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segunda-feira, 29 de agosto de 2016

MDC e MMC com exercícios

Máximo Divisor Comum - M.D.C.


Definimos Máximo Divisor Comum - M.D.C entre dois ou mais números como sendo o maior divisor comum entre eles.

Exemplo 1 : Consideremos, por exemplo, os números 18 e 30. Determinemos, inicialmente, o conjunto de seus divisores :

D(18) = { 1, 2, 3, 6, 9 e 18 } e D(30) = { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30 }

O Conjunto nos mostra os divisores comuns a 18 e 30 e dentre eles o maior, ou máximo,
será o 6 ; Com isso diremos que : M.D.C ( 18 e 30 ) = 6

Exemplo 2 : Consideremos, por exemplo, os números 24, 60 e 84. Determinemos, inicialmente, seus divisores :

D(24) = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24 },
D(60) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60 } e
D(84) = { 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42 e 84 }

O Conjunto nos mostra os divisores comuns a 24, 60 e 84 e dentre eles o maior, ou
máximo, será o 12 ; Com isso diremos que : M.D.C ( 18, 60 e 84 ) = 12

2.0 - Métodos para o Cálculo do M.D.C.


2.1 - 1º Método: Algoritmo de Euclides, Método das Divisões Sucessivas ou " Jogo da Velha "


Exemplo 1 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre 48 e 72 .

Montemos um diagrama semelhante ao Jogo da Velha e nele colocaremos na ordem decrescente os números dados.

Passo 1 - Dividimos o maior 72 pelo menor 48, o quociente 1 dessa divisão colocaremos acima do divisor 48 e o resto da divisão 24
colocaremos abaixo do dividendo 72.

Passo 2 - Deslocamos o resto obtido 24 para o espaço a direita do divisor e Dividimos este 48 por ele 24, o quociente 2 dessa divisão
colocaremos acima do novo divisor e o resto da divisão 0 colocaremos abaixo do novo dividendo 48. Esse processo será repetido até
que chequemos ao resto zero.

Passo 3 - Quando o resto se tornar igual a zero concluímos que o último divisor será o M.D.C. procurado . Assim: M.D.C. ( 48 e 72 ) = 24



Exemplo 2 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre 324 e 252 .

Montemos um diagrama semelhante ao Jogo da Velha e nele colocaremos na ordem decrescente os números dados.

Passo 1 - Dividimos o maior 324 pelo menor 252, o quociente 1 dessa divisão colocaremos acima do divisor 252 e o resto da divisão 72
colocaremos abaixo do dividendo 324.

Passo 2 - Deslocamos o resto obtido 72 para o espaço a direita do divisor e dividimos este 252 por ele 72, o quociente 3 dessa divisão
colocaremos acima do novo divisor 72 e o resto 36 colocaremos abaixo do novo dividendo 252.

Passo 3 - Deslocamos o resto obtido 36 para o espaço a direita do novo divisor 72 e dividimos este 72 por ele 36, o quociente 2 dessa
divisão colocaremos acima do divisor 36 e o resto da divisão 0 colocaremos abaixo do último dividendo 72.

Passo 4 - Como o resto se tornou igual a zero concluímos que o último divisor é o M.D.C. procurado . Assim M.D.C. ( 324 e 252 ) = 36



2.2 - 2º Método: Decomposição em Fatores Primos


Nesse método iremos decompor os números em fatores primos e aplicarmos a regra :

O M.D.C. entre dois ou mais números é dado pelo produto entre os fatores primos comuns, elevados aos menores expoentes

Exemplo 1 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre 96 e 360.

Decompondo cada um dos números em fatores primos, teremos :

96 = 25 X 3 e 360 = 23 X 32 X 5. E aplicando a regra, teremos :

fatores comuns => 2 e 3 e elevados aos menores expoentes : 23 e 31. Com isso : M.D.C. ( 96 e 360 ) = 23 X 3 = 8 X 3 = 24

Exemplo 2 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre 100, 180 e 840.

Decompondo cada um dos números em fatores primos, teremos :

100 = 22 X 52 180 = 22 X 32 X 5 e 840 = 23 X 3 X 5 X 7

E aplicando a regra, teremos :

fatores comuns => 2 e 5 e elevados aos menores expoentes : 22 e 51. Com isso : M.D.C. (100, 180 e 840) = 22 X 5 = 4 X 5 = 20

Exemplo 3 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre A, B e C, sendo :

A = 22 X 35 X 54
B = 26 X 33 X 53 X 113 e
C = 24 X 34 X 52 X 75

Nesse caso os números já estão decompostos em fatores primos e aplicando a regra, teremos :

Fatores comuns => 2, 3 e 5 e elevados aos menores expoentes : 22, 33 e 52.

