articulador 1

sábado, 30 de novembro de 2019

Conjunto

Números reais

O conjunto R
O conjunto de números reais é simbolizado pela letra R. Todo número inteiro ou decimal é considerado real.

Estrutura de R

Propriedades da adição

Associativa: (x + y) + z = x + (y + z)
Comutativa: x + y = y + x
Elemento neutro: x + 0 = 0 + x = x
Simétrico Aditivo ou aposto: x + (-x) = (-x) + x = 0

Propriedades de multiplicação

Associativa: (x. y) . z = x . (y. z) Comutativa: x . y = y. x
Elemento neutro: x . 1 = 1 . x = x
Simétrico multiplicativo ou inverso: x . x-1 = x-1 . x = 1

Propriedade distributiva da multiplicação em relação á adição

x . (y + z) = xy + xz

Propriedades da Relação de ordem

Reflexiva: x ≤ x
Anti-simétrica: x ≤ y e y ≤ x ⇒ x = y Transitiva: x ≤ y e y ≤ z ⇒ x ≤ z
Tricotomia ou ordem total: x < y ou x = y ou x > y
Compatibilidade com a adição: x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z
Compatibilidade com a multiplicação:

z > 0 logo, x ≤ y ⇒ x . z ≤ y . z
z < 0 logo, x ≤ z ⇒ x . z ≥ y . z



Valor absoluto

Considere . Sendo assim, o módulo de x (valor absoluto de x), é um número real positivo, representado por |x|. Este número é determinado desta maneira:

x ≥ 0 ⇒ |x| = x

x ≥ 0 ⇒ |x| = - x

Funções

Funções

Dados dois conjuntos A e B não vazios , chama-se função (ou aplicação) de A em B, representada por
f : A ® B ; y = f(x) , a qualquer relação binária que associa a cada elemento de A ,
um único elemento de B .

Portanto, para que uma relação de A em B seja uma função , exige-se que a cada x Î A esteja associado um único y Î B , podendo entretanto existir y Î B que não esteja associado a nenhum elemento pertencente ao conjunto A.
Obs : na notação y = f(x) , entendemos que y é imagem de x pela função f, ou seja:
y está associado a x através da função f.
Exemplos:
f(x) = 4x+3 ; então f(2) = 4.2 + 3 = 11 e portanto , 11 é imagem de 2 pela função f ;
f(5) = 4.5 + 3 = 23 , portanto 23 é imagem de 5 pela função f , f(0) = 4.0 + 3 = 3, etc.
Para definir uma função , necessitamos de dois conjuntos (Domínio e Contradomínio ) e de uma fórmula ou uma lei que relacione cada elemento do domínio a um e somente um elemento do contradomínio .
Quando D(f) (domínio) Ì R e CD(f)(contradomínio) Ì R , sendo R o conjunto dos números reais , dizemos que a função f é uma função real de variável real . Na prática , costumamos considerar uma função real de variável real como sendo apenas a lei y = f(x) que a define , sendo o conjunto dos valores possíveis para x , chamado de domínio e o conjunto dos valores possíveis para y , chamado de conjunto imagem da função . Assim, por exemplo, para a função definida por y = 1/x , temos que o seu domínio é D(f) = R* , ou seja o conjunto dos reais diferentes de zero (lembre-se que não existe divisão por zero) , e o seu conjunto imagem é também R* , já que se y = 1/x , então x = 1/y e portanto y também não pode ser zero.

Nota: o símbolo Ì significa “contido em”.
Dada uma função f : A ® B definida por y = f(x),
podemos representar os pares ordenados (x,y)
Î f onde x Î A e y Î B ,num sistema de coordenadas cartesianas .
O gráfico obtido será o gráfico da função f .

Assim , por exemplo , sendo dado o gráfico cartesiano de uma função f , podemos dizer que:
a ) a projeção da curva sobre o eixo dos x , nos dá o domínio da função .

b ) a projeção da curva sobre o eixo dos y , nos dá o conjunto imagem da função .

c ) toda reta vertical que passa por um ponto do domínio da função , intercepta o gráfico da função em no máximo um ponto .
Veja a figura abaixo, relativa aos ítens 1, 2 e 3 acima:
2 -Tipos de funções
2.1 - Função sobrejetora
É aquela cujo conjunto imagem é igual ao contradomínio .
Exemplo:
2.2 - Função injetora
Uma função y = f(x) é injetora quando elementos distintos do seu domínio , possuem imagens distintas,
isto é:
x1 ¹ x2 Þ f(x1) ¹ f(x2) .
Exemplo:
2.3 - Função bijetora
Uma função é dita bijetora , quando é ao mesmo tempo , injetora e sobrejetora .
Exemplo:
Exercícios resolvidos:
1 - Considere três funções f, g e h, tais que:
A função f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade.
A função g atribui a cada país, a sua capital
A função h atribui a cada número natural, o seu dobro.
Podemos afirmar que, das funções dadas, são injetoras:
a) f, g e h
b) f e h
c) g e h
d) apenas h
e) nenhuma delas
Solução:
Sabemos que numa função injetora, elementos distintos do domínio, possuem imagens distintas, ou seja:
x1
¹ x2 Þ f(x1) ¹ f(x2) .
Logo, podemos concluir que:

f não é injetora, pois duas pessoas distintas podem ter a mesma idade.
g é injetora, pois não existem dois países distintos com a mesma capital.
h é injetora, pois dois números naturais distintos, possuem os seus dobros também distintos.
Assim é que concluímos que a alternativa correta é a de letra C.
2 - Seja f uma função definida em R - conjunto dos números reais - tal que
f(x - 5) = 4x. Nestas condições, pede-se determinar f(x + 5).
Solução:
Vamos fazer uma mudança de variável em f(x - 5) = 4x, da seguinte forma:
x - 5 = u
\ x = u + 5

Substituindo agora (x - 5) pela nova variável u e x por (u + 5), vem:
f(u) = 4(u + 5) \ f(u) = 4u + 20
Ora, se f(u) = 4u + 20, teremos:
f(x + 5) = 4(x+5) + 20 \ f(x+5) = 4x + 40

3 – UEFS 2005-1 ) Sabendo-se que a função real f(x) = ax + b é tal que f(2x2 + 1) = - 2x2 + 2,
para todo x
Î R, pode-se afirmar que b/a é igual a
a) 2
b) 3/2
c) 1/2
d) -1/3
e) -3
Solução:

Ora, se f(x) = ax + b, então f(2x2 + 1) = a(2x2 + 1) + b
Como f(2x2 + 1) = - 2x2 + 2, vem, igualando:

a(2x2 + 1) + b = - 2x2 + 2
Efetuando o produto indicado no primeiro membro, fica:
2ax2 + a + b = -2x2 + 2

Então, poderemos escrever:
2a = -2 \ a = -2 /2 = -1
E, também,
a + b = 2 ; como a = -1, vem substituindo: (-1) + b = 2 \ b = 2 + 1 = 3

Logo, o valor procurado a/b será a/b = -1 / 3 , o que nos leva tranquilamente à alternativa D.
Agora resolva este:A função f em R é tal que f(2x) = 3x + 1. Determine 2.f(3x + 1).
Resp: 9x + 5
3 - Paridade das funções
3.1 - Função par
A função y = f(x) é par, quando " x Î D(f) , f(- x ) = f(x) , ou seja, para todo elemento do seu domínio,
f( x ) = f ( - x ). Portanto , numa função par, elementos simétricos possuem a mesma imagem. Uma conseqüência desse fato é que os gráficos cartesiano das funções pares, são curvas simétricas em relação ao eixo dos y ou eixo das ordenadas.
O símbolo
" , lê-se “qualquer que seja”.
Exemplo:
y = x4 + 1 é uma função par, pois f(x) = f(-x), para todo x.
Por exemplo, f(2) = 24 + 1 = 17 e f(- 2) = (-2)4 + 1 = 17
O gráfico abaixo, é de uma função par.
4.2 - Função ímpar
A função y = f(x) é ímpar , quando " x Î D(f) , f( - x ) = - f (x) , ou seja, para todo elemento do seu domínio, f( - x) = - f( x ). Portanto, numa função ímpar, elementos simétricos possuem imagens simétricas. Uma conseqüência desse fato é que os gráficos cartesianos das funções ímpares, são curvas simétricas em relação ao ponto (0,0), origem do sistema de eixos cartesianos.
Exemplo:
y = x3 é uma função ímpar pois para todo x, teremos f(- x) = - f(x).
Por exemplo, f( - 2) = (- 2)3 = - 8 e - f( x) = - ( 23 ) = - 8.
O gráfico abaixo é de uma função ímpar:
Nota: se uma função y = f(x) não é par nem ímpar, diz-se que ela não possui paridade.
Exemplo:

O gráfico abaixo, representa uma função que não possui paridade, pois a curva não é simétrica em relação ao eixo dos x e, não é simétrica em relação à origem.

