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quarta-feira, 22 de outubro de 2014

Identidades trigonométricas

Professor de Matemática Antonio Carlos Carneiro Barroso
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com


Identidades trigonométricas

Fórmulas da adição

Fórmulas da multiplicação

A palavra trigonometria é formada por três radicais gregos: tri(três), gono(ângulos)e metron(medida); significando assim "medida dos triângulos". Inicialmente considerada como uma extensão da geometria, a trigonometria já era estudada pelos babilônios, que a utilizavam para resolver problemas práticos de Astronomia, de Navegação e de Agrimensura. Aliás, foram os astronomos como o grego Hiparco (190 aC – 125 aC), considerado o pai da Astronomia e da Trigonometria, que estabeleceu as primeiras relações entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo.
No século VIII com o apoio de trabalhos hindus, matemáticos árabes contribuíram notavelmente para o avanço da trigonometria. Este avanço continuou após a construção da primeira tábua trigonométrica, por um matemático alemão, nascido em Baviera, chamado Purback. Porém o primeiro trabalho matemático sobre trigonometria foi o "tratado dos triângulos", escrito pelo matemático alemão Johann Müller, também chamado Regiomontanus. Sabe-se que Regiomaontanus foi discipulo de Purback. Atualmente a trigonometria não se limita apenas a estudar triângulos. Sua aplicação se estende na outros campos da matemática, como a Análise, e a outros campos da atividade humana como a Eletricidade, a Mecânica, a Acústica, a Música, a Topologia, a Engenharia Civil, etc.


Função seno


Chamamos de função seno a função f(x) = sen x
O domínio dessa função é R e a imagem é Im [ -1,1] ; visto que, na circunferência trigonométrica o raio é unitário e, pela definição do seno, –1 £ sen x £ 1, ou seja:
Domínio de f(x) = sen x; D(sen x) = R.



Imagem de f(x) = sen x; Im(sen x) = [ -1,1] .
Sinal da Função: Como seno x é a ordenada do ponto-extremidade do arco:1
f(x) = sen x é positiva no 1° e 2° quadrantes (ordenada positiva)
f(x) = sen x é negativa no 3° e 4° quadrantes (ordenada negativa)
Observe que esse gráfico é razoável, Pois:

Quando , 1º quadrante, o valor de sen x cresce de 0 a 1.
Quando , 2º quadrante, o valor de sen x decresce de 1 a 0.
Quando , 3º quadrante, o valor de sen x decresce de 0 a -1.
Quando , 4º quadrante, o valor de sen x cresce de -1 a 0.]

Função cosseno


Chamamos de função cosseno a função f(x) = cos x.

O domínio dessa função é R e a imagem é Im [ -1,1] ; visto que, na circunferência trigonométrica o raio é unitário e, pela definição do cosseno, –1 £ cos x £ 1, ou seja:
Domínio de f(x) = cos x; D(cos x) = R.
Imagem de f(x) = cos x; Im(cos x) = [ -1,1] .
Sinal da Função: Como cosseno x é a abscissa do ponto-extremidade do arco:
f(x) = cos x é positiva no 1° e 2° quadrantes (abscissa positiva)
f(x) = cos x é negativa no 3° e 4° quadrantes (abscissa negativa)
Observe que esse gráfico é razoável, Pois:

Quando , 1º quadrante, o valor do cos x decresce de 1 a 0.
Quando , 2º quadrante, o valor do cos x decresce de 0 a -1.
Quando , 3º quadrante, o valor do cos x cresce de -1 a 0.
Quando , 4º quadrante, o valor do cos x cresce de 0 a 1.

Função tangente


Chamamos de função tangente a função f(x) = tg x.
Domínio de f(x) = O domínio dessa função são todos os números reais, exceto os que zeram o cosseno pois não existe cosx = 0
Imagem de f(x) = tg x; Im(tg x) = R ou .

