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domingo, 24 de abril de 2016

Números complexos

Como em qualquer conjunto numérico, no conjunto dos números complexos existe uma maneira específica de aplicar as operações (adição, subtração, multiplicação e divisão). Antes de aplicarmos as operações devemos saber que um número complexo qualquer é indicado na maioria das vezes pela letra z e a sua forma geométrica é z = a + bi, onde a é a parte real e b a parte imaginária.

Adição e subtração

Dado dois números z1 = 2 – i e z2 = -3 + 7i. Somando os dois teremos:

z1 + z2 = (2 – i) + (-3 + 7i)
z1 + z2 = 2- i – 3 + 7i
z1 + z2 = 2 – 3 – i + 7i
z1 + z2 = - 1 + 6i

Dado dois números z1 = 2 – i e z2 = -3 + 7i. Somando os dois teremos:

z1 - z2 = (2 – i) - (-3 + 7i)
z1 - z2 = 2- i + 3 - 7i
z1 - z2 = 2 + 3 – i - 7i
z1 - z2 = 5 - 8i

Podemos concluir que para subtrair ou adicionar números complexos devemos operar parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária.

De uma maneira geral podemos representar a adição e a subtração com números complexos da seguinte forma.

Dados dos números complexos qualquer z1 = a + bi e z2 = c + di, veja a adição e subtração entre eles.

z1 + z2 = (a + bi) + (c + di)
z1 + z2 = a + bi + c + di
z1 + z2 = a + c + bi + di
Portanto, a adição de dois números complexos quaisquer pode ser calculada da seguinte forma:
z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i

z1 - z2 = (a + bi) - (c + di)
z1 - z2 = a + bi - c - di
z1 - z2 = a - c + bi - di
Portanto, a subtração de dois números complexos quaisquer pode ser calculada da seguinte forma:
z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i

Potência i

Os números considerados complexos são escritos acompanhados de uma parte imaginária. No complexo z = a + bi, temos que a parte imaginária é representada por bi. Considerando i a unidade imaginária, vamos determinar alguns valores de in. Veja:

Qualquer número elevado a zero será sempre 1, então:
i 0 = 1

Qualquer número elevado a 1 será ele mesmo, então:
i 1 = i

Conforme a regra dos números complexos:
i 2 = – 1
i 3 = i2 * i = (–1) * i = –i
i 4 = i2 * i2 = (–1) * (– 1) = 1
i 5 = i4 * i = 1 * i = i
i 6 = i5 * i = i * i = i2 = –1
i 7 = i6 * i = (–1) * i = – i
i 8 = i4 * i4 = 1 * 1 = 1
i9 = i8 * i = 1 * i = i
i10 =(i2)5 = (–1)5 = –1

A partir da potência i4 as outras vão se repetindo de 4 em 4, para calcularmos in (n um número inteiro qualquer), para calcularmos por exemplo a potência i343, iremos dividir o expoente n por 4. No caso do exemplo, iremos dividir 343 por 4, irá sobrar um resto r igual a 3, assim, podemos concluir que:

i n = i r
i 343 = i3, portanto i343 = – i

Exemplo 1

Aplicando as propriedades da potência, calcule (2 – 2i)6.
Podemos fatorar o expoente da seguinte forma:

[(2 – 2i)2]3 =
[22 – 2 * 2 * (2i) + (2i)2]3
[4 – 8i + 4i2]3 =
[4 – 8i + 4 * (–1)]3 =
[4 – 8i – 4]3 =
[– 8i]3 =
– 512 * i3 =
– 512 * (– i) =
+ 512i

Exemplo 2
Para calcularmos a seguinte soma: i 1993 + i 1994 + i 1995, devemos dividir cada expoente por 4 utilizando da seguinte propriedade i n = i r.
Dividindo 1993 por 4, termos como resto 1; dividindo 1994 por 4, teremos resto 2; dividindo 1995 por 4, teremos resto 3, substituindo os expoentes 1993, 1994 e 1995 (aplicando a propriedade in = ir) pelos seus respectivos restos, teremos:

i1 + i2 + i3 =
i + (–1) + (–i) =
i – 1 – i =
– 1 + i – i =
– 1

Portanto, i1993 + i1994 + i1995 = –1.
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Números complexos


Adição:
Sejam z1 = a + bi   e   z2 = c + di, a soma z1 + z2 é dada por:
z1 + z2 = ( a + c ) + ( b + d ) i
Propriedades da adição de complexos
i) associativa: para todo z1, z2, z3 pertence complexo, tem-se:
z1 + ( z2 + z3 ) = ( z1 + z2 ) + z3

ii) comutativa: para todo z1, z2 pertence complexo, tem-se:
z1 + z2 = z2 + z1

iii) elemento neutro: para todo z pertence complexo, tem-se:
z + 0 = 0 + z = z ( onde 0 = 0 + 0i  é o elemento neutro )

iv) oposto: para todo z = a + bi pertence complexo, tem-se:
O oposto de z é –z, que é dado por –z = – a – bi.

