cead20136

quarta-feira, 10 de fevereiro de 2016

Propriedades dos Determinantes

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com
WWW.profantoniocarneiro.com

As propriedades envolvendo determinantes facilitam o cálculo de seu valor em matrizes que se enquadram nessas condições. Observe as propriedades:

1ª propriedade

Ao observar uma matriz e verificar que os elementos de uma linha ou uma coluna são iguais a zero, o valor do seu determinante também será zero.
2ª propriedade
Caso ocorra igualdade de elementos entre duas linhas ou duas colunas, o determinante dessa matriz será nulo.

3ª propriedade
Verificadas em uma matriz duas linhas ou duas colunas com elementos de valores proporcionais, o determinante terá valor igual à zero. Observe a propriedade entre a 1ª e a 2ª linha.
4ª propriedade
Ao multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz por um número K, o seu determinante fica multiplicado por K.
Os elementos da 1ª linha de P foram multiplicados por 2, então: det P’ = 2 * det P

5ª propriedade
Caso uma matriz quadrada A seja multiplicada por um número real k, seu determinante passa a ser multiplicado por kn.

det (k*A) = kn * det A


6ª propriedade

O valor do determinante de uma matriz R é igual ao determinante da matriz da transposta de R, det R = det (Rt).
det R = ps -- qr

det Rt = ps – rq


7ª propriedade
Ao trocarmos duas linhas ou duas colunas de posição de uma matriz, o valor do seu determinante passa a ser oposto ao determinante da anterior.



8ª propriedade

O determinante de uma matriz triangular é igual à multiplicação dos elementos da diagonal principal.
Lembre-se que em uma matriz triangular, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero.
9ª propriedade
Considerando duas matrizes quadradas de ordem iguais e AB matriz produto, temos que: det (AB) = (det A) * (det B), conforme teorema de Binet.


10ª propriedade

Ao multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou de uma coluna pelo mesmo número e adicionarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha ou coluna, formamos a matriz B, onde ocorre a seguinte igualdade: det A = det B. Esse teorema é atribuído a Jacobi.



Por Marcos Noé
Graduado em Matemática

Matrizes e determinantes

Matrizes formam um importante conceito em matemática, de especial uso no estudo de transformações lineares. Não é o propósito desta página a teoria dessas transformações, mas apenas alguns fundamentos e operações básicas com matrizes que as representam.
Uma matriz Am,n pode ser entendida como um conjunto de mn (m multiplicado por n) números, dispostos em m linhas e n colunas, conforme figura ao lado.
Portanto, na matriz abaixo, de 2 linhas e 3 colunas, temos:

Adição e subtração

Esta operação só pode ser feita com matrizes de mesmo número de linhas e mesmo número de colunas.

Multiplicação por um escalar

Algumas propriedades das operações anteriores

Sejam A e B matrizes m,n e c e d escalares. Então:
c (A + B) = cA + cB e d (cA) = dc (A).
E, também, se cA = cB então A = B.

Matrizes nulas e unitárias

Multiplicação de matrizes

Sejam as matrizes Am,p e Bp,n (o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda). O produto AB é dado pela matriz Cm,n cujos elementos são calculados por:
c11 = 4.1 + 0.2 + 5.1 = 9 | c12 = 4.2 + 0.5 + 5.0 = 8 |
c21 = 1.1 + 1.2 + 3.1 = 6 | c22 = 1.2 + 1.5 + 3.0 = 7 |
Temos então a fórmula genérica:

Ordem dos fatores

Se A e B são matrizes quadradas (igual número de linhas e colunas), ambos os produtos AB e BA podem ser calculados.
Entretanto, na multiplicação de matrizes, a ordem dos fatores não é indiferente.
Em geral AB ? BA. Se AB = BA, as matrizes são ditas comutativas.