O governo de Itamar Franco

Professor de Matemática no Colégio Estadual Dinah Gonçalves
E Biologia na rede privada de Salvador-Bahia        www.youtube.com/accbarroso1
Professor Antonio Carlos carneiro Barroso
email accbarroso@hotmail.com
Extraído de http://www.alunosonline.com.br

O governo de Itamar Franco



Itamar Franco, "pai" do Plano Real, que estabilizou a economia brasileira.
No ano de 1990, iniciava-se uma nova fase na política brasileira: a retomada da Democracia. Em meio a uma grande crise econômica, Fernando Collor de Melo foi eleito presidente pelo voto direto. Propagando uma postura renovadora, Collor foi inserido num esquema de corrupção, organizado pelo tesoureiro de sua campanha, Paulo César Farias. Foi submetido a julgamento, e foi condenado, tendo seu mandato cassado e seus direitos políticos suspensos por oito anos. Seu vice, Itamar Franco, assumiu.

A principal medida adotada no governo Itamar foi a criação de um plano para barrar o crescimento da inflação: o Plano Real. Idealizado e organizado pelo Ministro da Fazenda (e posteriormente, Presidente da República) Fernando Henrique Cardoso, o Plano Real obteve êxito, reduzindo a inflação de 50% para 4%, em um mês. No dia 21 de abril de 1993, o Presidente Itamar Franco convocou um plebiscito para escolher a nova forma de governo: se manteria o presidencialismo e a república, ou se retornaria à monarquia e ao parlamentarismo. O regime republicano e presidencialista foi escolhido por uma maioria esmagadora dos votos.

Um fato curioso, acontecido no governo Itamar, foi sua sugestão à fábrica alemã Volkswagen, a retomar a fabricação do Fusca, carro muito popular nas décadas de 60 e 70, no Brasil. Itamar visava aquecer a venda de automóveis, tornando-os mais acessíveis aos brasileiros. A fábrica havia parado de fabricar o Fusca em 1978 e, a pedido do presidente, retomou sua fabricação (que cessou em 1996). O carro, apelidado de Fusca do Itamar, não atendeu às necessidades do povo, mas a ideia de popularização dos veículos foi adotada por outras fábricas.

O governo de Itamar foi curto (cerca de dois anos), mas foi o suficiente para levantar a economia nacional e, consequentemente, o orgulho dos brasileiros, ferido nos anos de chumbo da ditadura e destroçado no governo corrupto de Collor. Itamar alcançou índices tão altos de popularidade e aprovação, que seu apoio foi imprescindível para a eleição de seu Ministro e sucessor, Fernando Henrique Cardoso, nas eleições presidenciais de 1994.

sexta-feira, 29 de novembro de 2019

Progressão Geométrica aula 2.

Progressão Aritmética aula 4

Estudo das Cônicas Elipse aula 2

Matemática para 9º ano

Matemática para 6º ano

Matemática para 8º ano

Sistema Respiratório - Exercícios resolvidos

Sistema Respiratório - Exercícios resolvidos

01. (UECE) Nos mamíferos, incluindo o homem, o percurso do ar inspirado, nos pulmões é:



a) bronquíolos ® brônquios ® alvéolos;

b) brônquios ® bronquíolos ® alvéolos;

c) alvéolos ® brônquios ® bronquíolos;

d) bronquíolos ® alvéolos ® brônquios.

e) n.d.a.



Resposta: B



02. Qual é a diferença entre o sangue venoso e o arterial?



ResoLUÇÃO: O venoso é pobre em oxigênio e rico em bicarbonato. O arterial é rico em oxigênio, formando oxiemoglobina.

03. (UNESP) Vários atletas do continente americano foram convidados a participar de uma competição de atletismo na cidade do Rio de Janeiro. Assim que os atletas desembarcaram no Aeroporto Internacional, eram submetidos a vários testes e exames, um dos quais o hemograma. Um determinado atleta tendo perdido seu passaporte durante a viagem, alegou ser mexicano e que morava na Cidade do México.



a) Qual o elemento figurado do sangue que, analisado através do hemograma deste atleta, possibilita acreditar na sua

origem?

b) Justifique sua resposta.



ResoLUÇÃO: a) Hemácia

b) Indivíduos provenientes de regiões de elevada altitude possuem um número maior de hemácias, para

compensar a baixa pressão parcial do O2, nessas regiões onde o ar é rarefeito.



04. (FUVEST) Jogadores de futebol que vive em altitudes próximas ao nível do mar sofrem adaptações quando jogam em cidades de grande altitude. Algumas adaptações são imediatas, outras só ocorrem após uma permanência de pelo menos três semanas. Qual alternativa inclui as realizações imediatas e as que podem ocorrer em longo prazo?



a) aumentam a freqüência respiratória, os batimentos cardíacos e a pressão arterial, em longo prazo diminui

o número de hemácias;

b) diminuem a freqüência respiratória e os batimentos cardíacos; diminui a pressão arterial, em longo prazo

aumenta o número de hemácias

c) aumentam a freqüência respiratória e os batimentos cardíacos; diminui a pressão arterial em longo prazo

diminui o número de hemácias;

d) aumentam a freqüência respiratória, os batimentos cardíacos e a pressão arterial, em longo prazo aumenta

o número de hemácias;

e) diminuem a freqüência respiratória, os batimentos cardíacos e a pressão arterial, em longo prazo aumenta

o número de hemácias.



Resposta: D

05. Por que a inalação do monóxido de carbono pode ocasionar até a morte?



ResoLUÇÃO: Ele se combina com a hemoglobina, formando carboxiemoglobina, composto estável que não transporta mais o

oxigênio.



06. O que é fosforilação oxidativa?



RESOLUÇÃO: Síntese de ATP (adenosina trifosfato) utilizando energia obtida nas oxidações celulares.



07. Quais são os processos básicos da respiração aeróbia de uma molécula de glicose?



RESOLUÇÃO: Glicólise, ciclo de Krebs, cadeia respiratória ou transportadora de elétrons.



08. Qual é a equação geral da respiração aeróbia de uma molécula de glicose?



RESOLUÇÃO: C6H12O6 + 6O2 + 6H2Og 6CO2 + 12H2O +

Segundo muitos bioquímicos, o lucro energético seria de 38ATP. Outros acreditam ser de 36ATP.



09. Quem é o aceptor final de hidrogênio na respiração celular?



RESOLUÇÃO: É o oxigênio. Ele se une ao hidrogênio, formando água.



10. Onde ocorre o ciclo do ácido cítrico?



RESOLUÇÃO: Na matriz mitocondrial.

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Fatoração

Fatorar uma expressão algébrica é modificar sua forma de soma algébrica para produto; fatorar uma expressão é obter outra expressão que
a) seja equivalente à expressão dada;
b) esteja na forma de produto. Na maioria dos casos, o resultado de uma fatoração é um produto notável.
Há diversas técnicas de fatoração que estudaremos em seguida, supondo a, b, x e y expressões não fatoráveis.
A. Fator Comum
Devemos reconhecer o fator comum, seja ele numérico, literal ou misto; em seguida colocamos em evidência esse fator comum, simplificamos a expressão deixando em parênteses a soma algébrica.

Observe os exemplos abaixo.
Fatoração
B. Agrupamento
Devemos dispor os termos do polinômio de modo que formem dois ou mais grupos entre os quais haja um fator comum, em seguida, colocar o fator comum em evidência.

Observe:
Fatoração
C. Diferença de Quadrados
Utilizamos a fatoração pelo método de diferença de quadrados sempre que dispusermos da diferença entre dois monômios cujas literais tenham expoentes pares. A fatoração algébrica de tais expressões é obtida com os seguintes passos:
1º) Extraímos as raízes quadradas dos fatores numéricos de cada monômio;
2º) Dividimos por dois os expoentes das literais;
3º) Escrevemos a expressão como produto da soma pela diferença dos novos monômios assim obtidos.
Por exemplo, a expressão a2b2 seria fatorada da seguinte forma
Fatoração
D. Trinômio Quadrado Perfeito
Uma expressão algébrica pode ser identificada como trinômio quadrado perfeito sempre que resultar do quadrado da soma ou diferença entre dois monômios.

Por exemplo, o trinômio x4 + 4 x2 + 4 é quadrado perfeito, uma vez que corresponde a (x2 + 2)2 .

