terça-feira, 4 de agosto de 2015

Soma dos termos de uma progressão geométrica finita


Onde
a1 → é o primeiro termo da P.G.
q → é a razão da P.G.
n → é o número de termos

Vamos fazer alguns exemplos para entender o uso correto da fórmula acima.

Exemplo 1. Considere a P.G. (3, 6, 12, 24, ...). Determine a soma dos 15 primeiros termos dessa P.G.

Solução: Para utilização da fórmula necessitamos conhecer o primeiro termo da P.G. e sua razão. Temos que:
a1 = 3
q = 12/6 = 6/3 = 24/12 = 2
n = 15
Utilizando a fórmula, teremos:

Exemplo 2. Calcule a soma dos 10 primeiros termos de uma P.G.de razão 5 e terceiro termo igual a 50.

Solução: Sabemos que para utilizar a fórmula da soma dos termos da P.G. finita precisamos conhecer o valor do primeiro termo da P.G. e sua razão. O enunciado do problema fornece a razão, mas não fornece a1. Dessa forma, precisamos encontrar o valor do primeiro termo. Para isso, vamos utilizar a fórmula do termo geral da P.G.

Exemplo 3. Quantos termos da P.G. (2, -6, 18, -54) devemos considerar a fim de que a soma resulte 9842?
Solução: Temos que

a1 = 2
q = -6/2 = -3
Sn = 9842
n = ?
Utilizando a fórmula da soma dos termos, teremos:

Portanto, devemos considerar 9 termos da P.G. para que a soma resulte 9842.
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Progressão Aritmética propriedades

PROPRIEDADES DAS PROGRESSÕES ARITMÉTICAS

1.a propriedade (termos eqüidistantes dos extremos)
Numa P.A. finita, de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.

Exemplo:

Seja a P. A. (8, 10, 12, 14, 16). Observa-se que:

Os termos a2 = 10 e a4 = 14 estão eqüidistantes dos extremos a1 e a5, respectivamente.

Note que: 10 + 14 = 8 +16 = 24 .

2.a propriedade

Numa P.A. com número ímpar de termos, o termo médio é igual à média aritmética entre os extremos.

Exemplo:
Na P. A. (2, 4, 6, 8, 10), temos:




3.a propriedade
A seqüência (a, b, c) é P.A. se, e somente se, o termo médio é igual à média aritmética entre a e c, isto é:



FÓRMULA DA SOMA DOS N TERMOS DE UMA P. A. FINITA
A soma dos termos de uma P. A. limitada é igual ao produto da semi-soma dos termos extremos pelo número de termos.



Em que:

a1 é o primeiro termo;

an é o enésimo termo;

n é o número de termos;

Sn é a soma dos n termos.

Aplicação

Achar a soma dos 8 primeiros termos da P. A. (4, 7...).

Solução:

No problema, temos a1 = 4, r = 3 e n = 8.

1.º passo (cálculo de a8)

an = a1 + (n - 1) . r

a8 = 4 + (8 – 1).3

a8 = 25

2.º passo (cálculo de S8)
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extraido de www.colegioweb.com.br
Professor Antonio Carlos Carneiro Barroso

Progressão geométrica e aritmética

Exercício 1: (FUVEST/01) Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em 2. Então, o terceiro termo das progressões é:

a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 18

Solução:

Sejam (a1, a2, a3, …) a PA de razão r e (g1, g2, g3, …) a PG de razão q. Temos como condições iniciais:

(1) a1 = g1 = 4

(2) a3 > 0, g3 > 0 e a3 = g3

(3) a2 = g2 + 2

Reescrevendo (2) e (3) utilizando as fórmulas gerais dos termos de uma PA e de uma PG e (1) obtemos o seguinte sistema de equações:

(4) a3 = a1 + 2r e g3 = g1.q2 => 4 + 2r = 4q2

(5) a2 = a1 + r e g2 = g1.q => 4 + r = 4q + 2

Expressando, a partir da equação (5), o valor de r em função de q e substituindo r em (4) vem:

(5) => r = 4q + 2 – 4 => r = 4q – 2

(4) => 4 + 2(4q – 2) = 4q2 => 4 + 8q – 4 = 4q2 => 4q2 – 8q = 0

=> q(4q – 8) = 0 => q = 0 ou 4q – 8 = 0 => q = 2

Como g3 > 0, q não pode ser zero e então q = 2. Para obter r basta substituir q na equação (5):

r = 4q – 2 => r = 8 – 2 = 6

Para concluir calculamos a3 e g3:

a3 = a1 + 2r => a3 = 4 + 12 = 16

g3 = g1.q2 => g3 = 4.4 = 16

Exercício 2: (ITA/2000) O valor de n que torna a seqüência (2 + 3n; –5n; 1 – 4n) uma progressão aritmética pertence ao intervalo:

a) [– 2, –1]
b) [– 1, 0]
c) [0, 1]
d) [1, 2]
e) [2, 3]

Solução:

Para que a sequência se torne uma PA de razão r é necessário que seus três termos satisfaçam as igualdades (aplicação da definição de PA):

(1) -5n = 2 + 3n + r

(2) 1 – 4n = -5n + r

Determinando o valor de r em (1) e substituindo em (2):

(1) => r = -5n – 2 – 3n = -8n – 2

(2) => 1 – 4n = -5n – 8n – 2 => 1 – 4n = -13n – 2

=> 13n – 4n = -2 – 1 => 9n = -3 => n = -3/9 = -1/3

Ou seja, -1 < n < 0 e, portanto, a resposta correta é a b). Exercício 3: (PUC-SP/2003) Os termos da seqüência (10; 8; 11; 9; 12; 10; 13; …) obedecem a uma lei de formação. Se an, em que n pertence a N*, é o termo de ordem n dessa seqüência, então a30 + a55 é igual a: a) 58 b) 59 c) 60 d) 61 e) 62 Solução: Primeiro, observe que os termos ímpares da sequência é uma PA de razão 1 e primeiro termo 10 – (10; 11; 12; 13; …). Da mesma forma os termos pares é uma PA de razão 1 e primeiro termo igual a 8 – (8; 9; 10; 11; …) . Assim, as duas PA têm como termo geral o seguinte formato: (1) ai = a1 + (i – 1).1 = a1 + i – 1 Para determinar a30 + a55 precisamos estabelecer a regra geral de formação da sequência, que está intrinsicamente relacionada às duas progressões da seguinte forma: •Se n (índice da sucessão) é impar temos que n = 2i – 1, ou seja, i = (n + 1)/2; •se n é par temos n = 2i ou i = n/2. Daqui e de (1) obtemos que: an = 10 + [(n + 1)/2] – 1 se n é ímpar an = 8 + (n/2) – 1 se n é par Logo: a30 = 8 + (30/2) – 1 = 8 + 15 – 1 = 22 e a55 = 10 + [(55 + 1)/2] – 1 = 37 E portanto: a30 + a55 = 22 + 37 = 59 Exercício 4: (UFSCAR/2000) A condição para que três números a, b e c estejam, simultaneamente, em progressão aritmética e em progressão geométrica é que: a) ac = b2 b) a + c = 2 c) a + c = b2 d) a = b = c e) ac = 2b Solução: A condição para que a, b e c sejam ao mesmo tempo uma PA de razão r e uma PG de razão q é: (1) b = a + r = aq => r = a(q – 1)

(2) c = b + r = bq => r = b(q – 1)

De (1) e (2) vem:

a(q – 1) = b(q – 1) => (a – b)(q – 1) = 0

Para que o produto seja igual a zero:

ou a – b = 0 ou q – 1 = 0 ou ambas => ou a = b ou q = 1 ou ambas

Como se trata de uma PG se a é igual a b, necessariamente q = 1. A recíproca também é verdadeira, isto é, se q = 1 então a = b. Logo a = b e q = 1. Daqui, de (1) e de (2) segue que r = 0 e b = c = a.

Exercício 5: (UFLA/99) A soma dos elementos da sequência numérica infinita (3; 0,9; 0,09; 0,009; …) é:

a) 3,1
b) 3,9
c) 3,99
d) 3,999
e) 4

Solução:

Sejam S a soma dos elementos da sequência e S1 a soma da PG infinita (0,9; 0,09; 0,009; …) de razão q = 10-1 = 0,1. Assim:

S = 3 + S1

Como -1 < q < 1 podemos aplicar a fórmula da soma de uma PG infinita para obter S1: S1 = 0,9/(1 – 0,1) = 0,9/0,9 = 1 => S = 3 + 1 = 4

Exercício 6: (STA. CASA) A soma dos vinte primeiros termos de uma progressão aritmética é -15. A soma do sexto termo dessa P.A., com o décimo quinto termo, vale:

a) 3,0
b) 1,0
c) 1,5
d) -1,5
e) -3,0

Solução:

Aplicando a fórmula da soma dos 20 primeiros termos da PA:

S20 = 20( a1 + a20)/2 = -15

Na PA finita de 20 termos, o sexto e o décimo quinto são equidistantes dos extremos, uma vez que:

15 + 6 = 20 + 1 = 21

E, portanto:

a6 + a15 = a1 + a20

Substituindo este valor na primeira igualdade vem:

20(a6 + a15)/2 = -15 => 10(a6 + a15) = -15

=> a6 + a15 = -15/10 = -1,5

Exercício 7: (MACK) O sexto termo de uma PG, na qual dois meios geométricos estão inseridos entre 3 e -24, tomados nessa ordem, é:

a) -48
b) -96
c) 48
d) 96
e) 192

Solução:

Para determinar os dois meios geométricos da PG cujos extremos são 3 e -24 precisamos calcular, primeiro, sua razão q, com n = 4. Pela fórmula do termo geral temos que:

a4 = a1.q4-1 => -24 = 3q3 => q3 = -24/3 = -8 => q = -2

Logo a PG é (3; -6; 12; -24; …) e seu sexto termo é obtido, também, através da fórmula do termo geral:

a6 = a1q6-1 => a6 = 3(-2)5 = -3.32 = -96

Os exercícios 8 e 9 a seguir foram propostos pelo leitor Watson Meyer, no comentário 17 do artigo sobre Potenciação.

Exercício 8: Sendo Sn a soma dos termos de uma PA de razão 4, em que a1 = 6, determine n tal que Sn é igual a 1456.

