Numerais coletivos

A classe gramatical representada pelos numerais apresenta características semelhantes à classe representada pelos substantivos. Tal semelhança refere-se a uma particularidade por excelência: o fato de um numeral, grafado sob a forma singularizada, representar uma coletividade, ou seja, assim como temos o cardume, que mesmo tratando-se de um termo expresso no singular representa uma multiplicidade de seres de uma mesma espécie, como também temos o semestre, o qual indica um período de vários meses, para sermos mais precisos, seis.
Diante de tais constatações, ampliemos nossos conhecimentos no intento de conhecermos melhor como se materializa essa ocorrência linguística. Portanto, vejamos:

Por Vânia Duarte
Graduada em Letras
Equipe Brasil Escola

Angulos OPV

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

email accbarroso@hotmail.com        

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www.accbarrosogestar.blogspot.com.br 

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O é o vértice dos ângulos m, n, r e d

Ângulos Opostos Pelo Vértice (O.P.V)

O é o vértice dos
ângulos m, n, r e d


Analisando a figura notamos que, m e n são ângulos opostos pelo vértice, o mesmo acontece com os ângulos r e d.
Os ângulos opostos pelo vértice são ângulos congruentes (iguais).

Logo:
m = n e r = d

Observamos também que:
m + r = 180º, m + d = 180º, n + r = 180º, n + d = 180º

Exercícios resolvidos:

1. Vamos determinar os valores de a nas figuras seguintes:

a)
a = 45°

São ângulos opostos pelo vértice, logo são ângulo iguais.

b)
a + 20º = 180º
a = 180º - 20º
a = 160º

São ângulos suplementares, logo a soma entre eles é igual a 180º.

2. Observe a figura abaixo e determine o valor de m e n.


3m - 12º e m + 10º, são ângulos opostos pelo vértice logo são iguais.

3m - 12º = m + 10º
3m - m = 10º + 12º
2m = 22º
m = 22º/2
m = 11º

m + 10º e n, são ângulos suplementares logo a soma entre eles é igual a 180º.

(m + 10º) + n = 180º
(11º + 10º) + n = 180º
21º + n = 180º
n = 180º - 21º
n = 159º

Resposta: m = 11º e n = 159º

Probabilidade da união de dois eventos

Professor de Matemática no Colégio Estadual Dinah Gonçalves

E Biologia na rede privada de Salvador-Bahia

Professor Antonio Carlos carneiro Barroso

email accbarroso@hotmail.com

Blog HTTP://ensinodematemtica.blogspot.com e HTTP://accbarroso60.wordpress.com

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Extraído de http://www.alunosonline.com.br

Probabilidade da união de dois eventos

Marcelo Rigonatto

Probabilidade

A probabilidade é a área da matemática que investiga e determina as chances ou possibilidades de um evento ocorrer, como por exemplo, a chance de alguma pessoa ganhar na mega sena. Quando queremos determinar a possibilidade de ocorrer um evento A ou um evento B, teremos que calcular a probabilidade da união desses dois eventos. É muito importante lembrar que, na lógica matemática, a palavra “ou” quer dizer união.

Vamos obter a fórmula para o cálculo da probabilidade da união de dois eventos.

Dados dois eventos, A e B, de um espaço amostral S, pela teoria de conjuntos temos que:

Onde,

n(A) é o número de elementos do evento A.
n(B) é o número de elementos do evento B.
n(A ∩ B) é o número de elementos de A intersecção com B.
n(A U B) é o número de elementos de A união com B.

Dividindo todos os membros da igualdade acima por n(S), que corresponde ao número de elementos do espaço amostral, obtemos:

Mas,

Assim, teremos:

Que é a fórmula para o cálculo da probabilidade da união de dois eventos.

Vejamos um exemplo para melhor compreensão da fórmula.

Exemplo 1. No lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair um número par ou maior que 2?

Solução: Observe que o problema consiste em determinar a probabilidade de ocorrer um evento ou outro, ou seja, a probabilidade da união de dois eventos. Primeiro passo para resolução desse tipo de problema é determinar os eventos A e B e o espaço amostral. O espaço amostral consiste no conjunto de todos os resultados possíveis. Assim, temos que:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → Uma vez que no lançamento de um dado pode sair qualquer número entre 1 e 6.

Vamos determinar os eventos A e B.