São, portanto, trinômios quadrados perfeitos todas as expressões da forma a2 ± 2ab + b2, fatoráveis nas formas seguintes:
E. Trinômio Quadrado da Forma ax2 + bx + c
Supondo sejam x1 e x2 as raízes reais do trinômio, , dizemos que:


Lembre-se de que as raízes de uma equação de segundo grau podem ser calculadas através da fórmula de Bhaskara:
F. Soma de diferença de cubos
Se efetuarmos o produto do binômio a + b pelo trinômio a2 – ab + b2, obtemos o seguinte desenvolvimento:

O que acabamos de desenvolver foram produtos notáveis que nos permitem concluir que, para fatorarmos uma soma ou diferença de cubos, basta-nos inverter o processo anteriormente demonstrado.
Assim, dizemos que:

Fatoração


Casos Simples de Fatoração Algébrica


Como já aprendemos na Aritmética, todo número, não primo, pode ser decomposto em um produto de fatores primos. Assim, tem-se

30 = 2 X 3 X 5 ; 72 = 8 x 9 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 23 x 32

Da mesma forma, podemos decompor algumas expressões algébricas em fatores.

Assim, por exemplo : a2 - b2 = (a+b) (a - b) ; a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 ; 12a2b3 - 18ab2 = 6ab2(2ab - 3)

O processo pelo qual transformamos uma adição algébrica em um produto algébrico denominamos fatoração algébrica, ou
simplesmente, fatoração.

No estudo da fatoração são conhecidos vários casos. Vamos estudá-los, classificando-os, para uma melhor compreensão.

Primeiro Caso de Fatoração : Evidenciação


Consideremos o polinômio 6ax2 - 4ax3 + 2ax, que pode ser escrito como :

(2ax).(3x) - (2ax).(2x) + (2ax).(1). Percebemos que o fator 2ax esta presente em todos os termos do polinômio. 2ax é o fator comum e
deverá ser colocado em evidência. Assim :

6ax2 - 4ax3 + 2ax = (2ax) (3x - 2x2 + 1)

Exemplo 01) Fatorar o polinômio 7m2p4 - 14m3p2 + 21m4p3

Colocando o fator comum 7m2p2 em evidência, teremos :

7m2p4 - 14m3p2 + 21m4p3 = 7m2p2 ( p2 - 2m + 3m2p)

Exemplo 02) Fatorar o polinômio 2m3(a - b) + 8m2( a - b)

Colocando o fator comum 2m2(a - b) em evidência, teremos :

2m3(a - b) + 8m2( a - b ) = [2m2(a - b)] ( m + 4) = 2m2(a - b)( m + 4)

Segundo Caso de Fatoração : Trinômio Quadrado Perfeito


Já aprendemos em produtos notáveis que :

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 e (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
O que faremos agora é transformarmos a soma algébrica a2 ± 2ab + b2 em sua forma fatorada (a ± b)2.
E para tal precisamos compreender que um trinômio será quadrado perfeito quando possuir dois de seus três termos quadrados e o
terceiro sendo igual ao dobro do produto entre as raízes quadradas dos termos quadrados.

Exemplo 03) Se possível, fatore o polinômio 4m2 + 12mn2 + 9n4

O polinômio possui dois termos quadrados 4m2 e 9n4, e cujas raízes quadradas são, respectivamente, 2m e 3n2. O dobro do
produto entre essas raízes é exatamente igual ao terceiro termo 12mn2.

E dessa forma o polinômio 4m2 + 12mn2 + 9n4 é um trinômio quadrado perfeito e pode, portanto ser fatorado.

A raiz quadrada do primeiro termo quadrado é 2m, a raiz do segundo termo quadrado é 3n2 e o sinal que os une será o sinal do
terceiro termo + 12mn2. Dessa forma, teremos :

4m2 + 12mn2 + 9n4 = ( 2m + 3n2)2

Exemplo 04) Se possível, fatore o polinômio 16x4 + 36x2y3 + 25y6

O polinômio possui dois termos quadrados 16x4 e 25y6, e cujas raízes quadradas são, respectivamente, 4x2 e 5y3. O dobro do produto
entre essas raízes é igual a 40x2y3 que é diferente do terceiro termo 36x2y3.

E dessa forma o polinômio 16x4 + 36x2y3 + 25y6 não é um trinômio quadrado perfeito e não pode, portanto, ser fatorado, pelo menos
como um trinômio quadrado perfeito.

Exemplo 05) Se possível, fatore o polinômio 36 - 132p6n + 121p12n

O polinômio possui dois termos quadrados 36 e 121p12n, e cujas raízes quadradas são, respectivamente, 6 e 116n. O dobro do produto
entre essas raízes é exatamente igual ao terceiro termo 132p6n.

E dessa forma o polinômio 36 - 132p6n + 121p12n é um trinômio quadrado perfeito e pode, portanto, ser fatorado.

A raiz quadrada do primeiro termo quadrado é 6, a raiz do segundo termo quadrado é 11p6n e o sinal que os une será o sinal do terceiro
termo - 132p6n, Dessa forma, teremos :

36 - 132p6n + 121p12n = ( 6 - 11p6n)2

Terceiro Caso de Fatoração : Diferença de Dois Quadrados


Já aprendemos em produtos notáveis que :

(a + b) (a - b) = a2 - b2
O que faremos agora é transformarmos a diferença algébrica a2 - b2 em sua forma fatorada (a + b) (a - b). E para tal precisamos extrair
as raízes quadradas de ambos os termos e montarmos com essas raízes a sua soma multiplicada por sua diferença.

Exemplo 06) Fatore o binômio 64x2 - 25y8

O binômio é uma diferença de dois quadrados 64x2 e 25y8, e cujas raízes quadradas são, respectivamente, 8x e 5y4.

Montando a soma (8x + 5y4) e a diferença (8x - 5y4) e as multiplicando, teremos nossa fatoração concluída. Assim :

64x2 - 25y8 = (8x + 5y4) (8x - 5y4)

Exemplo 07) Fatore 81 - 0,49k6

O binômio é uma diferença de dois quadrados 81 e 0,49k6, e cujas raízes quadradas são, respectivamente, 9 e 0,7k3.

Montando a soma (9 + 0,7k3) e a diferença (9 - 0,7k3) e as multiplicando, teremos nossa fatoração concluída. Assim :

81 - 0,49k6 = (9 + 0,7k3) (9 - 0,7k3)

Veja que interessante: Já sabemos que 49 - 25 = 24.

Vamos fazer essa diferença entre dois quadrados utilizando a fatoração, que acabamos de aprender:
49 - 25 = (7 + 5) ( 7 - 5 ) = 12 x 2 = 24 ( deu, é claro, o mesmo resultado )

Quarto Caso de Fatoração : Trinômio de Stevin


Já aprendemos em produtos notáveis que :

(a + b) (a + c) = a2 + (b + c)a + bc, que podemos escrever como : a2 + Sa + P, onde S é a soma dos termos não comuns e P o seu
produto.

O que faremos agora é transformarmos a soma algébrica a2 + Sa + P em sua forma fatorada (a + b) (a + c).

E para tal precisamos extrair a raiz quadrada do termo quadrado e descobrirmos dois número cuja soma seja S e cujo produto seja P. e
verificarmos se a soma aparece multiplica pela raiz quadrada do termo comum.

Só com alguns exemplos poderemos entender melhor esse tipo de fatoração. Vamos a eles.

Exemplo 08) Fatore o trinômio k2 + 8k + 15

Extraindo a raiz quadrada do termo quadrado k2, teremos k. Vamos descobrir agora dois números que somados sejam iguais a 8 e
multiplicados sejam iguais a 15. Esses números serão 3 e 5, já que: 3 + 5 = 8 e 3 x 5 = 15. Percebemos, também, que a soma 8 aparece
multiplicada pela raiz quadrada k de k2.

Assim : k2 + 8k + 15 = (k + 3) (k + 5)

Exemplo 09) Fatore o trinômio m4 - 6m2 + 8

Extraindo a raiz quadrada do termo quadrado m4, teremos m2. Vamos descobrir agora dois números que somados sejam iguais a - 6 e
multiplicados sejam iguais a 8. Esses números serão - 2 e - 4 , já que: - 2 + - 4 = - 6 e (- 2) x (- 4) = + 8. Percebemos, também, que a
soma - 6 aparece multiplicada pela raiz quadrada m2 de m4.

Assim : m4 - 6m2 + 8 = (m2 - 2) (m2 - 4)

Exemplo 10) Fatore o trinômio 25y6 + 20y3 - 21

Extraindo a raiz quadrada do termo quadrado 25y6, teremos 5y3. Vamos descobrir agora dois números que somados sejam iguais a + 4,
lembremos que a raiz de 9y6, está presente nesse termo, assim, 20y3 : 5y3 = 4 e multiplicados sejam iguais a - 21.

Esses números serão - 3 e + 7 , já que: - 3 + 7 = 4 e (- 3) x (+ 7) = - 21. Percebemos, como já vimos, que a soma + 4 aparece
multiplicada pela raiz quadrada 5y3 de 25y6.

