = -12

- 6 . 2 = -12

Devemos, dentre essas possibilidades, achar uma que a soma dos números dê 4. Concluímos que 6 +(- 2) = 4, portanto a forma fatorada desse trinômio será:

(x + 6) (x – 2)
Esse caso de fatoração só pode ser utilizado em expressões algébricas que possuem dois monômios e os mesmos devem estar elevados ao quadrado (elevados à quinta potência).

Chegamos à conclusão que a diferença de dois quadrados pode ser utilizada, quando:

-Tivermos uma expressão algébrica com dois monômios (sejam binômios).
- Os dois monômios forem quadrados.
- A operação entre eles for de subtração.

Veja alguns exemplos de expressões algébricas que seguem esse modelo:


• a2 - 16

• 1 – a2
3

• 4x2 – b2


Como fazer essa fatoração

Dada a expressão algébrica 9x2 – 81, veja os passos que devemos tomar para chegarmos à forma fatorada utilizando o 5º caso de fatoração.


A forma fatorada será (3x – 9) (3x + 9).

Veja alguns exemplos:

Exemplo 1:
A expressão algébrica x2 – 4 é uma expressão com dois monômios e as raízes quadradas são respectivamente x e 2, então a sua forma fatorada é (x – 2) (x + 2).


Exemplo 2:
Dada a expressão algébrica 16x2 – 25, a raiz dos termos 16x2 e 25 é respectivamente 4x e 5. Então, a forma fatorada é (4x – 5) (4x + 5).

Exemplo 3:
Dada a expressão algébrica 36x2 – 81y2, a raiz dos termos 36x2 e 81y2 é respectivamente 6x e 9y. Então, a forma fatorada é (6x – 9y) (6x + 9y).
Fonte mundoeducacao.com.br

Taxonomia Como funciona o sistema de classificação dos seres vivos

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

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O gorila também pertence à família dos hominidae como os seres humanos
Imagine todos os seres vivos do planeta, tanto animais como vegetais. Agora, tente pensar em uma denominação para cada um deles, de forma que seus nomes os agrupe conforme suas características em comum. Difícil, não é? Mas é exatamente isso que um ramo da biologia faz. Existem pessoas que trabalham apenas para identificar e nomear espécies - os botânicos (no caso das plantas) e os zoólogos (no caso dos animais) e são chamados sistematas.

É muito importante para a ciência que todos os seres vivos sejam identificados, ou não seria possível estudá-los. A ciência agrupa os seres vivos conforme as características que eles apresentam em comum. Como num jogo de encaixar, cada grupo possui um subgrupo, o qual possui outro subgrupo, e a cada divisão as similaridades ficam cada vez mais acentuadas.

Por exemplo, no reino animal estão todos os animais. Nele, há diversos subgrupos que unem os animais que têm mais coisas em comum, como o dos mamíferos, que engloba apenas animais que mamam. A partir daí, há mais subgrupos, como os que são gerados em placenta (placentários) e que são a maioria, ou os que colocam ovos - esse é o caso dos ornitorrincos.

Ordem decrescente
A classificação básica dos seres vivos é, em ordem decrescente: reino, filo, classe, ordem, família, gênero, e espécie. Em muitos casos, há tantas especializações que esta classificação não é suficiente. Por isso foram criadas algumas subdivisões dentro de ordem, classe, e espécie. No caso do grupo "classe", encontra-se a superclasse (que fica um grau acima da classe) e a infraclasse (que fica um grau abaixo da classe). Da mesma maneira ocorre com o grupo da ordem: existie a superordem e a infraordem. No grupo de espécies, encontra-se a subespécie.

Essas subdivisões são muito comuns no caso dos insetos. A razão disso, está muitas vezes ligada à peculiaridades como número de articulações nas antenas - é o caso de uma espécie de besouro. Estudiosos descobriram que uma espécie de besouro tem alguns indivíduos com número maior de articulações nas antenas. E estes apenas se reproduziam com os seus iguais. Então, esses besouros foram classificados em uma subespécie.

