Ensino de Matemática

segunda-feira, 24 de junho de 2019

Mínimo Múltiplo Comum (m.m.c)

Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles.

Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6:

Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30,...

Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,...

Múltiplos comuns de 4 e 6: 0, 12, 24,...

Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles.

Chamamos o 12 de mínimo múltiplo comum de 4 e 6.

Indica-se: m.m.c (4 e 6) = 12

Agora vamos achar os múltiplos comuns de 40 e 60.

Múltiplos de 40: 0, 40, 80, 120, 160, 200, 240, 280, 320, 360, 400...

Múltiplo de 60: 0, 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480...

Os múltiplos comuns de 40 e 60 são: 0, 120, 360...

O número 120 é o menor ou mínimo múltiplo comum dos números naturais 40 e 60.

Indica-se: m.m.c (40 e 60) = 120.
Existem outras duas maneiras de calcular o m.m.c de dois ou mais números naturais:

Vamos começar determinando o menor número natural, diferente de zero, que é múltiplo comum dos números 20 e 40.

1º) Primeiramente, vamos decompor cada um dos números em fatores primos:

Agora, consideramos todos os fatores na forma fatorada, cada um deles com seu maior expoente.

Neste caso esses fatores são 2³ x 5

O produto dos fatores encontrados será o m.m.c procurado, ou seja:

m.m.c (20, 40) = 2³x 5 = 40

2º) A outra maneira de calcular o m.m.c é fazendo uma decomposição simultânea, em fatores primos, considerando os mesmos números 20 e 40.

Neste processo decompomos todos os números ao mesmo tempo, num dispositivo como mostra o exemplo abaixo. O produto dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é o m.m.c. desses números.

ATIVIDADES

1) Calcule o m.m.c dos números abaixo e depois clique na alternativa correta:

a) 18 e 26
* 126
* 234
* 425

b) 24 e 36
* 72
* 48
* 66

c) 60, 80
* 320
* 260
* 240

d) 16 e 32
* 32
* 16
* 360

e) 50 e 75
* 175
* 150
* 75

EXPRESSÕES NUMÉRICAS

Professor de Matemática e Ciências Antonio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

email accbarroso@hotmail.com www.youtube.com/accbarroso1

Blog HTTP://ensinodematemtica.blogspot.com
http://accbarrosogestar.blogspot.com.br

extraído do http://jmp25.blogspot.com

EXPRESSÕES NUMÉRICAS

EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
1) As operações de adição e de subtração são efetuadas na ordem em que aparecem

Exemplos

a)7-3+1-2=
=4+1-2=
=5-2=
=3

B)15-1-2+5=
=14-2+5=
=12+5=
=17

2) Existem expressões onde aparecem os sinais de associação e que devem ser eliminados nesta ordem

1º) parênteses ( )
2º) cochetes [ ]
3º) Chaves { }

exemplos

a)74+{10-[5-(6-4)+1]}=
=74+{10-[5-2+1]}=
=74+{10-[3+1]}=
=74+{10-4}=
=74+6=
=80

EXERCÍCIOS

1) Calcule o valor das expressões

a) 10-1+8-4= (R:13)
b) 12-8+9-3= (R:10)
c) 25-1-4-7= (R:13)
d) 45-18+3+1-2= (R:29)
e) 75-10-8+5-1= (R:61)
f) 10+5-6-3-3+1= (R:4)

2) Efetue as operações

a) 237+98 = (R:335)
b) 648+2334 = (R: 2982)
c) 4040+404 = (R: 4444)
d) 4620+1398+27 = (R: 6045)
e) 3712+8109+105+79 = (R:12005)
f) 256-84 = (R: 172 )
g) 2711-348 = (R: 2363)
h) 1768-999 = (R: 769)
i) 5043-2584 = (R: 2459)
j) 8742-6193 = (R: 2549)

3) Calcule o valor das expressões

a) 30-(5+3) = (R: 22)
b) 15+(8+2) = (R: 25)
c) 15-(10-1-3) = (R: 9)
d) 23-(2+8)-7 = (R: 6 )
e) (10+5)-(1+6) = (R: 8)
f) 7-(8-3)+1= (R: 3 )
4) Calcule o valor das expressões

a) 25-[10+(7-4)] = (R:12)
b) 32+[10-(9-4)+8] = (R:45)
c) 45-[12-4+(2+1)] = (R:34)
d) 70-{20-[10-(5-1)]} = (R:56)
e) 28+{13-[6-(4+1)+2]-1} = (R:37)
f) 53-{20-[30-(15-1+6)+2]} = (R:45)
g) 62-{16-[7-(6-4)+1]} = (R:52)
h) 20-{8+[3+(8-5)-1]+6} = (R:1)
i) 15+{25-[2-(8-6)]+2} = (R:42)
j) 56-[3+(8-2)+(51-10)-(7-2)] = (R:11)
l){42+[(45-19)-(18-3)+1]-(28-15)-1} = (R:)

5) Calcule o valor da expressões

a) 7-(1+3)= (R:3)b) 9-(5-1+2)= (R:3)
c) 10-(2+5)+4= (R:7)
d) (13-7)+8-1= (R:13)
e) 15-(3+2)-6= (R:4)
f) (10-4)-(9-8)+3= (R:8)g) 50-[37-(15-8)]= (R:20)
h) 28+[50-(24-2)-10]= (R:46)
i) 20+[13+(10-6)+4]= (R:41)
j) 52-{12+[15-(8-4)]}= (R:29)

6)Calcule o valor das expressões:

a) 25 + { 12 + [ 2 – ( 8 – 6 ) + 2 ]} = (R:39)
b) { [ ( 18 – 3 ) + ( 7 + 5) – 2 ] + 5 } – 12 = (R:18)c) 65 – { 30 – [ 20 – ( 10 – 1 + 6) + 1 ]} = (R: 41)d)45 + { 15 – [ ( 10 – 8 ) + ( 7 – 4) – 3 ] – 4 } = (R:54)
e) 40 + { 50 – [35 – ( 25 +5) – 1 ]} + 7 = (R:93)
f)38 – { 20 – [ 22 – ( 5 + 3) + ( 7 – 4 +1)]} = ( R:36)
g) 26 + { 12 – [ ( 30 – 18) + ( 4 – 1) – 6 ] – 1 } = (R:28)