Assim : 25y6 + 20y3 - 21 = (5y3 + 7) (5y3 - 3)

Exemplo 11) Fatore o trinômio 4p8 - 8p4a - 5a2

Extraindo a raiz quadrada do termo quadrado 4p8, teremos 2p4. Vamos descobrir agora dois números que somados sejam iguais a - 4a,
lembremos que a raiz de 4p8, está presente nesse termo, assim, - 8p4a : 2p4 = 4a e multiplicados sejam iguais a - 5a2.

Esses números serão - 5a e + 1a , já que: - 5a + 1a = 4a e (- 5a) x (+ a) = - 5a2. Percebemos, como já vimos, que a soma + 4a aparece
multiplicada pela raiz quadrada 2p4 de 4p8.

Assim : 4p8 - 8p4a - 5a2 = (2p4 + a) (2p4 - 5a)

Quinto Caso de Fatoração : Soma de Dois Cubos


Um binômio soma da forma x3 + y3 pode ser fatorado em um produto da forma:

x3 + y3 = (x + y) ( x2 - xy + y2)

A melhor forma para fatorarmos uma soma de dois cubos é compreendermos que um dos fatores será a soma das raízes cúbicas dos
termos cúbicos originais, e a partir dele, montarmos o outro fator que será o quadrado do primeiro menos o produto entre o primeiro e
o segundo mais ( sempre mais ) o quadrado do segundo. Só praticando entenderemos esse caso fatoração.

Exemplo 12) Fatore a soma de dois cubos 8p6 + 125

Como ambos são termos cúbicos, essa soma poderá ser fatorada.

A raiz cúbica de 8p6 é 2p2 e a raiz cúbica de 125 é 5. Assim já temos o nosso primeiro fator (2p2 + 5)

A partir dele montaremos o nosso segundo fator. O quadrado de 2p2 é 4p4 ; o produto entre 2p2 e 5 é 10p2 e o quadrado do
segundo é 52 = 25. E dessa forma, teremos:

8p6 + 125 = (2p2 + 5) ( 4p4 - 10p2 + 25)

Exemplo 13) Fatore 27x3y9 + 64z6

Como ambos são termos cúbicos, essa soma poderá ser fatorada.

A raiz cúbica de 27x3y9 é 3xy3 e a raiz cúbica de 64z6 é 4z3.

Assim já temos o nosso primeiro fator (3xy3 + 4z2)

A partir dele montaremos o nosso segundo fator. O quadrado de 3xy3 é 9x2y6 ; o produto entre 3xy3 e 4z2 é 12xy3z2 e o quadrado do
segundo é (4z2)2 = 16z4.

E dessa forma, teremos: 27x3y9 + 64z6 = (3xy3 + 4z2) (9x2y6 - 12xy3z2 + 16z4)

Sexto Caso de Fatoração : Diferença de Dois Cubos


Um binômio diferença da forma x3 - y3 pode ser fatorado em um produto da forma:

x3 - y3 = (x - y)( x2 + xy + y2)

A melhor forma para fatorarmos uma diferença de dois cubos é compreendermos que um dos fatores será a diferença das raízes
cúbicas dos termos cúbicos originais, e a partir dele, montarmos o outro fator que será o quadrado do primeiro mais o produto entre o
primeiro e o segundo mais ( sempre mais ) o quadrado do segundo. Só praticando entenderemos esse caso fatoração.

Exemplo 14) Fatore a diferença de dois cubos 216p3 - 125m6

Como ambos são termos cúbicos, essa diferença poderá ser fatorada.

A raiz cúbica de 216p3 é 6p e a raiz cúbica de 125 m6 é 5m2. Assim já temos o nosso primeiro fator (6p - 5m2)

A partir dele montaremos o nosso segundo fator. O quadrado de 6p é 36p2 ; o produto entre 6p e 5m2 é 30pm2 e o quadrado do segundo
é (5m2)2 = 25m4.

E dessa forma, teremos: 216p3 - 125m6 = (6p - 5m2) ( 36p2 + 30pm2 + 25m4)

Sétimo Caso de Fatoração : Agrupamento


Quando em um polinômio dois ou mais termos possuem um termo comum que evidenciado faz aparecer um termo comum à fatoração
dos demais termos. Só com alguns exemplos podemos compreender melhor esse caso de fatoração.

Por essa razão o deixamos como o último caso de fatoração.

Exemplo 15) Fatore o polinômio ac + ad + bc + bd (1ª resolução )

Se colocarmos, nos dois primeiros termos, o fator comum a em evidência e colocarmos, nos dois últimos termos, o fator comum b em
evidência, teremos :

ac + ad + bc + bd = a(c + d) + b( c + d). E colocando o novo fator comum (c + d) em evidência, teremos :

ac + ad + bc + bd = a(c + d) + b(c + d) = (c + d) (a + b)

Exemplo 16) Fatore o polinômio ac + ad + bc + bd (2ª resolução )

Vamos agrupar agora o primeiro e o terceiro termo e, também, o segundo e o quarto termo.

ac + ad + bc + bd = ac + bc + ad + bd

Se colocarmos, nos dois primeiros termos, o fator comum c em evidência e colocarmos, nos dois últimos termos, o fator comum d em
evidência, teremos :

ac + bc + ad + bd = c(a + b) + d(a + b)

E colocando o novo fator comum (a + b) em evidência, teremos :

ac + bc + ad + bd = c(a + b) + d(a + b) = (a + b) (c + d)

Exemplo 17) Fatore o polinômio 2am + an - 6bm - 3bn

Se colocarmos, nos dois primeiros termos, o fator comum a em evidência e colocarmos, nos dois últimos termos, o fator comum - 3b em
evidência, teremos :

2am + an - 6bm - 3bn = a(2m + n) - 3b(2m + n).

E colocando o novo fator comum (2m + n) em evidência, teremos :

2am + an - 6bm - 3bn = a(2m + n) - 3b(2m + n) = (2m + n) (a - 3b)

Exemplo 18) Fatore 3a2x - 2b2 + 2a2 - 3b2x

Reagrupando o polinômio, teremos : 3a2x - 3b2x + 2a2 - 2b2
Se colocarmos, nos dois primeiros termos, o fator comum 3x em evidência e colocarmos, nos dois últimos termos, o fator comum 2 em
evidência, teremos :

3a2x - 3b2x + 2a2 - 2b2 = 3x(a2 - b2) - 2(a2 - b2)

E colocando o novo fator comum (a2 - b2) em evidência, teremos :

3a2x - 3b2x + 2a2 - 2b2 = 3x(a2 - b2) - 2(a2 - b2) = (a2 - b2) (3x - 2)
E como o fator (a2 - b2) é fatorável e igual a (a + b) (a - b), teremos, finalmente :

3a2x - 3b2x + 2a2 - 2b2 = 3x(a2 - b2) - 2(a2 - b2) = (a2 - b2) (3x - 2) = (a + b) (a - b) (3x - 2)

Com isso, apresentamos os mais importantes casos de fatoração. Alguns exercícios resolvidos e um pouco mais complexos,
nos ajudarão no entendimento desse assunto da Álgebra, que é um dos que mais dificuldades apresenta aos alunos.

Exercícios Resolvidos de Fatoração Algébrica


Exemplo 19) Fatore c2 - 2bc - a2 + b2

Reagrupando o polinômio, teremos : b2 - 2bc + c2 - a2 = (b2 - 2bc + c2) - a2

O trinômio b2 - 2bc + c2 pode ser fatorado como : (b - c)2

E dessa forma, teremos a diferença de dois quadrados (b - c)2 - a2, e finalmente, teremos :

(b - c)2 - a2 = (b - c + a) (b - c - a)

Exemplo 20) Fatore: 5m8 + 10m4 - 15

Percebemos que o fator 5 pode ser evidenciado, Assim:

5m8 + 10m4 - 15 = 5(m8 + 2m4 - 3)

O trinômio m8 + 2m4 - 3 não é um trinômio quadrado perfeito, mas poderá ser um trinômio de Stevin.
E realmente o é, pois os números 3 e -1, têm por soma 2 e por produto - 3, e a soma aparece multiplicada pela raiz quadrada m4 de m8.