O mesmo acontece com os cães. Geneticamente, são idênticos aos lobos (Cannis lupus). Mas apresentam diversas diferenças quanto a tamanho e forma. Assim, são classificados como uma subespécie dos lobos: são os Cannis (gênero) lupus (espécie) familiaris (subespécie).
Ao usar o ser humano como exemplo, veja uma classificação taxonômica completa:

# Reino: Animalia (o homem é um animal, e nesse grupo estão todos os animais).
# Filo: Chordata (possui notocorda - formação da coluna vertebral - no seu desenvolvimento embrionário, e aqui estão todos os vertebrados).
# Classe: Mammalia (seu filhos mamam, e nessa classe estão todos os mamíferos)
# Infraclasse: Placentalia (é um mamífero cuja fêmea possui placenta - mamíferos que não possuem placenta pertencem a outra infraclasse)
# Ordem: Primata
# Família: Hominidae (dentro desse grupo estão as subfamílias Gorilla (gorilas), Pan (chimpanzés), Ardipithecus (extinto), Australopithecus (extinto) , Pierolapithecus (extinto), Sahelanthropus (extinto), Paranthropus (extinto), Kenyanthropus (extinto), Orrorin (extinto), Homininae (seres humanos).
# Subfamília: Homininae
# Gênero: Homo.

Na verdade, o gênero Homo contém diversas espécies, porém, com exceção do sapiens, todas estão extintas. São elas : Homo antecessor, Homo rhodesiensis, Homo rudolfensis, Homo habilis, Homo cepranensis, Homo ergaster, Homo erectus, Homo floresiensis, Homo georgicus, Homo heidelbergensis, Homo neanderthalensis, Homo sapiens.

# Espécie: Homo sapiens.

Conforme os grupos se subdividem de acordo com as características compartilhadas, o número de animais enquadrados diminui. Ao mesmo tempo, estes apresentam cada vez mais características em comum.

Cada grupo de classificação é chamado de táxon - de onde vem o nome taxonomia. Esse sistema de classificação permite que os seres vivos sejam agrupados conforme o seu grau de parentesco e permite compreender melhor a evolução da vida na Terra.
Mariana Aprile é estudante de biologia na Universidade Mackenzie e bolsista do CNPq.

Ângulos no circulo ou circunfêrencia

Professor de Matemática Antonio Carlos Carneiro Barroso

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A relação entre ângulos e círculo é muito importante no estudo da geometria. Diversos assuntos ligados à astronomia possuem relações estreitas com ângulos no círculo ou na circunferência. Podemos ter ângulos com vértice no centro, no interior ou no exterior de um círculo, cada um apresentando características e propriedades diferentes. Vejamos cada um desses casos:

1. Ângulo com vértice no centro da circunferência – Ângulo central.

Propriedade: o ângulo central apresenta a mesma medida do arco formado por seus lados, ou seja:

2. Ângulo cujo vértice é um ponto da circunferência – Ângulo Inscrito.

Propriedade: a medida do ângulo inscrito equivale à metade da medida do arco formado por seus lados, ou seja:

Exemplo: Determine o valor de α sabendo que o arco AB mede 60^o.

Solução:


3. Ângulo com vértice exterior à circunferência – Ângulo excêntrico externo.

Propriedade: o ângulo α equivale à metade da diferença entre as medidas dos arcos formados pelos seus lados, ou seja:

Exemplo: Determine o valor de α na figura abaixo.

4. Ângulo com vértice no interior da circunferência – Ângulo excêntrico interno.

Propriedade: o ângulo excêntrico interno possui medida igual à metade da soma dos arcos formados pelos seus lados, ou seja:

Exemplo: Determine o valor de α na figura abaixo.

Solução:

Equação fundamental da reta

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

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Toda reta não-vertical (reta que possui inclinação diferente de 90º) possui uma equação que representa todos os seus pontos. Essa equação é demonstrada através de um ponto pertencente a essa reta mais o seu coeficiente angular (m).

