Probabilidade

Experimento

Chama-se experimento uma experiência realizada ao acaso (aleatória) para a obtenção de alguma observação de seus resultados.
Exemplos:
No lançamento de uma moeda, observar a face voltada para cima.
Retirar uma carta de um baralho e observar seu naipe.

Espaço Amostral (S)

O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório é dito espaço amostral.
Exemplos:
No lançamento de uma moeda, observar a face voltada para cima.
S = { cara, coroa }

Ao retirar uma carta de um baralho e observar seu naipe.
S = { copas, ouros, paus, espadas }

Num lançamento de um dado, observar a face voltada para cima.
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Evento (E)

Qualquer subconjunto do espaço amostral é dito evento.
Exemplos:
No lançamento de uma moeda, observar a face voltada para cima.
E = { sair cara }

Ao retirar uma carta de um baralho e observar seu naipe.
E = { a carta é de espadas }

Evento certo

Evento certo é aquele que possui todos os elementos do espaço amostral.

Exemplo:
Num lançamento de um dado, a face voltada para cima ser um número menor do que 10.
E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Evento impossível

Evento impossível ou improvável é aquele que não possui elementos do espaço amostral.

Exemplo:
Num lançamento de um dado, a face voltada para cima ser um número maior do que 10.
E = 

Probabilidade

Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento E é:
P(E) = n(E) / n(S)

Onde n(E) é o número de elementos do evento E e n(S) é o número de elementos do espaço amostral.

Exemplo:
Num lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair um número primo?
O espaço amostral é S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } e o evento é E = { 2, 3, 5 }, então:
P(E) = n(E) / n(S)
P(E) = 3/6 = 1/2 = 0,5.

Propriedades

Seja A um evento e S o espaço amostral, assim sempre se tem:
1) 0  P(A)  1.
2) P() = 0.
3) P(S) = 1.
4) P() = 1 – P(A).

Probabilidade da união de dois eventos

Se A e B são eventos quaisquer de um espaço amostral, o número de elementos da ocorrência de A "ou" B é dado por:
n(A  B).

O número de elementos da ocorrência de A "e" B é dado por:
n(A  B).

A probabilidade da ocorrência de A união B é dada por:
P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B).

Eventos mutuamente excludentes

Dois eventos A e B são ditos mutuamente excludentes ou exclusivos se a ocorrência de um impede a ocorrência do outro.

Neste caso, A  B = , então:
P(A  B) = P(A) + P(B).

Exemplo:
Num lançamento de um dado, seja o evento A = { sair um número par } e o evento B = { sair um número ímpar }.
Logo, se o evento A ocorrer impede a ocorrência de B.
Assim tem-se:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6};    A = {2, 4, 6}    e    B = {1, 3, 5} e daí:
P(A) = 3/6 = 1/2    e    P(B) = 3/6 = 1/2.

P(A  B) = 1/2 + 1/2 = 1.

Probabilidade condicional

Se um evento A ocorreu ou irá ocorrer, a probabilidade de outro evento B ocorrer sabendo da ocorrência de A ( onde P(A) > 0 ) é dada por:
P(B|A) = n(A  B) / n(A)      ou     P(B/A) = P(A  B) / P(A)

Exemplo:
Lança-se dois dados, sabendo que a soma dos dois resultados foi 6, qual a probabilidade de ter sair o número 2 em um deles?
Sendo A = { a soma dois dois é 6 } e B = { sair um número primo }
A = { (1, 5); (5, 1); (2, 4); (4, 2); (3, 3) } e B = { (1, 2); (2, 1); (2, 2); (2, 3); (3, 2); (2, 4); (4, 2); (2, 5); (5, 2); (2, 6); (6, 2) }
A  B = { (2, 4); (4, 2) }, daí:

P(B|A) = n(A  B) / n(A)
P(B|A) = 2 / 5.

Regra da multiplicação

Como P(B/A) = P(A  B) / P(A)
Então, tem-se que:
P(A  B) = P(B|A) . P(A) = P(A|B) . P(B)

Propriedades

1) 0  P(B|A)  1.
2) P(S|A) = 1.
3) Se B₁  B₂ = , então:
P(B₁  B₂|A) = P(B₁|A) + P(B₂|A).

Eventos independentes

Dois eventos A e B são ditos independentes se o fato de A ter ocorrido não tem qualquer efeito sobre a ocorrência de B.
Neste caso, P(B/A) = P(B).
Se A e B eventos independentes, a probabilidade de ocorrer A e B nesta ordem é:
P(A  B) = P(A) . P(B).

Exemplo:
No lançamento de dois dados, qual a probabilidade de sair 2 no 1º e 3 no 2º?
O fato de sair 2 no 1º em nada influi em sair 3 no 2º, logo são independentes.

Chamando A = { sair 2 no 1º } e B = { sair 3 no 2º }, então:
P(A  B) = (1/6) . (1/6) = 1/36.

De uma forma geral, se os eventos A₁, A₂, . . . , A_n são independentes, então:
P(A₁  A₂  . . .  A_n) = P(A₁) . P(A₂) . . . P(A_n)

Teorema de Bayes

Sejam E₁, E₂, E₃, . . . , E_n, eventos mutuamente excludentes e A um evento qualquer tal que P(A) > 0, tem-se então:

P(E_k|A) = P(A|E_k) . P(E_k) /  [ P(A|E_k) . P(E_k) ]

Exercícios Resolvidos

R01 — No lançamento de dado qual a probabilidade de sair um número maior do que 4?

