domingo, 29 de março de 2015

Domínio, Contradomínio e Imagem de uma Função

Função é uma expressão matemática que relaciona dois valores pertencentes a conjuntos diferentes, mas com relações entre si. A lei de formação que intitula uma determinada função, possui três características básicas: domínio, contradomínio e imagem. Essas características podem ser representadas por um diagrama de flechas, isso facilitará o entendimento por parte do estudante. Observe:

Dada a seguinte função f(x) = x + 1, e os conjuntos A(1, 2, 3, 4, 5) e B(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). Vamos construir o diagrama de flechas:
A
B
x
f(X)
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6

Nessa situação, temos que:

Domínio: representado por todos os elementos do conjunto A.
(1, 2, 3, 4, 5)

Contradomínio: representado por todos os elementos do conjunto B.
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)

Imagem: representada pelos elementos do contradomínio (conjunto B) que possuem correspondência com o domínio (conjunto A).
(2, 3, 4, 5, 6)


O conjunto domínio possui algumas características especiais que definem ou não uma função. Observe:


Todos os elementos do conjunto domínio devem possuir representação no conjunto do contradomínio. Caso isso não ocorra, a lei de formação não pode ser uma função.

Função

Não é uma função

Um único elemento do domínio não deve possuir duas imagens.

Não é função



Dois elementos diferentes do domínio podem possuir a mesma imagem.

Não é Função


Restam elementos no conjunto domínio, que não foram associados ao conjunto imagem.
mundoeducacao.com.br

OPERAÇÕES COM RADICAIS

RADICAIS SEMELHANTES
Radicais semelhantes são os que têm o mesmo índice e o mesmo radicando

Exemplos de radicais semelhantes

a) 7√5 e -2√5
b) 5³√2 e 4³√2

Exemplos de radicais não semelhantes

a) 5√6 e 2√3
b) 4³√7 e 5√7



ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

1º CASO : Os radicais não são semelhantes
Devemos proceder do seguinte modo:

a) Extrair as raízes (exatas ou aproximadas)
b) Somar ou subtrair os resultados

Exemplos

1) √16 + √9 = 4 + 3 = 7
2) √49 - √25 = 7 – 5 = 2
3) √2 + √3 = 1,41 + 1,73 = 3,14

Neste último exemplo, o resultado obtido é aproximado, pois √2 e √3 são números irracionais (representação decimal infinita e não periódica)

EXERCÍCIOS

1) Calcule

a) √9 + √4 = 5
b) √25 - √16 = 1
c) √49 + √16 = 11
d) √100 - √36 = 4
e) √4 - √1 = 1
f) √25 - ³√8 = 3
g) ³√27 + ⁴√16 = 5
h) ³√125 - ³√8 = 3
i) √25 - √4 + √16 = 7
j) √49 + √25 - ³√64 = 8


2º CASO: Os radicais são semelhantes.

Para adicionar ou subtrair radicais semelhantes, procedemos como na redução de termos semelhantes de uma soma algébrica.

Exemplos:

a) 5√2 + 3√2 = (5+3)√2 = 8√2
b) 6³√5 - 2³√5 = (6 – 2) ³√5 = 4³√5
c) 2√7 - 6√7 + √7 = (2 – 6 +1) √7 = -3√7

EXERCÍCIOS

1) Efetue as adições e subtrações:

a) 2√7 + 3√7 = 5√7
b) 5√11 - 2√11 = 3√11
c) 8√3 - 10√3 = -2√3
d) ⁴√5 + 2⁴√5 = 3⁴√5
e) 4³√5 - 6³√5 = -2³√5
f) √7 + √7 = 2√7
g) √10 + √10 = 2√10
h) 9√5 + √5 = 10√5
i) 3.⁵√2 – 8.³√2 = -5.³√2
j) 8.³√7 – 13.³√7 = -5.³√7
k) 7√2 - 3√2 +2√2 = 6√2
l) 5√3 - 2√3 - 6√3 = -3√3
m) 9√5 - √5 + 2√5 = 10√5
n) 7√7 - 2√7 - 3√7 = 2√7
o) 8. ³√6 - ³√6 – 9. ³√6 = -2. ³√6
p) ⁴√8 + ⁴√8 – 4. ⁴√8 = -2. ⁴√8

3º CASO: Os radicais tornam-se semelhantes depois de simplificados.

