Planejamento de Matemática 1º grau -Autor Antonio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves	Professor Antonio Carlos C Barroso	Turno Série 5ª série Ano Unidade I	Bibliografia Matemática Editora FTD José Ruy bonjorno
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Conteúdos	Objetivos	Metodologias	Avaliação
Números Naturais: - Sistema de numeração - Adição e subtração - Multiplicação e divisão	Traduzir em palavras números representados por algarismos e vice-versa; - Fazer cálculo de cabeça usando a decomposição de números; - Traduzir, por meio de representação escrita ou oral, as unidades das diversas ordens; - Identificar as diversas classes na representação de um número; - Ler corretamente a escrita de um número; - Escrever corretamente os números usando algarismos. - Identificar os números naturais; - Associar adição a situações de juntar e contar e a situações de acrescentar; - Resolver problemas com situações de adição e subtração; - Resolver expressões numéricas com adição e subtração; - Associar a subtração às situações de tirar e contar, de diminuir e de completar; - Reconhecer a subtração como operação inversa da adição	Aula Expositiva	Através da participação do aluno Na resolução de exercícios Freqüência Participação nos debates Teste Prova Lista de exercícios

Colégio Estadual Dinah Gonçalves	Professor Antonio Carlos C Barroso		Turno Série 5ª serie Ano Unidade II	Bibliografia Matemática Editora FTD José Ruy bonjorno
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Conteúdos	Objetivos		Metodologias	Avaliação
- Números primos: Decomposição em fatores primos - Divisores e múltiplos nos números naturais: Divisores de um número - Máximo divisor comum – MDC - Múltiplos de um número - Mínimo múltiplo comum - MMC Frações e Operações: - Números Fracionados - Frações equivalentes	Determinar a fatoração completa de um número. - Reconhecer se um número é, ou não, divisor de outro; - Determinar os divisores naturais de um número; - Calcular a quantidade de divisores de um número natural. - Identificar os divisores comuns de dois números naturais e reconhecer o MDC; - Determinar o MDC de dois números, pela regra das divisões sucessivas. - Identificar os múltiplos comuns de dois ou mais números e reconhecer o MMC - Determinar o MMC de dois ou mais números pela regra da decomposição simultânea - Representar e traduzir oralmente uma fração. - Distinguir frações próprias, impróprias e aparentes. - Identificar números naturais escritos sob a forma		Aula Expositiva	Através da participação do aluno Na resolução de exercícios Freqüência Participação nos debates Teste Prova Lista de exercícios
Colégio Estadual Dinah Gonçalves	Professor Antonio Carlos C Barroso	Turno Série 5ª Ano Unidade III		Bibliografia Matemática do ensino médio Editora FTD José Ruy bonjorno
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Conteúdos	Objetivos	Metodologias		Avaliação
- Comparação de frações - Operações com frações	- Comparar frações que têm denominadores iguais. - Comparar frações que têm numeradores iguais. - Comprar duas frações quaisquer. - Efetuar a adição e subtração de duas ou mais frações. - Resolver expressões numéricas com adição, subtração, multiplicação, divisão e potência. - Efetuar a multiplicação e divisão de duas frações. - Calcular potência com base fracionária.	Aula Expositiva		Através da participação do aluno Na resolução de exercícios Freqüência Participação nos debates Teste Prova Lista de exercícios

Colégio Estadual Dinah Gonçalves	Professor Antonio Carlos C Barroso	Turno Série 5ª serie Ano Unidade IV	Bibliografia Matemática Editora FTD José Ruy bonjorno
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Conteúdos	Objetivos	Metodologias	Avaliação
Números racionais na forma decimal - Representação decimal de um número racional - Comparação de números racionais na forma decimal Operações com números racionais na forma decimal - Adição e subtração - Multiplicação e divisão - Potenciação Geometria e Medidas: - Unidades de área - Unidades de volume - Unidades de massa	Reconhecer um número decimal Comparar números decimais Resolver as operações com decimais Definir números decimais Aplicar as propriedades de potencia - Reconhecer que medir uma superfície e compará-la com outra superfície tomada como unidade. - Conhecer as unidades padronizadas de superfície. - Transformar uma unidade de superfície em outra. - Conhecer como se calcula a área de alguns quadriláteros. - Transformar uma unidade de volume em outra. - Conhecer como se calcula o volume de alguns poliedros. - Conhecer a equivalência entre litro e o decímetro cubico	Aula Expositiva	Através da participação do aluno Na resolução de exercícios Freqüência Participação nos debates Teste Prova Lista de exercícios

Colégio Estadual Dinah Gonçalves	Professor Antonio Carlos C Barroso	Turno Série 6ª serie Ano Unidade I	Bibliografia Matemática Editora FTD José Ruy bonjorno
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Conteúdos	Objetivos	Metodologias	Avaliação
- Números Inteiros - Operações com Números Inteiros - Números Racionais - Operações com Números Racionais - Ângulos - Medida de ângulo - Operações envolvendo medidas de ângulos - Classificação dos ângulos	Resolver expressões numéricas com números inteiros. - Verificar e identificar as propriedades existentes na adição e na multiplicação. - Efetuar as operações envolvendo números racionais. - Desenvolver as expressões numéricas com números racionais. - Reconhecer a soma algébrica. - Classificar e construir ângulos. - Medir ângulos utilizando o transferidor. - Efetuar cálculos com as quatro operações envolvendo medidas de ângulos. - Reconhecer os ângulos consecutivos e opostos pelo vértice. - Diferenciar os tipos de ângulos. - Bissetriz de um ângulo - Resolver situações-problema envolvendo medidas de ângulos e suas classificações.	Aula Expositiva	Através da participação do aluno Na resolução de exercícios Freqüência Participação nos debates Teste Prova Lista de exercícios