Solução:

Sabemos que:

(1) Sn = (a1 + an)n/2 = (6 + an)n/2 = 1456 => (6 + an)n = 2912

Para determinar n basta expressarmos an em função de n, o que é feito através da fórmula do termo geral de uma PA:

(2) an = 6 + (n – 1).4 = 6 + 4n – 4 = 4n + 2

Substituindo (2) em (1):

(6 + 4n + 2)n = 2912 => 4n2 + 8n – 2912 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau obtemos:

n1 = 26 e n2 = -28

Como n > 0, a resposta é 26.

Exercício 9: A soma dos infinitos termos da P.G (x/2; x2/4; x3/8; …) é igual a 1/10. Qual o valor de x?

Solução:

Note que, pela lei de formação da PG, a razão é q = x/2. Como uma PG infinita converge somente se -1 < q < 1, o valor de x deve ser tal que esta condição seja satisfeita. Aplicando, então, a fórmula da soma vem que: Para que a solução esteja completa falta verificar se q satisfaz a condição de convergência: Como -1 < q < 1 a solução está concluída e x = 2/11. Para finalizar a matéria, vamos resolver o último exercício extraído do livro Matemática para o Ensino Médio de Manoel Jairo Bezerra. Exercício 10: As medidas dos lados de um triângulo retângulo estão em PA de razão 3. Calcule essas medidas. Solução: Sejam a, b e c as medidas dos lados do triângulo, onde a é a hipotenusa, b a base e c o outro lado. Como eles estão em PA, (b; c; a) nesta ordem, de razão 3 vem que: b = a – 6 e c = a – 3 Por outro lado, do Teorema de Pitágoras para um triângulo retângulo, temos que: a2 = b2 + c2 => a2 = (a – 6)2 + (a – 3)2

Resolvendo os produtos notáveis:

a2 = a2 – 12a + 36 + a2 – 6a + 9 = 2a2 – 18a + 45

=> a2 – 18a + 45 = 0 => a = 15 e a = 3

Mas a não pode ser igual 3, uma vez que teríamos c = 0 e b = -3, o que contradiz claramente o fato de serem medidas dos lados de um triângulo retângulo. Logo:

a = 15 => b = 15 – 6 = 9 e c = 15 – 3 = 12

E a PA é:

(9; 12; 15).

Progressão Aritmética (P.A.)

Vamos considerar as seqüências numéricas
a) (2, 4, 6, 8, 10, 12).
Veja que a partir do 2º termo a diferença entre cada termo e o seu antecessor, é constante:
a2 - a1 = 4 - 2= 2; a3 - a2 = 6 - 4 = 2
a5 - a4 = 10 - 8 = 2 a6 - a5 = 12 - 10 = 2
b)
a2 - a1 = ;

a3 - a2 =
a4 - a3 =
a5 - a4 =
Quando observamos que essas diferenças entre cada termo e o seu antecessor, é constante, damos o nome de progressão aritmética (P.A.) À constante damos o nome de razão (r).
Obs.: r =0 P.A. é constante.
r>0P.A. é crescente.
r<0P.A. é decrescente.
De um modo geral temos:
Chama-se de progressão aritmética (P.A.), toda sucessão de números que, a partir do segundo, a diferença entre cada termo e o seu antecessor é constante. Isto é:
Sucessão: (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, ..., an, ...)
a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 = ...= an - an -1 = r
1.1 – FÓRMULA DO TREMO GERAL DE UMA P.A.
Vamos considerar a seqüência (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, ..., an) de razão r, podemos escrever:
Somando membro a membro essas n - 1 igualdades, obtemos:
a2 + a3+ a4+ an -1 + an = a1+ a2+ a3+ ... an -1+ (n-1).r
Após a simplificação temos a fórmula do termo geral de uma P.A.:
an = a1 + (n - 1)

Prof. Júlio Oliveira
Nota Importante:
Quando procuramos uma P.A. com 3, 4 ou 5 termos, podemos utilizar um recurso bastante útil.

Para 3 termos: (x, x+r, x+2r) ou (x-r, x, x+r)
Para 4 termos: (x, x+r, x+2r, x+3r) ou (x-3y, x-y, x+y, x+3y). Onde y =
Para 5 termos: (x, x+r, x+2r, x+3r, x+4r) ou (x-2r, x-r, x, x+r, x+2r)Prof. Júlio Oliveira

1.2 – INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA
Interpolar ou inserir k meios aritméticos entre dois números a1 e an, significa obter uma P.A. de k+2 termos, cujos os extremos são a1 e an.
Pode-se dizer que todo problema que envolve interpolação se resume em calcularmos a razão da P.A.
Ex.: Veja esta P.A. (1, ..., 10), vamos inserir 8 meios aritméticos, logo a P.A. terá 8+2 termos, onde:
a1 = 1; an = 10 ; k = 8 e n = k + 2 = 10 termos.

an = a1 + (n-1).r r =

a P.A. ficou assim: (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)

1.3 – SOMA DOS n TERMOS DE UMA P.A.(Sn)
Vamos considerar a P.A.
(a1, a2, a3, ..., an-2, an-1, an) (1).
Agora vamos escrevê-la de uma outra forma:
(an, an-1, an-2, ..., a3, a2, a1) (2).
Vamos representar por Sn a soma de todos os membros de (1) e também por Sn a soma de todos os membros de (2), já que são iguais.
Somando (1) + (2), vem:
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-2 + an-1 + an
Sn = an + an-1 + an-2 +...+ a3 + a2 + a1
2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) ... + (an-1 + a2) + (an + a1)
Observe que cada parênteses representa a soma dos extremos da P.A. , portanto representa a soma de quaisquer termos eqüidistantes dos extremos. Então:
2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + ... +(a1 + an) + (a1 + an)
n - vezes
2Sn = que é a soma dos n termos de uma P.A.
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PA E PG

Progressão Aritmética





PG


fonte:http://www.matematiques.com.br

Peixes Ósseos (Classe Osteichthyes)

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com
WWW.profantoniocarneiro.com


São os peixes que possuem um esqueleto formado por ossos. Possuem uma pele com muitas glândulas produtoras de muco, com escamas de origem mesodérmica, nadadeiras, boca na posição terminal e com dentes, bolsas olfativas dorsais, olhos grandes e sem pálpebras, muitas vértebras, coração com duas câmaras, respiração branquial ou pulmonar, excreção feita por rins mesonéfricos que excretam amônia, ectotérmicos e dióicos com fecundação externa.

Tegumento

Os peixes ósseos possuem uma epiderme lisa, coberta por escamas. Existem glândulas produtoras de muco, que lubrifica o corpo do peixe, que serve de proteção e facilita a locomoção na água. Possui uma linha lateral ao longo de cada lado do corpo e tem função sensorial. O sistema muscular é formado por miômeros (músculos segmentados), em forma de W.
Digestão

Possuem mandíbulas e maxilares com muitos dentes, pequenos e cônicos. Não há glândulas salivares. O alimento que é mastigado vai para a faringe, esôfago, estômago e intestino. O que não foi absorvido é eliminado pelo ânus.

Circulação

A circulação é fechada. O coração possui 2 câmaras. O sangue é pálido e escasso, possuindo hemácias ovais anucleadas.

Respiração

Existem espécies que respiram por brânquias e espécies que respiram por pulmões. As brânquias são protegidas por uma estrutura chamada opérculo. Durante a respiração o opérculo se fecha, fazendo com que entre água na boca. A água passa da boca para as brânquias e nelas ocorrem as trocas gasosas. O fluxo é sempre unidirecional. A direção do fluxo sanguíneo nas brânquias é oposto ao fluxo da água, criando um mecanismo contracorrente para aumentar a oxigenação do sangue.

Os peixes possuem uma bexiga natatória, localizada na região dorsal, ligada à faringe por um ducto pneumático em alguns peixes ela é cheia de gases (O2, N2, CO2) e serve para regular o peso do peixe, auxiliando na flutuação, através da absorção e sercreção destes gases. É semelhante a um pulmão nos peixes pulmonados.

Excreção

Os rins são do tipo mesonéfricos e principal excreta nitrogenada é a amônia.

Reprodução

São animais dióicos, com fecundação externa e desenvolvimento indireto.

Sistemática

São divididos em:

Sarcopterygii: peixes com nadadeiras carnosas, lobadas.
Actinopterygii: peixes com nadadeiras raiadas.

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Os répteis

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
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Os répteis



Os répteis (do latim reptare, 'rastejar') abrangem cerca de 7 mil espécies conhecidas. Eles surgiram há cerca de 300 milhões de anos, tendo provavelmente evoluído de certos anfíbios. Foram os primeiros vertebrados efetivamente adaptados à vida em lugares secos, embora alguns animais deste grupo, como as tartarugas, sejam aquáticos.

A Terra já abrigou formas gigantescas de répteis, como os dinossauros. Hoje esse grupo é representado por animais de porte relativamente menor, como os jacarés, tartarugas, cobras e lagartos.



A pele dos répteis

Os répteis têm o corpo recoberto por uma pele seca e praticamente impermeável. As células mais superficiais da epiderme são ricas em queratina, o que protege o animal contra a desidratação e representa uma adaptação à vida em ambientes terrestres. A pele pode apresentar escamas (cobras), placas (jacarés, crocodilos) ou carapaças (tartarugas, jabutis).



Os répteis possuem órgãos dos sentidos que lhes permitem, por exemplo, sentir o gosto e o cheiro das coisas. Os olhos possuem pálpebras e membrana nictitante, que auxiliam na proteção dessas estruturas. Eles têm glândulas lacrimais, fundamentais para manter a superfície dos olhos úmida fora da água.

Destacamos aqui uma estrutura existente entre os olhos e as narinas de cobras, chamada fosseta loreal (no detalhe). Ela possibilita que a cobra perceba a presença de outros animais vivos por meio do calor emitido pelo corpo deles.

Embora os répteis não tenham orelha externa, alguns deles apresentam conduto auditivo externo e curo, que fica abaixo de uma dobra da pele, de cada lado da cabeça. Na extremidade de cada conduto auditivo situa-se o tímpano, que se comunica com a orelha média e a interna. Vários experimentos comprovam que a maioria dos répteis é capaz de ouvir diversos sons.
Escamas de cobras.



Temperatura corporal

Os répteis, assim como os peixes e os anfíbios, são animais pecilotérmicos: a temperatura do corpo varia de acordo com a temperatura do ambiente.