7) Calcule o valor das expressões

a) 10 - 5 - 2 + 3 = (R: 6)
b) 10 - ( 5 + 2) + 3 = (R:6)
c) ( 10 - 5) - ( 2 + 3) = ( R: 0)
d) 10 - ( 5 - 2 + 3) = ( R: 4)
e) ( 17 + 9 ) - 8 - ( 11 + 4) = (R: 3)f) 86 + ( 31 - 16 + 60 ) - ( 200 - 70 - 50 ) = ( R: 81)
g) ( 79 + 21 - 84) + ( 63 - 41 + 17 ) - 26 = ( R: 29)
8) Calcule o valor das expressões:

a) 10 – 1 + 8 – 4
b) 12 – 8 + 9 – 3
c) 25 – 1 – 4 – 7
d) 30 – ( 5 + 3 )
e) 15 + ( 8 + 2 )
f) 25 – ( 10 – 1 – 3 )
g) 45 – 18 + 3 + 1 – 2
h) 75 – 10 – 8 + 5 – 1
i) 10 + 5 – 6 – 3 – 3 + 1
j) 23 – ( 2 + 8 ) – 7
k) ( 10 + 5 ) – ( 1 + 6 )
l) 7 – ( 8 – 3 ) + 1
m) 25 – [ 10 + ( 7 – 4 ) ]
n)32+ [ 10 – ( 9 – 4 ) + 8 ]
o) 45 – [ 12 – 4 + ( 2 + 1 )]
p) 70 – { 20 – [ 10 – ( 5 – 1 ) ]}
q) 28 + { 13 – [ 6 – ( 4 + 1 ) + 2 ] – 1 }
r) 53 – { 20 – [ 30 – ( 15 – 1 + 6 ) + 2 ]}
s) 62 – { 16 – [ 7 – ( 6 – 4 ) + 1 ]}
t) 20 – { 8 + [ 3 + ( 8 – 5 ) – 1 ] + 6}
u) 15 + { 25 – [ 2 – ( 8 – 6 )] + 2 }
v) 56 – [ 3 + ( 8 – 2 ) + ( 51 – 10 ) – ( 7 – 2 )]
w) { 42 + [ (45 – 19) – ( 18 – 3 ) + 1 ] – (28 – 15 ) ]}
x) 7 – ( 1 + 3 )
y) 9 – ( 5 – 1 + 2 )
z) 10 – ( 2 + 5 ) + 4

EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM AS QUATRO OPERAÇÕES

Nessas expressões, as operações se realizam obedecendo à seguinte ordem:

1º) multiplicações e divisões

2º) adições e subtrações

Se houver sinais de associação (parenteses, colchetes e chaves) devemos proceder da seguinte maneira:

1º) As contas dentro dos parenteses seguindo a ordem acima colocada

2º) As contas dentro dos colchetes senguindo a ordem acima colocada

3º) As contas dentro das chaves seguindo a ordem acima colocada

EXEMPLOS

1º) 15+[(3x6-2)-(10-6:2)+1]=
= 15+[(18-2)-(10-3)+1]=
=15+[16-7+1]=
=15+[9+1]=
=15+10=
=25

2º) 50-{40-3x[5-(10-7)]}=
= 50-{40-3x[5-3]}=
= 50-{40-3x2}=
= 50-{40-6}=
= 50-34=
=16

EXERCÍCIOS

1) Calcule as expressões

a) 3x75+3x25 = (R:300)
b) 5x97+5x3 = (R:500 )
c) 4x101+4x99 = (R:800)
d) 20x47+80x47 = (R:4700)
e) 12+16:8x3-5 = (R:13)f) 100-6x7+8:2 = (R:62)
g) 64:8+5x5-3 = (R: 30)
h) 1+3+5x7-9:3 = (R:36)

2) Calcule o valor das expressões:

a) 7+15:3 = (R:12)
b) 4x5+1 = (R:21)
c) 10:2+8 = (R:13)
d) 32+12:2 = (R:38)
e) 20:10+10 = (R:12)
f)7x3-2x5 = (R:11)
g)40-2x4+5 = (R:37)
h)4x3+10:2 = (R:17)i)50-16:8+7 = (R:55)j)32:4:2:2 = (R:2)

3) Calcule o valor das expressões

a) (13+2)x3+5 = (R:50)
b)(7+2)x(3-1) = (R:18)
c)(4+2x5)-3 = (R:11)d) 20-(15+6:3) = (R:3)
e)15+[6+(8-4:2)] = (R:27)
f)40-[3+(10-2):2] = (R:33)
g)[30+2x(5-3)]x2-10 = (R:58)
h) 10+[4+(7x3+1)]-3 = (R:33)

4) Calcule o valor das expressões

a) (3+2)x(5-1)+4 = (R:24)
b) 82-8x7:(4-1x3) = (R:26)
c) 25-[10-(2x3+1)] = (R:22)
d) 70-[12+(5x2-1)+6] = (R:43)
e)8:2+[15-(4x2+1)] = (R:10)
f)9+[4+2x(6-4)+(2+5)]-8 = (R:16)g) 50+{10-2x[(6+4:2)-(10-3)]} = (R:58)
h)180:{10+2x[20-45:(13-2x5)]} = (R:9)
5) Calcule o valor das expressões:

a) 70:7-1= (R:9)
b) 20+3x2= (R:26)
c) 30+10:10 = (R:31)
d) 150-7x12= (R:66)
e) 48:16+20:4 = (R:8)f) 10-8:2+3 = (R:9)
g) 30:5-1+2x3 = (R:11)
6) Calcule as expressões:

a)(3+4)x(9-8) = (R:7)
b)(20+8):(3+4) = (R:4)
c)15+8x(2+3) = (R:55)
d)(5+3x2)-1= (R:10)e)25+(8:2+1)-1= (R:29)
f) 15+[5x(8-6:2)] = (R:40)
g)50-[13-(10-2):2] = (R:41)h)[40+2x(7-5)]x2-20 = (R:68)
7) Calcule o valor das expressões:

a)16+[10-(18:3+2)+5]
b)25-[12-(3x2+1)]
c)90-[25+(5x2-1)+3]
d)45+[(8x5-10:2)+(18:6-2)]
e) 50-2x{7+8:2-[9-3x(5-4)]}
f)100-3x{5+8:2-[3x(7-6)]}

8) Determine o valor de cada expressão

a) 1000 - [(2 . 4 - 6) + ( 2 + 6 . 4)] = (R: 972)
b) 60 + 2 . {[ 4 . ( 6 + 2 ) - 10 ] + 12} = ( R: 128 )
c) [( 4 + 16 . 2) . 5 - 10] . 100 = (R: 17.000)
d) { 10 + [ 5 . ( 4 + 2 . 5) - 8] . 2 } - 100 = ( R: 34)
e) 80 - 5 . ( 28 - 6 . 4 ) + 6 - 3 . 4 = (R: 54)