Colégio Estadual Dinah Gonçalves	Professor Antonio Carlos C Barroso	Turno Série 6ª serie Ano Unidade II	Bibliografia Matemática Editora FTD José Ruy bonjorno
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- Média Aritmética - Potenciação - Propriedades da potenciação - Raiz Quadrada Equações - Situações-problema envolvendo equações	Definir média aritmética e efetuar cálculos. - Desenvolver e resolver situação-problema que envolva média. - Identificar uma potenciação. - Reconhecer propriedades da potenciação e aplicá-las. - Desenvolver expressões com potência. - Identificar números racionais quadrados perfeitos. - Definir raiz quadrada de um número. - Resolver expressões numéricas. Reconhecer uma equação. - Aplicar as propriedades da igualdade para resolver equações. - Traduzir sentenças expressas em linguagem simbólica. - Identificar o que é dado e o que é pedido. - Resolver as equações e interpretar a solução encontrada.	Aula Expositiva	Através da participação do aluno Na resolução de exercícios Freqüência Participação nos debates Teste Prova Lista de exercícios

Colégio Estadual Dinah Gonçalves	Professor Antonio Carlos C Barroso	Turno Série 6ª serie Ano Unidade III	Bibliografia Matemática Editora FTD José Ruy bonjorno
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Razões - Proporções - Grandezas Proporcionais - Regra de Três Simples e composta	Determinar a razão entre duas grandezas de mesma espécie. - Comparar grandezas utilizando a razão. - Reconhecer uma proporção como uma igualdade de duas razões. - Identificar uma proporção através dos meios e extremos. - Calcular o termo desconhecido. - Determinar o fator de proporcionalidade. - Aplicar os conhecimentos adquiridos para resolver problemas simples que envolvam as grandezas proporcionais. - Reconhecer e diferenciar grandezas direta e inversamente proporcionais. - Aplicar regra de três simples na resolução de problemas que envolvam duas grandezas	Aula Expositiva	Através da participação do aluno Na resolução de exercícios Freqüência Participação nos debates Teste Prova Lista de exercícios

Colégio Estadual Dinah Gonçalves	Professor Antonio Carlos C Barroso	Turno Série 6ª Ano Unidade IV	Bibliografia Matemática Editora FTD José Ruy bonjorno
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Conteúdos	Objetivos	Metodologias	Avaliação
Porcentagem - Inequações Juros Simples - Quadriláteros (trapézios e (Paralelogramos) - Triângulos	Traduzir uma fração centesimal na forma de taxa percentual. - Resolver problemas que envolvam porcentagens. - Reconhecer uma inequação. - Resolver inequações de 1º grau. Reconhecer o uso de porcentagem no contexto diário para o cálculo de juro simples - Calcular juro simples, montante e taxa de juros por meio de estratégias variadas. - Identificar os elementos que compõem um triângulo e um quadrilátero. - Verificar que a soma das medidas dos ângulos internos de um - Classificar triângulos com relação à medida dos lados e com relação aos ângulos internos. - Identificar retângulos, losangos e quadrados como casos especiais de Paralelogramos e classificar paralelogramos. - Identificar os elementos e classificar os trapézios.	Aula Expositiva	Através da participação do aluno Na resolução de exercícios Freqüência Participação nos debates Teste Prova Lista de exercícios

Colégio Estadual Dinah Gonçalves	Professor Antonio Carlos C Barroso	Turno Série 7ª Ano Unidade I	Bibliografia Matemática Editora FTD José Ruy bonjorno
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Conteúdos	Objetivos	Metodologias	Avaliação
Números Reais: - Números Reais - Potenciação e Radiciação Monômios e Polinômios: - Cálculo Algébrico	Identificar os números irracionais como números de representação decimal infinita e não periódica e sua localização na reta numérica. - Resolver situações-problema, utilizando diferentes procedimentos envolvendo números naturais, inteiros, racionais e irracionais. - Estabelecer a razão entre o comprimento e o raio da circunferência. - Entender potência com expoente inteiro positivo como produto de fatores iguais. - Atribuir significados à potência de expoente nulo e negativo. - Calcular raízes quadradas por meio de fatoração. - Calcular raízes quadradas aproximadas por meio de estimativas fazendo uso da calculadora. aritméticas; - Utilizar conhecimentos sobre operações	Aula Expositiva	Através da participação do aluno Na resolução de exercícios Freqüência Participação nos debates Teste Prova Lista de exercícios
Colégio Estadual Dinah Gonçalves	Professor Antonio Carlos C Barroso	Turno Série 7ª Ano Unidade II	Bibliografia Matemática Editora FTD José Ruy bonjorno
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Produtos Notáveis e Fatoração	Reconhecer os casos de produtos notáveis e fatoração. - Obter expressões equivalentes a uma expressão algébrica por meio de produtos notáveis, fatoração e simplificações. - Utilizar conhecimentos sobre produtos notáveis para realizar cálculos mentais.	Aula Expositiva	Através da participação do aluno Na resolução de exercícios Freqüência Participação nos debates Teste Prova Lista de exercícios

Colégio Estadual Dinah Gonçalves	Professor Antonio Carlos C Barroso	Turno Série 7ª Ano Unidade III	Bibliografia Matemática Editora FTD José Ruy bonjorno
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Equações e Sistemas de Equações - Frações Algébricas - Equação do 1º grau - Sistema de Equação do 1º grau	Produzir e interpretar diferentes escritas algébricas como o quociente de dois polinômios e identificar sua condição de existência. - Simplificar e resolver frações algébricas e expressões que envolvam produtos notáveis e fatoração. - Determinar o mmc de polinômio, aplicando fatoração. - Calcular frações algébricas utilizando adição, subtração, multiplicação e divisão. - Construir procedimentos para resolver equações do 1º grau, fracionárias e literais, utilizando as propriedades de igualdade. - Apresentar diferentes métodos para resolver sistema de equações do 1º grau, incluindo a representação das equações no plano cartesiano. - Discutir o significado da raiz encontrada para uma equação do 1° grau em confronto com a situação proposta	Aula Expositiva	Através da participação do aluno Na resolução de exercícios Freqüência Participação nos debates Teste Prova Lista de exercícios