Com isso e deixando o resultado indicado como originalmente no exemplo : M.D.C. (A, B e C) = 22 X 33 X 52

3.0 - Características Marcantes do M.D.C.


5.04a - O M.D.C. entre dois ou mais números primos será sempre igual a unidade.

5.04b - O M.D.C. entre dois números consecutivos será sempre igual a unidade.

5.04c - O M.D.C. entre dois ou mais números pares será sempre igual a 2.

5.04d - Se A é múltiplo de B, o M.D.C. entre A e B será igual a B.

5.04e - Se B é divisor de A, o M.D.C. entre A e B será igual a B.

5.04f - Se multiplicarmos dois ou mais números por um número natural maior que zero, o M.D.C. entre eles também ficará multiplicado
por esse número.

5.04g - Se dividirmos dois ou mais números por um número natural maior que zero, o M.D.C. entre eles também ficará dividido por
esse número.

5.04h - Quando o M.D.C. entre dois números, não necessariamente primos, é 1, eles são chamados primos entre si.

4.0 - Mínimo Múltiplo Comum - M.M.C.


Definimos Mínimo Múltiplo Comum - M.M.C entre dois ou mais números como sendo o menor múltiplo comum não nulo entre eles.

Exemplo 1 : Consideremos, por exemplo, os números 12 e 18. Determinemos, inicialmente, o conjunto de seus múltiplos :

M(12) = { 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, … } e M(18) = { 0, 18, 36, 54, 72, 90, … }

O Conjunto nos mostra os múltiplos comuns a 12 e 18 e dentre eles o menor e
não nulo, ou mínimo, será o 36 ; Com isso, diremos que : M.M.C ( 12 e 18 ) = 36

Exemplo 2 : Consideremos, por exemplo, os números 6, 9 e 15. Determinemos, inicialmente, seus múltiplos :

M( 6 ) = { 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, … } ,
M( 9 ) = { 0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, … } e
M( 15 ) = { 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, … }

O Conjunto nos mostra os múltiplos comuns a 6, 9 e 15 e dentre eles o
menor e não nulo, ou mínimo, será o 90 ;

Com isso diremos que : M.M.C ( 6, 9 e 15 ) = 90

5.0 - Métodos para o Cálculo do Mínimo Múltiplo Comum - M.M.C.


5.1 - 1º Método para o Cálculo do M.M.C. : Decomposição em Fatores Primos


Nesse método iremos decompor os números em fatores primos e aplicarmos a regra :

O M.M.C. entre dois ou mais números é dado pelo produto entre todos os fatores primos, comuns e não comuns, elevados aos maiores
expoentes

Exemplo 1 : Calculemos, por exemplo, o M.M.C entre 24 e 50.

Decompondo cada um dos números em fatores primos, teremos : 24 = 23 X 31 e 50 = 21 X 52. E aplicando a regra, teremos :

todos os fatores => 2, 3 e 5 e elevados aos maiores expoentes : 23, 31 e 52. Com isso :

M.M.C. ( 24 e 50 ) = 23 X 31X 52 = 8 X 3 X 25 = 600

Exemplo 2 : Calculemos, por exemplo, o M.M.C entre A, B e C, sendo :

A = 22 X 35 X 5
B = 23 X 33 X 53 X 73
C = 24 X 34 X 52 X 74

Nesse caso os números já estão decompostos em fatores primos e aplicando a regra, teremos :

Todos os fatores => 2, 3, 5 e 7 e elevados aos maiores expoentes : 24, 35, 53 e 74. Com isso e deixando o resultado indicado como
originalmente no exemplo, teremos :

M.M.C. (A, B e C) = 24 X 35 X 53 X 74.

5.2 - 2º Método para o Cálculo do M.M.C. : Decomposição Simultânea.


Nesse método iremos decompor os números simultaneamente em fatores primos :

Exemplo 1 : Calculemos, por exemplo, o M.M.C entre 12 e 20.

Passo 1 - Coloquemos lado a lado os números e a direita deles tracemos uma linha vertical

Passo 2 - A partir daí dividiremos cada número pela sucessão dos números primos, enquanto pelo menos um deles for divisível a
operação deve ser continuada, e nesse caso repetiremos o número não divisível até que não seja mais possível também para o outro,
ou nenhum dos outros, a divisão.

Passo 3 - Quando cada coluna a esquerda apresentar a unidade, o produto de todos os fatores encontrados a direita nos dará o M.M.C. .



Com Isso o M.M.C. entre 12 e 20 será 22 X 3 X 5 = 60

Exemplo 2 : Calculemos, agora, o M.M.C entre 8, 14 e 20.



Com Isso o M.M.C. entre 8, 14 e 20 será 23 X 3 X 5 = 120

5.3 - 3º Método para o Cálculo do M.D.C. : Decomposição Simultânea.


