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sábado, 1 de agosto de 2020
Os Nematelmintos
Professor de Matemática Antonio Carlos Carneiro Barroso
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com
www.youtube.com/accbarroso1Os Nematelmintos
Os nematelmintos (do grego nematos: 'filamento', e helmin: 'vermes') são vermes de corpo cilíndrico, afilado nas extremidades. Muitas espécies são de vida livre e vivem em ambiente aquático ou terrestre; outras são parasitas de plantas e de animais, inclusive o ser humano. Há mais de 10 mil espécies desse tipo de vermes catalogadas, mas cálculos feitos indicam a existência de muitas outras espécies, ainda desconhecidas.
Ao contrário dos platelmintos, os nematelmintos possuem tubo digestório completo, com boca e ânus. Geralmente têm sexos separados, e as diferenças entre o macho e a fêmea podem ser bem nítidas, como no caso dos principais parasitas humanos. De modo geral o macho é menor do que a fêmea da mesma idade e sua extremidade posterior possui forma de gancho. Esses animais são envolvidos por uma fina e delicada película protetora, que é bem lisa e resistente.
Lombriga (Ascaris lumbricoides)
Porção anterior de Ancylostoma duodenale, mostrando boca com dentículos dilacerantes.
Doenças causadas por Nematódeos
Ancilóstomos, lombrigas, oxiúros e filárias são alguns exemplos de nematelmintos que parasitam os seres humanos . Vamos conhecê-los melhor.
Oxiuríase: Coceira Anal
O que é?
É uma inflamação causada pelo verme Oxyurus vermicularis (ou Enterobius vermicularis) que se aloja no intestino grosso. Entenda-se por inflamação um processo de reação a um agente irritante que atinge um ser vivo. Caracteriza-se por edema (inchaço), hiperemia (vermelhidão), hiperestesia (aumento da sensibilidade dolorosa) e aumento da temperatura local eventualmente se acompanha de diminuição funcional e na dependência do local atingido pode passar sem que se perceba o processo.
Como se adquire?
Esta verminose é adquirida pela chegada dos ovos deste parasita ao aparelho digestivo através de mecanismos como: a - deglutição - junto com alimentos, poeira de casa, objetos, animais, roupas contaminados com ovos dos oxiúros. Auto-infestação, no ato de coçar o ânus os ovos podem aderir aos dedos e então levados à boca. Após a deglutição dos ovos, no intestino as larvas se transformam em adultos, as fêmeas guardam os ovos fecundados e os machos morrem. As fêmeas migram para o cólon e reto, de noite elas Saem pelo esfíncter anal e depositam ovos na região anal e perianal.
O que se sente?
Exceto pelo prurido (coceira) anal e por ocasionais episódios de diarréia a maioria das pessoas não sente nada. Infestações intensas podem causar vômitos, diarréia freqüente inclusive com excesso de gordura nas fezes, prurido anal constante, insônia. Irritabilidade, perda de peso, chegando à desnutrição.
Como se faz o diagnóstico?
O diagnóstico pode ser evidenciado pela visualização dos vermes nas fezes (raro), em pesquisa de ovos no exame parasitológico de fezes e mais comumente pela pesquisa de ovos na região perianal e anal através de raspado anal (swab) ou fita adesiva. Prevenção
A higiene de um modo sistemático, mãos, alimentos, animais, roupas, roupas de cama, brinquedos é eficaz na prevenção. O uso de água sanitária (diluição de 1/3) serve para maior eficácia na limpeza de objetos que não sejam atacados pelo cloro.
Filaríase: elefantíase
A filariose ou elefantiase é a doença causada pelos parasitas nemátodes Wuchereria bancrofti, Brugia malayi e Brugia timori, comumente chamados filária, que se alojam nos vasos linfáticos causando linfedema. Esta doença é também conhecida como elefantíase, devido ao aspecto de perna de elefante do paciente com esta doença. Tem como transmissor os mosquitos dos gêneros Culex, Anopheles, Mansonia ou Aedes, presentes nas regiões tropicais e subtropicais. Quando o nematódeo obstrui o vaso linfático, o edema é irreversível, daí a importância da prevenção com mosquiteiros e repelentes, além de evitar o acúmulo de águas paradas em pneus velhos, latas, potes e outros.
As formas adultas são vermes nemátodes de secção circular e com tubo digestivo completo. As fêmeas (alguns centímetros) são maiores que os machos e a reprodução é exclusivamente sexual, com geração de microfilárias. Estas são pequenas larvas fusiformes com apenas 0,2 milímetros.
Ciclo de Vida
As larvas são transmitidas pela picada dos mosquitos e da mosca Chrysomya conhecida como Mosca Varejeira. Da corrente sanguínea elas dirigem-se para os vasos linfáticos, onde se maturam nas formas adultas sexuais. Após cerca de oito meses da infecção inicial, começam a produzir microfilárias que surgem no sangue, assim como em muitos órgãos. O mosquito é infectado quando pica um ser humano doente. Dentro do mosquito as microfilárias modificam-se ao fim de alguns dias em formas infectantes, que migram principalmente para a cabeça do mosquito.
Mosca Chrysomya, varejeira.
Progressão e sintomas
O período de incubação pode ser de um mês ou vários meses. A maioria dos casos é assintomática, contudo existe produção de microfilárias e o indivíduo dissemina a infecção através dos mosquitos que o picam.
Os episódios de transmissão de microfilárias (geralmente a noite, a depender da espécie do vetor) pelos vasos sanguíneos podem levar a reações do sistema imunitário, como prurido, febre, mal estar, tosse, asma, fatiga, exantemas, adenopatias (inchaço dos gânglios linfáticos) e com inchaços nos membros, escroto ou mamas. Por vezes causa inflamação dos testículos (orquite).
A longo prazo, a presença de vários pares de adultos nos vasos linfáticos, com fibrosação e obstrução dos vasos (formando nódulos palpáveis) pode levar a acumulações de linfa a montante das obstruções, com dilatação de vasos linfáticos alternativos e espessamento da pele. Esta condição, dez a quinze anos depois, manifesta-se como aumento de volume grotesco das regiões afetadas, principalmente pernas e escroto, devido a retenção de linfa. Os vasos linfáticos alargados pela linfa retida, por vezes arrebentam, complicando a drenagem da linfa ainda mais. Por vezes as pernas tornam-se grossas, dando um aspecto semelhante a patas de elefante, descrito como elefantíase.
Diagnóstico e tratamento
O diagnóstico é pela observação microscópica de microfilárias em amostras de sangue. Caso a espécie apresente periodicidade noturna, é necessário recolher sangue de noite, de outro modo não serão encontradas. A ecografia permite detectar as formas adultas. A serologia por ELISA também é útil.
São usados antiparasíticos como mebendazole. É importante tratar as infecções secundárias.
Prevenção
Há um programa da OMS que procura eliminar a doença com fármacos administrados como prevenção e inseticidas. É útil usar roupas que cubram o máximo possível da pele, repelentes de insetos e dormir protegido com redes.
Ascaridíase: lombriga
É uma verminose causada por um parasita chamado Ascaris lumbricoides. É a verminose intestinal humana mais disseminada no mundo. A contaminação acontece ocorre quando há ingestão dos ovos infectados do parasita, que podem ser encontrados no solo, água ou alimentos contaminados por fezes humanas. O único reservatório é o homem. Se os ovos encontram um meio favorável, podem contaminar durante vários anos.
Ascaris lumbricoides.
Ciclo da Ascaridíase
1- A ingestão de água ou alimento (frutas e verduras) contaminados pode introduzir ovos de lombriga no tubo digestório humano.
2- No intestino delgado, cada ovo se rompe e libera uma larva.
3- Cada larva penetra no revestimento intestinal e cai na corrente sanguínea, atingindo fígado, coração e pulmões, onde sofre algumas mudanças de cutícula e aumenta de tamanho.
4- Permanece nos alvéolos pulmonares podendo causar sintomas semelhantes ao de pneumonia.
5- Ao abandonar os alvéolos passam para os brônquios, traquéia, laringe (onde provocam tosse com o movimento que executam) e faringe.
6- Em seguida, são deglutidas e atingem o intestino delgado, onde crescem e se transformam em vermes adultos.
7- Após o acasalamento, a fêmea inicia a liberação dos ovos. Cerca de 15.000 por dia. Todo esse ciclo que começou com a ingestão de ovos, até a formação de adultos, dura cerca de 2 meses.
8-Os ovos são eliminados com as fezes. Dentro de cada ovo, dotado de casca protetora, ocorre o desenvolvimento de um embrião que, após algum tempo, origina uma larva.
9- Ovos contidos nas fezes contaminam a água de consumo e os alimentos utilizados pelo homem.
Quais são os sintomas?
A maioria das infecções é assintomática. A larva se libera do ovo no intestino delgado, penetra a mucosa e por via venosa alcança o fígado e pulmão de onde alcançam a árvore brônquica. Junto com as secreções respiratórias são deglutidas e atingem o intestino onde crescem chegando ao tamanho adulto.