Colégio Estadual Dinah Gonçalves	Professor Antonio Carlos C Barroso	Turno Série 7ª Ano Unidade IV	Bibliografia Matemática Editora FTD José Ruy bonjorno
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Ângulos e Polígonos - Triângulos Quadriláteros - Quadriláteros	Relacionar ângulos formados em paralelas cortadas por uma transversal: Correspondentes, alternos colaterais, adjacentes o opostos; - Conceituar polígonos e identificar seus elementos. - Identificar transformações geométricas em figuras planas. - Obter pontos notáveis do triângulo: circuncentro, baricentro, incentro e Ortocentro. - Construir alturas, bissetrizes, medianas e mediatrizes de um triângulo Empregando régua e compasso. - Identificar congruências de figuras e casos de congruência de triângulos. - Reconhecer os elementos de um quadrilátero e classificá-los. - Relacionar os ângulos e os lados dos quadriláteros entre si. - Resolver situações-problema que envolvam análise de um padrão de Regularidade. Propriedades dessas relações.	Aula Expositiva	Através da participação do aluno Na resolução de exercícios Freqüência Participação nos debates Teste Prova Lista de exercícios

Colégio Estadual Dinah Gonçalves	Professor Antonio Carlos C Barroso	Turno Série 8ª Ano Unidade I	Bibliografia Matemática Editora FTD José Ruy bonjorno
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. Potências Potencias com expoente natural e Inteiro negativo Expressão numérica Propriedades de potências com Expoente inteira Número real ( Raiz quadrada, raiz cúbica e outras raízes). Radicais e suas propriedades Adição e subtração algébrica com Radicais Multiplicação e divisão algébrica com radicais Potenciação com radicais Racionalização de denominadores Simplificação de expressões com Radicais Potências com expoente fracionário	- Calcular potências de base real e expoente inteiro; - Reconhecer e aplicar propriedades das potências de base real e Expoente inteiro; - Resolver situações-problema que envolva a necessidade da Utilização da potência de base 10 para a notação cientifica; - Resolver expressões numéricas com radicais; - Reconhecer que não existe em R raiz de índice par e expoente Negativo; - Saber transformar radical em potência; - Efetuar simplificação de radicais; - Reconhecer e aplicar a propriedade da raiz de um produto; - Efetuar operações com radicais; - Calcular expressões algébricas que envolvem radicais, aplicando Produtos notáveis já conhecidos; - Aplicar as propriedades dos radicais para racionalizar denominadores;	Aula Expositiva	Através da participação do aluno Na resolução de exercícios Freqüência Participação nos debates Teste Prova Lista de exercícios

Colégio Estadual Dinah Gonçalves	Professor Antonio Carlos C Barroso	Turno Série 8ª Ano Unidade II	Bibliografia Matemática Editora FTD José Ruy bonjorno
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Equação do 2º grau com uma Incógnita Determinando as raízes de uma Equação do 2º grau Resolução de uma equação do 2º Grau completa e incompleta Fórmula de resolução de equação do 2º grau Resolvendo problemas que Envolvem equações do 2º grau Equações redutíveis a uma equação do 2º grau Equações fracionárias Equações biquadradas Equações irracionais Sistemas de equações do 2º grau Problemas envolvendo sistemas de Equações do 2º grau	Resolver equações do 2º grau incompletas do tipo ax2 + c = 0 ou tipo ax2 + bx = 0, sem aplicação de fórmula; - Deduzir e reconhecer a fórmula de Bhaskara; - Aplicar a fórmula de Bháskara na resolução de equações do 2º Grau completa; - Obter a solução geral de uma equação literal; - Identificar o discriminante de uma equação do 2º grau; - Resolver situações-problema que envolva as equações estudadas Discutir situações que envolvam equações do 2º grau, cujas Resoluções não sejam possíveis por meio do isolamento de Incógnita ou de técnicas de fatoração;	Aula Expositiva	Através da participação do aluno Na resolução de exercícios Freqüência Participação nos debates Teste Prova Lista de exercícios

Colégio Estadual Dinah Gonçalves	Professor Antonio Carlos C Barroso	Turno Série 8ª Ano Unidade III	Bibliografia Matemática Editora FTD José Ruy bonjorno
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Conteúdos	Objetivos	Metodologias	Avaliação
Semelhança .Semelhança: razão e proporção Teorema de Tales .Polígonos semelhantes Razão entre áreas e perímetros Triângulos semelhantes: Teorema Fundamental da semelhança de triângulo. Relações métricas no triângulo Retângulo Teorema de Pitágoras Relações métricas auxiliares no Triângulo retângulo . Aplicações do Teorema de Pitágoras (diagonal do quadrado e altura de um Triângulo eqüilátero).	Verificar experimentalmente o Teorema fundamental das Proporções para compreender o Teorema de Tales; - Aplicar e demonstrar o Teorema de Tales: um feixe de paralelas Determina sobre duas transversais e segmentos proporcionais; - Constatar a propriedade de semelhança de triângulos. - Utilizar os resultados de cálculos de perímetro e de área na percepção das regularidades existentes na ampliação ou na redução de formas geométricas planas. - Reconhecer e aplicar os casos de semelhança de triângulos - Reconhecer e aplicar as relações métricas no triangulo retângulo; - Identificar e demonstrar o Teorema de Pitágoras; - Reconhecer o seno, o cosseno e a tangente como razões Trigonométricas de um ângulo;	Aula Expositiva	Através da participação do aluno Na resolução de exercícios Freqüência Participação nos debates Teste Prova Lista de exercícios

