EXERCÍCIOS PARA O PROFMAT

Vamos socializar problemas e questões que podem vir no modelo do PROFMAT para a prova desse mês. Aqui vão algumas questões que tenho estudado, para quem quizer treinar, podendo postarem respostas para que possamos discutir!!

VESTIBULAR DA PUCCAMP-ITA-USP e outros

1- Adriano assistiu o treinamento de seus amigos numa pista de ciclismo e anotou o tempo que cada um deles levou para completar a prova. Veja os dados, em segundos, anotados no quadro:

362  367  382  380
360  400  370  363

A média aritmética dos tempos utilizados pelos ciclistas é
(A) 6 min 13 s
(B) 6 min 15 s
(C) 6 min 18 s
(D) 7 min 10 s
(E) 7 min 20 s

2- Um veículo parte em viagem com adultos e crianças, sendo o número de adultos o dobro do número de crianças. Somente os adultos sabem dirigir. Sorteando uma dessas pessoas, ao acaso, a probabilidade de ser um homem adulto é 1/5 e a probabilidade de resultar um menino é 2/7 . Escolhendo uma pessoa do sexo masculino, ao acaso, a probabilidade de que ela possa dirigir o veículo é de:

(A) 1/5
(B) 2/7
(C) 7/17
(D) 17/35
(E) 2/3

3- No diagrama abaixo, representa-se uma pista de atletismo sobre um referencial cartesiano, cuja unidade de medida de comprimento é o metro.

A pista é composta por dois trechos retos paralelos e duas semi-circunferências de mesmo tamanho. A equação cartesiana da circunferência de abcissa positiva é:

(A) x² + y² + 30y + 125 = 0

(B) x² + y² - 30y + 125 = 0

(C) x² - y² + 30x + 125 = 0

(D) x² + y² + 30x + 125 = 0

(E) x² + y² - 30x + 125 = 0

4- No final do ano de 2005, o número de motocicletas licenciadas em certa cidade era de 450 e, no final de 2008, esse número passou para 690 . Admitindo-se que o gráfico do número de motocicletas em função do tempo seja formado por pontos situados sobre uma mesma reta, pode-se estimar que, no final de 2012, o número de motocicletas nessa cidade será igual a:
a) 850
b) 930
c) 1010
d) 1090

5- No retângulo ABCD da figura abaixo, M é ponto médio de AD e os segmentos AC e BM se cortam em P . Além disso, sabe-se que a área desse retângulo mede 180 unidades. Com base nessas informações, é correto afirmar que a medida da área do triângulo APM, em unidades de área, é:

a) 10
b) 12
c) 15
d) 18

6- Um palco possui 6 refletores de iluminação. Num certo instante de um espetáculo
moderno os refletores são acionados aleatoriamente de modo que, para cada um dos refletores, seja de 2/3 a probabilidade de ser aceso: Então, a probabilidade de que, neste instante, 4 ou 5 refletores sejam acesos simultaneamente, é igual a

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Questões do Profmat

1

Sérgio B. de Miranda

1. Maria se exercita regularmente em sua bicicleta, por 30 minutos. Sua

meta, em cada sessão, é gastar, no mínimo, 420 kcal. Depois de se

exercitar por 20 minutos, ela observa no mostrador que já gastou 240

kcal. Para cumprir seu objetivo, ela deve aumentar a intensidade do

exercício nos próximos 10 minutos de maneira a aumentar o dispêndio

de calorias por minutos em relação à média dos primeiros 20 minutos

em:

(A) 25%

(B) 30%

(C) 50%

(D) 60%

(E) 80%

Solução: (C)

Calculando a taxa de calorias que Maria consumiu nos 20 min de

exercício temos:

240 kcal / 20 min = 12 kcal/min

Se Maria consumiu 240 kcal ainda lhe resta gastar: 420 kcal – 240 kcal

= 180 kcal, assim a taxa de consumo de caloria nos 10 min finais na

sessão de exercícios, é:

180 kcal / 10 min = 18 kcal/min

Assim é necessário que aumente a taxa de consumo em 6 kcal/min.

kcal %

12 100

6 x

12 / 6 = 100 / x

12 . x = 100 . 6

x = (100 . 6) / 12 = 50%

Sérgio B. de Miranda

2. Marcos quer pintar os vértices, numerados de 1 a 6 no sentido anti

horário, de um hexágono regular dispondo, para isto, de 4 cores, com

as seguintes restrições:

a) Dois vértices vizinhos devem ter cores distintas,

b) Dois vértices opostos devem ter a mesma cor.

