Pular para o conteúdo principal

Postagens

Mostrando postagens com o rótulo Estatistica

Média Aritmética - Exercícios resolvidos

Média Aritmética - Exercícios resolvidos 01. Calcular a média aritmética entre os números 3, 4, 6, 9 e 13. RESOLUÇÃO: A média aritmética é 7. 02. Calcular a média aritmética ponderada dos números 35, 20 e 10. RESOLUÇÃO: A média aritmética ponderada é 18 03. a) Calcular a média aritmética Ma, a média geométrica Mg e a média harmônica Mh dos números 2 e 8. b) Compare os três resultados RESOLUÇÃO: a) Ma = 5; Mg = 4; Mh = 3,2 b) Ma > Mg > Mh 04. (ITA) Sabe-se que a média harmônica entre o raio e a altura de um cilindro de revolução vale 4. Quanto valerá a razão entre o volume e a área total do cilindro? a) 1 b) 2 c) 2,5 d) 3 e) 3,5 RESPOSTA: A 05. Comprei 5 doces a R$ 1,80 cada um, 3 doces a R$ 1,50 e 2 doces a R$ 2,00 cada. O preço médio, por doce, foi de: a) R$ 1,75 b) R$ 1,85 c) R$ 1,93 d) R$ 2,00 e) R$ 2,40 RESPOSTA: A 06. Uma empresa de embalagem mistura x kg de café tipo A, que custa 4 reais por quilograma,

Freqüência Absoluta

Quando queremos levantar dados estatísticos devemos seguir os seguintes passos: Escolher uma população estatística • Classificar os dados escolhidos sobre uma população estatística. • Escolher uma característica a ser observada na população. Essa característica é chamada de característica estatística. • Elaborar uma tabela de dados com as características estatísticas. Veja o exemplo: Considere um grupo de 10 adolescentes de um colégio estadual. Iremos pesquisar dentre eles quantos lêem 2 livros por mês, quantos lêem 1 livro por mês e quantos não lêem. O quadro abaixo mostra essa pesquisa. Veja o resultado: Dos 10 adolescentes que participaram da pesquisa: 5 lêem 2 livros por mês. 3 lêem 1 livro por mês. 2 não tem o hábito da leitura. Veja o que podemos coletar dessa pesquisa: População estatística: grupo dos 10 adolescentes. Unidade estatística: cada adolescente que pertence ao grupo. Variável estatística: quantidade de livros lidos por mês. Quantidade de livro

Moda e Mediana

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso Colégio Estadual Dinah Gonçalves email accbarroso@hotmail.com           www.ensinodematemtica.blogspot.com .br www.accbarrosogestar.blogspot.com.br   www.youtube.com/accbarroso1         A Estatística está presente em diversas situações cotidianas e setores da sociedade, dessa forma, é conteúdo essencial em provas de concursos públicos. A moda e a mediana são elementos importantes na análise de dados pesquisacionais. Essas duas modalidades são utilizadas na determinação de medidas de tendência central. A moda diz respeito ao valor que mais se repete na sequência dos dados e a mediana é caracterizada pela medida do termo central. Para que sejam determinados os valores da moda e da mediana, devemos organizar os dados em rol, isto é, organizá-los em sequências. Moda Exemplo 1 Em uma cidade, foram registradas as seguintes temperaturas médias no período da manhã durante 10 dias: 10 ºC, 13 ºC, 1

A mediana e a amplitude inter-quartis

Uma outra forma de sumarizar dados é em termos dos quantis ou percentis . Essas medidas são particularmente úteis para dados não simétricos. A mediana (ou percentil 50) é definida como o valor que divide os dados ordenados ao meio, i.e. metade dos dados têm valores maiores do que a mediana, a outra metade tem valores menores do que a mediana. Adicionalmente, os quartis inferior e superior , Q1 e Q3, são definidos como os valores abaixo dos quais estão um quarto e três quartos, respectivamente, dos dados. Estes três valores são frequentemente usados para resumir os dados juntamente com o mínimo e o máximo. Eles são obtidos ordenando os dados do menor para o maior, e então conta-se o número apropriado de observações: ou seja é , e para o quartil inferior, mediana e quartil superior, respectivamente. Para um número par de observações, a mediana é a média dos valores do meio (e analogamente para os quartis inferior e superior). A medidade de dispersão é a amplit

