articulador 1

terça-feira, 14 de julho de 2020

Tipo de conjuntos

Por Danielle de Miranda


Conjuntos
Conjuntos são elementos reunidos em um mesmo grupo que possuem características semelhantes. Conforme o número de elementos que compõe um conjunto ele receberá uma denominação, veja quais são essas denominações e suas características.

Conjunto unitário

Um conjunto será unitário se nele existir apenas um elemento, por exemplo:
• O conjunto dos planetas do sistema solar que começam com a letra T = {Terra}.

• O conjunto dos números inteiros que estão entre 10 e 12 = {11}.

Conjunto Vazio

Conjunto que não possui nenhum elemento. Esse tipo de conjunto por não possuir nenhum elemento irá ter uma representação diferenciada. Quando um conjunto for vazio ele será representado por: ou { }, nunca devemos representá-lo assim { }.

Conjunto finito

Podemos dizer que são conjuntos que tem fim, por exemplo:
• O conjunto que representa a quantidade de funcionários registrada em uma empresa.

• O conjunto dos números inteiros que estão entre - 8 e 2 = {-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1}

Conjunto infinito

Conjuntos que a contagem dos seus elementos não tem fim, por exemplo, o conjunto dos números naturais, conjunto dos números inteiros.

Digestão


Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com


Órgãos do aparelho digestório humano.

O aparelho digestório humano é formado por um sistema de órgãos interligados formando um extenso ducto com aproximadamente 9 metros de comprimento linear, constituído pela boca, seguido pela faringe, estômago, intestino e ânus.

Dispostas ao longo da superfície desse aparelho, interna ou externamente, existem estruturas anexas, como por exemplo, os dentes, a língua e diversas glândulas (salivares, estomacais, vesícula biliar, fígado e pâncreas), colaborando diretamente com o mecanismo de digestão dos alimentos, seja por processo mecânico ou químico. Sendo o princípio básico da digestão, o processamento de substâncias resultantes na degradação de partículas e moléculas absorvíveis pelo organismo.

No interior da boca inicia-se o fracionamento das partículas alimentares através da mastigação, aumentando a superfície de contato do alimento com as enzimas (amilase salivar ou ptialina, quebrando amido em maltose e glicose), secretadas pela glândula salivar, formando uma massa (bolo alimentar) revolvida pela movimentação da língua, facilitando a deglutição.

Em seguida, na região da faringe, a epiglote efetua o fechamento da laringe (canal respiratório), funcionando como uma válvula, permitindo a passagem do bolo alimentar em direção ao esôfago, impedindo que o mesmo passe para a via respiratória (traquéia / pulmão).

Porém, a glote pode falhar, permitindo que o alimento ingerido ao invés de passar pelo esôfago, em direção errada, entre pela laringe, causando obstrução da via respiratória (ato de engasgar), podendo o indivíduo nessa situação ficar sufocado. Em resposta, o organismo induz um refluxo através da tosse, redirecionando o alimento para a boca.

Em condições normais, o bolo alimentar desce pelo esôfago através de contrações peristálticas, empurrando o alimento por esse segmento do tubo digestório, desembocando na cavidade do estômago. Entre o esôfago e o estômago existe uma válvula denominada cárdia, cuja musculatura (esfíncteres) interrompe o retorno do bolo.

No estômago, as glândulas presentes na parede desse órgão, sintetizam e secretam enzimas digestivas (pepsina) que degradam as proteínas em peptídeos. Diferente da amilase salivar, que atua em pH levemente ácido tendendo a neutro (6 a 7), a pepsina necessita de um meio ácido (2 a 3) para quebrar os polipeptídios.

Nesse local o bolo alimentar permanece durante um período de 2 a 4 horas, sendo transformado em uma massa ácida de textura pastosa e coloração esbranquiçada, conhecida por quimo. É no estômago que ocorre parte da absorção da água e sais minerais.

O quimo formado no estômago é encaminhado para o intestino, órgão dividido em delgado e grosso, sendo o delgado subdividido em duodeno, jejuno e íleo. No duodeno estão inseridos pequenos condutos por onde são transportados fluidos enzimáticos armazenados na vesícula biliar (bile) e no pâncreas (insulina, glucagon e suco pancreático).

Essa porção no intestino continua absorvendo, por meio das vilosidades de sua superfície interna, água e sais minerais, bem como aminoácidos, alterando a consistência do quimo.

Já o intestino grosso, subdividido em: seco, cólon e reto, continua a absorver substâncias e também vitaminas. Em sua porção terminal (o reto), as fezes ficam armazenadas e eliminadas pelo ânus (orifício final do trato digestório).

Cubo da soma e Cubo da diferença

Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com        


As técnicas resolutivas de produtos notáveis são de grande importância na resolução de expressões onde o expoente possui valor numérico igual a 3. As expressões (a + b)³ e (a – b)³ podem ser resolvidas pelo método da distribuição ou pelo método da resolução prática. Demonstraremos as duas situações, deixando a critério do estudante optar pela melhor forma de resolução.

