Razões Trigonométricas sen ,cos e tg aula 1

Fatoração de Polinômios trinômio quadrado perfeito aula 4

Relações Métricas no Triângulo Retângulo aula2

Logaritmo

Logaritmo foi o assunto escolhido, com 13 votos, na pesquisa realizada pelo VICHE. Para ver o resultado e os detalhes basta clicar no link Consultar Pesquisas localizado na barra lateral de navegação.
Antes de prosseguir com a abordagem do tema vencedor registro os nossos agradecimentos a todos os leitores participantes.
No artigo sobre equações exponenciais citamos os dois principais métodos utilizados para resolver este tipo de equação:

• o de redução a potências de mesma base, e
• o que utiliza o conceito e propriedades de logaritmos.

O primeiro foi tratado naquele artigo com a colocação de conceitos, exemplos e exercícios resolvidos, em que estes, foram propositalmente selecionados, visando apresentar o uso de técnicas diferenciadas na resolução de equações exponenciais.
O segundo será abordado agora, como já dito, com o intuito de auxiliá-lo a resolver equações do tipo 3^x = 7, entre outras, em que não é possível reduzir seus termos a uma potência de mesma base.
Apesar de podermos afirmar com facilidade que x assume um valor entre 1 e 2, pois 3 <>x

= 7 <>
Para isto é necessário acrescentar a seu repertório de conhecimentos a definição e propriedades dos logaritmos.

Definição

Dados a e b números reais e positivos, com a diferente de 1, definimos logaritmo de b na base a, o número x, cuja potência de grau x de a é igual a b. Ou seja:

Observações e consequências da definição:

1. Na expressão a esquerda a é denominado a base do logaritmo, b o logaritmando e x o logaritmo;
2. Como a e b são ambos positivos e a é diferente de 1, existe um único valor de x que satisfaz a primeira igualdade na expressão acima;
3. Decorre da definição de logaritmo que log_a1 = 0, pois a⁰ = 1. Em outras palavras, que o logaritmo de 1 em qualquer base é igual 0;
4. Do mesmo modo, observe que log_aa = 1, uma vez que a potência de grau 1 de a é o próprio a. Ou seja, que o logarítmo da base, qualquer que seja a base satisfazendo, claro, as condições da definição, é igual a 1;
5. Substituindo o valor de x da primeira igualdade na segunda, obtemos que a^log_ab = b;
6. log_ab = log_ac <=> b = c. Decorrência direta da definição (b = a^log_ac) e do fato acima (a^log_ac = c). Traduzindo: dois logaritmos em um mesma base são iguais se e somente se os logaritmandos são iguais;
7. Note que de 6. pode-se afirmar, ainda, que em uma igualdade ao se aplicar o logaritmo aos seus membros essa igualdade não se altera;
8. Ao conjunto de todos os logaritmos dos números reais positivos em uma base a (a > 0 e diferente de 1), denominamos de sistema de logaritmos de base a;
9. Entre a infinidade de sistemas de logaritmos de base a, dois são particularmente importantes: o sistema de logaritmo decimais ou de base 10 e o sistema de logaritmo neperiano (também chamado de sistema de logaritmos naturais) ou de base e (e = 2,71828…, irracional);
10. O logaritmo decimal é representado pela notação log₁₀x ou simplesmente log x. E o neperiano por log_ex ou ln x;
11. Fato histórico 1: Henry Briggs, Matemático Inglês (1561-1630) foi quem primeiro destacou a vantagem dos logaritmos de base 10, publicando a primeira tabela (ou tábua) de logaritmos de 1 a 1000 em 1617;
12. Fato histórico 2: O nome neperiano vem de John Neper, Matemático Escocês (1550-1617), autor do primeiro trabalho publicado sobre a teoria dos logaritmos. O nome natural é devido ao fato de que no estudo dos fenômenos naturais geralmente aparece uma lei exponencial de base e.

Exemplos:

Antilogaritmo

Sejam a e b dois números reais positivos com a diferente de 1. Se o logaritmo de b na base a é igual a x, então b é o antilogaritmo de x na base a. Em símbolos:

Exemplos:

Propriedades dos Logaritmos

L1. O logaritmo do produto de dois fatores reais e positivos em qualquer base a (a > 0 e diferente de 1) é igual a soma dos logaritmos dos fatores. Isto é:

Demonstração:
Fazendo z = log_a(b.c) temos, usando a definição de logaritmo, que:

a^z = b.c

Daqui, obtemos pela observação 5. acima:

a^z = a^log_ab.a^log_ac => a^z = a^{log_ab+log_ac} => z = log_ab + log_ac

Substituindo z na última igualdade fica concluída a demonstração.