Variância e Desvio Padrão

A Variância e o Desvio Padrão são consideradas medidas de dispersão e utilizadas nas situações em que grupos com médias de valores iguais, possuem características diferentes. A Variância estabelece os desvios em relação à média aritmética e o Desvio Padrão analisa a regularidade dos valores. Vamos através de um exemplo prático, demonstrar uma aplicação básica envolvendo as duas medidas. Na preparação para os jogos Olímpicos de Atenas, três atletas do salto em altura ao realizarem um treinamento diário, consideraram seus quatro melhores saltos em centímetros. Veja: Dentre os atletas, a melhor média foi a do Atleta Z, veja: Atleta X = (144 + 171 + 150 + 138) / 4 = 150,75 Atleta Y = (146 + 170 + 152 + 137) / 4 = 151,25 Atleta Z = (145 + 169 + 154 + 140) / 4 = 152 Atleta W = (150 + 167 + 149 + 141) / 4 = 151,75 Em situações que envolvam disputas olímpicas, o atleta com melhor média, às vezes não é considerado o mais indicado, pois verifica-se a questão da regularidad

Média Geométrica

Para calcularmos a média geométrica entre números devemos realizar a multiplicação entre eles e, logo em seguida, extrair a raiz com índice igual ao número de fatores utilizados na multiplicação. Por exemplo, ao calcular a média geométrica dos números 2, 4 e 6, efetuamos o seguinte cálculo: A média geométrica é muito utilizada nas situações envolvendo aumentos sucessivos. Por exemplo, vamos considerar um aumento de salário sucessivo de 15% no primeiro mês, 12% no segundo mês e 21% no terceiro mês. Vamos determinar a média geométrica dos aumentos, mas para isso as taxas percentuais devem ser transformadas em taxa unitárias, observe: 15% = 1,15 12% = 1,12 21% = 1,21 O valor 1,1594 corresponde a taxa média de 15,94% de todos os aumentos sucessivos. Isso indica que se aplicarmos três vezes consecutivas a taxa de 15,94% corresponderá ao aumento sucessivo dos percentuais de 15%, 12% e 21%. Suponhamos que o salário reajustado seja de R$ 600,00. Acompanhe os aument

Variáveis na Estatística

As variáveis nos estudos estatísticos são os valores que assumem determinadas características dentro de uma pesquisa e podem ser classificadas em qualitativas ou quantitativas . As variáveis qualitativas não podem ser expressas numericamente, pois relacionam situações como a cor da pele, cor dos olhos, marca de refrigerante, marca de automóvel, preferência musical entre outras. Elas podem ser divididas em ordinais e nominais . As variáveis qualitativas ordinais , apesar de não serem numéricas, obedecem a uma relação de ordem, por exemplo: conceitos como ótimo, bom, regular e ruim, classe social, grau de instrução, etc. Já as variáveis qualitativas nominais não estão relacionadas à ordem, elas são identificadas apenas por nomes, por exemplo, as cores: vermelho, amarelo, preto, azul, rosa, verde, etc. Também como exemplo de nominais temos as marcas de carros, nome de bebidas, local de nascimento entre outros. No caso das variáveis quantitativas usamos a representação

Frequência Absoluta e Frequência Relativa

A Estatística é uma ferramenta matemática muito utilizada em vários setores da sociedade, organizando dados de pesquisas e apresentando informações claras e objetivas. Iremos através de um exemplo construir uma tabela de freqüência absoluta e freqüência relativa de uma variável. Exemplo Às pessoas presentes em um evento automobilístico foi feita a seguinte pergunta: Qual a sua marca de carro preferida? Pedro: Ford Bruna: Peugeot Anete: Ford Paulo: Peugeot Célio: Volks Manoel: GM Carlos: GM Fred: Volks Sérgio: Fiat Gilson: GM Rui: Fiat Cláudia: Volks Antônio : Fiat Márcio: Volks Marcelo: GM Ana: Nissan Geraldo: Volks Rita: Ford Pedro: Ford Alicia: Renault Meire: GM

Moda e mediana

Ao realizar uma pesquisa é aconselhável realizar um estudo estatístico dos dados apresentados. Através desse estudo podemos tirar as conclusões necessárias sobre o universo pesquisado. A estatística descritiva é a parte da estatística responsável por realizar essa análise, apontando tendências de comportamento das variáveis, criando gráficos e descrevendo as características dos conjuntos pesquisados. Numa pesquisa, os dados tendem a se concentrar em torno dos valores centrais. Esses valores centrais são chamados de medidas de tendência central. São elas: Média, Moda e Mediana. Iremos abordar e conceituar Moda e Mediana. Definição de Moda (M o ): é o valor que mais aparece num conjunto de dados. Exemplo 1. Os dados abaixo se referem à idade de 20 alunos de uma turma de 6º ano. Idade: {12, 11, 12, 13, 12, 11, 13, 12, 12, 11, 14, 13, 13, 12, 11, 12, 13, 14, 11, 14} A moda desse conjunto de dados será a idade que mais aparece, ou seja: M o = 12 (pois é a idade que apar