Em várias situações podem surgir sintomas dependendo do órgão atingido. A ascaridíase pode causar dor de barriga, diarréia, náuseas, falta de apetite ou nenhum sintoma. Quando há grande número de vermes pode haver quadro de obstrução intestinal. A larva pode contaminar as vias respiratórias, fazendo o indivíduo apresentar tosse, catarro com sangue ou crise de asma. Se uma larva obstruir o colédoco pode haver icterícia obstrutiva.
Como se faz o diagnóstico?
O diagnóstico é feito pelo exame de fezes, onde se encontram os ovos do parasita.
Como se trata?
Existem remédios específicos para erradicar a larva do organismo humano, todos por via oral.
Como se previne?
Através de medidas de saneamento básico:
É necessário, também, fazer o tratamento de todos os portadores da doença. A ascaridíase está mais presente em países de clima tropical e subtropical. As más condições de higiene e a utilização das fezes como adubo contribuem para a prevalência dessa verminose nos países do terceiro mundo.
Ancilostomíase: Amarelão
A ancilostomose é uma helmintíase que pode ser causada tanto pelo Ancylostoma duodenale como pelo Necatur americanus. Ambos são vermes nematelmintes (asquelmintes), de pequenas dimensões, medindo entre 1 e 1,5 cm. A doença pode também ser conhecida popularmente como "amarelão", "doença do jeca-tatu", "mal-da-terra", "anemia-dos-mineiros, "opilação", etc.
As pessoas portadoras desta verminose são pálidas, com a pele amarelada, pois os vermes vivem no intestino delgado e, com suas placas cortantes ou dentes, rasgam as paredes intestinais, sugam o sangue e provocam hemorragias e anemia.
A pessoa se contagia ao manter contato com o solo contaminado por dejetos. As larvas filarióides penetram ativamente através da pele (quando ingeridas, podem penetrar através da mucosa). As larvas têm origem nos ovos eliminados pelo homem.
Ciclo de Vida
Os vermes adultos vivem no intestino delgado do homem. Depois do acasalamento, os ovos são expulsos com as fezes (a fêmea do Ancylostoma duodenale põe até 30 mil ovos por dia, enquanto que a do Necator americanus põe 9 mil). Encontrando condições favoráveis no calor (calor e umidade), tornam-se embrionados 24 horas depois da expulsão.
A larva assim originada denomina-se rabditóide. Abandona a casca do ovo, passando a ter vida livre no solo. Depois de uma semana, em média, transforma-se numa larva que pode penetrar através da pele do homem, denominada larva filarióide infestante.
Quando os indivíduos andam descalços nestas áreas, as larvas filarióides penetram na pele, migram para os capilares linfáticos da derme e, em seguida, passam para os capilares sanguíneos, sendo levadas pela circulação até o coração e, finalmente, aos pulmões.
Depois, perfuram os capilares pulmonares e a parede dos alvéolos, migram pelos bronquíolos e chegam à faringe. Em seguida, descem pelo esôfago e alcançam o intestino delgado, onde se tornam adultas.
Outra contaminação é pela larva filarióide encistada (pode ocorrer o encistamento da larva no solo) a qual, se é ingerida oralmente, alcança o estado adulto no intestino delgado, sem percorrer os caminhos descritos anteriormente.
Ciclo de vida detalhado
1- As larvas penetram ativamente através da pele, atingem a circulação e executam uma viagem semelhante àquela realizada pelas larvas da lombriga, migrando do coração para os alvéolos pulmonares.
2- Dos alvéolos, seguem para os brônquios, traquéia, laringe, faringe, esôfago, estômago e intestino delagado, local em que se transformam em adultos.
3- Após acasalamento no intestino, as fêmeas iniciam a posturas dos ovos, que, misturados as fezes, são eliminados paara o solo. A diferença em relação à ascaridíase é que, neste caso, os ovos eclodem no solo e liberam uma larva.
4- Em solo úmidos e sombrios, as larvas permanecem vivas e se alimentam. Sofrem muda na cutícula durante esse período.
Sintomas
No local da penetração das larvas filarióides, ocorre uma reação inflamatória (pruriginosa). No decurso, pode ser observada tosse ou até pneumonia (passagem das larvas pelos pulmões). Em seguida, surgem perturbações intestinais que se manifestam por cólicas, náuseas e hemorragias decorrentes da ação espoliadora dos dentes ou placas cortantes existentes na boca destes vermes. Estas hemorragias podem durar muito tempo, levando o indivíduo a uma anemia intensa, o que agrava mais o quadro.
Poderão ocorrer algumas complicações, tais como: caquexia (desnutrição profunda), amenorréia (ausência de menstruação), partos com feto morto e, em crianças, transtornos no crescimento.
Prevenção e Tratamento
As principais medidas de prevenção consistem na construção de instalações sanitárias adequadas, evitando assim que os ovos dos vermes contaminem o solo; uso de calçados, impedindo a penetração das larvas pelos pés. Além do tratamento dos portadores, é necessária uma ampla campanha de educação sanitária. Caso contrário, o homem correrá sempre o risco de adquirir novamente a verminose.
No tratamento dos doentes, o remédio clássico é o befênio; também são eficazes o pirantel, mebendazol e tiabendazol.
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MDC e MMC com exercícios
Máximo Divisor Comum - M.D.C.
Definimos Máximo Divisor Comum - M.D.C entre dois ou mais números como sendo o maior divisor comum entre eles.
Exemplo 1 : Consideremos, por exemplo, os números 18 e 30. Determinemos, inicialmente, o conjunto de seus divisores :
D(18) = { 1, 2, 3, 6, 9 e 18 } e D(30) = { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30 }
O Conjunto nos mostra os divisores comuns a 18 e 30 e dentre eles o maior, ou máximo,
será o 6 ; Com isso diremos que : M.D.C ( 18 e 30 ) = 6
Exemplo 2 : Consideremos, por exemplo, os números 24, 60 e 84. Determinemos, inicialmente, seus divisores :
D(24) = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24 },
D(60) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60 } e
D(84) = { 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42 e 84 }
O Conjunto nos mostra os divisores comuns a 24, 60 e 84 e dentre eles o maior, ou
máximo, será o 12 ; Com isso diremos que : M.D.C ( 18, 60 e 84 ) = 12
2.0 - Métodos para o Cálculo do M.D.C.
2.1 - 1º Método: Algoritmo de Euclides, Método das Divisões Sucessivas ou " Jogo da Velha "
Exemplo 1 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre 48 e 72 .
Montemos um diagrama semelhante ao Jogo da Velha e nele colocaremos na ordem decrescente os números dados.
Passo 1 - Dividimos o maior 72 pelo menor 48, o quociente 1 dessa divisão colocaremos acima do divisor 48 e o resto da divisão 24
colocaremos abaixo do dividendo 72.
Passo 2 - Deslocamos o resto obtido 24 para o espaço a direita do divisor e Dividimos este 48 por ele 24, o quociente 2 dessa divisão
colocaremos acima do novo divisor e o resto da divisão 0 colocaremos abaixo do novo dividendo 48. Esse processo será repetido até
que chequemos ao resto zero.
Passo 3 - Quando o resto se tornar igual a zero concluímos que o último divisor será o M.D.C. procurado . Assim: M.D.C. ( 48 e 72 ) = 24
Exemplo 2 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre 324 e 252 .
Montemos um diagrama semelhante ao Jogo da Velha e nele colocaremos na ordem decrescente os números dados.
Passo 1 - Dividimos o maior 324 pelo menor 252, o quociente 1 dessa divisão colocaremos acima do divisor 252 e o resto da divisão 72
colocaremos abaixo do dividendo 324.
Passo 2 - Deslocamos o resto obtido 72 para o espaço a direita do divisor e dividimos este 252 por ele 72, o quociente 3 dessa divisão
colocaremos acima do novo divisor 72 e o resto 36 colocaremos abaixo do novo dividendo 252.
Passo 3 - Deslocamos o resto obtido 36 para o espaço a direita do novo divisor 72 e dividimos este 72 por ele 36, o quociente 2 dessa
divisão colocaremos acima do divisor 36 e o resto da divisão 0 colocaremos abaixo do último dividendo 72.
Passo 4 - Como o resto se tornou igual a zero concluímos que o último divisor é o M.D.C. procurado . Assim M.D.C. ( 324 e 252 ) = 36
2.2 - 2º Método: Decomposição em Fatores Primos
Nesse método iremos decompor os números em fatores primos e aplicarmos a regra :
O M.D.C. entre dois ou mais números é dado pelo produto entre os fatores primos comuns, elevados aos menores expoentes
Exemplo 1 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre 96 e 360.
Decompondo cada um dos números em fatores primos, teremos :
96 = 25 X 3 e 360 = 23 X 32 X 5. E aplicando a regra, teremos :
fatores comuns => 2 e 3 e elevados aos menores expoentes : 23 e 31. Com isso : M.D.C. ( 96 e 360 ) = 23 X 3 = 8 X 3 = 24
Exemplo 2 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre 100, 180 e 840.