Evento A: sair um número par.
A = {2, 4, 6}

Evento B: sair um número maior que 2.
B = {3, 4, 5, 6}

Precisamos, também, determinar o conjunto A ∩ B, que consiste nos elementos que são comuns aos dois conjuntos. Assim, teremos:
A ∩ B = {4, 6}

Feitas as identificações dos conjuntos, podemos utilizar a fórmula da probabilidade da união para chegar à solução.

Se os eventos A e B forem mutuamente exclusivos, ou seja, não há possibilidade deles ocorrerem simultaneamente, a probabilidade de A união com B será dada por:

Pois P(A∩B) = ø.
Exemplo 2. Considere o experimento: lançamento de um dado. Qual a probabilidade de sair um número maior que 5 ou um número ímpar?

Solução: Temos que:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Chamaremos de A o evento: sair um número maior que 5.
A = {6}

Chamaremos de B o evento: sair um número ímpar.
B = {1, 3, 5}

Note que A∩B = ø.

Assim, teremos:

Progressão Aritmética

A regra de Cramer é uma das maneiras de resolver um sistema linear, mas só poderá ser utilizada na resolução de sistemas que o número de equações e o número de incógnitas forem iguais.

Portanto, ao resolvermos um sistema linear de n equações e n incógnitas para a sua resolução devemos calcular o determinante (D) da equação incompleta do sistema e depois substituirmos os termos independentes em cada coluna e calcular os seus respectivos determinantes e assim aplicar a regra de Cramer que diz:

Os valores das incógnitas são calculados da seguinte forma:

x1 = D1
D

x2 = D2
D

x3 = D3 ... xn = Dn
D D

Veja no exemplo abaixo de como aplicar essa regra de Cramer:

Dado o sistema linear , para resolvê-lo podemos utilizar da regra de Cramer, pois ele possui 3 equações e 3 incógnitas, ou seja, o número de incógnitas é igual ao número de equações.

Devemos encontrar a matriz incompleta desse sistema linear que será chamada de A.


. Agora calculamos o seu determinante que será representado por D.



D = 1 + 6 + 2 + 3 – 1 + 4
D = 15.

Agora devemos substituir os temos independentes na primeira coluna da matriz A, formando assim uma segunda matriz que será representada por Ax.



. Agora calcularmos o seu determinante representado por Dx.



Dx = 8 + 4 + 3 + 2 – 8 + 6
Dx = 15

Substituímos os termos independentes na segunda coluna da matriz incompleta formando a matriz Ay.


. Agora calcularmos o seu determinante Dy.



Dy = -3 + 24 +4 – 9 – 2 + 16
Dy = 30

Substituindo os termos independentes do sistema na terceira coluna da matriz incompleta formaremos a matriz Az.


. Agora calculamos o seu determinante representado por Dz.



Depois de ter substituído todas as colunas da matriz incompleta pelos termos independentes, iremos colocar em prática a regra de Cramer.

A incógnita x = Dx = 15 = 1
D 15

A incógnita y = Dy = 30 = 2
D 15

A incógnita z = Dz = 45 = 3
D 15

Portanto, o conjunto verdade desse sistema será V = {(1,2,3)}.

Seja (a1, a2, a3, ... , ak, ... , a50) uma progressão aritmética. Se a2 = 14, a5 – a3 = 18 e

ak = 239, então k é igual a:

Resolução:
Retirando os dados do problema temos:

a2 = 14
a5 – a3 = 18
ak = 239
k = ?
Para o calculo de k deveremos utilizar a equação ak = a1 + (k – 1) . r , mas para darmos continuidade devemos achar o valor de a1 e de r, então observe os cálculos abaixo:

Utilizando o termo geral da P.A, an = a1 + (n-1) . r podemos dizer que:
a2 = a1 + r
14 = a1 + r

Utilizando novamente o termo geral da P.A, podemos dizer que:
a5 = a1+ 4r e a3 = a1 + 2r

Substituindo no dado do problema a5 – a3 = 18, temos:

a1 + 4r - a1 - 2r = 18 → unindo os termos semelhantes.

a1 - a1 + 4r - 2r = 18 → operando os termos semelhantes.

2r = 18

r = 18 : 2

r = 9

Agora devemos descobrir o valor de a1, para isso substituiremos o valor de r = 9 na equação 14 = a1 + r:

a1 + 9 = 14

a1 = 14 – 9

a1 = 5

Agora que sabemos que a1 = 5 e r = 9 podemos calcular qual é o termo de k:

ak = a1 + (k – 1) .r → Substituído os dados na equação.

239 = 5 + (k – 1) . 9

239 = 5 + 9k – 9 → unindo os termos semelhantes.