Respiração e circulação de sangue

A respiração dos répteis é pulmonar; seus pulmões são mais desenvolvidos que os dos anfíbios, apresentando dobras internas que aumentam a sua capacidade respiratória.

Os pulmões fornecem aos répteis uma quantidade suficiente de gás oxigênio, o que torna "dispensável" a respiração por meio da pele, observada nos anfíbios. Aliás, com a grande quantidade de queratina que apresenta, a pele torna-se praticamente impermeável, o que impossibilita a aquisição de gás oxigênio.

O coração da maioria dos répteis apresenta dois átrios e dois ventrículos parcialmente divididos. Nos ventrículos ocorrem mistura de sangue oxigenado com sangue não-oxigenado. Nos répteis crocodilianos (crocodilo, jacarés), os dois ventrículos estão completamente separados, mas o sangue oxigenado e o sangue não-oxigenado continuam se misturando, agora fora do coração.



Alimentação e digestão

Em sua maioria, os répteis são animais carnívoros; algumas espécies são herbívoras e outras são onívoras. Eles possuem sistema digestório completo. O intestino grosso termina na cloaca.



Classificação

Vamos conhecer as principais ordens em que se divide a classe dos répteis.



Quelônios

São as tartarugas, os jabutis e os cágados. Têm o corpo recoberto por duas carapaças: a carapaça dorsal, na parte superior do corpo, e o plastrão, na parte inferior. Essas duas carapaças são soldadas uma à outra. Há aberturas apenas para a saída do pescoço, dos membros anteriores e posteriores e da cauda.

As tartarugas são aquáticas e podem viver em água doce ou salgada; suas pernas têm a forma de nadadeiras, o que facilita a locomoção na água. Os jabutis são terrestres e seus dedos são grossos. Os cágados vivem em água doce e seus dedos são ligados por uma membrana que auxilia na natação.

Esses animais não têm dentes. A boca apresenta um bico córneo.


Crocodilianos

Crocodilo


São os crocodilos e os jacarés. Grandes répteis aquáticos, os crocodilianos têm corpo alongado e recoberto por placas córneas. Possuem quatro membros, que são usados para a locomoção terrestre e aquática.

O jacaré tem a cabeça mais larga e arredondada do que a dos crocodilianos, e, quando fecha a boca, seus dentes não aparecem. Já o crocodilo tem a cabeça mais estreita e, mesmo com a boca fechada, alguns dentes são visíveis.

Jacarés e crocodilos habitam regiões tropicais, geralmente às margens dos rios.

No Brasil só existem jacarés. Eles são encontrados na Amazônia e no Pantanal Mato-Grossense.





Escamados

São os lagartos e as serpentes (estas mais comumente chamadas de cobras). Esses animais têm a pele recoberta por escamas e dividem-se em dois grupos menores: lacertílios e ofídeos.


Lacertílios - Compreendem os lagartos, os camaleões e as lagartixas, répteis de corpo alongado, com a cabeça curta e unida ao corpo por um pequeno pescoço. Possuem quatro membros, sendo os anteriores mais curtos que os posteriores.

Ofídeos - Compreendem as serpentes ou cobras, répteis que não têm pernas. A grande maioria desses animais possuem glândulas que fabricam veneno. Uma serpente é peçonhenta quando seus dentes são capazes de inocular veneno nos animais que ataca. Os dentes têm um canal ou sulco que se comunica com as glândulas produtoras de veneno. No momento da picada, o veneno escoa por esse canal e é inoculado no corpo da presa.




Reprodução

O sistema reprodutor dos répteis foi um importante fator de adaptação desses animais ao ambiente terrestre. Os répteis fazem a fecundação interna: o macho introduz os espermatozóides no corpo da fêmea.

A maioria é ovípara, ou seja, a fêmea põe ovos, de onde saem os filhotes. Esses ovos têm casca rígida e consistente como couro. Os ovos se desenvolvem em ambiente de baixa umidade.

A fecundação interna e os ovos com casca representam um marco na evolução dos vertebrados, pois impediram a morte dos gametas e embriões por desidratação. Assim, em ralação a reprodução, os répteis tornaram-se independentes da água. A tartaruga marinha e muitos outros répteis aquáticos depositam os seus ovos em ambiente terrestre. Eles ficam cobertos de areia e aquecidos pelo calor do Sol.



O ovo é rico em vitelo - substância que nutre o embrião - e é capaz de reter a umidade. Na casca há poros, pequenos orifícios que permitem a entrada de oxigênio do ar e a saída de gás carbônico, ou seja, a troca de gases. Isso ajuda a manter o embrião vivo.

A maioria dos répteis não precisa cuidar dos seus ovos e filhotes. Os filhotes quando "prontos" saem da casca usando seus próprios recursos. Porém, tanto o jacaré, quanto o crocodilo têm muito cuidado com os ovos e os filhotes. A fêmea põe os ovos no ninho e fica por perto até o nascimento dos filhotes, que são carregados na boca até a água, onde ficam com a mãe. Alguns chegam a permanecer com a mãe por mais de três anos.



Existem também os répteis em cujos ovos, já na ocasião da postura, há filhotes formados. Os ovos ficam retidos com o embrião em um canal no corpo da fêmea, enquanto se desenvolvem, como ocorre em algumas cobras. Quando os ovos saem do corpo da fêmea, os filhotes dentro deles já se encontram formados. A casca desses ovos é bem fina, como uma membrana, permitindo a saída dos filhotes logo após a postura. Esses animais são classificados como ovovivíparos. Há ainda alguns répteis vivíparos, que produzem filhotes já "prontos", sem terem se desenvolvido em ovos, como certas espécies de lagartos.

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Equação geral dos gases

Professor de Matemática no Colégio Estadual Dinah Gonçalves
E Biologia na rede privada de Salvador-Bahia
Professor Antonio Carlos carneiro Barroso
email accbarroso@hotmail.com
Extraído de http://www.alunosonline.com.br

Equação geral dos gases

Domiciano Correa Marques da Silva




Equação geral dos gases
Podemos falar que, ao longo da história, o trabalho realizado por vários cientistas investigadores foi de suma importância na formulação da lei dos gases ideais.

Nos experimentos realizados por Robert Boyle, pôde-se verificar que havia uma relação de proporção entre volume e pressão de um gás, quando a temperatura era mantida constante. Essa transformação recebeu o nome de transformação isotérmica.

Uma transformação é dita isotérmica quando a temperatura permanece constante. Nesse caso, a pressão varia de forma inversamente proporcional ao volume ocupado pelo gás.

A expressão que representa uma transformação isotérmica é conhecida como lei de Boyle-Mariotte e é representada pela seguinte equação:

p1V1 = p2V2

Onde: p1 é a pressão inicial, p2 é a pressão final, V1 volume inicial e V2 volume final.

Já o cientista Jaques Charles verificou a relação de proporção entre o volume e a temperatura de um gás quando a pressão era mantida constante.

Uma transformação é dita isobárica quando a pressão permanece constante. Nesse caso, o volume varia de forma diretamente proporcional à temperatura. A expressão para representar a transformação isobárica ficou conhecida como lei de Charles, e é representada pela equação:

V1 = V2
T1 T2


Onde: V1 volume inicial, V2 volume final, T1 temperatura inicial e T2 temperatura final.

O cientista Charles investigou também a relação existente entre a pressão e a temperatura quando o volume era mantido constante. Essa transformação é denominada isométrica, isocórica ou isovolumétrica.

Então, uma transformação é dita isovolumétrica quando o volume permanece constante, e a pressão varia proporcionalmente à temperatura. A equação que representa a lei de Charles para transformação isovolumétrica é:

p1 = p2
T1 T2


Onde: p1 é a pressão inicial, p2 é a pressão final, T1 temperatura inicial e T2 temperatura final.

Para uma transformação em que variam a pressão, o volume e a temperatura, ao mesmo tempo, temos a seguinte equação:

p1.V1 = p2.V2
T1 T2

Interpolação de meios geométricos

Marcelo Rigonatto




Progressões
As progressões geométricas são sequências numéricas que apresentam uma característica em comum: cada elemento, a partir do segundo, é obtido realizando o produto entre o termo anterior e uma constante q, denominada de razão da PG. Podemos notar a utilização das progressões em diversas áreas do conhecimento. Os pitagóricos já haviam descoberto, por exemplo, que na escala musical, os valores das frequências das sequências de notas de uma oitava, formam uma progressão geométrica.

Dentre os tópicos abordados no estudo da PG, temos a interpolação de meios geométricos. Interpolar meios geométricos entre dois números dados, a1 e an, é acrescentar números entre os dois que já foram dados para que a sequência numérica formada seja uma PG. Para realizar a interpolação de meios geométricos basta conhecer o valor da razão da progressão geométrica e utilizar a fórmula do termo geral:

an = a1∙q(n-1)

Onde,

a1 → é o primeiro termo da PG.
an → é o último termo da PG.
n → é o número dos termos da PG.

Vejamos alguns exemplos para melhor compreensão:

Exemplo 1. Interpole cinco meios geométricos entre 7 e 5103.

Solução: Interpolar cinco meios geométricos entre 7 e 5103 equivale a dizer que devemos acrescentar cinco números entre 7 e 5103 para que a sequência formada seja uma PG.

(7, _, _, _, _, _, 5103)

Para isso, devemos encontrar o valor da razão dessa PG. Pela análise do exercício, temos que:

a1 = 7 e a7 = 5103 e n = 7 (pois a sequência apresenta 7 termos).

Utilizando a fórmula do termo geral, obtemos:

Conhecendo o valor da razão da PG podemos determinar os cinco termos que devem ficar compreendidos entre 7 e 5103.

a2 = a1*q = 7*3 = 21
a3 = a2*q = 21*3 = 63
a4 = a3*q = 63*3 = 189
a5 = a4*q = 189*3 = 567
a6 = a5*q = 567*3 = 1701

Portanto, interpolando cinco meios geométricos entre 7 e 5103, obtemos a PG:

(7, 21, 63, 189, 567, 1701, 5103)

Exemplo 2. Distribua 4 números entre 800 e 25 para que a sequência numérica formada seja uma progressão geométrica.

Solução: Queremos interpolar 4 meios geométricos entre 800 e 25.