Considere uma reta s não vertical que passa pelo ponto B (x₀, y₀) de coeficiente igual a m.



O outro ponto A(x,y), pertencente ao plano cartesiano, irá pertencer a reta s se o cálculo do coeficiente angular (m) da reta s for igual:

m = ∆y = y – y₀
∆x x – x₀

Podemos representar essa igualdade da seguinte forma:

m = y – y₀
x – x₀

y – y₀ = m (x – x₀)

Essa equação formada é chamada de equação fundamental da reta.

Dessa forma podemos concluir que a equação fundamental da reta é obtida por um ponto pertencente a essa reta mais o seu coeficiente angular, ficando sempre em função de outro ponto.

Exemplo 1:

Determine a equação fundamental da reta que passa pelo P(1/4,-3,2) de coeficiente angular m = -1/2.

Os dados oferecidos no enunciado são:
P(x₀, y₀) = (1/4,-3,2)
m = -1/2

Substituindo-os na equação fundamental da reta temos:

y – y₀ = m (x – x₀)

y – (-3/2) = -1/2 (x – 1/4)
y + 3/2 = -1/2 (x – 1/4)
2(y + 3/2) = -x + 1/4
2y + 3 = -x + 1/4

8y + 12 = -4x + 1 4 4

4x + 8y + 11 = 0

Exemplo 2:

Represente por meio de uma equação a reta que passa por esses dois pontos A(1,8) e B(4,2).

Foi dito na explicação acima que a equação fundamental de uma reta é determinada por um ponto pertencente à reta e o seu coeficiente angular. O ponto foi dado no enunciado, falta calcular o seu coeficiente angular.

m = yB - yA xB – xA

m = 2 – 8 = - 6 = - 2
4 – 1 3

Escolha um dos dois pontos e monte a equação fundamental da reta que passa pelos pontos A e B.

Ponto A (1,8) e m = -2

y – y₀ = m (x – x₀)
y – 8 = - 2 (x – 1)
y – 8 = - 2x + 2
2x + y – 10 = 0.

Regra de Sarrus

Marcos Noé

Regra de Sarrus

A Regra de Sarrus é utilizada no cálculo de determinantes de matrizes quadradas. Sua aplicação permite o cálculo de maneira prática, relacionando a diagonal principal com a diagonal secundária. Vamos identificar as diagonais de uma matriz quadrada:

Diagonal principal: a₁₁, a₂₂ e a₃₃.

Diagonal secundária: a₁₃, a₂₂, a₃₁.

A aplicação da Regra de Sarrus consiste em escrever a matriz seguida da repetição de suas duas primeiras colunas. Feito esse processo, verifique a presença de três diagonais principais e três diagonais secundárias.

O determinante será calculado por meio da diferença entre o somatório do produto das três diagonais principais e o somatório do produto das três diagonais secundárias. Observe:

Diagonal principal
(a₁₁ * a₂₂ * a₃₃) + (a₁₂ * a₂₃ * a₃₁) + (a₁₃ * a₂₁ * a₃₂)

Diagonal secundária
(a₁₃ * a₂₂ * a₃₁) + (a₁₁ * a₂₃ * a₃₂) + (a₁₂ * a₂₁ * a₃₃)


Determinante
D = {(a₁₁ * a₂₂ * a₃₃) + (a₁₂ * a₂₃ * a₃₁) + (a₁₃ * a₂₁ * a₃₂)} – {(a₁₃ * a₂₂ * a₃₁) + (a₁₁ * a₂₃ * a₃₂) + (a₁₂ * a₂₁ * a₃₃)}



Exemplo 1:

Vamos calcular o valor do determinante da matriz .

Diagonais principais
0 * 5 * 1 = 0
1 * 6 * 3 = 18
2 * 4 * 4 = 32

0 + 18 + 32 = 50

Diagonais secundárias
2 * 5 * 3 = 30
0 * 6 * 4 = 0
1 * 4 * 1 = 4

30 + 0 + 4 = 34

Determinante
DA = 50 – 34
DA = 16


Exemplo 2:

Dada a matriz , calcule o seu determinante.