De quantas maneiras distintas ele pode fazer isto? (Duas pinturas são

distintas se algum dos vértices numerados foi pintado com cores

diferentes).

(A) 12

(B) 24

(C) 30

(D) 60

(E) 72

Solução: (B)

Seguindo as restrições temos:

Para o vértices 1 temos 4 possibilidades de cores;

Para o vértices 2 temos 3 possibilidades de cores;

Para o vértices 3 temos 2 possibilidades de cores;

Para o vértices 4 temos 1 possiblidade, pois é oposto ao vértices 1;

Para o vértices 5 temos 1 possiblidade,

Para o vértices 6 temos 1 possiblidade, pois é oposto ao vértices 3;

Assim, as maneiras distintas de realizar a pintura do hexágono regular é:

4 . 3 . 2 . 1 . 1 . 1 = 24

es pois é oposto ao vértices 2;

2

antihorário,

Sérgio B. de Miranda

3. Uma broca de raio r = 2 perfura um cone circular reto de altura H =

12 e raio R = 6 ao longo de seu eixo central. O resultado é um tronco

de cone perfurado conforme ilustrado acima. O volume do buraco

cilíndrico é então:

(A) 16 π

(B) 20 π

(C) 24 π

(D) 28 π

(E) 32 π

Solução: (E)

O primeiro passo é calcular a altura do tronco cônico resultante do

processo de perfuração da broca.

Figura 1: Vista em cirte do tronco cônico

Pela Figura 1, podemos calcular a altura do cone pela Semelhança de

Triângulos:

12 / x = 6 / 2

3

4

Sérgio B. de Miranda

12 / x = 3

x = 4

Assim a altura do tronco cônico é: 12 – 4 = 8. Calculando o volume do

cilindro:

Vcilindro = π . r2 . h = π . 22 . 8 = 32 . π

4. Um cientista tirou duas medidas das grandezas x e y, obtendo os

pares (x1, y1) = (3, 1) e (x2, y2) = (4, 3). Pela teoria, essas grandezas

deveriam ser proporcionais, isto é, deveria existir “a” tal que y = a . x ,

mas isso não ocorreu no experimento. Como ele acha que foi por causa

dos erros experimentais, então achou “a” que dá o menor valor

possível para (y1 – a . x1)2 + (y2 – a . x2)2. O valor de a que o cientista

encontrou foi:

(A) 3 / 5

(B) 2 / 3

(C) 2 / 5

(D) 3 / 4

(E) 4 / 7

Solução: (A)

(y1 – a . x1)2 + (y2 – a . x2)2 = (1 – a . 3)2 + (3 – a . 4)2 =

= (1 – 6 . a + 9 . a2) + (9 – 24 . a + 16 . a2) = 1 – 6 . a + 9 . a2 + 9 – 24 . a

+ 16 . a2 =

= 10 – 30 . a + 25 . a2 = 2 – 6 . a + 5 . a2

Temos uma equação do 2º grau, cujo gráfico é uma parábola, e como a

> 0, a concavidade desta parábola é voltada para baixo. Como a esta

multiplicando x1 e x2, devemos calcular o x no vértice, pois neste local

temos o valor mínimo desta equação:

xv = – b / (2 . a) = – (– 6) / (2 . 5) = 6 / 10 = 3 / 5

Sérgio B. de Miranda

5. A um vendedor foi fixada uma meta de fazer um certo número de

abordagens e também uma meta de sucesso de venda de 60% das

abordagens. Quando havia realizado 75% das abordagens, o vendedor

contabilizou um sucesso de 56% sobre as abordagens já realizadas,

percebeu que deveria aumentar sua porcentagem de sucessos nos 25%

restantes para conseguir atingir a meta. Quanto deve ser o percentual

de sucessos sobre o restante das abordagens para que ele consiga

atingir a meta de sucesso fixada inicialmente?

