sábado, 31 de janeiro de 2015

Derivadas

Derivadas I

Derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0

Considere a figura abaixo, que representa o gráfico de uma função y = f(x), definida num intervalo de números reais.

Observando a figura, podemos definir o seguinte quociente, denominado razão incremental da função
y = f(x), quando x varia de x0 para x0 + D x0 :

Define-se a derivada da função y = f(x) no ponto x = x0, como sendo o limite da razão incremental acima, quando D x0 tende a zero, e é representada por f ' (x0) , ou seja:

Nota: a derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos y ' ou dy/dx.

Observe que quando D x0 ® 0 , o ponto Q no gráfico acima, tende a coincidir com o ponto P da mesma figura., definindo a reta r , que forma um ângulo b com o eixo horizontal (eixo das abcissas), e, neste caso, o ângulo SPQ = a .tende ao valor do ângulo b .
Ora, quando D x0 ® 0 , já vimos que o quociente D y0 / D x0 representa a derivada da função y = f(x)
no ponto x0. Mas, o quociente D y0 / D x0 representa , como sabemos da Trigonometria, a tangente do ângulo
SPQ = a , onde P é o vértice do ângulo. Quando D x0 ® 0 , o ângulo SPQ = a , tende ao ângulo b .

Assim, não é difícil concluir que a derivada da função y = f(x) no ponto x = x0 , é igual numericamente à tangente do ângulo b . Esta conclusão será muito utilizada no futuro.

Podemos escrever então:
f '(x0) = tgb

Guarde então a seguinte conclusão importante:

A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , coincide numericamente com o valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y = f(x), no ponto
x = x0.

Estou falando há muito tempo em DERIVADAS, e ainda não calculei nenhuma!

Vamos lá!

Existem fórmulas para o cálculo das derivadas das funções - as quais serão mostradas no decorrer deste curso - mas, por enquanto, vamos calcular a derivada de uma função simples, usando a definição. Isto servirá como um ótimo exercício introdutório, que auxiliará no entendimento pleno da definição acima.

Calcule a derivada da função y = x2 , no ponto x = 10.

Temos neste caso:
y = f(x) = x2
f(x + D x) = (x + D x)2 = x2 + 2x.D x + (D x)2
f(x + D x) - f(x) = x2 + 2x.D x + (D x)2 - x2 = 2x.D x + (D x)2
D y = f(x + D x) - f(x) = x2 + 2x.D x + (D x)2 - x2 = 2x.D x + (D x)2

Portanto,

Observe que colocamos na expressão acima, D x em evidencia e, simplificamos o resultado obtido.
Portanto a derivada da função y = x2 é igual a y ' = 2x .
Logo, a derivada da função y = x2, no ponto x = 10 , será igual a : y ' (10) = 2.10 = 20.

Qual a interpretação geométrica do resultado acima?

Ora, a derivada da função y = x2 , no ponto de abcissa x = 10 , sendo igual a 20, significa que a tangente trigonométrica da reta tangente à curva y = x2 , no ponto x = 10 , será também igual a 20 , conforme teoria vista acima.

Ora, sendo b o ângulo formado por esta reta tangente com o eixo dos x , b será um ângulo tal que tg b = 20. Consultando uma tábua trigonométrica OU através de uma calculadora científica, concluímos que
b » 87º 8' 15" .

Então, isto significa que a reta tangente à curva de equação y = x2 , no ponto de abcissa x = 10, forma com o eixo dos x um ângulo igual aproximadamente a b » 87º 8' 15" .

Agora, calcule como exercício inicial, usando a definição, a derivada da função y = 5x no ponto de abcissa
x = 1000 .
Resposta: 5.



Derivadas II

1 - Vimos na apostila (derivadas I) anterior, que a derivada de uma função y = f(x) no ponto x = x0 pode ser determinada, calculando-se o limite seguinte:

Onde:

A rigor, para o cálculo da derivada de uma função, teremos que calcular o limite acima, para cada função dada. É entretanto, de bom alvitre, conhecer de memória as derivadas das principais funções. Não estamos aqui, a fazer a apologia do "decoreba" , termo vulgarmente utilizado para a necessidade de memorização de uma fórmula. Achamos entretanto, que, por aspectos de praticidade, o conhecimento das fórmulas de derivação de funções, seja de extrema importância, sem, entretanto, eliminar a necessidade de saber
deduzi-las, quando necessário.