Decompondo cada um dos números em fatores primos, teremos :
100 = 22 X 52 180 = 22 X 32 X 5 e 840 = 23 X 3 X 5 X 7
E aplicando a regra, teremos :
fatores comuns => 2 e 5 e elevados aos menores expoentes : 22 e 51. Com isso : M.D.C. (100, 180 e 840) = 22 X 5 = 4 X 5 = 20
Exemplo 3 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre A, B e C, sendo :
A = 22 X 35 X 54
B = 26 X 33 X 53 X 113 e
C = 24 X 34 X 52 X 75
Nesse caso os números já estão decompostos em fatores primos e aplicando a regra, teremos :
Fatores comuns => 2, 3 e 5 e elevados aos menores expoentes : 22, 33 e 52.
Com isso e deixando o resultado indicado como originalmente no exemplo : M.D.C. (A, B e C) = 22 X 33 X 52
3.0 - Características Marcantes do M.D.C.
5.04a - O M.D.C. entre dois ou mais números primos será sempre igual a unidade.
5.04b - O M.D.C. entre dois números consecutivos será sempre igual a unidade.
5.04c - O M.D.C. entre dois ou mais números pares será sempre igual a 2.
5.04d - Se A é múltiplo de B, o M.D.C. entre A e B será igual a B.
5.04e - Se B é divisor de A, o M.D.C. entre A e B será igual a B.
5.04f - Se multiplicarmos dois ou mais números por um número natural maior que zero, o M.D.C. entre eles também ficará multiplicado
por esse número.
5.04g - Se dividirmos dois ou mais números por um número natural maior que zero, o M.D.C. entre eles também ficará dividido por
esse número.
5.04h - Quando o M.D.C. entre dois números, não necessariamente primos, é 1, eles são chamados primos entre si.
4.0 - Mínimo Múltiplo Comum - M.M.C.
Definimos Mínimo Múltiplo Comum - M.M.C entre dois ou mais números como sendo o menor múltiplo comum não nulo entre eles.
Exemplo 1 : Consideremos, por exemplo, os números 12 e 18. Determinemos, inicialmente, o conjunto de seus múltiplos :
M(12) = { 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, … } e M(18) = { 0, 18, 36, 54, 72, 90, … }
O Conjunto nos mostra os múltiplos comuns a 12 e 18 e dentre eles o menor e
não nulo, ou mínimo, será o 36 ; Com isso, diremos que : M.M.C ( 12 e 18 ) = 36
Exemplo 2 : Consideremos, por exemplo, os números 6, 9 e 15. Determinemos, inicialmente, seus múltiplos :
M( 6 ) = { 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, … } ,
M( 9 ) = { 0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, … } e
M( 15 ) = { 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, … }
O Conjunto nos mostra os múltiplos comuns a 6, 9 e 15 e dentre eles o
menor e não nulo, ou mínimo, será o 90 ;
Com isso diremos que : M.M.C ( 6, 9 e 15 ) = 90
5.0 - Métodos para o Cálculo do Mínimo Múltiplo Comum - M.M.C.
5.1 - 1º Método para o Cálculo do M.M.C. : Decomposição em Fatores Primos
Nesse método iremos decompor os números em fatores primos e aplicarmos a regra :
O M.M.C. entre dois ou mais números é dado pelo produto entre todos os fatores primos, comuns e não comuns, elevados aos maiores
expoentes
Exemplo 1 : Calculemos, por exemplo, o M.M.C entre 24 e 50.
Decompondo cada um dos números em fatores primos, teremos : 24 = 23 X 31 e 50 = 21 X 52. E aplicando a regra, teremos :
todos os fatores => 2, 3 e 5 e elevados aos maiores expoentes : 23, 31 e 52. Com isso :
M.M.C. ( 24 e 50 ) = 23 X 31X 52 = 8 X 3 X 25 = 600
Exemplo 2 : Calculemos, por exemplo, o M.M.C entre A, B e C, sendo :
A = 22 X 35 X 5
B = 23 X 33 X 53 X 73
C = 24 X 34 X 52 X 74
Nesse caso os números já estão decompostos em fatores primos e aplicando a regra, teremos :
Todos os fatores => 2, 3, 5 e 7 e elevados aos maiores expoentes : 24, 35, 53 e 74. Com isso e deixando o resultado indicado como
originalmente no exemplo, teremos :
M.M.C. (A, B e C) = 24 X 35 X 53 X 74.
5.2 - 2º Método para o Cálculo do M.M.C. : Decomposição Simultânea.
Nesse método iremos decompor os números simultaneamente em fatores primos :
Exemplo 1 : Calculemos, por exemplo, o M.M.C entre 12 e 20.
Passo 1 - Coloquemos lado a lado os números e a direita deles tracemos uma linha vertical
Passo 2 - A partir daí dividiremos cada número pela sucessão dos números primos, enquanto pelo menos um deles for divisível a
operação deve ser continuada, e nesse caso repetiremos o número não divisível até que não seja mais possível também para o outro,
ou nenhum dos outros, a divisão.
Passo 3 - Quando cada coluna a esquerda apresentar a unidade, o produto de todos os fatores encontrados a direita nos dará o M.M.C. .
Com Isso o M.M.C. entre 12 e 20 será 22 X 3 X 5 = 60
Exemplo 2 : Calculemos, agora, o M.M.C entre 8, 14 e 20.
Com Isso o M.M.C. entre 8, 14 e 20 será 23 X 3 X 5 = 120
5.3 - 3º Método para o Cálculo do M.D.C. : Decomposição Simultânea.
Como já conhecemos como funciona o cálculo do M.M.C. pelo método da decomposição simultânea, podemos aplicá-lo também para
o cálculo do M.D.C.:
Exemplo 1 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre 12 e 60 e 72.
Passo 1 - Faremos exatamente com se fossemos calcular o M.M.C. entre eles
Passo 2 - Quando cada coluna a esquerda apresentar a unidade, o produto de todos os fatores encontrados a direita do traço que
dividiram simultameamente todos os 3 números nos dará o M.D.C. entre eles.
12 , 60 , 72 2 <<<
6 , 30 , 36 2 <<<
3 , 15 , 18 2
3 , 15 , 9 3 <<<
1 , 5 , 3 3
1 , 5 , 1 5
1 , 1 , 1
Assinalamos com as 3 setinhas os fatores que dividiram ao mesmo tempo os 3 números. O produto desses números assinalados nos dará
o M.D.C. entre eles.
Com Isso o M.D.C entre 12 e 60 e 72 será 22 X 3 = 12
6.0 - Características Marcantes do M.M.C.
5.09a - O M.M.C. entre dois ou mais números primos será sempre igual ao produto entre eles.
5.09b - O M.M.C. entre dois números consecutivos será sempre igual ao produto entre eles.
5.09c - Se A é múltiplo de B, o M.M.C. entre A e B será igual a A.
5.09d - Se B é divisor de A, o M.M.C. entre A e B será igual a A.
5.09e - Se multiplicarmos dois ou mais números por um número natural maior que zero, o M.M.C. entre eles também ficará
multiplicado por esse número.
5.09f - Se dividirmos dois ou mais números por um número natural maior que zero, o M.D.C. entre eles também ficará dividido
por esse número.
7.0 - Propriedade Importante entre M.D.C. e M.M.C.
Dados dois números A e B, o produto entre seu M.D.C. e o seu M.M.C. , será igual ao produto A X B entre eles. Ou seja :
M.M.C. ( A e B ) x M.M.C.( A e B ) = A X B
Tente provar essa importante propriedade. É mais fácil que você imagina.
Importante: Essa propriedade somente é válida para o M.D.C. e o M.M.C. entre dois números
8.0 - Exercícios Propostos
I - Determine o M.D.C. entre :
01) dois números pares e consecutivos 02) dois números consecutivos
03) dois números ímpares e consecutivos 04) dois números primos
05) dois múltiplos pares e naturais de 9 06) 3 números terminados em 5
07) dois múltiplos inteiros de 7, positivos e consecutivos 08) dois múltiplos naturais cuja diferença é o triplo do menor
II - Determine pelo Algoritmo de Euclides ( Jogo da Velha ) o M.D.C. entre :
09) 24 e 60 10) 96 e 180 11) 132 e 198
12) 247 e 299 13) 624 e 720
14) Um aluno ao determinar o M.D.C. entre dois números pelo método das divisões sucessivas encontrou para M.D.C. 36 e
respectivamente os quocientes 1, 3 e 2. Cálculos esses dois números.
15) Um aluno ao determinar o M.D.C. de dois números pelo Algoritmo de Euclides encontrou 21 para M.D.C. e respectivamente
os quocientes 4, 2 e 2. Cálculos o maior desses números.
16) O M.D.C. de dois números determinado pelo Algoritmo de Euclides é 27. Se os 4 quocientes encontrados são distintos e os
menores possíveis, determi-ne o menor desses dois números.