Colégio Estadual Dinah Gonçalves	Professor Antonio Carlos C Barroso	Turno Série 8ª Ano Unidade IV	Bibliografia Matemática Editora FTD José Ruy bonjorno
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Relações trigonométricas no Triângulo retângulo Razões trigonométricas no triângulo Retângulo (seno, co-seno e tangente). . Tabelas de razões trigonométricas Funções A notação f(x) Representação gráfica Construção e identificação do gráfico de uma função Polígonos: Áreas - retângulas, Paralelogramo, triângulo, trapézio e o Losango.	Reconhecer funções representadas por tabelas, por fórmulas e por Gráficos; - Efetuar cálculos e interpretar resultados usando a notação f(x); - Reconhecer funções representadas por tabelas, por fórmulas e por Gráficos; - Reconhecer uma função constante; - Reconhecer o significado dos coeficientes da função y = ax + b. Identificar e compreender os elementos de polígono inscrito (raio, Ângulo central, ângulo interno e apótema), e saber aplicar estes Conhecimentos em problemas; - Determinar o comprimento, o diâmetro e o raio de objetos Redondos, como: embalagens, latas, caixas e recipientes;	Aula Expositiva	Através da participação do aluno Na resolução de exercícios Freqüência Participação nos debates Teste Prova Lista de exercícios

Probabilidade da intersecção de dois eventos

Professor de Matemática no Colégio Estadual Dinah Gonçalves

E Biologia na rede privada de Salvador-Bahia

Professor Antonio Carlos carneiro Barroso

email accbarroso@hotmail.com

Blog HTTP://ensinodematemtica.blogspot.com e HTTP://accbarroso60.wordpress.com

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Extraído de http://www.alunosonline.com.br

Probabilidade da intersecção de dois eventos

Marcelo Rigonatto

Probabilidades

A probabilidade da intersecção de dois eventos ou probabilidade de eventos sucessivos determina a chance, a possibilidade, de dois eventos ocorrerem simultânea ou sucessivamente. Para o cálculo desse tipo de probabilidade devemos interpretar muito bem os problemas, lendo com atenção e fazendo o uso da seguinte fórmula:

Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral S. A probabilidade de A ∩ B é dada por:

Onde
p(A∩B) → é a probabilidade da ocorrência simultânea de A e B
p(A) → é a probabilidade de ocorrer o evento A
p(B│A) → é a probabilidade de ocorrer o evento B sabendo da ocorrência de A (probabilidade condicional)

Se os eventos A e B forem independentes (ou seja, se a ocorrência de um não interferir na probabilidade de ocorrer outro), a fórmula para o cálculo da probabilidade da intersecção será dada por:

Vejamos alguns exemplos de aplicação.

Exemplo 1. Em dois lançamentos sucessivos de um mesmo dado, qual a probabilidade de sair um número ímpar e o número 4?

Solução: O que determina a utilização da fórmula da intersecção para resolução desse problema é a palavra “e” na frase “a probabilidade de sair um número ímpar e o número 4”. Lembre-se que na matemática “e” representa intersecção, enquanto “ou” representa união.

Note que a ocorrência de um dos eventos não interfere na ocorrência do outro. Temos, então, dois eventos independentes. Vamos identificar cada um dos eventos.

Evento A: sair um número ímpar = {1, 3, 5}
Evento B: sair o número 4 = {4}
Espaço Amostral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Temos que:

Assim, teremos:

Exemplo 2. Numa urna há 20 bolinhas numeradas de 1 a 20. Retiram-se duas bolinhas dessa urna, uma após a outra, sem reposição. Qual a probabilidade de ter saído um número par e um múltiplo de 5?

Solução: Primeiro passo é identificar os eventos e o espaço amostral.

Evento A: sair um número par = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
Evento B: sair um múltiplo de 5 = {5, 10, 15, 20}
Espaço amostral: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}

Como as duas bolinhas foram retiradas uma após a outra e não houve reposição, ou seja, não foram devolvidas à urna, a ocorrência do evento A interfere na ocorrência do B, pois haverá na urna somente 19 bolinhas após a retirada da primeira.

Assim, temos que:

Após a retirada da primeira bola, ficamos com 19 bolinhas na urna. Logo, teremos:

Lábio leporino

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

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A fissura labiopalatal, conhecida popularmente como lábio leporino, é uma abertura na região do lábio ou do palato decorrente do não fechamento dessas estruturas, que deveria ocorrer entre a quarta e a décima semana de gestação. Estas fendas podem atingir apenas um lado do lábio, os dois lados ou, ainda, lábio e palato. As fissuras no palato permitem uma ligação entre o canal oral e nasal.

O uso do álcool e cigarros; raios-X na região abdominal durante a gravidez; ingestão de alguns medicamentos; deficiências nutricionais e infecções podem acarretar no nascimento de uma criança com tais fissuras, que podem ser também causadas por fatores hereditários. Sua correção só é feita via cirurgias plásticas e maxilo-faciais.

Atualmente, em razão do avanço tecnológico, há como se diagnosticar as fissuras no período gestacional, via ultrassom e o lábio da criança pode ser operado aos três meses de idade. Entretanto, a cirurgia de palato só pode ser feita aos doze meses.

Cuidados na alimentação da criança são necessários – uma vez que podem surgir dificuldades quanto a este fato, e o aleitamento materno é imprescindível, pois auxilia na prevenção de infecções, combate a anemia e fortalecimento da musculatura da face e boca, além de manter a produção de leite da mãe.

Sem tratamento, as fissuras podem provocar seqüelas, tais como perda da audição, problemas na fala e déficit nutricional, além de problemas relativos à auto-estima. Infelizmente, nem todas as famílias têm condições financeiras de arcar com o tratamento, que é longo e envolve diversas cirurgias estéticas e corretivas.

Assim, há algumas organizações que procuram dar condições para que crianças com menores condições financeiras sejam beneficiadas, como a Operação Sorriso do Brasil, uma organização global de fundações e associações sob a marca da Operation Smile, que existe em 25 países situados na Ásia, África, Europa Oriental, América Latina e Oriente Médio.
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Proporção

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

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Proporção

Podemos definir proporção como a igualdade entre duas razões. As proporções são muito utilizadas nas situações envolvendo proporcionalidade direta ou inversa. Para determinarmos se duas razões são proporcionais podemos aplicar a regra fundamental das proporções, que diz: “o produto dos extremos é igual ao produto dos meios”. Veja:

Exemplo 1
Determine o valor de x na proporção a seguir.