Cubo da Soma
Temos que a expressão (a + b)³ pode ser escrita da seguinte forma: (a + b)² * (a + b). A decomposição permite aplicarmos o quadrado da soma na expressão (a + b)², multiplicando o resultado pela expressão (a + b). Veja:

(a + b)² = a² + 2ab + b² → (a² + 2ab + b²) * (a + b) = a²*a + a²*b + 2ab*a + 2ab*b + b²*a + b²*b
a³ + a²b + 2a²b + 2ab² + ab² + b³ → a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(2x + 3)³ = (2x + 3)² * (2x + 3)
(2x + 3)² = (2x)² + 2*2x*3 + (3²) = 4x² + 12x + 9
(4x² + 12x + 9) * (2x + 3) = 4x²*2x + 4x²*3 + 12x*2x + 12x*3 + 9*2x + 9*3 =
8x³ + 12x² + 24x² + 36x + 18x + 27 = 8x³ + 36x² + 54x + 27
Regra Prática
“O cubo do primeiro termo mais três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo mais o cubo do segundo termo.”
(x + 3)³ = (x)³ + 3*(x)²*3 + 3*x*(3)² + (3)³ = x³ + 9x² + 27x + 27
(2b + 2)³ = (2b)³ + 3*(2b)²*2 + 3*2b*(2)² + (2)³ = 8b³ + 24b² + 24b + 8


Cubo da Diferença

O cubo da diferença pode ser desenvolvido de acordo com os princípios resolutivos do cubo da soma. A única alteração a ser efetuada é quanto à utilização do sinal negativo.

Regra prática

“O cubo do primeiro termo menos três vezes o quadrado do primeiro termo vezes o segundo termo mais três vezes o primeiro termo vezes o quadrado do segundo termo menos o cubo do segundo termo.”

(x – 3)³ = (x)³ – 3*(x)²*3 + 3*x*(3)² – (3)³ = x³ – 9x² + 27x – 27
(2b – 2)³ = (2b)³ – 3*(2b)²*2 + 3*2b*(2)² – (2)³ = 8b³ – 24b² + 24b – 8
Por Marcos Noé

Progressão geométrica

É toda seqüência em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao seu antecessor multiplicado por um número constante q (razão).

Exemplos:

a) (2, 4, 8, 16)

4 = 2.2

8 = 4.2 →a razão é 2.

16 = 8.2

b) (3, 9, 27, 81)

9 = 3.3

27 = 9.3 →a razão é 3.

81 = 27.3

FÓRMULA DO TERMO GERAL

A fórmula do termo geral da P.G. assim como da P.A. permite-nos determinar um termo qualquer da P.G., sem precisar escrevê-la completamente, conhecendo apenas o primeiro termo e a razão da progressão geométrica.

an = a1 . qn - 1

Na fórmula:

an = termo geral;

a1 = primeiro termo;

q = razão;

n = número de termos.


Aplicação

Achar o sexto termo da PG (1, 4...).

Solução:

a1 = 1, q = 4 e n = 6

an = a1 . qn-1

a6 = 1 . 46 - 1

a6 = 1 024

Antonio Carlos Carneiro Barroso
http://ensinodematemtica.blogspot.com
extraido de www.colegioweb.com.br

Complemento nominal

Alguns nomes (substantivos e adjetivos) se comportam de maneira similar aos verbos transitivos. Não entendeu? Pois bem, você vai ver que esse conceito de análise sintática não é tão difícil. Veja essas três orações:










  • A comunidade aguarda a construção da estrada.
  • O fechamento da fábrica causou grandes transtornos.
  • O avião fez uma mudança de rota.
    O que essas expressões têm em comum? A resposta é: o fato de trazerem um nome ligado a um complemento, que chamamos de complemento nominal. Veja o esquema:
    Página 3

    Há certas palavras (substantivos, adjetivos e advérbios) que apresentam alguma transitividade, isto é, seu sentido fica incompleto sem um complemento. É o mesmo raciocínio dos verbos: "quem constrói, constrói algo"; "se há construção, há construção de algo". O complemento dessas palavras é o complemento nominal.
    Outro esqueminha ajudará a entender:
    Página 3

    Basta pensar um pouco e você vai verificar que o mesmo ocorre nos outros dois exemplos dados.
    Os verbos acima são transitivos diretos e pedem como complemento um objeto direto. Quando comparamos esses verbos com os substantivos, percebemos que os substantivos também pedem um complemento. O nome que se dá a essa função gramatical é complemento nominal. Podemos perceber assim que o complemento integra o sentido do substantivo.
    Mas nem sempre os nomes que pedem complemento nominal estão ligados a um verbo. Há casos em que um substantivo abstrato demanda um complemento. Veja os exemplos abaixo:
    Página 3