17) Explique por que no cálculo do M.D.C. de dois números pelo Algoritmo de Euclides o último quociente encontrado é sempre
maior que a unidade.
III - Determine o M.D.C. entre :
18) 320 e 448 19) 462 e 1.386 20) 975 e 455
21) 28, 77 e 84 22) 108, 120 e 144 22) 60, 72, 96 e 156
IV - Qual é o maior número que divide exatamente :
23) 39, 65 e 143 24) 702 e 918 25) 519, 1.038 e 1.557
26) Qual é o maior número pelo qual devemos dividir 270 e 240 para obtermos, respectivamente, os restos 10 e 9 :
27) Qual é o maior número pelo qual devemos dividir 160, 220 e 472 para obtermos, respectivamente, os restos 7, 16 e 13
28) Ao dividirmos 167, 237, 379 e 593 pelo maior número possível, obtemos respectivamente os restos 23, 21,19 e 17.
Calcule esse número.
V - Encontrar dois números conhecendo-se sua soma S e seu M.D.C.. ( Obs : Dar todas as soluções possíveis )
29) Soma = 384 e M.D.C. = 24 30) Soma = 740 e M.D.C. = 37 31) Soma = 840 e M.D.C. = 56
VI - Encontrar dois números conhecendo-se sua soma D e seu M.D.C.. ( Obs : Dar todas as soluções possíveis )
32) Diferença = 75 e M.D.C. = 15 33) Diferença = 108 e M.D.C. = 18 34) Diferença = 378 e M.D.C. = 42
VII - Encontrar dois números conhecendo-se seu produto P e seu M.D.C.. ( Obs : Dar todas as soluções possíveis )
35) Produto = 1 536 e M.D.C. = 12 36) Produto = 1 792 e M.D.C. = 8 37) Produto = 4 320 e M.D.C. = 6
38) Encontrar três números distintos de 2 algarismos cujo M.D.C. é 13 e cuja soma é igual a 91.
VIII - Determine o M.MC. entre :
39) dois números pares e consecutivos 40) dois números consecutivos
41) dois números ímpares e consecutivos 42) dois números primos
43) dois múltiplos pares e naturais de 3 44) dois múltiplos naturais cuja diferença é o triplo do menor
IX - Determine o M.M.C. entre :
45) 32 e 48 46) 72 e 120 47) 26 e 65
48) 6, 7 e 210 49) 8, 12 e 14 50) 21, 28 e 36
X - Qual é o menor número simultaneamente divisível por :
51) 3, 4, 5, 6, 7 e 8 52) 2, 3 , 5, 8, 9 12 e 15 53) 11, 22, 33, 44 e 55
54) pelos 5 primeiros múltiplos positivos de 3 55) pelos números naturais menores que 11
XI - Determine o menor dos números que dividido por :
56) 12, 15 e 18 deixa o resto 8 57) 15, 24 e 30 deixa o resto 11
58) 24, 30, 36 e 60 deixa o resto 16 59) 32, 38 e 42 deixa o resto 17
XII - Encontrar dois números conhecendo-se sua soma S e seu M.M.C..
60) Soma = 30 e M.M.C. = 36 61) Soma = 140 e M.M.C. = 240 62) Soma = 168 e M.M.C. = 288
XIII - Encontrar dois números conhecendo-se sua soma P e seu M.M.C..
60) Produto = 360 e M.M.C. = 120 61) Produto = 2 160 e M.M.C. = 360 62) Produto = 1176 e M.M.C. = 108
63) Se o M.M.C. entre 70A e 56B é igual a 3 080. Determine os pares de valores possíveis para A e B.
XIV - Calcular o M.D.C. e o M.M.C. entre :
64) A = 23 x 34 x 5 e B = 22 x 32 x 52 65) P = 22 x 33 x 7 e Q = 2 x 34 x 5
66) M = 22 x 53 x 11 e N = 23 x 72 x 132 67) E = 23 x 3 x 5 x 72 , F = 22 x 33 x 52 x 112 e G = 2 X 32 X 73 X 112 X 17
68) A = 23 x 34 x 5 x 72 , B = 22 x 32 x 52 x 112 e C = 24 x 33 x 52 x 19 69) J = 23 x 34 x 5 x 72 , K = 22 x 32 x 52 x 112 e L = 24 x 33 x 52 x 19
70) M = 4 x 64 x 5 e P = 8 x 272 x 152
XV - Calcular o valor de n para as condições dadas :
71) A = 2n x 33 x 72 ; B= 24 x 32 x 7 x 112 para M.D.C. ( A e B ) = 23 X 32 X 7
72) Q = 22n x 32 x 52 ; B = 23 x 3n x 5 x 73 para M.M.C. ( A e B ) = 60
73) P = 24n x 9 ; B = 27 x 35 para M.D.C. ( A e B ) = 22 x 64
74) M = 30n X 7 ; B = 22 X 9 X 352 para M.M.C. ( A e B ) = 100 X 9 X 49
XVI - Calcular o valor de n + p para as condições dadas :
75) A = 2n X 33 X 132 ; B = 24 X 3p X 11 X 13 para M.D.C. ( A e B ) = 23 X 32 X 13
76) A = 2n X 32 X 11 ; B = 24 X 3p X 7 X 112 para M.M.C. ( A e B ) = 25 X 33 X 7 X 112
77) Calcular o valor da soma m + n + p tal que o M.D.C. entre A = 2m X 33 X 5p e B = 22 X 3n X 53 seja igual a 63 X 75
78) Dois números distintos A e B são os menores possíveis e podem ser representados, exclusivamente, pelos 3 menores fatores
primos. Se os expoentes do menor deles são números consecutivos. Determine o M.D.C. e o M.M.C. entre eles.
79) O produto de dois números A e B é igual a 360. Se o M.D.C. entre eles é 24, Calcule o seu M.M.C..
80) Uma doceria tem em estoque 150 balas de coco, 180 balas de chocolate e 240 balas de leite. Quantas balas de cada sabor se deve
colocar em caixas decoradas, sabendo que essas quantidades devem ser as maiores possíveis.
81) Três automóveis disputam uma corrida em uma pista circular. O mais rápido deles dá uma volta em 10 minutos, um outro leva
15 minutos e o terceiro e mais lento demora 18 minutos para dar uma volta completa. No fim de quanto tempo os 3 automóveis
voltarão a se encontrar no inicio da pista se eles partiram exatamente no mesmo instante.
82) Três automóveis disputam uma corrida em uma pista circular. Um deles dá uma volta em 18 minutos, um outro leva 20 minutos e o
terceiro demora 25 minutos para dar uma volta completa. Se eles partiram exatamente às 15 horas, Que horas serão quando os 3
automóveis voltarão a se encontrar no inicio da pista após 3 horas de corrida ?
83) Três netas visitam sua avó, respectivamente, em intervalos de 5 dias, de 7 dias e de 9 dias. Se a última vez em que as três se
encontraram na casa de sua avó foi no mês de Maio, em que mês do segundo semestre eles tornarão a se encontrar ?
84) Determine o menor número que ao ser dividido por por 11, 12 e 16 deixa, respectivamente, os restos 5, 6 e 10.
85) Determine o menor número de 4 algarismos que dividido por por 12, 15, 18 e 24 deixa, respectivamente, os restos 7, 10, 13 e 19.
9.0 - Questões de Concurso
86) ( CEFETQ - 1997 ) Determinar o maior número pelo qual se deve dividir os números 165 e 215 para que os restos sejam 9 e 11,
respectivamente.
87)( UFMG - 1996 ) O número de três algarismos divisível ao mesmo tempo por 2, 3, 5, 6, 9 e 11 é :
(A) 330 (B) 660 (C) 676 (D) 900 (E) 996
88) ( UNIFACS - 1997 ) O número de alunos de uma sala de aula é menor que 50. Formando-se equipes de 7 alunos, sobram 6.
Formando-se equipes de 9 alunos, sobram 6. Formando-se equipes de 9 alunos , sobram 5. Nessas condições, se forem formadas
equipes de 8 alunos, o número de alunos que sobram é :
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5
89) ( PUC/CAMPINAS - 1995 ) Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feito na máquina A a cada 3 dias, na máquina B,
a cada 6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita a manutenção das três máquinas, a próxima vez em que a manutenção ocorreu
no mesmo dia foi em :
(A) 5 de Dezembro (B) 6 de Dezembro (C) 8 de Dezembro (D) 14 de Dezembro (E) 26 de Dezembro
90) ( PUC/CAMPINAS - 1998 ) Uma editora tem em seu estoque 750 exemplares de um livro A, 1200 de um livro B e 2 500 de um livro C.