9) Calcule

a) 4 . ( 10 + 20 + 15 + 30) = (R: 300)
b) (10 . 6 + 12 . 4 + 5 . 8 ) - 40 = (R: 108)
c) [ 6 . ( 3 . 4 - 2 . 5) - 4 ] + 3 . ( 4 - 2) - ( 10 : 2 ) = (R: 9)
d) 67 + { 50 . [ 70 : ( 27 + 8 ) + 18 : 2 ] + 21 } = (R:638)
e) [ 30 . ( 9 - 6)] + { 30 : ( 9 + 6 ) ] = (R: 92)
f) 58 - [ 20 - ( 3 . 4 - 2) : 5 ] = (R: 40)
g) 40 + 2 . [ 20 - ( 6 + 4 . 7 ) : 2 ] = ( R: 46)

10) Calcule o valor das expressões

a) (12 + 2 . 5) - 8 = (R: 14)
b) 25 - ( 15 + 6 : 3) = (R: 8)c) 25 +[7 + ( 8 - 4 :2)] = (R: 38)
d) 60 - [8 + ( 10 - 2 ) : 2] = (R: 46)
e) 80 - [ 22 + ( 5 . 2 - 1 ) + 6] = (R: 43)
f) 14 : 2 + [ 13 - ( 4 . 2 + 1 ) ] = (R: 11)
g) [ 30 + 2 x ( 5 – 3 ) ] x 2 – 10
h) 20 : 10 + 10
i) 10 + [ 4 + ( 7 x 3 + 1 ) ] – 3

11) Resolva as expressões numéricas:

a) 8 – ( 1 + 3)
b) 7x 3 – 2 x 5
c) ( 13 – 7 ) + 8 – 1
d)4 x 3 + 10 : 2
e) 15 – ( 3 + 2 ) – 6
f) 40 – 2 x 4 + 5
g) ( 10 – 4 ) – ( 9 – 8 ) + 3
h) 50 – 16 : 8 + 7
i) 50 – [37 – ( 15 – 8 ) ]
j) 32 : 4 : 2 : 2
l) 28 + [ 50 – ( 24 – 2 ) – 10 ]
m) ( 13 + 2) x 3 + 5
n) 20 + [ 13 + ( 10 – 6 ) + 4 ]
o) ( 7 + 2 ) x ( 3 – 1 )
p) 52 – { 12 + [ 15 – ( 8 – 4 )]}
q) ( 4 + 2 x 5 ) – 3
r) 7 + 15 : 3
s) 20 – ( 15 + 6 : 3)
t) 4 x 5 + 1
u) 15 + [ 6 + ( 8 – 4 : 2 )]
v) 10 : 2 + 8
x) 40 – [ 3 – (10 – 2 ) : 2 ]
z) 32 + 12 : 2

Classificação dos Parasitas

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

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Os parasitas podem ser classificados segundo vário critérios:
Quanto ao número de hospedeiros
São classificados em monoxenos ou monogenéticos e heteroxenos ou digenéticos.

Monoxenos ou monogenéticos são os parasitas que realizam o seu cicio evolutivo em um único hospedeiro.
Exemplos: o Ascaris lumbricoides (lombriga) e o Enterobius vermicularis (oxiúrio).
Heteroxenos ou digenéticos são os parasitas que só completam o seu ciclo evolutivo passando pelo menos em dois hospedeiros. São exemplos o esquistossomo e o tripanossoma.

Quanto à localização nos hospedeiros
Quanto à localização nos hospedeiros, os parasitas podem ser ectoparasitas ou endoparasitas.

Ectoparasitas são os que se localizam nas partes externas dos hospedeiros. Exemplos: a sanguessuga, o piolho, a pulga, etc.
Endoparasitas são os que se localizam nas partes internas dos hospedeiros. Exemplos: as tênias (solitárias) , a lombriga, o esquistossomo, etc.

Quanto ao número de células
Quanto ao número de células, os parasitas podem ser classificados em unicelulares ou pluricelulares.
Quando um parasita unicelular se instala no seu hospedeiro, falamos em infecção. Se o parasita é pluricelular, à sua instalação no hospedeiro dá-se o nome de infestação.

Holoparasitas e Hemiparasitas
Os parasitas vegetais podem ser de dois tipos: holoparasitas e hemiparasitas.
Holoparasitas são os vegetais que não realizam a fotossíntese ou a quimiossíntese. São os verdadeiros vegetais parasitas. Parasitam os vegetais superiores, roubando-lhes a seiva elaborada.
É o caso do cipó-chumbo, vegetal superior não clorofilado. 0 cipó-chumbo possui raízes sugadoras ou haustórios que penetram no tronco do hospedeiro, retirando deles a seiva elaborada.
Hemiparasitas são os vegetais que, embora realizando a fotossíntese, retiram do hospedeiro apenas a seiva bruta. Como exemplo temos a erva-de-passarinho, vegetal superior clorofilado, que rouba de seu hospedeiro a seiva bruta.
Os vegetais hemiparasitas apresentam, portanto, nutrição autótrofa e heterótrofa.

Antibiose ou Amensalismo - é a interação desarmônica onde uma espécie produz e libera substâncias que dificultam o crescimento ou a reprodução de outras podendo até mesmo matá-las.
Como exemplos temos:

- certas algas planctônicas dinoflageladas (do tipo Pirrófitas), quando em superpopulação (ambiente favorável) liberam substâncias tóxicas na água causando o fenômeno da maré vermelha onde ocorre a morte de vários seres aquáticos intoxicados por tais substâncias;
- raízes de algumas plantas que liberam substâncias tóxicas, que inibem o crescimento de outras plantas.
- folhas que caem no solo (ex.: pinheiros) liberam substâncias que inibem a germinação de sementes.
- fungos do gênero Penicillium produzem penicilina, antibiótico que mata bactérias.

Esclavagismo ou Escravismo - é a interação desarmônica na qual uma espécie captura e faz uso do trabalho, das atividades e até dos alimentos de outra espécie. Certas formigas amazonas e formigas foscas, são exemplos.
Um exemplo é a relação entre formigas e os pulgões (Afídeos).