    Há também advérbios acompanhados de complemento nominal, como neste exemplo:
    Página 3

    Na lista abaixo, apresentamos vários exemplos de palavras acompanhadas de complemento nominal. Observe como a estrutura gramatical dessas expressões é bem parecida. Só para lembrar: o complemento nominal sempre é precedido de uma preposição (como a, de, com, em, por e outras).
    Nome
    Complemento nominal
    sede
    de viver
    ávido
    pelo dinheiro
    alheio
    aos estudos
    prejudicado
    pelos irmãos
    sorte
    no amor
    atração
    pelo desconhecido
    estada
    em Machu Pichu
    merecedor
    do Prêmio Nobel
    confiança
    na medicina
    contrário
    à pena de morte
    atenção
    ao cliente
    necessidade
    de dormir
    farto
    de ouvir bobeiras
    invenção
    do avião
    acima
    da lei
    capaz
    de voar
  • Mínimo Múltiplo Comum (m.m.c)

    Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles.

    Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6:

    Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30,...

    Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,...

    Múltiplos comuns de 4 e 6: 0, 12, 24,...

    Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles.

    Chamamos o 12 de mínimo múltiplo comum de 4 e 6.

    Indica-se: m.m.c (4 e 6) = 12

    Agora vamos achar os múltiplos comuns de 40 e 60.

    Múltiplos de 40: 0, 40, 80, 120, 160, 200, 240, 280, 320, 360, 400...

    Múltiplo de 60: 0, 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480...

    Os múltiplos comuns de 40 e 60 são: 0, 120, 360...

    O número 120 é o menor ou mínimo múltiplo comum dos números naturais 40 e 60.

    Indica-se: m.m.c (40 e 60) = 120.
    Existem outras duas maneiras de calcular o m.m.c de dois ou mais números naturais:

    Vamos começar determinando o menor número natural, diferente de zero, que é múltiplo comum dos números 20 e 40.

    1º) Primeiramente, vamos decompor cada um dos números em fatores primos:


    Agora, consideramos todos os fatores na forma fatorada, cada um deles com seu maior expoente.

    Neste caso esses fatores são 23 x 5

    O produto dos fatores encontrados será o m.m.c procurado, ou seja:

    m.m.c (20, 40) = 23 x 5 = 40

    2º) A outra maneira de calcular o m.m.c é fazendo uma decomposição simultânea, em fatores primos, considerando os mesmos números 20 e 40.

    Neste processo decompomos todos os números ao mesmo tempo, num dispositivo como mostra o exemplo abaixo. O produto dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é o m.m.c. desses números.



    ATIVIDADES

    1) Calcule o m.m.c dos números abaixo e depois clique na alternativa correta:

    a) 18 e 26
    * 126
    * 234
    * 425


    b) 24 e 36
    * 72
    * 48
    * 66


    c) 60, 80
    * 320
    * 260
    * 240


    d) 16 e 32
    * 32
    * 16
    * 360


    e) 50 e 75
    * 175
    * 150
    * 75

    Relações Ecológicas


    Relações Ecológicas



    Interespecífica (entre indivíduos de espécies diferentes)



    Comensalismo

    Associação em que um indivíduo aproveita restos de alimentares do outro, sem prejudicá-lo. Ex.: Tubarão e Rêmoras, Leão e a Hiena, Urubu e o Homem.

    Tubarão e Peixe Rêmora – O tubarão é reconhecidamente o maior predador dos mares, ou seja, o indivíduo que normalmente ocupa o ápice da cadeia alimentar no talassociclo. Já o peixe-rêmora é pequeno e incapaz de realizar a façanha do predatismo. O peixe-rêmora vive então associado ao grande tubarão, preso em seu ventre através de uma ventosa (semelhante a um disco adesivo). Enquanto o tubarão encontra uma presa, estraçalhando-a e devorando-a, a rêmora aguarda pacientemente, limitando-se a comer apenas o que o grande tubarão não quis. Após a refeição, o peixe-rêmora busca associar-se novamente a outro tubarão faminto.Para a rêmora a relação é benéfica, já para o tubarão é totalmente neutra.



    Leão e a Hiena – os leões são grandes felinos e ferozes caçadores típicos das savanas africanas. Eles vivem em bandos e passam a maior parte do dia dormindo (cerca de 20 horas, segundo alguns etologistas). Entretanto são caçadores situando-se, a exemplo dos tubarões, no ápice da cadeia alimentar. As hienas são pequenas canídeas que também se agrupam em bandos, mas que vivem a espreita dos clãs dos leões. Quando os leões estão caçando, as hienas escondem-se esperando que todo o grupo de felinos se alimente. As hienas aguardam apenas o momento em que os leões abandonam as carcaças das presas para só assim se alimentarem.

