quinta-feira, 5 de março de 2015

Raiz quadrada por fatoração

Professor de Matemática e Ciências Antonio Carlos Carneiro Barroso
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com
Blog HTTP://ensinodematemtica.blogspot.com
http://accbarrosogestar.blogspot.com.br 
extraído do www.bancodeconcursos.com
Fatorar significa escrever um número através da multiplicação de fatores primos. Lembrando que números primos são aqueles que somente são divisíveis por 1 e ele mesmo. A fatoração de números é um processo prático muito comum em situações que envolvem cálculo de raízes, simplificação de raízes, máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum.
O processo consiste em dividir um número natural pelos algarismos primos sequenciais: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 e assim sucessivamente. Os números resultantes da divisão serão os fatores primos do número. Observe como proceder na fatoração do número 1260:

A forma fatorada do número 1260 é: 2 x 2 x 3 x 3 x 5 x 7.
Cálculo de raízes utilizando fatoração
Determinar a raiz quadrada de um número consiste simplesmente em descobrir o número que elevado ao quadrado resulta no algarismo que está dentro da raiz. Algumas raízes são determinadas mentalmente, por exemplo:
√25 = 5, pois 5² = 25
√9 = 3, pois 3² = 9
√81 = 9, pois 9² = 81
√100 = 10, pois 10² = 100
Mas algumas raízes envolvem números grandes, e, nesse caso, buscar resultados mentais para resolução pode se tornar um processo longo e cansativo. Quando essas raízes aparecerem, utilize a fatoração e agrupe os números de acordo com o índice da raiz. Por exemplo, vamos determinar a raiz quadrada do número 484.
1º passo: fatorar o número

2º passo: como a raiz é quadrada, o índice da raiz é 2. Então vamos agrupar os fatores semelhantes como potências de expoente igual a 2.
484 = 2 * 2 * 11 * 11 = 2² * 11², então:
√484 = √2² * 11² = 2 * 11 = 22
A raiz quadrada do número 484 é 22, pois 22 * 22 = 484
Observe outro exemplo:
Determinar a (raiz cúbica de 27000). Seria complicado descobrir o número que elevado ao cubo resulte em 27000, por isso, vamos fatorar.

O índice da raiz é igual a três, então os fatores semelhantes serão agrupados três a três, se possível.
27500 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 3 * 5 * 5 * 5 = 2³ * 3³ * 5³, então:
√27500 = √2³ * 3³ * 5³ = 2 * 3 * 5 = 30

A raiz cúbica do número 27000 é 60, pois 30 * 30 = 900.
Simplificação de raízes
Algumas raízes não possuem resultado exato, por isso devemos pelo menos utilizar a simplificação de raízes utilizando a fatoração. Por exemplo, vamos simplificar a seguinte expressão: √72 (raiz quadrada do número 72).

72 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 = 2² * 2 * 3²
√72 = √2² * 2 * 3² = 2 * 3 * √2 = 6√2

Portanto, a forma fatorada de √72 é 6√2.
Veja outro exemplo:
Vamos simplificar a expressão √2205.

2205 = 3 * 3 * 5 * 7 * 7 = 3² * 5 * 7²
√2205 = √3² * 5 * 7² = 3 * 7 * √5 = 21√5

A forma simplificada de √2205 é 21√5.

Equação geral da reta

Professor de Matemática no Colégio Estadual Dinah Gonçalves
E Biologia na rede privada de Salvador-Bahia email accbarroso@hotmail.com

Equação geral da reta

Helena Meidani

Sabemos que a distância (d) entre dois pontos dados - A (xA; yA) e B (xB; yB) - num plano cartesiano pode ser calculada pela fórmula:

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Então, para conhecer as coordenadas de um ponto P (x; y) equidistante de dois pontos A (-3, 5) e B (4; -2), devemos considerar dAP = dPB:

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Elevando ao quadrado os dois membros da equação: (-3 - x)2 + (5 - y)2 = (x - 4)2 + (y + 2)2

Desenvolvendo os quadrados: 9 + 6x + x2 + 25 - 10y + y2 = x2 - 8x + 16 + y2 + 4y + 4

Reduzindo os termos semelhantes:
14x - 14 y + 14 = 0

Simplificando:
x - y + 1 = 0

Vejamos que significado tem essa equação, atribuindo valores arbitrários a x e calculando y:

x y
-4
- 3
-3 -2
-2 -1
-1 0
0 1
1 2
2 3
3 4
4 5

Marcados no plano cartesiano, os pares x e y encontrados representam um reta.