Seja o evento A = { número maior do que 4 } = { 5, 6 }, o espaço amostral é S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, então:
P(A) = n(A) / n(S) = 2 / 6 = 1/3.

R02 — Em uma urna há 20 bolas numeradas de 1 a 20, retira-se ao acaso uma bola. Qual a probabilidade do número dela ser um múltiplo de 2 ou de 3?

Seja o evento A = { múltiplo de 2 } = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 } e o evento B = { múltiplo de 3 } = { 3, 6, 9, 12, 15, 18 }, logo n(A) = 10 e n(B) = 6. O número de elementos de A e B é n(A  B) = 3.
P(A) = 10 / 20; P(B) = 6 / 20 e P(A  B) = 3 / 20. P(A  B) = 10/20 + 6/20 – 3/20 = 13/20.

R03 — Em uma urna há 20 bolas numeradas de 1 a 20, retira-se ao acaso uma bola. Qual a probabilidade do número dela ser um múltiplo de 3 ou de 7?

Seja A = { múltiplo de 3 }; B = { múltiplo de 7 }, entre 1 e 20, não há múltiplos em comum, logo são mutuamente excludentes e, portanto:
P(A  B) = 6/20 + 2/20 = 8/20 = 2/5.

R04 — Uma bola é retirada de uma sacola contendo 4 bolas pretas, 2 amarelas e 6 bolas vermelhas. Qual a probabilidade desta bola não ser preta?

Há 12 bolas na sacola, sendo o evento A = { a bola é preta }, então P(A) = 4/12 = 1/3.
Como se deseja que não seja preta então:
P() = 1 – 1/3 = 2/3.

R05 — De uma urna contendo bolas numeradas de 1 a 10, retira-se duas bolas sucessivamente e sem reposição. Qual a probabilidade de ser um múltiplo de 2 e de 3, nesta ordem?

Os eventos A = { a 1ª múltiplo de 2 }; B = { a 2ª é múltiplo de 3 }.
São eventos independentes, pois a ocorrência de A em nada muda a ocorrência de B.
P(A  B) = P(A) . P(B) = (5 / 10) . (3 / 10) = 15/100 = 3/20.

R06 — Um dado foi fabricado de tal forma que num lançamento a probabilidade de ocorrer um número par é o dobro da probabilidade de ocorrer número ímpar na face superior, sendo que os três números pares ocorrem com igual probabilidade, bem como os três números ímpares.
Determine a probabilidade de ocorrência de:
a) sair um número par;
b) sair o número 2 ou o número 3.

Seja A = { o número é par }; B = { o número é ímpar }. Como A  B = , então: P(A  B) = P(A) + P(B) = 1

Como a probabilidade de ocorrer um número par é o dobro da de ocorrer um número ímpar P(A) = 2 . P(B), então:
2 . P(B) + P(B) = 1, logo P(B) = 1/3.

a) P(A) = 2 . P(B) = 2 . (1/3) = 2/3.

b) P(1  3  5 ) = P(1) + P(3) + P(5) = 1/3, e como:
P(1) = P(3) = P(5), logo P(1) + P(1) + P(1) = 1/3 e daí, P(1) = 1/9 = P(3) = P(5).
Portanto, P(2) = P(4) = P(6) = 2/9.

P(2  3) = P(2) + P(3) = 2/9 + 1/9 = 3/9 = 1/3.

R07 — Três moedas são lançadas ao mesmo tempo. Qual é a probabilidade de as três moedas caírem com a mesma face para cima?

Para contar o número de elementos do espaço amostral, tem-se três posições, para cada uma delas há duas opções (cara ou coroa), então: n(S) = 2 . 2 . 2 = 8.
Para terem a mesma face para cima, seria A = { (cara, cara, cara); (coroa, coroa, coroa) }, n(A) = 2.

P(A) = 2/8 = 1/4.

R08 — Duas cartas são retiradas de um baralho sem haver reposição. Qual a probabilidade de ambas serem COPAS ou ESPADAS?

O número de elementos do espaço amostral S é dado por:
A_52,2 = 52 . 51.

O número de elementos do evento "A" ambas serem de copas é dado por:
A_13,2 = 13 . 12.
O número de elementos do evento "B" ambas serem de espadas é dado por:
A_13,2 = 13 . 12.

P(A  B) = (13 . 12 / 52 . 51) + (13 . 12 / 52 . 51) = 0,0588 + 0,0588 = 0,1176.

R09 — Uma determinada peça é manufaturada por 3 máquinas: A, B e C. Sabe-se que A produz o dobro de peças que B e que B e C produzem o mesmo número de peças.
Sabe-se ainda que 2% das peças produzidas por A e por B são defeituosas, enquanto que 4% das produzidas por C são defeituosas.
Todas as peças produzidas são misturadas e colocadas em um depósito. Se do depósito for retirada uma peça ao acaso, qual a probabilidade de que ela seja defeituosa?