Subtração:
Não se faz a subtração, mas sim a adição com o oposto, neste caso:
z1 – z2 = z1 + ( – z2 ) = ( a + bi ) + ( – c – di ) = ( a – c ) + ( b – d ) i.

Multiplicação:
Sejam z1 = a + bi   e   z2 = c + di, o produto z1 . z2 é dado por:
a + bi
c + di
ac + bci + adi + bdi2   ( onde i2 = – 1 )
ac – bd + adi + bdi

z1 . z2 = ( ac – bd ) + ( ad + bc ) i
Propriedades da multiplicação de complexos
i) associativa: para todo z1, z2, z3 pertence complexo, tem-se:
z1 . ( z2 . z3 ) = ( z1 . z2 ) . z3

ii) comutativa: para todo z1, z2 pertence complexo, tem-se:
z1 . z2 = z2 . z1

iii) elemento neutro: para todo z pertence complexo, tem-se:
z . 1 = 1 + z = z ( onde 1 = 1 + 0i  é o elemento neutro )

iv) elemento inverso: para todo z = a + bi pertence complexo, tem-se:
O inverso de z é z–1, que é dado por z–1 = (a – bi )/(a2 + b2).

v) Distributiva em relação à adição: para todo z1, z2, z3 pertence complexo, tem-se:
z1 . ( z2 + z3 ) = ( z1 . z2 ) + (z1 . z3)
Conjugado:
O conjugado do complexo z = a + bi   é   conjugado = z' = a – bi   ( muda apenas o sinal da parte imaginária )
Divisão:
Sejam z1 = a + bi   e   z2 = c + di, o quociente z1 / z2 é dado pelo produto do conjugado do denominador a ambos os complexos:
z1 / z2 = ( z1 . z'2 ) / ( z2 . z'2 )
z1/z2 = z1.z2'/z2z2' = z1.z2'/z2z2' = z1.z2'/z2z2' =z1.z2'/z2z2'

Módulo

O módulo de um número complexo z = a + bi, é geometricamente a distância entre a sua imagem e a origem do sistema de Argand-Gauss, e algebricamente igual a raiz quadrada da soma dos quadrados das partes real e imaginária.

z | = ro   ( rô )

Plano de Argand-Gauss:
plano de gaus
(a, b) é a imagem ou afixo do número complexo  z = a + bi.

| z | = ro = raiz a^2+b^2   ( o módulo é um número real positivo ).

Argumento

O argumento é o ângulo, normalmente em radianos, formado pela reta que forma o módulo e o eixo real.
arg(z) = teta

Neste caso tem-se que:
cos teta = a / ro
sen teta = b / ro
tg teta = b / a

Logo, o argumento pode ser encontrado através de uma das igualdades abaixo:
teta = arg (z) = arc cos ( a / ro )
teta = arg (z) = arc sen ( b / ro )
teta = arg (z) = arc tg ( b / a )

Forma trigonométrica ou polar

O complexo z = a + bi (forma algébrica) escrito na forma trigonométrica ou forma polar é dado por:
z = ro . ( cos teta + i . sen teta ).
O oposto de z  é  – z = ro . [ – cos ( –teta ) + i . sen ( –teta ) ].

O conjugado de z  é  conjugado = ro . [ cos ( –teta ) + i . sen ( –teta ) ].

Operações na forma polar

Multiplicação:
Dados z1 = ro1 . ( cos teta1 + i . sen teta1 )   e   z2 = ro2 . ( cos teta2 + i . sen teta2 ), o produto z1 . z2 é dado por:
z1 . z2 = ro1 . ro2 [ cos ( teta1 + teta2 ) + i . sen ( teta1 + teta2 ) ].

Divisão:
Dados z1 = ro1 . ( cos teta1 + i . sen teta1 )   e   z2 = ro2 . ( cos teta2 + i . sen teta2 ), o quociente z1 / z2 é dado por:
z1 / z2 = ro1 / ro2 [ cos ( teta1 – teta2 ) + i . sen ( teta1 – teta2 ) ].

Potencia ção:
Seja z = ro . ( cos teta + i . sen teta )  e  "n" um número natural, então zn = ron . [ cos ( n . teta ) + i . sen ( n . teta ) ]

Radicia ção:
Seja z = ro . ( cos teta + i . sen teta )  e  "n"  um número natural, cada uma das "n" raízes de z é dada pela fórmula de De Moivre para a radiciação:
zk = raiz n-ésima de rô . ( cos (teta + 2kpi)/n + i . sen (teta + 2kpi)/n ), com k = 0, 1, 2, . . . , n – 1.