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Isso significa que não existe apenas um ponto P equidistante dos pontos A e B, mas infinitos, compondo a mediatriz do segmento , que é uma reta.
Assim, que a reta é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de dois pontos dados, e sua equação geral pode ser expressa por:

ax + by + c = 0

No caso particular da reta que calculamos aqui, x ? y + 1 = 0, seus coeficientes são:
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Introdução ao estudo dos conjuntos

Professor de Matemática no Colégio Estadual Dinah Gonçalves
E Biologia na rede privada de Salvador-Bahia
Professor Antonio Carlos carneiro Barroso
email accbarroso@hotmail.com

Introdução ao estudo dos conjuntos

Por Marcelo Rigonatto


Teoria de conjuntos
O estudo sobre teoria dos conjuntos é atribuído ao russo George Ferdinand Cantor (1845 – 1918). Podemos definir conjunto como sendo um agrupamento de elementos com características comuns. Compreender a teoria de conjuntos é fundamental para resolução de diversas situações-problema da matemática.

Os conjuntos são representados sempre por uma letra maiúscula do alfabeto e podem ser expressos das seguintes formas:

1. Por extenso: A = {6, 8, 10, 12, 14}
2. Por descrição: B = {x: x é um número ímpar maior que 7} → lê-se: B é um conjunto formado por elementos x, tal que x é um número ímpar maior que 7.
3. Pelo diagrama de Venn-Euler:
Um conjunto pode: apresentar infinitos elementos, sendo classificado como conjunto infinito; apresentar um número finito de elementos, denominado de conjunto finito; apresentar somente um elemento, sendo chamado de conjunto unitário; ou não possuir nenhum elemento, sendo classificado como conjunto vazio. Vejamos alguns exemplos de cada um desses conjuntos.

1. Conjunto Infinito
A = {x: x é um número par} = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...}

2. Conjunto Finito
B = {x: x é um número par menor que 11} = {0, 2, 4, 6, 8, 10}

3. Conjunto Unitário
C = {x: x é um número primo e par} = {2}

4. Conjunto Vazio
D = {x: x é um número primo menor que 2} = { } = ø

Relação de pertinência

A relação de pertinência é utilizada para determinar se um elemento pertence ou não a um determinado conjunto. Para isso utilizamos os símbolos:


Exemplo 1: Dado o conjunto A = {5, 9, 13, 17, 21, 25, 29}, temos que:


A relação de pertinência é utilizada somente para comparação de elemento com conjunto.

Relação de inclusão

A relação de inclusão é utilizada para verificar se um conjunto está ou não contido em outro, ou seja, se um é subconjunto do outro, utilizando para isso os símbolos:


Dizemos que um conjunto A está contido num conjunto B quando todos os elementos de A pertencem também a B.

Exemplo 2: Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6, 7} e C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, podemos dizer que:


Quando ocorrer de , dizemos que A é um subconjunto de B.

Produto Cartesiano

Dados dois conjuntos A e B, define-se produto cartesiano, representado por A x B (lê-se A cartesiano B), como sendo o conjunto de todos os pares ordenados (x, y) onde os valores de x são compostos por elementos do conjunto A e os valores de y compostos por elementos do conjunto B.