Exemplo 2
Calcule o valor de x na proporção .

3*(4x – 2) = 4*(2x – 1)
12x – 6 = 8x – 4
12x – 8x = – 4 + 6
4x = 2
x = 2/4
x = 1/2


A proporção também é muito utilizada nas situações envolvendo porcentagem.
Exemplo 3
Um fogão que custava R$ 1 400,00 estava sendo vendido em uma promoção por
R$ 980,00. Qual era o desconto em porcentagem?

Resolução:
Valor do desconto: 1400 – 980 = 420

O desconto corresponde a 30%.

As proporções constituem a base dos cálculos envolvendo regra de três simples e composta. Observe um exemplo de proporção na resolução da seguinte situação problema utilizando regra de três.

Exemplo 4
Para cada 6 automóveis que vende, Pedro ganha R$ 200,00 de comissão. Quanto ele recebeu de comissão no mês em que vendeu 15 automóveis?

comissão (R$)	automóveis
200	6
x	15

No mês em que ele vendeu 15 carros recebeu uma comissão de R$ 500,00.

Marcos Noé

Teorema de D’Alembert

O teorema de D’Alembert é uma consequência imediata do teorema do resto, que são voltados para a divisão de polinômio por binômio do tipo x – a. O teorema do resto diz que um polinômio G(x) dividido por um binômio x – a terá resto R igual a P(a), para
x = a. O matemático francês D’Alembert provou, levando em consideração o teorema citado acima, que um polinômio qualquer Q(x) será divisível por x – a, ou seja, o resto da divisão será igual à zero (R = 0) se P(a) = 0.


Esse teorema facilitou o cálculo da divisão de polinômio por binômio (x –a), dessa forma não sendo preciso resolver toda a divisão para saber se o resto é igual ou diferente de zero.

Exemplo 1
Calcule o resto da divisão (x² + 3x – 10) : (x – 3).

Como diz o Teorema de D’Alembert, o resto (R) dessa divisão será igual a:

P(3) = R
3² + 3 * 3 – 10 = R
9 + 9 – 10 = R
18 – 10 = R
R = 8
Portanto, o resto dessa divisão será 8.

Exemplo 2
Verifique se x⁵ – 2x⁴ + x³ + x – 2 é divisível por x – 1.

Segundo D’Alembert, um polinômio é divisível por um binômio se P(a) = 0.

P(1) = (1)⁵ – 2*(1)⁴ + (1)³ + (1) – 2
P(1) = 1 – 2 + 1 + 1 – 2
P(1) = 3 – 4
P(1) = – 1

Como P(1) é diferente de zero, o polinômio não será divisível pelo binômio x – 1.

Exemplo 3
Calcule o valor de m de modo que o resto da divisão do polinômio
P(x) = x⁴ – mx³ + 5x² + x – 3 por x – 2 seja 6.

Temos que, R = P(x) → R = P(2) → P(2) = 6

P(2) = 2⁴ – m*2³ + 5*2² + 2 – 3
2⁴ – m*2³ + 5*2² + 2 – 3 = 6
16 – 8m + 20 + 2 – 3 = 6
– 8m = 6 – 38 + 3
– 8m = 9 – 38
– 8m = – 29
m = 29/8


Exemplo 4
Calcule o resto da divisão do polinômio 3x³ + x² – 6x + 7 por 2x + 1.

R = P(x) → R = P(– 1/2)

R = 3*(–1/2)³ + (–1/2)² – 6*(–1/2) + 7
R = 3*(–1/8) + 1/4 + 3 + 7
R = –3/8 + 1/4 + 10 (mmc)
R = –3/8 + 2/8 + 80/8
R = 79/8

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática

Queda Livre

No estudo de física a queda livre é uma particularização do movimento uniformemente variado (MRUV). O movimento de queda livre foi estudado primeiramente por Aristóteles. Ele foi um grande filósofo grego que viveu aproximadamente 300 a.C. Aristóteles afirmava que se duas pedras caíssem de uma mesma altura, a mais pesada atingiria o solo primeiro. Tal afirmação foi aceita durante vários séculos tanto por Aristóteles quanto por seus seguidores, pois não tiveram a preocupação de verificar tal afirmação.

Séculos mais tarde, mais precisamente no século XVII, um famoso físico e astrônomo italiano chamado Galileu Galilei, introduziu o método experimental e acabou por descobrir que o que Aristóteles havia dito não se verificava na prática. Considerado o pai da experimentação, Galileu acreditava que qualquer afirmativa só poderia ser confirmada após a realização de experimentos e a sua comprovação. No seu experimento mais famoso ele, Galileu Galilei, repetiu o feito de Aristóteles. Estando na Torre de Pisa, abandonou ao mesmo tempo esferas de mesmo peso e verificou que elas chegavam ao solo no mesmo instante. Por fazer grandes descobertas e pregar idéias revolucionárias ele chegou a ser perseguido.

Quando Galileu realizou o experimento na Torre de Pisa e fez a confirmação de que Aristóteles estava errado, ele percebeu que existia a ação de uma força que retardava o movimento do corpo. Assim sendo, ele lançou a hipótese de que o ar exercesse grande influência sobre a queda de corpos.

Quando dois corpos quaisquer são abandonados, no vácuo ou no ar com resistência desprezível, da mesma altura, o tempo de queda é o mesmo para ambos, mesmo que eles possuam pesos diferentes.

O movimento de queda livre, como já foi dito, é uma particularidade do movimento uniformemente variado. Sendo assim, trata-se de um movimento acelerado, fato esse que o próprio Galileu conseguiu provar. Esse movimento sofre a ação da aceleração da gravidade, aceleração essa que é representada por g e é variável para cada ponto da superfície da Terra. Porém para o estudo de Física, e desprezando a resistência do ar, seu valor é constante e aproximadamente igual a 9,8 m/s2.