Dessa forma, teremos : 5m8 + 10m4 - 15 = 5(m8 + 2m4 - 3) = 5(m4 + 3) (m4 - 1)

E como (m4 - 1) = (m2 + 1) (m2 - 1) , e como (m2 - 1) (m + 1)(m - 1) teremos : 5m8 + 10m4 - 15 = 5(m4 + 3)(m2 + 1)(m + 1)(m - 1)

Exemplo 21) Fatore: (x - y)2 + 2(y - x) - 24

Antes de mais nada, lembremos que (x - y)2 = (y - x)2 ( verifique se isso é verdade )

Com isso podemos escrever a expressão dada como : (y - x)2 + 2(y - x) - 24

Para facilitar o reconhecimento do caso de fatoração, chamemos o binômio (y - x) de A, então :

(y - x)2 + 2(y - x) - 24 = A2 + 2A - 24

O trinômio não é quadrado perfeito, mas parece ser de Stevin.
Verificando, percebemos que os números - 4 e + 6 têm por soma + 2 e por produto - 24 e a soma + 2 aparece multiplicada pela raiz
quadrada A de A2.

E assim : A2 + 2A - 24 = (A + 6) (A - 4) e como A = y - x, finalmente teremos: (x - y)2 + 2(y - x) - 24 = (y - x + 6) (y - x - 4)

Exemplo 22) Fatore x6 - y6

1ª Resolução: Considerando uma diferença de dois cubos

Como ambos são termos cúbicos, essa diferença poderá ser fatorada.
A raiz cúbica de x6 é x2 e a raiz cúbica de y6 é y2. Assim já temos o nosso primeiro fator x2 - y2
A partir dele montaremos o nosso segundo fator. O quadrado de x2 é x4 ; o produto entre x2 e y2 é x2y2 e o quadrado do
segundo é y2 é y4.

E dessa forma, teremos:

x6 - y6 = (x2 - y2) ( x4 + x2y2 + y4). Como a diferença de quadrados (x2 - y2) ainda pode ser fatorado, teremos :

x6 - y6 = (x + y) (x - y) ( x4 + x2y2 + y4).

Se escrevermos o trinômio ( x4 + x2y2 + y4) de uma outra forma, perceberemos que ele também poderá ser fatorado. Vejamos :

x4 + x2y2 + y4 = x4 + 2x2y2 + y4 - x2y2 = (x2 + y2)2 - x2y2, que é uma diferença de dois quadrados.

Assim : (x2 + y2)2 - x2y2 = ( x2 + y2 + xy) ( x2 + y2 - xy) = ( x2 - xy + y2) ( x2 + xy + y2). E finalmente :

x6 - y6 = (x + y) (x - y) ( x2 - xy + y2) ( x2 + xy + y2)

2ª Resolução: Considerando uma diferença de dois quadrados. Como ambos são quadrados, temos uma diferença de dois quadrados.

A raiz quadrada de x6 é x3 e a raiz quadrada de y6 é y3.

Assim já temos o nosso primeiro fator (x3 + y3) e o segundo fator (x3 - y3).

Assim, teremos : x6 - y6 = (x3 + y3) (x3 - y3) .
Como a soma e a diferença de dois cubos (x3 + y3) e (x3 - y3) ainda podem ser fatorados, teremos :

x6 - y6 = (x3 + y3) (x3 - y3) = (x + y) ( x2 - xy + y2) (x - y) ( x2 + xy + y2) , ou ainda :

x6 - y6 = (x + y) (x - y) ( x2 - xy + y2) ( x2 + xy + y2)

OBSERVAÇÃO MUITO IMPORTANTE

Sempre que fatoramos uma expressão algébrica ou quando efetuamos um produto notável devemos utilizar o sinal de identidade
que é uma ampliação do conceito de igualdade.

Vamos entender melhor essa diferenciação:

Quando afirmamos que 3x + 4 = 19, sabemos que apenas o valor de x = 5 tornará verdadeira essa sentença.
Nesse caso utilizaremos o sinal de igualdade.

Quando afirmamos que 2(x + 3) = 2x + 6, percebemos que qualquer valor de x, torna essa sentença verdadeira.
Nesse caso devemos utilizar o sinal de identidade .

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Fatoração de Polinômios

Professor de Matemática no Colégio Estadual Dinah Gonçalves
E Biologia na rede privada de Salvador-Bahia
Professor Antonio Carlos carneiro Barroso
email accbarroso@hotmail.com
http://accbarrosogestar.blogspot.com.br

Fatoração de Polinômios

Por Marcos Noé


Polinômios
Fatorar um número significa escrevê-lo na forma de produto de números primos. Por exemplo, a fatoração do número 36 consiste na multiplicação entre os números 2 * 2 * 3 * 3. Na fatoração de polinômios devemos escrever o mesmo através do produto entre outros polinômios.
As fatorações mais conhecidas são: fator comum em evidência, agrupamento, diferença entre dois quadrados, trinômio quadrado perfeito e trinômio soma e produto.

Fator comum em evidência

Nesse modelo de fatoração temos que determinar o elemento comum aos termos que formam o polinômio. Observe:

No polinômio x² + 2x, temos que a variável x é comum aos dois termos. Ela será o termo em evidência, a qual dividirá todos os termos do polinômio original.

x² + 2x → x * (x + 2)
x² : x = x
2x : x = 2

Veja mais exemplos de fatoração por evidência:

4x³ – 2x² → 2x² * (2x – 1)
4x³ : 2x² = 2x
2x : 2x = 1

16x² + 8 → 8 * (2x² + 1)
16x² : 8 = 2x²
8 : 8 = 1


Fatoração por Agrupamento

Na fatoração por agrupamento, utilizamos inicialmente a fatoração por evidência e logo em seguida agrupamos os termos sob certas condições também de evidenciação. Observe:

2yx – x – 6y + 3, aplicar evidência entre 2yx e –x e entre –6y e 3.

2yx – x → x * (2y – 1)

–6y + 3 → –3 * (2y – 1)

2yx – x – 6y + 3 → x * (2y – 1) – 3 * (2y – 1) → (x – 3) * (2y – 1)


Observe mais exemplos:


bx – 2b + x – 2 → bx + x – 2b – 2 → x * (b + 1) – 2 * (b + 1) → (x – 2) * (b + 1)

10x² + 15xy + 4x + 6y → 10x² + 4x + 15xy + 6y → 2x * (5x + 2) + 3y * (5x + 2) → (2x + 3y) * ( 5x + 2)



Diferença entre dois quadrados

Nessa fatoração aplicaremos a raiz quadrada entre os elementos. O valor resultante das raízes formará uma multiplicação entre binômios no mesmo modelo do notável produto da soma pela diferença. Veja:

4x² – 16 → (2x + 4) * (2x – 4)
√4x² = 2x
√16 = 4

25x² – 100 → (5x + 10) * (5x – 10)
√25x² = 5x
√100 = 10

81x4 – 144 → (9x² + 12) * (9x² – 12)
√81x4 = 9x²
√144 = 12


400x² – 49 → (20x + 7) * (20x – 7)
√400x² = 20x
√49 = 7



Trinômio quadrado perfeito

Determinaremos o produto notável responsável pela formação do trinômio x² + 2xy + y² ou x² – 2xy + y². Observe:

x² + 18x + 81 → (x + 9)²
√x² = x
√81 = 9
(x + 9)² = (x + 9) * (x + 9) = x² + 9x + 9x + 81 = x² + 18x + 81


4x² – 48x + 144 → (2x – 12)²
√4x² = 2x
√144 = 12
(2x + 12)² = (2x + 12) * (2x + 12) = 4x² + 24x + 24x + 144 = 4x² + 48x + 144



Trinômio Soma e Produto

São as fatorações envolvendo trinômios do tipo x² + Sx + P, que podem ser fatorados e escritos da seguinte forma (x + a) * (x + b). Nessa situação temos que Soma = a + b e Produto = a * b. Observe:

x² + 10x + 16 → (x + 8) * (x + 2)
Soma = 10
Produto = 16
Os números são 8 e 2, pois:
8 + 2 = 10
8 * 2 = 16

x² – 13x + 42 → (x – 6) * (x – 7)
Soma = –13
Produto = 42
Os números são –6 e –7, pois:
– 6 – 7 = – 13
(–6) * (–7) = 42

x² + 3x – 10 → (x – 2) * (x + 5)
Soma = 3
Produto = –10
Os números são 3 e –10, pois:
– 2 + 5 = 3
(–2) * 5 = – 10

x² – 2x – 63 → (x – 9) * (x + 7)
Soma = –2
Produto = – 63
Os números são –9 e 7, pois:
– 9 + 7 = – 2
(–9) * 7 = – 63

Vícios de Linguagem


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1. Barbarismo: Grifo ou pronúncia de uma palavra em desacordo com a norma culta.

“Gratuíto” (em vez de gratuito)
“Rítmo” (em vez de ritmo)

2. Solecismo: Desvio da norma em relação à sintaxe.

“Fazem dois anos que não nos vemos” (em vez de faz)

3. Ambiguidade ou Anfibologia: Deixar a frase com mais de um sentido.

“O menino viu o incêndio da escola”

4. Cacófato: Mau som produzido pela junção de palavras.

“Beijou na boca dela”.