Como já conhecemos como funciona o cálculo do M.M.C. pelo método da decomposição simultânea, podemos aplicá-lo também para
o cálculo do M.D.C.:

Exemplo 1 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre 12 e 60 e 72.

Passo 1 - Faremos exatamente com se fossemos calcular o M.M.C. entre eles

Passo 2 - Quando cada coluna a esquerda apresentar a unidade, o produto de todos os fatores encontrados a direita do traço que
dividiram simultameamente todos os 3 números nos dará o M.D.C. entre eles.

12 , 60 , 72 2 <<<
6 , 30 , 36 2 <<<
3 , 15 , 18 2
3 , 15 , 9 3 <<<
1 , 5 , 3 3
1 , 5 , 1 5
1 , 1 , 1

Assinalamos com as 3 setinhas os fatores que dividiram ao mesmo tempo os 3 números. O produto desses números assinalados nos dará
o M.D.C. entre eles.

Com Isso o M.D.C entre 12 e 60 e 72 será 22 X 3 = 12

6.0 - Características Marcantes do M.M.C.


5.09a - O M.M.C. entre dois ou mais números primos será sempre igual ao produto entre eles.

5.09b - O M.M.C. entre dois números consecutivos será sempre igual ao produto entre eles.

5.09c - Se A é múltiplo de B, o M.M.C. entre A e B será igual a A.

5.09d - Se B é divisor de A, o M.M.C. entre A e B será igual a A.

5.09e - Se multiplicarmos dois ou mais números por um número natural maior que zero, o M.M.C. entre eles também ficará
multiplicado por esse número.

5.09f - Se dividirmos dois ou mais números por um número natural maior que zero, o M.D.C. entre eles também ficará dividido
por esse número.

7.0 - Propriedade Importante entre M.D.C. e M.M.C.


Dados dois números A e B, o produto entre seu M.D.C. e o seu M.M.C. , será igual ao produto A X B entre eles. Ou seja :

M.M.C. ( A e B ) x M.M.C.( A e B ) = A X B


Tente provar essa importante propriedade. É mais fácil que você imagina.

Importante: Essa propriedade somente é válida para o M.D.C. e o M.M.C. entre dois números

8.0 - Exercícios Propostos


I - Determine o M.D.C. entre :

01) dois números pares e consecutivos 02) dois números consecutivos
03) dois números ímpares e consecutivos 04) dois números primos
05) dois múltiplos pares e naturais de 9 06) 3 números terminados em 5
07) dois múltiplos inteiros de 7, positivos e consecutivos 08) dois múltiplos naturais cuja diferença é o triplo do menor


II - Determine pelo Algoritmo de Euclides ( Jogo da Velha ) o M.D.C. entre :

09) 24 e 60 10) 96 e 180 11) 132 e 198
12) 247 e 299 13) 624 e 720


14) Um aluno ao determinar o M.D.C. entre dois números pelo método das divisões sucessivas encontrou para M.D.C. 36 e
respectivamente os quocientes 1, 3 e 2. Cálculos esses dois números.

15) Um aluno ao determinar o M.D.C. de dois números pelo Algoritmo de Euclides encontrou 21 para M.D.C. e respectivamente
os quocientes 4, 2 e 2. Cálculos o maior desses números.

16) O M.D.C. de dois números determinado pelo Algoritmo de Euclides é 27. Se os 4 quocientes encontrados são distintos e os
menores possíveis, determi-ne o menor desses dois números.

17) Explique por que no cálculo do M.D.C. de dois números pelo Algoritmo de Euclides o último quociente encontrado é sempre
maior que a unidade.

III - Determine o M.D.C. entre :

18) 320 e 448 19) 462 e 1.386 20) 975 e 455
21) 28, 77 e 84 22) 108, 120 e 144 22) 60, 72, 96 e 156


IV - Qual é o maior número que divide exatamente :
23) 39, 65 e 143 24) 702 e 918 25) 519, 1.038 e 1.557


26) Qual é o maior número pelo qual devemos dividir 270 e 240 para obtermos, respectivamente, os restos 10 e 9 :

27) Qual é o maior número pelo qual devemos dividir 160, 220 e 472 para obtermos, respectivamente, os restos 7, 16 e 13

28) Ao dividirmos 167, 237, 379 e 593 pelo maior número possível, obtemos respectivamente os restos 23, 21,19 e 17.
Calcule esse número.

V - Encontrar dois números conhecendo-se sua soma S e seu M.D.C.. ( Obs : Dar todas as soluções possíveis )

29) Soma = 384 e M.D.C. = 24 30) Soma = 740 e M.D.C. = 37 31) Soma = 840 e M.D.C. = 56


VI - Encontrar dois números conhecendo-se sua soma D e seu M.D.C.. ( Obs : Dar todas as soluções possíveis )

32) Diferença = 75 e M.D.C. = 15 33) Diferença = 108 e M.D.C. = 18 34) Diferença = 378 e M.D.C. = 42


VII - Encontrar dois números conhecendo-se seu produto P e seu M.D.C.. ( Obs : Dar todas as soluções possíveis )

35) Produto = 1 536 e M.D.C. = 12 36) Produto = 1 792 e M.D.C. = 8 37) Produto = 4 320 e M.D.C. = 6


38) Encontrar três números distintos de 2 algarismos cujo M.D.C. é 13 e cuja soma é igual a 91.