239 -5 + 9 = 9k
243 = 9k

k = 243 : 9

k = 27

Assim descobrimos que ak é o vigésimo sétimo termo da P.A.


Uma P.G de razão 3 foi formada introduzindo–se três termos entre o 2º termo e 486. Qual o 1º termo da P.G?

Resolução:

q = 3
Como foram introduzidos três termos entre o 2º termo e 486 podemos então concluir que 486 é o sexto termo da minha P.G.

a1 , a2, a3, a4, a5, 486

a3 , a4 e a5 são os três termos introduzidos.

Então podemos dizer que a6 = 486, utilizando o termo geral de uma P.G
an = a1 . qn - 1, temos:

a6 = a1 . qn – 1 → Substituindo os dados.

486 = a1 . 36 – 1

486 = a1 . 35

486 = a1 . 243

a1 = 486 : 243

a1 = 2

Observe a seqüência abaixo:
( 2, 5, 8, 11, ...)
Notemos que a diferença entre um termo qualquer dessa seqüência e seu antecedente é sempre igual a 3:
5 – 2 = 3
8 – 5 = 3
11 – 8 = 3


Assim:

Progressão Aritmética (P.A) é uma seqüência de números reais em que a diferença entre um termo qualquer ( a partir do segundo) e o tremo antecedente é sempre a mesma (constante).
Essa constante é chamada de razão da P.A representada por r.
Exemplos:
• (-5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, ...) é P.A de razão r = 2.


• (23, 20, 17, 14,...) é P.A de razão r = -3.


• (5, 5, 5, 5,...) é P.A de razão r = 0.

A razão tem algumas particularidades como:
• r > 0, dizemos que a P.A é crescente
• r < 0, dizemos que a P.A é decrescente
• r = 0, todos os termos da P.A são iguais, ou seja, a P.A é constante.

TERMO GERAL DA P.A.

Considerando a P.A (a1, a2, a3, a4, ...., an) de razão r. Temos:
• a2 - a1 = r → a2 = a1 + r


• a3 - a2 = r → a3 = a2 + r → a3 = a1 + 2r


• a4 – a3 = r → a4 = a3 + r → a4 = a1 + 3r
. . .

. . .

. . .
Assim:

an = a1 + ( n – 1) . r

Essa fórmula acima é conhecida como a fórmula do termos geral de uma P.A.

Exmplo:
Vamos calcular o 20º termo da P.A (26, 31, 36, 41, ...):
Para efetuarmos os calulos é necessário que retiremos os dados necessários.
Como: a1 = 26 e r = 31 – 26 = 5
Utilizando a fórmula do termo geral caculemos o 20º termo da P.A.
a20 = 26 + ( 20 – 1) . 5
a20 = 26 + 19 . 5
a20 = 26 + 95
a20 = 121
Conclimos que o 20º termo dessa P.A é 121.

NOTAÇÕES ESPECIAIS

Para determinar uma P.A apartir de seus elementos utilizamos de algumas notações que facilitam a resolução de alguns exercícios.

• Para três termos em P.A, podemos escrever:
( x – r , x , x + r )


• Para cinco termos em P.A, podemos escrever:
(x – 2r , x – r , x , x + r , x – 2r )

Exemplo:
Determine três números em P.A, sabendo que o elemento central é 4 e o produto entre eles é 28.
Para efetuarmos os calculos é necessário que retiremos os dados:
Como a P.A tem 3 termos ( x – r , x , x + r ) e x = 4
(x – r) . x . (x + r) = 28.
Então:
(4 – r) . 4 . (4 + r) = 28
r = +3 e r = -3
Assim iremos obter duas P.A
Para r = +3 a P.A será ( 1, 4, 7)
Para r = -3 a P.A será ( 7, 4, 1)

SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA P.A

A fórmula que nos permite calcular a soma dos n primeiros termos de uma P.A qualquer é preciso:
Considere a P.A (a1, a2, a3, ..., an - 2, an – 1 , ... , an, … ) Indiquemos a soma dos n primeiros termos por Sn. Temos então:


Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an – 2 + an - 1 + an ou
Sn = an + an - 1 + an - 2 + ... +a3 + a2 + a1

Somando essas igualdades membro a membro, obtemos:

sn=a1+an.n/2
Progressão Geométrica

Observe a seqüência:
( 3, 6, 12, 24, 48, ... )
Notemos que, dividindo um termo qualquer dessa seqüência pelo termo antecedente, o resultado é sempre igual a 2:

a2 : a1 = 6 : 3 = 2
a4 : a3 = 24 : 12 = 2
a5 : a4 = 48 : 24 = 2

Progressão Geométrica (P.G) é a seqüência de números reais não nulos em que o quociente entre um termo qualquer (a partir do 2º) e o termo antecedente é sempre o mesmo (constante).
Essa constante é chamada de razão, representada pela letra q.
Exemplos:

• (2, 6, 18, 54,...) é uma P.G de razão q = 3
• (-5, 15, -45, 135,...) é uma P.G de razão q = -3


TERMO GERAL DE UMA P.G

Vamos agora encontrar uma expressão para obtermos o termo geral de uma P.G conhecendo apenas o primeiro termo (a1) e a razão (q).
Isso é possível graças à lei de formação específica da P.G.:
Seja ( a1, a2, a3, ... , an) uma P.G de razão q. Temos:

a2 : a1 = q → a2 = a1 . q

a3 : a2 = q → a3 = a2 . q → a3 = a1 . q²

a4 : a3 = q → a4 = a3 . q → a4 = a3 . q³
. . .
. . .
. . .
Seguindo chegaremos ao termo an, que ocupa a n-ésimo posição da P.G. Dada pela expressão:


an = a1 . qn – 1

Essa expressão é conhecida como a fórmula do termo geral de uma P.G..
Exemplo:

Vamos determinar o 10º termo da P.G ( , 1, 3, 9, ... ):
Sabendo que a1 = 1 e que q = 3.
Assim, pela expressão do termo geral da P.G, podemos escrever:
a10 = a1 . q9 → a10 = 1 . 39 → a10 = 19683

SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA P.G

Para somarmos os elementos de uma P.G, considere a seqüência como uma P.G (a1, a2, a3, ..., an) de razão q ≠ 1.

Somando todos os termos dessa P.G:
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an (I)
Multiplicando os dois membros da igualdade acima por q, e lembrando a formação dos elementos de uma P.G., vem:

q . Sn = q (a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an - 1 + an) = a1 . q + a2 . q + a3 . q + … + an-1 . q + an .

q . Sn = a2 + a3 + a4 + … + an + an .q (II)

Fazendo (II) – (I), temos:
q . Sn – Sn = ( a2 + a3 + … + an-1 + an + an . q) - (a1 + a2 + a3 + … + an-1 + an)
Sn . (q – 1) = an . q – a1
Como an = a1 . qn – 1 , vem:
Sn . (q – 1 ) = a1 qn – 1 . q - a1, isto é,



Seqüência é sucessão, encadeamento de fatos que se sucedem.
É comum percebermos em nosso dia-a-dia conjuntos cujos elementos estão dispostos em certa ordem, obedecendo a uma seqüência.
Por exemplo:
Todos nós sabemos que o Brasil é penta campeão mundial de futebol e os anos, em ordem cronológica, em que ele foi campeão mundial são: 1958, 1962, 1970, 1994 e 2002. Essas datas formam um conjunto com os elementos dispostos numa determinada ordem.
O estudo de seqüência dentro da matemática é o conjunto de números reais dispostos em certa ordem. Assim chamado de seqüência numérica.

Exemplo:
• O conjunto ordenado (0, 2, 4, 6, 8, 10,...) é a seqüência de números pares.
• O conjunto ordenado (7, 9, 11, 13,15) é a seqüência de números impares ≥ 7 e ≤ 15.
• O conjunto ordenado (2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, 200) é uma seqüência de números que começa com a letra D.

Matematicamente quando temos uma seqüência numérica qualquer, representamos o seu 1º termo por a1 assim sucessivamente, sendo o n-ésimo termo an.
Exemplo:
• (2, 4, 6, 8, 10) temos: a1 = 2; a2 = 4; a3 = 6; a4 = 8; a5 = 10

A seqüência acima é uma seqüência finita sua representação geral é (a1, a2, a3,..., an ), para as seqüências que são infinitas a representação geral é (a1, a2, a3, an, ... ).

Para determinarmos uma seqüência numérica precisamos de uma lei de formação.
Exemplo:
A seqüência definida pela lei de formação an = 2n² - 1, n N*, onde n = 1, 2, 3, 4, 5, ... e an é o termo que ocupa a n-ésima posição na seqüência. Por esse motivo, an é chamado de termo geral da sequência.
Utilizando a lei de formação an = 2n² - 1, atribuindo valores para n, encontramos alguns termos da seqüência.
• n = 1 → a1 = 2 . 1² - 1 → a1 = 1
• n = 2 → a2 = 2 . 2² - 1 → a2 = 7
• n = 3 → a3 = 2 . 3² - 1 → a3 = 17
• n = 4 → a4 = 2 . 4² - 1 → a4 = 31
.
.
.
Assim a seqüência formada é (1, 7, 17, 31, ...)
http://carlinho.blig.ig.com.br/

Radicais

O objetivo é apresentar as principais técnicas utilizadas na racionalização de denominadores de frações irracionais, uma vez que não é possível estabelecer uma regra geral face à infinidade de formas que esses denominadores podem assumir.

Para que o entendimento seja mais efetivo é imprescindível o conhecimento das propriedades de Radiciação e Potenciação, dentre outros conceitos que serão apresentados mas não demonstrados, por fugirem ao escopo da matéria.

O assunto está sendo tratado em decorrência do resultado da pesquisa feita no Blog, em que obteve a segunda colocação entre os temas propostos (11 votos). Maiores detalhes podem ser obtidos através do link Consultar Pesquisas na barra lateral de navegação.
FRAÇÕES IRRACIONAIS
Definição

Fração irracional é a que tem pelo menos um termo, o numerador ou o denominador, irracional ou sob radical.
Exemplos:

Exemplos de Frações Irracionais
RACIONALIZAÇÃO DOS DENOMINADORES DE FRAÇÕES IRRACIONAIS

As técnicas a serem explicitadas considerarão, claro, as frações irracionais dos tipos indicados nos exemplos b) e c) acima.

Tem grande importância no processo de racionalização a seguinte propriedade das frações: Uma fração não se altera quando o numerador e o denominador são multiplicados pelo mesmo número diferente de zero.
Definições

Racionalização dos denominadores irracionais de uma fração irracional é a operação que tem por finalidade transformá-la em um número inteiro ou em uma fração equivalente com denominador racional.
Exemplos


[Exemplos de Racionalização]

Fator racionalizante de uma expressão irracional é uma outra expressão, também irracional, em que o produto entre elas resulta em uma expressão sem radical, ou seja, que a torne uma expressão racional.

Para que o significado de fator racionalizante seja melhor entendido nada como alguns exemplos:


Exemplos de Fatores Racionalizantes

Observe que nos exemplos da definição de Racionalização dos denominadores irracionais foi utilizado o conceito de fator racionalizante.
Produtos Notáveis

Os produtos notáveis, ou derivados deles, têm um papel importante na racionalização de denominadores de frações irracionais. Por isso, faço um parêntesis para, antes de colocar as técnicas, definir alguns dos mais utilizados:

1) a2 – b2 = (a + b)(a – b)

2) a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

3) a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

Note que no exemplo b) acima foi utilizado o produto notável definido em 1) e no c) o definido em 2).
Técnicas ou Regras de Racionalização Mais Frequentes

T1. Frações irracionais do tipo:

Racionalização do Tipo T1

têm como fator racionalizante:


Fator Racionalizante Tipo T1
Exemplos:


Exemplos Racionalização do Tipo T1

T2. Frações irracionais que têm no denominador um binômio de termos que são do mesmo índice 2 (raízes quadradas):

Racionalização do Tipo T2

têm como fatores racionalizantes:


Fatores Racionalizantes T2

respectivamente.

Demonstração do segundo tipo:

Bem simples, basta somente usar o produto notável definido em 1) acima:


Demonstração do Fator Racionalizante Tipo T2

A demonstração dos demais seguem raciocínio semelhante e ficam como exercício.
Exemplos

Exemplos Racionalização do Tipo T2

T3. Frações irracionais que têm no denominador um polinômio de termos que são do mesmo índice 2 (raízes quadradas):

Racionalização do Tipo T3

A idéia é fazer recair no caso anterior mediante uma adequada associação de termos. Para ilustrar, é apresentada a demonstração para n = 3. Você observará que a racionalização necessitará de dois fatores racionalizantes.

Demonstração:

Demonstração do Fator Racionalizante Tipo T3
Exemplo:

Exemplos Técnica T3 de Racionalização

T4. Frações irracionais que têm no denominador um binômio de termos que são do mesmo índice 3 (raízes cúbicas):


Técnica T4 de Racionalização

têm como fator racionalizante:


Fator Racionalizante Tipo T4

A demonstração já foi feita no exemplo c) da definição de fator racionalizante e é consequência dos produtos notáveis 2) e 3) definidos anteriormente.

Referências:

1. Abecedário da Álgebra (Volume 1 – Ciclo Ginasial), Darcy Leal de Menezes, Rio de Janeiro, Departamento de Imprensa Nacional, primeira edição, 1959;
2. Praticando Matemática, Álvaro Andrini, São Paulo, Editora do Brasil S/A.