(A) 100 %

(B) 90 %

(C) 80 %

(D) 72%

(E) 64 %

Solução: (D)

Seja n a meta das abordagens. A meta de sucesso das abordagens é de

60%, ou seja:

5

e

6

Sérgio B. de Miranda

60% de n = (60/100) . n = (3/5) . n

Se já foi feita 75% da meta, temos:

75% de n = (75/100) . n = (3/4) . n

Deste total 56% são abordagens de sucesso:

56% de [(3/4) . n] = (56/100) . (3/4) . n = (14/25) . (3/4) . n = (21/50) . n

Portanto, a quantidade de sucessos que falta é:

(3/5) . n – (21/50) . n = (9/50) . n

Ainda faltam 25% das abordagens para completar a meta de sucessos,

ou seja:

25% de n = (25/100) . n = (1/4) . n

Pela “Regra de Três Simples”:

Abordagens %

(1/4) . n 100

(9/50) . n x

[(1/4) . n] / [(9/50) . n] = 100 / x

25 / 18 = 100 / x

(18 . 100) / 25 = x

72 = x

6. Existem 36 pessoas numa fila de cinema. Na frente de Mário existem

21 pessoas. Entre Bruno e Mário existem 14 pessoas. Sabe-se ainda que

existe uma pessoa a mais entre Carlos e Bruno do que entre Carlos e

Mário. Quantas pessoas estão na frente de Carlos?

(A) 15

(B) 13

7

Sérgio B. de Miranda

(C) 11

(D) 12

(E) 14

Solução: (E)

Se existem 21 pessoas na frente de Mário (M) ele não é nem o primeiro

nem o último da fila. Existem 14 pessoas entre Mário e Bruno (B),

como atrás de Mário existem 14 pessoas, Bruno está localizado na

frente de Mário. Carlos se localiza a frente de Mário e atrás de Bruno.

36º ~

23º

22º x ? x+1 7º 6º ~ 1º

M C B

Entre Mário e Bruno existem 14 pessoas, subtraindo Carlos sobram 13

pessoas.

x + (x + 1) = 13

2x = 12

x = 6

O número de pessoas na frente de Carlos é a soma de 6 + 1 + 7 = 14

pessoas.

7. Imagine que você possui um fio de cobre extremamente longo, mas

tão longo que você consegue dar a volta num planeta esférico X que é

uma bola redonda, sem nenhuma montanha ou depressão, com raio de

exatamente 6.000.000 de metros.

O fio, com seus milhões de metros, está ajustado ao planeta X, ficando

bem colado ao chão ao longo do equador deste planeta. Digamos agora

que você acrescente 1 metro ao fio e o molde de modo que ele forme um

círculo enorme, cujo raio é um pouco maior que o raio de X e tenha o

mesmo centro. A folga obtida pela diferença dos raios do círculo

original e do aumentado é:

(A) Menor que 1 centímetro.

8

Sérgio B. de Miranda

(B) Maior que 10 metros.

(C) Entre 1 centímetro e 5 centímetros.

(D) Entre 5 centímetros e 20 centímetros.

(E) Entre 20 centímetros e 10 metros.

Solução: (D)

O comprimento inicial do fio é a circunferência do planeta X:

Cplaneta X = 2. π . rplaneta x

Caumentada = Cplaneta x + 1

Caumentada – Cplaneta x = 1

2. π . raumentada – 2. π . rplaneta x = 1

2. π . (raumentada – rplaneta x) = 1

raumentada – rplaneta x = 1 / (2. π)

Seja 1 m = 100 cm e π = 3,14.

raumentada – rplaneta x = 100 / (2. 3,14) = 15,92 cm.