Assim, lembrando que a derivada de uma função y = f(x) pode ser indicada pelos símbolos
y ' , f ' (x) ou dy/dx , apresentaremos a seguir, uma tabela contendo as derivadas de algumas das principais funções elementares, restringindo nesta primeira abordagem, a oito funções elementares básicas, além das derivadas da soma, produto e quociente de duas funções.

FUNÇÃO


DERIVADA

y = k , k = constante


y ' = 0

y = k.x


y ' = k

y = x


y' = 1

y = xn


y ' = n.x n - 1

y = a x , 1 ¹ a > 0


y ' = a x . ln a

y = e x


y ' = e x

y = sen(x)


y ' = cos(x)

y = cos(x)


y ' = - sen(x)

y = tg(x)


y ' = sec2 (x)

y = u + v


y ' = u' + v'

y = u.v


y' = u'.v + u.v'

y = u / v , v ¹ 0


y' = (u'.v - u.v') / v2

Onde u = u(x) e v = v(x) são funções deriváveis no ponto x.

Tenham calma, que esta tabela será devidamente ampliada, no devido tempo. Estou partindo da premissa, que a introdução a um assunto novo, tem necessariamente que ser de forma lenta e gradual. Sem pressa!

a) y = 1000 Þ y ' = 0
b) y = 200x Þ y ' = 200
c) y = x5 Þ y ' = 5x4
d) y = x + sen(x) Þ y ' = x ' + (senx) ' = 1 + cos(x)
e) y = x3 + x2 Þ y ' = 3x2 + 2x
f) y = sen(x) + cos(x) Þ y ' = cos(x) - sen(x)
g) y = 1 / x Þ y ' = (1'.x - 1. x') / x2 = - 1 / x2
h) y = x.sen(x) Þ y ' = x'. sen(x) + x . (senx)' = sen(x) + x.cos(x)
i) y = x + tg(x) Þ y ' = 1 + sec2 (x)

Agora determine a derivada da função y = x2.tg(x).
Resposta: y ' = 2.x.tg(x) + [x.sec(x)]2

2 - Equação da reta tangente à curva representativa da função y = f(x) no ponto x = x0

Considere a figura abaixo:

Seja determinar a equação da reta r tangente à curva y = f(x), no ponto x = x0.
Já sabemos da aula anterior , que tg b = f '(x0) , onde b é o ângulo formado pela reta r com o eixo dos x e
f '(x0) é o valor da derivada da função y = f(x) no ponto de abcissa x = x0.
Também já sabemos da Geometria Analítica que o valor da tg b é igual ao coeficiente angular m da reta r , ou seja: m = tg b . Como já sabemos da Analítica que a equação da reta r, é y - y0 = m(x - x0) , vem imediatamente que a equação da reta tangente procurada será então dada por:
y - y0 = f '(x0) (x - x0)




Exemplo:



Qual a equação da reta tangente à curva representativa da função
y = f(x) = 4x3 + 3x2 + x + 5, no ponto de abcissa x = 0 ?

Ora, f '(x) = 12x2 + 6x + 1.
Portanto, a derivada no ponto de abcissa x = 0, será: f '(0) = 12.02 + 6.0 + 1 = 1
Logo, f ' (0) = 1.
Portanto, para achar a equação da reta tangente no ponto de abcissa x = 0, basta agora, determinar o valor correspondente de y da função, para x = 0.

Teremos: x = 0 Þ y = f(0) = 4.03 + 3.02 + 6.0 + 5 = 5
Então, o ponto de tangência é o ponto P(0, 5). Daí, vem finalmente que:
y - 5 = 1 . (x - 0) \ y - 5 = x \ y = x + 5 .

Resposta: a equação da reta tangente à curva y = 4x3 + 3x2 + 6x + 5 , no ponto P(0,5) , é y = x + 5.

Agora resolva este:

Determinar a equação da reta tangente à curva representativa da função y = x3 ,
no ponto P de abcissa x = 2.

