quarta-feira, 2 de setembro de 2015

Equação de 1º grau

Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com






Decomposição em fatores primos

Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores.

Decomposição do número 24:
24 = 2 x 2 x 3 x 2

Decomposição do número 50:
50 = 2 x 5 x 5
50 = 5 x 2 x 5

Decomposição do numero 20:
20 = 2 x 5 x 2
20 = 5 x 2 x 2

Decomposição do número 50:
50 = 2 x 5 x 5.
50 = 5 x 2 x 5.

Agora, descubra qual é o número de cada decomposição:

a) 2 x 3 x 5 =

b) 2 x 5 =

c) 2 x 5 x 5 =

d) 2 x 3 x 7 =

e) 3 x 3 x 5 =

Exercícios Resolvidos sobre Integrais Simples


     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
      
Calcule :

Solução :

  
 
  
Retirado: uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine
Fonte:http://www.solucaomatematica.com.br/

Problemas em N

1) Para calcular a quantidade de cadeiras que você vê, podemos usar uma adição ou uma multiplicação.



O resultado é :
4 + 4+ 4 + 4= ou 4 x 4 =

2) Quantas rodas há na figura?
Para saber quantas rodas há na figura, você pode usar a multiplicação.

O resultado é :
2 + 2 + 2 + 2 = ou 4 x 2 =


3) Vamos contar as carteiras da sala de aula? Faça isso usando multiplicação e adição correspondente.



O resulatdo é ?
5 + 5 + 5 = ou 5 x 3 =


4)Um pedreiro empilhou tijolos, como mostra a figura:
Quantos tijolos ele empilhou?Para calcular, use multiplicação e adição correspondente:


Quantos tijolos ele empilhou?
8 + 8 + 8 + 8 + 8 = ou 8 x 5 =
www.colegioweb.com.br

Atividades de multiplicação

3) Você está vendo um quadro de selos:

a) Quantas linhas de selos há neste quadro?
b) Em cada linha há quantos selos?
c) Quantos selos há ao todo nesse quadro?

4) Júnior joga dados. Veja o que aconteceu :



Calcule o número de pontos que ele fez depois dessas 3 jogadas usando:

a) a forma de adição: 5 + 5 + 5 =
b) a forma de multiplicação: 5 x 3 =

5) Siga o modelo:

7 + 7 + 7 + 7 + 7 7x 5 = 35

a) 5 + 5 5 x = 10

b) 2 + 2 + 2 +2 +2 + 2 + 2 2 x = 14

c) 3 + 3 + 3 3 x = 9

d) 6 + 6 + 6 6 x = 18


6) Dada a adição: 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 18
Qual das alternativas abaixo têm o mesmo resultado da adiçao acima:

a) 13 + 4

b) 4 x 4

c) 6 x 3

7) Qual é a multiplicação e o resultado sugerido na :
a) Figura A?
5 x 4 =

b) Figura B?
2 x 8 =

c) Figura C?
3 x 3 =

d) Figura D?
4 x 4 =

e) Figura E?
6 x 2 =

f) Figura F?
1 x 6 =





















Propriedades da Multiplicação

Fechamento: A propriedade de fechamento é satisfeita, pois o produto de dois números naturais ainda é um número natural.

Associatividade: Na multiplicação de três ou mais números naturais quaisquer, podemos associar os fatores de diferentes modos que o produto é sempre o mesmo. A propriedade de associatividade é satisfeita na multiplicação, pois:

por exemplo:


3.5.2 =15.2 =30


3.(5.2) =3.10 =30

Observe que os resultados obtidos são iguais. Os parênteses indicam a multiplicação que deve ser feita primeiro.

Existência de Elemento Neutro: O elemento neutro na multiplicação é o número 1, pois qualquer número natural multiplicado por 1 é esse próprio número natural.

Por exemplo: 8 x 1 = 8 e 1 x 8 = 8

Comutatividade: A propriedade comutativa também é satisfeita pela multiplicação, pois a ordem dos fatores não altera o produto.

Observe:

7 x 5 = 35 5 x 7 = 35
4 x 5 = 20 5 x 4 = 20

Distributividade: Um jeito simples de explicar a propriedade distributiva é com o seguinte exemplo, tenho 3 laranjas e ganho mais 5 laranjas então na verdade eu fiquei com (3 + 5) laranjas agora substituímos as laranjas por um número, por exemplo, o número 6.
Assim temos, 3.6 + 5.6 = (3 + 5) . 6.

Adição

Você tem 4 etiquetas com adições:

12 + 23
14 + 27
20 + 5
24+ 9

a)Qual desses resultados é o maior ?
b)Qual desses resultados é o menor ?

3- Você tem 3 fichas com adições:

20+ 6
29 + 4
20+ 15

Responda: qual o resultado do quadrinho amarelo ?