VIII - Determine o M.MC. entre :

39) dois números pares e consecutivos 40) dois números consecutivos
41) dois números ímpares e consecutivos 42) dois números primos
43) dois múltiplos pares e naturais de 3 44) dois múltiplos naturais cuja diferença é o triplo do menor


IX - Determine o M.M.C. entre :

45) 32 e 48 46) 72 e 120 47) 26 e 65
48) 6, 7 e 210 49) 8, 12 e 14 50) 21, 28 e 36


X - Qual é o menor número simultaneamente divisível por :

51) 3, 4, 5, 6, 7 e 8 52) 2, 3 , 5, 8, 9 12 e 15 53) 11, 22, 33, 44 e 55
54) pelos 5 primeiros múltiplos positivos de 3 55) pelos números naturais menores que 11


XI - Determine o menor dos números que dividido por :

56) 12, 15 e 18 deixa o resto 8 57) 15, 24 e 30 deixa o resto 11
58) 24, 30, 36 e 60 deixa o resto 16 59) 32, 38 e 42 deixa o resto 17


XII - Encontrar dois números conhecendo-se sua soma S e seu M.M.C..

60) Soma = 30 e M.M.C. = 36 61) Soma = 140 e M.M.C. = 240 62) Soma = 168 e M.M.C. = 288


XIII - Encontrar dois números conhecendo-se sua soma P e seu M.M.C..

60) Produto = 360 e M.M.C. = 120 61) Produto = 2 160 e M.M.C. = 360 62) Produto = 1176 e M.M.C. = 108


63) Se o M.M.C. entre 70A e 56B é igual a 3 080. Determine os pares de valores possíveis para A e B.

XIV - Calcular o M.D.C. e o M.M.C. entre :

64) A = 23 x 34 x 5 e B = 22 x 32 x 52 65) P = 22 x 33 x 7 e Q = 2 x 34 x 5
66) M = 22 x 53 x 11 e N = 23 x 72 x 132 67) E = 23 x 3 x 5 x 72 , F = 22 x 33 x 52 x 112 e G = 2 X 32 X 73 X 112 X 17
68) A = 23 x 34 x 5 x 72 , B = 22 x 32 x 52 x 112 e C = 24 x 33 x 52 x 19 69) J = 23 x 34 x 5 x 72 , K = 22 x 32 x 52 x 112 e L = 24 x 33 x 52 x 19
70) M = 4 x 64 x 5 e P = 8 x 272 x 152


XV - Calcular o valor de n para as condições dadas :

71) A = 2n x 33 x 72 ; B= 24 x 32 x 7 x 112 para M.D.C. ( A e B ) = 23 X 32 X 7
72) Q = 22n x 32 x 52 ; B = 23 x 3n x 5 x 73 para M.M.C. ( A e B ) = 60
73) P = 24n x 9 ; B = 27 x 35 para M.D.C. ( A e B ) = 22 x 64
74) M = 30n X 7 ; B = 22 X 9 X 352 para M.M.C. ( A e B ) = 100 X 9 X 49


XVI - Calcular o valor de n + p para as condições dadas :

75) A = 2n X 33 X 132 ; B = 24 X 3p X 11 X 13 para M.D.C. ( A e B ) = 23 X 32 X 13
76) A = 2n X 32 X 11 ; B = 24 X 3p X 7 X 112 para M.M.C. ( A e B ) = 25 X 33 X 7 X 112


77) Calcular o valor da soma m + n + p tal que o M.D.C. entre A = 2m X 33 X 5p e B = 22 X 3n X 53 seja igual a 63 X 75

78) Dois números distintos A e B são os menores possíveis e podem ser representados, exclusivamente, pelos 3 menores fatores
primos. Se os expoentes do menor deles são números consecutivos. Determine o M.D.C. e o M.M.C. entre eles.

79) O produto de dois números A e B é igual a 360. Se o M.D.C. entre eles é 24, Calcule o seu M.M.C..

80) Uma doceria tem em estoque 150 balas de coco, 180 balas de chocolate e 240 balas de leite. Quantas balas de cada sabor se deve
colocar em caixas decoradas, sabendo que essas quantidades devem ser as maiores possíveis.