“Eu vi ela”. (Eu viela?)

"Eu amo ela" (Eu a moela?)

“Não tenho pretensão acerca dela”.
(Não tenho pretensão a ser cadela?)

“Vou-me já porque já está pingando”.
(Vou mijar porque já está pingando?)

"Tenho culpa eu" (Tem c... pá eu?!)

5. Pleonasmo Vicioso: repetição desnecessária de palavras para expressar uma idéia.

“Subir pra cima”

“Entra pra dentro, menino!”

6. Neologismo: criação desnecessária de palavras novas.

“O ministro se considerava imexível”

7. Eco: Repetição de um som numa seqüência de palavras.

“A decisão da eleição não causou comoção na população.”

8. Arcaísmo: Utilização de palavras que já caíram em desuso.

“Vossa Mercê vai pescar”
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Genética - os seguidores de Mendel Dos cromossomos ao DNA


A estrutura molecular do DNA
Walter Sutton, um estudante de graduação no laboratório da Universidade de Columbia, nos EUA, foi o primeiro a declarar, em 1902, que os cromossomos obedecem às leis de Mendel. Ele se especializou no estudo de cromossomos de gafanhotos, dando início às pesquisas citológicas que contribuiriam para a elaboração da teoria cromossômica da hereditariedade.

Em seu trabalho, Sutton concluiu que, durante o processo de meiose, no qual são produzidos óvulos e espermatozóides, cada gameta recebe apenas um cromossomo de cada tipo. Nas outras partes do corpo, as células possuem dois cromossomos de cada tipo, herdados de cada genitor. O padrão de segregação dos cromossomos durante a meiose corresponde aos padrões de segregação propostos por Mendel.

Naquele mesmo ano, um citologista alemão, T. Boveri, reconheceu que os cromossomos individuais são diferentes uns dos outros, mas não fez nenhuma conexão com os princípios mendelianos. No entanto, o supervisor de Sutton, E. B. Wilson, ofereceu co-autoria a Boveri pela proposição da teoria cromossômica da hereditariedade.

Um ano mais tarde, Sutton publicou um trabalho intitulado "Os cromossomos na hereditariedade", no qual desenvolve com maiores detalhes sua hipótese. De acordo com alguns pesquisadores, com este trabalho de Sutton se inicia o estudo da citogenética.

Apesar do nascimento de uma disciplina - a citogenética - que une os estudos da célula (citologia), dos genes e de sua transmissão às gerações seguintes (genética) ter ocorrido no ano de 1903, a palavra gene só foi criada em 1909, pelo botânico dinamarquês Wilhelm Johannsen, quando ele descreveu os fatores da hereditariedade nas experiências de Mendel.

No que se refere ao termo genética, ele foi usado quatro anos antes pelo geneticista William Bateson em uma carta, mas só passou a ser utilizado pelos cientistas após a criação do termo gene por Johannsen. O termo gene vem da palavra grega genos, que significa nascimento.

Morgan, Beadle e Tatum
Depois dos gafanhotos, as moscas se tornaram um organismo modelo nos estudos da hereditariedade. Estudando as moscas Drosophila melanogaster, o pesquisador Thomas Hunt Morgan e seus colaboradores da Universidade de Columbia mostraram, no ano de 1911, que os genes estão localizados nos cromossomos e são as unidades da hereditariedade. Eles confirmaram a teoria cromossômica da hereditariedade e, por isso, Thomas Hunt Morgan recebeu, em 1933, o Prêmio Nobel de Fisiologia ou Medicina.

No ano de 1941, os cientistas George Beadle e Edward Tatum mostraram, por meio de experimentos com o fungo vermelho do pão, Neurospora crassa, que os genes agem regulando eventos químicos distintos. Eles concluíram que a função de um gene é dar instruções para a formação de uma enzima particular, que regula um evento químico.

Beadle e Tatum propuseram que, em geral, um gene codifica para a produção de uma enzima. A hipótese de Beadle e Tatum ficou conhecida como "um gene, uma enzima". Posteriormente, o nome da hipótese foi modificado para "um gene, um polipeptídeo", já que algumas proteínas são compostas por diferentes cadeias de polipeptídeos, codificados por genes separados.

O DNA revelado pelos raios X
Os cientistas interessados em ampliar os estudos de genética iniciaram suas pesquisas pelo nível celular, com os cromossomos, e, pouco a pouco, foram se aprofundando, até chegar ao nível molecular.

O DNA havia sido descoberto, no ano de 1868, pelo biólogo suíço Friedrich Miescher, mas permaneceu sem muita importância por cerca de 70 anos. Em 1943, o cientista britânico William Astbury extraiu o DNA de células, mergulhou uma agulha na solução viscosa de DNA e puxou um filamento contendo muitas moléculas alinhadas, quase que em paralelo, umas com as outras. Ele obteve, então, um padrão de difração de raios X para visualizar a molécula de DNA.

Os padrões de difração de raios X de moléculas cristalizadas podem revelar suas estruturas com precisão atômica. Esta técnica revelou o DNA como uma estrutura regular e periódica. Astbury sugeriu que as bases de nucleotídeo do DNA estavam empilhadas umas sobre as outras como "uma pilha de moedas".

Em 1952, Alfred Hershey e Martha Chase mostraram, com o auxílio de marcadores radioativos, que, quando um vírus infecta uma célula hospedeira (a bactéria Escherichia coli), para nela se reproduzir, é o seu DNA que invade a bactéria e não a sua capa protéica. Este experimento corroborou a hipótese feita pelos cientistas Avery, McLeod e McCarty no ano de 1944, de que o DNA é a molécula responsável pela hereditariedade. O experimento de Alfred Hershey e Martha Chase ofereceu suporte para a idéia de que os genes são feitos de DNA.

Muito já se sabia sobre o DNA no ano de 1953:

# que o DNA é composto de nucleotídeos formados por três partes: um grupo fosfato, um açúcar com cinco átomos de carbono (pentose) e bases nitrogenadas (adenina, citosina, guanina e timina);
# que no DNA de qualquer tipo de célula a quantidade de adenina é, aproximadamente, a mesma de timina, enquanto que a quantidade de citosina é aproximadamente a mesma de guanina. Isto foi demonstrado por Erwin Chargaff, em 1949;
# e que o DNA possui grande simetria e consistência em sua estrutura.

A estrutura molecular do DNA
Dois pesquisadores do laboratório Cavendish, na Inglaterra, se dedicaram a obter mais informações sobre a estrutura química do DNA. O físico Francis Crick e o zoólogo James Watson se apressaram em desvendar a estrutura do DNA antes de qualquer pessoa. Eles competiam com o químico Linus Pauling.

Enquanto Watson e Crick trabalhavam em seu modelo, Pauling publicou um trabalho sugerindo uma estrutura de tripla hélice para o DNA. O modelo de Pauling foi criticado por conter imperfeições químicas. Ao ler o trabalho de Pauling, Watson convenceu seus colegas de que tinha a interpretação correta. Um dos colegas, Maurice Wilkins, mostrou a Watson as imagens mais recentes de difração de raios X do DNA. Ao ver as imagens, Watson teve certeza de que sua idéia estava correta e começou a construir, junto com Crick, o novo modelo da estrutura do DNA.

O modelo de Watson e Crick revelou as seguintes propriedades:
# o DNA é uma dupla hélice, com o açúcar e o fosfato dos nucleotídeos formando os dois filamentos da hélice - e as bases nitrogenadas apontando para o interior da hélice e empilhando-se umas sobre as outras;
# as bases nitrogenadas usam pontes de hidrogênio para parearem especificamente, com uma adenina sempre se opondo a uma timina, e uma citosina sempre se opondo a uma guanina;
# os dois filamentos da dupla hélice correm em direções opostas.

Em 1962, Watson, Crick e Wilkins receberam o prêmio Nobel de Fisiologia ou Medicina pela descoberta da estrutura molecular do DNA.

Sono O que acontece enquanto dormimos?


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O sono, na visão do pintor surrealista Salvador Dalì
O sono é uma atividade fisiológica essencial à nossa saúde e à nossa sobrevivência. É durante o sono que ocorrem diversos processos metabólicos, através dos quais o corpo se recupera e se desenvolve. Pesquisas demonstram que repousar, sem dormir, não apresenta os mesmos resultados de uma boa noite de sono.

A privação do sono leva, entre outras coisas, a uma queda na atenção, dificuldades em aprender novas tarefas motoras, alterações emocionais e dificuldades de memorização.

O que é o sono?
O ciclo de sono e vigília se repete a cada 24 horas, ou seja, apresenta o que chamamos de ritmo circadiano. Estudos demonstram que esse ciclo se mantém mesmo em condições nas quais não se possui acesso à passagem do tempo. Pessoas mantidas em salas escuras continuaram dormindo e acordando aproximadamente a cada 24 horas.