Exemplos

a)5√3 + √12
..5√3 + √2².3
..5√3 + 2√3
..7√3

b)√8 + 10√2 - √50
..√2².√2 +10√2 - √5². √2
..2√2 + 10√2 - 5√2
..7√2

EXERCÍCIOS

1) Simplifique os radicais e efetue as operações:

a) √2 + √32= 5√2
b) √27 + √3 = 4√3
c) 3√5 + √20 = 5√5
d) 2√2 + √8 = 4√2
e) √27 + 5√3
f) 2√7 + √28 = 4√7
g) √50 - √98 = -2√2
h) √12 - 6√3 = -4√3
i) √20 - √45 = -√5

2) Simplifique os radicais e efetue as operações:

a) √28 - 10√7 = -8√7
b) 9√2 + 3√50 = 24√2
c) 6√3 + √75 = 11√3
d) 2√50 + 6√2 = 16√2
e) √98 + 5√18 = 22√2
f) 3√98 - 2√50 = 11√2
g) 3√8 - 7√50 = -29√2
h) 2√32 - 5√18 = -7√2

3) Simplifique os radicais e efetue as operações:

a) √75 - 2√12 + √27 = 4√3
b) √12 - 9√3 + √75 = -2√3
c) √98 - √18 - 5√32 = -16√2
d) 5√180 + √245 - 17√5 = 20√5



MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO

1º Caso: Os radicais têm o mesmo índice
Efetuamos a operação entre os radicandos

Exemplos:

a) √5 . √7 = √35
b) 4√2 . 5√3 = 20√6
c) ⁴√10 : ⁴√2 = ⁴√5
d) 15√6 : 3√2 = 5√3

2º Caso: Os radicais não têm o mesmo índice
Inicialmente devemos reduzi-los ao mesmo índice

Exemplos

a) ³√2 . √5 = ⁶√2² . ⁶√5³ = ⁶√4 . ⁶√125 = ⁶√500


b)⁵√7 : √3 = ¹⁰√7² : ¹⁰√3⁵ = ¹⁰√49/243


EXERCÍCIOS

1) Efetue as multiplicações e divisões:

a) √2 . √7 = √14
b) ³√5 . ³√10 = ³√50
c) ⁴√6 . ⁴√2 = ⁴√12
d) √15 . √2 = √30
e) ³√7 . ³√4 = ³√28
f) √15 : √3 = √5
g) ³√20 : ³√2 = ³√10
h) ⁴√15 : ⁴√5 = ⁴√3
i) √40 : √8 = √5
j) ³√30 : ³√10 = ³√3

2) Multiplique os radicais e simplifique o produto obtido:

a) √2 . √18 = 6
b) √32 . √2 = 8
c) ⁵√8 . ⁵√4 = 2
d) ³√49 . ³√7 = 7
e) ³√4 . ³√2 = 2
f) √3 . √12 = 6
g) √3 . √75 = 15
h) √2 . √3 . √6 = 6

3) Efetue as multiplicações e divisões:

a) 2√3 . 5√7 = 10√21
b) 3√7 . 2√5 = 6√35
c) 2. ³√3 . 3. ³√3 = 6. ³√15
d) 5.√3 . √7 = 5√21
e) 12. ⁴√25 : 2. ⁴√5 = 6. ⁴√5
f) 18. ³√14 : 6. ³√7 = 3. ³√2
g) 10.√8 : 2√2 = 5√4

Introdução ao estudo dos conjuntos

Professor de Matemática no Colégio Estadual Dinah Gonçalves
E Biologia na rede privada de Salvador-Bahia
Professor Antonio Carlos carneiro Barroso
email accbarroso@hotmail.com

Introdução ao estudo dos conjuntos

Por Marcelo Rigonatto


Teoria de conjuntos
O estudo sobre teoria dos conjuntos é atribuído ao russo George Ferdinand Cantor (1845 – 1918). Podemos definir conjunto como sendo um agrupamento de elementos com características comuns. Compreender a teoria de conjuntos é fundamental para resolução de diversas situações-problema da matemática.