Sinal da Função: Como tangente x é a ordenada do ponto T interseção da reta que passa pelo centro de uma circunferência trigonométrica e o ponto-extremidade do arco, com o eixo das tangentes então:
f(x) = tg x é positiva no 1° e 3° quadrantes (produto da ordenada pela abscissa positiva)
f(x) = tg x é negativa no 2° e 4° quadrantes (produto da ordenada pela abscissa negativa)


Função secante

Denomina-se função secante a função f(x) = 1/cos x.
Sinal da função: Como a função secante é a inversa da função cosseno, então os sinais da função secante são os mesmos da função cosseno.
Definição: .

Logo, o domínio da função secante é .


Função cossecante


Denomina-se função cossecante a função f(x) = 1/sen x.
Sinal da função: Como a função cossecante é a inversa da função seno, então os sinais da função cossecante são os mesmos da função seno.
Definição: .

Logo, o domínio da função cossecante é


Função cotangente

Denomina-se função cossecante a função f(x) = 1/sen x.
Sinal da função: Como a função cossecante é a inversa da função tangente, então os sinais da função cotangente é a razão entre o cosseno e o seno.


Conclusão

Ramo da matemática que trata das relações entre os lados e ângulos de triângulos (polígonos com três lados). A trigonometria plana lida com figuras geométricas pertencentes a um único plano, e a trigonometria esférica trata dos triângulos que são uma seção da superfície de uma esfera.
A trigonometria começa como uma matemática eminentemente prática para determinar distâncias que não podiam ser medidas diretamente. Serve à navegação, à agrimensura e à astronomia. Ao lidar com a determinação de pontos e distâncias em três dimensões, a trigonometria esférica amplia sua aplicação à física, à química e a quase todos os ramos da engenharia, em especial no estudo de fenômenos periódicos, como a vibração do som e o fluxo de corrente alternada.

Bibliografia
Paiva, Manoel, Matemática, Volume único, Ed. Moderna, 2003
Barreto Filho, Benigno e Silva, Cláudio Xavier da, Matemática aula por aula, Volume único, FTD, 200.

Seno, cosseno e tangente do arco duplo

Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com          

Seno, cosseno e tangente do arco duplo

Marcelo Rigonatto


Identidades trigonométricas
No estudo da trigonometria abordamos as relações existentes entre as medidas dos lados e as medidas dos ângulos de um triângulo retângulo. Esse ramo da matemática também estuda as funções trigonométricas e seus comportamentos. Bastante utilizada em nosso dia a dia, a trigonometria sempre fascinou matemáticos de todas as épocas que deixaram um legado de conhecimento sobre as propriedades dos triângulos retângulos.

Dadas as funções circulares de um arco x, é possível, mediante aplicação das fórmulas deduzidas, encontrarmos as funções circulares dos arcos 2x, 3x, ..., chamados, respectivamente, de arco duplo, arco triplo...

Vejamos as expressões que determinam o seno, o cosseno e a tangente do arco duplo. Para isso, faremos 2x = x + x.

1. Seno do arco duplo.
Temos que:

sen2x = sen (x + x)

Utilizando a fórmula do seno da soma de dois arcos, obtemos:

sen 2x = sen (x + x) = senx∙cosx + senx∙cosx

Então:

sen 2x = 2senx∙cosx

2. Cosseno do arco duplo

Também utilizando a fórmula do cosseno da soma de dois arcos, obtemos:

cos2x = cos(x + x) = cosx∙cosx - senx∙senx

Ou

cos2x = cos2 x - sen2 x

3. Tangente do arco duplo

Temos que:

Essas fórmulas são úteis para a simplificação de expressões envolvendo relações trigonométricas. Vejamos alguns exemplos para melhor compreensão.
Exemplo. Sabendo que sen x = 12/13 e cos x = 5/13, determine o valor de sen 2x e cos 2x.

