quinta-feira, 28 de maio de 2015

Transformações Lineares

  1. Obter a expressão geral da transformação linear T:R³toR² definida de tal modo que T(1,0,0)=(1,0), T(0,1,0)=(1,1) e T(0,0,1)=(1,−1). Depois de obter a forma geral, obtenha o vetor v em R³, tal que T(v)=(1,2).
    Para resolver este problema devemos escrever o vetor v=(x,y,z) como combinação linear dos elementos de C={e1,e2,e3} que é a base canônica de R³, que são e1=(1,0,0), e2=(0,1,0) e e3= (0,0,1). Assim
    (x,y,z) = a(1,0,0)+ b(0,1,0)+ c(0,0,1) = (a,0,0)+(0,b,0)+(0,0,c) = (a,b,c)
    Assim, x=a, y=b e z=c e como T é linear, segue que:
    T(x,y,z) = T[x(1,0,0)+ y(0,1,0)+ z(0,0,1)]
    = T[x(1,0,0)]+T[y(0,1,0)]+T[z(0,0,1)]
    = xT(1,0,0)+yT(0,1,0)+zT(0,0,1)
    = x(1,0)+y(1,1)+z(1,−1)
    = (x+y+z,y−z)
    assim, a forma geral da referida transformação linear é:
    T(x,y,z) = (x+y+z,y−z)
    Para obter o vetor v=(x,y,z) em R³ tal que T(x,y,z)=(1,2), tomaremos a forma T(x,y,z)=(x+y+z,y−z) exigindo que T(x,y,z)=(1,2). Basta resolver o sistema:
    x+y+z = 1
    y − z = 2
    Como o sistema possui três variáveis e duas equações lineares, este sistema terá infinitas soluções. Somando membro a membro as equações acima, obteremos x+2z=3, de onde segue que x=−2y+3. Se escolhermos y=1, obteremos x=1 e z=3 e assim obteremos um vetor em R com a propriedade desejada que é v=(1,1,3).
    Também podemos resolver este problema da seguinte forma:
    Como x=−2y+3 e y=z+2, escrevemos x em função de z para obter x=−2z−1.
    Desse modo, (x,y,z)=(−2z−1,z+2,z). Tomando z=t, podemos escrever as equações paramétricas da reta que tem a direção do vetor v=(−2,1,1) e passa pelo ponto P0= (−1,2,0).
    x(t)=−2t−1,    y(t)=t+2,    z(t)=t
    Poderíamos ainda escrever (x,y,z)=(3−2y,y,y−2).
  2. Obter expressão geral da transformação linear T:R³toR² tal que T(1,0,0)=(1,0), T(1,1,0)=(2,3) e T(1,1,1)=(4,7).
    Para resolver este problema escreveremos o vetor v=(x,y,z) como combinação linear dos elementos da base B={(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} para obter
    (x,y,z) = a(1,0,0)+ b(1,1,0)+ c(1,1,1) = (a,0,0)+(b,b,0)+(c,c,c) = (a+b+c,b+c,c)
    Assim, x=a+b+c, y=b+c e z=c e desse modo:
    T(x,y,z) = T[x(1,0,0)+ y(1,1,0)+ z(1,1,1)]
    = T[x(1,0,0)]+T[y(1,1,0)]+T[z(1,1,1)]
    = xT(1,0,0)+yT(1,1,0)+zT(1,1,1)
    = x(1,0)+y(2,3)+z(4,7)
    = (x+2y+4z,x+3y+7z)

Referências bibliográficas

  1. Boyer,Carl Boyer. História da Matemática,Editora Edgard Blücher,São Paulo. Pag.424-427. 1974.
  2. Howard Eves. Introdução à História da Matemática. Tradução de Hygino H. Domingues. 3a.ed. Campinas-SP: Editora da UNICAMP. Pag.552-556. 2002.

Movimento Uniformemente Variado (M.U.V.)



Exemplo de MUV.

►Definição

Consideremos três móveis: A, B e C, cujas velocidades escalares instantâneas estão representadas em função do tempo nos gráficos a seguir:



Móvel A: Analisando o gráfico correspondente ao móvel A, nota-se que sua velocidade escalar é constante e igual a 30m/s. Então o movimento de A é uniforme, e por isso, sua aceleração escalar é constantemente nula.


Móvel B: Analisando o gráfico correspondente ao móvel B, nota-se que sua velocidade escalar varia com o tempo. Então o movimento de B é variado e conseqüentemente, sua aceleração escalar não é nula.



Móvel C: Com relação ao movimento de C, observa-se que sua velocidade escalar também varia com o tempo, tratando-se, portanto, de mais um movimento variado.