Os conjuntos são representados sempre por uma letra maiúscula do alfabeto e podem ser expressos das seguintes formas:

1. Por extenso: A = {6, 8, 10, 12, 14}
2. Por descrição: B = {x: x é um número ímpar maior que 7} → lê-se: B é um conjunto formado por elementos x, tal que x é um número ímpar maior que 7.
3. Pelo diagrama de Venn-Euler:
Um conjunto pode: apresentar infinitos elementos, sendo classificado como conjunto infinito; apresentar um número finito de elementos, denominado de conjunto finito; apresentar somente um elemento, sendo chamado de conjunto unitário; ou não possuir nenhum elemento, sendo classificado como conjunto vazio. Vejamos alguns exemplos de cada um desses conjuntos.

1. Conjunto Infinito
A = {x: x é um número par} = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...}

2. Conjunto Finito
B = {x: x é um número par menor que 11} = {0, 2, 4, 6, 8, 10}

3. Conjunto Unitário
C = {x: x é um número primo e par} = {2}

4. Conjunto Vazio
D = {x: x é um número primo menor que 2} = { } = ø

Relação de pertinência

A relação de pertinência é utilizada para determinar se um elemento pertence ou não a um determinado conjunto. Para isso utilizamos os símbolos:


Exemplo 1: Dado o conjunto A = {5, 9, 13, 17, 21, 25, 29}, temos que:


A relação de pertinência é utilizada somente para comparação de elemento com conjunto.

Relação de inclusão

A relação de inclusão é utilizada para verificar se um conjunto está ou não contido em outro, ou seja, se um é subconjunto do outro, utilizando para isso os símbolos:


Dizemos que um conjunto A está contido num conjunto B quando todos os elementos de A pertencem também a B.

Exemplo 2: Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6, 7} e C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, podemos dizer que:


Quando ocorrer de , dizemos que A é um subconjunto de B.

Produto Cartesiano

Dados dois conjuntos A e B, define-se produto cartesiano, representado por A x B (lê-se A cartesiano B), como sendo o conjunto de todos os pares ordenados (x, y) onde os valores de x são compostos por elementos do conjunto A e os valores de y compostos por elementos do conjunto B.

Exemplo 3: Seja A = {2, 4, 6, 8} e B = {1, 3, 5}, temos que:

A x B = {(2, 1), (2, 3), (2, 5), (4, 1), (4, 3), (4, 5), (6, 1), (6, 3), (6, 5), (8, 1), (8, 3), (8, 5)}

Note que B x A é diferente de A x B:

B x A = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (1, 8), (3, 2), (3, 4), (3, 6), (3, 8), (5, 2), (5, 4), (5, 6), (5, 8)}

Exemplo 4: Sendo A = {m, n, p} e B = {10, 11}, temos que:

A x B = {(m, 10), (m, 11), (n, 10), (n, 11), (p, 10), (p, 11)}
B x A = {(10, m), (10, n), (10, p), (11, m), (11, n), (11, p)}

Formula de Bhaskara

Demonstração de Bhaskara
Matemático do século 12 descobriu resposta para equação

Uma equação de segundo grau tem a sua resolução ligada ao nome de um matemático do século 12. Essa resolução genérica, apresentada pelo matemático hindu Bhaskara Akaria, depende de uma série de caminhos matemáticos. Vejamos:

A equação a ser resolvida possui o seguinte formato genérico:


A conhecida fórmula de Bhaskara é:


O caminho para se sair de (I) e se chegar a (II) é:

1. Multiplica-se ambos os membros por 4a:


2. Passar 4ac para o segundo membro:


3. Somar b2 em ambos os membros:


Note que o primeiro membro se tornou um trinômio quadrado perfeito que pode ser fatorado:

4. Efetuando-se a raiz quadrada em ambos os termos:

5. Passando-se o "b" para o segundo membro:


6. Dividindo-se ambos os membros por 2a:

7. Simplificando:

C.Q.D. - Como se queria demonstrar (em latim, Q.E.D. Quod erat demonstrandum).