(800, _, _, _, _, 25)

Precisamos conhecer o valor da razão dessa PG. Para isso, utilizaremos a fórmula do termo geral.
Sabemos que: n = 6, a1 = 800 e a6 = 25. Segue que:

Conhecido o valor da razão, podemos determinar os termos que devem ficar compreendidos entre 800 e 25.

a2 = a1*q = 800*0,5 = 400
a3 = a2*q = 400*0,5 = 200
a4 = a3*q = 200*0,5 = 100
a5 = a4*q = 100*0,5 = 50

Portanto, interpolando 4 meios geométricos entre 800 e 25, obtemos a seguinte PG:

(800, 400, 200, 100, 50, 25)

progressão geometrica

No estudo da progressão aritmética estudamos algumas formas específicas de representarmos a P.A de três e quatro elementos. Da mesma forma iremos estudar algumas representações genéricas da progressão geométrica.

• P.G de três elementos

Esse tipo de P.G pode ser representado de duas formas diferentes:
(x , xq , xq2) ou (x/q , x , xq) com razão igual a q.

• P.G de quatro elementos

Esse tipo de P.G pode ser representado de duas formas diferentes:
(x , xq , xq2 , xq3) com razão igual a q ou (x/q3 , x/q , xq , xq3) com razão igual a q2.

Exemplo: Determine a P.G de três termos, sabendo que o produto desses termos é 1/8 e que a soma dos dois primeiros é 2.

Considerando três termos como sendo (x/q , x , xq), aplicando o que foi enunciado acima teremos:



Substituindo os valores encontrados na P.G de três termos, teremos a seguinte P.G:

(3/2 , 1/2 , 1/6)
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Progressão Aritmética e Geométrica

Quando uma progressão aritmética possui apenas três ou quatro elementos é possível fazer uma relação com seus elementos e tornar o cálculo dos seus termos e da razão mais simplificados.

• P.A de três termos

Uma P.A com três elementos será escrita da seguinte forma:
(x – r , x , x + r)

Exemplo: a soma dos três termos de uma P.A é 72 e o produto dos termos extremos é 560. Qual é essa P.A?

Sabemos que qualquer P.A de três elementos é escrita da seguinte forma: (x – r , x , x + r), comparando-a com as informações do enunciado teremos:

x – r + x + x + r = 72
3x = 72
x = 72 : 3
x = 24.
Como o elemento do meio da P.A de três elementos é o x, podemos dizer que será igual a 24.

Levando em consideração a segunda informação, teremos:

(x – r) . (x + r) = 560
x2 – r2 = 560
242 - r2 = 560 (-1)
-576 + r2 = -560
r2 = - 560 + 576
r2 = 16
r = 4

Portanto, a P.A será formada pelos seguintes elementos: (20, 24, 28).

• P.A de quatro elementos será escrita da seguinte forma:
(x – 3y , x – y , x + y , x + 3y), com r = 2y

Exemplo: Em uma P.A de quatro termos, a soma dos dois primeiros é zero e a soma dos dois últimos é 80. Qual é a razão da P.A?

Sabemos que qualquer P.A de quatro elementos é escrita da seguinte forma: (x – 3y , x – y , x + y , x + 3y), com r = 2y, comparando-a com as informações do enunciado teremos:

(x – 3y) + (x – y) = 0
x + x – 3y – y = 0
2x – 4y = 0

(x + y) + (x + 3y) = 80
2x + 4y = 80

Montamos um sistema com as duas equações encontradas.
2x – 4y = 0
2x + 4y = 80
4x = 80
x = 20

2x - 4y = 0
2 . 20 - 4y = 0
4y = 40
y = 10

Como a razão é o dobro do valor de y: r = 20.
Interpolar ou inserir meios aritméticos significa estabelecer uma P.A. que possui determinado o 1º termo (a1) e o último termo (an). Para interpolar os termos precisamos estabelecer a razão da P.A., para que assim possamos construí-la. Observe:

Exemplo 1

Interpolar 6 meios aritméticos entre 7 e 42 de modo que a1=7 e a8=42.

Resolução
Precisamos estabelecer a razão da P.A., veja:
an = a1 + (n – 1)*r
a8 = 7 + (8 – 1)*r
42 = 7 + 7r
42 – 7 = 7r
35 = 7r
r = 35/7
r = 5

A progressão aritmética será (7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42)


Exemplo 2

Quantos múltiplos de 4 existem entre 101 e 401?
Sabemos que a sequência dos múltiplos de 4 é uma P.A. de razão 4, (4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ...). O que vamos analisar é essa sequência entre 101 e 401.
O primeiro múltiplo de 4 maior que 101 é o 104, então consideraremos a1 = 104.
O último múltiplo de 4 pertencente ao intervalo é o 400, portanto an = 400.
De acordo com a expressão do termo geral de uma P.A., temos:

an = 400
a1 = 104
r = 4
an = a1 + (n – 1)*r
400 = 104 + (n – 1)*4
400 = 104 + 4n – 4
400 + 4 – 104 = 4n
300 = 4n
n = 300 / 4
n = 75

Podemos concluir que entre 101 e 401, existem 75 números múltiplos de 4.
Quando uma progressão aritmética possui apenas três ou quatro elementos é possível fazer uma relação com seus elementos e tornar o cálculo dos seus termos e da razão mais simplificados.

• P.A de três termos

Uma P.A com três elementos será escrita da seguinte forma:
(x – r , x , x + r)

Exemplo: a soma dos três termos de uma P.A é 72 e o produto dos termos extremos é 560. Qual é essa P.A?

Sabemos que qualquer P.A de três elementos é escrita da seguinte forma: (x – r , x , x + r), comparando-a com as informações do enunciado teremos:

x – r + x + x + r = 72
3x = 72
x = 72 : 3
x = 24.
Como o elemento do meio da P.A de três elementos é o x, podemos dizer que será igual a 24.

Levando em consideração a segunda informação, teremos:

(x – r) . (x + r) = 560
x2 – r2 = 560
242 - r2 = 560 (-1)
-576 + r2 = -560
r2 = - 560 + 576
r2 = 16
r = 4

Portanto, a P.A será formada pelos seguintes elementos: (20, 24, 28).

• P.A de quatro elementos será escrita da seguinte forma:
(x – 3y , x – y , x + y , x + 3y), com r = 2y

Exemplo: Em uma P.A de quatro termos, a soma dos dois primeiros é zero e a soma dos dois últimos é 80. Qual é a razão da P.A?

Sabemos que qualquer P.A de quatro elementos é escrita da seguinte forma: (x – 3y , x – y , x + y , x + 3y), com r = 2y, comparando-a com as informações do enunciado teremos:

(x – 3y) + (x – y) = 0
x + x – 3y – y = 0
2x – 4y = 0

(x + y) + (x + 3y) = 80
2x + 4y = 80

Montamos um sistema com as duas equações encontradas.
2x – 4y = 0
2x + 4y = 80
4x = 80
x = 20

2x - 4y = 0
2 . 20 - 4y = 0
4y = 40
y = 10

Como a razão é o dobro do valor de y: r = 20.
Veja exemplos de atividades envolvendo progressões aritméticas e geométricas e as formas de resolução comentadas.


Exemplo 1
Determine o 32º termo da sequência (2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38,...).
Resolução
Verificamos que a sequência dada é uma Progressão Aritmética de razão igual a 3, pois:
r = 5 – 2 = 3
r = 8 – 5 = 3, e assim sucessivamente.
A expressão utilizada na determinação de um dos termos da PA é a seguinte:
an = a1 + (n – 1)*r
a32 = ?
a1 = 2
r = 3
n = 32

a32 = 2 + (32 – 1) * 3
a32 = 2 + 31 * 3
a32 = 2 + 93
a32 = 95

Portanto, o 32º termo da sequência será o número 95.


Exemplo 2
Qual a soma dos números pares compreendidos entre 1 e 201?
Resolução
Precisamos determinar o primeiro e o último número par do intervalo, dessa forma temos:
a1 = 2
an = 200
r = 2

Soma dos termos:


A soma dos números pares compreendidos entre 1 e 201 é igual a 10 100.

Exemplo 3
Determine o 8º termo da seguinte Progressão Geométrica (3, 9, 27, 81,....)
A fórmula que determina o termo de uma PG é dada pela seguinte expressão matemática: an = a1*qn–1.
Resolução
a8 = ?
a1 = 3
q = 3
n = 8

a8 = 3 * 38 – 1
a8 = 3 * 37
a8 = 3 * 2187
a8 = 6561

O 8º termo da PG é igual a 8.


Exemplo 4
Determine a soma dos 9 primeiros termos da sequência (1,2,4,8,...).
Resolução

A soma de uma PG finita pode ser expressa pela seguinte fórmula matemática:

a1 = 1
q = 2
n = 9

Exemplo 5
Dada a PA (12, 8, 4, 0, -4,...), determine o 20º termo.
Resolução
Temos que a PA dada é uma progressão decrescente, veja:
r = 8 – 12 = – 4
r = 4 – 8 = – 4


an = a1 + (n – 1)*r
a20 = 12 + (20 – 1) * (– 4)
a20 = 12 + 19 * (– 4)
a20 = 12 – 76
a20 = – 64

O 20º termo da PA é o número – 64.
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Progressão Aritmética e Geométrica

Quando uma progressão aritmética possui apenas três ou quatro elementos é possível fazer uma relação com seus elementos e tornar o cálculo dos seus termos e da razão mais simplificados.

• P.A de três termos

Uma P.A com três elementos será escrita da seguinte forma:
(x – r , x , x + r)

Exemplo: a soma dos três termos de uma P.A é 72 e o produto dos termos extremos é 560. Qual é essa P.A?

Sabemos que qualquer P.A de três elementos é escrita da seguinte forma: (x – r , x , x + r), comparando-a com as informações do enunciado teremos:

x – r + x + x + r = 72
3x = 72
x = 72 : 3
x = 24.
Como o elemento do meio da P.A de três elementos é o x, podemos dizer que será igual a 24.

Levando em consideração a segunda informação, teremos:

(x – r) . (x + r) = 560
x2 – r2 = 560
242 - r2 = 560 (-1)
-576 + r2 = -560
r2 = - 560 + 576
r2 = 16
r = 4

Portanto, a P.A será formada pelos seguintes elementos: (20, 24, 28).

• P.A de quatro elementos será escrita da seguinte forma:
(x – 3y , x – y , x + y , x + 3y), com r = 2y

Exemplo: Em uma P.A de quatro termos, a soma dos dois primeiros é zero e a soma dos dois últimos é 80. Qual é a razão da P.A?