Uma outra forma, também simples e similar a anterior, de demonstrar a propriedade L1 é esboçada a seguir. Fazendo:

z = log_a(b.c), x = log_ab e y = log_ac

vamos provar que z = x + y.

Aplicando a definição de logaritmo nas expressões acima obtemos, respectivamente:

a^z = bc, a^x = b e a^y = c

Substituindo b e c na primeira igualdade vem que:

a^z = a^xa^y => a^z = a^x+y => z = x + y

A propriedade L1 é válida para o logaritmo do produto de n fatores (n > 2) reais e positivos, ou seja:

log_a(b₁.b₂. … .b_n) = log_ab₁ + log_ab₂ + … + log_ab_n

A prova pode ser feita utilizando-se o método de indução sobre n, que consiste em:

• demonstrar que é verdadeira para n = 2 – já feita;
• supor que é válida para n = p > 2 e demonstrar que é verdadeira para n = p + 1.

Deixo para vocês a demonstração com a seguinte dica: agrupar como produto de dois fatores de modo a aplicar L1 e após utilizar a hipótese para n = p.
L2. O logaritmo do quociente de dois números reais e positivos em qualquer base a (a > 0 e diferente de 1) é igual ao logaritmo do dividendo menos o logaritmo do divisor nessa mesma base. Em símbolos:

Demonstração:
De maneira semelhante à adotada na propriedade L1, fazendo z = log_a(b/c) obtemos:

Como consequência direta da propriedade L2 temos que:

Cologaritmo

Dados a e b dois números reais positivos, com a diferente de 1, define-se cologaritmo de b na base a ao oposto do logaritmo de b nessa base a. Ou seja:

colog_ab = -log_ab = log_a(1/b)

L3. O logaritmo da potência de grau x de b em qualquer base a (a, b reais positivos, x real e a diferente de 1) é igual ao produto do expoente x pelo logaritmo de b na base a. Em símbolos:

Demonstração:
Novamente fazemos uso do procedimento utilizado na demonstração das propriedades anteriores:

Fica como exercício a demonstração das propriedades L2 e L3 com o uso da segunda técnica adotada para provar a propriedade L1.
Como consequência da propriedade L3 temos que: o logaritmo da raiz de índice n de b na base a é igual ao produto do inverso do índice n pelo logaritmo do radicando na base a, i.e.:

Observações sobre as Propriedades L1, L2 e L3

• São válidas somente quando temos expressões logarítmicas que envolvam as operações de multiplicação, divisão e potenciação;
• Essas propriedades não permitem obter o logaritmo de uma soma ou diferença [log_a(b + c) ou log_a(b - c)]. Nestes casos, será necessário primeiro obter o valor da soma ou da diferença.

Mudança de Base

É muito comum, e você já deve ter se deparado com o fato, ter expressões ou equações logarítmicas em que seus membros estejam em bases diferentes.
Como na aplicação das propriedades operatórias, os logaritmos devem estar todos em uma mesma base é fundamental saber como isto é feito.
Você deve se lembrar (se não, volte às observações) que no início deste artigo mencionei como importante o sistema de logaritmo decimais ou de base 10, para o qual foi construída, pelo matemático Henry Briggs, uma tábua de logaritmos que possibilita determinar o seu valor para qualquer número real positivo.
Não abordaremos aqui os conceitos de mantissa e característica do logaritmo decimal utilizados para determinar seu valor com o auxílio da tabela. Fica apenas o registro de sua importância no uso das propriedades de mudança de base que apresentamos a seguir.
L4. Dados a, b e c números reais positivos, com a e c diferentes de 1, tem-se que:

Demonstração:
Fazendo log_ab = x, log_cb = y e log_ca = z provemos que x = y/z (note que z é diferente de zero, pois por definição a é diferente de 1). De fato:

Como consequência da propriedade L4 temos:

1. log_ab = log_cb.log_ac: a demonstração é feita transformando log_cb para a base a no segundo membro da igualdade;
2. log_ab = 1/log_ba: transforme log_ab para a base b.

Exercícios Resolvidos

1. Resolver a equação 3^x = 7 (lembra-se, a do início do artigo):
Aplicando o logaritmo na base 10 aos dois membros da equação temos:

log 3^x = log 7

Pela propriedade L3:

x.log 3 = log 7 => x = log 7/log 3 = 0,845/0,477 = 1,771

2. Um capital de R$50.000,00 foi aplicado a uma taxa de juros compostos de 5% ao ano, e o capital de R$45.000,00 a 6% ao ano. Em quanto tempo os montantes estarão iguais?