Diagonais principais
(–1) * 0 * (–1) = 0
(–5) * 6 * (–4) = 120
(–7) * (8) * (5) = – 280


0 + 120 + (–280)
120 – 280
– 160


Diagonais secundárias
(–7) * 0 * (–4) = 0
(–1) * 6 * 5 = – 30
(–5) * 8 * (–1) = 40

0 + (–30) + 40
–30 +40
10


Determinante
D_B = –160 – 10
D_B = – 170

EQUAÇÃO DO 1º GRAU

Autor Antonio Carlos Carneiro Barroso EquaçãO Do 1º Grau

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Exercicío de Equação e sistema para 7ª série Antonio Carlos

Exercicioda7ª

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Equações do 1º grau com uma variável

Equações do 1º grau com uma variável

Equação é toda sentença matemática aberta representada por uma igualdade, em que exista uma ou mais letras que representam números desconhecidos.

Exemplo:X + 3 = 12 – 4

Forma geral: ax = b, em que x representa a variável (incógnita) e a e b são números racionais, com a 0. Dizemos que a e b são os coeficientes da equação.(ax = b, é a forma mais simples da equação do 1º grau)

Exemplos:

x - 4 = 2 + 7, (variável x)
2m + 6 = 12 – 3 ,(variável m)
-2r + 3 = 31, (variável r)
5t + 3 = 2t – 1 , (variável t)
3(b – 2) = 3 + b,(variável b)
4 + 7 = 11, (é uma igualdade, mas não possui uma variável, portanto não é uma equação do 1º grau)
3x – 12 > 13, (possui uma variável, mas não é uma igualdade, portanto não é uma equação do 1º grau)

Obs:

Devemos observar duas partes em uma equação, o 1º membro à esquerda do sinal de igual e o 2º membro à direita do sinal de igual.

Veja:

Conjunto Universo:Conjunto formado por todos os valores que a variável pode assumir. Representamos pela letra U.

Conjunto Solução:Conjunto formado por valores do conjunto U que tornam a sentença verdadeira. Representamos pela letra S.

Exemplo:

Dentre os elementos do conjunto F = {0, 2, 3, 6, 8, 9}, qual deles torna a sentença matemática
2x – 4 = 2, verdadeira.

2(0) – 4 = 2 Errado

2(2) – 4 = 2 Errado

2(3) – 4 = 2 Verdadeiro

2(6) – 4 = 2 Errado

2(8) – 4 = 2 Errado

2(9) – 4 = 2 Errado

Devemos observar que o conjunto U = {0, 2, 3, 6, 8, 9}, e conjunto S = {3}

Sistemas de Equações do 1º Grau

SISTEMA COM DUAS EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM DUAS VARIÁVEIS

Resolver um sistema de duas equações do 1º grau com duas variáveis, x e y, por exemplo, significa determinar o único par ordenado (x,y) que é a solução do sistema. Podemos encontrar a solução de um sistema usando os métodos da adição, substituição e comparação.

Exercícios Resolvidos:

1) Um número mais a sua metade é igual a 150. Qual é esse número?

Solução:
n + n/2 = 150
2n/2 + n/2 = 300/2
2n + n = 300
3n = 300
n = 300/3
n = 100
Resposta: Esse número é 100.

2) A diferença entre um número e sua quinta parte é igual a 36. Qual é esse número?

Solução:
x - x/5 = 36
(5 x - x)/5 = 36
4x /5 = 36
4x = 36.5
4x = 180
x = 180/4
x = 45
Resposta: Esse número é 45.

3) O triplo de um número é igual a sua metade mais 20. Qual é esse número?

Solução:
3 m = m/2 + 20
6m/2 = (m+40)/2
6m = m + 40
6m - m =
5m = 40
m = 40/5
m = 8
Resposta: Esse número é 8.

4) O triplo de um número, mais 5, é igual a 254. Qual é esse número?