Os móveis B e C representam movimentos variados. Existe, porém, uma diferença marcante entre os dois: A velocidade escalar de C sofre variações iguais, em iguais intervalos de tempo, o que não ocorre com a velocidade escalar de B.

De fato, observamos nos gráficos que a velocidade escalar de B varia 5m/s no primeiro segundo, 10m/s no segundo, 13m/s no terceiro, 9m/s no quarto e 5m/s no último segundo, significando que a aceleração escalar de B é variável. Por outro lado vemos que a velocidade escalar de C varia sempre em 10m/s em cada segundo, o que significa que sua aceleração escalar é constante e igual a 10m/s². Por isso, o movimento variado de C é denominado uniformemente variado.

Movimento uniformemente variado (MUV) é aquele em que a aceleração escalar é constante e diferente de zero. Conseqüentemente, a velocidade escalar sofre variações iguais em intervalos de tempo iguais.

►Representação gráfica da aceleração escalar em função do tempo

Sendo uma constante diferente de zero, a aceleração escalar é representada graficamente por uma das duas maneiras seguintes:



Observando que a aceleração escalar média de uma partícula em movimento uniformemente variado, calculada em qualquer intervalo de tempo, coincide com a aceleração escalar instantânea em qualquer instante, por ser esta igual em todos os instantes do movimento.

Assim, num MUV, temos:
am = a (constante e diferente de zero)

►Propriedade do gráfico da aceleração escalar em função do tempo.

No gráfico da aceleração escalar (a) em função do tempo (t) dado a seguir, calculemos a “área” A limitada pelo gráfico e pelo eixo dos tempos, entre os instantes t1 e t2:



A = ∆t . a

Como

então ∆t . a = ∆v

Assim: A = ∆v

►Função horária da velocidade escalar instantânea




Podemos escrever:



v = v0 + a . t

Essas expressões fornecem a velocidade escalar v num instante t qualquer do movimento. Ela é, por isso, denominada função horária da velocidade escalar instantânea.
A função obtida é de primeiro grau em t.

Danielle de Miranda
Equipe Brasil Escola

Função

Função

Dados dois conjuntos A e B não vazios, função é uma relação R de A em B se e somente se para todo elemento x de A existe um único correspondente y em B.

Se você observar a figura ao lado esquerdo, verá que o elemento 1 de A possui a imagem b em B, o elemento 2 de A possui imagem b em B, porém o elemento 3 de A possui as imagens c e d em B.
Então, concluímos que essa relação R  de A em B não é uma função.

Exemplos de Funções: 

Sejam os conjuntos A= {1,2,3} e B= {1,2,3,4,9} e as relações:
a) R1
»  R1 é uma função de A em B, pois todo elemento de A tem um       único     correspondente (imagem) em B






b) R2
» R2 é uma função de A em B, pois todo elemento de A tem uma      única imagem em B
  A imagem do 1€A é 1 em B.
  A imagem do 2€A é 1 em B.
  A imagem do 3€A é 4 em B. 



Observação: Para que seja função:
1. Todo elemento de A tem imagem em B;
2. Cada elemento de A só tem uma única imagem em B.

Contra-exemplos:
c) R3
» R3 não é uma função, pois os elementos 2 e 3 de A não têm    imagens em B.






d) R4

» R4 não é uma função, pois há elementos de A, o 1, com mais de uma imagem em B (1 de A, tem as imagens 1 e 2 em B).





Exercícios:


1. Dados os conjuntos: E= {1,2,3,4} e B={2,5,6} e as relações abaixo, escreva se é função ou não é função:
a) R1= {(1,2),(2,5),(3,6)}
b) R2= {(1,2),(2,5),(3,2),(4,6)}
c) R3= {(1,5),(2,5), (3,5),(4,5)}
d) R4= {(2,2),(3,5),(4,6)}

Respostas:
a) Veja: 1→2, 2→5, 3→6, como todos os elementos da esquerda (CONJUNTO E) têm uma única imagem, mas o 4 de E não têm imgem,  logo: NÃO É FUNÇÃO.

b) Veja: 1→2, 2→5, 3→2 e 4→6, TODOS ELEMENTOS DE E TÊM IMAGENS - É FUNÇÃO.

c) Veja esquema: 1→5, 2→5,  3→5 e 4→5, idem - É FUNÇÃO.

d) Veja esquema: 2→2, 3→5, 4→6, Como o elemento 1 não tem imagem, NÃO É FUNÇÃO. 