Os pulgões são parasitas de certos vegetais. Alimentam-se da seiva elaborada que retiram dos vasos liberianos de plantas como a roseira, a orquídea, etc.
A seiva elabora é rica em açúcares e pobre em aminoácidos. Por absorverem muito açúcar, os pulgões eliminam o seu excesso pelo ânus.
Esse açúcar eliminado é aproveitado pelas formigas, que chegam a acariciar com suas antenas o abdômen dos pulgões, fazendo-os eliminar mais açúcar.
As formigas transportam os pulgões para os seus formigueiros e os colocam sobre raízes delicadas, para que delas retirem a seiva elaborada.
Muitas vezes as formigas cuidam da prole dos pulgões para que no futuro, escravizando-os, obtenham açúcar.
Alguns autores consideram esse tipo de interação como uma forma de protocooperação, particularmente denominada sinfilia.

Associação competitiva - a competição compreende a interação ecológica em que indivíduos da mesma espécie ou indivíduos de espécies diferentes disputam alguma coisa, como por exemplo, alimento, território, luminosidade etc. Logo, a competição pode ser intra-específica (quando estabelecida dentro da própria espécie) ou inter específica (entre espécies diferentes). Em ambos os casos, esse tipo de interação favorece um processo seletivo que culmina, geralmente, com a preservação das formas de vida mais bem adaptadas ao meio ambiente e com a extinção dos indivíduos com baixo poder adaptativo. Assim, a competição constitui um fator regulador da densidade populacional, contribuindo para evitar a superpopuIação das espécies.
Cynara C. Kessler

Relações Ecológicas

Relações Ecológicas

Interespecífica (entre indivíduos de espécies diferentes)

Comensalismo

Associação em que um indivíduo aproveita restos de alimentares do outro, sem prejudicá-lo. Ex.: Tubarão e Rêmoras, Leão e a Hiena, Urubu e o Homem.

Tubarão e Peixe Rêmora – O tubarão é reconhecidamente o maior predador dos mares, ou seja, o indivíduo que normalmente ocupa o ápice da cadeia alimentar no talassociclo. Já o peixe-rêmora é pequeno e incapaz de realizar a façanha do predatismo. O peixe-rêmora vive então associado ao grande tubarão, preso em seu ventre através de uma ventosa (semelhante a um disco adesivo). Enquanto o tubarão encontra uma presa, estraçalhando-a e devorando-a, a rêmora aguarda pacientemente, limitando-se a comer apenas o que o grande tubarão não quis. Após a refeição, o peixe-rêmora busca associar-se novamente a outro tubarão faminto.Para a rêmora a relação é benéfica, já para o tubarão é totalmente neutra.

Leão e a Hiena – os leões são grandes felinos e ferozes caçadores típicos das savanas africanas. Eles vivem em bandos e passam a maior parte do dia dormindo (cerca de 20 horas, segundo alguns etologistas). Entretanto são caçadores situando-se, a exemplo dos tubarões, no ápice da cadeia alimentar. As hienas são pequenas canídeas que também se agrupam em bandos, mas que vivem a espreita dos clãs dos leões. Quando os leões estão caçando, as hienas escondem-se esperando que todo o grupo de felinos se alimente. As hienas aguardam apenas o momento em que os leões abandonam as carcaças das presas para só assim se alimentarem.

Urubu e o Homem - O urubu ou abutre (nomes vulgares que variam de acordo com a localização, mas que na verdade representam aves com o mesmo estilo de vida) é um comensal do homem. O homem é o ser da natureza que mais desperdiça alimentos. Grande parte dos resíduos sólidos das grandes cidades é formado por materiais orgânicos que com um tratamento a baixos custos retornariam à natureza de forma mais racional. O urubu é uma grande ave que se vale exatamente deste desperdício do homem em relação aos restos de alimentos.

Protocooperação

Associação facultativa entre indivíduos, em que ambos se beneficiam. Ex.: Anêmona do Mar e paguro, gado e anum (limpeza dos carrapatos), crocodilo africano e ave palito (higiene bucal).

Às margens do rio Nilo, na África, os ecólogos perceberam a existência de um singular exemplo de protocooperação entre os perigosos crocodilos e o sublime pássaro-palito. Durante a sesta os gigantescos crocodilos abrem sua boca permitindo que um pequeno pássaro (o pássaro-palito) fique recolhendo restos alimentares e pequenos vermes dentre suas poderosas e fortes presas. A relação era tipicamente considerada como um exemplo de comensalismo, pois para alguns apenas o pássaro se beneficiava. Entretanto, a retirada de vermes parasitas faz do crocodilo um beneficiado na relação, o que passa a caracterizar a protocooperação.

Outro exemplo é do boi e do anum. Os bois e vacas são comumente atacados por parasitas externos (ectoparasitas), pequenos artrópodes conhecidos vulgarmente por carrapatos. E o anum preto (Crotophaga ani) tem como refeição predileta estes pequenos parasitas. A relação é benéfica para ambos (o boi se livra do parasita e o anum se alimenta).

Bernardo-eremita e Anemôna-do-mar - O bernardo-eremita é um crustáceo do gênero Pagurus cuja principal característica é a de possuir a região abdominal frágil, em razão do exoesqueleto não possuir a mesma resistência do cefalotórax. Este crustáceo ao atingir a fase adulta (ainda em processo de crescimento, portanto realizando as mudas) procura uma concha de molusco gastrópode (caramujo) abandonada, e instala-se dentro desta. De certa forma o crustáceo permanece protegido. Entretanto, alguns predadores, ainda assim conseguem retirar o Pagurus de dentro da concha. É aí que entra a anêmona-do-mar, um cnidário. Como todos os cnidários (ou celenterados), a anêmona-do-mar é dotada de estruturas que liberam substâncias urticantes com a finalidade de defender-se. A associação beneficia tanto a anêmona quanto o Bernardo: o Bernardo consegue proteção quando uma anêmona se instala sobre sua concha (emprestada), pois nenhum predador chega perto. Já a anêmona beneficia-se porque seu “cardápio” alimentar melhora bastante quando de “carona” na concha do Bernardo. A anêmona normalmente faz a captação de seus alimentos (partículas) através de seus inúmeros tentáculos, esperando que estes passem por perto. Na carona do Bernardo há um significativo aumento no campo de alimentação para a anêmona.

Eremita com anêmona grudada em sua concha.
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centro histórico de Salvador

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

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Salvador foi fundada em 1549 sobre uma colina, dominando uma imensa baía, segundo velha tradição portuguesa. Primeira capital do País, a cidade logo incorporou duas outras funções: a de porto de apoio às rotas do Oriente e a de grande centro de exportação de açúcar. Estas duas atividades iriam contribuir para a formação de uma população mestiça de portugueses e escravos africanos, importados em grande escala para o cultivo da cana. A esses se somaram outros contingentes étnicos, a partir do final do século XIX, dando origem a uma cultura popular muito rica, na qual se misturam traços ocidentais, africanos e, em menor escala, orientais.

