Função Modular

O valor absoluto de um número real é o próprio número real sem considerar o sinal, consequentemente não negativo.

Exemplos:
| + 7 | = 7                 | – 4 | = 4                 | 3 | = 3

Sendo "a" um número real, | a | não pode ser igual a "a", pois se "a" fosse, por exemplo, –6, teria-se:
| – 6 | = – 6, o que estaria errado, mas se "a" fosse, por exemplo, 4, teria-se:
| 4 | = 4, que estaria certo.
Portanto, | a | = a, se "a" for positivo ou nulo e | a | = – a, se "a" for negativo.

Uma função real onde a variável está em módulo (valor absoluto) é dita função modular.
f :   
y = | f(x) |

Exemplos de função modular:
f(x) = | 2x + 4 |

g(x) = | x² – 4x + 3 |

O modulo de um número real é igual a raiz quadrada desse número ao quadrado | x | = 

Representação gráfica

O gráfico de uma função modular pode ser esboçado mediante a separação em sentenças, por exemplo, dada a função f(x) = | 2 – x |.
Transformando-a em uma função de duas sentenças, cujo domínio real é dividido em duas condições (uma positiva ou nula e outra negativa).

Estudando o sinal da função que está em módulo, ou seja, achando a raiz da função que está no módulo, 2 – x = 0; e portanto x = 2.
Logo, tem-se:
f(x) > 0 quando x  2
f(x) = 0 quando x = 2         daí,        f(x) = 2 – x,   se x  2
f(x) < 0 quando x > 2         daí,        f(x) = – 2 + x,   se x > 2
f(x) = 

Assim, f(1) = 2 – 1 = 1                f(2) = 2 – 2 = 0                  f(3) = – 2 + 3 = 1

Representando numa tabela tem-se:
                           

Equação modular

Uma equação em que a incógnita esteja em módulo é chamada de equação modular.

Resolução:
Para resolver uma equação modular da forma | f(x) | = a, com "a" um número real negativo.
| 2x – 3 | = – 5, neste caso, a solução é vazio, pois nunca pode dar negativo.
S = 

Para resolver uma equação modular da forma | f(x) | = 0.
| 2x – 3 | = 0, apenas a raiz é a solução, ou seja, 2x – 3 = 0  2x = 3 e daí, x = 3/2.
S = {3/2}

Para resolver uma equação modular da forma | f(x) | = a, com "a" um número real positivo.
| 2x – 3 | = 5, neste caso, separa | 2x – 3 | em dois casos: 2x – 3 = 5 ou – 2x + 3 = 5.

Para 2x – 3 = 5 tem-se: 2x – 8 = 0 e daí, x = 4.
Para – 2x + 3 = 5 tem-se: – 2x – 2 = 0 e daí, x = – 1.
S = { – 1; 4 }

Inequação modular

Uma inequação em que a incógnita esteja em módulo é chamada de inequação modular.

Para resolver uma inequação modular da forma | f(x) | < 0.
| 2x – 3 | < 0, neste caso, a solução é vazio, pois nada que está em módulo pode ser negativo.
S = 

Para resolver uma inequação modular da forma | f(x) |  0.
| 2x – 3 | = 0, apenas a raiz é a solução.
S = {3/2}

Para resolver uma inequação modular da forma | f(x) | > 0.
| 2x – 3 | > 0, neste caso, apenas a raiz não pertence a solução:
S = { x   ; x  3/2 }

Para resolver uma inequação modular da forma | f(x) |  0.
| 2x – 3 |  0, qualquer número real é válido.
S = 

Para resolver uma inequação modular da forma | f(x) | < a ou | f(x) |  a, com "a" um número real negativo.
| 2x – 3 | < – 5 ou | 2x – 3 |  – 5, neste caso, a solução é vazio, pois nunca pode dar negativo.
S = 

Para resolver uma inequação modular da forma | f(x) | < a, com "a" um número real positivo.
| 2x – 3 | < 5, neste caso, separa | 2x – 3 | em dois casos: 2x – 3 < 5 ou – 2x + 3 < 5.

Para 2x – 3 < 5 tem-se: 2x – 8 < 0 e daí, x < 4 (onde 2x – 8 é menor que zero, ou seja, negativo).
Para – 2x + 3 < 5 tem-se: – 2x – 2 < 0 e daí, x > – 1 (onde – 2x – 2 é menor que zero, ou seja, negativo).
S = { x   ; – 1 < x < 4 }

Para resolver uma inequação modular da forma | f(x) |  a, com "a" um número real positivo.
| 2x – 3 |  5, e a mesma situação anterior acrescentado o igual.
S = x   ; – 1  x  4 }