    Urubu e o Homem - O urubu ou abutre (nomes vulgares que variam de acordo com a localização, mas que na verdade representam aves com o mesmo estilo de vida) é um comensal do homem. O homem é o ser da natureza que mais desperdiça alimentos. Grande parte dos resíduos sólidos das grandes cidades é formado por materiais orgânicos que com um tratamento a baixos custos retornariam à natureza de forma mais racional. O urubu é uma grande ave que se vale exatamente deste desperdício do homem em relação aos restos de alimentos.

    Protocooperação

    Associação facultativa entre indivíduos, em que ambos se beneficiam. Ex.: Anêmona do Mar e paguro, gado e anum (limpeza dos carrapatos), crocodilo africano e ave palito (higiene bucal).

    Às margens do rio Nilo, na África, os ecólogos perceberam a existência de um singular exemplo de protocooperação entre os perigosos crocodilos e o sublime pássaro-palito. Durante a sesta os gigantescos crocodilos abrem sua boca permitindo que um pequeno pássaro (o pássaro-palito) fique recolhendo restos alimentares e pequenos vermes dentre suas poderosas e fortes presas. A relação era tipicamente considerada como um exemplo de comensalismo, pois para alguns apenas o pássaro se beneficiava. Entretanto, a retirada de vermes parasitas faz do crocodilo um beneficiado na relação, o que passa a caracterizar a protocooperação.

    Outro exemplo é do boi e do anum. Os bois e vacas são comumente atacados por parasitas externos (ectoparasitas), pequenos artrópodes conhecidos vulgarmente por carrapatos. E o anum preto (Crotophaga ani) tem como refeição predileta estes pequenos parasitas. A relação é benéfica para ambos (o boi se livra do parasita e o anum se alimenta).



    Bernardo-eremita e Anemôna-do-mar - O bernardo-eremita é um crustáceo do gênero Pagurus cuja principal característica é a de possuir a região abdominal frágil, em razão do exoesqueleto não possuir a mesma resistência do cefalotórax. Este crustáceo ao atingir a fase adulta (ainda em processo de crescimento, portanto realizando as mudas) procura uma concha de molusco gastrópode (caramujo) abandonada, e instala-se dentro desta. De certa forma o crustáceo permanece protegido. Entretanto, alguns predadores, ainda assim conseguem retirar o Pagurus de dentro da concha. É aí que entra a anêmona-do-mar, um cnidário. Como todos os cnidários (ou celenterados), a anêmona-do-mar é dotada de estruturas que liberam substâncias urticantes com a finalidade de defender-se. A associação beneficia tanto a anêmona quanto o Bernardo: o Bernardo consegue proteção quando uma anêmona se instala sobre sua concha (emprestada), pois nenhum predador chega perto. Já a anêmona beneficia-se porque seu “cardápio” alimentar melhora bastante quando de “carona” na concha do Bernardo. A anêmona normalmente faz a captação de seus alimentos (partículas) através de seus inúmeros tentáculos, esperando que estes passem por perto. Na carona do Bernardo há um significativo aumento no campo de alimentação para a anêmona.



    Eremita com anêmona grudada em sua concha.
    www.sobiologia.com.br

    centro histórico de Salvador

    Colégio Estadual Dinah Gonçalves
    email accbarroso@hotmail.com
    www.youtube.com/accbarroso1        

    Salvador foi fundada em 1549 sobre uma colina, dominando uma imensa baía, segundo velha tradição portuguesa. Primeira capital do País, a cidade logo incorporou duas outras funções: a de porto de apoio às rotas do Oriente e a de grande centro de exportação de açúcar. Estas duas atividades iriam contribuir para a formação de uma população mestiça de portugueses e escravos africanos, importados em grande escala para o cultivo da cana. A esses se somaram outros contingentes étnicos, a partir do final do século XIX, dando origem a uma cultura popular muito rica, na qual se misturam traços ocidentais, africanos e, em menor escala, orientais.

    Não menos original é a cidade de dois pisos criada por essa gente. Sobressaíam sobre a colina as torres das igrejas, as moles dos edifícios públicos e os grandes sobrados dos senhores de engenho, negreiros e exportadores. Pelas encostas escorria o casario de gente miúda. No porto, trapiches, sobrados de escritórios e casas de pescadores e marinhantes. A primeira muralha não foi capaz de conter a cidade por muito tempo e ainda no século XVI foi estendida para proteger o Colégio dos Jesuítas, o Convento Franciscano e o bairro que se formara à sua volta. Extramuros ficavam dois outros grandes conventos e bairros: Carmo, ao norte, e São Bento, ao sul.