Considerem-se os seguintes eventos: D = { A peça é defeituosa }, A = { A peça é da máquina A }, B = { A peça é da máquina B } e C = { A peça é da máquina C }.

Tem-se então que:
P(A) = 1/2, P(B) = P(C) = 1/3.
Sabe-se também que P(D|A) = P(D|B) = 2% e que P(D|C) = 4%. Logo, tem-se:
P(D) = P(A) . P(D|A) + P(B) . P(D|B) + P(C) . P(D|C) = 0,5 . 0,02 + 0,25 . 0,02 + 0,25 . 0,04 = 2,50%.

R10 — Em uma linha de produção de uma certa fábrica, determinada peça é produzida em duas máquinas.
A máquina 1, mais antiga, é responsável por 35% da produção e os 65% restantes vêm da máquina 2.
A partir dos dados passados e das informações do fabricante das máquinas, estima-se em 5% a proporção de peças defeituosas produzidas pela máquina 1 e em 2,5% a proporção de defeituosas produzidas pela máquina 2.
As peças produzidas pelas duas máquinas seguem para o departamento de armazenamento e embalagem, para venda posterior, sem distinção de qual máquina a produziu.
Se um cliente identifica uma peça defeituosa, qual é a probabilidade de que ela tenha sido produzida pela máquina 2?

Sejam os eventos D = { a peça é defeituosa }, M₁ = { produção da máquina 1 }, M₂ = { produção da máquina 2 }. Logo:
P(M₁) = 0,35; P(M₂) = 0,65; P(D|M₁) = 0,05; P(D|M₂) = 0,025; deseja-se P(M₂|D), logo:

Pelo teorema de Bayes:
P(M₂|D) = P(D|M₂) . P(M₂) / [ P(D|M₁) . P(M₁) + P(D|M₂) . P(M₂) ]

P(M₂|D) = 0,025 . 0,65 / [ 0,05 . 0,35 + 0,025 . 0,65 ]
P(M₂|D) = 0,01625 / 0,03375 = 0,4815.

Exercícios Propostos

P01 — Um número natural é escolhida ao acaso entre 1 e 100. Qual a probabilidade dele não se múltiplo de 5?

P02 — Calcule a probabilidade de um piloto de automóveis vencer uma dada corrida, onde as suas "chances", segundo os entendidos, são de "3 para 2". Calcule também a probabilidade dele perder.

P03 — No lançamento dois dados. Calcule a probabilidade de ocorrer a soma 7.

P04 — Uma urna contém 10 bolas vermelhas, 6 bolas amarelas e 9 bolas pretas. Uma bola da urna é escolhida ao acaso e verifica-se que não é preta, qual a probabilidade de ser amarela?

P05 — Escolhe ao acaso um número natural entre 11 e 951. Qual a probabilidade dele ser um múltiplo de 3 ou de 5?

P06 — Seja S = {a, b, c, d}. Consideremos a seguinte distribuição de probabilidades:
P(a) = 1/8; P(b) = 1/8; P(c) = 1/4 e P(d) = x. Calcule o valor de x.

P07 — No lançamento de 3 moedas. Qual a probabilidade de:
a) ocorrerem duas caras?
b) ocorrer pelo menos uma cara? 

P08 — Um número inteiro é escolhido aleatoriamente entre 1 e 50. Qual a probabilidade de:
a) o número ser divisível por 5?                 b) ser divisível por 2 ou 3?

P09 — Uma urna A contém 4 bolas: 2 brancas e 2 pretas; uma urna B contém 5 bolas, 3 brancas e 2 pretas. Uma bola é transferida de A para B.
Uma bola é retirada de B e verifica-se ser branca. Qual a probabilidade de que a bola transferida ter sido branca?

P10 — As probabilidades de três jogadores marcarem um “penalty” são, respectivamente, 2/3; 4/5 e 7/10. Se cada um “cobrar” apenas uma vez, qual a probabilidade de:
a) todos acertarem?                 b) apenas um acertar?                 c) todos errarem?

P11 — Três parafusos e três porcas estão numa caixa. Se duas peças forem retiradas ao acaso da caixa, qual a probabilidade de uma ser um parafuso e a outra ser uma porca?

P12 — As chances de um time de futebol "A" ganhar o campeonato que está disputando são de "7 para 2". Determine a probabilidade de "A" ganhar e a probabilidade de "A" perder.

P13 — De um baralho de 52 cartas retiram-se, ao acaso, duas cartas sem reposição. Qual é a probabilidade de a primeira carta ser o ÁS de paus e a segunda ser o REI de paus?

P14 — Suponha que numa turma há 6 moças e 10 rapazes. Se uma comissão de 3 pessoas é escolhida aleatoriamente, qual a probabilidade de serem selecionados:
a) 3 rapazes;
b) exatamente dois rapazes;
c) pelo menos um rapaz;
d) exatamente duas moças. 

P15 — Um grupo é formado por seis homens e quatro mulheres. Três pessoas são selecionadas ao acaso e sem reposição.
Qual a probabilidade de que ao menos duas sejam do sexo masculino?