Não menos original é a cidade de dois pisos criada por essa gente. Sobressaíam sobre a colina as torres das igrejas, as moles dos edifícios públicos e os grandes sobrados dos senhores de engenho, negreiros e exportadores. Pelas encostas escorria o casario de gente miúda. No porto, trapiches, sobrados de escritórios e casas de pescadores e marinhantes. A primeira muralha não foi capaz de conter a cidade por muito tempo e ainda no século XVI foi estendida para proteger o Colégio dos Jesuítas, o Convento Franciscano e o bairro que se formara à sua volta. Extramuros ficavam dois outros grandes conventos e bairros: Carmo, ao norte, e São Bento, ao sul.

Um dos espaços públicos mais representativos dessa cidade era o que antecedia as Portas do Carmo, o Pelourinho. As ruas que convergiam para aquelas portas deram origem a um largo de forma triangular e em declive, que continuava na ladeira do Carmo. Seu nome decorria da presença nesse espaço de um padrão de pedra, símbolo na Metrópole da justiça e da autonomia municipal, mas que na Colônia se transformaria em instrumento de discriminação e tortura. Esse largo, que é um misto de praça e belvedere mediterrâneos e terreiro africano, emprestaria o nome ao que se conservou do centro histórico de Salvador, declarado Patrimônio da Humanidade pela Unesco, em 1985.

A descoberta de ouro e pedras preciosas no Planalto Central, no início do século XVIII, trouxe mais riqueza à cidade e muitos edifícios foram construídos ou refeitos com maior luxo. São dessa época a maioria das igrejas de irmandades, com seus retábulos dourados e notável coleção de imagens barrocas.

Até o final do século XIX, quando a economia açucareira entrou em crise, a cidade se conservou intacta. Na segunda década deste século, a ampliação do porto de Salvador e o alargamento de seus acessos deflagrariam um processo de modernização da metade sul da cidade colonial. A parte norte, não contemplada com os novos meios de comunicação, se conservaria, mas entraria em um processo lento de empobrecimento, com a fuga de seus primitivos moradores para os novos bairros periféricos burgueses. Nos anos 30, à pobreza se somaria a maldição, com a segregação, no bairro, da prostituição da cidade.

As primeiras ações de recuperação do bairro datam de 1967, com a criação de uma fundação para este fim. Quinze anos de ações tópicas voltadas para o turismo e o assistencialismo não resolveriam o problema. Durante os difíceis anos 80, o Estado deixou de investir na área e o bairro entrou em processo acelerado de degradação física e social. Mas a retomada da tradicional bênção de São Francisco e os ensaios e " shows" de grupos musicais e coreógrafos negros, como Os Filhos de Gandhi, o Olodum e a Levada do Pelô, passaram a atrair grande número de populares para o bairro, despertando a atenção de outros setores da sociedade.

A partir de 1992, o governo do estado da Bahia iniciou um grande projeto de recuperação do bairro, incluindo a renovação de sua infra-estrutura e a consolidação e adaptação de seus edifícios a funções turísticas. O projeto Recuperação do Centro Histórico de Salvador é o maior programa do gênero realizado no País, com a particularidade de ter sido totalmente financiado por um governo estadual. Até meados de 1996, foram investidos a fundo perdido pelo estado da Bahia cerca de US$ 24 milhões, fora os financiamentos concedidos a comerciantes para se instalarem no bairro. Com esse recurso foram recuperados 334 casarões e reconstruídas nove ruínas. Mas essa ação implicou, também, em elevado custo social. Mais de 500 moradores tiveram de abandonar suas casas e os novos comerciantes queixam-se da sazonalidade do turismo.

A população de Salvador e os turistas jovens redescobriram o bairro, atraídos por seus bares e um programa intensivo de animação cultural. Valores culturais tradicionais estão sendo revividos pelos antigos moradores da cidade e descobertos pelas novas gerações. A avaliação dessa experiência e de seus resultados será fundamental para a definição de uma política para o complexo problema dos centros históricos, no Brasil e na América Latina. Não obstante todas as vicissitudes por que tem passado, o Pelourinho continua a ser uma festa de gente, cor, música e magia.
Autoria: Josemar Franco

Peixes Ósseos (Classe Osteichthyes)

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São os peixes que possuem um esqueleto formado por ossos. Possuem uma pele com muitas glândulas produtoras de muco, com escamas de origem mesodérmica, nadadeiras, boca na posição terminal e com dentes, bolsas olfativas dorsais, olhos grandes e sem pálpebras, muitas vértebras, coração com duas câmaras, respiração branquial ou pulmonar, excreção feita por rins mesonéfricos que excretam amônia, ectotérmicos e dióicos com fecundação externa.

Tegumento

Os peixes ósseos possuem uma epiderme lisa, coberta por escamas. Existem glândulas produtoras de muco, que lubrifica o corpo do peixe, que serve de proteção e facilita a locomoção na água. Possui uma linha lateral ao longo de cada lado do corpo e tem função sensorial. O sistema muscular é formado por miômeros (músculos segmentados), em forma de W.
Digestão

Possuem mandíbulas e maxilares com muitos dentes, pequenos e cônicos. Não há glândulas salivares. O alimento que é mastigado vai para a faringe, esôfago, estômago e intestino. O que não foi absorvido é eliminado pelo ânus.

Circulação

A circulação é fechada. O coração possui 2 câmaras. O sangue é pálido e escasso, possuindo hemácias ovais anucleadas.

Respiração

Existem espécies que respiram por brânquias e espécies que respiram por pulmões. As brânquias são protegidas por uma estrutura chamada opérculo. Durante a respiração o opérculo se fecha, fazendo com que entre água na boca. A água passa da boca para as brânquias e nelas ocorrem as trocas gasosas. O fluxo é sempre unidirecional. A direção do fluxo sanguíneo nas brânquias é oposto ao fluxo da água, criando um mecanismo contracorrente para aumentar a oxigenação do sangue.

Os peixes possuem uma bexiga natatória, localizada na região dorsal, ligada à faringe por um ducto pneumático em alguns peixes ela é cheia de gases (O2, N2, CO2) e serve para regular o peso do peixe, auxiliando na flutuação, através da absorção e sercreção destes gases. É semelhante a um pulmão nos peixes pulmonados.