Para resolver uma inequação modular da forma | f(x) | > a, com "a" um número real positivo.
| 2x – 3 | > 5, neste caso, separa | 2x – 3 | em dois casos: 2x – 3 > 5 ou – 2x + 3 > 5.
Para 2x – 3 > 5 tem-se: 2x – 8 > 0 e daí, x > 4 (onde 2x – 8 é maior que zero, ou seja, positivo).
Para – 2x + 3 > 5 tem-se: – 2x – 2 > 0 e daí, x < – 1 (onde – 2x – 2 é maior que zero, ou seja, positivo).
S = { x   ; x < – 1 ou x > 4 }

Para resolver uma inequação modular da forma | f(x) |  a, com "a" um número real positivo.
| 2x – 3 |  5, é a mesma situação anterior acrescentado o igual.
S = x   ; x  – 1 ou x  4 }

Exercícios Resolvidos

R01 — Faça um Esboço gráfico de f(x) = | x – 1 |.

Encontrando a raiz: x – 1 = 0 então, a raiz é x = 1. Como a direita da raiz é positivo e a esquerda é negativo, vem que:
f(x) = x – 1,  se x  1    e    f(x) = – x + 1,  se x < 1.
f(x) = 
Assim, f(0) = – 0 + 1 = 1,        f(1) = 1 – 1 = 0,        f(2) = 2 – 1 = 1.
                   

R02 — Faça um Esboço gráfico de f(x) = | x – 1 | + 1.

Como a raiz é x = 1 tem-se:
f(x) = x – 1 + 1 = x,  se  1    e    f(x) = – x + 1 + 1 = – x + 2,  se x < 1.
f(x) = 
Assim, f(0) = – 0 + 2 = 2,        f(1) = 1,        f(2) = 2.
                   

R03 — Faça um Esboço gráfico de f(x) = | x – 1 | – 1.

Como a raiz é x = 1 tem-se:
f(x) = x – 1 – 1 = x – 2,  se  1    e    f(x) = – x + 1 – 1 = – x,  se x < 1.
f(x) = 
Assim, f(0) = – 0 = 0,        f(1) = 1 – 2 = 0,        f(2) = 2 – 2 = 0.
                   

R04 — Esboçe o gráfico de f(x) = | | x – 1 | – 1 |.

Encontrando a raiz de | x – 1 | tem-se x = 1, então | x – 1 | = x – 1,  se x  1    e    | x – 1 | = – x + 1,  se x < 1.
Então f(x) = | x – 1 – 1 | = | x – 2 |, se x  1 e f(x) = | – x + 1 – 1 = | – x |,  se x < 1.
Para x  1:
A raiz de x – 2 = 0 é x = 2 (que é positivo  se x  2 e negativo  se x < 2).
f(x) = x – 2,  se x  2    e    f(x) = – x + 2,  se 1  x < 2.

Para x < 1:
A raiz de – x = 0 é x = 0 (que é positivo quando x  0 e negativo  se x > 0).
f(x) = – x  se x  0    e    f(x) = – (–x) = x,  se 0 < x < 1.
f(x) = 
Assim, f(– 1) = – (– 1) = 1,        f(0) = – 0 = 0,        f(1) = – 1 + 2 = 1,        f(2) = 2 – 2 = 0,        f(3) = 3 – 2 = 1.

R05 — Resolva a equação | | 2x – 1 | – 3 | = 2.

Há duas opções para esta equação: ou | 2x – 1 | – 3 = 2    ou    | 2x – 1 | – 3 = – 2.
Na primeira | 2x – 1 | = 2 + 3 = 5, o que dá duas opções: 2x – 1 = 5 e daí, 2x = 6 logo x = 3    ou     2x – 1 = – 5 e daí, 2x = – 4, logo x = – 2.

Na segunda | 2x – 1 | = – 2 + 3 = 1, o que também dá duas opções: 2x – 1 = 1    ou    2x – = – 1.
Em 2x – 1 = 1, tem-se x = 1    e    em 2x – 1 = – 1, tem-se, x = 0.

Portanto, a solução é S = { – 2, 0, 1, 3 }.

R06 — Encontre a solução da inequação 6 > | x² + 5x |.

Em | x² + 5x | < 6, têm-se: x² + 5x < 6    ou    x² + 5x > – 6
O que é o mesmo que resolver as inequações:
x² + 5x – 6 < 0    ou    x² + 5x + 6 > 0

Para x² + 5x – 6 = 0 tem-se:
x' = 1 e x'' = – 6
E como se deseja que x² + 5x – 6 seja negativo, a solução é – 6 < x < 1.

Para x² + 5x + 6 = 0 tem-se:
x' = – 2 e x'' = – 3
E como se deseja que x² + 5x + 6 seja positivo, a solução é x < – 3 ou x > – 2.