Deseja-se remetê-los a algumas escolas em pacotes, de modo que cada pacote os três tipos de livros em quantidades iguais e com o
maior número possível de exemplares de cada tipo. Nessas condições, remetidos todos os pacotes possíveis, o número de exemplares
que restarão no estoque é :
(A) 1.500 (B) 1.750 (C) 2.200 (D) 1.600 (E) 2.000
91) ( UNIARARAS - 1997 ) As cidade de Araras, Leme e Conchal realizam grandes festas periódicas, sendo as de Araras de 9 em
9 meses, as de Leme de 12 em 12 meses e as de Conchal de 20 em 20 meses. Se em Março de 1985 as festas coincidiram, então a
próxima coincidência foi em :
(A) Março de 1995 (B) Março de 2000 (C) Março de 1996 (D) Dezembro de 1999 (E) Nunca mais
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Definimos Máximo Divisor Comum - M.D.C entre dois ou mais números como sendo o maior divisor comum entre eles.
Exemplo 1 : Consideremos, por exemplo, os números 18 e 30. Determinemos, inicialmente, o conjunto de seus divisores :
D(18) = { 1, 2, 3, 6, 9 e 18 } e D(30) = { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30 }
O Conjunto nos mostra os divisores comuns a 18 e 30 e dentre eles o maior, ou máximo,
será o 6 ; Com isso diremos que : M.D.C ( 18 e 30 ) = 6
Exemplo 2 : Consideremos, por exemplo, os números 24, 60 e 84. Determinemos, inicialmente, seus divisores :
D(24) = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24 },
D(60) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60 } e
D(84) = { 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42 e 84 }
O Conjunto nos mostra os divisores comuns a 24, 60 e 84 e dentre eles o maior, ou
máximo, será o 12 ; Com isso diremos que : M.D.C ( 18, 60 e 84 ) = 12
2.0 - Métodos para o Cálculo do M.D.C.
2.1 - 1º Método: Algoritmo de Euclides, Método das Divisões Sucessivas ou " Jogo da Velha "
Exemplo 1 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre 48 e 72 .
Montemos um diagrama semelhante ao Jogo da Velha e nele colocaremos na ordem decrescente os números dados.
Passo 1 - Dividimos o maior 72 pelo menor 48, o quociente 1 dessa divisão colocaremos acima do divisor 48 e o resto da divisão 24
colocaremos abaixo do dividendo 72.
Passo 2 - Deslocamos o resto obtido 24 para o espaço a direita do divisor e Dividimos este 48 por ele 24, o quociente 2 dessa divisão
colocaremos acima do novo divisor e o resto da divisão 0 colocaremos abaixo do novo dividendo 48. Esse processo será repetido até
que chequemos ao resto zero.
Passo 3 - Quando o resto se tornar igual a zero concluímos que o último divisor será o M.D.C. procurado . Assim: M.D.C. ( 48 e 72 ) = 24
Exemplo 2 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre 324 e 252 .
Montemos um diagrama semelhante ao Jogo da Velha e nele colocaremos na ordem decrescente os números dados.
Passo 1 - Dividimos o maior 324 pelo menor 252, o quociente 1 dessa divisão colocaremos acima do divisor 252 e o resto da divisão 72
colocaremos abaixo do dividendo 324.
Passo 2 - Deslocamos o resto obtido 72 para o espaço a direita do divisor e dividimos este 252 por ele 72, o quociente 3 dessa divisão
colocaremos acima do novo divisor 72 e o resto 36 colocaremos abaixo do novo dividendo 252.
Passo 3 - Deslocamos o resto obtido 36 para o espaço a direita do novo divisor 72 e dividimos este 72 por ele 36, o quociente 2 dessa
divisão colocaremos acima do divisor 36 e o resto da divisão 0 colocaremos abaixo do último dividendo 72.
Passo 4 - Como o resto se tornou igual a zero concluímos que o último divisor é o M.D.C. procurado . Assim M.D.C. ( 324 e 252 ) = 36
2.2 - 2º Método: Decomposição em Fatores Primos
Nesse método iremos decompor os números em fatores primos e aplicarmos a regra :
O M.D.C. entre dois ou mais números é dado pelo produto entre os fatores primos comuns, elevados aos menores expoentes
Exemplo 1 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre 96 e 360.
Decompondo cada um dos números em fatores primos, teremos :
96 = 25 X 3 e 360 = 23 X 32 X 5. E aplicando a regra, teremos :
fatores comuns => 2 e 3 e elevados aos menores expoentes : 23 e 31. Com isso : M.D.C. ( 96 e 360 ) = 23 X 3 = 8 X 3 = 24
Exemplo 2 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre 100, 180 e 840.
Decompondo cada um dos números em fatores primos, teremos :
100 = 22 X 52 180 = 22 X 32 X 5 e 840 = 23 X 3 X 5 X 7
E aplicando a regra, teremos :
fatores comuns => 2 e 5 e elevados aos menores expoentes : 22 e 51. Com isso : M.D.C. (100, 180 e 840) = 22 X 5 = 4 X 5 = 20
Exemplo 3 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre A, B e C, sendo :
A = 22 X 35 X 54
B = 26 X 33 X 53 X 113 e
C = 24 X 34 X 52 X 75
Nesse caso os números já estão decompostos em fatores primos e aplicando a regra, teremos :
Fatores comuns => 2, 3 e 5 e elevados aos menores expoentes : 22, 33 e 52.
Com isso e deixando o resultado indicado como originalmente no exemplo : M.D.C. (A, B e C) = 22 X 33 X 52
3.0 - Características Marcantes do M.D.C.
5.04a - O M.D.C. entre dois ou mais números primos será sempre igual a unidade.
5.04b - O M.D.C. entre dois números consecutivos será sempre igual a unidade.
5.04c - O M.D.C. entre dois ou mais números pares será sempre igual a 2.
5.04d - Se A é múltiplo de B, o M.D.C. entre A e B será igual a B.
5.04e - Se B é divisor de A, o M.D.C. entre A e B será igual a B.
5.04f - Se multiplicarmos dois ou mais números por um número natural maior que zero, o M.D.C. entre eles também ficará multiplicado
por esse número.
5.04g - Se dividirmos dois ou mais números por um número natural maior que zero, o M.D.C. entre eles também ficará dividido por
esse número.
5.04h - Quando o M.D.C. entre dois números, não necessariamente primos, é 1, eles são chamados primos entre si.
4.0 - Mínimo Múltiplo Comum - M.M.C.
Definimos Mínimo Múltiplo Comum - M.M.C entre dois ou mais números como sendo o menor múltiplo comum não nulo entre eles.
Exemplo 1 : Consideremos, por exemplo, os números 12 e 18. Determinemos, inicialmente, o conjunto de seus múltiplos :
M(12) = { 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, … } e M(18) = { 0, 18, 36, 54, 72, 90, … }
O Conjunto nos mostra os múltiplos comuns a 12 e 18 e dentre eles o menor e
não nulo, ou mínimo, será o 36 ; Com isso, diremos que : M.M.C ( 12 e 18 ) = 36
Exemplo 2 : Consideremos, por exemplo, os números 6, 9 e 15. Determinemos, inicialmente, seus múltiplos :
M( 6 ) = { 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, … } ,
M( 9 ) = { 0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, … } e
M( 15 ) = { 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, … }
O Conjunto nos mostra os múltiplos comuns a 6, 9 e 15 e dentre eles o
menor e não nulo, ou mínimo, será o 90 ;
Com isso diremos que : M.M.C ( 6, 9 e 15 ) = 90
5.0 - Métodos para o Cálculo do Mínimo Múltiplo Comum - M.M.C.
5.1 - 1º Método para o Cálculo do M.M.C. : Decomposição em Fatores Primos
Nesse método iremos decompor os números em fatores primos e aplicarmos a regra :
O M.M.C. entre dois ou mais números é dado pelo produto entre todos os fatores primos, comuns e não comuns, elevados aos maiores
expoentes
Exemplo 1 : Calculemos, por exemplo, o M.M.C entre 24 e 50.
Decompondo cada um dos números em fatores primos, teremos : 24 = 23 X 31 e 50 = 21 X 52. E aplicando a regra, teremos :
todos os fatores => 2, 3 e 5 e elevados aos maiores expoentes : 23, 31 e 52. Com isso :
M.M.C. ( 24 e 50 ) = 23 X 31X 52 = 8 X 3 X 25 = 600
Exemplo 2 : Calculemos, por exemplo, o M.M.C entre A, B e C, sendo :
A = 22 X 35 X 5
B = 23 X 33 X 53 X 73
C = 24 X 34 X 52 X 74
Nesse caso os números já estão decompostos em fatores primos e aplicando a regra, teremos :
Todos os fatores => 2, 3, 5 e 7 e elevados aos maiores expoentes : 24, 35, 53 e 74. Com isso e deixando o resultado indicado como
originalmente no exemplo, teremos :
M.M.C. (A, B e C) = 24 X 35 X 53 X 74.
5.2 - 2º Método para o Cálculo do M.M.C. : Decomposição Simultânea.
Nesse método iremos decompor os números simultaneamente em fatores primos :
Exemplo 1 : Calculemos, por exemplo, o M.M.C entre 12 e 20.