2. Dada a função f de A em B pelo diagrama de setas, dê a imagem dos elementos a, b, c, e d.









Resposta: Imagens de {a,b,c,d} são:{1,1,2,4}

Notação
Uma função f de A em B, ou seja, domínio em A e imagem no contradomínio B, indica-se:
f: A→B  (lê-se f de A em B)
Assim, cada elemento x de A está associado a um único y, imagem de x pela função f, que se indica f(x) e lê-se f de x.

RESUMO:
» O conjunto A chama-se domínio da função f.
» O conjunto B chama-se contradomínio da função f.
» x é o elemento arbitrário do domínio.
» y=f(x) é a imagem de x no contradomínio.
» O conjunto dos elementos de B que são imagens dos elementos de A forma o conjunto imagem (Im).
fonte:recordandomatematica.blogspot.com.br

Semelhança de triângulos

Temos que dois triângulos são congruentes:
Quando seus elementos (lados e ângulos) determinam a congruência entre os triângulos.
Quando dois triângulos determinam a congruência entre seus elementos.

Casos de congruência:

1º LAL (lado, ângulo, lado): dois lados congruentes e ângulos formados também congruentes.


2º LLL (lado, lado, lado): três lados congruentes.

3º ALA (ângulo, lado, ângulo): dois ângulos congruentes e lado entre os ângulos congruente.
4º LAA (lado, ângulo, ângulo): congruência do ângulo adjacente ao lado, e congruência do ângulo oposto ao lado.
Através das definições de congruência de triângulos podemos chegar às propriedades geométricas sem a necessidade de efetuar medidas. A esse método damos o nome de demonstração.
Dizemos que em todo triângulo isósceles, os ângulos opostos aos lados congruentes são congruentes. Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes.
Por Marcos Noé
Graduado em Matemática

A Semelhança de Triângulos

Quando o sábio Tales de Mileto, cerca de seiscentos anos antes do nascimento de Cristo, se encontrava no Egipto, foi-lhe pedido por um mensageiro do faraó, em nome do soberano, que calculasse a altura da pirâmide de Quéops: corria a voz de que o sábio sabia medir a altura de construções elevadas por arte geométrica, sem ter de subir a elas. Tales apoiou-se a uma vara, esperou até ao momento em que, a meio da manhã, a sombra da vara, estando esta na vertical, tivesse um comprimento igual ao da própria vara. Disse então ao mensageiro:

“Vá, mede depressa a sombra: o seu comprimento é igual à altura da pirâmide”.

Para ser rigoroso, Tales deveria ter dito para adicionar à sombra da pirâmide metade do lado da base desta, porque a pirâmide tem uma base larga, que rouba uma parte da sombra que teria se tivesse a forma de um pau direito e fino; pode acontecer que o tenha dito, ainda que a lenda o não refira, talvez para não estragar, com demasiados pormenores técnicos, uma resposta que era bela na sua simplicidade.

Radice, L. L. (1971)

A Matemática de Pitágoras a Newton

Extraído de Matemática 7, Areal Editores, pág. 82



Como utilizou Tales de Mileto a semelhança de triângulos para medir a altura da pirâmide de Quéops?
: clique aqui

SEMELHANÇA



Conceito:

Duas figuras são semelhantes se tiverem a mesma forma (não importa o tamanho).


EXEMPLOS




Dizdemos que:

-- Duas circunferências são sempre semelhantes.
-- Dois quadrados são sempre semelhantes.


TRIÂNGULO SEMELHANTES


Observe que:
-- Os ângulos correspondentes são congruentes.
-- Os lados correspondentes são proporcionais

Então:

Dois triângulos semelhantes têm ângulos correspondentes congruentes e lados correspondentes proporcionais

em simbolos:

Observação: A constante K é chamada razão de semelhança


EXERCÍCIOS RESOLVIDOS


Solução:

Como os triângulos são semelhantes, temos:

a) 3/6 = x/8 =y/11

3/6 = x/8
6x= 24/6
x = 4

b) 3/6 = y/11
6y = 33
y = 5,5

EXERCÍCIOS

1) Sabendo-se que os triângulos são semelhantes, calcule x e y



TEOREMA FUNDAMENTAL

Toda a reta paralela a um lado de um triângulo e que intercepta os outros dois lados determina um triângulo semelhante ao primeiro.


Devemos provar que os triângulos ADE e ABC têm os três ângulos correspondentes congruentes e os lados correspondentes proporcionais.

1º parte


 2º Parte

Nos triângulos os lados correspondentes são proporcionais 
.


CASOS DE SEMELHANÇA DE TRIÂNGULO

Não é necessário conhecer todas as condições de semelhança de triângulos para chegar à conclusão de que eles são semelhantes basta algumas delas. 