Solução:
3p + 5 = 254
3p = 254 - 5
3p = 249
p = 249/3
p = 83
Resposta: Esse número é 83.

5) O quádruplo de um número, diminuído de três, é igual a 99. Qual é esse número ?

6) Júlio tem 15 anos e Eva tem 17 anos. Daqui a quantos anos a soma de suas idades será 72 anos?

7) Num pátio há bicicletas e carros num total de 20 veículos e 56 rodas. Determine o número de bicicletas e de carros.

8) A metade dos objetos de uma caixa mais a terça parte desses objetos é igual a 75. Quantos objetos há na caixa?

9) Em uma fábrica, um terço dos empregados são estrangeiros e 90 empregados são brasileiros. Quantos são os empregados da fábrica?

10) Numa caixa, o número de bolas pretas é o triplo de bolas brancas. Se tirarmos 4 brancas e 24 pretas, o número de bolas de cada cor ficará igual. Qual a quantidade de bolas brancas?

11) Como devo distribuir R$ 438,00 entre três pessoas, de modo que as duas primeiras recebam quantias iguais e a terceira receba o dobro do que receber as duas primeiras?

12) Ao triplo de um número foi adicionado 40. O resultado é igual ao quíntuplo do número. Qual é esse número?

Gráfico de uma equação de 1º grau com duas variáveis

Sabemos que uma equação do 1º grau com duas variáveis possui infinitas soluções.

Cada uma dessas soluções pode ser representada por um par ordenado (x, y).