Passo 1 - Coloquemos lado a lado os números e a direita deles tracemos uma linha vertical
Passo 2 - A partir daí dividiremos cada número pela sucessão dos números primos, enquanto pelo menos um deles for divisível a
operação deve ser continuada, e nesse caso repetiremos o número não divisível até que não seja mais possível também para o outro,
ou nenhum dos outros, a divisão.
Passo 3 - Quando cada coluna a esquerda apresentar a unidade, o produto de todos os fatores encontrados a direita nos dará o M.M.C. .
Com Isso o M.M.C. entre 12 e 20 será 22 X 3 X 5 = 60
Exemplo 2 : Calculemos, agora, o M.M.C entre 8, 14 e 20.
Com Isso o M.M.C. entre 8, 14 e 20 será 23 X 3 X 5 = 120
5.3 - 3º Método para o Cálculo do M.D.C. : Decomposição Simultânea.
Como já conhecemos como funciona o cálculo do M.M.C. pelo método da decomposição simultânea, podemos aplicá-lo também para
o cálculo do M.D.C.:
Exemplo 1 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre 12 e 60 e 72.
Passo 1 - Faremos exatamente com se fossemos calcular o M.M.C. entre eles
Passo 2 - Quando cada coluna a esquerda apresentar a unidade, o produto de todos os fatores encontrados a direita do traço que
dividiram simultameamente todos os 3 números nos dará o M.D.C. entre eles.
12 , 60 , 72 2 <<<
6 , 30 , 36 2 <<<
3 , 15 , 18 2
3 , 15 , 9 3 <<<
1 , 5 , 3 3
1 , 5 , 1 5
1 , 1 , 1
Assinalamos com as 3 setinhas os fatores que dividiram ao mesmo tempo os 3 números. O produto desses números assinalados nos dará
o M.D.C. entre eles.
Com Isso o M.D.C entre 12 e 60 e 72 será 22 X 3 = 12
6.0 - Características Marcantes do M.M.C.
5.09a - O M.M.C. entre dois ou mais números primos será sempre igual ao produto entre eles.
5.09b - O M.M.C. entre dois números consecutivos será sempre igual ao produto entre eles.
5.09c - Se A é múltiplo de B, o M.M.C. entre A e B será igual a A.
5.09d - Se B é divisor de A, o M.M.C. entre A e B será igual a A.
5.09e - Se multiplicarmos dois ou mais números por um número natural maior que zero, o M.M.C. entre eles também ficará
multiplicado por esse número.
5.09f - Se dividirmos dois ou mais números por um número natural maior que zero, o M.D.C. entre eles também ficará dividido
por esse número.
7.0 - Propriedade Importante entre M.D.C. e M.M.C.
Dados dois números A e B, o produto entre seu M.D.C. e o seu M.M.C. , será igual ao produto A X B entre eles. Ou seja :
M.M.C. ( A e B ) x M.M.C.( A e B ) = A X B
Tente provar essa importante propriedade. É mais fácil que você imagina.
Importante: Essa propriedade somente é válida para o M.D.C. e o M.M.C. entre dois números
8.0 - Exercícios Propostos
I - Determine o M.D.C. entre :
01) dois números pares e consecutivos 02) dois números consecutivos
03) dois números ímpares e consecutivos 04) dois números primos
05) dois múltiplos pares e naturais de 9 06) 3 números terminados em 5
07) dois múltiplos inteiros de 7, positivos e consecutivos 08) dois múltiplos naturais cuja diferença é o triplo do menor
II - Determine pelo Algoritmo de Euclides ( Jogo da Velha ) o M.D.C. entre :
09) 24 e 60 10) 96 e 180 11) 132 e 198
12) 247 e 299 13) 624 e 720
14) Um aluno ao determinar o M.D.C. entre dois números pelo método das divisões sucessivas encontrou para M.D.C. 36 e
respectivamente os quocientes 1, 3 e 2. Cálculos esses dois números.
15) Um aluno ao determinar o M.D.C. de dois números pelo Algoritmo de Euclides encontrou 21 para M.D.C. e respectivamente
os quocientes 4, 2 e 2. Cálculos o maior desses números.
16) O M.D.C. de dois números determinado pelo Algoritmo de Euclides é 27. Se os 4 quocientes encontrados são distintos e os
menores possíveis, determi-ne o menor desses dois números.
17) Explique por que no cálculo do M.D.C. de dois números pelo Algoritmo de Euclides o último quociente encontrado é sempre
maior que a unidade.
III - Determine o M.D.C. entre :
18) 320 e 448 19) 462 e 1.386 20) 975 e 455
21) 28, 77 e 84 22) 108, 120 e 144 22) 60, 72, 96 e 156
IV - Qual é o maior número que divide exatamente :
23) 39, 65 e 143 24) 702 e 918 25) 519, 1.038 e 1.557
26) Qual é o maior número pelo qual devemos dividir 270 e 240 para obtermos, respectivamente, os restos 10 e 9 :
27) Qual é o maior número pelo qual devemos dividir 160, 220 e 472 para obtermos, respectivamente, os restos 7, 16 e 13
28) Ao dividirmos 167, 237, 379 e 593 pelo maior número possível, obtemos respectivamente os restos 23, 21,19 e 17.
Calcule esse número.
V - Encontrar dois números conhecendo-se sua soma S e seu M.D.C.. ( Obs : Dar todas as soluções possíveis )
29) Soma = 384 e M.D.C. = 24 30) Soma = 740 e M.D.C. = 37 31) Soma = 840 e M.D.C. = 56
VI - Encontrar dois números conhecendo-se sua soma D e seu M.D.C.. ( Obs : Dar todas as soluções possíveis )
32) Diferença = 75 e M.D.C. = 15 33) Diferença = 108 e M.D.C. = 18 34) Diferença = 378 e M.D.C. = 42
VII - Encontrar dois números conhecendo-se seu produto P e seu M.D.C.. ( Obs : Dar todas as soluções possíveis )
35) Produto = 1 536 e M.D.C. = 12 36) Produto = 1 792 e M.D.C. = 8 37) Produto = 4 320 e M.D.C. = 6
38) Encontrar três números distintos de 2 algarismos cujo M.D.C. é 13 e cuja soma é igual a 91.
VIII - Determine o M.MC. entre :
39) dois números pares e consecutivos 40) dois números consecutivos
41) dois números ímpares e consecutivos 42) dois números primos
43) dois múltiplos pares e naturais de 3 44) dois múltiplos naturais cuja diferença é o triplo do menor
IX - Determine o M.M.C. entre :
45) 32 e 48 46) 72 e 120 47) 26 e 65
48) 6, 7 e 210 49) 8, 12 e 14 50) 21, 28 e 36
X - Qual é o menor número simultaneamente divisível por :
51) 3, 4, 5, 6, 7 e 8 52) 2, 3 , 5, 8, 9 12 e 15 53) 11, 22, 33, 44 e 55
54) pelos 5 primeiros múltiplos positivos de 3 55) pelos números naturais menores que 11
XI - Determine o menor dos números que dividido por :
56) 12, 15 e 18 deixa o resto 8 57) 15, 24 e 30 deixa o resto 11
58) 24, 30, 36 e 60 deixa o resto 16 59) 32, 38 e 42 deixa o resto 17
XII - Encontrar dois números conhecendo-se sua soma S e seu M.M.C..
60) Soma = 30 e M.M.C. = 36 61) Soma = 140 e M.M.C. = 240 62) Soma = 168 e M.M.C. = 288
XIII - Encontrar dois números conhecendo-se sua soma P e seu M.M.C..
60) Produto = 360 e M.M.C. = 120 61) Produto = 2 160 e M.M.C. = 360 62) Produto = 1176 e M.M.C. = 108
63) Se o M.M.C. entre 70A e 56B é igual a 3 080. Determine os pares de valores possíveis para A e B.
XIV - Calcular o M.D.C. e o M.M.C. entre :
64) A = 23 x 34 x 5 e B = 22 x 32 x 52 65) P = 22 x 33 x 7 e Q = 2 x 34 x 5
66) M = 22 x 53 x 11 e N = 23 x 72 x 132 67) E = 23 x 3 x 5 x 72 , F = 22 x 33 x 52 x 112 e G = 2 X 32 X 73 X 112 X 17
68) A = 23 x 34 x 5 x 72 , B = 22 x 32 x 52 x 112 e C = 24 x 33 x 52 x 19 69) J = 23 x 34 x 5 x 72 , K = 22 x 32 x 52 x 112 e L = 24 x 33 x 52 x 19
70) M = 4 x 64 x 5 e P = 8 x 272 x 152
XV - Calcular o valor de n para as condições dadas :
71) A = 2n x 33 x 72 ; B= 24 x 32 x 7 x 112 para M.D.C. ( A e B ) = 23 X 32 X 7
72) Q = 22n x 32 x 52 ; B = 23 x 3n x 5 x 73 para M.M.C. ( A e B ) = 60
73) P = 24n x 9 ; B = 27 x 35 para M.D.C. ( A e B ) = 22 x 64
74) M = 30n X 7 ; B = 22 X 9 X 352 para M.M.C. ( A e B ) = 100 X 9 X 49
XVI - Calcular o valor de n + p para as condições dadas :
75) A = 2n X 33 X 132 ; B = 24 X 3p X 11 X 13 para M.D.C. ( A e B ) = 23 X 32 X 13
76) A = 2n X 32 X 11 ; B = 24 X 3p X 7 X 112 para M.M.C. ( A e B ) = 25 X 33 X 7 X 112
77) Calcular o valor da soma m + n + p tal que o M.D.C. entre A = 2m X 33 X 5p e B = 22 X 3n X 53 seja igual a 63 X 75
78) Dois números distintos A e B são os menores possíveis e podem ser representados, exclusivamente, pelos 3 menores fatores
primos. Se os expoentes do menor deles são números consecutivos. Determine o M.D.C. e o M.M.C. entre eles.