Exemplo:
As raízes cúbicas de z = – 8 são dadas por:

Encontrando o módulo de z:
| z |2 = (– 8)2 + 02 = 64

Então, | z | = 8

Encontrando o argumento de z:
cos teta = –8/8 = –1
sen teta = 0/8 = 0

arg(z) = teta = arc cos (–1) = pi

Escrevendo na forma polar tem-se:
z = 8 ( cos pi + i . sen pi )
As raízes são:
Para k = 0 tem-se:
z0 = raiz3-8 [ cos ( pi/3 ) + i . sen ( pi/3 ) ] = 2 . [ raiz de 3/2 + i . (1/2) ] = raiz de 3 + i.

Para k = 1 tem-se:
z1 = raiz3-8 [ cos ( 3pi/3 ) + i . sen ( 3pi/3 ) ] = 2 . [ cos ( pi ) + i . sen ( pi ) ] = 2 . ( – 1 + i . 0) = – 2.

Para k = 2 tem-se:
z2 = raiz3-8 [ cos ( 5pi/3 ) + i . sen ( 5pi/3 ) ] = 2 . [ cos ( pi/3 ) – i . sen ( pi/3 ) ] = 2 . ( raiz de 3/2 – i . (1/2) = raiz de 3 – i.

Obs.:   sen ( 5pi/3 ) = – sen ( pi/3 )

Exercícios Resolvidos
R01 — Calcule: 4i1241 – 5i311 + 2i332 + i34.
As potências de se repetem de 4 em 4 bastando, portanto, encontrar o resto da divisão das potências por 4, assim:
1241 dividido por 4 terá como resto 1, então i1242 = i1
311 dividido por 4 terá como resto 3, então i311 = i3
332 dividido por 4, resto 0, então i322 = i0
34 dividido por 4, resto 2, então i34 = i2

4i1241 – 5i311 + 2i332 + i34 =
4i1 – 5i3 + 2i0 + i2 =
4 . i – 5(– i) + 2 . 1 + (– 1) = 4i + 5i + 2 – 1 = 1 + 9i.

R02 — Qual o valor real de k para que o número z = ( ki + 2 ) . ( k – 2i ) seja real?
Resolvendo o produto ( ki + 2 ) . ( k – 2i ), tem-se:
k2i – 2ki2 + 2k – 4i =
– 2k(–1) + 2k + k2i – 4i =
2k + 2k + (k2 – 4) i =
4k + (k2 – 4) i.
Assim, para que seja real a parte imaginária tem que ser zero, logo:
k2 – 4 = 0
k2 = 4
k = ± raiz de 4
k' = 2 e k'' = – 2.

R03 — Dados z1 = – 4 + 3i; z2 = – 5 – 2i   e   z3 = – 1 + i, calcule z2 – z1 . z3 .
Primeiro calcula-se z1 . z3 =
(– 4 + 3i) . (– 1 + i) = (– 4) . (– 1) + (3i . i) + (– 4 . i + 3i . (– 1)) = 4 – 3 + (– 4 – 3) i = 1 – 7i.

z2 – z1 . z3 = – 5 – 2i – (1 – 7i) = – 5 – 1 – 2i + 7i = – 6 + 5i.

R04 — Obtenha o argumento do complexo z = – raiz de 2 – i . raiz de 2 .
Primeiro encontra-se o módulo de z:
| z | = raiz = raiz de 4 = 2

cos teta = – raiz de 2/2
sen teta = – raiz de 2/2

teta = arc cos ( – raiz de 2/2 )    e    teta = arc sen ( – raiz de 2/2 )

teta = 225° = 5pi/4   radianos.

R05 — Escreva na forma polar o conjugado do complexo  z = 1 – i raiz de 3 .
O módulo de "z" é:
| z | = raiz = raiz de 4 = 2

cos teta = 1/2
sen teta = – raiz de 3/2

teta = arc cos ( 1/2 )    e    teta = arc sen ( – raiz de 3/2 )

teta = 300° = 5pi/3   radianos.

Logo,  z = 2 . [ cos ( 5pi/3 ) + i . sen ( 5pi/3 ) ].

R06 — Escreva na forma algébrica o complexo z = raiz de 2 ( cos pi/4 + i sen pi/4 )
Como o  cos ( pi/4 ) = raiz de 2/2   e    sen ( pi/4 ) = raiz de 2/2, tem-se:

z = raiz de 2 . ( raiz de 2/2 + i raiz de 2/2 ) = 1 + i.

R07 — Determine a parte real do número complexo  z = ( 1 + i )20.
Como  ( 1 + i )20 = [ ( 1 + i )2 ]10 tem-se:

( 1 + i )2 = 12 + 2 . 1 . i + i2 = 1 + 2i – 1 = 2i.