Excreção

Os rins são do tipo mesonéfricos e principal excreta nitrogenada é a amônia.

Reprodução

São animais dióicos, com fecundação externa e desenvolvimento indireto.

Sistemática

São divididos em:

Sarcopterygii: peixes com nadadeiras carnosas, lobadas.
Actinopterygii: peixes com nadadeiras raiadas.

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Triangulo de Pascal

Triangulo de Pascal
A Relação de Stifel é usada principalmente na construção do Triângulo de Pascal.

Definição
O Triângulo de Pascal também é conhecido como Triângulo de Tartaglia, trata-se de uma tabela triangular formada por números binomiais de Newton, onde n representa a linha vertical e k representa as colunas horizontais. Os números ficam dispostos de forma que os binomiais de mesmo numerador situam-se na mesma linha e os de mesmo denominador na mesma coluna.

Anagrama

A restrição principal para as permutações simples é quanto aos elementos que serão permutados, pois é necessário que estes sejam distintos, ou seja, que não se repitam. Entretanto, nem sempre conseguiremos situações nas quais os elementos serão todos distintos. Para isso, deu-se início aos estudos desses casos com repetição.

Algo que é notado quando temos elementos repetidos é que a permutação destes elementos não irá gerar novas possibilidades de mudanças, afinal os elementos são iguais. Para isso, veremos uma expressão especial para ser usada quando temos elementos repetidos.

Por hora, veremos como ocorre a permutação quando apenas um dos elementos do conjunto se repete.

Vejamos um exemplo para proporcionar uma melhor compreensão.

Quantos são os anagramas da palavra OURO?

Note que temos dois elementos repetidos (letra O).

Caso fôssemos permutar normalmente estes elementos, teríamos uma permutação de 4 elementos. Mas veja o que ocorre.

Temos o conjunto de letras R e U para combinar em quatro posições diferentes dessa palavra. Como temos letras repetidas, a permutação delas não gera novas combinações, afinal são elementos iguais.

Sendo assim, a combinação das letras R, U ocorrerá da seguinte forma:

Entretanto, devemos permutar as duas palavras, pois estas geram combinações diferentes.

Sendo assim, teremos:

Note que o 4! representa a permutação de todos os elementos e o 2! representa a permutação da quantidade de elementos repetidos.

Confira outros exemplos de permutações com um elemento repetido:

1) Quantos são os anagramas da palavra MORANGO?
Temos 2 letras repetidas.

2) E com a palavra VENEZUELA?

Veja que o E é repetido 3 vezes. Temos um total de 9 letras, sendo assim, a quantidade de anagramas será dada através da expressão da permutação com repetição de um elemento.

Por Gabriel Alessandro de Oliveira
fonte:www.alunosonline.com.br

EXPRESSÕES NÚMERICAS

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

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As expressões devem ser resolvidas obedecendo à seguinte ordem de operações:

1) Potenciação e radiciação;
2) Multiplicação e divisão
3) Adição e subtração

Nessas operações são realizados :

1) parênteses ( )
2) colchetes [ ]
3) chaves { }

exemplos:

calcular o valor das expressões :

1°) exemplo
(-3)² - 4 - (-1) + 5²
9 – 4 + 1 + 25
5 + 1 + 25
6 + 25
31

2°) exemplo

15 + (-4) . (+3) -10
15 – 12 – 10
3 – 10
-7

3°) exemplo

5² + √9 – [(+20) : (-4) + 3]
25 + 3 – [ (-5) +3 ]
25 + 3 - [ -2]
25 +3 +2
28 + 2
30

EXERCÍCIOS

1) Calcule o valor das expressões:

a) 5 + ( -3)² + 1 = 15
b) 10 + (-2)³ -4 = -2
c) 12 – 1 + (-4)² = 27
d) (-1)⁵ + 3 – 9 = -7
e) 18 – (+7) + 3² = 20
f) 6 + (-1)⁵ - 2 = 3
g) (-2)³ - 7 – (-1) = -14
h) (-5)³ - 1 + (-1)⁹ = -127
i) 5⁰ - ( -10) + 2³ = 19
j) (-2)³ + (-3)² - 25 = -24

2) Calcule o valor das expressões:

a) 3 - 4² + 1 = -12
b) 2³ - 2² - 2 = 2
c) (-1)⁴ + 5 - 3² = -3
d) 5⁰ - 5¹ - 5⁰ = -5
e) (-3)². (+5) + 2 = 47
f) (-1)⁷ - (-1)⁸ = -2
g) 5 + (-3)² + 7⁰ = 15
h) √49 + 2³ - 1 = 14

3) Calcule o valor das expressões:

a) (-3)² + 5 = 14
b) (-8)² - (-9)² = -17
c) -72⁰ + (-1)⁸ = 0d) (-12)⁰ + (+12)⁰ = 2
e) 10³ - (-10)² - 10⁰ = 899
f) (-7)² + (-6)² - (-1)² = 84
g) (-1)⁶ + (+1)⁵ + (-1)⁴ + (+1)³ = 4
h) 2⁶ - 2⁵ - 2⁴ - 2³ - 2² - 2 = 2

4) Calcule o valor das expressões:

a) (-3) . (+7) + (-8) . (-3) = 3
b) (-3)³ + (+2)² - 7 = -30
c) 8 + (-3 -1)² = 24
d) (-2 + 6)³ : (+3 – 5)² = 16
e) –(-5)² + (-7 + 4) = -28
f) (-2)⁶ + (+5) . (-2) = 54

5) Calcule o valor das expressões:

a) (-3)³ . (-2)² + (3) + 5⁰ = -110
b) (-1)³ + 3 + (+2) . (+5) = 12
c) (-2) . (-7) + (-3)² = 23
d) 2 . (-5)² - 3 . (-1)³ + 4 = 57
e) –[ -1 + (-3) . (-2)]²
f) –(5 – 7)³ - [ 5 - 2² - (4 – 6)] = 5
g) (-3 + 2 – 1)³ - ( -3 + 5 – 1)⁸ + 3 = -6
h) 8 – [ -7 + )-1) . (-6) + 4]²
i) 14 – [(-1)³ . (-2)² + (-35) : (+5)] = 25
j) 5³ - [ 10 + (7 -8)² ]² - 4 + 2³ = 8
k) (-1)⁸ + 6⁰ - [15 + (-40) : (-2)³ ] = -18
l) -3 –{ -2 – [(-35) : (+5) + 2² ]} = -4