79) O produto de dois números A e B é igual a 360. Se o M.D.C. entre eles é 24, Calcule o seu M.M.C..
80) Uma doceria tem em estoque 150 balas de coco, 180 balas de chocolate e 240 balas de leite. Quantas balas de cada sabor se deve
colocar em caixas decoradas, sabendo que essas quantidades devem ser as maiores possíveis.
81) Três automóveis disputam uma corrida em uma pista circular. O mais rápido deles dá uma volta em 10 minutos, um outro leva
15 minutos e o terceiro e mais lento demora 18 minutos para dar uma volta completa. No fim de quanto tempo os 3 automóveis
voltarão a se encontrar no inicio da pista se eles partiram exatamente no mesmo instante.
82) Três automóveis disputam uma corrida em uma pista circular. Um deles dá uma volta em 18 minutos, um outro leva 20 minutos e o
terceiro demora 25 minutos para dar uma volta completa. Se eles partiram exatamente às 15 horas, Que horas serão quando os 3
automóveis voltarão a se encontrar no inicio da pista após 3 horas de corrida ?
83) Três netas visitam sua avó, respectivamente, em intervalos de 5 dias, de 7 dias e de 9 dias. Se a última vez em que as três se
encontraram na casa de sua avó foi no mês de Maio, em que mês do segundo semestre eles tornarão a se encontrar ?
84) Determine o menor número que ao ser dividido por por 11, 12 e 16 deixa, respectivamente, os restos 5, 6 e 10.
85) Determine o menor número de 4 algarismos que dividido por por 12, 15, 18 e 24 deixa, respectivamente, os restos 7, 10, 13 e 19.
9.0 - Questões de Concurso
86) ( CEFETQ - 1997 ) Determinar o maior número pelo qual se deve dividir os números 165 e 215 para que os restos sejam 9 e 11,
respectivamente.
87)( UFMG - 1996 ) O número de três algarismos divisível ao mesmo tempo por 2, 3, 5, 6, 9 e 11 é :
(A) 330 (B) 660 (C) 676 (D) 900 (E) 996
88) ( UNIFACS - 1997 ) O número de alunos de uma sala de aula é menor que 50. Formando-se equipes de 7 alunos, sobram 6.
Formando-se equipes de 9 alunos, sobram 6. Formando-se equipes de 9 alunos , sobram 5. Nessas condições, se forem formadas
equipes de 8 alunos, o número de alunos que sobram é :
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5
89) ( PUC/CAMPINAS - 1995 ) Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feito na máquina A a cada 3 dias, na máquina B,
a cada 6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita a manutenção das três máquinas, a próxima vez em que a manutenção ocorreu
no mesmo dia foi em :
(A) 5 de Dezembro (B) 6 de Dezembro (C) 8 de Dezembro (D) 14 de Dezembro (E) 26 de Dezembro
90) ( PUC/CAMPINAS - 1998 ) Uma editora tem em seu estoque 750 exemplares de um livro A, 1200 de um livro B e 2 500 de um livro C.
Deseja-se remetê-los a algumas escolas em pacotes, de modo que cada pacote os três tipos de livros em quantidades iguais e com o
maior número possível de exemplares de cada tipo. Nessas condições, remetidos todos os pacotes possíveis, o número de exemplares
que restarão no estoque é :
(A) 1.500 (B) 1.750 (C) 2.200 (D) 1.600 (E) 2.000
91) ( UNIARARAS - 1997 ) As cidade de Araras, Leme e Conchal realizam grandes festas periódicas, sendo as de Araras de 9 em
9 meses, as de Leme de 12 em 12 meses e as de Conchal de 20 em 20 meses. Se em Março de 1985 as festas coincidiram, então a
próxima coincidência foi em :
(A) Março de 1995 (B) Março de 2000 (C) Março de 1996 (D) Dezembro de 1999 (E) Nunca mais
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Doenças bacterianas
Clostridium botulinum: bactéria cuja toxina causa os sintomas do botulismo.
Acne: ao se alimentar da secreção formada pelo entupimento dos ductos secretores das glândulas sebáceas dos pelos, bactérias como a Propionibacterium acnes libera ácidos graxos que causam inflamação, que pode deixar manchas na pele do indivíduo acometido. Limpar bem a pele, utilizando antissépticos, pode prevenir esta incidência; e o uso de antibióticos tópicos ou orais, aliados a este método citado, podem aliviar ou, de fato, eliminar os sintomas.
Antraz: Causada pelo Bacillus anthracis, o indivíduo pode contrair esta doença pelo manuseio de produtos animais infectados, como lãs e couro e, mais raramente, pela ingestão da carne destes, inalação de esporos e picada de insetos hematófagos contaminados. Pode causar úlceras com tecido necrosado, no caso de contato cutâneo; complicações respiratórias, quando a infecção se deu por esta via; ou complicações intestinais. Em muitos casos, pode ser fatal, caso não seja tratado de forma precoce, com antibióticos ministrados pelo médico. Pessoas que vivem em situação de alto risco, como laboratoristas, podem fazer o uso da vacina preventiva.
Botulismo: Encontrada em conservas e alimentos enlatados mal processados, a Clostridium botulinum libera uma toxina que causa tremores, vômito e paralisia muscular, podendo levar o indivíduo a óbito por parada respiratória. Para evitar esta doença, é necessário um cuidado especial ao escolher e consumir alimentos, como por exemplo, evitar aqueles cuja lata se apresenta estufada – característica esta que pode indicar a presença da bactéria viva, liberando gás carbônico pelo processo de fermentação.
Indivíduo acometido pela difteria. Observe a membrana localizada em sua garganta.
Cólera: causada pela Vibrio cholerae, graças às suas toxinas liberadas no intestino, provoca um quadro de diarreia (de aspecto semelhante à água de arroz) e, em alguns casos, náuseas e vômitos. Devido à desidratação, os órgãos podem entrar em colapso, levando o indivíduo à morte. A infecção se dá pela ingestão de água ou alimentos contaminados pelo vibrião.
Coqueluche: de incidência predominante em crianças, a infecção pela bactéria Bordetella pertussis provoca tosse seca, podendo desenvolver complicações como pneumonia, convulsões e hemorragias cerebrais. O contágio se dá pela inalação de bactérias anteriormente eliminadas pelas vias aéreas de pessoas doentes. Existe vacina que previne esta doença.
Difteria (crupe): a Corynebacterium diphteriae, transmitida por meio da inalação de gotículas infectadas, libera uma toxina que provoca dor de garganta e febre como sintomas iniciais; seguidos de inchaço no pescoço e formação de uma membrana na garganta – esta constituída de fibrina, tecidos mortos e células bacterianas; e que pode provocar asfixia. Para esta doença, também existe vacina.
Disenterias bacilares (shigelose): transmitida pela ingestão de água e alimentos contaminados por bactérias do gênero Shigella, liberam no intestino delgado uma toxina que destrói células do intestino grosso e causa um quadro de diarreia. É uma doença típica de locais onde o saneamento básico é precário ou inexistente.
Doença péptica (gastrite): a gastrite pode ou não estar associada a uma infecção. Neste segundo caso, o micro-organismo responsável é a Helicobacter pylori que, ao romper a camada protetora de muco do estômago, causa dor, mal estar e aumenta as chances do indivíduo desenvolver úlceras.
Erisipela: infecção bacteriana.
Erisipela: causada pela Streptococcus pyogenes, ocorre predominantemente em crianças e idosos. A infecção se dá pela entrada destes patógenos por meio de fissuras superficiais da pele, como frieiras. Migrando para os vasos linfáticos, provocam uma reação inflamatória que tem como característica a formação de manchas avermelhadas, quentes e doloridas; de bordas nítidas e bem definidas. As toxinas liberadas pela bactéria provocam febre, mal estar e dor de cabeça.
Escarlatina: doença que, assim como a erisipela, tem a Streptococcus pyogenes como agente infeccioso. A toxina que esta bactéria libera causa dor de garganta, febre, dores musculares, náuseas e vômitos; inflamação purulenta das amígdalas, saliências na língua e erupções na pele, principalmente nas partes mais aquecidas do corpo, como axilas e púbis. A escarlatina é transmitida via gotículas de saliva infectada por este micro-organismo.