Sabemos que qualquer P.A de quatro elementos é escrita da seguinte forma: (x – 3y , x – y , x + y , x + 3y), com r = 2y, comparando-a com as informações do enunciado teremos:

(x – 3y) + (x – y) = 0
x + x – 3y – y = 0
2x – 4y = 0

(x + y) + (x + 3y) = 80
2x + 4y = 80

Montamos um sistema com as duas equações encontradas.
2x – 4y = 0
2x + 4y = 80
4x = 80
x = 20

2x - 4y = 0
2 . 20 - 4y = 0
4y = 40
y = 10

Como a razão é o dobro do valor de y: r = 20.
Interpolar ou inserir meios aritméticos significa estabelecer uma P.A. que possui determinado o 1º termo (a1) e o último termo (an). Para interpolar os termos precisamos estabelecer a razão da P.A., para que assim possamos construí-la. Observe:

Exemplo 1

Interpolar 6 meios aritméticos entre 7 e 42 de modo que a1=7 e a8=42.

Resolução
Precisamos estabelecer a razão da P.A., veja:
an = a1 + (n – 1)*r
a8 = 7 + (8 – 1)*r
42 = 7 + 7r
42 – 7 = 7r
35 = 7r
r = 35/7
r = 5

A progressão aritmética será (7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42)


Exemplo 2

Quantos múltiplos de 4 existem entre 101 e 401?
Sabemos que a sequência dos múltiplos de 4 é uma P.A. de razão 4, (4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ...). O que vamos analisar é essa sequência entre 101 e 401.
O primeiro múltiplo de 4 maior que 101 é o 104, então consideraremos a1 = 104.
O último múltiplo de 4 pertencente ao intervalo é o 400, portanto an = 400.
De acordo com a expressão do termo geral de uma P.A., temos:

an = 400
a1 = 104
r = 4
an = a1 + (n – 1)*r
400 = 104 + (n – 1)*4
400 = 104 + 4n – 4
400 + 4 – 104 = 4n
300 = 4n
n = 300 / 4
n = 75

Podemos concluir que entre 101 e 401, existem 75 números múltiplos de 4.
Quando uma progressão aritmética possui apenas três ou quatro elementos é possível fazer uma relação com seus elementos e tornar o cálculo dos seus termos e da razão mais simplificados.

• P.A de três termos

Uma P.A com três elementos será escrita da seguinte forma:
(x – r , x , x + r)

Exemplo: a soma dos três termos de uma P.A é 72 e o produto dos termos extremos é 560. Qual é essa P.A?

Sabemos que qualquer P.A de três elementos é escrita da seguinte forma: (x – r , x , x + r), comparando-a com as informações do enunciado teremos:

x – r + x + x + r = 72
3x = 72
x = 72 : 3
x = 24.
Como o elemento do meio da P.A de três elementos é o x, podemos dizer que será igual a 24.

Levando em consideração a segunda informação, teremos:

(x – r) . (x + r) = 560
x2 – r2 = 560
242 - r2 = 560 (-1)
-576 + r2 = -560
r2 = - 560 + 576
r2 = 16
r = 4

Portanto, a P.A será formada pelos seguintes elementos: (20, 24, 28).

• P.A de quatro elementos será escrita da seguinte forma:
(x – 3y , x – y , x + y , x + 3y), com r = 2y

Exemplo: Em uma P.A de quatro termos, a soma dos dois primeiros é zero e a soma dos dois últimos é 80. Qual é a razão da P.A?

Sabemos que qualquer P.A de quatro elementos é escrita da seguinte forma: (x – 3y , x – y , x + y , x + 3y), com r = 2y, comparando-a com as informações do enunciado teremos:

(x – 3y) + (x – y) = 0
x + x – 3y – y = 0
2x – 4y = 0

(x + y) + (x + 3y) = 80
2x + 4y = 80

Montamos um sistema com as duas equações encontradas.
2x – 4y = 0
2x + 4y = 80
4x = 80
x = 20

2x - 4y = 0
2 . 20 - 4y = 0
4y = 40
y = 10

Como a razão é o dobro do valor de y: r = 20.
Veja exemplos de atividades envolvendo progressões aritméticas e geométricas e as formas de resolução comentadas.


Exemplo 1
Determine o 32º termo da sequência (2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38,...).
Resolução
Verificamos que a sequência dada é uma Progressão Aritmética de razão igual a 3, pois:
r = 5 – 2 = 3
r = 8 – 5 = 3, e assim sucessivamente.
A expressão utilizada na determinação de um dos termos da PA é a seguinte:
an = a1 + (n – 1)*r
a32 = ?
a1 = 2
r = 3
n = 32

a32 = 2 + (32 – 1) * 3
a32 = 2 + 31 * 3
a32 = 2 + 93
a32 = 95

Portanto, o 32º termo da sequência será o número 95.


Exemplo 2
Qual a soma dos números pares compreendidos entre 1 e 201?
Resolução
Precisamos determinar o primeiro e o último número par do intervalo, dessa forma temos:
a1 = 2
an = 200
r = 2

Soma dos termos:


A soma dos números pares compreendidos entre 1 e 201 é igual a 10 100.

Exemplo 3
Determine o 8º termo da seguinte Progressão Geométrica (3, 9, 27, 81,....)
A fórmula que determina o termo de uma PG é dada pela seguinte expressão matemática: an = a1*qn–1.
Resolução
a8 = ?
a1 = 3
q = 3
n = 8

a8 = 3 * 38 – 1
a8 = 3 * 37
a8 = 3 * 2187
a8 = 6561

O 8º termo da PG é igual a 8.


Exemplo 4
Determine a soma dos 9 primeiros termos da sequência (1,2,4,8,...).
Resolução

A soma de uma PG finita pode ser expressa pela seguinte fórmula matemática:

a1 = 1
q = 2
n = 9

Exemplo 5
Dada a PA (12, 8, 4, 0, -4,...), determine o 20º termo.
Resolução
Temos que a PA dada é uma progressão decrescente, veja:
r = 8 – 12 = – 4
r = 4 – 8 = – 4


an = a1 + (n – 1)*r
a20 = 12 + (20 – 1) * (– 4)
a20 = 12 + 19 * (– 4)
a20 = 12 – 76
a20 = – 64

O 20º termo da PA é o número – 64.
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Progressão aritmetica

As atividades envolvendo progressões exigem atenção por parte dos estudantes, pois devemos ter conhecimento das fórmulas matemáticas na resolução das progressões. A partir da interpretação do enunciado deveremos escolher qual a fórmula adequada. Fique atento às questões contextualizadas e interdisciplinarizadas, as progressões possuem ligações diretas com outras ciências.

Veja exemplos de atividades envolvendo progressões aritméticas e geométricas e as formas de resolução comentadas.


Exemplo 1
Determine o 32º termo da sequência (2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38,...).
Resolução
Verificamos que a sequência dada é uma Progressão Aritmética de razão igual a 3, pois:
r = 5 – 2 = 3
r = 8 – 5 = 3, e assim sucessivamente.
A expressão utilizada na determinação de um dos termos da PA é a seguinte:
an = a1 + (n – 1)*r
a32 = ?
a1 = 2
r = 3
n = 32

a32 = 2 + (32 – 1) * 3
a32 = 2 + 31 * 3
a32 = 2 + 93
a32 = 95

Portanto, o 32º termo da sequência será o número 95.


Exemplo 2
Qual a soma dos números pares compreendidos entre 1 e 201?
Resolução
Precisamos determinar o primeiro e o último número par do intervalo, dessa forma temos:
a1 = 2
an = 200
r = 2

Vamos determinar o número de termos:

Soma dos termos:

A soma dos números pares compreendidos entre 1 e 201 é igual a 10 100.

Exemplo 3
Determine o 8º termo da seguinte Progressão Geométrica (3, 9, 27, 81,....)
A fórmula que determina o termo de uma PG é dada pela seguinte expressão matemática: an = a1*qn–1.
Resolução
a8 = ?
a1 = 3
q = 3
n = 8

a8 = 3 * 38 – 1
a8 = 3 * 37
a8 = 3 * 2187
a8 = 6561

O 8º termo da PG é igual a 8.


Exemplo 4
Determine a soma dos 9 primeiros termos da sequência (1,2,4,8,...).
Resolução

A soma de uma PG finita pode ser expressa pela seguinte fórmula matemática:


a1 = 1
q = 2
n = 9


Exemplo 5
Dada a PA (12, 8, 4, 0, -4,...), determine o 20º termo.
Resolução
Temos que a PA dada é uma progressão decrescente, veja:
r = 8 – 12 = – 4
r = 4 – 8 = – 4


an = a1 + (n – 1)*r
a20 = 12 + (20 – 1) * (– 4)
a20 = 12 + 19 * (– 4)
a20 = 12 – 76
a20 = – 64

O 20º termo da PA é o número – 64.

progressão geometrica

Progressão geométrica é uma seqüencia numérica que cresce ou decresce pelo produto por uma taxa constante. Nessa progressão, os seus termos a partir do segundo é igual ao produto do termo anterior por uma constante denominada razão q.

Por exemplo:

(1,2,4,8,16,32,64, ... ) essa seqüência é uma PG de razão igual a q = 2.

(5,15,45,135,405, ... ) essa seqüência é uma PG de razão igual a q = 3.

(2,1 ,1/2 ,1/4, 1/8, 1/16, ... ) essa seqüência é uma PG de razão igual a q = 1/2.

De uma maneira geral podemos definir uma progressão geométrica, assim:

Uma seqüência qualquer (a1,a2,a3, .... , an) será uma PG se, somente se,

an = an – 1 . q com n > 1.

E o cálculo da razão será realizado da seguinte forma:

a2 = a3 = ... = an = ... = q
a1 a2 an – 1

Classificação da PG

Dependendo dos termos que compor uma PG ela será classificada em:

• PG crescente são aquelas que os valores dos termos vão crescendo.

a 1 > 0 e q > 1, por exemplo: (1,2,4,8,16,32,64, ... )

a 1 < 0 e 0 < q < 1, por exemplo (-1 , -1/2, -1/4, ....)

• PG decrescente são aquelas que os termos vão diminuindo.

a 1 > 0 e 0 < q < 1, por exemplo: (64, 32, 16,8,... )

a 1 < 0 e q > 1, por exemplo: (-2,-4,-8,...)