As equações matemáticas que determinam o movimento de queda livre são as seguintes:

Monômios e Polinômios

Professor de Matemática Antonio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

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Monômio

Expressão algébrica definida apenas pela multiplicação entre o coeficiente e a parte literal. Exemplos:

2x, 4ab, 10x², 20xyz, 30abc, 2z, y, b³, 100ax³

Monômios semelhantes
Expressões algébricas que possuem a parte literal semelhante.
Exemplos:

2x e 4x
7x² e 8x²
10ab e 3ab
2ya e 6ya
7bc e 9cb
100z e 20z


Adição e subtração de monômio

A adição e a subtração de monômio devem ser efetuadas quando as partes literais são semelhantes. Exemplos:

2a + 7a = 9a
5x – 2x = 3x
10ab – 9ab = ab
6y – 9y = – 3y
7bc + 3cb = 10bc ou 10cb
– 12xy – 10xy = – 22xy


Multiplicação entre monômios
Ao multiplicar monômios em que as partes literais são semelhantes devemos seguir os seguintes passos:
1º passo: multiplicar os coeficientes
2º passo: conservar a parte literal e somar os expoentes.

Exemplos:

2x * 2x = 4x²
4xy * 6xy² = 24x²y³
10a²b * 9a²b³ = 90a⁴b⁴
5xyz * 6x²y³z = 30x³y⁴z²


Ao multiplicar monômios com parte literal diferente devemos:
1º passo: multiplicar os coeficientes
2º passo: se as letras são diferentes, agrupe-as
Exemplo:
2x * 3y = 6xy
4ab * 5z = 20abz
20c * 2ab = 40abc
x * 6a = 6xa


Divisão entre monômios

Parte literal semelhantes
1º passo: dividir os coeficientes.
2º passo: conservar a parte literal e subtrair os expoentes.

Exemplo:
5x³ : 5x² = x
10x²y² : 2x = 5xy²
30z : 5z = 6
20b³ : 10b = 2b²


Polinômios

Expressão algébrica composta por dois ou mais monômios com a existência de operações entre eles.
Exemplos:

2x² + 7x – 6
10x³ + x² – 9x
6x + 5
120x² – 10x + 9
14x⁴ + 7x³ – 20x² – 60x – 100

Operações de conjuntos

Professor de Matemática e Ciências Antonio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

email accbarroso@hotmail.com

Blog HTTP://ensinodematemtica.blogspot.com

a) Conjuntos
A noção de conjunto em Matemática é praticamente a mesma utilizada na linguagem cotidiana: agrupamento, classe, coleção. Por exemplo:

• Conjunto das letras maiúsculas do alfabeto;
• Conjunto dos números inteiros pares;
• Conjunto dos dias da semana;
• Conjunto dos Presidentes da República do Brasil.

b) Elemento
Cada membro ou objeto que entra na formação do conjunto. Assim:

• V, I, C, H, E são elementos do primeiro conjunto acima;
• 2, 4, 6 são elementos do segundo;
• Sábado, Domingo do terceiro; e
• FHC, Lula do último.

c) Pertinência entre elemento e conjunto
Por exemplo, V é um elemento do conjunto das letras maiúsculas do alfabeto, ou seja, V pertence àquele conjunto. Enquanto que v não pertence.
Como se vê são conceitos intuitivos e que se supõe sejam entendidos (evidentes) por todos.

Notação

Conjunto: Representado, de forma geral, por uma letra maiúscula A, B, C, …
Elemento: Por uma letra minúscula a, b, c, x, y, z, …
Pertinência: Sejam A um conjunto e x um elemento. Se x é um elemento de A (ou x pertence a A) indicamos por:

Caso contrário, ou seja, se x não é um elemento de A (ou x não pertence a A) escrevemos:

Representações de Conjuntos

a) Extensão ou Enumeração
Quando o conjunto é representado por uma listagem ou enumeração de seus elementos. Devem ser escritos entre chaves e separados por vírgula ou ponto-e-vírgula.
Exemplos:

• Conjunto dos nomes de meus filhos: {Larissa, Júnior, Thiago, Juliana, Fabiana};
• Conjunto dos meses com menos de 31 dias: {fevereiro, abril, junho, setembro, novembro};
• Conjunto dos números pares inteiros maiores do que 8 e menores do que 22: {10; 12; 14; 16; 18; 20}.

Observações:

1. Na representação por extensão cada elemento deve ser escrito apenas uma vez;
2. É uma boa prática adotar a separação dos elementos em conjuntos numéricos como sendo o ponto-e-vírgula, para evitar confusões com as casas decimais: {2;3;4} e {2,3;4};
3. Esta representação pode, também, ser adotada para conjuntos infinitos em que se evidencia a lei de formação de seus elementos e colocando-se reticências no final: {2, 4, 6, 8, 10, …};
4. Representação semelhante pode ser adotada para conjuntos finitos com um grande número de elementos: {0, 1, 2, 3, …, 100}.

b) Propriedade dos Elementos
Representação em que o conjunto é descrito por uma propriedade característica comum a todos os seus elementos. Simbolicamente:

A = {x | x tem a Propriedade P}

e lê-se: A é o conjunto dos elementos x tal que (|) x tem a propriedade P.
Exemplos:

• A = {x | x é um time de futebol do Campeonato Brasileiro de 2006};
• B = {x | x é um número inteiro par e 8 <>
• C = {x | x é um deputado federal eleito em 2006}.

c) Diagrama de Euler-Venn
Um conjunto pode ser representado por meio de uma linha fechada e não entrelaçada, como mostrado na figura abaixo. Os pontos dentro da linha fechada indicam os elementos do conjunto.

Conjunto Unitário e Conjunto Vazio

Embora o conceito intuitivo de conjunto nos remeta à idéia de pluralidade (coleção de objetos), devemos considerar a existência de conjunto com apenas um elemento, chamados de conjuntos unitários, e o conjunto sem qualquer elemento, chamado de conjunto vazio (Ø).
O conjunto vazio é obtido quando descrevemos um conjunto onde a propriedade P é logicamente falsa.
Exemplos de Conjuntos Unitários:

• Conjunto dos meses do ano com menos de 30 dias: {fevereiro};
• Conjunto dos números inteiros maiores do que 10 e menores do que 12: {11};
• Conjunto das vogais da palavra blog: {o}.