Logo a solução da inequação | x² + 5x | < 6 é:
S = { x   ; – 6 < x < – 3    ou    – 2 < x < 1 }

R07 — Calcule k de modo que a função (| 2k – 3 |)x² + 5x – 3 seja do 2° grau.

Para ser do 2° grau, | 2k – 3 |  0 e, portanto, com exceção da raiz qualquer real serve.
A raiz é 2k – 3 = 0, ou seja, k = 3/2. Então a solução é:
S = { k   ; k  3/2 }

R08 — Esboce um gráfico para a função modular dada por f(x) = | x + 2 | – | x + 1 |.

Em | x + 2 | se tem: x + 2, se x  – 2 e – x – 2, se x < – 2.
Em | x + 1 | se tem: x + 1, se x  – 1 e – x – 1, se x < – 1.

Se x  – 2 e x  – 1 tem-se:
f(x) = x + 2 – ( x + 1 ) = x + 2 – x – 1 = 1, se x  – 1.

Se x  – 2 e x < – 1 tem-se:
f(x) = x + 2 – ( – x – 1 ) = x + 2 + x + 1 = 2x + 3, se – 2  x < – 1.

Se x < – 2 e x  – 1, não há intervalo comum.

Se x < – 2 e x < – 1 tem-se:
f(x) = – x – 2 – ( – x – 1 ) = – x – 2 + x + 1 = – 1, se x < – 2.

Assim, a lei de formação de f(x) é dada por:
f(x) = 

R09 — Dada a função f(x) = | k – 1 |x² – x – 3. Determine k para que a função tenha raízes reais e distintas.

Para que raízes distintas  > 0, então:
 = (– 1)² – 4 . | k – 1 | . (– 3) = 1 + 12 . | k – 1 |.
1 + 12 . | k – 1 | > 0    ou     12 . | k – 1 | > – 1    ou     | k – 1 | > – 1/12

Como sempre o módulo é positivo, então qualquer que seja o k real é válido.

R10 — As raízes da equação | x |² + | x | – 6 = 0:
a) são positivas
b) tem soma igual a zero
c) tem soma igual a um
d) tem produto igual a seis
e) tem produto igual a menos seis

Substituindo | x | por "y" tem-se: y² + y – 6 = 0, cujas raízes são y' = – 3 e y'' = 2.
Então | x | = – 3    ou     | x | = 2
Como a primeira não tem solução, as únicas soluções são x = – 2    ou     x = 2.
Alternativa "b".

R11 — Resolva a equação  = 4.

Elevando ambos os membros ao quadrado têm-se:
(x – 1)² = 16  x – 1 = ± 4, e daí, x' = 5 e x'' = – 3.
S = { – 3, 5 }

Outra forma de resolver seria:
 = | x – 1 | = 4, e daí,    x – 1 = 4         ou         x = 4 + 1 = 5         e          x – 1 = – 4         ou         x = – 4 + 1 = – 3.

R12 — Resolva a equação | 3 – 2x | = x + 3.

Neste caso, é necessário x + 3 > 0,  ou seja,  x > – 3.
3 – 2x = x + 3      ou      – 3 + 2x = x + 3
3 – 3 = x + 2x      ou      2x – x = 3 + 3
0 = 3x      ou      x = 6

Como ambos são maiores que – 3, então:
S = { 0, 6 }.

Exercícios Propostos

P01 — Faça um esboço gráfico de f(x) = | 1 – 2x |.

P02 — Resolva a equação | 3 – 5x | = 1.

P03 — Represente graficamente a função y = | – x² + 2x + 3 |.

P04 — Resolva a equação | 2 – 4x | = 3x – 5.

P05 — Resolva a inequação | 3x + 9 |  6.

P06 — Esboce um gráfico para a função modular f(x) = | 2x – 6 | + | x – 3 |.

P07 — Resolva a equação 3| x |² – | x | – 2 = 0.

P08 — Determine o valor de k para que o gráfico da função f(x) = ( | k² – 4 | )x² + x – 2 tenha a concavidade voltada para cima.

P09 — A soma das raízes da equação | x² – 3x | = 2 é:
a) 3                  b) 4                  c) 5                  d) 6                  e) 7

P10 — Encontre k para que a função f(x) = (| 2k – 1 | – 4)x + 7 seja crescente.

P11 — Determine k para que a função y = (| k | – 3)x² – 5x + 6 tenha a concavidade voltada para baixo.

P12 — Encontre a solução de | 4 – 3x | > 2x – 1.

P13 — Obtenha o conjunto-solução de   0.

P14 — Resolva a inequação: | x + 1 | – | 2 – x | < 0.

P15 — Encontre a solução de | x – 4 | = | 2x – 3 |.

P16 — Esboce um gráfico para a função modular dada por f(x) = | x + 2 | + | x + 1 |.