• PG constante são aquelas que os termos são iguais, ou seja, a razão é igual a q = 1.
Por exemplo: (5,5,5,5,...,5)

• PG oscilante é uma PG que os seus termos intercalam em negativos e positivos, ou seja, que a1 ≠ 0 e q < 0.

• PG quase nula é uma PG que apenas o 1º elemento é diferente de zero.
Por exemplo: (2,0,0,0,0,0, ... )
Fórmula do termo geral da PG

Considerando a PG (a1, a2, a3, ... , a n – 1 , an) e utilizando a definição de PG
an = an – 1 . q com n > 1 podemos encontrar a fórmula do termo geral da PG, desde que a1 ≠ 0 e q ≠ 0.

a 2 = a1 . q
a 3 = a2 . q
a 4 = a3 . q
.................
an = a n – 1 . q
an = a1 . qn – 1

Portanto, o termo geral da PG é calculado com a utilização da fórmula:

an = a1 . qn – 1
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Sequências PA

CLASSIFICAÇÃO

Quanto à razão, as progressões aritméticas podem ser classificadas em:

1. Crescentes – São aquelas cuja razão é positiva.

Exemplo:

(4, 8, 12...) →r = 4 > 0 (positiva)

2. Decrescentes – São aquelas cuja razão é negativa.

Exemplo:

(10, 7, 4, 1, –2, –5)→ r = – 3 < 0 (negativa) 3. Constantes – São aquelas cuja razão é nula. Exemplo: (6, 6, 6, 6) →r = 0 FÓRMULA DO TERMO GERAL Para obter o enésimo termo de uma P.A., basta somar (n – 1) vezes a razão ao primeiro termo. Com isso, podemos achar qualquer termo dentro de uma PA pela expressão: an = a1 + (n - 1) . r Em que: an é o enésimo termo (termo geral); a1 é o primeiro termo; n é o número de termos; r é a razão. Aplicação Qual é o quinto termo da P. A. (3, 6...)? Solução: a1 = 3 r = 6 – 3 = 3 n = 5 an = a1 + (n - 1) . r a20 = 3 + (5 – 1). 3 a20 = 3 + 4.3 a20 = 15 INTERPOLAÇÃO ARITMÉTICA Interpolar ou inserir k meios aritméticos entre dois termos extremos a e b de uma progressão aritmética significa obter uma P. A. com (k + 2) termos.

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Reino Animalia


Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso
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O Reino Animalia abriga mais de um milhão de espécies, habitantes dos mais diversos ambientes, de formas e tamanhos variados. Existem aproximadamente 35 filos neste reino, com seus representantes eucarióticos, multicelulares e de nutrição heterotrófica, ingerindo seus alimentos. Apenas no Reino Animalia é que são encontrados os tecidos muscular e nervoso, embora não estejam presentes em todos as espécies.

Acredita-se que este grupo tenha surgido a partir de colônias de protistas flagelados, semelhantes aos coanócitos, encontrados nas esponjas.

Estes indivíduos, cuja maioria tem estrutura corporal simétrica, podem se reproduzir de forma sexuada ou assexuada, sendo a primeira a mais comum. A partir da fecundação dos gametas, desenvolve-se a blástula que, ao longo do desenvolvimento embrionário, dá origem a tecidos e órgãos.

O sistema digestório pode ser incompleto ou completo, sendo que no primeiro caso existe apenas uma abertura para a entrada de alimentos e eliminação de resíduos. O transporte de substâncias pode se dar por difusão ou pelo sistema circulatório. Este, quando denominado aberto, cujo fluido é denominado hemolinfa, possuem vasos com extremidades abertas. Quando é do tipo fechado, o transporte de substâncias se dá pelo sistema circulatório, por meio de vasos sanguíneos. A respiração pode ser cutânea, branquial, pulmonar ou traqueal; e a eliminação de metabólitos se dá por sistemas especializados, exceto no caso dos poríferos e cnidários.

Animais podem ser divididos em invertebrados e vertebrados. Entretanto, esta divisão tem apenas caráter didático.
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Bactérias

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso
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Muitas pessoas acreditam que as bactérias não servem para nada, ou melhor, que só nos causam diversas doenças. Mas isto está longe de ser verdade - felizmente! De fato, algumas bactérias provocam doenças. Outras, no entanto, são amplamente exploradas para melhorar nossa qualidade de vida, em diversos aspectos: quanto à nossa alimentação, na produção de insulina, nos tratamentos de beleza, no ambiente etc. Vamos ver como isso ocorre?

Para começar, quanto à nossa alimentação, as bactérias são amplamente utilizadas para a fabricação de iogurtes, por exemplo. Você certamente já ouviu falar em lactobacilos vivos, que estão presentes num produto de marca famosa. Mas de que modo as bactérias atuam no iogurte? Bem, elas transformam o açúcar contido no leite (lactose) em ácido láctico.

Desse modo, o leite torna-se azedo, mudando assim o seu pH. Isso faz com que a proteína do leite se precipite, formando o "coalho". Mas, em matéria de alimentação, além das bactérias que atuam no leite, há também aquelas que modificam o álcool etílico em ácido acético, formando o vinagre, que tempera saladas e diversos pratos.

Importância ecológica das bactérias
A atuação das bactérias no ambiente também merece destaque: é extremamente importante para a reciclagem de matéria orgânica, ou seja, as bactérias, juntamente com os fungos, realizam o processo de decomposição transformando a matéria orgânica morta e devolvendo-a ao solo sob a forma de matéria inorgânica.

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Estrutura celular de uma bactéria


Outro aspecto importante, no âmbito ecológico, se refere ao ciclo do nitrogênio, pois os seres vivos não absorvem este elemento químico diretamente do ar (existem na atmosfera cerca de 71 %).

As bactérias do gênero Rhizobium que se encontram nas raízes de plantas leguminosas, como por exemplo, o feijão, milho, ervilha, etc., é que transformam o nitrogênio atmosférico em sais nitrogenados (nitrito e nitrato) para as plantas, aumentando a quantidade de nutrientes que elas absorvem.

Na seqüência, o nitrogênio é passado para os animais herbívoros, que se nutrem das plantas, e depois aos carnívoros, que se alimentam dos herbívoros.

Bactérias como fertilizantes e digestivos
Há ainda outras bactérias dos gêneros Nitrossomonas e Nitrobacter que transformam respectivamente, a amônia (NH3) liberada pela urina dos animais em nitrito e o nitrito em nitrato, o que aumenta a fertilidade do solo.

As bactérias também associam-se a outros seres vivos, estabelecendo relações ecológicas, sendo o mutualismo (uma união de que dependem dois seres vivos e na qual ambos são beneficiados) muito comum. Um exemplo disso ocorre entre os ruminantes e as bactérias que vivem em seu estômago.

Sem elas, o ruminante não conseguiria absorver o máximo dos nutrientes dos vegetais, devido à falta de uma enzima capaz de quebrar a celulose. Esse trabalho é realizado pelas bactérias. Em troca disso, estas ganham moradia e alimentação. Portanto, o benefício é mútuo.

Bactérias e controle biológico
As bactérias também são amplamente utilizadas no combate as pragas na agricultura. Um exemplo disto é o Bacillus thuringensis, que ataca as larvas de determinados insetos, produzindo cristais de proteínas que acabam por romper seus intestinos, ocasionando a morte dessas mesmas larvas. Desse modo, elas controlam os insetos que atacam as plantações - o que nós denominamos de controle biológico ou natural de pragas.

Ainda no âmbito ambiental encontramos as bactérias, juntamente com outros microorganismos, no tratamento biológico de águas de rios poluídos, em biorreatores, que, operados sob determinadas condições, resultam na estabilização da matéria orgânica poluente. Os sistemas de tratamento biológico de resíduos visam promover a remoção da matéria orgânica e se possível a degradação de compostos químicos.

Uso farmacêutico e cosmético
As bactérias também podem ser programadas, através da engenharia genética, para produzir a insulina. Esse hormônio (insulina) é de suma importância para controlar a taxa de açúcar no sangue, garantindo níveis apropriados à sobrevivência humana.

No campo da estética pessoal, as bactérias também estão sendo utilizadas, ou melhor, sua toxina é posta em ação. É o caso da toxina botulínica (o "botox") que serve para paralisar, por um período, a musculatura do rosto (linhas de expressão), evitando as rugas da idade.

Em suma, a existência de diferentes formas de vida em nosso planeta necessita da presença das bactérias e de sua vasta atuação no ambiente, na alimentação, na saúde física e até na estética.

progressão geometrica

Os termos que possuem a mesma distância em uma seqüência numérica escrita na forma de uma PG possuem uma propriedade que diz o seguinte:

Se multiplicarmos os dois termos eqüidistantes esse produto será igual à multiplicação dos dois extremos da PG (a1 . an).

Dada a PG finita (5,10,20,40,80,160,320) os elementos 5 e 320 são os extremos e os elementos 10 e 160; 20 e 80 são eqüidistantes.

Se multiplicarmos os extremos, teremos: 5 x 320 = 1600
Multiplicando os termos eqüidistantes, teremos:
10 x 160 = 1600
20 x 80 = 1600

Portanto, podemos dizer que a Propriedade dos termos eqüidistantes dos extremos de uma PG finita é verdadeira, pois no exemplo acima o produto dos extremos é igual ao produto dos termos eqüidistantes.

Exemplo: dada uma PG finita composta por 8 elementos, sabendo que
a3 . a6 = 75497472 e que a1 = - 6. Determine o valor de a8.

Como a PG possui 8 elementos os termos a3 e a6 são eqüidistantes, portanto, o seu produto será igual ao produto dos extremos:

a3 . a6 = a1 . a8
75497472 = - 6 . a8
75497472 : (-6) = a8

Portanto, a8 = -12582912.
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Órgãos dos sentidos

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso
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Órgãos dos sentidos

Você já reparou quantas coisas diferentes nosso corpo é capaz de fazer? Podemos perceber o ambiente vendo, ouvindo, cheirando, apalpando, sentindo sabores. Recebemos informações sobre o meio que nos cerca. Ao processá-las em nosso cérebro, nós as interpretamos, seja como sinais de perigo, sensações agradáveis ou desagradáveis, etc. Depois dessa interpretação, respondemos aos estímulos do ambiente, interagindo com ele.

Nossos corpos podem fazer diversas coisas que uma máquina não é capaz.

Como você sabe o que está acontecendo ao seu redor? Recebemos informações sobre o ambiente através dos cinco sentidos: visão, audição, paladar, olfato e tato.