Teoria dos Conjuntos

Teoria de Conjuntos 1 - Conjunto: conceito primitivo; não necessita, portanto, de definição. Exemplo: conjunto dos números pares positivos: P = {2,4,6,8,10,12, ... }. Esta forma de representar um conjunto, pela enumeração dos seus elementos, chama-se forma de listagem. O mesmo conjunto também poderia ser representado por uma propriedade dos seus elementos ou seja, sendo x um elemento qualquer do conjunto P acima, poderíamos escrever: P = { x | x é par e positivo } = { 2,4,6, ... }. 1.1 - Relação de pertinência: Sendo x um elemento do conjunto A , escrevemos x Î A , onde o símbolo Î significa "pertence a". Sendo y um elemento que não pertence ao conjunto A , indicamos esse fato com a notação y Ï A. O conjunto que não possui elementos , é denominado conjunto vazio e representado por f . Com o mesmo raciocínio, e opostamente ao conjunto vazio, define-se o conjunto ao qual pertencem todos os elementos, denominado conjunto universo, representado pelo símbolo U. Assim é que, pode-se escrever como exemplos: Æ = { x; x ¹ x} e U = {x; x = x}. 1.2 - Subconjunto: Se todo elemento de um conjunto A também pertence a um conjunto B, então dizemos que A é subconjunto de B e indicamos isto por A Ì B. Notas: a) todo conjunto é subconjunto de si próprio. ( A Ì A ) b) o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. (Æ Ì A) c) se um conjunto A possui m elementos então ele possui 2m subconjuntos. d) o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é denominado conjunto das partes de A e é indicado por P(A). Assim, se A = {c, d} , o conjunto das partes de A é dado por P(A) = {f , {c}, {d}, {c,d}} e) um subconjunto de A é também denominado parte de A. 2 - Conjuntos numéricos fundamentais Entendemos por conjunto numérico, qualquer conjunto cujos elementos são números. Existem infinitos conjuntos numéricos, entre os quais, os chamados conjuntos numéricos fundamentais, a saber: Conjunto dos números naturais N = {0,1,2,3,4,5,6,... } Conjunto dos números inteiros Z = {..., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,... } Obs: é evidente que N Ì Z. Conjunto dos números racionais Q = {x; x = p/q com p Î Z , q Î Z e q ¹ 0 }. Temos então que número racional é aquele que pode ser escrito na forma de uma fração p/q onde p e q são números inteiros, com o denominador diferente de zero. Lembre-se que não existe divisão por zero!. São exemplos de números racionais: 2/3, -3/7, 0,001=1/1000, 0,75=3/4, 0,333... = 1/3, 7 = 7/1, etc. Notas: a) é evidente que N Ì Z Ì Q. b) toda dízima periódica é um número racional, pois é sempre possível escrever uma dízima periódica na forma de uma fração. Exemplo: 0,4444... = 4/9 Conjunto dos números irracionais I = {x; x é uma dízima não periódica}. Exemplos de números irracionais: p = 3,1415926... (número pi = razão entre o comprimento de qualquer circunferência e o seu diâmetro) 2,01001000100001... (dízima não periódica) Ö 3 = 1,732050807... (raiz não exata). Conjunto dos números reais R = { x; x é racional ou x é irracional}. Notas: a) é óbvio que N Ì Z Ì Q Ì R b) I Ì R c) I È Q = R d) um número real é racional ou irracional, não existe outra hipótese! 3 - Intervalos numéricos Dados dois números reais p e q, chama-se intervalo a todo conjunto de todos números reais compreendidos entre p e q , podendo inclusive incluir p e q. Os números p e q são os limites do intervalo, sendo a diferença p - q , chamada amplitude do intervalo. Se o intervalo incluir p e q , o intervalo é fechado e caso contrário, o intervalo é dito aberto. A tabela abaixo, define os diversos tipos de intervalos. TIPOS REPRESENTAÇÃO OBSERVAÇÃO INTERVALO FECHADO [p;q] = {x Î R; p £ x £ q} inclui os limites p e q INTERVALO ABERTO (p;q) = { x Î R; p < x < q} exclui os limites p e q INTERVALO FECHADO A ESQUERDA [p;q) = { x Î R; p £ x < q} inclui p e exclui q INTERVALO FECHADO À DIREITA (p;q] = {x Î R; p < x £ q} exclui p e inclui q INTERVALO SEMI-FECHADO [p;¥ ) = {x Î R; x ³ p} valores maiores ou iguais a p. INTERVALO SEMI-FECHADO (- ¥ ; q] = { x Î R; x £ q} valores menores ou iguais a q. INTERVALO SEMI-ABERTO (-¥ ; q) = { x Î R; x < q} valores menores do que q. INTERVALO SEMI-ABERTO (p; ¥ ) = { x > p } valores maiores do que p. Nota: é fácil observar que o conjunto dos números reais, (o conjunto R) pode ser representado na forma de intervalo como R = ( -¥ ; + ¥ ). 4 - Operações com conjuntos 4.1 - União ( È ) Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto união A È B = { x; x Î A ou x Î B}. Exemplo: {0,1,3} È { 3,4,5 } = { 0,1,3,4,5}. Percebe-se facilmente que o conjunto união contempla todos os elementos do conjunto A ou do conjunto B. Propriedades imediatas: a) A È A = A b) A È f = A c) A È B = B È A (a união de conjuntos é uma operação comutativa) d) A È U = U , onde U é o conjunto universo. 