Colégio Estadual Dinah Gonçalves
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Limites
Seja a função f(x)=2x+1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de y:
|
|
Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende para 1 (x
1), y tende para 3 (y 3), ou seja:
1), y tende para 3 (y 3), ou seja: |
Esse é o estudo do comportamento de f(x) quando x tende para 1 (x
1). Nem é preciso que x assuma o valor 1. Se f(x) tende para 3 (f(x) 3), dizemos que o limite de f(x) quando x 1 é 3, embora possam ocorrer casos em que para x = 1 o valor de f(x) não seja 3.De forma geral, escrevemos:
 |
a), f(x) se aproxima de b (f(x)b).
Como x² + x - 2 = (x - 1)(x + 2), temos:
Podemos notar que quando x se aproxima de 1 (x
1), f(x) se aproxima de 3, embora para x=1 tenhamos f(x) = 2. o que ocorre é que procuramos o comportamento de y quando x1. E, no caso, y 3. Logo, o limite de f(x) é 3.Escrevemos:
Se g: IR
IR e g(x) = x + 2, 
g(x) = (x + 2) = 1 + 2 = 3, embora g(x)
f(x) em x = 1. No entanto, ambas têm o mesmo limite.
Propriedades dos Limites
1ª) 
O limite da soma é a soma dos limites.
O limite da diferença é a diferença dos limites.
O limite da diferença é a diferença dos limites.
Exemplo:
2ª) 
O limite do produto é o produto dos limites.
Exemplo:
3ª) 
O limite do quociente é o quociente dos limites desde que o denominador não seja zero.
Exemplo:
4ª) 
Exemplo:
5ª) 
Exemplo:
6ª) 
Exemplo:
7ª) 
Exemplo:
8ª) 
Exemplo:
Limites Laterais
Se x se aproxima de a através de valores maiores que a ou pela sua direita, escrevemos:
 |
Esse limite é chamado de limite lateral à direita de a.
Se x se aproxima de a através de valores menores que a ou pela sua esquerda, escrevemos:
 |
Esse limite é chamado de limite lateral à esquerda de a.
O limite de f(x) para xa existe se, e somente se, os limites laterais à direita a esquerda são iguais, ou sejas:
O limite de f(x) para x
a existe se, e somente se, os limites laterais à direita a esquerda são iguais, ou sejas:- Se
- Se
Continuidade
Dizemos que uma função f(x) é contínua num ponto a do seu domínio se as seguintes condições são satisfeitas:
Propriedade das Funções contínuas
Se f(x) e g(x)são contínuas em x = a, então:
- f(x)
g(x) é contínua em a; - f(x) . g(x) é contínua em a;
-
é contínua em a 
. - Limites envolvendo infinitoConforme sabemos, a expressão x
(x tende para infinito) significa que x assume valores superiores a qualquer número real e x 
(x tende para menos infinitos), da mesma forma, indica que x assume valores menores que qualquer número real.Exemplo:
a)
, ou seja, à medida que x aumenta, y tende para zero e o limite é zero.b)
, ou seja, à medida que x diminui, y tende para zero e o limite é zero. c)
, ou seja, quando x se aproxima de zero pela direita de zero 
ou por valores maiores que zero, y tende para o infinito e o limite é infinito.d)
, ou seja, quando x tende para zero pela esquerda ou por valores menores que zero, y tende para menos infinitoLimite de uma função polinomial para
Seja a função polinomial
. Então:
Demonstração:
Mas:
Logo:
De forma análoga, para
, temos:
Exemplos:
- Limites trigonométricos
Demonstração:Para
, temos sen x < x <>x. Dividindo a dupla desigualdade por sen x > 0, vem:
Invertendo, temos:
Mas: -
- g(x) <>x) <>x) são funções contínuas e se
, então, 
. Logo, 
- Limites exponenciais
Neste caso, e representa a base dos logaritmos naturais ou neperianos. Trata-se do número irracional e cujo valor aproximado é 2,7182818.
Veja a tabela com valores de x e de
. x1 2 3 10 100 1 000 10 000 100 000 
2 2,25 2,3703 2,5937 2,7048 2,7169 2,7181 2,7182 Notamos que à medida que
.
De forma análoga, efetuando a substituição
, temos:
Ainda de forma mais geral, temos :
As duas formas acima dão a solução imediata a exercícios deste tipo e evitam substituições algébricas.
Se
,então 
.
Mas:
Logo:
Como x 0 , então u 0. Portanto:
Generalizando a propriedade acima, temos
.
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. Se colorirmos 5 partes desse inteiro teremos:
e a fração que irá representar a parte que não foi colorida é 
. As duas frações são classificadas como próprias, pois são menores que um inteiro.
é própria, pois 5 (numerador) < 8 (denominador).
é uma fração imprópria, pois 5 (numerador) > 3 (denominador), veja como representaríamos:
representa dois inteiros completos, pois 6 : 3 = 2, assim considerada aparente. Veja a sua representação:
