articulador 1
terça-feira, 10 de março de 2020
terça-feira, 3 de março de 2020
Massa e peso Descubra a diferença entre esses conceitos
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email
accbarroso@hotmail.com
Massa
A massa é uma grandeza física fundamental. Segundo a mecânica newtoniana, ela dá a medida da inércia ou da resistência de um corpo em ter seu movimento acelerado. Ela também é a origem da força gravitacional, atuante sobre os corpos no Universo.
Mais recentemente, dentro da física moderna, a massa aparece relacionada com a energia, relação formulada por Einstein através da equação E = mc2.
A massa inercial de um corpo é definida pela Segunda Lei de Newton como uma constante de proporcionalidade entre a força (F) aplicada e a aceleração (a) causada:
Considerando que a força e a aceleração são grandezas vetoriais, isso implica em dizer que a massa é uma grandeza escalar. Então, a massa inercial indica a tendência de aceleração de um corpo para uma dada força.
Chamamos de massa gravitacional a intensidade da força de atração gravitacional gerada por um corpo dotado de massa. Nesse momento, é bom introduzirmos a relação que pode ser deduzida de leis da Mecânica, notando que a força peso que conhecemos depende da massa do corpo, mas não é equivalente a ela conceitualmente.
Peso
O peso é a força gravitacional sofrida por um corpo na vizinhança de um planeta ou de outro corpo celeste de massa significativa. Enquanto força, o peso é uma grandeza vetorial. Portanto, apresenta intensidade, direção e sentido.
Para corpos próximos da Terra, por exemplo, a direção é a linha que passa pelo objeto e pelo centro da Terra. O sentido é aquele que aponta para o centro da Terra.
Matematicamente, ele pode ser descrito como o produto entre massa e a aceleração da gravidade local:
Unidades
A força (o peso) é medida comumente em quilograma-força (kgf), em newton (N) ou em dina (dyn). Já a massa é medida em quilograma (kg), grama (g), tonelada (t), etc.
Se considerarmos que o valor de g na superfície da Terra é de aproximadamente 10 m/s2, teremos então que um corpo com a massa de 1 kg pesa 10 N ou 1 kgf; um corpo com a massa de 2 kg pesa 20 N ou 2 kgf; e assim por diante.
Nas balanças de farmácia, o peso é indicado por um ponteiro que é acionado por molas na plataforma. Quanto maior a massa da pessoa, maior a força peso que ela exerce sobre a plataforma, deformando mais as molas que a sustentam. Essa indicação de deformação é passada para o visor por meio de um ponteiro ou de uma indicação eletro-digital.
No cotidiano, os conceitos de massa e peso se confundem. É comum as pessoas dizerem, por exemplo, "peso 62 quilos", quando o certo seria dizer "peso 62 quilogramas força", ou "peso 620 newtons" (620 N).
Peso lunar
A Lua também tem aceleração gravitacional, mas como possui massa e tamanhos bem menores do que os da Terra, sua gravidade na superfície é de cerca de um sexto da encontrada em nosso planeta.
Com esse valor, o peso de um astronauta de massa 70 kg, por exemplo, seria de apenas 112 newtons quando ele estivesse na Lua (o valor de g na superfície lunar é de 1,6 m/s2). Na Terra, o mesmo astronauta tem quase 700 newtons de peso.
Esse fato torna os movimentos de um homem na Lua bem mais fáceis do que seriam aqui. Entretanto, a massa do astronauta permanece inalterada. Você pode calcular seu peso em outros planetas no Museu Interativo de Astronomia.
*Luís Fábio Simões Pucci é professor do Instituto Galileo Galilei para a Educação.
Numeração
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com
Numeração - Exercícios Propostos
01) O consecutivo e o antecedente de um número natural n serão respectivamente :
02) Se n é par, o consecutivo par de n será ........... Se n é ímpar, o consecutivo ímpar de n será ...........
03) O consecutivo e o antecedente de um número par será, necessariamente, um número :
04) Se n é um número natural significativo, diga se são números pares ou ímpares, as expressões :
04a) 2n +1 04b) 12n - 4 04c) 6n - 1 04d) 5n + 3
05) Quantas classes e quantas ordens possui um número de 8 algarismos ?
06) Determine o número formado por : 5 dezenas de milhar, 2 unidades de milhar, 7 unidades de 3ª ordem e 48 unidades simples.
07) No número formado por 5 unidades de 4ª ordem, 3 unidades de 3ª ordem e 7 unidades simples, o valor relativo do algarismo 3
acrescido do valor absoluto do algarismo 5 é :
08) A soma dos valores relativos dos algarismos de um número é sempre igual ao ?
09) Em que ordem a diferença entre os valores relativo e absoluto de um algarismo é nula ?
10) A diferença entre o V.A. e o V.R. de um algarismo em um número é 297. Que ordem esse algarismo ocupa nesse número ?
11) Quantas dezenas possui o número cujo triplo da soma dos V.R. de seus algarismos é 873 ?
12) Qual é o maior e o menor número natural de dois algarismos ?
13) Qual é o maior e o menor número de dois algarismos diferentes ?
14) Qual é o maior e o menor número natural de três algarismos diferentes?
15) Qual é o maior e o menor número natural de três algarismos pares e diferentes ?
16) Qual é o maior e o menor número de quatro algarismos, significativos e diferentes ?
17) Qual é o maior e o menor número de quatro algarismos pares, significativos e diferentes ?
18) Qual é o maior e o menor número ímpar de quatro algarismos diferentes ?
19) Qual é o maior e o menor número de cinco algarismos ímpares e diferentes ?
20) Determine a diferença entre o menor número par de quatro algarismos diferentes e o maior número de 3 algarismos ímpares
e diferentes.
21) Quantos algarismos utilizo para escrever os 150 primeiros números naturais ?
22) Para escrevermos de 27 até 498, inclusive, utilizamos ............. números e .............. algarismos .
23) Quantos algarismos serão necessários para escrevermos de 33 até 1.498 ?
24) Quantos algarismos são necessários para se escrever os números pares situados entre 63 e 709 ?
25) Quantos algarismos são necessários para escrevermos os números ímpares situados entre 45 e 856 ?
26) Quantos algarismos são necessários para escrevermos os números pares de três algarismos ?
27) Quantos algarismos utilizo ao escrever todos os múltiplos de 3 compreendidos entre 23 e 314 ?
28) Quantos algarismos serão utilizados para escrevermos todos os múltiplos pares de 7 presentes no intervalo numérico
42, 43, 44, ....444 ?
29) Quantos algarismos são necessários para escrevermos os números de n algarismos ?
30) Quantos tipos de um algarismos são necessários para numerar as páginas de um livro de 314 páginas numeradas ?
31) Foram gastos para paginar um livro 792 tipos de um algarismo. Quantas páginas tem esse livro ?
32) Um aluno escreveu, sem separar os algarismos, a sucessão dos números naturais maiores que zero. Que algarismo ocupará a
367º posição ?
33) Um aluno escreveu, sem separar os algarismos, a sucessão dos números naturais maiores que zero. Que algarismo ocupará a
posição de número 454 ?
34) Ao escrevermos todos os números naturais menores que 1.235, quantas vezes o algarismo 5 aparece na ordem das unidades
simples ?
35) Ao escrevermos todos os números naturais menores que 2.235, quantas vezes o algarismo 2 aparece na ordem das centenas
simples ?
36) Na sucessão dos naturais : 0, 1, 2, ........4 639, quantas vezes aparece o algarismo 6 ?
37) Qual é o número que aumenta de 513 unidades quando acrescentamos a sua direita o algarismo "0" ?
38) Qual é o número que aumenta de 346 quando acrescentamos um 4 a sua direita ?
39) Qual é o número que aumenta de 2 793 quando acrescentamos a sua direita o número 21 ?
40) Qual é o maior número ímpar de dois algarismos que aumenta de 180 unidades quando colocamos um zero entre seus
algarismos ?
41) Um aluno digitou em seu PC a sucessão dos números naturais até 465. Por um erro de seu teclado, cada vez que era digitado o
algarismo 7, aparecia em seu lugar o algarismo 3. Dessa forma, quantas vezes apareceu o dígito 3 nessa sucessão ?
42) Um jovem escreveu, sem separar os algarismos, a sucessão dos naturais menores que 1.279. Quantas vezes nessa sucessão
aparecerá o grupo "12" ?
43) ( Colégio Naval ) Determinar o números de algarismos necessários para escrever os números ímpares de 5 até 175 inclusive.
44) ( Colégio Naval ) Um aluno escreveu todos os números naturais de 1 até 2 850. Quantas vezes ele escreveu o algarismo 7 ?
45) ( Colégio Naval ) Um número de seis algarismos começa, à esquerda, pelo algarismo 1. Levando-se esse algarismo 1, para o
último lugar, à direita, conservando a seqüência dois demais algarismos, o novo número é o triplo do número primitivo. O número
primitivo é :
a) 100.006 b) múltiplo de 11 c) múltiplo de 4 d) maior que 180 000 e) divisível por 5
Questões Desafio
46) ( Olimpíada Brasileira de Matemática ) Os números inteiros positivos de 1 a 1.000 são escritos lado a lado, em ordem crescente,
formando a seqüência: 123456789101112131415...9991000. Nessa seqüência, quantas vezes aparece o grupo "89"?
a) 98 b) 32 c) 22 d) 89 e) 23
47) ( Olimpíada Brasileira de Matemática ) São escritos todos os números de 1 a 999 nos quais o algarismo 1 aparece exatamente
2 vezes (tais como, 11, 121, 411). A soma de todos estes números é:
a) 6.882 b) 5.994 c) 4.668 d) 7.224 e) 3.448
48) ( Olimpíada Brasileira de Matemática ) O número 10 pode ser escrito de duas formas como soma de dois números primos: 10 = 5 + 5
e 10 = 7 + 3. De quantas maneiras podemos expressar o número 25 como uma soma de dois números primos ?
a) 4 b) 1 c) 2 d) 3 e) Nenhuma
Respostas dos Exercícios Propostos
01 n + 1 e n - 1 02 n + 2 e n + 2 03 ímpar 04a sempre ímpar
04b sempre par 04c sempre ímpar 04d depende do valor de n 05 3 classes e 8 ordens
06 52.748 07 305 08 próprio número 09 Unidades Simples
10 Ordem das centenas 11 9 dezenas 12 99 e 10 13 98 e 10
14 987 e 102 15 204 e 864 16 9.876 e 1.234 17 8.642 e 2.468
18 9.875 e 1.023 19 13.579 e 97.531 20 49 21 340 algarismos
22 472 e 1.343 23 4.830 algarismos 24 951 25 1.188 algarismos
26 1.350 27 265 28 82 29 9n . 10(n - 1)
30 834 31 300 páginas 32 5 33 1
34 124 vezes 35 236 vezes 36 1.364 vezes 37 57
38 38 39 28 40 29 41 283
42 93 43 207 44 865 45 Letra b
46 Letra e 47 Letra a 48 Letra b ( 2 + 23 = 25 ) www.matematicamuitofacil.com
O emprego das vogais “o” e “u”
A ortografia configura-se como um importante elemento inerente à modalidade escrita da linguagem. Em virtude disso, faz-se necessário que estejamos aptos a colocar em prática nossos conhecimentos acerca deste assunto, visando assim a uma boa performance enquanto interlocutores, de modo a nos adequarmos à formalidade requisitada pelo padrão em foco.
Contudo, algumas dúvidas compartilham do nosso cotidiano, sobretudo em se tratando de palavras constituídas de uma notória semelhança sonora, tais como viagem, viajar, majestade, ferrugem, dentre outras. Assim sendo, o emprego correto de determinadas letras desempenham um importante papel rumo à conquista das habilidades antes mencionadas e, por falar em letras, não podemos nos esquecer do “o” e do “u”.
Portanto, visando a um aperfeiçoamento linguístico mais apurado, analisemos algumas questões relacionadas a esta ocorrência, assim evidenciadas:
* Grafam-se com “o”:
boteco, botequim, mochila, nódoa, cortiço, moela, mosquito, mágoa, moleque, tossir, goela, engolir, polenta, toalete, zoar, etc.
* Grafam-se com “u”:
amuleto, bueiro, camundongo, cinquenta, cutia, curtume, jabuti, jabuticaba, entupir, embutir, mandíbula, supetão, tábua, tabuleiro, urtiga, urticária, entre outras.
Observações dignas de nota:
Constituindo esse ínterim há uma outra particularidade concernentes às vogais “i” e “e”, cuja mudança desta por aquela, implica tão somente no sentido expresso por elas. Vejamos alguns casos:
área (superfície) - ária (melodia)
delatar (denunciar) – dilatar (distender)
emigrar (sair de um país) – imigrar (entrar em um país)
recreação (diversão) – recriação (ato de criar novamente)
venoso (relativo a veias) – vinoso (que produz vinho)
Eis mais uma das tantas curiosidades linguísticas!
Por Vânia Duarte
Graduada em Letras
Contudo, algumas dúvidas compartilham do nosso cotidiano, sobretudo em se tratando de palavras constituídas de uma notória semelhança sonora, tais como viagem, viajar, majestade, ferrugem, dentre outras. Assim sendo, o emprego correto de determinadas letras desempenham um importante papel rumo à conquista das habilidades antes mencionadas e, por falar em letras, não podemos nos esquecer do “o” e do “u”.
Portanto, visando a um aperfeiçoamento linguístico mais apurado, analisemos algumas questões relacionadas a esta ocorrência, assim evidenciadas:
* Grafam-se com “o”:
boteco, botequim, mochila, nódoa, cortiço, moela, mosquito, mágoa, moleque, tossir, goela, engolir, polenta, toalete, zoar, etc.
* Grafam-se com “u”:
amuleto, bueiro, camundongo, cinquenta, cutia, curtume, jabuti, jabuticaba, entupir, embutir, mandíbula, supetão, tábua, tabuleiro, urtiga, urticária, entre outras.
Observações dignas de nota:
Constituindo esse ínterim há uma outra particularidade concernentes às vogais “i” e “e”, cuja mudança desta por aquela, implica tão somente no sentido expresso por elas. Vejamos alguns casos:
área (superfície) - ária (melodia)
delatar (denunciar) – dilatar (distender)
emigrar (sair de um país) – imigrar (entrar em um país)
recreação (diversão) – recriação (ato de criar novamente)
venoso (relativo a veias) – vinoso (que produz vinho)
Eis mais uma das tantas curiosidades linguísticas!
Por Vânia Duarte
Graduada em Letras
Sistema Reprodutor Feminino
O aparelho reprodutor feminino compõe-se de órgãos genitais externos composta pelos pequenos e grandes lábios vaginais e pelo clitóris, que em conjunto formam a vulva.
Os órgãos reprodutores femininos internos são os ovários, as trompas de Falópio, o útero e a vagina.
Ovários
Os dois ovários da mulher estão situados na região das virilhas, um em cada lado do corpo. Tem forma de uma pequena azeitona, com 3 cm de comprimento e apresentam em sua porção mais externa (córtex ovariano), as células que darão origem aos óvulos.
Ovulogênese
É o processo de formação dos óvulos, inicia-se ainda antes do nascimento, em torno do terceiro mês de vida uterina. As células precursoras dos óvulos multiplicam durante a fase fetal feminina. Em seguida, param de se dividir e crescem, transformando-se em ovócitos primários. Ao nascer, a mulher tem cerca de 400 mil ovócitos primários.
Folículos Ovarianos
As células germinais femininas transformam-se em óvulos na maturidade. Os grupos de células ováricas, que rodeiam cada óvulo, diferenciam-se em células foliculares, secretando nutrientes para o óvulo. Durante a época da reprodução, conforme o óvulo se prepara para ser liberado, o tecido circundante torna-se menos compacto e enche-se de líquido, ao mesmo tempo em que aflora à superfície do ovário. Esta massa de tecido, líquido e óvulo recebe o nome de folículo De Graaf. A mulher tem apenas um único folículo De Graaf em um ovário em cada ciclo menstrual. Quando o folículo De Graaf alcança a maturidade, ele libera o óvulo, processo chamado de ovulação. O óvulo está então preparado para a fecundação.
Ovulação
Na verdade, o óvulo é o ovócito secundário, cuja meiose somente irá ocorrer se acontecer a fecundação. Caso contrário, o ovócito degenerará em 24h após sua liberação.
Trompas de Falópio
Ou ovidutos, são dois tubos curvos ligados ao útero. A extremidade livre de cada trompa, alargada e franjada, situa-se junto a cada um dos ovários. O interior dos ovidutos é revestido por células ciliadas que suga o óvulo, juntamente com o líquido presente na cavidade abdominal. No interior da trompa, o óvulo se desloca até a cavidade uterina, impulsionado pelos batimentos ciliares.
Útero
É um órgão musculoso e oco, do tamanho aproximadamente igual a uma pêra. Em uma mulher que nunca engravidou, o útero tem aproximadamente 7,5 cm de comprimento por 5 cm de largura. Os arranjos dos músculos da parede uterina permite grande expansão do órgão durante a gravidez (o bebe pode atingir mais de 4 kg). A porção superior do útero é larga e está conectada as trompas. Sua porção inferior (o colo uterino) é estreita e se comunica com a vagina.
O interior do útero é revestido por um tecido ricamente vascularizado (o endométrio). A partir da puberdade, todos os meses, o endométrio fica mais espesso e rico em vasos sanguíneos, como preparação para uma possível gravidez. Deixando de ocorrer por volta dos 50 anos, com a chegada da menopausa. Se a gravidez não ocorrer, o endométrio que se desenvolveu é eliminado através da menstruação junto ao sangue.
Vagina
É um canal musculoso que se abre para o exterior, na genitália externa. Até a primeira relação sexual, a entrada da vagina é parcialmente recoberta por uma fina membrana, o hímen, de função ainda desconhecida.
A vagina é revestida por uma membrana mucosa, cujas células liberam glicogênio. Bactérias presentes na mucosa vaginal fermentam o glicogênio, produzindo ácido lático que confere ao meio vaginal um pH ácido, que impede a proliferação da maioria dos microorganismo patogênicos. Durante a excitação sexual, a parede da vagina se dilata e se recobre de substâncias lubrificantes produzidas pelas glândulas de Bartolin, facilitando a penetração do pênis.
Genitália feminina externa
Denominada vulva, compõem-se pelos grandes lábios, que envolvem duas pregas menores e mais delicadas, os pequenos lábios, que protegem a abertura vaginal. Um pouco a frente da abertura da vagina, abre-se a uretra, independente do sistema reprodutor.
O clitóris é um órgão de grande sensibilidade, com 1 a 2 cm de comprimento, correspondente a glande do pênis. Localiza-se na região anterior a vulva e é constituído de tecido esponjoso, que se intumesce durante a excitação sexual.
Mamas
Produzem leite que alimenta o recém-nascido. O leite é produzido pelas glândulas mamárias (conjunto de pequenas bolsas de células secretoras conectadas entre si por meio de dutos). Existem cerca de 15 a 20 conjuntos glandulares em cada seio e seus dutos se abrem nos mamilos, por onde o leite é expelido.
Os órgãos reprodutores femininos internos são os ovários, as trompas de Falópio, o útero e a vagina.
Ovários
Os dois ovários da mulher estão situados na região das virilhas, um em cada lado do corpo. Tem forma de uma pequena azeitona, com 3 cm de comprimento e apresentam em sua porção mais externa (córtex ovariano), as células que darão origem aos óvulos.
Ovulogênese
É o processo de formação dos óvulos, inicia-se ainda antes do nascimento, em torno do terceiro mês de vida uterina. As células precursoras dos óvulos multiplicam durante a fase fetal feminina. Em seguida, param de se dividir e crescem, transformando-se em ovócitos primários. Ao nascer, a mulher tem cerca de 400 mil ovócitos primários.
Folículos Ovarianos
As células germinais femininas transformam-se em óvulos na maturidade. Os grupos de células ováricas, que rodeiam cada óvulo, diferenciam-se em células foliculares, secretando nutrientes para o óvulo. Durante a época da reprodução, conforme o óvulo se prepara para ser liberado, o tecido circundante torna-se menos compacto e enche-se de líquido, ao mesmo tempo em que aflora à superfície do ovário. Esta massa de tecido, líquido e óvulo recebe o nome de folículo De Graaf. A mulher tem apenas um único folículo De Graaf em um ovário em cada ciclo menstrual. Quando o folículo De Graaf alcança a maturidade, ele libera o óvulo, processo chamado de ovulação. O óvulo está então preparado para a fecundação.
Ovulação
Na verdade, o óvulo é o ovócito secundário, cuja meiose somente irá ocorrer se acontecer a fecundação. Caso contrário, o ovócito degenerará em 24h após sua liberação.
Trompas de Falópio
Ou ovidutos, são dois tubos curvos ligados ao útero. A extremidade livre de cada trompa, alargada e franjada, situa-se junto a cada um dos ovários. O interior dos ovidutos é revestido por células ciliadas que suga o óvulo, juntamente com o líquido presente na cavidade abdominal. No interior da trompa, o óvulo se desloca até a cavidade uterina, impulsionado pelos batimentos ciliares.
Útero
É um órgão musculoso e oco, do tamanho aproximadamente igual a uma pêra. Em uma mulher que nunca engravidou, o útero tem aproximadamente 7,5 cm de comprimento por 5 cm de largura. Os arranjos dos músculos da parede uterina permite grande expansão do órgão durante a gravidez (o bebe pode atingir mais de 4 kg). A porção superior do útero é larga e está conectada as trompas. Sua porção inferior (o colo uterino) é estreita e se comunica com a vagina.
O interior do útero é revestido por um tecido ricamente vascularizado (o endométrio). A partir da puberdade, todos os meses, o endométrio fica mais espesso e rico em vasos sanguíneos, como preparação para uma possível gravidez. Deixando de ocorrer por volta dos 50 anos, com a chegada da menopausa. Se a gravidez não ocorrer, o endométrio que se desenvolveu é eliminado através da menstruação junto ao sangue.
Vagina
É um canal musculoso que se abre para o exterior, na genitália externa. Até a primeira relação sexual, a entrada da vagina é parcialmente recoberta por uma fina membrana, o hímen, de função ainda desconhecida.
A vagina é revestida por uma membrana mucosa, cujas células liberam glicogênio. Bactérias presentes na mucosa vaginal fermentam o glicogênio, produzindo ácido lático que confere ao meio vaginal um pH ácido, que impede a proliferação da maioria dos microorganismo patogênicos. Durante a excitação sexual, a parede da vagina se dilata e se recobre de substâncias lubrificantes produzidas pelas glândulas de Bartolin, facilitando a penetração do pênis.
Genitália feminina externa
Denominada vulva, compõem-se pelos grandes lábios, que envolvem duas pregas menores e mais delicadas, os pequenos lábios, que protegem a abertura vaginal. Um pouco a frente da abertura da vagina, abre-se a uretra, independente do sistema reprodutor.
O clitóris é um órgão de grande sensibilidade, com 1 a 2 cm de comprimento, correspondente a glande do pênis. Localiza-se na região anterior a vulva e é constituído de tecido esponjoso, que se intumesce durante a excitação sexual.
Mamas
Produzem leite que alimenta o recém-nascido. O leite é produzido pelas glândulas mamárias (conjunto de pequenas bolsas de células secretoras conectadas entre si por meio de dutos). Existem cerca de 15 a 20 conjuntos glandulares em cada seio e seus dutos se abrem nos mamilos, por onde o leite é expelido.
Processo para resolução de um sistema linear m x n
É possível resolver um sistema utilizando a regra de Cramer, mas essa regra só permite a resolução de sistemas que tem o mesmo número de incógnitas e o mesmo número de linhas (seja um sistema do tipo n x n), ou seja, se o sistema linear for do tipo m x n com a regra de Cramer não é possível a sua resolução.
Para resolver tanto o sistema do tipo m x n e n x n utiliza-se o processo da diagonalização. Esse processo consiste em simplificar, ou seja, encontrar sistemas equivalentes (Sistemas equivalentes são sistemas que possuem a mesma solução) e de resolução mais simples.
Sistemas equivalentes também possuem matrizes completas equivalentes. Se o sistema A é equivalente ao sistema B representamos essa equivalência da seguinte forma A ~ B.
Veja o exemplo:
Dado o sistema A =
ele será equivalente ao sistema
B =
, pois possuem o mesmo conjunto solução {(1,2,3)}.
Podemos tornar um sistema equivalente ao outro de três formas diferentes:
• Trocar duas linhas, entre si, de posição.
• Multiplicar (ou dividir) qualquer linha por um número real não-nulo.
• Multiplicar qualquer linha por um número real não-nulo e somar o resultado à outra linha.
Por Danielle de Miranda
Graduada em Matemática
Para resolver tanto o sistema do tipo m x n e n x n utiliza-se o processo da diagonalização. Esse processo consiste em simplificar, ou seja, encontrar sistemas equivalentes (Sistemas equivalentes são sistemas que possuem a mesma solução) e de resolução mais simples.
Sistemas equivalentes também possuem matrizes completas equivalentes. Se o sistema A é equivalente ao sistema B representamos essa equivalência da seguinte forma A ~ B.
Veja o exemplo:
Dado o sistema A =
ele será equivalente ao sistemaB =
, pois possuem o mesmo conjunto solução {(1,2,3)}.Podemos tornar um sistema equivalente ao outro de três formas diferentes:
• Trocar duas linhas, entre si, de posição.
• Multiplicar (ou dividir) qualquer linha por um número real não-nulo.
• Multiplicar qualquer linha por um número real não-nulo e somar o resultado à outra linha.
Por Danielle de Miranda
Graduada em Matemática
Equações do Tipo sen x = a
Equações trigonométricas são igualdades que evolvem uma ou mais funções trigonométricas de arcos incógnitos. Para a resolução de equações trigonométricas não existe um processo único, o que devemos fazer é tentar reduzi-las a equações mais simples, do tipo senx = α,
cosx = α e tgx = α, denominadas equações fundamentais. Das três equações citadas vamos abordar os conceitos e as formas de resolução da equação senx = α.
As equações trigonométricas na forma senx = α possui soluções no intervalo –1 ≤ x ≤ 1. A determinação dos valores de x que satisfazem esse tipo de equação obedecerá à seguinte propriedade: Se dois arcos têm senos iguais, então eles são côngruos ou suplementares.
Consideremos x = α uma solução da equação sen x = α. As outras possíveis soluções são os arcos côngruos ao arco α ou ao arco π – α. Então: sen x = sen α. Observe a representação no ciclo trigonométrico:
cosx = α e tgx = α, denominadas equações fundamentais. Das três equações citadas vamos abordar os conceitos e as formas de resolução da equação senx = α.
As equações trigonométricas na forma senx = α possui soluções no intervalo –1 ≤ x ≤ 1. A determinação dos valores de x que satisfazem esse tipo de equação obedecerá à seguinte propriedade: Se dois arcos têm senos iguais, então eles são côngruos ou suplementares.
Consideremos x = α uma solução da equação sen x = α. As outras possíveis soluções são os arcos côngruos ao arco α ou ao arco π – α. Então: sen x = sen α. Observe a representação no ciclo trigonométrico:
Concluímos que:
x = α + 2kπ, com k Є Z ou x = π – α + 2kπ, com k Є Z
Exemplo
Resolva a equação: sen x = √3/2
Sabemos pela tabela de razões trigonométricas que √3/2 corresponde ao seno do ângulo de 60º. Então:
sen x = √3/2 → sen x = π/3 (π/3 = 180º/3 = 60º)
Dessa forma, a equação senx = √3/2 possui como solução todos os arcos côngruos ao arco π/3 ou ao arco π – π/3. Observe ilustração:
x = π/3 + 2kπ, com k Є Z ou x = 2π/3 + 2kπ, com k Є Z
Marcos Noé
Progressão aritmetica
Quando uma progressão aritmética possui apenas três ou quatro elementos é possível fazer uma relação com seus elementos e tornar o cálculo dos seus termos e da razão mais simplificados.