Diagonais de um Polígono Convexo

Definimos diagonal de um polígono convexo como sendo o segmento de reta que une um vértice não consecutivo à outro. O número de diagonais de um polígono é proporcional ao número de lados. Observe:

Diagonais de um quadrilátero

Perceba que na figura acima temos quatro vértices, então traçamos quatro diagonais, porém, a diagonal AC é a mesma CA, e a diagonal BD é a mesma DB, então sempre dividiremos o número de diagonais por 2. Para cálculos envolvendo o número de diagonais, utilizamos a seguinte fórmula:

Na fórmula, n indica o número de lados e n – 3 determina o número de diagonais que partem de um único vértice e a divisão por dois elimina a duplicidade de diagonais ocorridas em um polígono.
Exercícios

1) Determine o número de diagonais de um polígono com:
a) 8 lados (octógono):

b) 10 lados (decágono)

2) O nome do polígono em que a quantidade de diagonais é igual ao triplo do número de lados é:
Dados do problema: d = 3n
Solução:

Logo, o nome do polígono é Eneágono.

Referências Bibliográficas:
ANDRINI, Álvaro. VASCONCELOS, Maria José. Novo Praticando Matemática. São Paulo: Editora do Brasil, 2002.

DANTE,Luiz Roberto. Contexto & Aplicações: ensino médio: volume único. São Paulo: Editora Ática, 2001

GIOVANNI, José Ruy. BONJORNO, José Roberto. GIOVANNI JR., José Ruy. Matemática Fundamental : uma nova abordagem: ensino médio: volume único. São Paulo: FTD, 2002.

Angulos Complementares, Angulos Suplementares e Angulos Adjacentes

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

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Podemos determinar ângulo como a região do plano limitada por duas semirretas de mesma origem que recebem o nome de lados do ângulo e a origem é denominada vértice. Observe:

Ângulos complementares são dois ângulos que somados totalizam 90º, isto é, um é complemento do outro.



Na ilustração temos que:

α + β = 90º ou
α = 90º – β e ainda
β = 90º – α


Ângulos suplementares são dois ângulos que somados são iguais a 180º, um é suplemento do outro.


Na ilustração temos que:

α + β = 180º ou
α = 180º – β e ainda
β = 180º – α


Ângulos adjacentes são aqueles que possuem um lado em comum, mas as regiões determinadas não possuem pontos em comum. Observe a ilustração:

Os ângulos AÔB e BÔC são adjacentes, pois possuem o lado OB em comum, mas suas regiões determinadas não possuem pontos em comum.

Os ângulos AÔC e AÔB não são adjacentes, embora possuam um lado em comum, suas regiões determinadas possuem pontos em comum. A região AÔB pertence à região AÔC.


Ângulos adjacentes e suplementares

De acordo com a ilustração acima, os ângulos AÔB e BÔC são adjacentes, pois possuem o lado OB e suas áreas determinadas não possuem duplicidade de pontos. São suplementares, pois a soma dos ângulos α e β totalizam 180º.

Marcos Noé

Dificuldades no Emprego do S e do Z

Em latim, o s intervocálico tinha valor fonético eqüivalente ao ss do português, tal como em espanhol. Em nossa língua, entretanto, o s intervocálico adquiriu som de z, o que gera, freqüentemente, confusão e incerteza na grafia de certas palavras, quando titubeamos entre s e z.

Não raro, lemos em escritos médicos expressões como estas: "hérnia hiatal por deslisamento", "retardo de esvasiamento", "extravazamento de líquido", "atrazo na eliminação do contraste", e outras semelhantes.

Analisemos os exemplos citados:

1. Deslizamento - Derivado do verbo deslizar. Há em português o verbo deslisar, com s (des + liso + ar), com o mesmo sentido de alisar, tornar liso, e deslizar, com z, que significa escorregar, resvalar, passar de manso.[1]

O verbo deslizar, de origem incerta e de formação mais antiga que deslisar, já se encontra registrado no dicionário de Moraes (1813). Em espanhol, o verbo deslizar também se escreve com z enquanto liso se escreve com s, fato este que, segundo Nascentes indica origens diversas para ambos os vocábulos.[2] Para outros, o vocábulo teria vindo para o português através do espanhol, o que explicaria a grafia com z.[3]

2. Esvaziamento - Derivado de esvaziar, que por sua vez, origina-se de vazio, do latim vacivus, vago, desocupado. Neste caso, entende-se mais facilmente porque vazio se deve grafar com z. Segundo a fonética histórica, os grupos ti e ci, do latim vulgar, evoluíram naturalmente para z. Ex.: judiciu, juízo; cinícia, cinza; ratione, razão. Somente em palavras introduzidas posteriormente pelas camadas mais cultas da população, ti evoluiu para ç. Ex.: gratia, graça; capitia, cabeça.[4]

3. Extravasamento - Embora vazio e vazar se escrevam com z, extravasar, do mesmo modo que envasar, deve grafar-se com s. Todos os léxicos relacionam estes verbos com vaso, do latim vasum.