P17 — Considere a equação | x | = x – 6. Com respeito à solução real dessa equação, podemos afirmar que:
a) a solução pertence ao intervalo [ 1, 2 ]
b) a solução pertence ao intervalo [ –2, –1 ]
c) a solução pertence ao intervalo ] –1, 1 [
d) a equação não tem solução

P18 — O maior valor que y pode assumir em y = 3 – | x – 3 | é:
a) 2                 b) 3                 c) 6                d) 9                 e) 27

P19 — Encontre k para que a função f(x) = (| 3k – 3| – 5)x + 7 seja do 1° grau.

P20 — Determine k para que a função y = (| 2k + 6 | – 6)x² – 5x + 1 tenha a concavidade voltada para cima.

Fonte: http://hpdemat.apphb.com

numeros naturais

Equação modular

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

email accbarroso@hotmail.com        

 www.ensinodematemtica.blogspot.com.br         www.youtube.com/accbarroso1

www.accbarrosogestar.blogspot.com.br 

www.accbarrosogestar.wordpress.com       

Utilizando a definição de módulo que diz:

| x | = x, se x for maior ou igual a zero.
| x | = – x, se x for menor que zero.

Podemos resolver equações modulares, uma vez que:

Se | x | = k, então x = k ou x = – k.

Exemplo 1. Resolva a equação | 2x – 5 | = 7.
Solução: Da definição de módulo, temos que:
2x – 5 = 7 ou 2x – 5 = – 7
2x = 7 + 5 2x = – 7 + 5
2x = 12 2x = – 2
x = 6 x = – 1
Portanto, S = {– 1, 6}

Exemplo 2. Resolva a equação |x2 + 4x + 5| = 5
Solução: Temos que
x2 + 4x + 5 = 5 ou x2 + 4x + 5 = – 5
x2 + 4x + 5 – 5 = 0 x2 + 4x + 5 + 5 = 0
x2 + 4x = 0 x2 + 4x + 10 = 0
x(x + 4) = 0 Δ = 16 – 40 = – 24
x = 0 ou x = – 4 não possui solução real, pois Δ < 0
Portanto, S = {– 4, 0}

Exemplo 3. Determine o conjunto solução da equação:
| x |2 – 8| x | – 9 = 0

Solução: Nesse caso, devemos fazer uma mudança de variável.
| x | = y
Substituindo na equação inicial, obtemos:
y2 – 8y – 9 = 0
Δ = (– 8)2 – 4*1*(– 9) = 64 + 36 = 100
y = 9 ou y = – 1
Daí, temos que:
| x | = 9 → x = 9 ou x = – 9
| x | = – 1 → não faz sentido, uma vez que o módulo de um número é sempre um valor positivo.
Portanto, S = { - 9, 9}
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Razões trigonométricas de 30º,60º e45º

Gráfico de Inequações do 1º Grau

Professor de Matemática Antonio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

email accbarroso@hotmail.com

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Diferente das equações, as inequações são expressões matemáticas que apresentam em sua configuração sinais de desigualdade. Veja:

>: maior que
<: menor que
≥: maior ou igual que
≤: menor ou igual que

As inequações são utilizadas em cálculos envolvendo restrições ao valor da incógnita. Por exemplo, ao resolvermos a equação 2x + 5 > 11, descobrimos que seu valor é correspondente a x > 3, de modo a respeitar a condição da inequação.

Os sinais de desigualdade podem ser utilizados em qualquer expressão matemática envolvendo incógnitas, como funções do 1º grau, do 2º grau, exponenciais, logarítmicas, trigonométricas, modulares.

As inequações também possuem gráficos representados no plano cartesiano. Na construção deles devemos levar em consideração o sinal da desigualdade.

Exemplo 1
Vamos determinar a construção do gráfico da seguinte expressão: 2x + 4 ≤ 0.

y = 0
2x + 4 ≤ 0
2x ≤ – 4
x ≤ –2

Gráfico




Exemplo 2

Construir o gráfico da inequação x + 4 ≥ 0, de acordo com a raiz da função.

y = 0
x + 4 ≥ 0
x ≥ – 4

Gráfico


Exemplo 3
Determinando o gráfico da inequação –2x + 7 > 0.

–2x + 7 > 0
–2x > –7
x < –7/2
x < –3,5
Gráfico

Marcos Noé Pedro da Silva

Sistemas e Equações Lineares

Equações Lineares
As equações do tipo a₁x₁ + a₂x₂ + a₃x₃ + .....+ a_nx_n = b, são equações lineares, onde a₁, a₂, a₃, ... são os coeficientes; x₁, x₂, x₃,... as incógnitas e b o termo independente.
A equação 4x – 3y + 5z = 31 é uma equação linear. Os coeficientes são 4, –3 e 5; x, y e z as incógnitas e 31 o termo independente.
Para x = 2, y = 4 e z = 7, temos 4*2 – 3*4 + 5*7 = 31, concluímos que o terno ordenado (2,4,7) é solução da equação linear
4x – 3y + 5z = 31.