8. Um arquiteto desenhou a rosácea da figura, produzida por

interseções de seis círculos de raios iguais centrados sobre os vértices

de um hexágono regular inscrito num círculo de mesmo raio. O

arquiteto pretende fazer o desenho de forma tal que os círculos tenham

10 m de raio, num grande paredão, e para calcular a tinta necessária

precisa estimar a área da rosácea (que está sombreada no desenho).

Entre as cinco alternativas abaixo, aquela que melhor estima a área da

rosácea é:

(A) 50 m2

(B) 80 m2

(C) 110 m2

(D) 160 m2

(E) 310 m2

Sérgio B. de Miranda

Solução: (C)

(I) Método

Observe o hexágono traçado na circunferência da esquerda na Figura 1.

Perceba que ele divide uma pétala

A área da rosácea é o dobro da diferença da área do circulo, em que ela

esta inscrita, pela área do hexágono regular inscrito na mesma

circunferência.

Acircunferência = π . r2 , onde

Ahexágono = [(3/2) . (a2 . √3)] , onde a é o lado do hexágono.

Arosácea = 2 . (Acircunferência –

Arosácea = 2 . {(π . r2) – [(3/2) . (a

Como o hexágono está inscrito na circunferência

Arosácea = 2 . {(π . r2) – [(3/2) . (r

= r2 [(2 . π) – (3 . √3)]

da rosácea ao meio.

r é o raio da circunferência.

Ahexágono)

a2 . √3)]}

a = r

r2 . √3)]} = (2 . π . r2) – (3 . r

9

, então:

r2 . √3) =

Sérgio B. de Miranda

Considerando π ≈ 3,14 e

Arosácea = r2 [(2 . π) – (3 . √

(II) Método

Observe a Figura 2. Cada pétala é formada por dois segmentos

circulares e sua área é o dobro da diferença entre o setor circular pela

área do triângulo equilátero contido neste setor.

Atriângulo = (a2 . √3) / 4 , onde

Asetor circular = (π . r2 . a) / 360º , onde

circunferência.

Apétala = 2 . {[(π . r2 . a) / 360]

O lado do triângulo equilátero é formado pelo raio da circunferência,

então a = r.

Apétala = 2 . {[(π . r2 . a) / 360]

= 2 . {[(π . r2 . a) – [90 . (r

180

Considerando π ≈ 3,14 e

√3 ≈ 1,73.

3)] = 102 [(2 . 3,14) – (3 . 1,73)]

a é o lado do triângulo equilátero.

a é o ângulo central e

– [(a2 . √3) / 4]}

– [(r2 . √3) / 4]} =

r2 . √3)] / 360} = [(π . r2 . a)

√3 ≈ 1,73.

10

≈ 103 m2

r é o raio da

– [90 . (r2 . √3)] /

11

Sérgio B. de Miranda

Apétala = {(π . r2 . 60) – [90 . (r2 . √3)]} / 180 =

= {(3,14 . 102 . 6000) – [(90 . (102 . 1,73)]} / 180 ≈ 18,17 m2

Como temos 6 pétalas

Arosácea = 6 . Apétala = 6 . 18,17 = 109,02 m2

9. Uma equipe de corrida de aventura é composta por quatro membros,

sendo um deles obrigatoriamente mulher. Dez pessoas foram

convidadas a participar da seleção da equipe, das quais 4 são

mulheres. Quantas equipes diferentes podemos formar com esse grupo?

(A) 250

(B) 195

(C) 240

(D) 210

(E) 300

Solução: (B)

A quantidade de equipes é a subtração do total combinações possíveis

pelo total de combinações formadas só por homens.

C10,4 – C6,4 = {10! / [4! (10 – 4)!]} – {6! / [4! (6 – 4)!]} = 210 – 15 =

195

10. Um grupo de amigos planejou fazer uma confraternização de fim de

ano e cada um deveria contribuir com R$ 15,00. No dia marcado,

entretanto, 5 desses amigos não puderam comparecer. Para cobrir as

despesas cada um dos que compareceram contribuiu com R$ 20,00,

sendo que ainda sobrou R$ 10,00 (que foram dados ao garçom do

restaurante como gratificação). Quantas pessoas compareceram?