Algumas propriedades do produto de matrizes

Sejam as matrizes A, B e C.
1) Se os produtos A(BC) e (AB)C são possíveis de cálculo, então A(BC) = (AB)C.
2) Se os produtos AC e BC são possíveis, então (A+B)C = AC + BC.
3) Se os produtos CA e CB são possíveis, então C(A+B) = CA + CB.
4) Se Ip é a matriz unitária pp conforme já mencionado, então: Ip Ap,n = Ap,n e Bm,p Ip = Bm,p.

Matriz inversa

Sejam as matrizes quadradas An,n e Bn,n. Se BA = In , onde In é a matriz unitária conforme já visto, então B é chamada de matriz inversa esquerda de A.

Para achar a matriz inversa:

Por exemplo, seja a matriz A ao lado e desejamos saber sua inversa esquerda B.


O primeiro passo é acrescentar uma matriz unitária no lado direito de A.
Agora, o objetivo é somar ou subtrair linhas multiplicadas por coeficientes de forma a obter a matriz unitária no lado esquerdo (processo de Gauss-Jordan).

1ª linha = 1ª linha + 2ª linha multiplicada por -1.

2ª linha = 2ª linha + 1ª linha multiplicada por -1.
3ª linha = 3ª linha + 1ª linha multiplicada por -2.

3ª linha = 3ª linha + 2ª linha multiplicada por -3.

3ª linha = 3ª linha multiplicada por -1.

2ª linha = 2ª linha + 3ª linha multiplicada por -1.

E a matriz inversa é a parte da direita.

Determinantes de 2ª ordem

O conceito de determinante está ligado ao de matriz, embora seja completamente distinto: enquanto matriz é o conjunto de elementos conforme já mencionado, determinante é o resultado de uma operação aritmética com os elementos de uma matriz, que obedece a uma determinada regra. Só se aplica a matrizes quadradas.
Veja ao lado para uma matriz A2,2 (determinante de 2ª ordem).
O prefixo det é colocado antes da matriz para indicar determinante. Ou, de forma mais compacta, os colchetes na matriz são substituídos por barras verticais para o mesmo efeito.

Determinantes de ordens superiores

Para determinantes de 3ª ordem ou superior, o cálculo pode ser feito pela decomposição: considera-se, por exemplo, a primeira linha da matriz e somam-se as parcelas de cada elemento desta linha multiplicado pelo determinante da matriz que restar pela eliminação da linha e coluna que passam pelo elemento.
Se o índice da coluna for par, o sinal da parcela será negativo e positivo do contrário. Para cada determinante restante, o processo é repetido até chegar a determinantes de 2ª ordem, que são calculados pela fórmula anterior.
A figura acima demonstra o método para um determinante de terceira ordem.

Algumas propriedades dos determinantes


1) Mantidas as ordens dos elementos, um determinante não se altera se linhas e colunas são trocadas.

2) Se duas linhas ou duas colunas são trocadas entre si, o determinante muda de sinal.

3) Se os elementos de duas linhas ou colunas são iguais entre si, proporcionais entre si ou nulos, o determinante é nulo (k é um número qualquer).

4) Se os elementos de uma mesma linha ou coluna têm um fator de multiplicação comum, ele pode ser colocado em evidência.

5) Um determinante não se altera se aos elementos de uma linha ou coluna são somados ou subtraídos os elementos (ou múltiplos deles) de outra linha ou coluna.

Exemplo de aplicação de determinantes


Seja o sistema de equações lineares ao lado e o determinante B calculado pelos coeficientes das variáveis.

E os determinantes conforme figura a lado.
Então a solução é dada por: x = B1/B, y = B2/B e z = B3/B.
Fonte: www.mspc.eng.br

Pré Calculo

Precalculo/UFBA

Regra de sarrus

O matemático Pierre Frédéric Sarrus nasceu em Saint-Affrique (10 de Março de 1798 - 20 de Novembro de 1861), foi responsável pela regra prática de resolução de determinantes de ordem 3. Regras, teoremas, postulados eram batizadas pelo nome dos seus inventores e com essa não seria diferente, fico conhecida como: Regra de Sarrus.