6) Calcule o valor das expressões:

a) (- 3 + 5 + 2) : (-2) = -2
b) (+3 – 1)² - 15 = -11
c) (-2)³ - (-1 + 2)⁵ = -9
d) 40 : (-1)⁹ + (-2)³ - 12 = -60
e) 10 – [5 – (-2) + (-1)] = 4
f) 2 – { 3 + [ 4 – (1 – 2) + 3 ] – 4} = -5
g) 15 – [ (-5)² - (10 - 2³ ) ] = -8
h) 13 – [(-2) – (-7) + (+3)² ] = -1
i) 7² - [ 6 – (-1)⁵ - 2²] = 46
j) 2³ - [(-16) : (+2) – (-1)⁵] = 15
k) 50 : { -5 + [ -1 –(-2)⁵ : (-2)³ ]} = -5

7) Calcule o valor das expressões:

a) 10 + (-3)² = 19
b) (-4)² - 3 = 13
c) 1 + (-2)³ = -7
d) -2 + (-5)² = 23
e) (-2)² + (-3)³ = -23
f) 15 + (-1)⁵ - 2 = 12g) (-9)² -2 – (-3) = 82
h) 5 + (-2)³ + 6 = 3

8) Calcule o valor das expressões:

a) 5 – { +3 – [(+2)² -(-5)² + 6 – 4 ]} = -17
b) 15 – { -3 + [(5 – 6)² . (9 -8 ) ² + 1]} = 16
c) 18 – { 6 – [ -3 – (5 – 4) – (7- 9)³ ] – 1 } = 17
d) -2 + { -5 –[ -2 – (-2)³ - 3- (3 -2 )⁹ ] + 5 } = -4
e) 4 – {(-2)² . (-3) – [ -11 + (-3) . (-4)] – (-1)} = 16
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Produtos notaveis

Os produtos notáveis obedecem a leis especiais de formação e, por isso, não são efetuados pelas regras normais da multiplicação de polinômios. Apresentam-se em grande número e dão origem a um conjunto de identidades de grande aplicação.

Considere a e b, expressões em R, representando polinômios quaisquer, apresentamos a seguir os produtos notáveis.

A. Quadrado da Soma de Dois Termos

B. Quadrado da Diferença de Dois Termos

C. Produto da Soma pela Diferença de Dois Termos

D. Cubo da Soma de Dois Termos

E. Cubo da Diferença de Dois Termos

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Tabuada

Divisibilidade

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Divisibilidade

Um número N é divisível por um número p quando a divisão de N por p der como quociente um número natural e 0 para resto.
Sendo assim, N é divisível por p. E com isso diremos que N é múltiplo de p, e p é divisor de N.

Exemplos :

21 é divisível por 3, já que 21 : 3 tem 7 por quociente e o resto 0. Com isso: 21 é múltiplo de 3 e 3 é divisor de 21

125 é divisível por 5, já que 125 : 5 dá 25 para quociente e o resto 0. Com isso: 125 é múltiplo de 5 e 5 é divisor de 125

327 não é divisível por 11, já que 327 : 11 dá para quociente 29 e o resto 8. Com isso: 327 não é múltiplo de 11 e 11 não é divisor de 11

Critérios de Divisibilidade

Em muitas situações precisamos apenas descobrir se um número é divisível por outro, sem a necessidade de sabermos o quociente
da divisão entre eles. Neste caso utilizamos alguns mecanismos ou regras conhecidas como critérios de divisibilidade.

Os Principais Critérios de Divisibilidade

Divisibilidade por 2

Um número é divisível por 2 quando o algarismo das unidades for 0, 2, 4, 6 ou 8.
Assim sendo: um número é divisível por 2 quando ele for par.

Exemplos :

124 é divisível por 2, já que o algarismo das unidades é 4. Com isso: 124 é divisível por 2, 124 é múltiplo de 2 e 2 é divisor de 124

1258 é divisível por 2, já que o algarismo das unidades é 8. Com isso: 1258 é divisível por 2, 1258 é múltiplo de 2 e 2 é divisor de 1258

3275 não é divisível por 2, já que o algarismo das unidades é 5. Com isso: 3275 não é divisível por 2, 3275 não é múltiplo de 2 e 2 não é
divisor de 3275

A partir daqui chamaremos Critério de Divisibilidade apenas por Divisibilidade

Divisibilidade por 3

Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos gerar um múltiplo de 3.

Exemplos :

138 é divisível por 3, já que 1 + 3 + 8 = 12, e 12 é um múltiplo de 3. Com isso: 138 é divisível por 3, 138 é múltiplo de 3 e 3 é divisor de
138

3821 não é divisível por 3, já que 3 + 8 + 2 + 1 = 14, e 14 não é um múltiplo de 3. Com isso: 3821 não é divisível por 3, 3821 não é
múltiplo de 3 e 3 não é divisor de 3821

8973 é divisível por 3, já que 8 + 9 + 7 + 3 = 27, e 27 é um múltiplo de 3. Com isso: 8973 é divisível por 3, 8973 é múltiplo de 3 e 3 é
divisor de 8973

Divisibilidade por 4 - Critério 1

Um número é divisível por 4 quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita der um múltiplo de 4.

Exemplos :

128 é divisível por 4, já que o número 28 é um múltiplo de 4. Com isso: 128 é divisível por 4, 128 é múltiplo de 4 e 4 é divisor de 128

2132 é divisível por 4, já que o número 32 é um múltiplo de 4. Com isso: 2132 é divisível por 4, 2132 é múltiplo de 4 e 4 é divisor de 3821

5946 não é divisível por 4, já que o número 46 não é um múltiplo de 4Com isso: 5946 não é divisível por 4, 5946 não é múltiplo de 4 e
4 não é divisor de 5946

Divisibilidade por 4 - Critério 2

Um número é divisível por 4 quando o dobro do algarismo das dezenas adicionado ao algarismo das unidades gerar um
múltiplo de 4.

Exemplos :

124 é divisível por 4, já que: 2 X 2 + 4 = 8, e 8 é um múltiplo de 4. Com isso: 124 é divisível por 4, 124 é múltiplo de 4 e 4 é divisor
de 124

38543 não é divisível por 4, já que: 4 X 2 + 3 = 11, e 11 não é um múltiplo de 4. Com isso: 38543 não é divisível por 4, 38543 não é
múltiplo de 4 e 4 não é divisor de 38543

Observação Importante: Um número N somente será divisível por 4 se ele for um número par. Sendo N um número ímpar nem se faz
necessária a verificação já que de antemão ele não será divisível por 4.