(A) 15

(B) 16

(C) 17

(D) 18

12

Sérgio B. de Miranda

(E) 20

Solução: (C)

Seja n o número de amigos que planejaram a confraternização, então no

dia compareceram n – 5 amigos.

20,00 . (n – 5) – 10,00 = 15,00 . n

20,00 . n – 100,00 – 10,00 = 15,00 . n

5,00 . n = 110,00

n = 22

Se 22 amigos planejaram a confraternização e 5 não compareceram

então 17 amigos compareceram na confraternização.

Coleção de materiais do PROFMAT: Mestrado Profissional em Matemática

Publicado por Charles Bastos |

A Coleção de Materiais do PROFMAT

Desta vez, resolvi organizar aos poucos todo o material que tenho colecionado enquanto aluno do curso, apesar de já existir um espaço no Google Drive com boa parte destes materiais e de ter relutado em organizar esta coleção aqui no blog, fui convencido de que mais uma fonte destes recursos só ajudará a muitos alunos. E isso é verdade, nos grupos que participo pelo Facebook existem vários colegas que continuam trabalhando enquanto alunos do mestrado e que não têm tempo para fazer tantos exercícios e encontram no material uma boa contribuição para seus estudos.

A coleção até o momento apresenta 327 arquivos com os seguintes materiais, organizados em várias pastas:

• Avaliações das disciplinas;
• Exame Nacional de Acesso;
• Exame Nacional de Qualificação;
• Exercícios/Soluções;
• Livros;
• Outros Materiais (MicroEconomia, POTI);

Ainda não fazem parte da coleção os resumos e vídeos que o curso disponibiliza aos alunos no ambiente Moodle. Até o final desta primeira semana adicionaremos no mínimo mais 100 arquivos com materiais relacionados ao Profmat! Acompanhem.

Download

O material que estou colecionando está sendo estruturado e irá ganhando novos recursos aos poucos; toda a coleção está disponível para download em um dos servidores:

Google Drive

Box

Curso Geogebra

Inscrição aqui

EXERCÍCIOS PARA O PROFMAT

09 - Considere a equação algébrica

Sabendo que x = 0 é uma das raízes e que (a₁, a₂, a₃) é uma progressão geométrica com a₁ = 2 e soma 6, pode-se afirmar que

A ( ) a soma de todas as raízes é 5.

B ( ) o produto de todas as raízes é 21.

C ( ) a única raiz real é maior que zero.

D ( ) a soma das raízes não reais é 10.

E ( ) todas as raízes são reais.

Não deixe de resolver ver os primeiros exercícos em: http://jonasportal.blogspot.com/2011/11/exercicios-para-o-profmat-2011.html

Até breve!!  http://jonasportal.blogspot.com.br/

RESOLUÇÃO LISTA EXERCÍCIOS PROFMAT

QUESTÃO 1
Maria se exercita regularmente em sua bicicleta, por 30 minutos. Sua meta, em cada sessão, é gastar, no mínimo, 420 kcal. Depois de se exercitar por 20 minutos, ela observa no mostrador que já gastou 240 kcal. Para cumprir seu objetivo, ela deve aumentar a intensidade do exercício nos próximos 10 minutos de maneira a aumentar o dispêndio de calorias por minutos em relação à média dos primeiros 20 minutos em:
A) 25%
B) 30%
C) 50%
D) 60%
E) 80%
Solução:
Meta: 420 kcal em 30’
Gastou: 240kcal em 20’: 240/20= 12kcal/min
Ele deve gastar mais 180 kcal em 10’: 18kcal/min
Fazendo 18kcal-12kcal=6kcal
Usamos uma regra de três simples:
12kcal----100%
6kcal-----x
X=50%
Resp.: C
QUESTÃO 2
Marcos quer pintar os vértices, numerados de 1 a 6 no sentido anti-horário, de um hexágono regular dispondo, para isto, de 4 cores, com as seguintes restrições:
a) Dois vértices vizinhos devem ter cores distintas,
b) Dois vértices opostos devem ter a mesma cor.
De quantas maneiras distintas ele pode fazer isto? (Duas pinturas são distintas se algum dos vértices numerados foi pintado com cores diferentes).
A) 12
B) 24
C) 30
D) 60
E) 72
Solução:
Essa solução eu fiz usando a figura:
Considerando as condições estabelecidas, temos:
4 possibilidades para V₁
3 possibilidades para V_{2 ,}
2 possibilidades para V₃
V₄, V₅, V₆ tem a mesma cor de V₂, V₁ e V₃, respectivamente, restando para eles apenas uma possibilidade.
Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos: 4x3x2x1=24 modos distintos
Resp: B
QUESTÃO 3