Para x = 1, y = 0 e z = 3, temos 4*1 – 3*0 + 5*3 ≠ 31, concluímos que o terno ordenado (1,0,3) não é solução da equação linear
4x – 3y + 5z = 31.
www.mundoeducacao.com.br

Sistemas Lineares

Dizemos que o conjunto de equações lineares forma um sistema linear.

Exemplos

2x + 3y = 10
x – 5y = 2Sistema linear com duas equações e duas incógnitas.

5x – 6y – 2z = 15
9x – 10y + 5z = 20Sistema linear com duas equações e três incógnitas.

x + 9y + 6z = 20
3x – 10y – 12z = 5
-x + y + z = 23Sistema linear com três equações e três incógnitas.

x+ y + z + w = 36
2x – y +2z + 9w = 40
-5x + 3y – 5z + 5w = 16Sistema linear com três equações e quatro incógnitas.

O sistema linear abaixo admite o terno ordenado (1, 2, 3) como solução.

x + 2y – z = 2
2x – y + z = 3
x + y + z = 6
1 + 2*2 – 3 = 2 → 1+ 4 – 3 = 2 → 2 = 2
2*1 – 2 + 3 = 3 → 2 – 2 + 3 = 2 → 3 = 3
1 + 2 + 3 = 6 → 6 = 6

No entanto, ele não admite como solução o terno ordenado (1, 2, 4).
1 + 2*2 – 3 = 2 → 1+ 4 – 3 = 2 → 2 = 2
2*1 – 2 + 3 = 3 → 2 – 2 + 3 = 2 → 3 = 3
1 + 2 + 4 = 6 → 7 ≠ 6

Fatoração

As fatorações são utilizadas no intuito de transformar expressões e equações algébricas em procedimentos envolvendo o produto de duas ou mais expressões. Dessa forma, em algumas situações, as equações podem ser resolvidas de forma simples e direta. Para a realização da fatoração simultânea, o conhecimento das técnicas envolvendo termo comum em evidência, agrupamento, diferença entre dois quadrados, trinômio quadrado perfeito e trinômio soma e produto, é de extrema importância. Em alguns polinômios, a fatoração por completo exige a utilização de duas ou mais técnicas informadas.

Observe alguns exemplos envolvendo a utilização da fatoração simultânea:


Exemplo 1

x³ + 2x² + x
1ª fatoração: fator comum em evidência
x * (x² + 2x + 1)
2ª fatoração: trinômio quadrado perfeito
x * (x + 1)²

x³ + 2x² + x → x * (x + 1)²


Exemplo 2

a²x – b²x
1ª fatoração: fator comum em evidência
x * (a² – b²)
2ª fatoração: diferença entre dois quadrados
x * (a + b) * (a – b)

a²x – b²x → x * (a + b) * (a – b)



Exemplo 3

x²b + 5bx + 6b
1ª fatoração: fator comum em evidência
b * (x² + 5x + 6)
2ª fatoração: trinômio soma e produto
b * (x + 2) * (x + 3)

x²b + 5bx + 6b → b * (x + 2) * (x + 3)


Exemplo 4

4x³ + 3x² – 4y²x – 3y²
1ª fatoração: agrupamento
x² * (4x + 3) – y² * (4x + 3)
(x² – y²) * (4x + 3)
2ª fatoração: diferença entre dois quadrados
(x + y) * (x – y) * (4x + 3)

4x³ + 3x² – 4y²x – 3y² → (x + y) * (x – y) * (4x + 3)



Exemplo 5

a³ – a
1ª fatoração: fator em evidência
a * (a² – a)
2ª fatoração: diferença entre dois quadrados
a * (a + 1 ) * (a – 1)

a³ – a → a * (a + 1 ) * (a – 1)



Exemplo 6

12x³ – 3xy²
1ª fatoração: fator em evidência
3x * (4x² – y²)
2ª fatoração: agrupamento
3x * (2x – y) * (2x + y)

12x³ – 3xy² → 3x * (2x – y) * (2x + y)
Fatorar é o mesmo que decompor o número em fatores primos, isto é, escrever um número através da multiplicação de números primos. Na fatoração utilizamos os números primos obedecendo a uma ordem crescente de acordo com as regras de divisibilidade em razão do termo a ser fatorado. Números primos são aqueles que podem ser divididos somente por um e por ele mesmo. Observe a decomposição em fatores primos dos números a seguir:

24 = 2 x 2 x 2 x 3
10 = 2 x 5
52 = 2 x 2 x 13
112 = 2 x 2 x 2 x 2 x 7
600 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 x 5

Forma prática de fatoração

O número a ser fatorado deverá ocupar a coluna da esquerda e a coluna da direita será preenchida com os fatores primos. Ao dividir o número pelo algarismo primo os resultados deverão ser colocados na coluna da direita. As divisões deverão ser efetuadas no intuito de simplificar ao máximo o número, isto é reduzi-lo ao número 1.