Essa regra diz que para encotrarmos o valor numérico de um determinante de ordem 3, basta repetir as duas primeiras colunas à direita do determinante e mutiplicar os elementos do determinante da seguinte forma:


Dado o determinante de ordem 3x3 , veja como aplicar a Regra de Sarrus.

Repetimos as duas primeiras colunas: .

Multiplicamos os elementos das diagonais secundárias e os elemetos das diagonais principais.




Sendo que os produtos das diagonais secundárias devem ter seus sinais invertidos, ficando da seguinte forma o valor numérico desse determinante:

= +5 – 2 – 6 = -3

Todos os determiantes de ordem 3 serão resolvidos seguindo esse mesmo processo.

Regra de Sarrus

Regra de Sarrus

Marcos Noé




Regra de Sarrus
A Regra de Sarrus é utilizada no cálculo de determinantes de matrizes quadradas. Sua aplicação permite o cálculo de maneira prática, relacionando a diagonal principal com a diagonal secundária. Vamos identificar as diagonais de uma matriz quadrada:

Diagonal principal: a11, a22 e a33.

Diagonal secundária: a13, a22, a31.

A aplicação da Regra de Sarrus consiste em escrever a matriz seguida da repetição de suas duas primeiras colunas. Feito esse processo, verifique a presença de três diagonais principais e três diagonais secundárias.
O determinante será calculado por meio da diferença entre o somatório do produto das três diagonais principais e o somatório do produto das três diagonais secundárias. Observe:

Diagonal principal
(a11 * a22 * a33) + (a12 * a23 * a31) + (a13 * a21 * a32)

Diagonal secundária
(a13 * a22 * a31) + (a11 * a23 * a32) + (a12 * a21 * a33)


Determinante
D = {(a11 * a22 * a33) + (a12 * a23 * a31) + (a13 * a21 * a32)} – {(a13 * a22 * a31) + (a11 * a23 * a32) + (a12 * a21 * a33)}



Exemplo 1:

Vamos calcular o valor do determinante da matriz .
Diagonais principais
0 * 5 * 1 = 0
1 * 6 * 3 = 18
2 * 4 * 4 = 32

0 + 18 + 32 = 50

Diagonais secundárias
2 * 5 * 3 = 30
0 * 6 * 4 = 0
1 * 4 * 1 = 4

30 + 0 + 4 = 34

Determinante
DA = 50 – 34
DA = 16


Exemplo 2:

Dada a matriz , calcule o seu determinante.




Diagonais principais
(–1) * 0 * (–1) = 0
(–5) * 6 * (–4) = 120
(–7) * (8) * (5) = – 280


0 + 120 + (–280)
120 – 280
– 160


Diagonais secundárias
(–7) * 0 * (–4) = 0
(–1) * 6 * 5 = – 30
(–5) * 8 * (–1) = 40

0 + (–30) + 40
–30 +40
10


Determinante
DB = –160 – 10
DB = – 170

Calculo da matriz inversa por meio de determinantes

A determinação de uma matriz inversa de ordem n é dada através da multiplicação por uma matriz B genérica, sendo que o resultado deverá ser uma matriz identidade. Lembrando que matriz identidade de ordem n é uma matriz onde a diagonal principal é preenchida pelo número 1 e os demais espaços são preenchidos com o número 0.

Exemplos de uma Matriz Identidade:

A matriz B será representada por uma matriz genérica de mesmo número de colunas e linhas.
Exemplo 1


Vamos determinar, se existir, a inversa da matriz .
Os sistemas não possuem resolução, são impossíveis. Nesse tipo de situação, onde os sistemas não podem ser solucionados, chegamos à conclusão que a matriz A não possui inversa.


Exemplo 2

Determine, se existir, a inversa da matriz .

a + 2c = 1
a = 0

b + 2d = 0
b = 1

Portanto, a matriz inversa de é .
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