4. Atraso - Deverbal de atrasar, formado de atrás + ar. Atrás por sua vez, formou-se da preposição a + trás, que se escreve com s, ao contrário de traz, do verbo trazer, que se escreve com z. É óbvio, portanto, que atraso e todos os seus cognatos devem ser escritos com se não com z.

Muitas outras palavras existem em que vacilamos entre s e z. Na dúvida, o melhor é recorrer a um bom dicionário ou, se possível, a mais de um, pois muitas vezes há divergências até mesmo entre os lexicógrafos.

Nos exemplos citados as formas corretas são: "hérnia hiatal por deslizamento", "retardo de esvaziamento", "extravasamento de líquido" e "atraso na eliminação do contraste".

Referências

1. FERREIRA, A.B.H., Novo dicionário da língua portuguesa, 3.ed. Rio de Janeiro, Ed. Nova Fronteira, 1999.
2. NASCENTES, A., Dicionário etimológico da língua portuguesa. Rio de Janeiro, Liv. Francisco Alves, 1932.
3. CARVALHO, J.M., Dicionário prático da língua nacional. Rio de Janeiro, Editora Globo, 1957.
4. COUTINHO, Ismael de Lima - Pontos de gramática histórica, 5.ed. Rio de Janeiro, Liv. Acadêmica, 1962, p.149.

Tabuada Antonio Carlos C Barroso

Equação irracional

Equação irracional é toda equação que possui incógnita no radicando

Resolução de uma Equação Irracional

A resolução de uma equação irracional deverá ser efetuada procurando transformá-la, inicialmente, numa equação racional, obtida
quando elevarmos ambos os membros da equação a uma potência conveniente. Se for uma raiz quadrada elevaremos ao quadrado,
se for uma raiz cúbica elevaremos ao cubo, e assim, por diante.

Em seguida, resolvemos a equação racional encontrada e, finalmente, verificamos se as raízes da equação racional obtidas podem
ou não ser aceitas como raízes da equação irracional original ( verificar a igualdade).

É necessária essa verificação, pois, ao elevarmos os dois membros de uma equação a uma potência, podem aparecer na equação
obtida raízes estranhas à equação original.

Observemos alguns exemplos de resolução de equações irracionais no conjunto dos reais.

Exercícios Resolvidos








Respostas dos Exercícios Propostos

01 x = 11 02 x = 2 03 x = 7
04 x = 35 05 x = 8 06 x = 1 ou x = 2
07 x = 2 ou x = 3 08 x = 4 ou x = 5 09 x = 3
10 x = 4 11 x = 4 12 x = 9
13 x = 2 14 x = 1 15 x = 4 ou x = - 4
16 x = 10 17 x = 8 ou x = 1 18 x = 5
19 x = 15 20 x = 24 21 k = 15
22 x = 4 23 x = 5 24 x = 9
25 x = 7 26 x = 7 27 x = 2
28 k = 16 29 a = 2/3 30 x = 5

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Média Aritmética - Exercícios resolvidos

Média Aritmética - Exercícios resolvidos

01. Calcular a média aritmética entre os números 3, 4, 6, 9 e 13.



RESOLUÇÃO: A média aritmética é 7.