Exemplos de Conjuntos Vazios:

• {x | x > 0 e x <>
• Conjunto dos meses com mais de 31 dias;
• {x | x² = -1 e x é um número real} = Ø.

Conjunto Universo

É o conjunto ao qual pertencem todos os elementos envolvidos em um determinado assunto ou estudo, e é simbolizado pela letra U.
Assim, se procuramos determinar as soluções reais de uma equação do segundo grau, nosso conjunto Universo U é R (conjunto dos números reais); se estamos interessados em determinar os deputados federais envolvidos com o mensalão, nesse caso o universo U tem como elementos todos os deputados federais da atual legislatura.
Portanto, é essencial, que ao descrever um conjunto através de uma propriedade P, fixemos o conjunto universo em que estamos trabalhando, escrevendo:

Igualdade de Conjuntos

Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B e, reciprocamente, todo elemento de B pertence a A:
Observações:

1. A título de ilustração: O A invertido na expressão acima significa “para todo”;
2. {a, b, c, d} = {d, b, a, c}. O que demonstra que a noção de ordem não interfere na igualdade de conjuntos;
3. É evidente que para A ser diferente de B é suficiente que um elemento de A não pertença a B ou vice-versa: A = {a, b, c} é diferente de B = {a, b, c, d}.

Subconjunto

Um conjunto A é um subconjunto de (está contido em) B se, e sómente se, todo elemento x pertencente a A também pertence a B:
onde a notaçãosignifica “A é subconjunto de B” ou “A está contido em B” ou “A é parte de B”. A leitura da notação no sentido inverso é feita como “B contém A”. Observe que a abertura do sinal de inclusão fica sempre direcionado para o conjunto “maior”. Na forma de diagrama é representado como:
Exemplos:

• {1; 2; 3} C {1; 2; 3; 4; 5; 6}
• Ø C {a, b};
• {a, b} C {a, b};
• {a, b, c} ¢ {a, c, d, e}, onde ¢ significa “não está contido”, uma vez que o elemento b do primeiro conjunto não pertence ao segundo.

Observe que na definição de igualdade de conjuntos está explícito que todo elemento de A é elemento de B e vice-versa, ou seja, que A está contido em B e B está contido em A. Assim, para provarmos que dois conjuntos são iguais devemos provar que:

Propriedades da Inclusão

Sejam D, E e F três conjuntos quaisquer. Então valem as seguintes propriedades:

1. Ø C D: O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto;
2. D C D: Todo conjunto é subconjunto de si próprio (propriedade Reflexiva);
3. D C E e E C D => D = E: veja acima (propriedade Anti-Simétrica);
4. D C E e E C F => D C F: Se um conjunto é subconjunto de um outro e este é subconjunto de um terceiro, então o primeiro é subconjunto do terceiro (propriedade Transitiva).

Com exceção da primeira propriedade, a demonstração das demais é bastante intuitiva e imediata. Vamos, portanto, provar a primeira:
Partimos da tese de que se o conjunto vazio não é um subconjunto de D, então é necessário que pelo menos um elemento desse conjunto não esteja contido no conjunto D. Como o conjunto vazio não possui nenhum elemento, a sentença Ø ¢ D é sempre falsa. Logo, o conjunto vazio está contido em D é sempre verdadeira.

Conjunto das Partes

Chama-se Conjunto das Partes de um conjunto E – P(E) – o conjunto formado por todos os subconjuntos de E:
Exemplos:

• Se A = {a, b, c}, então P(A) = {Ø, {a}, {b}, {c}. {a.b}, {a.c}. {b,c}, {a,b,c}}
• Se B = {a, b}, então P(B) = {Ø, {a}, {b}, {a,b}};
• Se C = {a}, então P(C) = {Ø, {a}}.

Observações:

1. Enfatizo, apesar de colocado na própria definição, que os elementos de P(E) são conjuntos;
2. Assim, deve-se ter atenção quanto ao emprego dos símbolos pertence (não pertence) e contido (não contido);
3. No primeiro exemplo acima: {a} pertence a P(A) e {{a}} é um subconjunto de P(A);
4. Se definirmos n(E) como sendo o número de elementos do conjunto E, então n(P(E)) = 2^n(E). A propriedade é válida para conjuntos finitos;
5. Veja nos exemplos: n(A) = 3 e n(P(A)) = 8 = 2³, n(B) = 2 e n(P(B)) = 4 = 2² e n(C) = 1 e n(P(C)) = 2 = 2¹.

Os povos indígenas no Brasil

Índio, um povo reprimido

Antes da chegada dos portugueses ao Brasil já existiam vários grupos indígenas habitando em nosso território, diante dessa variedade os índios brasileiros foram classificados segundo as línguas distintas, que são: Tupi, macro-jê, aruak e karib.

Observe abaixo as características das línguas e dos grupos indígenas que as falam.

Tupi: Os grupos indígenas de língua tupi eram as tribos tamoio, guarani, tupiniquim, tabajara etc. Todas essas tribos se encontravam na parte litorânea brasileira, foram os primeiros índios a ter contato com os portugueses que aqui chegaram.
Essas tribos eram especialistas em caça, eram ótimos pescadores, além de desenvolver bem a coleta de frutos.

Macro-jê: Raramente eram encontrados no litoral, com exceção de algumas tribos na serra do mar, eles eram encontrados principalmente no planalto central, neste contexto destacavam-se as tribos ou grupos: timbira, aimoré, goitacaz, carijó, carajá, bororó e botocudo.
Esses grupos indígenas viviam nas proximidades das nascentes de córregos e rios, viviam basicamente da coleta de frutos e raízes e da caça. Esses grupos só vieram ter contato com os brancos no século XVII, quando os colonizadores adentraram no interior do país.