    Um dos espaços públicos mais representativos dessa cidade era o que antecedia as Portas do Carmo, o Pelourinho. As ruas que convergiam para aquelas portas deram origem a um largo de forma triangular e em declive, que continuava na ladeira do Carmo. Seu nome decorria da presença nesse espaço de um padrão de pedra, símbolo na Metrópole da justiça e da autonomia municipal, mas que na Colônia se transformaria em instrumento de discriminação e tortura. Esse largo, que é um misto de praça e belvedere mediterrâneos e terreiro africano, emprestaria o nome ao que se conservou do centro histórico de Salvador, declarado Patrimônio da Humanidade pela Unesco, em 1985.

    A descoberta de ouro e pedras preciosas no Planalto Central, no início do século XVIII, trouxe mais riqueza à cidade e muitos edifícios foram construídos ou refeitos com maior luxo. São dessa época a maioria das igrejas de irmandades, com seus retábulos dourados e notável coleção de imagens barrocas.

    Até o final do século XIX, quando a economia açucareira entrou em crise, a cidade se conservou intacta. Na segunda década deste século, a ampliação do porto de Salvador e o alargamento de seus acessos deflagrariam um processo de modernização da metade sul da cidade colonial. A parte norte, não contemplada com os novos meios de comunicação, se conservaria, mas entraria em um processo lento de empobrecimento, com a fuga de seus primitivos moradores para os novos bairros periféricos burgueses. Nos anos 30, à pobreza se somaria a maldição, com a segregação, no bairro, da prostituição da cidade.

    As primeiras ações de recuperação do bairro datam de 1967, com a criação de uma fundação para este fim. Quinze anos de ações tópicas voltadas para o turismo e o assistencialismo não resolveriam o problema. Durante os difíceis anos 80, o Estado deixou de investir na área e o bairro entrou em processo acelerado de degradação física e social. Mas a retomada da tradicional bênção de São Francisco e os ensaios e " shows" de grupos musicais e coreógrafos negros, como Os Filhos de Gandhi, o Olodum e a Levada do Pelô, passaram a atrair grande número de populares para o bairro, despertando a atenção de outros setores da sociedade.

    A partir de 1992, o governo do estado da Bahia iniciou um grande projeto de recuperação do bairro, incluindo a renovação de sua infra-estrutura e a consolidação e adaptação de seus edifícios a funções turísticas. O projeto Recuperação do Centro Histórico de Salvador é o maior programa do gênero realizado no País, com a particularidade de ter sido totalmente financiado por um governo estadual. Até meados de 1996, foram investidos a fundo perdido pelo estado da Bahia cerca de US$ 24 milhões, fora os financiamentos concedidos a comerciantes para se instalarem no bairro. Com esse recurso foram recuperados 334 casarões e reconstruídas nove ruínas. Mas essa ação implicou, também, em elevado custo social. Mais de 500 moradores tiveram de abandonar suas casas e os novos comerciantes queixam-se da sazonalidade do turismo.

    A população de Salvador e os turistas jovens redescobriram o bairro, atraídos por seus bares e um programa intensivo de animação cultural. Valores culturais tradicionais estão sendo revividos pelos antigos moradores da cidade e descobertos pelas novas gerações. A avaliação dessa experiência e de seus resultados será fundamental para a definição de uma política para o complexo problema dos centros históricos, no Brasil e na América Latina. Não obstante todas as vicissitudes por que tem passado, o Pelourinho continua a ser uma festa de gente, cor, música e magia.

    Autoria: Josemar Franco

    Produtos notaveis

    Os produtos notáveis obedecem a leis especiais de formação e, por isso, não são efetuados pelas regras normais da multiplicação de polinômios. Apresentam-se em grande número e dão origem a um conjunto de identidades de grande aplicação.
    Considere a e b, expressões em R, representando polinômios quaisquer, apresentamos a seguir os produtos notáveis.
    A. Quadrado da Soma de Dois Termos
    B. Quadrado da Diferença de Dois Termos
    C. Produto da Soma pela Diferença de Dois Termos
    D. Cubo da Soma de Dois Termos
    E. Cubo da Diferença de Dois Termos
    www.vestibulandoweb.com.br

    Tabuada

    Divisibilidade



    Colégio Estadual Dinah Gonçalves
    email accbarroso@hotmail.com        



    Divisibilidade


    Um número N é divisível por um número p quando a divisão de N por p der como quociente um número natural e 0 para resto.
    Sendo assim, N é divisível por p. E com isso diremos que N é múltiplo de p, e p é divisor de N.

    Exemplos :

    21 é divisível por 3, já que 21 : 3 tem 7 por quociente e o resto 0. Com isso: 21 é múltiplo de 3 e 3 é divisor de 21

    125 é divisível por 5, já que 125 : 5 dá 25 para quociente e o resto 0. Com isso: 125 é múltiplo de 5 e 5 é divisor de 125

    327 não é divisível por 11, já que 327 : 11 dá para quociente 29 e o resto 8. Com isso: 327 não é múltiplo de 11 e 11 não é divisor de 11

    Critérios de Divisibilidade


    Em muitas situações precisamos apenas descobrir se um número é divisível por outro, sem a necessidade de sabermos o quociente
    da divisão entre eles. Neste caso utilizamos alguns mecanismos ou regras conhecidas como critérios de divisibilidade.