P16 — Dois dados são lançados, sejam os eventos A = {(x, y); x + y = 8}; B = {(x, y); x = y}; C = {(x, y); x + y = 10}; D = {(x, y); x > y} e E = {(x, y); x = 2y}. Calcule:
a) P(A|B)                b) P(C|D)                c) P(D|E)                d) P(A|C)                e) P(C|E)

P17 — Três máquinas, A, B e C produzem respectivamente 40%, 50% e 10% do total de peças de uma fábrica. As percentagens de peças defeituosas nas respectivas máquinas são 3%, 5% e 2%.
Uma peça é sorteada ao acaso e verifica-se que é defeituosa. Qual a probabilidade de que ela tenha vindo da máquina B?

P18 — Um grupo de 15 pessoas, dispostas da seguinte forma: 10 homens, sendo 5 menores de idade e 5 mulheres, sendo 3 menores.
Um elemento é escolhido ao acaso. Pergunta-se:
a) qual a probabilidade de ser homem?
b) qual a probabilidade de ser adulto?
c) sabendo que o escolhido foi homem, qual a probabilidade de ser adulto?

P19 —  O jogo de dominó é composto de peças retangulares formadas pela junção de dois quadrados. Em cada quadrado há a indicação de um número, representado por uma certa quantidade de bolinhas, que variam de nenhuma a seis. O número total de combinações possíveis é de 28 peças.
Se pegarmos uma peça qualquer, qual a probabilidade dela possuir ao menos um 3 ou 4 na sua face?

P20 — Em uma cidade onde carros têm que ser avaliados para controle de emissão de poluentes, 25% de todos os carros testados emitem quantidades excessivas de poluentes.
No entanto, o teste não é perfeito e pode indicar resultados errados. Desta forma, carros que emitem excesso de poluentes podem não ser detectados pelo teste e carros que não emitem excesso de poluentes podem ser considerados erroneamente fora do padrão de emissão.
Quando efetivamente testados, 99% dos carros fora do padrão são detectados e 17% dos carros em bom estado são considerados fora do padrão por erro do teste.
Qual é a probabilidade de que um carro reprovado pelo teste emita realmente excesso de poluentes?

P21 — Duas bolas são retiradas ( com reposição ) de uma urna que contém 2 bolas brancas e 3 bolas pretas.
Qual a probabilidade de que a 1ª seja branca e a 2ª seja preta?

fonte:hpdemat.apphb.com

Interpolação de meios aritméticos

Professor de Matemática no Colégio Estadual Dinah Gonçalves

E Biologia na rede privada de Salvador-Bahia

Professor Antonio Carlos carneiro Barroso

email accbarroso@hotmail.com

Blog HTTP://ensinodematemtica.blogspot.com e HTTP://accbarroso60.wordpress.com

 www.accbarrosogestar.wordpress.com
Extraído de http://www.alunosonline.com.br

Interpolação de meios aritméticos

Marcelo Rigonatto

Progressão aritmética

As progressões apresentam aplicações nas mais diversas áreas do conhecimento, sendo fundamentais para compreensão de vários fenômenos da natureza e também sociais. A progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido somando o termo anterior a uma constante r, denominada de razão.

Interpolar significa “colocar entre”. Interpolar meios aritméticos entre dois números dados é acrescentar números entre estes que são conhecidos, de forma que a sequência numérica formada seja uma P.A. Para realizar a interpolação aritmética é necessário o uso da fórmula do termo geral da P.A.

a_n = a₁ + (n-1)∙r

Onde,

r → é a razão da P.A.
a₁ → é o primeiro termo da P.A.
n → é o número de termos da P.A.
a_n → é o último termo da P.A.

Vejamos alguns exemplos sobre interpolação aritmética.

Exemplo 1. Interpole 7 meios aritméticos entre 6 e 46.

Solução: Interpolar 7 meios aritméticos entre 6 e 46 é acrescentar 7 números entre 6 e 46 para que a sequência formada seja uma P.A.

(6, _, _, _, _, _, _, _, 46)

Note que teremos uma P.A. com 9 termos em que o primeiro termo é 6 e o último é 46. Assim, segue que:

a₁ = 6
n = 9
a₉ = 46

Para determinarmos os termos que deverão ficar entre 6 e 46 é necessário determinar a razão da P.A. Para isso, utilizaremos a fórmula do termo geral.

Encontrado o valor da razão, fica fácil determinar os demais elementos da sequência.

a₂ = a₁ + r = 6 + 5 = 11
a₃ = a₂ + r = 11 + 5 = 16
a₄ = a₃ + r = 16 + 5 = 21
a₅ = a₄ + r = 21 + 5 = 26
a₆ = a₅ + r = 26 + 5 = 31
a₇ = a₆ + r = 31 + 5 = 36
a₈ = a₇ + r = 36 + 5 = 41

Dessa forma, está completa a interpolação dos 7 meios aritméticos entre 6 e 46, formando a seguinte P.A:

(6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46)

Exemplo 2. Numa progressão aritmética, a₁ = 120 e a₁₁ = 10. Determine os meios aritméticos existentes entre a₁ e a₁₁.

Solução: Devemos obter os números existentes entre 120 e 10 para que a sequência obtida seja uma P.A.

(120, _, _, _, _, _, _, _, _, _, 10)

Precisamos conhecer a razão dessa P.A.