81) Três automóveis disputam uma corrida em uma pista circular. O mais rápido deles dá uma volta em 10 minutos, um outro leva
15 minutos e o terceiro e mais lento demora 18 minutos para dar uma volta completa. No fim de quanto tempo os 3 automóveis
voltarão a se encontrar no inicio da pista se eles partiram exatamente no mesmo instante.

82) Três automóveis disputam uma corrida em uma pista circular. Um deles dá uma volta em 18 minutos, um outro leva 20 minutos e o
terceiro demora 25 minutos para dar uma volta completa. Se eles partiram exatamente às 15 horas, Que horas serão quando os 3
automóveis voltarão a se encontrar no inicio da pista após 3 horas de corrida ?

83) Três netas visitam sua avó, respectivamente, em intervalos de 5 dias, de 7 dias e de 9 dias. Se a última vez em que as três se
encontraram na casa de sua avó foi no mês de Maio, em que mês do segundo semestre eles tornarão a se encontrar ?

84) Determine o menor número que ao ser dividido por por 11, 12 e 16 deixa, respectivamente, os restos 5, 6 e 10.

85) Determine o menor número de 4 algarismos que dividido por por 12, 15, 18 e 24 deixa, respectivamente, os restos 7, 10, 13 e 19.

9.0 - Questões de Concurso


86) ( CEFETQ - 1997 ) Determinar o maior número pelo qual se deve dividir os números 165 e 215 para que os restos sejam 9 e 11,
respectivamente.

87)( UFMG - 1996 ) O número de três algarismos divisível ao mesmo tempo por 2, 3, 5, 6, 9 e 11 é :

(A) 330 (B) 660 (C) 676 (D) 900 (E) 996


88) ( UNIFACS - 1997 ) O número de alunos de uma sala de aula é menor que 50. Formando-se equipes de 7 alunos, sobram 6.
Formando-se equipes de 9 alunos, sobram 6. Formando-se equipes de 9 alunos , sobram 5. Nessas condições, se forem formadas
equipes de 8 alunos, o número de alunos que sobram é :

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5


89) ( PUC/CAMPINAS - 1995 ) Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feito na máquina A a cada 3 dias, na máquina B,
a cada 6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita a manutenção das três máquinas, a próxima vez em que a manutenção ocorreu
no mesmo dia foi em :

(A) 5 de Dezembro (B) 6 de Dezembro (C) 8 de Dezembro (D) 14 de Dezembro (E) 26 de Dezembro


90) ( PUC/CAMPINAS - 1998 ) Uma editora tem em seu estoque 750 exemplares de um livro A, 1200 de um livro B e 2 500 de um livro C.
Deseja-se remetê-los a algumas escolas em pacotes, de modo que cada pacote os três tipos de livros em quantidades iguais e com o
maior número possível de exemplares de cada tipo. Nessas condições, remetidos todos os pacotes possíveis, o número de exemplares
que restarão no estoque é :

(A) 1.500 (B) 1.750 (C) 2.200 (D) 1.600 (E) 2.000

91) ( UNIARARAS - 1997 ) As cidade de Araras, Leme e Conchal realizam grandes festas periódicas, sendo as de Araras de 9 em
9 meses, as de Leme de 12 em 12 meses e as de Conchal de 20 em 20 meses. Se em Março de 1985 as festas coincidiram, então a
próxima coincidência foi em :

(A) Março de 1995 (B) Março de 2000 (C) Março de 1996 (D) Dezembro de 1999 (E) Nunca mais
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Aranha


Reino: Animália
Filo: Arthropoda
Classe: Arachnida
Ordem: Araneae

As aranhas não são insetos, diferenciam-se dos mesmos pelas seguintes características: não possuem asas ou antenas; têm quatro pares de pernas; produzem teia. A aranha é um animal artrópode, existem cerca de 40.000 espécies de aranhas.

As aranhas respiram através de filotraquéias, pulmões foliares. Seu corpo é dividido em cefalotórax e abdômen. Alimentam-se de líquidos.

O estudo das aranhas denomina-se aracnologia.

Apesar de todas as aranhas possuírem glândulas produtoras de veneno, poucas são perigosas.

O veneno da aranha interrompe a informação entre o sistema nervoso e os músculos, provocando paralisia.

O tratamento sintomático é à base de anestésicos e analgésicos.
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Área do setor circular

Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com          

Área do setor circular

Marcelo Rigonatto


Setor circular
Sabemos que a área de uma circunferência é diretamente proporcional ao tamanho do seu raio e é obtida fazendo π∙r2, onde π equivale, aproximadamente, 3,14. O setor circular é uma parte da circunferência limitada por dois raios e um arco central. A determinação da área do setor circular depende da medida desse ângulo central e do comprimento do raio da circunferência.
Como uma volta completa na circunferência equivale a 360o, podemos pensar da seguinte maneira para obter uma fórmula para calcular a área do setor circular:

360o -------------- π∙r2
α ------------------ Asetor


Assim, teremos:
Onde,
α → é o ângulo central do setor circular.
r → é o raio da circunferência.