02. Calcular a média aritmética ponderada dos números 35, 20 e 10.



RESOLUÇÃO: A média aritmética ponderada é 18



03. a) Calcular a média aritmética Ma, a média geométrica Mg e a média harmônica Mh dos números 2 e 8.

b) Compare os três resultados



RESOLUÇÃO: a) Ma = 5; Mg = 4; Mh = 3,2

b) Ma > Mg > Mh



04. (ITA) Sabe-se que a média harmônica entre o raio e a altura de um cilindro de revolução vale 4. Quanto valerá a razão entre o volume e a área total do cilindro?



a) 1

b) 2

c) 2,5

d) 3

e) 3,5



RESPOSTA: A



05. Comprei 5 doces a R$ 1,80 cada um, 3 doces a R$ 1,50 e 2 doces a R$ 2,00 cada. O preço médio, por doce, foi de:



a) R$ 1,75

b) R$ 1,85

c) R$ 1,93

d) R$ 2,00

e) R$ 2,40



RESPOSTA: A



06. Uma empresa de embalagem mistura x kg de café tipo A, que custa 4 reais por quilograma, com y kg de café do tipo B, que custa 3,20 reais por quilograma. Calcular o custo de um quilograma dessa mistura quando:



a) x = y = 5

b) x = 6 e y = 4

c) x = 2 e y = 8



RESOLUÇÃO: a) R$ 3,60

b) R$ 3,68

c) R$ 3,36



07. (PUCCAMP - 98) Sabe-se que os números x e y fazem parte de um conjunto de 100 números, cuja média aritmética é 9,83. Retirando-se x e y desse conjunto, a média aritmética dos números restantes será 8,5. Se 3x - 2y = 125, então:



a) x = 75

b) y = 55

c) x = 85

d) y = 56

e) x = 95



RESPOSTA: C



08. (FUVEST) Sabe-se que a média aritmética de 5 números inteiros distintos, estritamente positivos, é 16. O maior valor que um desses inteiros pode assumir é:



a) 16

b) 20

c) 50

d) 70

e) 100



RESPOSTA: D



09. (VUNESP) Suponha que o país A receba de volta uma parte de seu território T, que por certo tempo esteve sob a administração do país B, devido a um tratado entre A e B. Estimemos a população de A, antes de receber T, em 1,2 bilhão de habitantes, e a de T em 6 milhões de habitantes. Se as médias de idade das populações A e T, antes de se reunirem, eram, respectivamente, 30 anos e 25 anos, mostre que a média de idade após a reunião é superior a 29,9 anos.



RESOLUÇÃO: Média final = 29,975 > 29,9



10. (FUVEST) Numa classe com vinte alunos, as notas do exame final podiam variar de 0 a 100 e a nota mínima para aprovação era 70. Realizado o exame, verificou-se que 8 alunos foram reprovados. A média aritmética das notas desses oito alunos foi 65, enquanto que a média dos aprovados foi 77. Após a divulgação dos resultados, o professor verificou que uma questão havia sido mal formulada e decidiu atribuir 5 pontos a mais para todos os alunos. Com essa decisão, a média dos aprovados passou a ser 80 e a dos reprovados 68,8.



a) Calcule a média aritmética das notas da classe toda antes da atribuição dos cinco pontos extras.

b) Com a atribuição dos cinco pontos extras, quantos alunos, inicialmente reprovados, atingiram nota para a aprovação?



RESOLUÇÃO: a) 72,2

b) 3

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Tecido Muscular

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

email accbarroso@hotmail.com        

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www.youtube.com/accbarroso1     


Tecido Muscular
O tecido muscular é uma parte do corpo humano que apresenta a contratibilidade como característica essencial, ou seja, quando submetido a um estímulo suas células encurtam-se. Esses estímulos podem ser de origem mecânica, elétrica ou química.

As células do tecido muscular têm origem mesodérmica e apresentam uma membrana, um citoplasma fundamental e um ou vários núcleos.

Existem três variedades de tecido muscular: tecido muscular liso, tecido muscular estriado esquelético, tecido muscular estriado cardíaco.

O tecido muscular liso é formado por células alongadas fusiformes, uninucleadas, contendo no citoplasma miofibrilas muito finas. Apresenta contrações lentas e involuntárias e é encontrado nas paredes do tubo digestivo, nas vias respiratórias, nos vasos sangüíneos e nos órgãos do sistema urogenital.

As células alongadas, plurinucleadas compõe o tecido muscular estriado. Os músculos esqueléticos apresentam contrações rápidas e voluntárias. Esses músculos envolvem as vísceras e a locomoção.

O tecido muscular estriado cardíaco tem contração rápida, involuntária e rítmica; é composto de células uninucleadas. No citoplasma dessas células encontram-se
miofibrilas produzindo discos claros e escuros. Esse tecido constitui o músculo do coração.

As fibras musculares são formadas por 80% de água, 1% de sais minerais e compostos orgânicos, como a glicose, fosfocreatina, proteínas, utilizados em seu metabolismo.

O tecido muscular estriado esquelético é constituído por várias fibras com estrias transversais, o que faz dele o tipo muscular considerado para a compreensão do funcionamento dos músculos.
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