Isso sugere que o controle do sono não depende apenas de fatores externos, e mas também de mecanismos internos (endógenos) do organismo. Esses mecanismos são chamados de relógios biológicos e são capazes de controlar os ritmos biológicos mesmo na ausência de estímulos ambientais.

Fisiologicamente, o sono é descrito como o estado no qual o indivíduo não responde facilmente a estímulos sensoriais, a atividade motora fica reduzida e há uma perda temporária da consciência. Já a vigília corresponde ao estado no qual o indivíduo responde facilmente a estímulos e apresenta alta atividade motora e cognitiva.

Fases do sono
O sono não é um fenômeno homogêneo. Ele ocorre de forma cíclica e cada ciclo apresenta vários estágios, alternando fases de sono profundo e leve. Em média, cada ciclo dura entre 60 e 90 minutos e é dividido nos seguintes estágios:

Estágio 1: é a fase inicial do sono, ou seja, a transição entre o estado de vigília e o sono. Pode durar de alguns segundos a até cerca de 5 minutos. É caracterizado pelo sono leve, do qual somos facilmente despertados. O estado de consciência é baixo e a atenção, reduzida. Nessa fase, o indivíduo pode ouvir e falar, mas, provavelmente, não irá se lembrar depois que acordar. Corresponde a cerca de 5% do tempo total de sono e pode ocorrer também durante a mudança de estágios.

Estágio 2: ainda é uma fase de sono leve, mas não tanto como no estágio 1. Dura de 10 a 20 minutos.

Estágio 3: é o início do sono profundo. A atividade cerebral se torna mais lenta e o processo de recuperação fisiológica do organismo se inicia. Dura de alguns segundos até cerca de 5 minutos.

Estágio 4: sono profundo. Nesta fase diminuem a freqüência cardíaca, a respiração e a temperatura corporal. É neste estágio que ocorre a produção de hormônios. Dura cerca de 20 minutos.

Sono REM: também conhecido como estágio 5 ou sono paradoxal. No sono REM, os olhos se mexem rapidamente por baixo das pálpebras fechadas, porém o restante da musculatura do corpo permanece totalmente relaxada. O nome REM vem da sigla em inglês para movimentos rápidos dos olhos (rapid eyes movements). Nesta fase, embora a pessoa esteja dormindo profundamente, as ondas cerebrais possuem um padrão de atividade similar àquele da vigília, daí o nome sono paradoxal. Este estágio dura de 15 a 20 minutos e é nele que ocorrem os sonhos.

Quanto tempo devemos dormir?
Em média, adultos devem dormir entre 7 e 9 horas diárias. Este número varia conforme a idade, as atividades realizadas e outras características individuais. Crianças precisam dormir um número maior de horas.

Um bebê recém-nascido dorme cerca de 18 horas; com 1 ano de idade, entre 13 e 14 horas. Ou seja, o número de horas tende a diminuir com o aumento da idade, até atingir uma média de 8 horas diárias.

Agora que já sabemos as funções e as características de uma boa noite de sono vamos ver como despertamos. Existem duas maneiras de acordar. Uma delas é ser despertado por estímulos externos intensos, como sons, sensações táteis ou luz intensa. Esses estímulos tiram de sincronia os impulsos nervosos do córtex cerebral e nos despertam. A outra forma é despertar espontaneamente e isso geralmente ocorre após o término de um ciclo completo de sono.

Distúrbios do sono
Os distúrbios do sono são alterações que afetam o início ou todo o sono e podem ter origem emocional ou fisiológica. Alguns destes distúrbios são a insônia, a narcolepsia, a apnéia do sono e o terror noturno.

A insônia é caracterizada pela dificuldade em pegar no sono ou por manter o sono por um período contínuo, levando à fadiga, falta de atenção e indisposição durante o dia. Pode ter origem emocional, como o estresse, ou fisiológica, como distúrbios hormonais ou neurológicos.

A narcolepsia é um distúrbio pouco comum, marcado por episódios de sono súbito e incontrolável ao longo do dia, mesmo em situações inesperadas, como quando o indivíduo está de pé ou conversando com alguém. Este sono possui curta duração e, geralmente, não ultrapassa 30 minutos. As causas da doença ainda não foram descobertas, mas, como costuma afetar vários membros de uma mesma família, acredita-se que exista uma predisposição genética.

A apnéia do sono é caracterizada por paradas curtas e repetitivas da respiração durante o sono. Costuma-se classificar este distúrbio em dois tipos, dependendo da origem. Quando a apnéia é causada por disfunção no controle neurológico da respiração, é chamada de apnéia do sono central. Quando é provocada por obstrução das vias aéreas, é chamada de apnéia do sono obstrutiva.

O terror noturno é considerado uma manifestação severa do sonambulismo. Geralmente, o portador do distúrbio se levanta no meio do sono profundo, muito agitado, com a respiração e os batimentos cardíacos acelerados e, por vezes, gritando como se estivesse aterrorizado. Aparentemente, estes episódios não estão relacionados a pesadelos ou sonho perturbadores. Ao acordar, a pessoa geralmente não se lembra de nada.

É importante procurar ajuda médica ao sentir dificuldade para dormir ou alguma outra disfunção durante o sono, pois somente um especialista poderá fazer o diagnóstico correto e prescrever o tratamento adequado.
Alice Dantas Brites é professora de biologia.

Introdução - Tema e Título

Antes de começarmos a estudar a introdução, teremos que nos ater a dois aspectos muito importantes: o tema e o título:
Tema: É o assunto sobre o qual se escreve, ou seja, a idéia que será defendida ao longo da dissertação. Deve-se ter o tema como um elemento abstrato. Nunca se refira a ele como parte da dissertação
Título: É uma expressão, geralmente curta e sem verbo, colocada antes da dissertação. Se não houver verbo no título, não se usa ponto final. Não se deve pular linha depois do título. A colocação de letras maiúsculas em todas as palavras, menos artigos, preposições e conjunções, é facultativa.
Apesar de o título ser importante para uma dissertação, julgo ser também perigoso, pois, como o estudante não está acostumado a dissertar, pode equivocar-se e dar um título que não corresponda ao âmago da redação. Portanto acredito que o ideal seria colocar título apenas quando o vestibular o exigir.
Introdução: A Introdução é a informação do assunto sobre o qual a dissertação tratará. O parágrafo introdutório é fundamental. precisa ser bem claro e chamar a atenção para os tópicos mais importantes do desenvolvimento.
Maneiras de se elaborar a introdução: O primeiro parágrafo da redação pode ser feito de diversas maneiras diferentes:
01) Trajetória histórica:
Traçar a trajetória histórica é apresentar uma analogia entre elementos do passado e do presente.
Já que uma analogia será apresentada, então os elementos devem ser similares; há de haver semelhança entre os argumentos apresentados, ou seja, só usaremos a trajetória histórica, quando houver um fato no passado que seja comparável, de alguma maneira, a outro no presente.

Quando apresentar a trajetória histórica na introdução, deve-se discutir, no desenvolvimento, cada elemento em um só parágrafo. Não misture elementos de épocas diferentes em um mesmo parágrafo. A trajetória histórica torna convincente a exemplificação; só se deve usar esse argumento, se houver conhecimento que legitime a fonte histórica.
02) Comparando social, geográfica ou historicamente.
Também é apresentar uma analogia entre elementos, porém sem buscar no passado a argumentação. É comparar dois países, dois fatos, duas personagens, enfim, comparar dois elementos, para comprovar o tema.
Lembre-se de que se trata da introdução, portanto a comparação apenas será apresentada para, no desenvolvimento, ser discutido cada elemento da comparação em um parágrafo.
03) Conceituando ou definindo uma idéia ou situação.
Em alguns temas de dissertação surgem palavras-chave de extrema importância para a argumentação. Nesses casos, pode-se iniciar a redação com a definição dessa palavra, com o significado dela, para, posteriormente, no desenvolvimento, trabalhar com exemplos de comprovação.
04) Contestando uma idéia ou citação, contradizendo, em partes.
Quando o tema apresenta uma idéia com a qual não se concorda inteiramente, pode-se trabalhar com este método: concordar com o tema, em partes, ou seja, argumentar que a idéia do tema é verdadeira, mas que existem controvérsias; discutir que o assunto do tema é polêmico, que há elementos que o comprovem, e elementos que discordem dele, igualmente.
Não se esqueça de que o desenvolvimento tem que ser condizente com a introdução, estar em harmonia com ela, ou seja, se trabalhar com esse método, o desenvolvimento deve conter as duas comprovações, cada uma em um parágrafo.
05) Refutando o tema, contradizendo totalmente.
Refutar significa rebater os argumentos; contestar as asserções; não concordar com algo; reprovar; ser contrário a algo; contrariar com provas; desmentir; negar. Portanto refutar o tema é escrever, na introdução, o contrário do que foi apresentado pelo tema. Deve-se tomar muito cuidado, pois não é só escrever o contrário, mas mostrar que se é contra o que está escrito. O ideal, nesse caso, é iniciar a introdução com Ao contrário do que se acredita...
Não se esqueça, novamente, de que o desenvolvimento tem que ser condizente com a introdução, estar em harmonia com ela, ou seja, se trabalhar com esse método, o desenvolvimento deve conter apenas elementos contrários ao tema. Cuidado para não cair em contradição. Se for, na introdução, favorável ao tema, apresente, no desenvolvimento, apenas elementos favoráveis a ele; se for contrário, apresente apenas elementos contrários.
06) Elaborando uma série de interrogações.
Pode-se iniciar a redação com uma série de perguntas. Porém, cuidado! Devem ser perguntas que levem a questionamentos e reflexões, e não perguntas vazias que levem a nada ou apenas a respostas genéricas.
As perguntas devem ser respondidas, no desenvolvimento, com argumentações coerentes e importantes, cada uma em um parágrafo. Portanto use esse método apenas quando já possuir as respostas, ou seja, escolha primeiramente os argumentos que serão utilizados no desenvolvimento e elabore perguntas sobre eles, para funcionar como introdução da dissertação.