    Os Principais Critérios de Divisibilidade


    Divisibilidade por 2


    Um número é divisível por 2 quando o algarismo das unidades for 0, 2, 4, 6 ou 8.
    Assim sendo: um número é divisível por 2 quando ele for par.

    Exemplos :

    124 é divisível por 2, já que o algarismo das unidades é 4. Com isso: 124 é divisível por 2, 124 é múltiplo de 2 e 2 é divisor de 124

    1258 é divisível por 2, já que o algarismo das unidades é 8. Com isso: 1258 é divisível por 2, 1258 é múltiplo de 2 e 2 é divisor de 1258

    3275 não é divisível por 2, já que o algarismo das unidades é 5. Com isso: 3275 não é divisível por 2, 3275 não é múltiplo de 2 e 2 não é
    divisor de 3275

    A partir daqui chamaremos Critério de Divisibilidade apenas por Divisibilidade

    Divisibilidade por 3


    Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos gerar um múltiplo de 3.

    Exemplos :

    138 é divisível por 3, já que 1 + 3 + 8 = 12, e 12 é um múltiplo de 3. Com isso: 138 é divisível por 3, 138 é múltiplo de 3 e 3 é divisor de
    138

    3821 não é divisível por 3, já que 3 + 8 + 2 + 1 = 14, e 14 não é um múltiplo de 3. Com isso: 3821 não é divisível por 3, 3821 não é
    múltiplo de 3 e 3 não é divisor de 3821

    8973 é divisível por 3, já que 8 + 9 + 7 + 3 = 27, e 27 é um múltiplo de 3. Com isso: 8973 é divisível por 3, 8973 é múltiplo de 3 e 3 é
    divisor de 8973

    Divisibilidade por 4 - Critério 1


    Um número é divisível por 4 quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita der um múltiplo de 4.

    Exemplos :

    128 é divisível por 4, já que o número 28 é um múltiplo de 4. Com isso: 128 é divisível por 4, 128 é múltiplo de 4 e 4 é divisor de 128

    2132 é divisível por 4, já que o número 32 é um múltiplo de 4. Com isso: 2132 é divisível por 4, 2132 é múltiplo de 4 e 4 é divisor de 3821

    5946 não é divisível por 4, já que o número 46 não é um múltiplo de 4Com isso: 5946 não é divisível por 4, 5946 não é múltiplo de 4 e
    4 não é divisor de 5946

    Divisibilidade por 4 - Critério 2


    Um número é divisível por 4 quando o dobro do algarismo das dezenas adicionado ao algarismo das unidades gerar um
    múltiplo de 4.

    Exemplos :

    124 é divisível por 4, já que: 2 X 2 + 4 = 8, e 8 é um múltiplo de 4. Com isso: 124 é divisível por 4, 124 é múltiplo de 4 e 4 é divisor
    de 124

    38543 não é divisível por 4, já que: 4 X 2 + 3 = 11, e 11 não é um múltiplo de 4. Com isso: 38543 não é divisível por 4, 38543 não é
    múltiplo de 4 e 4 não é divisor de 38543

    Observação Importante: Um número N somente será divisível por 4 se ele for um número par. Sendo N um número ímpar nem se faz
    necessária a verificação já que de antemão ele não será divisível por 4.

    Divisibilidade por 5


    Um número é divisível por 5 quando seu algarismo das unidades for 0 ou 5.

    Exemplos :

    245 é divisível por 5, já que termina em 5. Com isso: 245 é divisível por 5, 245 é múltiplo de 5 e 5 é divisor de 245

    3040 é divisível por 5, já que termina em 0. Com isso: 3040 é divisível por 5, 3040 é múltiplo de 5 e 5 é divisor de 3040

    23 457 não é divisível por 5, já que não termina em 0 ou 5. Com isso: 23 457 não é divisível por 5, 23 457 não é múltiplo de 5 e
    5 não é divisor de 23 457

    Divisibilidade por 6


    Um número somente é divisível por 6 quando for par e a soma de seus algarismos for um número divisível por 3. Ou seja, um número é
    divisível por 6 quando for, simultaneamente, divisível por 2 e por 3.

    Divisibilidade por 6 - Método Exclusivo


    Um número é divisível por 6 quando o algarismo das unidades, adicionado ao quádruplo da soma dos demais algarismos, der um
    número divisível por 6. Se o número obtido ainda possuir uma grande quantidade de algarismos, repete-se o processo até que se
    possa verificar mentalmente a divisão por 6.