Exemplo 3: Seja A = {2, 4, 6, 8} e B = {1, 3, 5}, temos que:

A x B = {(2, 1), (2, 3), (2, 5), (4, 1), (4, 3), (4, 5), (6, 1), (6, 3), (6, 5), (8, 1), (8, 3), (8, 5)}

Note que B x A é diferente de A x B:

B x A = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (1, 8), (3, 2), (3, 4), (3, 6), (3, 8), (5, 2), (5, 4), (5, 6), (5, 8)}

Exemplo 4: Sendo A = {m, n, p} e B = {10, 11}, temos que:

A x B = {(m, 10), (m, 11), (n, 10), (n, 11), (p, 10), (p, 11)}
B x A = {(10, m), (10, n), (10, p), (11, m), (11, n), (11, p)}

Conjunto






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Os diagramas de Venn foram criados pelo matemático inglês John Venn no intuito de facilitar as relações de união e intersecção entre conjuntos. Eles possuem um papel fundamental na organização de dados obtidos em pesquisas, principalmente nas situações em que o entrevistado opta por duas ou mais opções.

Exemplo 1

Um exame classificatório foi composto por apenas duas questões. Sabendo:

100 pessoas acertaram as duas questões
170 pessoas acertaram a primeira questão
100 pessoas acertaram apenas uma das questões
95 pessoas erraram as duas questões

Qual o número de pessoas que participaram da classificação?

Resolução
O exame classificatório consta apenas de duas questões, por isso vamos representar o diagrama com dois círculos.

1º – O número de alunos que acertaram as duas questões será representado pela intersecção dos conjuntos A e B, isto é, A ∩ B = 100


2º – O conjunto A tem 170 elementos, mas A ∩ B possui 100 elementos, dessa forma, somente 70 pessoas acertaram a questão A.

3º – Foi informado que 100 pessoas acertaram apenas uma das questões e sabemos que 70 pessoas acertaram a questão A, então 30 pessoas acertaram a questão B.


4º - Para finalizar, temos 95 pessoas que não acertaram nenhuma das questões.


Exemplo 2

Em uma escola foi realizada uma pesquisa sobre o gosto musical dos alunos. Os resultados foram os seguintes:


458 alunos disseram que gostam de Rock
112 alunos optaram por Pop
36 alunos gostam de MPB
62 alunos gostam de Rock e Pop

Determine quantos alunos foram entrevistados.

Gostam somente de Rock = 396
Gostam somente de Pop = 50
Gostam de Rock e Pop = 62
Gostam de MPB = 36

396 + 50 + 62 + 36 = 544

Através da distribuição dos dados no diagrama constatamos que o número de alunos entrevistados é igual a 544.
extraido de www.mundoeducacao.com.br

Notações Importantes sobre conjunto

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Conjunto unitário e conjunto vazio

Por exemplo:
A = { x | x é par e 4 < x < 8 } ou A = {6}
B = { x | 2x + 1 = 7 e x é inteiro } ou B = {3}

Os dois conjuntos acima são exemplos de conjuntos unitários. Pois possuem apenas um elemento.
Dado o conjunto C = { y | y é natural e 2 < y < 3 } é um conjunto que não possui nenhum elemento, esse tipo de conjunto é chamado de conjunto vazio.
Indicamos um conjunto vazio por { } ou , nunca por { }.

►Igualdade de conjuntos

Dizemos que um conjunto é igual a outro se todos os elementos de um conjunto forem iguais a todos os elementos do outro conjunto.

Exemplo:
Dados os conjuntos A = {0,1,2,3,4} e B = {2,3,4,1,0} como todos os elementos são iguais podemos dizer que A = B.

►Relação entre dois conjuntos.

Quando vamos fazer a relação de elemento com conjunto utilizamos os símbolos de pertence e não pertence .
Por exemplo:
Dado o conjunto dos números naturais o elemento 5 N
e
-8 N.

Agora quando relacionamos conjunto com conjunto utilizamos os símbolos de está contido e não está contido .

Por Exemplo:
{1,2,3} {1,2,3,4,5,6}
O conjunto dos N está contido dentro dos inteiros. N Z e o conjunto dos inteiros não está contido dentro do conjunto dos naturais Z N.