Resposta: y = 12x - 16.
www.coladaweb.com

Demonstração de Bhaskara

Uma equação de segundo grau tem a sua resolução ligada ao nome de um matemático do século 12. Essa resolução genérica, apresentada pelo matemático hindu Bhaskara Akaria, depende de uma série de caminhos matemáticos. Vejamos:

A equação a ser resolvida possui o seguinte formato genérico:

Página 3

A conhecida fórmula de Bhaskara é:

Página 3

O caminho para se sair de (I) e se chegar a (II) é:

Página 3

1. Multiplica-se ambos os membros por 4a:

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2. Passar 4ac para o segundo membro:

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3. Somar b2 em ambos os membros:

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Note que o primeiro membro se tornou um trinômio quadrado perfeito que pode ser fatorado:

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4. Efetuando-se a raiz quadrada em ambos os termos:

Página 3

5. Passando-se o "b" para o segundo membro:

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6. Dividindo-se ambos os membros por 2a:

Página 3

7. Simplificando:

Página 3

C.Q.D. - Como se queria demonstrar (em latim, Q.E.D. Quod erat demonstrandum).

Nota: talvez a grande ideia de Bhaskara tenha sido obter um trinômio quadrado perfeito para poder fatorar e isolar a incógnita "x".
*Carlos Alberto Campagner é engenheiro mecânico, com mestrado em mecânica, professor de pós-graduação e consultor de informática.

Cone Autor Professor Antonio Carlos

Cone

Consideremos um círculo de centro O e raio r, situado num plano, e um ponto V fora dele. Chama-se cone circular, ou cone, a reunião dos segmentos com uma extremidade em V e a outra em um ponto do círculo.




a) o ponto V é o vértice do cone;

b) o círculo de raio r é a base do cone;

c) os segmentos com uma extremidade em V e a outra nos pontos da circunferência da base são as geratrizes do cone;

d) a distância do vértice ao plano da base é a altura do cone.



Área lateral: Al

A superfície lateral de um cone é a reunião das geratrizes. A área dessa superfície é chamada área lateral e é indicada por Al.

A superfície lateral de um cone circular reto, de geratriz g e raio da base r, planificada, é um setor circular cujo raio é g (geratriz do cone) e cujo comprimento do arco é 2r (perímetro da base).

O raio do setor é g, e o comprimento do arco do setor é 2r.

Assim, podemos estabelecer a regra de três:

Comprimento do arco área do setor



Área total: At

A superfície total de um cone é a reunião da superfície lateral com o círculo da base. A área dessa superfície é chamada área total e é indicada por At.

At = Al + Ab

Substituindo-se Al = r g e Ab = r2, vem:

Volume: V

O volume de um cone é obtido da mesma forma que se obtém o volume da pirâmide:




SEÇÃO MERIDIANA E CONE EQÜILÁTERO

Seção meridiana de um cone reto é a interseção dele com um plano que contém o eixo.

A seção meridiana de um cone reto é um triângulo isósceles.

Cone eqüilátero é um cone cuja seção meridiana é um triângulo eqüilátero.



Para obtenção da área lateral, área total e volume de um cone eqüilátero, procedendo às adaptações e substituições, deduzimospg">

Professor Antonio Carlos Carneiro Barroso
http://ensinodematemtica.blogspot.com
extraido de www.colegioweb.com.br

Polígonos regulares inscritos

Função do 1º Grau

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com
WWW.profantoniocarneiro.com
Gráfico da função do 1º grau:
O gráfico de uma função do 1º grau de R em R é uma reta.

Exemplo:

1) Construa o gráfico da função determinada por f(x)=x+1:
[Sol] Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.
2) Construa o gráfico da função determinada por f(x)=-x+1.
[Sol] Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.

Gráficos crescente e decrescente respectivamente

Raiz ou zero da função do 1º grau

Para determinarmos a raiz ou zero de uma função do 1º grau, definida pela equação y=ax+b, como a é diferente de 0, basta obtermos o ponto de intersecção da equação com o eixo x, que terá como coordenada o par ordenado (x,0).
1) Considere a função dada pela equação y=x+1, determine a raiz desta função.
[Sol] Basta determinar o valor de x para termos y=0
x+1=0 » x=-1
Dizemos que -1 é a raiz ou zero da função.
Note que o gráfico da função y=x+1, interceptará (cortará) o eixo x em -1, que é a raiz da função.
2) Determine a raiz da função y=-x+1 e esboce o gráfico.
[Sol] Fazendo y=0, temos:
0 = -x+1 » x = 1

Gráfico:

Note que o gráfico da função y=-x+1, interceptará (cortará) o eixo x em 1, que é a raiz da função.