    Exemplo 1: 164 928 é divisível por 6 ? Verifiquemos:

    8 Algarismo das Unidades
    4 (1+ 6 + 4 + 9 + 2 )= 88 Quádruplo da Soma dos Demais Algarismos
    8 + 88 = 96 Soma


    Repetindo o processo para o Número 96

    6 Algarismo das Unidades
    4 X 9 Quádruplo da Soma dos Demais Algarismos
    6 + 36 = 42 Soma


    O Resultado soma 42 é um múltiplo de 6, portanto o número original 164928 é divisível por 6.

    Exemplo 2: 1.875.392 é divisível por 6 ? Verifiquemos:

    2 Algarismo das Unidades
    4 (1+ 8 + 7 + 5 + 3 + 9 ) = 132 Quádruplo da Soma dos Demais Algarismos
    2 + 132 = 134 Soma


    Repetindo o processo para o Número 134

    4 Algarismo das Unidades
    4 x ( 1 + 3 ) = 16 Quádruplo da Soma dos Demais Algarismos
    4 + 16 = 20 Soma


    O Resultado soma 20 não é um múltiplo de 6, portanto o número original 1.875.392 não é divisível por 6

    Divisibilidade por 7


    Devido à complexidade desse critério e dele não constar no programa do ensino fundamental não o estudaremos nesse capítulo.

    Divisibilidade por 8 - Critério 1


    Um número é divisível por 8 quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita formar um múltiplo de 8.

    Exemplos :

    5 432 é divisível por 8, já que o número 432 é um múltiplo de 8. Com isso: 5 432 é divisível por 8, 5 432 é múltiplo de 8 e 8 é divisor de
    5 432

    72 152 é divisível por 8, já que o número 152 é um múltiplo de 8. Com isso: 72 152 é divisível por 8, 72 152 é múltiplo de 8 e
    8 é divisor de 72 152

    35 946 não é divisível por 8, já que o número 946 não é um múltiplo de 8. Com isso: 35 946 não é divisível por 8, 35 946 não é múltiplo
    de 8 e 8 não é divisor de 35 946

    Divisibilidade por 8 - Critério 2


    Um número é divisível por 8 quando o quádruplo do algarismo das centenas adicionado ao dobro do algarismo das dezenas e
    adicionado ao algarismo das unidades der um múltiplo de 8.

    Exemplos :

    3 128 é divisível por 8, já que: 4 X 1 + 2 X 2 + 8 = 16, e 16 é um múltiplo de 4. Com isso: 3 128 é divisível por 8, 3 128 é múltiplo de 8 e
    8 é divisor de 3 128

    38 542 não é divisível por 8, já que: 4 X 5 + 2 X 4 + 2 = 30, e 30 não é um múltiplo de 8. Com isso: 38 542 não é divisível por 8, 38 542
    não é múltiplo de 8 e 8 não é divisor de 38 542

    Observação Importante: Um número N somente será divisível por 8 se ele for um número par. Sendo N um o número ímpar nem se
    faz necessária a verificação já que de antemão ele não será divisível por 8.

    Divisibilidade por 9


    Um número é divisível por 9 quando a soma de seus algarismos der um múltiplo de 9.

    Exemplos :

    234 é divisível por 3, já que 2 + 3 + 4 = 9, e 9 é um múltiplo de 9. Com isso: 234 é divisível por 9, 234 é múltiplo de 9 e
    9 é divisor de 234

    5 723 não é divisível por 9, já que 5 + 7 + 2 + 3 = 17, e 17 não é um múltiplo de 9.

    Com isso: 5 723 não é divisível por 3, 5 723 não é múltiplo de 9 e 9 não é divisor de 5 723

    6 975 é divisível por 9, já que 6 + 9 + 7 + 5 = 27, e 27 é um múltiplo de 9. Com isso: 6 975 é divisível por 3, 6 975 é múltiplo de 9 e
    9 é divisor de 6 975.

    Divisibilidade por 10


    Um número é divisível por 10 quando seu algarismo das unidades for 0.

    Exemplos :

    240 é divisível por 10, já que 240 termina em 0. Com isso: 240 é divisível por 10, 240 é múltiplo de 10 e 10 é divisor de 240

    3 040 é divisível por 10, já que 3 040 termina em 0. Com isso: 3 040 é divisível por 10, 3 040 é múltiplo de 10 e 10 é divisor de
    3 040

    63 587 não é divisível por 10, já que não termina em 0. Com isso: 63 587 não é divisível por 10, 63 587 não é múltiplo de 10 e
    10 não é divisor de 63 587

    Divisibilidade por 11


    Um número é divisível por 11 quando a soma dos algarismos de ordem ímpar Si diminuída da soma dos algarismos de
    ordem ímpar Sp for um número inteiro divisível por 11.

    Expliquemos inicialmente o que é ordem ímpar e ordem par em um número.