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 1. Determine a área do setor circular abaixo. (Use π = 3,14)


Solução: Como conhecemos o raio e a medida do ângulo central, basta substituir esses valores na fórmula da área do setor circular.

Exemplo 2. Numa circunferência de área igual a 121π cm2, calcule a área do setor circular delimitado por um ângulo central de 120o.

Solução: Para solução desse problema devemos verificar que no numerador da fórmula da área do setor circular, a medida do ângulo central α está multiplicando a área da circunferência, dessa forma teremos:

Eutérios




Os animais eutérios pertencem ao maior grupo da classe dos mamíferos, compreendendo aproximadamente cinco mil espécies: aproximadamente 95% dos representantes desta classe, com grande diversidade de adaptações aos mais diferentes tipos de ambientes. Oceanos, águas continentais, espaço aéreo, montanhas, regiões polares, desertos, bosques e savanas são alguns ambientes nos quais podemos encontrá-los.

Também chamados de placentários, estes indivíduos se desenvolvem no interior do útero materno, recebendo nutrientes e oxigênio, e eliminando produtos do metabolismo via placenta.

Ao nascer, apresentam-se embriologicamente mais desenvolvidos que os marsupiais e monotremados. Outro aspecto que diferencia os eutérios destes outros dois grupos de mamíferos é a ausência de cloaca, apresentando ânus e uma abertura para a eliminação de compostos nitrogenados; e a presença de tetas ou mamilos.

Exceto o peixe-boi, tamanduá, preguiça-de-dois-dedos e preguiça-de-três-dedos; todos os representantes placentários possuem sete vértebras cervicais.

Morcegos (Ordem Chiroptera); tamanduás e preguiças (Ordem Pilosa); tatus (Ordem Cingulata) coelhos e lebres (Ordem Lagomorpha); ratos, capivaras, esquilos e porco-espinho (Ordem Rodentia); baleias e golfinhos (Ordem Cetacea); cães, leões e hienas (Ordem Carnivora); rinocerontes, cavalos, antas e zebras (Ordem Perissodactyla); camelos, porcos, veado, boi e carneiros (Ordem Artiodactyla); elefantes (Ordem Proboscidea); peixes-boi (Ordem Sirenia); e lêmures, macacos e seres humanos (Ordem Primates); são apenas alguns poucos representantes deste grupo.

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Elipse

Colégio Estadual Dinah Gonçalves
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ELIPSE

É o lugar geométrico dos pontos de um plano tal que a soma de suas distâncias a dois pontos fixos, denominados focos, F1 e F2, é constante, igual a 2a e maior que a distância entre os focos (2a > 2c)



EQUAÇÃO DA ELIPSE COM CENTRO NA ORIGEM
Considere a elipse com as extremidades do eixo maior nos pontos A1(-a, 0) e A2(a, 0), do eixo menor em B1(0, b) e B2(0, -b) e, conseqüentemente, o centro em O (0, 0). Considere também um ponto P (x, y) qualquer da curva. Com isso, obteremos, depois de certos procedimentos matemáticos, a equação reduzida da elipse.





HIPÉRBOLE

É lugar geométrico dos pontos P (x, y) de um plano tal que a diferença (em módulo) de suas distâncias a dois pontos fixos F1 e F2 é constante (2a < 2c), com . = 2c.



extraido de www.colegioweb.com.br

Área do triângulo

Considere um triângulo no plano cartesiano de vértices A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC). A área desse triângulo é dada por:

Observe que a área é obtida multiplicando ½ pelo módulo do determinante das coordenadas dos vértices.

Exemplo 1. Determine a área de um triângulo de vértices A(3, 3), B(6, 3) e C(3, 5).
Solução: vamos fazer o cálculo do determinante das coordenas dos vértices do triângulo.


Exemplo 2. Determine o valor de k para que o triângulo de vértices A(0, 0), B(k, 0) e C(0, k) tenha uma área de 32 unidades de área.
Solução: primeiro devemos realizar o cálculo do determinante das coordenadas dos vértices do triângulo. Teremos:



Exemplo 3. Calcule a área do triângulo de vértices A(0, 2), B(8, 6) e C(14, – 8).
Solução: realizando o cálculo do determinante das coordenadas dos vértices dos triângulos, obtemos:

Por Marcelo Rigonatto
Especialista em Estatística e Modelagem Matemática

Vermes, Bactérias e Vírus


Colégio Estadual Dinah Gonçalves
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► Vermes, Bactérias e Vírus

Vermes

Nome popular dos seres vivos pluricelulares pertencentes aos filos platelmintos e nematelmintos do reino Metazoa. Apresentam corpos tubulares alongados, que podem ser achatados (platelmintos) ou cilíndricos (nematelmintos). Alguns têm vida livre e vivem no mar, rios ou ambientes terrestres, e outros são parasitas, ou seja, vivem às custas dos animais hospedeiros. Os parasitas causam doenças infecciosas e parasitárias como ascaridíase, amarelão, cisticercose, esquistossomose e teníase ou solitária.