Febre maculosa: causada pela Rickettsia rickettsii, é transmitida pela picada do carrapato-estrela (Amblyomma cajannense) infectado. Causa febre, vômito, dores musculares e manchas vermelhas na pele – devido a hemorragias subcutâneas. Pode evoluir à morte.
Febre reumática: desenvolvendo-se em decorrência da infecção pela Streptococcus pyogenes (responsável também pela erisipela e escarlatina), pelo contato com a saliva ou secreção nasal de indivíduos doentes. Pode causar artrite, inflamação cardíaca e complicações neurológicas.
Febre tifoide: esta infecção, causada pela ingestão de água ou alimentos contaminados pela Salmonella typhi, provoca febre, dor de cabeça, úlceras intestinais e diarreia. Como podem se multiplicar no interior das células de defesa do organismo, podem comprometer fígado, baço, medula óssea, vesícula e intestino; podendo levar o indivíduo a óbito.
Dente acometido pela cárie.
Brucelose: também denominada febre de malta, é causada por bactérias do gênero Brucella, sendo a Brucella mellitensis uma das que causam quadros mais sérios em nossa espécie. A infecção se dá pelo contato com animais infectados ou pela ingestão de seus produtos ou derivados, como carne, queijo e leite. Com sintomas inespecíficos, como calafrios, febre, perda de apetite e dor de cabeça, pode, em casos mais graves, comprometer rins, fígado e coração; e perdurar no indivíduo por meses ou anos. O diagnóstico é feito pela análise de amostras de sangue. Evitar o contato e a ingestão de carne e leite de animais oriundos de matadouros clandestinos são excelentes medidas para evitar o contágio por esta bactéria.
Cancro mole: causada pelo Hemophilus ducreyi, esta DST tem como manifestação clínica a presença de lesões nas áreas genitais, autoinoculáveis e geralmente doloridas. É mais frequente em indivíduos do sexo masculino.
Cárie dentária: identificada pela destruição parcial ou completa dos dentes, pela ação das secreções liberadas pela Streptococcus mutans: responsáveis também pela formação das placas dentárias. Uma boa higiene bucal evita a ação destes organismos, comumente encontrados na boca.
Cistite: caracterizada pela inflamação da bexiga urinária, pode ter a Escherichia coli ou Staphylococcus saprophyticus como agentes infecciosos, estas geralmente encontradas no sistema urogenital. Cuidados com a higiene pessoal são a principal medida para evitar a cistite.
Lesão na pálpebra característica do tracoma.
Tifo endêmico (ou murino): doença causada pela Rickettsia typhi. Esta bactéria é transmitida por meio da picada da pulga-do-rato (Senopsylla cheopis). Os sintomas iniciais são calafrios com tremores, cefaleia e febre. Mais tarde, surgem erupções cutâneas.
Tifo epidêmico: a Rickettsia prowazekii é o parasita responsável por esta doença. Transmitida pelas fezes do piolho contaminado, penetra no corpo quando a picada destes insetos é coçada. No organismo, as bactérias se reproduzem nos vasos sanguíneos, provocando febre alta e persistente, além de hemorragias subcutâneas. Existe vacina, mas só é utilizada eventualmente.
Tracoma: a bactéria responsável por esta doença é a Chlamydia trachomatis. Esta é transmitida pelo contato direto, ou com insetos ou objetos contaminados por secreções oculares de indivíduos infectados. Causa inflamação na conjuntiva e córnea, apresentando folículos na pálpebra superior. Devido às reincidivas, tais formações podem alterar a fisionomia da pálpebra e, consequentemente, a disposição dos cílios, propiciando a arranhadura da córnea. Este atrito aumenta as chances do indivíduo ficar permanentemente cego, a longo prazo.
Tuberculose: é causada pelo bacilo de Koch (Mycobacterium tuberculosis), por meio da inalação de gotículas de saliva e secreções nasais contaminadas. Tais organismos atingem os pulmões, provocando tosse persistente, febre, fadiga e, em casos mais graves, expectoração com sangue. Tais micro-organismos podem se espalhar pelo sangue e linfa, infectando órgãos como medula óssea e rins. Existe vacina preventiva.
Pneumonia bacteriana: caracterizada pela inflamação do trato respiratório provocada por bactérias como a Streptococcus pneumoniae e Diplococcus pneumoniae. Com sintomas que incluem febre alta, dor no peito, tosse com secreção e dificuldade respiratória; a transmissão se dá pela inalação do ar contendo estes micro-organismos.
Salmonelose: provocada por bactérias do gênero Salmonella. Hospedando-se no trato intestinal, provocam febre, dores abdominais e diarreias. O contágio se dá por meio da ingestão de alimentos contaminados, principalmente os de origem vegetal, como ovos e carne de galináceos crus ou malcozidos.
Sífilis: DST causada pela Treponema pallidum. Esta bactéria provoca o surgimento de uma lesão de borda endurecida e pouco dolorosa na região genital que tende a regredir espontaneamente. Entretanto, sem tratamento, podem surgir mais tarde lesões escamosas na pele e mucosas; acompanhadas de febre, dor de cabeça e indisposição. Em estágio mais avançado, o sistema nervoso pode ser atingido, provocando confusão mental, problemas na coordenação motora e até cegueira. Gestantes contaminadas podem sofrer aborto espontâneo ou dar a luz a bebês contaminados.
Tétano: os esporos da Clostridium tetani, encontrados no solo, podem causar a infecção quando ocorre um ferimento com objeto contaminado. Bebês recém-nascidos, ao terem o cordão umbilical cortado com tesoura que não foi previamente esterilizada, podem também adquiri-la. Desenvolvendo-se no organismo, as toxinas desta espécie provocam febre, dor de cabeça e contrações musculares, podendo provocar parada cardíaca ou respiratória. Existe vacina preventiva e soro para esta doença.
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Diferença entre células procariotas e eucariotas
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email
accbarroso@hotmail.com
Bactérias do Gênero Salmonella: indivíduos procariotos.
As células são a menor unidade estrutural e funcional de um ser vivo, e podem ser procariotas ou eucariotas. De forma genérica, todas elas possuem membrana plasmática, estrutura esta que dá forma, protege e seleciona a entrada e saída de substâncias pela célula; citoplasma, região fluida na qual ocorre a maioria dos processos metabólicos e produção de diversas substâncias; e material genético, onde estão registradas instruções que controlam o funcionamento celular.
Células procarióticas são mais simples que as eucarióticas. Nestas, o DNA não está envolto por uma membrana, não há núcleo definido pela carioteca (membrana nuclear) e podemos encontrar ribossomos dispersos no citoplasma, organelas estas responsáveis pela síntese proteica. Moléculas circulantes de DNA, os plasmídios, também podem ser encontradas. Externamente à membrana plasmática destas células, há a parede celular. Indivíduos procarióticos são unicelulares, sendo estes: as bactérias, cianofíceas, micoplasmas, rickéttsias e clamídias. Alguns destes indivíduos, como as cianofíceas, apresentam pigmentos responsáveis pela fotossíntese.
Já as células eucarióticas, possuem maior tamanho e complexidade, a começar pelo núcleo individualizado, envolvido pela carioteca. Seu citoplasma é interconectado por uma rede de tubos e canais membranosos e é onde, além de ribossomos, também são encontradas mitocôndrias, retículo endoplasmático granuloso e não granuloso, complexo golgiense, lisossomos, peroxissomos, centríolos, dentre outras organelas. Exemplos de indivíduos eucariotas: animais, vegetais, fungos e protozoários.
Área da coroa circular
Área da coroa circular
Marcelo Rigonatto
Coroa circular
Observe a figura abaixo:
A parte da figura que está colorida é denominada coroa circular. A área da coroa circular é obtida fazendo a diferença entre as áreas do maior e do menor círculo. Ou seja,
A = πR2 - πr2
Ou,
A = π(R2- r2)
Exemplo 1. Calcule a área da coroa circular, sabendo que R = 7 cm e r = 3 cm.
Solução:
Dados
R = 7 cm
r = 3 cm
A = ?
Substituindo os dados na fórmula da área, obtemos:
A = π(72 - 32)
A = π(49 - 9)
A = 40π cm2
Exemplo 2. Numa coroa circular com 75π cm2 de área e raio menor medindo 5 cm, encontre a medida do maior raio.
Solução:
Dados
A = 75π cm2
r = 5 cm
R = ?
Substituindo os dados na fórmula da área, obtemos:
Exemplo 3. Numa coroa circular, um dos raios é o dobro do outro. Calcule a medida dos raios dessa coroa circular sabendo que sua área é de 108π m2.
Solução:
Dados
R = 2r
A = 108π m2
Substituindo os dados na fórmula da área, obtemos:
Exemplo 4. Calcule a área da região colorida abaixo sabendo que R = 20 cm e r = 8 cm.
Solução: observe que a região colorida equivale a ¼ da área da coroa circular. Assim, teremos:
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