Um uso muito comum das propriedades de logaritmo para resolver equações exponencias é no cálculo de juros compostos cuja fórmula é:

onde M é o montante, C o capital, i a taxa de juros e t o tempo.

Solução:

Sejam M₁ e M₂ os montantes correspondentes aos capitais aplicados. Usando a fórmula, temos que:

M₁ = 50000(1 + 0,05)^t e M₂ = 45000(1 + 0,06)^t

Temos que determinar o tempo para que M₁ = M₂. Assim:

Referência:

1. Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977.

Polinômios

Na matemática, os teoremas, as fórmulas, os postulados sempre recebem o nome de seus inventores e D’Alembert foi um desses, matemático e físico, foi um dos oficiais na revolução Francesa responsável pelas publicações solenes, anunciava a guerra e plocamava a paz.

Além disso, vários teoremas, tanto na física como na matemática, levaram o seu nome, na matemática podemos destacar no estudo dos polinômios o Teorema de D’Alembert, que diz:

Todo polinômio P(x) quando dividido por um binômio do tipo x – a, resultará em uma divisão exata, ou seja, terá resto igual a zero se, e somente se, a constante a for raiz do polinômio P(x).

Exemplo: Sem efetuar as divisões, prove que o polinômio P(x) = x4 - 4x3 + 4x2 - 4x +3 é divisível por x - 3 e x - i.

As divisões dadas favorecem a aplicação do Teorema de D’Alembert, dessa forma podemos afirmar que: a constante a será raiz do polinômio P(x) se, somente se, o resto da divisão for igual a zero. Dessa forma, basta aplicarmos o Teorema do Resto.

Para divisor igual a x – 3, a = 3.

P(3) = 34 – 4 . 33 + 4 . 32 – 4 . 3 + 3
P(3) = 81 – 4 . 27 + 4 . 9 – 12 + 3
P(3) = 81 – 108 + 36 – 12 + 3
P(3) = -27 + 36 – 12 + 3
P(3) = 9 – 12 + 3
P(3) = -3 + 3
P(3) = 0

Portanto, o polinômio P(x) = x4 - 4x3 + 4x2 - 4x +3 é divisível por x – 3.

Para divisor igual a x – i, a = i.

P(i) = i4 – 4 . i3 + 4 . i2 – 4 . i + 3
P(i) = 1 – 4 . (-i) + 4 . (-1) – 4i + 3
P(i) = 1 + 4i – 4 – 4i + 3
P(i) = 1 – 4 + 3
P(i) = - 3 + 3
P(i) = 0

Portanto, o polinômio P(x) = x4 - 4x3 + 4x2 - 4x +3 é divisível por x – i.
extraido de www.mundoeducacao.com.br

Função de 1º grau

Toda função do 1º grau possui a seguinte lei de formação: y = ax + b, onde a e b são números reais e a ≠ 0. Esse modelo de função contribui na elaboração e resolução de situações problemas cotidianas. Através de exemplos aplicados mostraremos a importância dos estudos relacionados às funções do 1º grau.

Exemplo 1

Na produção de peças, uma fábrica tem um custo fixo de R$ 200,00 mais um custo variável de R$ 1,20 por peça produzida. Qual o custo de produção de 10.000 peças?
Quantas peças podem ser produzidas com R$ 20.000,00?

Lei de formação da função
Note que temos um valor fixo de R$ 200,00 e um valor que varia de acordo com a quantidade de peças produzidas, R$ 1,20.
y = 1,2x + 200

Custo para produção de 10.000
y = 1,2*10.000 + 200
y = 12.000 + 200
y = 12.200
O custo para produção de 10.000 peças é de R$ 12.200,00.

Número de peças que podem ser produzidas com R$ 20.000,00
1,2x + 200 = 20.000
1,2x = 20.000 – 200
1,2x = 19.800
x = 19.800 / 1,2
x = 16.500
Serão produzidas 16.500 peças

Exemplo 2

Uma empresa de planos de saúde propõe a seus clientes as seguintes opções de pagamento mensais:

Plano A: um valor fixo de R$ 110,00 mais R$ 20,00 por consulta dentro do período.
Plano B: um valor fixo de R$ 130,00 mais R$ 15,00 por consulta dentro do período.
Analise os planos no intuito de demonstrar em quais condições um ou outro é mais vantajoso.

Função do plano A: y = 20x + 110
Função do plano B: y = 15x + 130

Momento em que os planos são exatamente iguais: A = B
20x + 110 = 15x + 130
20x – 15x = 130 – 110
5x = 20
x = 20/5
x = 4

Custo do plano A menor que o custo do plano B: A < B. 20x + 110 < 15x + 130 20x – 15x < 130 – 110 5x < 20 x < 20/5 x < 4 Custo do plano B menor que o custo do plano A: B < A. 15x + 130 < 20x + 110 15x – 20x < 110 – 130 – 5x < – 20 (-1) x > 20/5
x > 4

Se o cliente realizar quatro consultas por mês, ele pode optar por qualquer plano.
Se o número de consultas for maior que quatro, o plano B possui um custo menor.
Caso o número de consultas seja menor que quatro, o plano A possui um custo menor.