Média Aritmética de Intervalos

Em algumas situações estatísticas, os dados são apresentados em intervalos agrupados. Dessa forma, o cálculo da média aritmética é realizado de forma mais complexa. Nesse caso, temos que determinar primeiramente a média de cada intervalo multiplicando o resultado pela frequência absoluta do intervalo. O somatório desses produtos deverá ser dividido pelo somatório da frequência absoluta, constituindo a média dos valores agrupados em intervalos. Observe o seguinte exemplo: A tabela a seguir mostra a massa (em quilograma) de um grupo de pessoas. Os dados foram informados em intervalos. Veja: Determinando a média de cada intervalo: Média Aritmética = ∑(XA * XM) / ∑XA Média Aritmética = 6040 / 88 Média Aritmética = 68,63 (aproximadamente) A média aritmética envolvendo a massa (kg) das pessoas do grupo é de aproximadamente 68,63 kg. Por Marcos Noé Graduado em Matemático

Histograma

Na estatística, um histograma é uma representação gráfica da distribuição de frequências de uma massa de medições, normalmente um gráfico de barras verticais. É uma das Sete Ferramentas da  Qualidade . O histograma é um gráfico composto por retângulos justapostos em que a base de cada um deles corresponde ao intervalo de classe e a sua altura à respectiva freqüência. Quando o número de dados aumenta indefinidamente e o intervalo de classe tende a zero, a distribuição de freqüência passa para uma distribuição de densidade de probabilidades. A construção de histogramas tem caráter preliminar em qualquer estudo e é um importante indicador da distribuição de dados. Podem indicar se uma distribuição aproxima-se de uma função normal, como pode indicar mistura de  populações  quando se apresentam bimodais. Histograma: Gráfico composto por duas linhas perpendiculares onde a altura representa o valor da grandeza, e as grandezas são colocadas na linha horizontal. Sobre cada uma levanta

Quartis

A mediana é o valor que divide a amostra em duas partes iguais, deixando exactamente 50% das observações de cada lado. Também a poderíamos dividir em quatro partes iguais, cada uma contento 25% dos dados. Nesse caso cada uma das partes seria um quartil . O primeiro quartil escreve-se abreviadamente Q1/4, correspondendo a 25% dos dados. O segundo quartil Q2/4, corresponde à mediana. O terceiro quartil Q3/4, corresponde a 75% das observações. O seu cálculo é análogo ao da mediana. Começa-se por determinar a respectiva classe observando as frequências relativas acumuladas. A amostra também pode ser divida em 10 partes de 10% cada, originando os decis ou em 100 partes de 1% obtendo-se os percentis . 1. Utilizando a Tabela 5, calcula: - O primeiro quartil, Q1/4 - O segundo quartil, Q2/4 - O terceiro quartil, Q3/4 fonte:estatisticax.blogspot.com.br

Diagramas de Venn na Estatística

John Venn (1834 - 1923) O estudo e desenvolvimento da Estatística requerem um planejamento organizacional, em razão da importância significativa de uma pesquisa. O matemático inglês John Venn, criou um sistema de representação de diagramas no intuito de determinar uniões e intersecções, facilitando a organização e interpretação de dados pesquisados. A representação através desses diagramas recebeu o nome de Diagramas de Venn em retribuição à sua grande contribuição para a matemática. Utilizando o diagrama de Venn Observe o exemplo: Uma pesquisa sobre a preferência dos leitores de uma cidade em relação aos jornais A, B e C foi realizada. Foram entrevistados 360 leitores entre homens e mulheres maiores de 18 anos de idade. Os dados coletados na pesquisa foram os seguintes: 120 leem o jornal A. 170 leem o jornal B. 150 leem o jornal C. 40 leem o jornal A e B. 15 leem os jornais A e C. 30 leem os jornais B e C. 05 leem os jornais A, B e C. Quantos leitores preferem l