4.2 - Interseção ( Ç ) Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto interseção A Ç B = {x; x Î A e x Î B}. Exemplo: {0,2,4,5} Ç { 4,6,7} = {4}. Percebe-se facilmente que o conjunto interseção contempla os elementos que são comuns aos conjuntos A e B. Propriedades imediatas: a) A Ç A = A b) A Ç Æ = Æ c) A Ç B = B Ç A ( a interseção é uma operação comutativa) d) A Ç U = A onde U é o conjunto universo. São importantes também as seguintes propriedades : P1. A Ç ( B È C ) = (A Ç B) È ( A Ç C) (propriedade distributiva) P2. A È ( B Ç C ) = (A È B ) Ç ( A È C) (propriedade distributiva) P3. A Ç (A È B) = A (lei da absorção) P4. A È (A Ç B) = A (lei da absorção) Obs: Se A Ç B = f , então dizemos que os conjuntos A e B são Disjuntos. 4.3 - Diferença: A - B = {x ; x Î A e x Ï B}. Observe que os elementos da diferença são aqueles que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo. Exemplos: { 0,5,7} - {0,7,3} = {5}. {1,2,3,4,5} - {1,2,3} = {4,5}. Propriedades imediatas: a) A - f = A b) f - A = f c) A - A = Æ d) A - B ¹ B - A ( a diferença de conjuntos não é uma operação comutativa). 4.3.1 - Complementar de um conjunto Trata-se de um caso particular da diferença entre dois conjuntos. Assim é , que dados dois conjuntos A e B, com a condição de que B Ì A , a diferença A - B chama-se, neste caso, complementar de B em relação a A . Simbologia: CAB = A - B. Caso particular: O complementar de B em relação ao conjunto universo U, ou seja , U - B ,é indicado pelo símbolo B' .Observe que o conjunto B' é formado por todos os elementos que não pertencem ao conjunto B, ou seja: B' = {x; x Ï B}. É óbvio, então, que: a) B Ç B' = f b) B È B' = U c) f' = U d) U' = f 5 - Partição de um conjunto Seja A um conjunto não vazio. Define-se como partição de A, e representa-se por part(A), qualquer subconjunto do conjunto das partes de A (representado simbolicamente por P(A)), que satisfaz simultaneamente, às seguintes condições: 1 - nenhuma dos elementos de part(A) é o conjunto vazio. 2 - a interseção de quaisquer dois elementos de part(A) é o conjunto vazio. 3 - a união de todos os elementos de part(A) é igual ao conjunto A. Exemplo: Seja A = {2, 3, 5} Os subconjuntos de A serão: {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, e o conjunto vazio - Ø. Assim, o conjunto das partes de A será: P(A) = { {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, Ø } Vamos tomar, por exemplo, o seguinte subconjunto de P(A): X = { {2}, {3,5} } Observe que X é uma partição de A - cuja simbologia é part(A) - pois: a) nenhum dos elementos de X é Ø . b) {2} Ç {3, 5} = Ø c) {2} U {3, 5} = {2, 3, 5} = A Sendo observadas as condições 1, 2 e 3 acima, o conjunto X é uma partição do conjunto A. Observe que Y = { {2,5}, {3} } ; W = { {5}, {2}, {3} }; S = { {3,2}, {5} } são outros exemplos de partições do conjunto A. Outro exemplo: o conjunto Y = { {0, 2, 4, 6, 8, ...}, {1, 3, 5, 7, ...} } é uma partição do conjunto N dos números naturais, pois {0, 2, 4, 6, 8, ...} Ç {1, 3, 5, 7, ...} = Ø e {0, 2, 4, 6, 8, ...} U {1, 3, 5, 7, ...} = N . 6 - Número de elementos da união de dois conjuntos Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A seja n(A) e o número de elementos de B seja n(B). Nota: o número de elementos de um conjunto, é também conhecido com cardinal do conjunto. Representando o número de elementos da interseção A Ç B por n(A Ç B) e o número de elementos da união A È B por n(A È B) , podemos escrever a seguinte fórmula: n(A È B) = n(A) + n(B) - n(A Ç B) Conjuntos numéricos Números Naturais: {1,2,3,4,5,......,11,12,.....} Números Inteiros: {....,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...} Seqüências: {0,1,2,....,10,11,12,13,...} Números Racionais: {p/q | p e q são números inteiros , q = 0}; os conjuntos de números naturais , números inteiros e seqüenciais , assim como os números que podem ser grafados em frações, são subconjuntos dos números racionais. Números Irracionais: {x| , x é um número real, mas não um número racional }; os conjuntos de números racionais e irracionais não tem elementos em comum e por isso são conjuntos desarticulados. Números Reais: {x|x é a coordenada de um ponto em uma linha numérica}; a união do conjunto de números racionais com um conjunto de números irracionais equivale ao conjunto de números reais. Números Imaginários: {ai| a é um número real e i é o número cuja segunda potência é -1}; i² = -1; os conjuntos de números reais e imaginários não tem elementos comuns e são conjuntos desarticulados. Números Complexos: {a + bi| a e b são números reais e i é o número cuja segunda potência é -1}; o conjunto de números reais e o de imaginários são subconjuntos dos números complexos. fonte:vestibular1.com.br