• P.A de três termos
Uma P.A com três elementos será escrita da seguinte forma:
(x – r , x , x + r)
Exemplo: a soma dos três termos de uma P.A é 72 e o produto dos termos extremos é 560. Qual é essa P.A?
Sabemos que qualquer P.A de três elementos é escrita da seguinte forma: (x – r , x , x + r), comparando-a com as informações do enunciado teremos:
x – r + x + x + r = 72
3x = 72
x = 72 : 3
x = 24.
Como o elemento do meio da P.A de três elementos é o x, podemos dizer que será igual a 24.
Levando em consideração a segunda informação, teremos:
(x – r) . (x + r) = 560
x2 – r2 = 560
242 - r2 = 560 (-1)
-576 + r2 = -560
r2 = - 560 + 576
r2 = 16
r = 4
Portanto, a P.A será formada pelos seguintes elementos: (20, 24, 28).
• P.A de quatro elementos será escrita da seguinte forma:
(x – 3y , x – y , x + y , x + 3y), com r = 2y
Exemplo: Em uma P.A de quatro termos, a soma dos dois primeiros é zero e a soma dos dois últimos é 80. Qual é a razão da P.A?
Sabemos que qualquer P.A de quatro elementos é escrita da seguinte forma: (x – 3y , x – y , x + y , x + 3y), com r = 2y, comparando-a com as informações do enunciado teremos:
(x – 3y) + (x – y) = 0
x + x – 3y – y = 0
2x – 4y = 0
(x + y) + (x + 3y) = 80
2x + 4y = 80
Montamos um sistema com as duas equações encontradas.
2x – 4y = 0
2x + 4y = 80
4x = 80
x = 20
2x - 4y = 0
2 . 20 - 4y = 0
4y = 40
y = 10
Como a razão é o dobro do valor de y: r = 20.
• P.A de três termos
Uma P.A com três elementos será escrita da seguinte forma:
(x – r , x , x + r)
Exemplo: a soma dos três termos de uma P.A é 72 e o produto dos termos extremos é 560. Qual é essa P.A?
Sabemos que qualquer P.A de três elementos é escrita da seguinte forma: (x – r , x , x + r), comparando-a com as informações do enunciado teremos:
x – r + x + x + r = 72
3x = 72
x = 72 : 3
x = 24.
Como o elemento do meio da P.A de três elementos é o x, podemos dizer que será igual a 24.
Levando em consideração a segunda informação, teremos:
(x – r) . (x + r) = 560
x2 – r2 = 560
242 - r2 = 560 (-1)
-576 + r2 = -560
r2 = - 560 + 576
r2 = 16
r = 4
Portanto, a P.A será formada pelos seguintes elementos: (20, 24, 28).
• P.A de quatro elementos será escrita da seguinte forma:
(x – 3y , x – y , x + y , x + 3y), com r = 2y
Exemplo: Em uma P.A de quatro termos, a soma dos dois primeiros é zero e a soma dos dois últimos é 80. Qual é a razão da P.A?
Sabemos que qualquer P.A de quatro elementos é escrita da seguinte forma: (x – 3y , x – y , x + y , x + 3y), com r = 2y, comparando-a com as informações do enunciado teremos:
(x – 3y) + (x – y) = 0
x + x – 3y – y = 0
2x – 4y = 0
(x + y) + (x + 3y) = 80
2x + 4y = 80
Montamos um sistema com as duas equações encontradas.
2x – 4y = 0
2x + 4y = 80
4x = 80
x = 20
2x - 4y = 0
2 . 20 - 4y = 0
4y = 40
y = 10
Como a razão é o dobro do valor de y: r = 20.
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