Platelmintos - Dividem-se em três classes: tuberlários, trematódeos e cestódeos de acordo com o modo de vida (livre ou parasitária). Os tuberlários, como a planária (Dugesia tigrina), são seres de vida livre. Os trematódeos podem ser ectoparasitas (vivem externamente ao hospedeiro), como o Gyrodactylus, que habita as brânquias de certos peixes, ou endoparasitas (vivem e reproduzem-se no interior do hospedeiro). Exemplos de endoparasitas são a Fasciola hepatica, que habita o fígado do carneiro, e o Schistosoma mansoni, que causa a esquistossomose. No ciclo de vida de um trematódeo, os vermes adultos produzem ovos que são eliminados do hospedeiro definitivo (homem) e originam vários estágios larvais relacionados ao hospedeiro intermediário (molusco aquático). Os cestódeos são todos endoparasitas, como as tênias. As formas adultas da tênia produzem a teníase no hospedeiro definitivo (o homem) e as formas larvais são responsáveis pela cisticercose, na qual o homem serve como hospedeiro intermediário.

Nematelmintos - Os nematelmintos podem ter vida livre ou ser parasitas de plantas e animais. Neste caso, os vermes adultos habitam a cavidade intestinal do hospedeiro e produzem ovos, que eliminados pelas fezes contaminam a água e os alimentos. Em seu ciclo de vida não há hospedeiro intermediário. O nematelminto parasita mais conhecido é o Ascaris lumbricoides, a lombriga, que provoca a ascaridíase. Outros exemplos de nematelmintos são o Necator americanus e o Ancylostoma duodenale, que habitam o intestino humano e provocam a doença conhecida como amarelão.

Doenças infecciosas

Processos infecciosos causados por diferentes microrganismos: bactérias , fungos, protozoários, vermes e vírus que penetram, se desenvolvem e se multiplicam no organismo humano. Quando o agente causador é um protozoário ou um verme, a doença infecciosa é chamada de parasitária.

Segundo seu aparecimento e evolução, as doenças infecciosas podem ser epidêmicas, endêmicas e pandêmicas. As doenças epidêmicas são aquelas com ocorrência de muitos casos num dado período e com tendência a desaparecer, como o dengue e a cólera. As endêmicas apresentam quantidade significativa de casos em certas regiões, como a malária na Amazônia. E as pandêmicas são as que têm muitos casos espalhados pelo planeta ou continente, como a Aids .

Uma parte das doenças infecciosas pode ser evitada com vacinas específicas e medidas de educação sanitária, como beber água fervida ou clorada e só comer verduras e legumes crus bem lavados.

Segundo o Ministério da Saúde, as doenças infecciosas e parasitárias foram responsáveis por 39.548 óbitos no país em 1995, o correspondente a 5,3% do total de mortes no ano.

Formas de contágio - As doenças infecciosas podem ser transmitidas por contato direto, indireto, por uma fonte comum contaminada ou por vetores (agentes que transmitem os microrganismos). Formas de contato direto são, por exemplo, muco ou gotículas de saliva expelidas ao tossir, espirrar ou falar. O contato indireto dá-se por vias como o uso compartilhado de determinados objetos. Fontes comuns contaminadas podem ser sangue (no caso de uma transfusão sanguínea), água e alimentos. Exemplos de vetores são mosquitos e caramujos. Várias doenças infecciosas têm mais de uma forma de contágio.

Parasitismo - Relação temporária entre seres de espécies diferentes, na qual um deles, o parasita, vive às custas do outro, o hospedeiro. Nessa associação, o parasita obtém alimento através do hospedeiro, que é prejudicado de alguma forma. Os parasitas mais comuns são os protozoários e os vermes. O parasitismo pode ser externo (ectoparasitismo), como piolhos, pulgas e carrapatos, ou interno (endoparasitismo), como protozoários e vermes.

Bactéria

Ser vivo unicelular e microscópico, pertencente ao Reino Monera. Assim como todos os seres deste grupo, é formada por uma célula procarionte (desprovida de membrana nuclear). Por não apresentar o envoltório protetor do núcleo, o material genético (cromatina), constituído por uma única molécula de DNA (ácido desoxirribonucléico), encontra-se disperso no citoplasma. Apresenta membrana plasmática recoberta e protegida pela parede celular, de consistência gelatinosa. As bactérias causam várias doenças infecciosas . A transmissão pode ser feita pelo ar ou por contato direto (gotículas de saliva ou muco) ou indireto.