1) CASO AA (ângulo - ângulo)

Dois triângulos são semelhantes se têm dois ângulos correspondentes congruentes.


2) CASO LAL (lado - ângulo - lado)

Dois triângulos são semelhantes se têm dois lados correspondentes proporcionais e o ângulo correspondente entre eles congruentes.

3) CASO LLL (lado --lado--Lado)

Dois triângulos são semelhantes se têm os lados correspondentes proporcionais

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS


1) Na figura abaixo, os triângulos são semelhantes. Calcular x


2) Na figura abaixo, os triângulos são semelhantes. Calcule x.


EXERCÍCIOS 


2) Calcule y:

3) Calcule x:



4) Calcule y , sabendo que os triângulos são semelhantes:

fonte:jmpgeograafia.blogspot.com.br

Semelhança de Polígonos

Polígonos são regiões planas fechadas, constituídas de lados, vértices e ângulos. Dizemos que dois polígonos são semelhantes quando eles possuem o mesmo número de lados e se adéquam às seguintes condições:

 Ângulos iguais.
 Lados correspondentes proporcionais.
 Possuem razão de semelhança igual entre dois lados correspondentes.

Durante a razão de semelhança podemos observar as seguintes situações:

 Ampliação: razão entre os lados correspondentes maior que 1.
 Redução: razão entre os lados correspondentes menor que 1.

Os pentágonos a seguir são semelhantes, observe as relações:




ÂngulosA = A’
B = B’
C = C’
D = D’
E = E’

Lados
AB = A’B’
BC = B’C’
CD = C’D’
DE = D’E’
EA = E’A’

Razão entre os lados

AB / A’B’ = BC / B’C’ = CD / C’D’ = DE / D’E’ = EA / E’A’


A semelhança entre figuras possuem diversas aplicabilidades no cotidiano, como na elaboração de maquetes, ampliação de fotos, medições de distância (teorema de Tales) entre outras questões envolvendo proporcionalidade na Geometria.


Exemplo

Determine o valor da medida x, sabendo que os trapézios a seguir são semelhantes.
Precisamos descobrir qual a razão entre os segmentos proporcionais correspondentes.

7,5 / 3 = 2,5 e 5 / 2 = 2,5

O coeficiente de ampliação dos trapézios equivale à constante k = 2,5. Então:

x / 5 = 2,5
x = 2,5 * 5
x = 12,5

O valor de x corresponde a 12,5 unidades.
fonte: www.brasilescola.com

Polígonos Semelhantes


Professor de Matemática e Ciências Antonio Carlos Carneiro Barroso
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com
Blog HTTP://ensinodematemtica.blogspot.com
http://accbarrosogestar.blogspot.com.br
Polígonos Semelhantes

Considere os polígonos ABCD e A'B'C'D', nas figuras:
Observe que:
os ângulos correspondentes são congruentes:
os lados correspondentes (ou homólogos) são proporcionais:


ou
Podemos concluir que os polígonos ABCD e A'B'C'D' são semelhantes e indicamos:
ABCD ~ A'B'D'C' (lê-se "polígonos ABCD é semelhante ao polígono A'B'D'C' ")
Ou seja:
Dois polígonos são semelhantes quando os ângulos correspondentes são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais.
A razão entre dois lados correspondentes em polígonos semelhante denomina-se razão de semelhança, ou seja:
A razão de semelhança dos polígonos considerados é
Obs: A definição de polígonos semelhantes só é válida quando ambas as condições são satisfeitas: Ângulos correspondentes congruentes e lados correspondentes proporcionais. Apenas uma das condições não é suficiente para indicar a semelhança entre polígonos.

Propriedades

Se dois polígonos são semelhantes, então a razão entre seus perímetros é igual à razão entre as medidas de dois lados homólogos quaisquer dos polígonos.
Demonstração:
Sendo ABCD ~ A'B'C'D', temos que:
Os perímetros desses polígonos podem ser assim representados:
Perímetro de ABCDE (2p) = AB + BC + CD + DE + EA
Perímetro de A'B'C'D'E' (2p') = A'B' + B'C' + C'D' + D'E' + E'A'
Por uma propriedade das proporções, podemos afirmar que:
Exemplo:
Os lados de um triângulo medem 3,6 cm, 6,4 cm e 8 cm. Esse triângulo é semelhante a um outro cujo perímetro mede 45 cm. calcule os lados do segundo triângulo.
Solução
Razão de semelhança =
Logo, os lados do segundo triângulo são 9cm, 16cm e 20cm.
Fonte: www.somatematica.com.br

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