Agrupamento de Dados em Intervalos

Os estudos estatísticos são responsáveis pela análise de informações através de tabelas informativas e representações gráficas, no intuito de fornecer clareza nos resultados obtidos. Os dados coletados são organizados em tabelas que detalham as frequências absoluta e relativa. Em algumas situações, a quantidade de informações diferenciadas torna inviável a construção de uma tabela com uma linha para cada representação de valor. Nesses casos optamos por agrupar os dados em intervalos de classes. Para a melhor representação dessa situação iremos apresentar um grupo de pessoas, das quais suas alturas foram coletadas. Observe: 1. Amorim: 1,91 2. Antônio: 1,78 3. Bernardo: 1,69 4. Carlos: 1,82 5. Celso: 1,80 6. Danilo: 1,72 7. Douglas: 1,73 8. Daniel: 1,76 9. Everton: 1,77 10. Gabriel: 1,93 11. Gustavo: 1,84 12. Heitor: 1,87 13. Ítalo: 1,85 14. João Carlos: 1,89 15. João Vinicius: 1,70 16. Leonardo: 1,91 17. Lucas: 1,86 18. Marlon: 1,70 19. Orlando: 1,71 20. Pedro: 1,93 Par

Boxplot

O boxplot (gráfico de caixa) é um gráfico utilizado para avaliar a distribuição empírica do dados. O boxplot é formado pelo primeiro e terceiro quartil e pela mediana.  As hastes inferiores e superiores se estendem, respectivamente, do quartil inferior até o menor valor não inferior ao limite inferior e do quartil superior até o maior valor não superior ao limite superior. Os limites são calculados da forma abaixo Limite inferior:  . Limite superior:  . Para este caso, os pontos fora destes limites são considerados valores discrepantes (outliers) e são denotados por asterisco (*). A Figura  a seguir apresenta um exemplo do formato de um boxplot. O boxplot pode ainda ser utilizado para uma comparação visual entre dois ou mais grupos. Por exemplo, duas ou mais caixas são colocadas lado a lado e se compara a variabilidade entre elas, a mediana e assim por diante. Outro ponto importante é a diferença entre os quartis   que é uma medida da variabilidade dos dados. Ex

Coeficiente de variação

Como o desvio padrão é expresso na mesma unidade dos dados observados em estudo, comparar duas ou mais séries de valores que estão em unidades de medida diferentes torna-se impossível. Para sanar essas dificuldades, podemos analisar a dispersão em termos relativos a seu valor médio, utilizando o coeficiente de variação de Pearson. O coeficiente de variação é dado pela fórmula: Onde, C v → é o coeficiente de variação s → é o desvio padrão X ̅ → é a média dos dados O coeficiente de variação é dado em %, por isso a fórmula é multiplicada por 100. Observações: O coeficiente de variação fornece a variação dos dados obtidos em relação à média. Quanto menor for o seu valor, mais homogêneos serão os dados. O coeficiente de variação é considerado baixo (apontando um conjunto de dados bem homogêneos) quando for menor ou igual a 25%. O fato de o coeficiente de variação ser dado em valor relativo nos permite comparar séries de valores que apresentam unidades de medida disti

Moda e mediana

Ao realizar uma pesquisa é aconselhável realizar um estudo estatístico dos dados apresentados. Através desse estudo podemos tirar as conclusões necessárias sobre o universo pesquisado. A estatística descritiva é a parte da estatística responsável por realizar essa análise, apontando tendências de comportamento das variáveis, criando gráficos e descrevendo as características dos conjuntos pesquisados. Numa pesquisa, os dados tendem a se concentrar em torno dos valores centrais. Esses valores centrais são chamados de medidas de tendência central. São elas: Média, Moda e Mediana. Iremos abordar e conceituar Moda e Mediana. Definição de Moda (M o ): é o valor que mais aparece num conjunto de dados. Exemplo 1. Os dados abaixo se referem à idade de 20 alunos de uma turma de 6º ano. Idade: {12, 11, 12, 13, 12, 11, 13, 12, 12, 11, 14, 13, 13, 12, 11, 12, 13, 14, 11, 14} A moda desse conjunto de dados será a idade que mais aparece, ou seja: M o  = 12 (pois é a idade que aparece mai

Variância e desvio-padrão

A variância e o desvio-padrão são medidas de dispersão . Há situações em que as medidas de tendência central, como a média, a moda e a mediana, não são as mais adequadas para a análise de uma amostra de valores. Nesses casos, é necessário utilizar as medidas de dispersão. Em um vestibular onde o critério de aprovação para a próxima fase é ficar acima da média de acertos dos candidatos, um determinado candidato só precisa comparar seu número de acertos com essa média para saber se passou para a próxima fase. Para se ter uma ideia do tempo de viagem de uma determinada linha de ônibus, pode-se ter por base o tempo mais frequentemente observado, que seria a moda. Provavelmente, os resultados acima e abaixo desse valor mais frequente podem ter sido obtidos em dias mais atípicos, com mais congestionamento nas ruas, em finais de semana ou em um feriado. Agora, considere uma escola que deseja ajudar alunos de uma turma com dificuldade em uma determinada matéria, por meio d