[ ( 1 + i )2 ]10 = ( 2i )10 = 210 . i10 = 1024 . i2 = – 1024.

R08 — Qual o complexo "z" tal que  z + 3 . conjugado = 8 + 10 i.
Sendo  z = a + bi,  então,  conjugado = a – bi,  daí:
z + 3 . conjugado = 8 + 10 i
a + bi + 3(a – bi) = 8 + 10i
4a – 2bi = 8 + 10i
Assim, 4a = 8   e   –2b = 10
Logo, a = 2   e   b = – 5

Portanto, z = 2 – 5i.

R09 — Dados z1 = 3 raiz de 2 ( cos 3pi/4 + i sen 3pi/4 )   e   z2 = 5 ( cos 7pi/6 + i sen 7pi/6 ),  calcule  z1/z2 .
Calculando rô1 / rô2 = 3 raiz de 2/5

Calculando teta1 – teta2 = 3pi/4 – 7pi/6 = 9pi/12 – 14pi/12 = – 5pi/12

Como deu negativo soma-se 2pi    ( uma volta )
– 5pi/12 + 2pi = 19pi/12 rad.

Portanto, z1/z2 = 3 raiz de 2/5 [ cos ( 19pi/12 ) + i sen ( 19pi/12 ) ].

R10 — Dado o complexo  z = 2 [ cos ( 5pi/6 ) + i . sen ( 5pi/6 ) ],  calcule   z6.
Primeiro calcula-se | z |6 = 26 = 64

Depois, calcula-se n . arg(z) = 6 . 5pi/6 = 5pi

Como passou de 2pi, subtrai-se até a primeira volta ( tira-se 4pi )
5pi – 4pi = pi rad.

Portanto, z6 = 64 ( cos pi + i . sen pi ).

Exercícios Propostos
P01 — Calcule: 3i2352 – 4i3011 + 5i2312 + i3437 + 7i892 + 2i1025.

P02 — Calcule o valor de (2 – i)2.

P03 — Determine o valor de k, para que z = (k2 – k – 6) + (k2 – 9) i  seja um imaginário puro.

P04 — Dados z1 = – 3 + 2i  e  z2 = 5 + 4i,  calcule  z2 – z1.

P05 — Dados z1 = – 4 + i  e  z2 = – 3 – 4i,  calcule  z2 . z1.

P06 — Dados z1 = 3 – 4i  e  z2 = – 2 + 2i,  calcule  z2 / z1.

P07 — Represente no plano de Argand-Gauss o complexo z = – 5 – 4 i.

P08 — (UFU-MG) Sejam os complexos z = 2x – 3i e t = 2 + yi, onde x e y são números reais. Se z = t, então o produto x . y é:
a) 6                   b) 4                   c) 3                   d) – 3                   e) – 6

P09 — (PUC-MG) O quociente de (8 + i)/(2 – i) é igual a:
a) 1 + 2i                   b) 2 + i                   c) 2 + 2i                   d) 2 + 3i                   e) 3 + 2i

P10 — (FESP/UPE) Seja z = 1 + i, onde i é a unidade imaginária. Podemos afirmar que z8 é igual a:
a) 16                   b) 161                   c) 32                   d) 32i                   e) 32 + 16i

P11 — Determine o número natural n tal que (2i)n + (1 + i)2n + 16i = 0.

P12 — Dados z1 = 3 + 2i  e  z2 = 4 + 2i,  calcule  z1 / z2.

P13 — Determine o número complexo "z" tal que i . z + 2 . z' + 1 – i = 0.

P14 — Calcule o valor de: 1 + i + i2 + i3 + i4 + . . . + i100.

P15 — Escreva na forma polar o complexo  z = 2 – 2i.

P16 — Escreva na forma algébrica o complexo z = 2 [ cos ( 4pi/3 ) + i . sen ( 4pi/3 ) ].

P17 — Calcular na forma polar o produto de  z1 = 2raiz-3 – 2i por  z2 = – 5 + 5raiz-3 i.

P18 — Seja z = – raiz-3 + i, calcule z4.

P19 — Dados z1 = 3 . ( cos 2pi/3 + i sen 2pi/3 )  e   z2 = 5 . ( cos pi/6 + i sen pi/6 ),  calcule   z1. z2.

P20 — Dados z1 = 2 . ( cos 3pi/4 + i sen 3pi/4 )  e   z2 = 4 . ( cos 4pi/3 + i sen 4pi/3 ),   calcule  z1 / z2.

P21 — Sendo z = 4 ( cos pi/3 + i sen pi/3 ) calcule z5.

P22 — Determine as raízes cúbicas de z = – i.

P23 — Encontre as raízes quádruplas z = – 1.
fonte:hpdemat.apphb.com