Temos:

a₁ = 120
a₁₁ = 10
n = 11

Segue que:

Conhecido o valor da razão, basta determinar os demais termos da sequência:

a₂ = a₁ + r = 120 + (– 11) = 120 – 11 = 109
a₃ = a₂ + r = 109 + (– 11) = 109 – 11 = 98
a₄ = a₃ + r = 98 – 11 = 87
a₅ = a₄ + r = 87 – 11 = 76
a₆ = a₅ + r = 76 – 11 = 65
a₇ = a₆ + r = 65 – 11 = 54
a₈ = a₇ + r = 54 – 11 = 43
a₉ = a₈ + r = 43 – 11 = 32
a₁₀ = a₉ + r = 32 – 11 = 21

Portanto, obtemos a P.A:

(120, 109, 98, 87, 76, 65, 54, 43, 32, 21, 10)

Soma dos termos de uma progressão aritmética

Considere (a1, a2, a3, ..., an) como sendo uma P.A. de razão r. A soma dos n primeiros termos dessa P.A. será dada por:

Onde,

a1 → é o primeiro termo da P.A.
n → é o número de termos a serem somados
an → é o último termo a ser somado

Vamos fazer alguns exemplos para entendimento da fórmula.

Exemplo 1. Determine a soma dos 20 primeiros termos da P.A. (4, 8, 12, 16, ...).
Solução: Temos que
a1 = 4
r = 16 – 12 = 12 – 8 = 8 – 4 = 4
n = 20
a20 = ?
S20 = ?

Note que para calcular a soma dos 20 primeiros termos da P.A. precisamos conhecer o 20º termo (a20).
Para encontrar o valor de a20, vamos utilizar a fórmula do termo geral da P.A.

Exemplo 2. Calcule a soma dos quinze primeiros termos da P.A. (-14, -10, -6, ...).
Solução: Temos que
a1 = -14
r = -6 – (-10) = -6 + 10 = 4
n = 15
a15 = ?
S15 = ?
Primeiro vamos determinar o valor de a15.

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Progressão Aritmética

Professor de Matemática no Colégio Estadual Dinah Gonçalves

E Biologia na rede privada de Salvador-Bahia

Professor Antonio Carlos carneiro Barroso

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Extraído de http://www.alunosonline.com.br

P.A.: Progressão Aritmética

Marcos Noé

P.A

A sequência numérica que envolve números reais em que a partir do 2º elemento a diferença entre qualquer termo e seu antecessor seja um número constante recebe o nome de Progressão Aritmética (PA). Esse valor constante é chamado de razão (r) da P.A.
Observe as Progressões Aritméticas a seguir:
(2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, ....), temos razão (r) igual à 2, pois 4 – 2 = 2.
(-2, 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, ...), temos razão (r) igual à 4, pois 6 – 2 = 4.
(21, 19, 17, 15, 13, 11, 9, 7, ...), temos razão (r) igual à –2, pois 19 – 21 = –2.

Podemos classificar uma P.A. de acordo com a sua razão, se:

r > 0 , dizemos que a P.A. é crescente.
r < 0, dizemos que a P.A. é decrescente.
r = 0, P.A. constante, todos os termos são iguais.


Termo Geral de uma P.A.

Para obtermos qualquer termo de uma P.A. conhecendo o 1º termo (a₁) e a razão (r) utilizamos a seguinte expressão matemática:

Através dessa expressão podemos escrever qualquer termo de uma P.A., veja:

a₂ = a₁ + r
a₃ = a₁ + 2r
a₈ = a₁+ 7r
a₁₂ = a₁ + 11r
a₁₀₀ = a₁ + 99r
a₅₁ = a₁ + 50r

Exemplo 1

Determine o 12º termo da P.A. (4, 9, 14, 19, 24, 29, ...).

Dados:
a₁ = 4
r = 9 – 4 = 5
a_n = a₁ + (n – 1)*r
a₁₂ = 4 + (12 – 1)*5
a₁₂ = 4 + 11*5
a₁₂ = 4 + 55
a₁₂ = 59

Exemplo 2

Dada a P.A. (18, 12, 6, 0, -6, -12, ....), calcule o 16º termo.
a₁ = 18
r = 12 – 18 = – 6
a_n = a₁ + (n – 1)*r
a₁₆ = 18 + (16 – 1)*( –6)
a₁₆ = 18 + 15*( –6)
a₁₆ = 18 – 90
a₁₆ = – 72


Soma dos Termos de uma P.A.

Podemos calcular a soma dos n primeiros termos de uma P.A., para isso basta conhecermos o 1º termo (a1) e o último termo (an). Usaremos a seguinte expressão matemática:

Exemplo 3

Determine a soma dos 40 primeiros termos da seguinte P.A. (3, 6, 9, 12, 15, 18, ....).

Precisamos calcular o 40º termo:
a₁ = 3
r = 3
a_n = a₁ + (n – 1)*r
a₄₀ = 3 + (40 – 1)*3
a₄₀ = 3 + 39*3
a₄₀ =3 + 117
a₄₀ =120

Agora podemos determinar a soma dos 40 primeiros termos da P.A.