Objetivos da fatoração

Cálculo da raiz quadrada de um número.

Vamos determinar a raiz quadrada do número 144.

De acordo com a fatoração do número 144 temos: 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3.
No caso da raiz quadrada, podemos representar o número 144 da seguinte forma:
2² x 2² x 3². Como o índice da raiz quadrada é 2, podemos simplificar os expoentes de valor 2 com o índice 2 da raiz. As bases dos expoentes simplificados saem da raiz multiplicadas entre si. Acompanhe a demonstração a seguir:

Dado dois números quaisquer x e y. Se subtrairmos ficará: x – y, se montarmos uma expressão algébrica com os dois números obteremos: x2 + xy + y2, assim, devemos multiplicar as duas expressões encontradas.

(x - y) (x2 + xy + y2) é necessário utilizar a propriedade distributiva;

x3 + x2y + xy2 - x2y –xy2 - y3 unir os termos semelhantes;

x3 - y3 é uma expressão algébrica de dois termos, os dois estão elevados ao cubo e subtraídos.

Assim, podemos concluir que x3 - y3 é uma forma geral da soma de dois cubos onde
x e y podem assumir qualquer valor real.

A forma fatorada de x3 - y3 será (x - y) (x2 + xy + y2).

Com o conhecimento de todos os casos de fatoração, quando for preciso fatorar alguma expressão algébrica devemos sempre observar em qual dos casos ela se enquadra, veja os exemplos de como fazer esse reconhecimento.

Exemplo:
Se tivermos que fatorar a seguinte expressão algébrica 27x3 – y3 devemos observar que ela tem dois termos. Lembrando dos casos de fatoração, o único caso que fatora dois termos é a diferença de dois quadrados, soma de dois cubos e a diferença de dois cubos.

No exemplo acima os dois termos estão ao cubo e entre eles há uma subtração, então devemos utilizar o 7º caso de fatoração (diferença de dois cubos), para fatorarmos devemos escrever a expressão algébrica 27x3 – y3 da seguinte forma:
(x - y) (x2 + xy + y2). Ao tirar as raízes cúbicas dos dois termos, temos: 27x3 – y3.

A raiz cúbica de 27x3 é 3x e a raiz cúbica de y3 é y. Agora, basta substituir valores, no lugar de x colocaremos 2x e no lugar de y colocaremos 3 na forma fatorada
(x - y) (x2 + xy + y2) , ficando assim:

(3x – y) ((3x)2 + 3x . y + y2)

(3x – y) (9x2 + 3xy + y2)

Então, (2x – 3) (4x2 + 6x + 9) é a forma fatorada da expressão algébrica 8x3 – 27.

Exemplo 2
Para resolvemos a fatoração utilizando a diferença de dois cubos devemos seguir os mesmos passos do exemplo anterior. Fatorando a expressão algébrica r3 – 64 temos: As raízes cúbicas de r3 é r e de 64 é 4, substituindo teremos no lugar de x o r e no lugar de y o 4.

(r – 4) (r2 + 4r + 16) é a forma fatorada de r3 – 64.

Dado dois números quaisquer x e y, se somarmos os dois obteremos x + y, se montarmos uma expressão algébrica com os dois números teremos x2 - xy + y2, agora devemos multiplicar as duas expressões encontradas.

(x + y) (x2 - xy + y2) utilize a propriedade distributiva;

x3 - x2y + xy2 + x2y –xy2 + y3 una os termos semelhantes;

x3 + y3 é uma expressão algébrica de dois termos onde os dois estão elevados ao cubo e somados.

Assim, podemos concluir que x3 + y3 é uma forma geral da soma de dois cubos onde
x e y poderão assumir qualquer valor real.

A forma fatorada de x3 + y3 será (x + y) (x2 - xy + y2).

Veja alguns exemplos:

Exemplo1:
27x3 + 1000 é a soma de dois cubos.

Podemos escrever essa expressão da seguinte forma:

33x3 + 103, assim: x = 3x e y = 10
Agora, basta usarmos a forma geral e fazermos as substituições.

(x + y) (x2 - xy + y2)
(3x + 10) ((3x)2 – 3x . 10 + 102)
(3x + 10) (9x2 – 30x + 100)

Portanto, a fatoração de 27x3 + 1000 será (3x + 10) (9x2 – 30x + 100).