Karib: Grupos indígenas que habitavam a região onde hoje compreende os estados do Amapá e Roraima, chamada também de baixo amazonas, as principais tribos são os atroari e vaimiri, esses eram muito agressivos e antropofágicos, isso significa que quando os índios derrotavam seus inimigos, eles os comiam acreditando que com isso poderiam absorver as qualidades daqueles que foram derrotados.
O contato dessas tribos com os brancos ocorreu no século XVII, com as missões religiosas e a dispersão do exército pelo território.

Aruak: Suas principais tribos eram aruã, pareci, cunibó, guaná e terena, estavam situados em algumas regiões da Amazônia e na ilha de Marajó, a principal atividade era os artesanatos cerâmicos.

Regiões do Brasil

O IBGE é o órgão responsável pela regionalização do Brasil

Com extensão territorial de 8.514.876,60 quilômetros quarados, o Brasil é o quinto maior país do mundo. Essa grande área está fragmentada em cinco Regiões, estabelecidas pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE). O critério utilizado para a regionalização do país é agrupar em uma mesma Região os estados que apresentam semelhanças físicas, humanas, culturais e econômicas, facilitando, assim, o desenvolvimento de políticas públicas nas áreas de saúde, educação, meio ambiente, infraestrutura, etc.

Após várias divisões regionais do território brasileiro, a atual está em vigor desde 1970. No entanto, em 1988, outra alteração ocorreu, pois o norte do estado de Goiás se tornou Tocantins, que passou a integrar a Região Norte. Sendo assim, as cinco Regiões do país e seus respectivos estados são:

Regionalização do Brasil

Região Centro-Oeste:
Área: 1.606.371,5 km².
Estados: Goiás, Mato Grosso, Mato Grosso do Sul, além do Distrito Federal.
População: 14.050.340 habitantes.

Região Nordeste:
Área: 1.554.257,0 km².
Estados: Alagoas, Bahia, Ceará, Maranhão, Piauí, Paraíba, Pernambuco, Rio Grande do Norte e Sergipe.
População: 53.078.137 habitantes.

Região Norte:
Área: 3.853.327,2 km².
Estados: Acre, Amapá, Amazonas, Pará, Rondônia, Roraima e Tocantins.
População: 15.865.678 habitantes.

Região Sudeste:
Área: 924.511,3 km².
Estados: Espírito Santo, Minas Gerais, Rio de Janeiro e São Paulo.
População: 80.353.724 habitantes.

Região Sul:
Área: 576.409,6 km².
Estados: Paraná, Rio Grande do Sul e Santa Catarina.
População: 27.384.815 habitantes.

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Região Sul

Estados que compõem a Região Sul

Composta pelos estados do Paraná, Santa Catarina e Rio Grande do Sul, a Região Sul do Brasil possui extensão territorial de 576.409,6 quilômetros quadrados, sendo a menor do país. Conforme dados do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), a população total dessa Região é de 27.384.815 habitantes, cuja densidade demográfica é de 48,5 habitantes por quilômetro quadrado. Esses números fazem do Sul a terceira Região mais populosa (população total) e a segunda mais povoada do Brasil (relação população/área).

A diversidade étnica dessa região é muito grande. Esse território era ocupado por índios, e os fluxos migratórios de europeus se iniciaram no fim do século XIX (espanhóis, portugueses, poloneses, italianos, alemães, entre outros), além dos negros trazidos para o trabalho escravo, formando, portanto, uma população com significativa diversidade étnica. Posteriormente, os estados sulistas receberem migrantes do Paraguai, Japão e de outras unidades federativas do Brasil.

O clima foi um dos fatores que influenciou na instalação de europeus na Região Sul. O clima predominante é o temperado, responsável pelas temperaturas mais baixas registradas no Brasil durante o inverno. A única exceção é o norte do Paraná, onde se faz presente o clima tropical. A vegetação, por sua vez, sofre influência direta da temperatura, variando conforme cada região: nos locais mais frios predominam as matas de araucária e nos pampas, os campos de gramíneas.

Mata de Araucária na Região Sul

No aspecto econômico, os estados da Região Sul contribuem com 16,1% para a formação do Produto Interno Bruto (PIB) brasileiro. Sua economia tem no setor de serviços a principal atividade, responsável pela maior parte das riquezas dos estados sulistas. A indústria baseia-se nos seguimentos metalúrgico, automobilístico e têxtil.

A agricultura é outro elemento de grande destaque na economia da Região Sul. Os estados dessa Região são responsáveis por quase metade de toda a produção brasileira de grãos, com destaque para o Rio Grande do Sul. Entre os principais produtos agrícolas estão: soja, milho, arroz, feijão, trigo, tabaco, alho e cebola.
O Paraná é o estado brasileiro que possui a maior criação de suínos. O rebanho bovino do Sul corresponde a, aproximadamente, 18% do rebanho nacional.

Com Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) de 0,830, a Região Sul apresenta os melhores indicadores sociais do país. A taxa de mortalidade infantil, 15,6 a cada mil nascidos vivos, é a menor do país. A taxa de analfabetismo (5,5%) também é a menor entre as Regiões brasileiras; os serviços de saneamento ambiental são proporcionados à maioria das residências. Todos esses aspectos refletem na alta expectativa de vida dos sulistas: 75 anos, a média nacional é de 73 anos.

Dados dos estados sulistas:

Paraná:

Capital: Curitiba
Área: 199.316,694 km²
População: 10.439.601 habitantes
População Urbana: 85,3%
Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) – 0,820.

Santa Catarina:

Capital: Florianópolis
Área: 95.703,487 km²
População: 6.249.682 habitantes
População Urbana: 84%
Índice de Desenvolvimento Humano (IDH): 0,840.

Rio Grande do Sul:

Capital: Porto Alegre
Área: 268.781,896 km²
População: 10.187.798 habitantes
População Urbana: 85%
Índice de Desenvolvimento Humano (IDH): 0,832.

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