♦ Todo conjunto está contido em si mesmo B B.
♦ O conjunto vazio está contido em todo conjunto A.
Danielle de Miranda

Seno, cosseno e tangente do arco duplo

Colégio Estadual Dinah Gonçalves
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Seno, cosseno e tangente do arco duplo

Marcelo Rigonatto


Identidades trigonométricas
No estudo da trigonometria abordamos as relações existentes entre as medidas dos lados e as medidas dos ângulos de um triângulo retângulo. Esse ramo da matemática também estuda as funções trigonométricas e seus comportamentos. Bastante utilizada em nosso dia a dia, a trigonometria sempre fascinou matemáticos de todas as épocas que deixaram um legado de conhecimento sobre as propriedades dos triângulos retângulos.

Dadas as funções circulares de um arco x, é possível, mediante aplicação das fórmulas deduzidas, encontrarmos as funções circulares dos arcos 2x, 3x, ..., chamados, respectivamente, de arco duplo, arco triplo...

Vejamos as expressões que determinam o seno, o cosseno e a tangente do arco duplo. Para isso, faremos 2x = x + x.

1. Seno do arco duplo.
Temos que:

sen2x = sen (x + x)

Utilizando a fórmula do seno da soma de dois arcos, obtemos:

sen 2x = sen (x + x) = senx∙cosx + senx∙cosx

Então:

sen 2x = 2senx∙cosx

2. Cosseno do arco duplo

Também utilizando a fórmula do cosseno da soma de dois arcos, obtemos:

cos2x = cos(x + x) = cosx∙cosx - senx∙senx

Ou

cos2x = cos2 x - sen2 x

3. Tangente do arco duplo

Temos que:

Essas fórmulas são úteis para a simplificação de expressões envolvendo relações trigonométricas. Vejamos alguns exemplos para melhor compreensão.
Exemplo. Sabendo que sen x = 12/13 e cos x = 5/13, determine o valor de sen 2x e cos 2x.

Solução: Primeiro vamos determinar o valor de sen 2x. Como conhecemos os valores de sen x e cos x, basta aplicar a fórmula do arco duplo. Assim, temos que:

Agora, vamos determinar o valor de cos 2x.

Relações trigonométricas no triângulo retângulo

Colégio Estadual Dinah Gonçalves
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Relações trigonométricas no triângulo retângulo

Marcelo Rigonatto




Triângulo retângulo
A trigonometria é uma ferramenta matemática bastante utilizada no cálculo de distâncias envolvendo triângulos retângulos. Na antiguidade, matemáticos utilizavam o conhecimento adquirido em trigonometria para realizar cálculos ligados à astronomia, determinando a distância, quase que precisa, entre a Terra e os demais astros do sistema solar. Atualmente a trigonometria também é bastante utilizada e para compreender o seu uso é necessário assimilar alguns conceitos.

Observe a figura abaixo que representa um triângulo retângulo.

Note que o maior lado é denominado de hipotenusa e os outros dois lados de catetos. A hipotenusa é o lado que fica oposto ao ângulo reto (ângulo de 90o). Além do ângulo reto, há dois ângulos agudos, α e β. A trigonometria estabelece relações entre os ângulos agudos do triângulo retângulo e as medidas de seus lados. Vejamos quais são essas relações.

O seno de um ângulo no triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa.

O cosseno de um ângulo no triângulo retângulo é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.

A tangente de um ângulo no triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente.

Definidas as razões trigonométricas, obtemos as seguintes igualdades para o triângulo retângulo abaixo:


Exemplo 1. Determine os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos agudos do triângulo abaixo.

Solução: Temos que

Exemplo 2. Sabendo que sen α =1/2 , determine o valor de x no triângulo retângulo abaixo:

Solução: A hipotenusa do triângulo é x e o lado com medida conhecida é o cateto oposto ao ângulo α. Assim, temos que:

co

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