Exemplo 2:
x3 + 1 é a soma de dois cubos.
Podemos escrever essa expressão da seguinte forma:

(x)3 + 13 assim: x = x e y = 1
Agora, basta usarmos a forma gral e fazermos as substituições.

(x + y) (x2 - xy + y2)

(x + 1) ((x)2 –x .1 + 12)

(x – 1) (x2 –x + 1)

Exemplo 3:
8x3 + y3 é a soma de dois cubos.
Podemos escrever essa expressão da seguinte forma:

(2x)3 + y3 assim: x = 2x e y = y
Agora, basta usarmos a forma gral e fazermos as substituições.

(x + y) (x2 - xy + y2)

(2x + y) ((2x)2 – 2xy + y2)

(2x + y) (4x2 – 2xy + y2)
Para fatorar uma expressão algébrica utilizando esse primeiro caso de fatoração, todos os monômios da expressão algébrica devem ter pelo menos algum termo em comum.
A fatoração é feita colocando o termo comum em evidência, veja alguns exemplos:

►a – ab é uma expressão algébrica, veja como devemos fatorar:

É preciso analisar se o 1º caso poderá ser utilizado para a fatoração, então é necessário analisar todos os seus monômios (termos) para ver se há termos em comum.

a – ab essa expressão tem dois monômios a e ab
Os dois possuem termos semelhantes: o termo semelhante é a. Então, colocamos esse termo comum em evidência.

Quando colocamos a em evidência devemos dividir a e ab (os monômios) por a (termo comum), assim:

a : a = 1, pois todo número (ou letra) dividido por ele mesmo é igual a 1.

ab : a = b, pois a : a = 1, então ficaria 1b que é o mesmo que b.

Portanto a – ab = a (1 – b)
↓
Termos
em evidência

►a3 – 4a2 é uma expressão algébrica, veja como fatorar:

Essa expressão algébrica tem 2 monômios a3 e 4a2, eles têm o a como termo semelhante, então podemos colocá-lo em evidência, mas poderá surgir uma dúvida, devemos colocar o a3 ou a2? Devemos colocar sempre o de menor expoente, então colocamos a2.

Assim, devemos dividir a3 e 4a2 por a2, assim:

a3 : a2 = a, pois a3 = a .a .a, então a . a . a : a2 é o mesmo que 1a = a.

4a2 : a2 = 4, pois a2 : a2 = 1, então ficaria 4 . 1 que é mesmo que 4.

Portanto a3 – 4a2 = a2 (a – 4).
↓
Termos
em evidência


►x4 - 2x3 + x2 + x é uma expressão algébrica que tem quatro monômios, eles têm termos em comum, como esses termos têm mesma base devemos pegar o de menor expoente, então o termo em comum é x.

O termo em evidência deverá ser dividido pelos monômios x4 , 2x2 , x2 e x, assim:

x4 : x = x3, pois em bases iguais conservamos a base e diminuímos os expoentes.

2x3 : x = 2x2, pois em bases iguais conservamos a base e diminuímos os expoentes.

x2 : x = x, pois em bases iguais conservamos a base e diminuímos os expoentes.

x : x = 1, pois qualquer número ou letra dividido por ele mesmo é igual a 1.

Portanto x4 - 2x3 + x2 + x = x (x3 – 2x2 + x – 1).
↓
Termos
em evidência

► 4r + 12 é uma expressão algébrica, olhando rapidamente podemos pensar que não existe termo semelhante, o que seria errado, pois o número 12 pode ser fatorado em dois fatores 12 = 4 . 3, com essa fatoração percebemos que há um termo em comum na expressão algébrica, esse é o 4.

Então, pegamos os monômios 4r e 12 e dividimos por 4, ficando assim:

4r : 4 = 1r ou r

12 : 4 = 3

Portanto, 4r + 12 = 4 (r + 3)
↓
Termos
em evidência

► Para fatorarmos a expressão algébrica (x + 1) (x – 3) + 2 (x + 1) devemos ter um pouco mais de cuidado, pois em primeiro lugar separamos os termos:

(x + 1) (x – 3) + 2 (x + 1) a expressão possui dois termos.
↓ ↓
1º termo 2º termo

O termo semelhante é (x + 1), pois é encontrado tanto no 1º termo, como no 2º.

Então, devemos dividir o 1º termo e o 2º por (x + 1), ficando assim:

[(x + 1) (x – 3)] : (x + 1) = (x – 3)

2 (x + 1) : (x + 1) = 2

Portanto, (x + 1) (x – 3) + 2 (x + 1) = (x + 1) (x – 3 + 2)
(x + 1) (x – 3) + 2 (x + 1) = (x + 1) (x – 1)
↓
Termos
em evidência

Para conferir se as fatorações estão corretas, basta efetuar as fatorações, veja:

Para verificar se a fatoração 4r + 12 = 4 (r + 3) está correta, basta pegar a expressão algébrica fatorada 4 (r + 3) e resolvê-la:

Aplicando a propriedade distributiva temos: 4 (r + 3) = 4 . r + 4 . 3 = 4r + 12. Podemos concluir que a fatoração está correta.