Divisibilidade por 5

Um número é divisível por 5 quando seu algarismo das unidades for 0 ou 5.

Exemplos :

245 é divisível por 5, já que termina em 5. Com isso: 245 é divisível por 5, 245 é múltiplo de 5 e 5 é divisor de 245

3040 é divisível por 5, já que termina em 0. Com isso: 3040 é divisível por 5, 3040 é múltiplo de 5 e 5 é divisor de 3040

23 457 não é divisível por 5, já que não termina em 0 ou 5. Com isso: 23 457 não é divisível por 5, 23 457 não é múltiplo de 5 e
5 não é divisor de 23 457

Divisibilidade por 6

Um número somente é divisível por 6 quando for par e a soma de seus algarismos for um número divisível por 3. Ou seja, um número é
divisível por 6 quando for, simultaneamente, divisível por 2 e por 3.

Divisibilidade por 6 - Método Exclusivo

Um número é divisível por 6 quando o algarismo das unidades, adicionado ao quádruplo da soma dos demais algarismos, der um
número divisível por 6. Se o número obtido ainda possuir uma grande quantidade de algarismos, repete-se o processo até que se
possa verificar mentalmente a divisão por 6.

Exemplo 1: 164 928 é divisível por 6 ? Verifiquemos:

8 Algarismo das Unidades
4 (1+ 6 + 4 + 9 + 2 )= 88 Quádruplo da Soma dos Demais Algarismos
8 + 88 = 96 Soma

Repetindo o processo para o Número 96

6 Algarismo das Unidades
4 X 9 Quádruplo da Soma dos Demais Algarismos
6 + 36 = 42 Soma

O Resultado soma 42 é um múltiplo de 6, portanto o número original 164928 é divisível por 6.

Exemplo 2: 1.875.392 é divisível por 6 ? Verifiquemos:

2 Algarismo das Unidades
4 (1+ 8 + 7 + 5 + 3 + 9 ) = 132 Quádruplo da Soma dos Demais Algarismos
2 + 132 = 134 Soma

Repetindo o processo para o Número 134

4 Algarismo das Unidades
4 x ( 1 + 3 ) = 16 Quádruplo da Soma dos Demais Algarismos
4 + 16 = 20 Soma

O Resultado soma 20 não é um múltiplo de 6, portanto o número original 1.875.392 não é divisível por 6

Divisibilidade por 7

Devido à complexidade desse critério e dele não constar no programa do ensino fundamental não o estudaremos nesse capítulo.

Divisibilidade por 8 - Critério 1

Um número é divisível por 8 quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita formar um múltiplo de 8.

Exemplos :

5 432 é divisível por 8, já que o número 432 é um múltiplo de 8. Com isso: 5 432 é divisível por 8, 5 432 é múltiplo de 8 e 8 é divisor de
5 432

72 152 é divisível por 8, já que o número 152 é um múltiplo de 8. Com isso: 72 152 é divisível por 8, 72 152 é múltiplo de 8 e
8 é divisor de 72 152

35 946 não é divisível por 8, já que o número 946 não é um múltiplo de 8. Com isso: 35 946 não é divisível por 8, 35 946 não é múltiplo
de 8 e 8 não é divisor de 35 946

Divisibilidade por 8 - Critério 2

Um número é divisível por 8 quando o quádruplo do algarismo das centenas adicionado ao dobro do algarismo das dezenas e
adicionado ao algarismo das unidades der um múltiplo de 8.

Exemplos :

3 128 é divisível por 8, já que: 4 X 1 + 2 X 2 + 8 = 16, e 16 é um múltiplo de 4. Com isso: 3 128 é divisível por 8, 3 128 é múltiplo de 8 e
8 é divisor de 3 128

38 542 não é divisível por 8, já que: 4 X 5 + 2 X 4 + 2 = 30, e 30 não é um múltiplo de 8. Com isso: 38 542 não é divisível por 8, 38 542
não é múltiplo de 8 e 8 não é divisor de 38 542

Observação Importante: Um número N somente será divisível por 8 se ele for um número par. Sendo N um o número ímpar nem se
faz necessária a verificação já que de antemão ele não será divisível por 8.

Divisibilidade por 9

Um número é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos der um múltiplo de 9.

Exemplos :

234 é divisível por 3, já que 2 + 3 + 4 = 9, e 9 é um múltiplo de 9. Com isso: 234 é divisível por 9, 234 é múltiplo de 9 e
9 é divisor de 234

5 723 não é divisível por 9, já que 5 + 7 + 2 + 3 = 17, e 17 não é um múltiplo de 9.

Com isso: 5 723 não é divisível por 3, 5 723 não é múltiplo de 9 e 9 não é divisor de 5 723

6 975 é divisível por 9, já que 6 + 9 + 7 + 5 = 27, e 27 é um múltiplo de 9. Com isso: 6 975 é divisível por 3, 6 975 é múltiplo de 9 e
9 é divisor de 6 975.

Divisibilidade por 10

Um número é divisível por 10 quando seu algarismo das unidades for 0.

Exemplos :

240 é divisível por 10, já que 240 termina em 0. Com isso: 240 é divisível por 10, 240 é múltiplo de 10 e 10 é divisor de 240

3 040 é divisível por 10, já que 3 040 termina em 0. Com isso: 3 040 é divisível por 10, 3 040 é múltiplo de 10 e 10 é divisor de
3 040

63 587 não é divisível por 10, já que não termina em 0. Com isso: 63 587 não é divisível por 10, 63 587 não é múltiplo de 10 e
10 não é divisor de 63 587

Divisibilidade por 11

Um número é divisível por 11 quando a soma dos algarismos de ordem ímpar Si diminuída da soma dos algarismos de
ordem ímpar Sp for um número inteiro divisível por 11.

Expliquemos inicialmente o que é ordem ímpar e ordem par em um número.

Seja por exemplo o numero 125 796, sabemos que ele tem seis ordens. O algarismo 6 ocupa a primeira ordem, o algarismo 7 ocupa a
terceira ordem e o algarismo 2 ocupa a quinta ordem - Esses são os algarismos de ordem ímpar. ( Si )
Da mesma forma que:
O algarismo 9 ocupa a segunda ordem, o algarismo 5 ocupa a quarta ordem e o algarismo 1 ocupa a sexta ordem -
Esses são os algarismos de ordem par. ( Sp )

Ou seja: Não importa se o algarismo é par ou ímpar, o que importa é a posição que ele ocupa no número.