Responda: qual o resultado do quadrinho verde ?

Responda qual o resultado do quadribho azul ?


4- Vamos resolver umas contas


20 + 12 22 + 12 21 + 15 30 + 14
21 + 11 24 + 20 20+32 27+ 21


5- Complete o quadro:

29 + 9 21 + 24
27 + 22 22 + 15
29 + 15 27 + 16

Integrais

Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com

Integrais
Integrais indefinidas
Da mesma forma que a adição e a subtração, a multiplicação e a divisão, a operação inversa da derivação é a antiderivação ou integração indefinida.
Dada uma função g(x), qualquer função f'(x) tal que f'(x) = g(x) é chamada integral indefinida ou antiderivada de f(x).
Exemplos:
  1. Se f(x) = , então é a derivada de f(x). Uma das antiderivadas de f'(x) = g(x) = x4 é .
  2. Se f(x) = x3, então f'(x) = 3x2 = g(x). Uma das antiderivadas ou integrais indefinidas de g(x) = 3x2 é f(x) = x3.
  3. Se f(x) = x3 + 4, então f'(x) = 3x2 = g(x). Uma das antiderivadas ou integrais indefinidas de g(x) = 3x2 é f(x) = x3 + 4.

Nos exemplos 2 e 3 podemos observar que tanto x3 quando x3+4 são integrais indefinidas para 3x2. A diferença entre quaisquer destas funções (chamadas funções primitivas) é sempre uma constante, ou seja, a integral indefinida de 3x2 é x3+C, onde C é uma constante real.
Propriedades das integrais indefinidas
São imediatas as seguintes propriedades:
1ª. , ou seja, a integral da soma ou diferença é a soma ou diferença das integrais.
2ª. , ou seja, a constante multiplicativa pode ser retirada do integrando.
3ª. , ou seja, a derivada da integral de uma função é a própria função.
Integração por substituição
Seja expressão .
Através da substituição u=f(x) por u' = f'(x) ou , ou ainda, du = f'(x) dx, vem:
,
admitindo que se conhece .
O método da substituição de variável exige a identificação de u e u' ou u e du na integral dada.
INTEGRAIS DEFINIDAS
Seja uma função f(x) definida e contínua num intervalo real [a, b]. A integral definida de f(x), de a até b, é um número real, e é indicada pelo símbolo:
onde:
  • a é o limite inferior de integração;
  • b é o limite superior de integração;
  • f(x) é o integrando.
Se representa a área entre o eixo x e a curva f(x), para
Se representa a área entre as curvas, para

Integrais



A integral definida, nos exemplos vistos, representa uma área, o que ocorre em muitos casos, e é uma das formas de se apresentar a integral definida.
De forma geral, para , a área limitada por f(x) e o eixo x, é dada por , que pode representar a soma das áreas de infinitos retângulos de largura e cuja altura é o valor da função num ponto do intervalo da base:

Subdividindo o intervalo [a, b] em n subintervalos através das abscissas x0=a, x1, x2,...,xn=b, obtemos os intervalos (a, x1), (x1, x2), ...., (xn-1, b). Em cada intervalo (xi-1, xi) tomemos um ponto arbitrário hi.
Seja De acordo com a figura, os retângulos formados têm área
Então, a soma da áreas de todos os retângulos é:
que nos fornece um valor aproximado da área considerada.
Aumentando o número n de subintervalos , tal que tenda a zero e o número n de subintervalos tenda a infinito , temos as bases superiores dos retângulos e a curva praticamente se confundindo e, portanto, temos a área considerada.
Simbolicamente, escrevemos:

Exemplo:
Seja a área entre y = x e o eixo x, para :
Esta área é dada por:
Podemos notar que o processo do limite nos leva ao resultado procurado. Dividindo o intervalo [0, b] em n subintervalos, cada um terá largura .
Sejam, então, os pontos .
Como f(x) = x, então .
CÁLCULO DA INTEGRAL DEFINIDA
O método que temos para o cálculo da área ou da integral definida, no caso, é ainda muito complicado, conforme vimos no exemplo anterior, pois encontraremos somas bem piores.
Para tal, consideremos a área das figuras quando movemos a extremidade direita:
Se a área é dada por A(x), então A(a) = 0, pois não há área alguma. Já A(x) dá a área da figura 1, A(b), a área entre ou seja:
ou seja, A(x) é uma das antiderivadas de f(x). Mas sabemos que se F(x) é antiderivada qualquer de f(x), então A(x) = F(x) + C. Fazendo x = a, temos: A(a) = F(a) + C = 0 (A(a) = 0)
Logo, C = - F(a) e A(x) = F(x) - F(a).
Portanto:
ou ainda,
Exemplos:
Note que conseguimos uma forma de calcular integrais definidas e áreas sem calcular somas complicadas e usando apenas as antiderivadas.
PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA

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