Quando aplicamos o caso de fatoração por agrupamento, utilizamos a fatoração por termos comuns. Veja:

Se observarmos a expressão ab + 3b + 7a + 21 veremos que não são todos os monômios que têm termos semelhantes, mas podemos unir os que possuem termos semelhantes.

Assim, temos: ab + 3b + 7a + 21, agora aplicamos o 1º caso de fatoração (termo comum), colocando em evidência cada elemento comum de cada agrupamento.

ab + 3b + 7a + 21
↓ ↓
b termo 7 é o termo comum
comum

Então: b (a + 3) + 7 (a + 3)

Mesmo fazendo essa fatoração observamos que ainda podemos fazer mais uma fatoração, pois os dois termos b (a + 3) e 7 (a + 3) possuem um termo em comum
(a + 3). Então, aplicamos o processo do fator comum, ficando assim a fatoração:

b (a + 3) + 7 (a + 3)
(a + 3) (b + 7)

Portanto, a expressão algébrica ab + 3b + 7a + 21 fatorada fica assim: (a + 3) (b + 7).

Dada a expressão algébrica y2 – 5y + 6, sabemos que é um trinômio, mas os seus dois membros das extremidades não estão elevados ao quadrado, assim descarta a possibilidade de ser quadrado perfeito.

Então, o único caso de fatoração que podemos utilizar para fatorar essa expressão algébrica é x2 + Sx + P. Dada a expressão y2 – 5y + 6, observe se ela está em ordem decrescente de seus expoentes (do maior para o menor), se estiver basta achar dois números que somados resultem em -5 e que o produto deles resulte em 6.

Vamos fazer as tentativas para que o produto resulte em 6:
2 . 3 = 6

(- 2) . (- 3) = 6

6 . 1= 6

- 6 . (- 1) = 6

Devemos, dentre essas possibilidades, achar uma que a soma dos números dê -5. Concluímos que -2 + (-3) = -5, portanto a forma fatorada desse trinômio será:

(y – 2) (y – 3).

Dada a expressão m2 + 7m – 8, devemos achar dois números que somados resulte 7 e o produto deles seja -8. Verificamos as possibilidades do produto resultar em - 8:
- 1 . 8 = - 8

1 . (-8) = - 8

4 . (- 2) = - 8

- 4 . 2 = - 8

Devemos, dentre essas possibilidades, achar uma que a soma dos números dê 7. Concluímos que -1 + 8 = 7, portanto a forma fatorada desse trinômio será:

(m – 1) (m + 8).

Dado a expressão x2 + 4x – 12, devemos achar dois números que somados resulte em 4 e o produto do mesmo seja – 12. Verifiquemos as possibilidades de o produto resultar em -12:

1 .(-12) = -12

-1 . 12 = -12

6 . (-2) = -12

- 6 . 2 = -12

Devemos, dentre essas possibilidades, achar uma que a soma dos números dê 4. Concluímos que 6 +(- 2) = 4, portanto a forma fatorada desse trinômio será:

(x + 6) (x – 2)
Esse caso de fatoração só pode ser utilizado em expressões algébricas que possuem dois monômios e os mesmos devem estar elevados ao quadrado (elevados à quinta potência).

Chegamos à conclusão que a diferença de dois quadrados pode ser utilizada, quando:

-Tivermos uma expressão algébrica com dois monômios (sejam binômios).
- Os dois monômios forem quadrados.
- A operação entre eles for de subtração.

Veja alguns exemplos de expressões algébricas que seguem esse modelo:


• a2 - 16

• 1 – a2
3

• 4x2 – b2


Como fazer essa fatoração

Dada a expressão algébrica 9x2 – 81, veja os passos que devemos tomar para chegarmos à forma fatorada utilizando o 5º caso de fatoração.


A forma fatorada será (3x – 9) (3x + 9).

Veja alguns exemplos:

Exemplo 1:
A expressão algébrica x2 – 4 é uma expressão com dois monômios e as raízes quadradas são respectivamente x e 2, então a sua forma fatorada é (x – 2) (x + 2).


Exemplo 2:
Dada a expressão algébrica 16x2 – 25, a raiz dos termos 16x2 e 25 é respectivamente 4x e 5. Então, a forma fatorada é (4x – 5) (4x + 5).

Exemplo 3:
Dada a expressão algébrica 36x2 – 81y2, a raiz dos termos 36x2 e 81y2 é respectivamente 6x e 9y. Então, a forma fatorada é (6x – 9y) (6x + 9y).
Fonte mundoeducacao.com.br