Nota: talvez a grande ideia de Bhaskara tenha sido obter um trinômio quadrado perfeito para poder fatorar e isolar a incógnita "x".
http://educacao.uol.com.br/

Coletânea de Jogos e Materiais Manipuláveis

A Fundação Bradesco, através do educação.org disponibiliza esta maravilhosa coletânea que apresenta estratégias de ensino e atividades práticas para o trabalho com jogos e materiais mainpuláveis. Excelente para o Ensino Fundamental e EJA. Tem material dourado, tangran, e outros recursos aí na sua escola e você não sabe como utilizar? agora ficou fácil!
fonte jucienebertoldo.wordpress.com

Racionalização de Denominadores


racionalização de denominadores consiste em se obter uma fração equivalente com denominador racional, para substituir uma outra com denominador irracional.
Conseguimos isto realizando algumas operações que eliminam o radical do denominador.
Iremos analisar três casos em particular.

Quando o Denominador é uma Raiz Quadrada

Este é o caso mais simples, quando tratamos radicais com índice igual a dois.
Vamos analisar a seguinte fração:
É sabido que podemos eliminar o radical se multiplicarmos  por ele mesmo. Vejamos:
Partimos de  e chegamos a 5.
A conversão foi realizada em bem mais passos que o necessário, apenas para que você se recorde das principais propriedades da radiciação, que torna a conversão possível.
Então quando temos um radical de índice dois, podemos eliminá-lo multiplicando-o por ele mesmo, pois  e além disto, para que nova a fração seja equivalente à fração original, também precisamos multiplicar o numerador pelo mesmo valor:
Neste nosso exemplo  é o fator racionalizante da fração, pois a racionalizamos multiplicando ambos os seus termos por tal fator.
Genericamente o fator racionalizante de um denominador  é o próprio .

Exemplos


Quando o Denominador é uma Raiz Não Quadrada

Agora vamos tratar um caso cujo índice seja diferente de dois, ou seja, um caso onde não temos uma raiz quadrada.
Observe a fração a seguir:
Neste caso de nada adianta multiplicarmos o radical por ele mesmo, pois não conseguiremos eliminá-lo. Veja o que acontece quando o fazemos:
Perceba que no caso anterior havíamos partido de  e passamos por 51, o que nos permitiu chegarmos a 5.
Note que neste caso, porém, partindo-se de  chegamos a  e como 2 não é divisível por 3, não conseguimos eliminar o radical.
Então o que precisamos fazer?
Obviamente devemos multiplicar o radical, por um outro fator de sorte que consigamos chegar a  e não a .
Qual fator é este?
É muito simples. Veja o ponto chave abaixo:
Qual é o número que somado a 1 dá 3?
É dois, pois 3 - 1 = 2.
Então o fator racionalizante da fração é , pois:
Logo:
Podemos então concluir que o fator racionalizante de um denominador  é igual a .

Exemplos


Quando o Denominador é uma Soma ou Diferença de Dois Quadrados

Agora no último caso a ser tratado, veremos como devemos proceder quando no denominador da fração temos uma soma ou diferença de um ou dois radicais com índice igual a 2.
Vejamos a fração abaixo:
Como pode observar, os métodos analisados acima não nos permitem racionalizar este tipo de fração. Para fazê-lo precisamos recorrer a um produto notável, mais especificamente ao produto da soma pela diferença de dois termos.
Mais especificamente, neste produto notável, o produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo. Algebricamente temos:
Conseguiu perceber como podemos utilizar este conceito para racionalizarmos a fração proposta?
Parabéns se conseguiu, mas se não conseguiu tudo, daqui a pouco você estará apto a fazê-lo.
Vamos ver o que acontece quando substituímos a por  e b por :
Percebeu agora?
Observe que originalmente tínhamos a expressão  que multiplicamos por , perceba que invertemos o sinal, trocamos "+" por "-", se tivéssemos "-", o teríamos trocado por "+".
Como elevamos  e  ao quadrado, eliminamos assim os radicais.
Como nos casos anteriores, devemos multiplicar ambos os termos da fração pelo fator racionalizante, que neste exemplo é :
Neste último caso o fator racionalizante de um denominador  será  e vice-versa.

Exemplos

Neste último exemplo convertemos tanto 18 em . 32, quanto 12 em 22 . 3 através da decomposição em fatores primos, que você pode revisar se for o caso. Nós também disponibilizamos no site uma calculadora para a fatoração de números naturais, que pode lhe ajudar muito a entender melhor como funciona o método de decomposição de um número natural em seus fatores primos.
www.matematicadidatica.com.br

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