07) Transformando a introdução em uma pergunta.
O mesmo que a anterior, mas com apenas uma pergunta.
08) Elaborando uma enumeração de informações.
Quando se tem certeza de que as informações são verídicas, podem-se usá-las na introdução e, depois, discuti-las, uma a uma, no desenvolvimento.
09) Caracterizando espaços ou aspectos.
Pode-se iniciar a introdução com uma descrição de lugares ou de épocas, ou ainda com uma narração de fatos. Deve ser uma curta descrição ou narração, somente para iniciar a redação de maneira interessante, curiosa. Não se empolgue!! Não transforme a dissertação em descrição, muito menos em narração.
10) Resumo do que será apresentado no desenvolvimento.
Uma das maneiras mais fáceis de se elaborar a introdução é apresentar o resumo do que se vai discutir no desenvolvimento. Nesse caso, é necessário planejar cuidadosamente a redação toda, antes de começá-la, pois, na introdução, serão apresentados os tópicos a serem discutidos no desenvolvimento. Deve-se tomar o cuidado para não se apresentarem muitos tópicos, senão a dissertação será somente expositiva e não argumentativa. Cada tópico apresentado na introdução deve ser discutido no desenvolvimento em um parágrafo inteiro. Não se devem misturá-los em um parágrafo só, nem utilizar dois ou mais parágrafos, para se discutir um mesmo assunto. O ideal é que sejam apresentados somente dois ou três temas para discussão.
11) Paráfrase.
A maneira mais fácil de se elaborar a introdução é valendo-se da paráfrase, que consiste em reescrever o tema, utilizando suas próprias palavras. Deve- se tomar o cuidado, para não apenas se substituírem as palavras do tema por sinônimos, pois isso será demonstração de falta de criatividade; o melhor é reestruturar totalmente o tema, realmente utilizando "SUAS" palavras.
Observe o que traz o Michaelis - Moderno Dicionário da Língua Portuguesa, quanto à definição da palavra paráfrase: Explicação ou tradução mais desenvolvida de um texto por meio de palavras diferentes das nele empregadas. Portanto sua frase deve ser mais desenvolvida que a frase apresentada como tema, e as palavras devem ser diferentes, e não sinônimas.

Frases-modelo, para o início da introdução:
Apresento, aqui, algumas frases que podem ajudar, para iniciar a introdução. Não tomem estas frases como receita infalível. Antes de usá-las, analise bem o tema, planeje incansavelmente o desenvolvimento, use sua inteligência, para ter certeza daquilo que será incluso em sua dissertação. Só depois disso, use estas frases:
É de conhecimento geral que ...
Todos sabem que, em nosso país, há tempos, observa- se ...
Nesse caso, utilizei circunstância de lugar (em nosso país) e de tempo (há tempos). Isso é só para mostrar que é possível acrescentar circunstância divesas na introdução, não necessariamente estas que aqui estão. Outro elemento com o qual se deve tomar muito cuidado é o pronome se. Nesse caso, ele é partícula apassivadora, portanto o verbo deverá concordar com o elemento que vier à frente (sing. ou pl.)
Cogita-se, com muita freqüência, de ...
O mesmo raciocínio da anterior, agora com a circunstância de modo (com muita freqüência).
Muito se tem discutido, recentemente, acerca de ...
Muito se debate, hoje em dia, ...
Partícula apassivadora novamente. Cuidado com a concordância.
O (A) ..... é de fundamental importância em ....
É de fundamental importância o (a) ....
É indiscutível que ... / É inegável que ...
Muito se discute a importância de ...
Comenta-se, com freqüência, a respeito de ...
Não raro, toma-se conhecimento, por meio de ..., de
Apesar de muitos acreditarem que .... (refutação)
Ao contrário do que muitos acreditam ... (refutação)
Pode-se afirmar que, em razão de ...( devido a, pelo ) ...
Ao fazer uma análise da sociedade, busca-se descobrir as causas de ....
Talvez seja difícil dizer o motivo pelo qual ...
Ao analisar o (a, os, as) ... , é possível conhecer o (a, os, as) .... , pois ...
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Como fazer uma boa redação

Dominar a arte da escrita é um trabalho que exige prática e dedicação. No entanto, conhecer seu lado teórico é muito importante. Aqui você encontra um resumo desta teoria. Aplique-a em seu trabalho mas não se esqueça: você precisará fazer a sua parte, isto é, escrever.
SIMPLICIDADE
Use palavras conhecidas e adequadas. Escreva com simplicidade. Para que se tenha bom domínio, prefira frases curtas. Amarre as frases, organizando as idéias. Cuidado para não mudar de assunto de repente. Conduza o leitor de maneira leve pela linha de argumentação.
CLAREZA
O segredo está em não deixar nada subentendido, nem imaginar que o leitor sabe o que você quer dizer. Evidencie todo o conteúdo da sua escrita. Lembre-se: você está comunicando a sua opinião, falando de suas idéias, narrando um fato. O mais importante é fazer-se entender.
OBJETIVIDADE
Você tem que expressar o máximo de conteúdo com o menor número de palavras possíveis. Por isso não repita idéias, não use palavras demais ou outras coisas que só para aumentem as linhas. Concentre-se no que é realmente necessário para o texto. A pesquisa prévia ajuda a selecionar melhor o que se deve usar.
UNIDADE
Não esqueça, o texto deve ter unidade, por mais longo que seja. Você deve traçar uma linha coerente do começo ao final do texto. Não pode perder de vista essa trajetória. Por isso, muita atenção no que escreve para não se perder e fugir do assunto. Eliminar o desnecessário é um dos caminhos para não se perder. Para não errar, use a seguinte ordem: introdução, argumentação e conclusão da idéia.
COERÊNCIA
A coerência (coesão) entre todas as partes de seu texto, é fator primordial para se escrever bem. É necessário que elas formem um todo. Para isso, é necessário estabelecer uma ordem para as idéias se completem e formem o corpo da narrativa. Explique, mostre as causas e as conseqüências.
EXEMPLOS
Obedecer uma ordem cronológica é um maneira de se acertar sempre, apesar de não ser criativa. Nesta linha, parta do geral para o particular, do objetivo para o subjetivo, do concreto para o abstrato. Use figuras de linguagem para que o texto fique interessante. As metáforas também enriquecem a redação.
ÊNFASE
Procure chamar a atenção para o assunto com palavras fortes, cheias de significado, principalmente no início da narrativa. Use o mesmo recurso para destacar trechos importantes. Uma boa conclusão é essencial para mostrar a importância do assunto escolhido. Remeter o leitor à idéia inicial é uma boa maneira de fechar o texto.
LEIA E RELEIA
Lembre-se, é fundamental pensar, planejar, escrever e reler seu texto. Mesmo com todos os cuidados, pode ser que você não consiga se expressar de forma clara e concisa. A pressa pode atrapalhar. Com calma, verifique se os períodos não ficaram longos, obscuros. Veja se você não repetiu palavras e idéias. Àmedida que você relê o texto, essas falhas aparecem, inclusive, erros de ortografia e acentuação. Não se apegue ao escrito. Refaça se for preciso. Não tenha preguiça, passe tudo a limpo quantas vezes forem necessárias. No computador, esta tarefa se torna mais fácil. Faça sempre uma cópia do texto original. Assim você se sentirá à vontade para corrigir quanto quiser, pois sabe que sempre poderá voltar atrás.