Polinômios

A multiplicação com polinômio (com dois ou mais monômios) pode ser realizada de três formas:

Multiplicação de monômio com polinômio.

Multiplicação de número natural com polinômio.

Multiplicação de polinômio com polinômio.

As multiplicações serão efetuadas utilizando as seguintes propriedades:
• Propriedade da base igual e expoente diferente: an . am = a n + m

• Monômio multiplicado por monômio é o mesmo que multiplicar parte literal com parte literal e coeficiente com coeficiente.

Multiplicação de monômio com polinômio

• Se multiplicarmos 3x por (5x2 + 3x – 1), teremos:
3x . ( 5x2 + 3x – 1) → aplicar a propriedade distributiva.

3x . 5x2 + 3x . 3x + 3x . (-1)

15x3 + 9x2 – 3x

Portanto: 3x (5x2 + 3x – 1) = 15x3 + 9x2 – 3x

• Se multiplicarmos -2x2 por (5x – 1), teremos:

-2x2 (5x – 1) → aplicando a propriedade distributiva.

-2x2 . 5x – 2x2 . (-1)

- 10x3 + 2x2

Portanto: -2x2 (5x – 1) = - 10x3 + 2x2

Multiplicação de número natural

• Se multiplicarmos 3 por (2x2 + x + 5), teremos:

3 (2x2 + x + 5) → aplicar a propriedade distributiva.

3 . 2x2 + 3 . x + 3 . 5

6x2 + 3x + 15.

Portanto: 3 (2x2 + x + 5) = 6x2 + 3x + 15.

Multiplicação de polinômio com polinômio

• Se multiplicarmos (3x – 1) por (5x2 + 2)

(3x – 1) . (5x2 + 2) → aplicar a propriedade distributiva.

3x . 5x2 + 3x . 2 – 1 . 5x2 – 1 . 2

15x3 + 6x – 5x2 – 2

Portanto: (3x – 1) . (5x2 + 2) = 15x3 + 6x – 5x2 – 2

• Multiplicando (2x2 + x + 1) por (5x – 2), teremos:

(2x2 + x + 1) (5x – 2) → aplicar a propriedade distributiva.

2x2 . (5x) + 2x2 . (-2) + x . 5x + x . (-2) + 1 . 5x + 1 . (-2)

10x3 – 4x2 + 5x2 – 2x + 5x – 2

10x3+ x2 + 3x – 2

Portanto: (2x2 + x + 1) (5x – 2) = 10x3+ x2 + 3x – 2

Potenciação de Números Racionais aula 4

Expressão de números Inteiros com divisão aula 6

Relações Métricas e Trigonométricas do Triângulo Qualquer Aula1

Estudo da Reta .Distância entre ponto e reta aula 9

Orações Coordenadas

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

email accbarroso@hotmail.com        

 www.ensinodematemtica.blogspot.com.br

www.accbarrosogestar.blogspot.com.br 

         

Dois são os processos de estruturação fraseológica, ou seja, as orações se relacionam umas com as outras e se interligam num período através dos mecanismos coordenativos ou subordinativos.
A oração coordenada é aquela que se liga a outra oração da mesma natureza sintática.
Num período composto por coordenação, as orações são independentes. Ela podem ser sindéticas (quando a outras se prendem por conjunções), ou assindéticas (quando não se prendem a outras por conectivo)
As coordenadas sindéticas podem ser:

Aditivas: e, nem, não só... mas também, não só... como, assim... como.

Adilson foi ao trabalho a pé e voltou de automóvel.
Simão não era rico nem pobre.
Estudou não somente Português, como também Geografia.

Adversativas: mas, contudo, todavia, entretanto, porém, no entanto, ainda, assim, senão.

Argumentou durante duas horas, mas não convenceu.
Nesse particular, você tem razão, contudo não me convenceu.

Alternativas: ou... ou; ora...ora; quer...quer; seja...seja.

A babá ora acariciava o nem-nem, ora beslicava-o.

Conclusivas: logo, portanto, por fim, por conseguinte, conseqüentemente.

Vivia zombando de todos; logo, não merecia complacência.

Explicativas: isto é, ou seja, a saber, na verdade, pois.

Ele caminhava apressadamente, pois estava atrasado.

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Divisão de números inteiros aula 5