Solução: Primeiro vamos determinar o valor de sen 2x. Como conhecemos os valores de sen x e cos x, basta aplicar a fórmula do arco duplo. Assim, temos que:

Agora, vamos determinar o valor de cos 2x.

Seno da soma e seno da diferença de dois arcos

Seno da soma e seno da diferença de dois arcos

Marcelo Rigonatto




Ciclo trigonométrico
Sejam a e b dois arcos quaisquer. Vamos determinar a fórmula para o cálculo do seno da soma e da diferença entre a e b.

O seno da soma de dois arcos, a e b, é dado pela fórmula:

sen (a + b) = sen a∙cosb + sen b∙cosa

O seno da diferença entre dois arcos, a e b, é dado pela fórmula:

sen (a - b) = sen a∙cosb - sen b∙cosa

Exemplo 1. Calcule o valor de sen 105o.

Solução: Podemos escrever 105o como sendo a soma de 60o com 45o. Dessa forma teremos:

Exemplo 2. Qual o valor de sen 15o?

Solução: temos que

Exemplo 3. Simplifique a expressão

Solução: Vamos desenvolver o numerador da expressão.

Sabemos que:

Assim,

Logo,

Dessa forma, a expressão inicial se reduziria a:

Trigonometria no Triângulo Retângulo

Trigonometria no Triângulo Retângulo

Marcos Noé


Relações trigonométricas no triângulo retângulo
A trigonometria surgiu diante da necessidade do homem de calcular medidas com base em ângulos. Os estudos relacionados aos triângulos retângulos são aplicados em diversas situações cotidianas. A trigonometria surgiu em 300 a.C e se constituiu numa ferramenta muito importante para a evolução da Matemática no que diz respeito ao cálculo de medidas.

O triângulo retângulo possui um ângulo reto (90º) formado pela intersecção dos catetos, o lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa.

Relações trigonométricas no triângulo retângulo

Dado o triângulo retângulo ABC, temos as seguintes relações:

Seno: cateto oposto / hipotenusa


Cosseno: cateto adjacente / hipotenusa




Tangente: cateto oposto / cateto adjacente



Tabela de Razões Trigonométricas

Os cálculos envolvendo as relações trigonométricas, ao serem efetuados, necessitam de alguns valores de ângulos, que estão presentes na seguinte tabela de razões trigonométricas:

Relações trigonométricas no triângulo retângulo

Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com        

Relações trigonométricas no triângulo retângulo

Marcelo Rigonatto




Triângulo retângulo
A trigonometria é uma ferramenta matemática bastante utilizada no cálculo de distâncias envolvendo triângulos retângulos. Na antiguidade, matemáticos utilizavam o conhecimento adquirido em trigonometria para realizar cálculos ligados à astronomia, determinando a distância, quase que precisa, entre a Terra e os demais astros do sistema solar. Atualmente a trigonometria também é bastante utilizada e para compreender o seu uso é necessário assimilar alguns conceitos.

Observe a figura abaixo que representa um triângulo retângulo.

Note que o maior lado é denominado de hipotenusa e os outros dois lados de catetos. A hipotenusa é o lado que fica oposto ao ângulo reto (ângulo de 90o). Além do ângulo reto, há dois ângulos agudos, α e β. A trigonometria estabelece relações entre os ângulos agudos do triângulo retângulo e as medidas de seus lados. Vejamos quais são essas relações.

O seno de um ângulo no triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa.

O cosseno de um ângulo no triângulo retângulo é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.

A tangente de um ângulo no triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente.

Definidas as razões trigonométricas, obtemos as seguintes igualdades para o triângulo retângulo abaixo:


Exemplo 1. Determine os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos agudos do triângulo abaixo.

Solução: Temos que

Exemplo 2. Sabendo que sen α =1/2 , determine o valor de x no triângulo retângulo abaixo:

Solução: A hipotenusa do triângulo é x e o lado com medida conhecida é o cateto oposto ao ângulo α. Assim, temos que:

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