Sinal de uma função de 1º grau

Observe os gráficos

Note que para x=-b/a, f(x)=0 (zero da função). Para x>-b/a, f(x) tem o mesmo sinal de a. Para x<-b/a, f(x) tem o sinal contrário ao de a.

Exemplos:

1) Determine o intervalo das seguintes funções para que f(x)>0 e f(x)<0.
a) y=f(x)=x+1
[Sol] x+1>0 » x>-1
Logo, f(x) será maior que 0 quando x>-1
x+1<0 » x<-1
Logo, f(x) será menor que 0 quando x<-1
b) y=f(x)=-x+1
[Sol]* -x+1>0 » -x>-1 » x<1
Logo, f(x) será maior que 0 quando x<1
-x+1<0 » -x<-1 » x>1
Logo, f(x) será menor que 0 quando x>1
(*ao multiplicar por -1, inverte-se o sinal da desigualdade)
Fonte: www.exatas.hpg.ig.com.br

Apótema

1. Relações Métricas nos triângulos retângulos

2. Polígonos Regulares
Sejam R o raio da circunferência circunscrita, r o raio da inscrita, , o lado do polígono e a o apótema.
a) Triângulo Eqüilátero

b) Quadrado

c) Hexágono Regular

Logaritmo quociente

Logaritmo do quociente:




3. FUNÇÃO LOGARÍTMICA

É toda função f: que associa a cada x o logaritmo, na base b, de x:

f(x) = logb x

Exemplos:

a) f(x) = log3 x

b) g(x) = log1/3 x

Gráficos da função logarítmica




Observações:

a) O gráfico da função logarítmica passa sempre pelo ponto (1,0).

b) O gráfico nunca toca o eixo y e não ocupa pontos dos quadrantes II e III.

c) Quando a > 1, a função logarítmica é crescente (x1 > x2 loga x1 > loga x2).

d) Quando 0 < a <1 data-blogger-escaped-a="" data-blogger-escaped-decrescente="" data-blogger-escaped-fun="" data-blogger-escaped-logar="" data-blogger-escaped-o="" data-blogger-escaped-tmica="" data-blogger-escaped-x1=""> x2 loga x1 < loga x2).


4. EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS

Para resolver equações logarítmicas, devemos aplicar as propriedades e, em seguida, verificar se os valores obtidos para a incógnita estão de acordo com as condições de existência estabelecidas.

Exemplo:

Resolver a equação log2 x + log2 2x = 3.

Solução:

Condições de existência:



Aplicando a propriedade do logaritmo do produto, e a definição de logaritmo, temos:

log2 x + log2 2x = 3 →log2 (x . 2x) = 3 →

log2 2x2 = 3 →23 = 2x2 →8 = 2x2 → x2 = 4→ x = 2 ou x = -2

Comparando os valores obtidos com as condições de existência estabelecidas, verificamos que – 2 é um valor impróprio.

Logo:

V = {2}

Logaritmo

DEFINIÇÃO

Sejam a e b números reais positivos diferentes de zero e b1. Chama-se logaritmo de a na base b o expoente x tal que bx = a:
logb a = x bx = az

Na sentença logb a = x temos:

a) a é o logaritmando;

b) b é a base do logaritmo;

c) x é o logaritmo de a na base b.

Exemplos:

Observação 1: Quando a base não vier expressa, fica subentendido que esta vale 10.

Exemplos:

a) log 3 = log 10 3

b) log 20 = log10 20

Condições de existência

a) A base tem de ser um número real positivo e diferente de 1.

b) O logaritmando tem de ser um número real positivo.


2. PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS

a) O logaritmo de um número, na base de valor igual a ele mesmo, é sempre igual a 1.

logb b = 1.