Uma broca de raio r = 2 perfura um cone circular reto de altura H = 12 e raio R = 6
ao longo de seu eixo central. O resultado é um tronco de cone perfurado conforme
ilustrado acima. O volume do buraco cilíndrico é então:
A) 16π
B) 20π
C) 24π
D) 28π
E) 32π
Solução:
Vamos analisar a figura:
Usaremos a relação de semelhança entre as medidas:



Sabendo que:
obtemos:

Usando o volume do cilindro, encontramos:



Resposta: E

Solução:
Devemos substituir os valores de (x₁,y₁)=(3,1) e (x₂,y₂)=(4,3) em (y₁-ax₁)²+(y₂-ax₂)²
Fica assim:
(1-a.3)²+(3-a.4)²=1-6a+9a²+9-24a+16a²=25a²-30a+10 = 5a²-6a+2
Que resultou numa função quadrática com gráfico cuja concavidade é voltada para cima. Portanto, devemos encontrar o valor mínimo de x que será encontrado usando X_v=-b/2a
Temos:
Letra A

5ª QUESTÃO

A um vendedor foi fixada uma meta de fazer um certo número de abordagens e também uma meta de sucesso de venda de 60% das abordagens. Quando havia realizado 75% das abordagens, o vendedor contabilizou um sucesso de 56% sobre as abordagens já realizadas, e percebeu que deveria aumentar sua porcentagem de sucessos nos 25% restantes para conseguir atingir a meta. Quanto deve ser o percentual de sucessos sobre o restante das abordagens para que ele consiga atingir a meta de sucesso fixada inicialmente?
A) 100%
B) 90%
C) 80%
D) 72%
E) 64%

Solução:
Total de abordagens: X
Meta de Sucesso: 60% de X = 0,6X
Quando realizou 75% das abordagens, ou seja 0,75X, teve sucesso de 56%. Portanto, devemos fazer:
56% de 0,75X = 0,42X
Faltam, então 0,6X – 0,42X = 0,18X, ou seja, 18% do total de abordagens.
Sabendo que restam apenas 25%=0,25 de abordagens para serem realizadas, usamos uma regra de três simples:
0,25--------100%
0,18---------y
Resultando em y = 18/0,25=72%
Resposta: D
Questão 08

Um arquiteto desenhou a rosácea da figura, produzida por interseções de seis círculos de raios iguais centrados sobre os vértices de um hexágono regular inscrito num círculo de mesmo raio. O arquiteto pretende fazer o desenho de forma tal que os círculos tenham 10 m de raio, num grande paredão, e para calcular a tinta necessária precisa estimar a área da rosácea (que está sombreada no desenho). Entre as cinco alternativas abaixo, aquela que melhor estima a área da rosácea é:
A) 50m2
B) 80m2
C) 110m2
D) 160m2
E) 310m2

Solução:
Calculamos inicialmente ÁREA DO CÍRCULO(Ac) -ÁREA DO HEXÁGONO(Ah):

Sabendo que l=r=10m e considerando π=3,14 e raiz quadrada de 2 igual a 1,73, temos:

Multiplicando por 2 encontramos a área da rosácea:
Área Rosácea = 54,5x2=109m²
Portanto, o valor mais próximo está na letra C.
Fonte:http://jonasportal.blogspot.com/