As bactérias podem ser classificadas segundo a forma. As esféricas são chamadas cocos; as alongadas em forma de bastão são os bacilos; as espiriladas, espirilos; e as em formato de meia-espiral denominam-se vibriões. Algumas espécies, para melhor desenvolverem as funções de nutrição e proteção, podem apresentar-se em agrupamentos celulares (colônias). Os agrupamentos podem ser aos pares (diplococos), em forma de colar (estreptococos) ou de cacho de uva (estafilococos). Muito resistentes a variações de temperatura e também a agentes químicos, algumas bactérias apresentam filamentos móveis chamados flagelos, para a locomoção. A maioria das doenças causadas por bactérias é tratada com antibióticos, substância produzida por microrganismos (os mais comuns são os fungos) ou sintetizada em laboratório, capazes de impedir o crescimento ou mesmo destruir as bactérias. Porém, o tratamento nem sempre é eficaz, pois elas desenvolvem resistência contra determinados medicamentos, que perdem seu efeito.

Algumas espécies de bactérias podem provocar doenças fatais. É o caso da Staphylococcus aureus (causa infecções de pele) e da Streptococcus beta hemolíticos (causadora da escarlatina), que estimulam a superativação dos linfócitos , os glóbulos brancos responsáveis pela defesa do organismo. Ao produzirem grande quantidade de citosinas e óxido nítrico, causam um grave desequilíbrio na composição e circulação sanguínea , que pode resultar na morte do paciente. Este quadro clínico é conhecido como Síndrome da Reação Inflamatória Sistêmica (SIRS). Outros tipos, como a Escherichia coli (causadora de diarréia) e a Salmonella typhi (causadora da febre tifóide), que se alojam na região intestinal, podem atingir a circulação sanguínea e provocar uma infecção generalizada, que também pode levar à morte. Mas a maior parte das espécies de bactéria é benéfica ao homem. Elas são responsáveis, por exemplo, pela fixação do nitrogênio da atmosfera no solo, fundamental para o desenvolvimento das plantas. Também realizam a fermentação necessária para a fabricação de produtos como vinagres e queijos.

Vírus

Ser vivo microscópico e acelular (não é composto por células) formado por uma molécula de ácido nucléico (DNA ou RNA), envolta por uma cápsula protéica. Apresenta-se sob diferentes formas: oval, esférica, cilíndrica, poliédrica ou de bastonete. Por ser incapaz de realizar todas as funções vitais, é sempre um parasita celular, ou seja, necessita de um animal, planta ou bactéria para multiplicar-se e desenvolver-se. Ao se reproduzir dentro de uma célula, acaba por lesá-la. Na reprodução, qualquer modificação no DNA provoca uma mutação, gerando novos tipos de vírus.

Grande parte das doenças infecciosas e parasitárias é causada por vírus, como a Aids , a catapora, a dengue, a rubéola e o sarampo. A transmissão pode ser feita pelo ar, por contato direto (gotículas de saliva ou muco) e indireto (utensílios, água e alimentos contaminados ou picada de animais). O tratamento de uma infecção viral geralmente é restrito apenas ao alívio dos sintomas, com o uso de analgésicos e antitérmicos para diminuir a dor de cabeça e reduzir a febre. Há poucas drogas que podem ser usadas no combate de uma infecção viral, pois ao destruírem o vírus acabam por destruir também a célula. Quase todas as doenças causadas por vírus podem ser prevenidas com vacinas.

A febre é um sintoma comum a todas as infecções virais. Outros sinais característicos presentes na maioria das infecções são dor de garganta, fadiga, calafrio, dor de cabeça e perda de apetite. Mas grande parte das doenças apresenta uma sintomatologia própria. Por exemplo, a manifestação de pequenas elevações eruptivas avermelhadas na pele caracteriza a rubéola e a catapora ou varicela. No sarampo, são comuns erupções na mucosa bucal e o surgimento de manchas avermelhadas na pele. A inflamação e o inchaço das glândulas salivares são sintomas específicos da caxumba. Na poliomielite ocorre rigidez da nuca e perturbações físicas que podem causar paralisia e atrofia de certas partes do corpo. Na febre amarela e na hepatite infecciosa viral há náuseas e vômitos.

Autoria: Ricardo Lago Oliveira

Distância entre dois pontos

Professor de Matemática e Ciências Antonio Carlos Carneiro Barroso
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com
Blog HTTP://ensinodematemtica.blogspot.com
http://accbarrosogestar.blogspot.com.br

Distância entre dois pontos

Carlos Alberto Campagner
A simples medida da distância entre dois pontos, que envolve a utilização de réguas e escalas, na geometria analítica, se resume a uma fórmula facilmente dedutível:


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O triangulo ABC é um triângulo retângulo, portanto vale o teorema Pitágoras, em que a distância AB é a hipotenusa, logo:


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