A distância entre dois pontos

A simples medida da distância entre dois pontos, que envolve a utilização de réguas e escalas, na geometria analítica, se resume a uma fórmula facilmente dedutível:

O triangulo ABC é um triângulo retângulo, portanto vale o teorema Pitágoras, em que a distância AB é a hipotenusa, logo:

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Razões Trigonométricas sen ,cos e tg aula 1

Fatoração de Polinômios trinômio quadrado perfeito aula 4

Relações Métricas no Triângulo Retângulo aula2

Logaritmo

Logaritmo foi o assunto escolhido, com 13 votos, na pesquisa realizada pelo VICHE. Para ver o resultado e os detalhes basta clicar no link Consultar Pesquisas localizado na barra lateral de navegação.
Antes de prosseguir com a abordagem do tema vencedor registro os nossos agradecimentos a todos os leitores participantes.
No artigo sobre equações exponenciais citamos os dois principais métodos utilizados para resolver este tipo de equação:

• o de redução a potências de mesma base, e
• o que utiliza o conceito e propriedades de logaritmos.

O primeiro foi tratado naquele artigo com a colocação de conceitos, exemplos e exercícios resolvidos, em que estes, foram propositalmente selecionados, visando apresentar o uso de técnicas diferenciadas na resolução de equações exponenciais.
O segundo será abordado agora, como já dito, com o intuito de auxiliá-lo a resolver equações do tipo 3^x = 7, entre outras, em que não é possível reduzir seus termos a uma potência de mesma base.
Apesar de podermos afirmar com facilidade que x assume um valor entre 1 e 2, pois 3 <>x

= 7 <>
Para isto é necessário acrescentar a seu repertório de conhecimentos a definição e propriedades dos logaritmos.

Definição

Dados a e b números reais e positivos, com a diferente de 1, definimos logaritmo de b na base a, o número x, cuja potência de grau x de a é igual a b. Ou seja:

Observações e consequências da definição:

1. Na expressão a esquerda a é denominado a base do logaritmo, b o logaritmando e x o logaritmo;
2. Como a e b são ambos positivos e a é diferente de 1, existe um único valor de x que satisfaz a primeira igualdade na expressão acima;
3. Decorre da definição de logaritmo que log_a1 = 0, pois a⁰ = 1. Em outras palavras, que o logaritmo de 1 em qualquer base é igual 0;
4. Do mesmo modo, observe que log_aa = 1, uma vez que a potência de grau 1 de a é o próprio a. Ou seja, que o logarítmo da base, qualquer que seja a base satisfazendo, claro, as condições da definição, é igual a 1;
5. Substituindo o valor de x da primeira igualdade na segunda, obtemos que a^log_ab = b;
6. log_ab = log_ac <=> b = c. Decorrência direta da definição (b = a^log_ac) e do fato acima (a^log_ac = c). Traduzindo: dois logaritmos em um mesma base são iguais se e somente se os logaritmandos são iguais;
7. Note que de 6. pode-se afirmar, ainda, que em uma igualdade ao se aplicar o logaritmo aos seus membros essa igualdade não se altera;
8. Ao conjunto de todos os logaritmos dos números reais positivos em uma base a (a > 0 e diferente de 1), denominamos de sistema de logaritmos de base a;
9. Entre a infinidade de sistemas de logaritmos de base a, dois são particularmente importantes: o sistema de logaritmo decimais ou de base 10 e o sistema de logaritmo neperiano (também chamado de sistema de logaritmos naturais) ou de base e (e = 2,71828…, irracional);
10. O logaritmo decimal é representado pela notação log₁₀x ou simplesmente log x. E o neperiano por log_ex ou ln x;
11. Fato histórico 1: Henry Briggs, Matemático Inglês (1561-1630) foi quem primeiro destacou a vantagem dos logaritmos de base 10, publicando a primeira tabela (ou tábua) de logaritmos de 1 a 1000 em 1617;
12. Fato histórico 2: O nome neperiano vem de John Neper, Matemático Escocês (1550-1617), autor do primeiro trabalho publicado sobre a teoria dos logaritmos. O nome natural é devido ao fato de que no estudo dos fenômenos naturais geralmente aparece uma lei exponencial de base e.

Exemplos:

Antilogaritmo

Sejam a e b dois números reais positivos com a diferente de 1. Se o logaritmo de b na base a é igual a x, então b é o antilogaritmo de x na base a. Em símbolos:

Exemplos:

Propriedades dos Logaritmos

L1. O logaritmo do produto de dois fatores reais e positivos em qualquer base a (a > 0 e diferente de 1) é igual a soma dos logaritmos dos fatores. Isto é:

Demonstração:
Fazendo z = log_a(b.c) temos, usando a definição de logaritmo, que:

a^z = b.c

Daqui, obtemos pela observação 5. acima:

a^z = a^log_ab.a^log_ac => a^z = a^{log_ab+log_ac} => z = log_ab + log_ac

Substituindo z na última igualdade fica concluída a demonstração.

Uma outra forma, também simples e similar a anterior, de demonstrar a propriedade L1 é esboçada a seguir. Fazendo:

z = log_a(b.c), x = log_ab e y = log_ac

vamos provar que z = x + y.