A Gripe

A gripe, causada pelo vírus influenza, provoca sintomas semelhantes ao do resfriado comum, porém com maior intensidade. Complicações podem desencadear em pneumonia, e até óbito, principalmente em pessoas com imunidade mais baixa.

Diante desses fatos, anualmente é executada a Campanha Nacional do Idoso Contra a Gripe, a fim de reduzir o índice de internações e mortalidade da população idosa, acima de 60 anos - e também de indígenas com idade igual ou superior a seis meses, profissionais da saúde e população carcerária - por esta doença.

A vacina, feita a partir de vírus inativados, previne contra os principais e mais recentes tipos destes. Tal afirmação significa que nem todo tipo de gripe é combatido por meio deste método. Mesmo assim, é essencial que estas pessoas sejam vacinadas anualmente, considerando o alto poder de mutação do influenza, o potencial desta em reduzir a gravidade de outros tipos deste vírus, e seus 98% de eficácia.

É raro acontecer reações adversas à vacina. Quando ocorrem, geralmente são caracterizadas por dor, vermelhidão local, febre ou reações alérgicas. Quanto a este último sintoma, considerando que a vacina é produzida em ovos de galinha, é essencial que pessoas alérgicas a esse alimento consultem previamente o agente de saúde, para verificar se é viável ou não tomá-la.
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Vacinas

A vacina é uma substância tóxica sintetizada a partir de agentes patogênicos como vírus e bactérias que atuam como antígenos no organismo. Ao entrar no organismo, a vacina estimula a produção de anticorpos específicos para que este imunize o mesmo contra o corpo estranho.

Quando o organismo recebe uma determinada vacina pela primeira vez a resposta do sistema imunitário é mais demorada e com pouca quantidade de anticorpos, já na segunda vez a reação do sistema imunitário já é mais rápida e com produção em maior quantidade.

Pelo fato da vacina apresentar agentes patogênicos enfraquecidos ou mortos, o organismo não utiliza toda a quantidade de anticorpos produzidos fazendo com que estes permaneçam no organismo para que já esteja protegido em casos de contração destes agentes. Este tipo de vacinação é denominada ativa e é relativamente duradoura, pois o antígeno permanece registrado no sistema imune que se mantém preparado para uma possível invasão. Seus efeitos colaterais são variáveis de acordo com a substância inserida no organismo.

Há também a imunização passiva que é a introdução de anticorpos prontos no organismo para combater de forma rápida os antígenos existentes. É utilizada quando não se pode esperar pela produção natural de anticorpos do organismo. É denominada soro.

É uma forma de imunização rápida e passageira, pois pelo fato do organismo não ter trabalhado para produzir seus anticorpos, não armazena sua passagem pelo organismo.

As vacinas protegem não só um determinado organismo em que foi introduzida, mas toda uma sociedade que é impedida de contrair epidemias a partir de um só doente. Além de doenças infecciosas as vacinas também protegem o organismo de inúmeras outras doenças. Dentre as vacinas que existem destacamos:

Bcg: contra formas graves da tuberculose;
Hepatite B;
Sabin: contra poliomielite ou paralisia infantil;
Tríplice bacteriana: contra difteria, tétano e coqueluche;
Hib: contra meningite e outras provocadas por Haemophilus influenzae tipo b;
Sarampo;
Febre amarela;
Tríplice viral: contra sarampo, rubéola, rubéola congênita e caxumba;
Gripe;
Hepatite A;
Catapora e outras.
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Distância de um ponto a uma reta

Distância de um ponto a uma reta

Considere a reta ax + by + c = 0 e o ponto P(x0; y0), que não pertence à reta.






A distância do ponto P à reta r será:




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