Exemplo:
log8 8 = 1.

b) O logaritmo de 1 em qualquer base é sempre igual a 0.

logb 1 = 0

Exemplo:
log9 1 = 0

c) Logaritmo de uma potência

logb ay = y. logb a

Exemplo:
Log2 34 = 4. log2 3

d) O logaritmo de um número b, na base b, elevado a um expoente x é sempre igual a x.

logb bx = x

Exemplo:

Log3 37 = 7

e) Um número b, elevado ao logaritmo de a na base b, é sempre igual a a.

blogb a = a

Exemplo:

7log7 13 = 13

f) Logaritmo do produto:

logc (m . n) = logc m + logc n, sendo m > 0, n > 0 e b 1.

Exemplo:
log2 (4 . 3) = log2 4 + log2 3

RELAÇÃO MÉTRICAS NA CIRCUNFERENCIA



TEOREMA


Se duas cordas se cortam em um ponto interior da circunferecia, então o produto das medidas dos segmentos determinados numa delas é igual ao produto das medidas dos segmentos determinados na outra








Demonstração:

Considerando o triângulo PAD e PCB

 

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Calcule o valor de x na figura:


EXERCICIOS


1) Calcule o valor de x nas seguintes figuras:




(R:12)


(R: x= 9)



(R: x = 6)




(R: x= 9)





(R: x = 4)

TEOREMA

Se de um ponto p que pertence ao exterior de um circunferencia traçamos duas secantes que cortam a circunferência,respectivamente nos pontos A,B e C,D

PA . PB = PC . PD










Demonstração

Considerando os triângulos PAD e PCB









EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Calcular o valor de x na figura:


EXERCÍCIOS

1) Calcule o valor de x nas seguintes figuras:



R: x = 14



R: x = 4,5


R: x = 4



R: x = √32



R: x = 14



TEOREMA 

Se de um ponto P que pertence ao exterior de uma circunferencia, traçamos uma tangente e uma secante que encontram a circunferencia respctivamente, nos pontos C e A e B , então:

(PC)² = PA . PB








Demonstração:

Considerendo os triângulos PAC e PCB:


Exercícios Resolvido

Calcular o valor de x na figura:
EXERCÍCIOS

1) Calcule o valor de x nas seguintes figuras:

R: x = 8




R: x = 6



R: x = 6



R: x²= 2 



R: x = 7,5







POLÍGNOS RELUGARES


POLÍGNO INSCRITO NUMA CIRCUNFERÊNCIA


Dizemos que um polígno é inscrito quando todos os seus vértices pertencem à circunferência.

veja:

A circunferência está circunscrita ao poligono.


POLÍGONO CIRCUNSCRITO A UMA CIRCUNFERÊNCIA


Dizemos que um poligno é circunscrito quando todos os seus lados são tangentes à circunferência
Veja:




A circunferência está inscrita no polígno.

POLÍGONO REGULAR


Um poligono é regular quanto têm os lados congruentes e os ângulos congruentes
veja:




Os poligonos regulares podem ser inscritos ou circunscritos a uma circunferência



APÓTEMA DE UM POLIGONO REGULAR

Apótema é o segmento cujas as extremeidades são o centro e o ponto médio do lado.

RELAÇÕES MÉTRICAS NOS POLÍGONOS REGULARES


1) QUADRADO




EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Calcular a medida do lado e do apótema do quadrado inscrito numa circunferência de raio 8 cm

solução:

EXERCICIOS 


1) Calcule o lado de um quadrado inscito numa circunferência de raio 6m
R: 62 cm

2) Calcule o lado de um quadrado inscrito numa circunferência de raio 52 cm .
R: 10 cm

3) Calcule o apótema de um quadrado inscrito numa circunferência de58 cm
R: 10 cm
4) O lado de um quadrado inscrito numa circunferência mede 10√2 cm . Calcule o raio da circunferência


5) Calcule o lado e o apótema de um quadrado inscrito numa circunferência de raio 12√2 cm
R: 12 cm

6) A medida do apótema de um quadrado inscrito numa circunferencia é 15 cm calcule o raio da circunferencia ,
R: 15√2 cm

R: 10 cm
fonte:jmpgeograafia.blogspot.com.br

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