Aplicando a definição de logaritmo nas expressões acima obtemos, respectivamente:

a^z = bc, a^x = b e a^y = c

Substituindo b e c na primeira igualdade vem que:

a^z = a^xa^y => a^z = a^x+y => z = x + y

A propriedade L1 é válida para o logaritmo do produto de n fatores (n > 2) reais e positivos, ou seja:

log_a(b₁.b₂. … .b_n) = log_ab₁ + log_ab₂ + … + log_ab_n

A prova pode ser feita utilizando-se o método de indução sobre n, que consiste em:

• demonstrar que é verdadeira para n = 2 – já feita;
• supor que é válida para n = p > 2 e demonstrar que é verdadeira para n = p + 1.

Deixo para vocês a demonstração com a seguinte dica: agrupar como produto de dois fatores de modo a aplicar L1 e após utilizar a hipótese para n = p.
L2. O logaritmo do quociente de dois números reais e positivos em qualquer base a (a > 0 e diferente de 1) é igual ao logaritmo do dividendo menos o logaritmo do divisor nessa mesma base. Em símbolos:

Demonstração:
De maneira semelhante à adotada na propriedade L1, fazendo z = log_a(b/c) obtemos:

Como consequência direta da propriedade L2 temos que:

Cologaritmo

Dados a e b dois números reais positivos, com a diferente de 1, define-se cologaritmo de b na base a ao oposto do logaritmo de b nessa base a. Ou seja:

colog_ab = -log_ab = log_a(1/b)

L3. O logaritmo da potência de grau x de b em qualquer base a (a, b reais positivos, x real e a diferente de 1) é igual ao produto do expoente x pelo logaritmo de b na base a. Em símbolos:

Demonstração:
Novamente fazemos uso do procedimento utilizado na demonstração das propriedades anteriores:

Fica como exercício a demonstração das propriedades L2 e L3 com o uso da segunda técnica adotada para provar a propriedade L1.
Como consequência da propriedade L3 temos que: o logaritmo da raiz de índice n de b na base a é igual ao produto do inverso do índice n pelo logaritmo do radicando na base a, i.e.:

Observações sobre as Propriedades L1, L2 e L3

• São válidas somente quando temos expressões logarítmicas que envolvam as operações de multiplicação, divisão e potenciação;
• Essas propriedades não permitem obter o logaritmo de uma soma ou diferença [log_a(b + c) ou log_a(b - c)]. Nestes casos, será necessário primeiro obter o valor da soma ou da diferença.

Mudança de Base

É muito comum, e você já deve ter se deparado com o fato, ter expressões ou equações logarítmicas em que seus membros estejam em bases diferentes.
Como na aplicação das propriedades operatórias, os logaritmos devem estar todos em uma mesma base é fundamental saber como isto é feito.
Você deve se lembrar (se não, volte às observações) que no início deste artigo mencionei como importante o sistema de logaritmo decimais ou de base 10, para o qual foi construída, pelo matemático Henry Briggs, uma tábua de logaritmos que possibilita determinar o seu valor para qualquer número real positivo.
Não abordaremos aqui os conceitos de mantissa e característica do logaritmo decimal utilizados para determinar seu valor com o auxílio da tabela. Fica apenas o registro de sua importância no uso das propriedades de mudança de base que apresentamos a seguir.
L4. Dados a, b e c números reais positivos, com a e c diferentes de 1, tem-se que:

Demonstração:
Fazendo log_ab = x, log_cb = y e log_ca = z provemos que x = y/z (note que z é diferente de zero, pois por definição a é diferente de 1). De fato:

Como consequência da propriedade L4 temos:

1. log_ab = log_cb.log_ac: a demonstração é feita transformando log_cb para a base a no segundo membro da igualdade;
2. log_ab = 1/log_ba: transforme log_ab para a base b.

Exercícios Resolvidos

1. Resolver a equação 3^x = 7 (lembra-se, a do início do artigo):
Aplicando o logaritmo na base 10 aos dois membros da equação temos:

log 3^x = log 7

Pela propriedade L3:

x.log 3 = log 7 => x = log 7/log 3 = 0,845/0,477 = 1,771

2. Um capital de R$50.000,00 foi aplicado a uma taxa de juros compostos de 5% ao ano, e o capital de R$45.000,00 a 6% ao ano. Em quanto tempo os montantes estarão iguais?

Um uso muito comum das propriedades de logaritmo para resolver equações exponencias é no cálculo de juros compostos cuja fórmula é:

onde M é o montante, C o capital, i a taxa de juros e t o tempo.

Solução:

Sejam M₁ e M₂ os montantes correspondentes aos capitais aplicados. Usando a fórmula, temos que:

M₁ = 50000(1 + 0,05)^t e M₂ = 45000(1 + 0,06)^t

Temos que determinar o tempo para que M₁ = M₂. Assim:

Referência:

1. Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977.

Função de 1º grau

A fórmula que será apresentada para facilitar o cálculo do coeficiente angular de uma reta só poderá ser utilizada por retas não-verticais, ou seja, retas onde sua inclinação é maior ou igual a 0° e menor que 180°, sendo diferente de 90°.

Veja os passos que foram levados em consideração para obter o cálculo do coeficiente angular de uma reta.

Considere os pontos A(xA, yA) e B(yB, yB), esses formam uma reta t no plano cartesiano de inclinação α:



Prolongando o segmento de reta que passa pelo ponto A paralelo ao eixo Ox formamos um triângulo retângulo BMA. E um ângulo equivalente ao da inclinação da reta.