A visão

A energia luminosa (luz) chega aos nossos olhos trazendo informações do que existe ao nosso redor. Nossos olhos conseguem transformar o estímulo luminoso em uma outra forma de energia (potencial de ação) capaz de ser transmitida até o nosso cérebro. Esse último é responsável pela criação de uma imagem a partir das informações retiradas do meio.

O olho é revestido por três membranas: esclera, coróide e retina. A esclera á a camada mais externa, o que chamamos de “branco do olho”.

A parte anterior da esclera é constituída pela córnea, que é uma membrana curva e transparente por onde passa a luz.

Além da córnea, há a coróide – essa membrana intermediária apresenta muitos vasos sanguíneos que nutrem as células oculares.

Na parte anterior da coróide, sob a córnea, encontra-se a íris, que é a parte colorida do olho. No centro da iria, há uma abertura, a pupila, por onde a luz entra no olho. A cor da íris depende da quantidade de melanina (substância também responsável pela cor da pele) que a pessoa possui. A quantidade de pigmento é hereditária, ou seja, é determinada pelos genes.



Observe seus olhos em um espelho. Você verá uma "bolinha" bem preta no centro da região colorida. É a pupila. Mas, o que é a pupila?

Nada mais do que um orifício que deixa passar a luz. Você já saiu de um local escuro e entrou em outro ambiente bem claro? O que aconteceu? Provavelmente, você ficou ofuscado, isto é, deixou de enxergar por alguns segundos. A região colorida de seus olhos é conhecida como íris. Trata-se de uma delicada musculatura que faz sua pupila ficar grande ou pequena, de acordo com a quantidade de luz que ela recebe.

Quando a quantidade de luz é pequena, é preciso aumentar esse orifício para captar a maior quantidade possível de energia luminosa. Já quando a luminosidade é grande, a íris diminui a pupila, tornando menor a entrada de luz, para seus olhos não receberem tanta "informação" ficando incapazes de transmiti-las ao cérebro.



Partes internas do olho

As estruturas transparentes, existentes no interior do olho, permitem que a luz atravesse o globo ocular e chegue até a retina, que é sensível ao estímulo da luz. Essas estruturas são: o cristalino, a córnea, o humor aquoso e o humor vítreo.



- cristalino: lente biconvexa coberta por uma membrana transparente. Situa-se atrás da pupila e e orienta a passagem da luz até a retina. Também divide o interior do olho em dois compartimentos contendo fluidos ligeiramente diferentes: (1) a câmara anterior, preenchida pelo humor aquoso e (2) a câmara posterior, preenchida pelo humor vítreo. Pode ficar mais delgado ou mais espesso, porque é preso ao músculo ciliar, que pode torná-lo mais delgado ou mais curvo. Essas mudanças de forma ocorrem para desviar os raios luminosos na direção da mancha amarela. O cristalino fica mais espesso para a visão de objetos próximos e, mais delgado para a visão de objetos mais distantes, permitindo que nossos olhos ajustem o foco para diferentes distâncias visuais. A essa propriedade do cristalino dá-se o nome de acomodação visual. Com o envelhecimento, o cristalino pode perder a transparência normal, tornando-se opaco, ao que chamamos catarata.

- córnea: porção transparente da túnica externa (esclerótica); é circular no seu contorno e de espessura uniforme.


Sua superfície é lubrificada pela lágrima, secretada pelas glândulas lacrimais e drenada para a cavidade nasal através de um orifício existente no canto interno do olho.

- humor aquoso: fluido aquoso que se situa entre a córnea e o cristalino, preenchendo a câmara anterior do olho.

- humor vítreo: fluido mais viscoso e gelatinoso que se situa entre o cristalino e a retina, preenchendo a câmara posterior do olho. Sua pressão mantém o globo ocular esférico.
Estruturas de proteção dos olhos

O globo ocular apresenta, ainda, anexos: as pálpebras, os cílios, as sobrancelhas ou supercílios, as glândulas lacrimais e os músculos oculares.

As pálpebras são duas dobras de pele revestidas internamente por uma membrana chamada conjuntiva. Servem para proteger os olhos e espalhar sobre eles o líquido que conhecemos como lágrima. Os cílios ou pestanas impedem a entrada de poeira e de excesso de luz nos olhos, e as sobrancelhas impedem que o suor da testa entre neles.

As glândulas lacrimais produzem lágrimas continuamente. Esse líquido, espalhado pelos movimentos das pálpebras, lava e lubrifica o olho. Quando choramos, o excesso de líquido desce pelo canal lacrimal e é despejado nas fossas nasais, em direção ao exterior do nariz.

Mecanismo da visão

Os raios de luz refletidos do objeto entram nos nossos olhos, atravessam as estruturas oculares - a córnea, a pupila, os humores, o cristalino – e chegam ao fundo do olho, até a retina, onde existem células sensíveis a luz. A imagem transformada em impulsos nervosos, é enviada a través do nervo óptico ao cérebro. No cérebro as informações (cor, forma, tamanho e posição) são “interpretadas” fazendo com que a imagem do objeto em foco seja vista na posição correta.



Saúde visual

Todo mundo tem alguém na família ou pelo menos conhece alguém que usa óculos. Geralmente pensamos logo nos nossos avós, pois a maioria dos idosos tem dificuldade para enxergar. Mas ao contrário do que se pensa, os problemas de visão ocorrem na infância e adolescência. Pesquisas revelam que 1 em cada 5 crianças em idade escolar sofre de problemas de visão. Uma criança não tem como comparar se está enxergando bem ou não e dificilmente vai se queixar, o que pode trazer sérios problemas para o aprendizado e a saúde.

Os sintomas podem ser:

* Dificuldade de leitura: Quando você lê um livro, preste atenção se precisa aproximá-lo dos olhos ou se é necessário afastá-lo. Observe se as letras ficam meio embaçadas, como se tivesse uma nuvem de fumaça sobre seus olhos.
* Piscamento: Observe se você pisca muitas vezes ao focalizar algum objeto ou durante a leitura.
* Sensibilidade exagerada à luz: Em ambientes claros a pessoa não consegue abrir os olhos totalmente, que em seguida começam a lacrimejar.
* Terçol Frequênte: É uma inflamação geralmente localizada nas pálpebras, como se fosse uma espinha grande, deixando a região avermelhada e inchada.
* Dores de Cabeça: Geralmente durante ou após a leitura ou ao assistir televisão.
* Tonteiras: Também são frequêntes durante a leitura.


Se você tem algum desses sintomas deve consultar um oftalmologista que irá fazer alguns exames para confirmar se você tem ou não problemas de visão. Se for confirmado, é capaz de você escutar uns nomes bem esquisitos como miopia, hipermetropia e astigmatismo. Mas não precisa se assustar. Esses são os nomes específicos para cada problema. Quer conhecer?


Então, confira abaixo:

* Miopia - Dificuldade de enxergar de longe
* Hipermetropia - Dificuldade de enxergar de perto
* Astigmatismo - A imagem fica desfocada, meio embaçada devido a uma alteração na Córnea (camada transparente sobre a parte colorida).


Depois disso, certamente você deverá usar óculos. E nem pensar em ficar chateado e achar que você é o único, pelo contrário, os óculos vão te fazer enxergar tudo, bem direitinho. Seja de longe ou de perto.

E além do mais, hoje em dia, existem óculos com armações bem modernas. Podem ser coloridos, redondos ou quadrados, grandes ou pequenos. Existem até alguns em que as armações são tão fininhas que ficam quase imperceptíveis. É só escolher um que você se sinta bem ou fazer uma coleção. Já pensou que legal usar um óculos diferente todo dia?

Então, nada de ficar com medo de ir ao médico fazer o exame. Você verá a vida com outros olhos.
Doenças dos olhos



Conjuntivite

Conjuntivite é a inflamação da conjuntiva, membrana transparente e fina que reveste a parte da frente do globo ocular (o branco dos olhos) e o interior das pálpebras. Em geral, ataca os dois olhos, pode durar de uma semana a 15 dias e não costuma deixar sequelas. A combinação de vários sintomas pode estar presente na conjuntivite como: coceira, olhos avermelhados e lacrimejando em excesso, visão embaçada e sensível à claridade, inchaço das pálpebras, e ainda pode ocorrer também dor de cabeça, mal-estar geral e inflamação nos gânglios.

As principais causas da conjuntivite são:

* Contaminação do olho com bactérias ou vírus. Os dois tipos de infecção são contagiosos. As virais são as que mais freqüentemente causam epidemias.
* Irritação química é outra causa de conjuntivite. Os causadores podem ser a poluição do ar, sabonetes, spray, maquiagens, cloro, produtos de limpeza, etc.
* Alguns indivíduos apresentam conjuntivite alérgica (sazonal), devido a alergia a polens.



A conjuntivite pode ser transmitida através do contado direto com secreções oculares de uma pessoa infectada transmitidos principalmente pelas mãos, por toalhas, cosméticos ou indiretamente por meio de instrumentos, superfícies ou soluções contaminadas. É muito comum a contaminação dentro do meio familiar, isto é, o contato direto e indireto de um indivíduo infectado com outro da mesma família.



O glaucoma

É decorrente do acúmulo de humor aquoso, resultando do aumento de pressão dentro dos olhos. O nervo óptico é a parte do olho que carrega a informação visual até o cérebro. É formado por mais de um milhão de células nervosas. Quando se eleva a pressão no olho, as células nervosas tornam-se comprimidas, o que as danifica, e eventualmente até causa sua morte. A morte destas células resulta em perda visual permanente. O diagnóstico e o tratamento precoces do glaucoma podem prevenir esta situação.

Catarata

Ocorre, com mais frequência em pessoas com mais de 50 anos. A catarata prejudica a visão porque o cristalino perde parte da sua transparência. O tratamento geralmente é cirúrgico.



Tracoma

É uma inflamação que afeta a córnea e a conjuntiva. Essa doença é causada por vírus. O tracoma é uma doença contagiosa que se propaga de modo semelhante da conjuntivite, por meio das mãos e de objetos contaminados. Os sintomas são fotofobia (grande sensibilidade à luz), dor e lacrimejamento.



Avitaminose A

Isto é, a falta de vitamina A no organismo, prejudica a recepção dos estímulos luminosos pelos sensores oculares. Essa deficiência vitamínica pode levar à cegueira noturna e à xeroftalmia (secura da córnea, que também pode levar a perda de visão).