    Seja por exemplo o numero 125 796, sabemos que ele tem seis ordens. O algarismo 6 ocupa a primeira ordem, o algarismo 7 ocupa a
    terceira ordem e o algarismo 2 ocupa a quinta ordem - Esses são os algarismos de ordem ímpar. ( Si )
    Da mesma forma que:
    O algarismo 9 ocupa a segunda ordem, o algarismo 5 ocupa a quarta ordem e o algarismo 1 ocupa a sexta ordem -
    Esses são os algarismos de ordem par. ( Sp )

    Ou seja: Não importa se o algarismo é par ou ímpar, o que importa é a posição que ele ocupa no número.





    extraido de www.matematicamuitofacil.com

    SIMPLIFICAÇÃO DE RADICAIS

    www.youtube.com/accbarroso1
    Simplificar um radical significa escrevê-lo sob a forma mais simplis e equivalentes ao radical dado

    1º) CASO: O índice e o expoente do radicando são divisíveis por um mesmo número (diferente de zero)

    Exemplos
    a) ¹²√3¹⁰ = ¹²⁾²√3¹⁰⁾² = ⁶√3⁵
    b) ⁹√7¹² = ⁹⁾³√7¹²⁾³ = ³√7⁴

    Conclusão:
    Um radical não se altera quando o expoente do radicando e o índice do radical são divididos pelo mesmo número.

    EXERCÍCIOS

    1) Simplifique os radicais :

    a) ⁴√5⁶ = (R: √5²)b) ⁸√7⁶ = (R: ⁴√7³)
    c) ⁶√3⁹ = (R: √3³)
    d) ¹⁰√8¹² = (R: ⁵√8⁶)
    e) ¹²√5⁹ = (R: ⁴√5³)
    f) ⁶√x¹⁰ = (R: ³√x⁵)
    g) ¹⁰√a⁶ = (R: ⁵√a³)
    h) ¹⁵√m¹⁰ = (R: ³√m²)i) ¹⁰√x⁵ = (R: √x )j) ⁸√a⁴ = (R: √a)

    2º CASO : O expoente do radical é um múltiplo do índice.

    O radicando pode ser colocado Dora do radical com um expoente igual ao quociente do expoente anterior pelo índice.

    Exemplos

    a) √7¹⁰ = 7⁵ (Dividimos 10 por 2)
    b) ³√7¹² = 7⁴ (Dividimos 12 por 3)
    c) ⁴√7²⁰ = 7⁵ (Dividimos 20 por 4)
    d) √a⁶ = a³ ( Dividimos 6 por 2)

    EXERCÍCIOS

    1) Simplifique os radicais:

    a) √7⁸ = 7⁴
    b) ³√5⁹ = 5³
    c) ⁴√7¹² = 7³
    d) ⁵√9¹⁵ = 9³
    e) ³√3¹⁵ = 3⁵
    f) ⁴√6⁸ = 6²
    g) √9²⁰ = 9¹⁰
    h) √x² = x
    i) √x⁴ = x²
    j) √a⁶ = a³

    3º CASO: O expoente do radicando é maior do que o índice

    Decompomos o radicando em fatores de modo que um dos fatores tenha expoente múltiplo do índice

    Exemplos:

    a) √x¹¹ = √x¹⁰. √x = x⁵.√x
    b) ⁴√a⁷ = ⁴√a⁴. ⁴√a³ = a. ⁴√a³


    EXERCÍCIOS

    1) Simplifique os radicais

    a) √a⁷ = a³.√a
    b) ³√m⁷ = m².³√m
    c) ⁴√m⁷ = m.⁴√m³
    d) ⁵√x⁶ = x.⁵√x
    e) ⁷√a⁹ = a ⁷√a²
    f) √7⁵ = 7².√7 ou 49√7
    g) √2⁹ = 2⁴.√2 ou 16√2
    h) ³√5¹⁰ = 5³.³√5 ou 125.³√5
    i) ⁴√7⁹ = 7².⁴√7 ou 49.⁴√7
    j) ⁵√6⁸ = 6.⁵√6³ ou 6.⁵√216

    2) Fatore o radicando e simplifique os radicais:

    a) √8 = 2√2
    b) √27 = 3√3
    c) ³√81 = 3.³√3
    d) ⁴√32 = 2.⁴√2
    e) √50 = 5√2
    f) √80 = 4√5
    g) √12 = 2√3
    h) √18 = 3√2
    i) √50 = 5√2
    j) √8 = 2√2
    k) √72 = 6√2
    l) √75 = 5√3
    m) √98 = 7√2
    n) √99 = 3√11
    o) √200 = 10√2


    3) Calcule

    a) √36 - √49 = -1
    b) ³√8 + √64 = 10
    c) -√100 - ³√64 = -14
    d) -³√125 - ³√-1 = -4
    e) ⁵√1 + √9 - ³√8 = 2
    f) √100 +⁵√-32 + ⁶√0 = 8
    g) ⁴√16 + ⁷√1 - ⁵√-1 = 4