Levando em consideração o triângulo retângulo BMA e o seu ângulo α, teremos como cateto oposto a yB – yA e cateto adjacente xB – xA.

Sabendo que:

• O coeficiente angular de uma reta é o mesmo que a tangente do ângulo de inclinação.
• A função tangente é calculada pela razão do cateto oposto pelo cateto adjacente.

Assim, podemos concluir que o coeficiente angular (m) de uma reta será calculado através da seguinte fórmula:

m = tg α = yB – yA
xB – xA

ou

m = ∆y
∆x

Polinômios

Na matemática, os teoremas, as fórmulas, os postulados sempre recebem o nome de seus inventores e D’Alembert foi um desses, matemático e físico, foi um dos oficiais na revolução Francesa responsável pelas publicações solenes, anunciava a guerra e plocamava a paz.

Além disso, vários teoremas, tanto na física como na matemática, levaram o seu nome, na matemática podemos destacar no estudo dos polinômios o Teorema de D’Alembert, que diz:

Todo polinômio P(x) quando dividido por um binômio do tipo x – a, resultará em uma divisão exata, ou seja, terá resto igual a zero se, e somente se, a constante a for raiz do polinômio P(x).

Exemplo: Sem efetuar as divisões, prove que o polinômio P(x) = x4 - 4x3 + 4x2 - 4x +3 é divisível por x - 3 e x - i.

As divisões dadas favorecem a aplicação do Teorema de D’Alembert, dessa forma podemos afirmar que: a constante a será raiz do polinômio P(x) se, somente se, o resto da divisão for igual a zero. Dessa forma, basta aplicarmos o Teorema do Resto.

Para divisor igual a x – 3, a = 3.

P(3) = 34 – 4 . 33 + 4 . 32 – 4 . 3 + 3
P(3) = 81 – 4 . 27 + 4 . 9 – 12 + 3
P(3) = 81 – 108 + 36 – 12 + 3
P(3) = -27 + 36 – 12 + 3
P(3) = 9 – 12 + 3
P(3) = -3 + 3
P(3) = 0

Portanto, o polinômio P(x) = x4 - 4x3 + 4x2 - 4x +3 é divisível por x – 3.

Para divisor igual a x – i, a = i.

P(i) = i4 – 4 . i3 + 4 . i2 – 4 . i + 3
P(i) = 1 – 4 . (-i) + 4 . (-1) – 4i + 3
P(i) = 1 + 4i – 4 – 4i + 3
P(i) = 1 – 4 + 3
P(i) = - 3 + 3
P(i) = 0

Portanto, o polinômio P(x) = x4 - 4x3 + 4x2 - 4x +3 é divisível por x – i.
extraido de www.mundoeducacao.com.br

Função de 1º grau

Toda função do 1º grau possui a seguinte lei de formação: y = ax + b, onde a e b são números reais e a ≠ 0. Esse modelo de função contribui na elaboração e resolução de situações problemas cotidianas. Através de exemplos aplicados mostraremos a importância dos estudos relacionados às funções do 1º grau.

Exemplo 1

Na produção de peças, uma fábrica tem um custo fixo de R$ 200,00 mais um custo variável de R$ 1,20 por peça produzida. Qual o custo de produção de 10.000 peças?
Quantas peças podem ser produzidas com R$ 20.000,00?

Lei de formação da função
Note que temos um valor fixo de R$ 200,00 e um valor que varia de acordo com a quantidade de peças produzidas, R$ 1,20.
y = 1,2x + 200

Custo para produção de 10.000
y = 1,2*10.000 + 200
y = 12.000 + 200
y = 12.200
O custo para produção de 10.000 peças é de R$ 12.200,00.

Número de peças que podem ser produzidas com R$ 20.000,00
1,2x + 200 = 20.000
1,2x = 20.000 – 200
1,2x = 19.800
x = 19.800 / 1,2
x = 16.500
Serão produzidas 16.500 peças

Exemplo 2

Uma empresa de planos de saúde propõe a seus clientes as seguintes opções de pagamento mensais:

Plano A: um valor fixo de R$ 110,00 mais R$ 20,00 por consulta dentro do período.
Plano B: um valor fixo de R$ 130,00 mais R$ 15,00 por consulta dentro do período.
Analise os planos no intuito de demonstrar em quais condições um ou outro é mais vantajoso.

Função do plano A: y = 20x + 110
Função do plano B: y = 15x + 130

Momento em que os planos são exatamente iguais: A = B
20x + 110 = 15x + 130
20x – 15x = 130 – 110
5x = 20
x = 20/5
x = 4

Custo do plano A menor que o custo do plano B: A < B. 20x + 110 < 15x + 130 20x – 15x < 130 – 110 5x < 20 x < 20/5 x < 4 Custo do plano B menor que o custo do plano A: B < A. 15x + 130 < 20x + 110 15x – 20x < 110 – 130 – 5x < – 20 (-1) x > 20/5
x > 4

Se o cliente realizar quatro consultas por mês, ele pode optar por qualquer plano.
Se o número de consultas for maior que quatro, o plano B possui um custo menor.
Caso o número de consultas seja menor que quatro, o plano A possui um custo menor.