Cuidados com os olhos

Como vimos, os olhos têm estruturas próprias de proteção. Mas, mesmo assim, devemos ter alguns cuidados especiais com os olhos, consultando sempre o médico:

* Não usar óculos sem receita médica.
* Não usar colírio sem recomendação médica.
* Em caso de cisco, lavar o olho com cuidado, sem esfregá-lo.
* Procurar ler e escrever em lugar adequadamente iluminado.
* Ao assistir televisão e ao ler ou escrever, manter a distância adequada. Da televisão, manter no mínimo 1,5 metros da tela. O livro ou o caderno devem estar a uma distância de 30 cm dos olhos.
* Para usar o computador, posicionar-se entre 45 cm a 70 cm do monitor. A tela deve ter a sua altura regulada um pouco abaixo da altura dos olhos.
* Nunca olhar diretamente para o Sol, pois isso pode causar sérios danos aos olhos. Evitar olhar diretamente para fonte intensa de luminosidade, farol de carro, por exemplo.

Audição

Nossos ouvidos também nos ajudam a perceber o que está ocorrendo a nossa volta. Além de perceberem os sons, eles também nos dão informações sobre a posição de nossos corpos, sendo parcialmente responsáveis por nosso equilíbrio. O pavilhão auditivo (orelha externa) concentra e capta o som para podermos ouvir os sons da natureza, diferenciar os sons vindos do mar do som vindo de um automóvel, os sons fortes e fracos, graves e agudos.

Por possuirmos duas orelhas, uma de cada lado da cabeça, conseguimos localizar a que distância se encontra o emissor do som. Percebemos a diferença da chegada do som nas duas diferentes orelhas. Desse modo, podemos calcular a que distância encontra-se o emissor. Nossas orelhas captam e concentram as vibrações do ar, ou melhor, as ondas sonoras, que passam para a parte interna do nosso aparelho auditivo, as orelhas médias, onde a vibração do ar faz vibrar nossos tímpanos - as membranas que separam as orelhas externas das médias.


Essa vibração, por sua vez, será transmitida para três ossículos, o martelo, a bigorna e o estribo. Através desses ossos, o som passa a se propagar em um meio sólido, sendo assim transmitido mais rapidamente. Assim, a vibração chega à janela oval - cerca de vinte vezes menor que o tímpano - concentrando-se nessa região e amplificando o som.

Da orelha interna, partem os impulsos nervosos. Nosso aparelho auditivo consegue ampliar o som cerca de cento e oitenta vezes até o estímulo chegar ao nervo acústico, o qual levará a informação ao cérebro. Quando movemos a cabeça, movimentamos também os líquidos existentes nos canais semicirculares e no vestíbulo da orelha interna. É esse movimento que gera os estímulos que dão informações sobre os movimentos que nosso corpo está efetuando no espaço e sobre a posição da cabeça, transmitindo-nos com isso a noção de equilíbrio.



A orelha e o equilíbrio

A orelha é mais conhecida como o órgão do sentido da audição, mas ela também ajuda a manter o equilíbrio – a orientação postural – e o senso de direção. Dentro da orelha interna, há um “equipamento” de percepção de equilíbrio: os canais semicirculares, também chamados de labirinto que são preenchidos por líquido. Essas estruturas não participam do processo de audição. Quando movimentamos a cabeça, o líquido se desloca dentro dos canais. O deslocamento desse líquido estimula nervos específicos, que enviam ao cérebro informação sobre a posição do nosso corpo em relação ao ambiente. O nosso cérebro interpreta a mensagem e comanda os músculos que atuam na manutenção do equilíbrio do corpo.



Cuidados com os órgãos auditivos

Para este equipamento funcionar direitinho, cuide bem dele!

* O ouvido está sujo? Limpeza nele! Mas ATENÇÃO: nada de cotonete! Se não você pode fazer o maior estrago no seu ouvido! Peça uma ajudinha a um adulto, para ele mostrar como você deve fazer: é só usar a própria toalha e limpar apenas a parte de fora, na frente e atrás. Pode deixar que o médico cuida da parte de dentro!
* Praia e piscina são uma delícia, e mergulhar é melhor ainda. Mas cuidado: tente não deixar entrar água no ouvido e seque-o depois que sair, virando a cabeça de lado e fazendo uma leve pressão. Mas se você é um grande mergulhador e não consegue ficar parado, peça a um adulto para levá-lo ao médico; ele pode receitar um tampão feito sob medida para você.
* Ouvido também "gasta", sabia? Se você não cuidar bem do seu, pode ficar sem escutar direito... por isso, cuidado ao ouvir música no walkman: o som muito alto faz mal aos delicados órgãos auditivos, e pode até provocar dor de cabeça e zumbido no ouvido. O melhor mesmo é evitar os fones, ou ouvir baixinho.
* Se você já viajou para regiões de serra ou andou de avião, deve ter tido a sensação de ficar "surdo", não é? Isto acontece por causa da mudança de pressão do ar: Para não incomodar muito, quando isto acontecer, você pode engolir saliva várias vezes, ou abrir bem a boca. Em uma viagem longa, é legal chupar uma bala ou mascar chiclete. Não estranhe se seu ouvido ficar "estalando"!



Poluição sonora

Dizemos que há poluição sonora quando os ruídos incomodam por serem altos demais para o nosso sistema auditivo. A audição humana, em níveis normais, capta sons a partir de 10 ou 15 decibéis. Até cerca de 80 a 90 decibéis, os sons são inofensivos à audição humana. Acima dessa medida, podem provocar dores de cabeça, irritabilidade e insônia e, sobretudo, diminuição da capacidade auditiva.



Segundo a OMS, o “volume sonoro” nas cidades não deve ultrapassar 70 decibéis, para evitar a poluição sonora.
Olfato

Podemos adivinhar o que está no forno apenas pelo cheiro que sentimos no ar da cozinha. Esse é o sentido do olfato. Partículas saídas dos alimentos, de líquidos, de flores, etc. chegam ao nosso nariz e se dissolvem no tecido que reveste a região interna do teto da cavidade nasal, a mucosa olfatória. Ali a informação é transformada, para ser conduzida, através do nervo olfatório, até o cérebro, onde será decodificada.



A capacidade do nosso olfato é significativa. Podemos distinguir milhares de odores diferentes e identificar substâncias que têm cheiro forte, mesmo quando muito diluídas. Em relação ao sentido do olfato de outros animais, o nosso não pode ser considerado um dos mais desenvolvidos. O cachorro, por exemplo, tem o olfato muito mais apurado.



Paladar

Mesmo com os olhos vendados e o nariz tapado, somos capazes de identificar um alimento que é colocado dentro de nossa boca. Esse sentido é o paladar. Partículas se desprendem do alimento e se dissolvem na nossa boca, onde a informação é transformada para ser conduzida até o cérebro, que vai decodificá-la. Os seres humanos distinguem as sensações de doce, salgado, azedo e amargo através das papilas gustativas, situadas nas diferentes regiões da língua.



Para sentirmos os diferentes sabores, os grupamentos atômicos dos alimentos são dissolvidos pela água existente em nossa boca e estimulam nossos receptores gustativos existentes nas papilas.


Atuação do olfato em conjunto com o paladar

Quando mastigamos uma goiaba, também sentimos o cheiro que ela exala. Isso ocorre porque as partículas da substância que compõe a fruta – a essência – são captadas pelo sentido olfativo. O fato que podemos detectar pelo olfato a essência da fruta nos possibilita identificar o sabor da goiaba. É pelo olfato que identificamos os sabores específicos, por exemplo, da pêra e da goiaba, mesmo ambas sendo doces. Quando ficamos gripados, podemos constatar a atuação conjunta do olfato e do paladar. Um dos sintomas da gripe ou do resfriado é a produção de muito muco pelo nariz. Isso dificulta a circulação de ar (que carrega as partículas das substâncias) pela cavidade nasal. O ar não chega as células olfativas, prejudicando a percepção dos cheiros. Nessas ocasiões temos a percepção de que os alimentos, até os mais saborosos, perderam o gosto.




Tato

Já a nossa pele nos permite perceber a textura dos diferentes materiais, assim como a temperatura dos objetos, pelas diferenças de pressão, captando as variações da energia térmica e ainda as sensações de dor. Podemos sentir a suavidade do revestimento externo de um pêssego, o calor do corpo de uma criança que seguramos no colo e a maciez da pele de um corpo que acariciamos. Sem essas informações, nossas sensações de prazer seriam diminuídas, poderíamos nos queimar ou nos machucaríamos com frequência. Essa forma de percepção do mundo é conhecida como tato.

Os receptores do tato percebem as diferenças de pressão (receptores de pressão), traduzem informações recebidas pelo contato com diferentes substâncias químicas, percebem também a transferência de energia térmica que ocorre de um corpo para outro (receptores de calor).



Lendo com as pontas dos dedos

Os deficientes visuais podem ler textos, algarismos, notas musicais etc. e também redigir os seus próprios textos pelo sistema braile. O alfabeto desse sistema é constituído de pequenos pontos salientes em uma folha de papel. A leitura é feita por leve pressão da ponta dos dedos sobre os pontos para a percepção de sua posição e número. A escrita é realizada por perfuração do papel por um instrumento apropriado. Isso é possível à grande concentração de receptores sensíveis às pressões na ponta dos dedos.

O sistema braile é utilizado internacionalmente e em todos os idiomas. Ele permite a representação de letras e de diversos outros sinais.
Nossos sentidos nos informam, de várias maneiras, sobre o que está acontecendo a nossa volta. Podemos ver e ouvir, cheirar e sentir sabores. Podemos sentir a textura e a temperatura das coisas que tocamos. Nossos sentidos são impressionados pela matéria e a energia e, assim, nosso organismo entra em contato com o meio ambiente.

No entanto, nossos órgãos dos sentidos são limitados, percebem apenas uma determinada quantidade de comprimentos de ondas luminosas, sonoras, etc. Do mesmo modo, nosso corpo suporta somente uma determinada quantidade de pressão. Mas o homem passou a criar instrumentos para ampliar a sua percepção do mundo, podendo enxergar objetos cada vez menores e maiores, compreender e identificar ultra-sons e infra-sons. Com a possibilidade de um novo olhar, o homem foi encontrando novos problemas, levantando novas hipóteses, chegando a novas conclusões e conhecendo novas realidades.
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