Fatoração

Casos Simples de Fatoração Algébrica


Como já aprendemos na Aritmética, todo número, não primo, pode ser decomposto em um produto de fatores primos. Assim, tem-se

30 = 2 X 3 X 5 ; 72 = 8 x 9 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 23 x 32

Da mesma forma, podemos decompor algumas expressões algébricas em fatores.

Assim, por exemplo : a2 - b2 = (a+b) (a - b) ; a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 ; 12a2b3 - 18ab2 = 6ab2(2ab - 3)

O processo pelo qual transformamos uma adição algébrica em um produto algébrico denominamos fatoração algébrica, ou
simplesmente, fatoração.

No estudo da fatoração são conhecidos vários casos. Vamos estudá-los, classificando-os, para uma melhor compreensão.

Primeiro Caso de Fatoração : Evidenciação


Consideremos o polinômio 6ax2 - 4ax3 + 2ax, que pode ser escrito como :

(2ax).(3x) - (2ax).(2x) + (2ax).(1). Percebemos que o fator 2ax esta presente em todos os termos do polinômio. 2ax é o fator comum e
deverá ser colocado em evidência. Assim :

6ax2 - 4ax3 + 2ax = (2ax) (3x - 2x2 + 1)

Exemplo 01) Fatorar o polinômio 7m2p4 - 14m3p2 + 21m4p3

Colocando o fator comum 7m2p2 em evidência, teremos :

7m2p4 - 14m3p2 + 21m4p3 = 7m2p2 ( p2 - 2m + 3m2p)

Exemplo 02) Fatorar o polinômio 2m3(a - b) + 8m2( a - b)

Colocando o fator comum 2m2(a - b) em evidência, teremos :

2m3(a - b) + 8m2( a - b ) = [2m2(a - b)] ( m + 4) = 2m2(a - b)( m + 4)

Segundo Caso de Fatoração : Trinômio Quadrado Perfeito


Já aprendemos em produtos notáveis que :

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 e (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
O que faremos agora é transformarmos a soma algébrica a2 ± 2ab + b2 em sua forma fatorada (a ± b)2.
E para tal precisamos compreender que um trinômio será quadrado perfeito quando possuir dois de seus três termos quadrados e o
terceiro sendo igual ao dobro do produto entre as raízes quadradas dos termos quadrados.

Exemplo 03) Se possível, fatore o polinômio 4m2 + 12mn2 + 9n4

O polinômio possui dois termos quadrados 4m2 e 9n4, e cujas raízes quadradas são, respectivamente, 2m e 3n2. O dobro do
produto entre essas raízes é exatamente igual ao terceiro termo 12mn2.

E dessa forma o polinômio 4m2 + 12mn2 + 9n4 é um trinômio quadrado perfeito e pode, portanto ser fatorado.

A raiz quadrada do primeiro termo quadrado é 2m, a raiz do segundo termo quadrado é 3n2 e o sinal que os une será o sinal do
terceiro termo + 12mn2. Dessa forma, teremos :

4m2 + 12mn2 + 9n4 = ( 2m + 3n2)2

Exemplo 04) Se possível, fatore o polinômio 16x4 + 36x2y3 + 25y6

O polinômio possui dois termos quadrados 16x4 e 25y6, e cujas raízes quadradas são, respectivamente, 4x2 e 5y3. O dobro do produto
entre essas raízes é igual a 40x2y3 que é diferente do terceiro termo 36x2y3.

E dessa forma o polinômio 16x4 + 36x2y3 + 25y6 não é um trinômio quadrado perfeito e não pode, portanto, ser fatorado, pelo menos
como um trinômio quadrado perfeito.

Exemplo 05) Se possível, fatore o polinômio 36 - 132p6n + 121p12n

O polinômio possui dois termos quadrados 36 e 121p12n, e cujas raízes quadradas são, respectivamente, 6 e 116n. O dobro do produto
entre essas raízes é exatamente igual ao terceiro termo 132p6n.

E dessa forma o polinômio 36 - 132p6n + 121p12n é um trinômio quadrado perfeito e pode, portanto, ser fatorado.

A raiz quadrada do primeiro termo quadrado é 6, a raiz do segundo termo quadrado é 11p6n e o sinal que os une será o sinal do terceiro
termo - 132p6n, Dessa forma, teremos :

36 - 132p6n + 121p12n = ( 6 - 11p6n)2

Terceiro Caso de Fatoração : Diferença de Dois Quadrados


Já aprendemos em produtos notáveis que :

(a + b) (a - b) = a2 - b2
O que faremos agora é transformarmos a diferença algébrica a2 - b2 em sua forma fatorada (a + b) (a - b). E para tal precisamos extrair
as raízes quadradas de ambos os termos e montarmos com essas raízes a sua soma multiplicada por sua diferença.

Exemplo 06) Fatore o binômio 64x2 - 25y8

O binômio é uma diferença de dois quadrados 64x2 e 25y8, e cujas raízes quadradas são, respectivamente, 8x e 5y4.

Montando a soma (8x + 5y4) e a diferença (8x - 5y4) e as multiplicando, teremos nossa fatoração concluída. Assim :

64x2 - 25y8 = (8x + 5y4) (8x - 5y4)

Exemplo 07) Fatore 81 - 0,49k6

O binômio é uma diferença de dois quadrados 81 e 0,49k6, e cujas raízes quadradas são, respectivamente, 9 e 0,7k3.

Montando a soma (9 + 0,7k3) e a diferença (9 - 0,7k3) e as multiplicando, teremos nossa fatoração concluída. Assim :

81 - 0,49k6 = (9 + 0,7k3) (9 - 0,7k3)

Veja que interessante: Já sabemos que 49 - 25 = 24.

Vamos fazer essa diferença entre dois quadrados utilizando a fatoração, que acabamos de aprender:
49 - 25 = (7 + 5) ( 7 - 5 ) = 12 x 2 = 24 ( deu, é claro, o mesmo resultado )

Quarto Caso de Fatoração : Trinômio de Stevin


Já aprendemos em produtos notáveis que :

(a + b) (a + c) = a2 + (b + c)a + bc, que podemos escrever como : a2 + Sa + P, onde S é a soma dos termos não comuns e P o seu
produto.

O que faremos agora é transformarmos a soma algébrica a2 + Sa + P em sua forma fatorada (a + b) (a + c).

E para tal precisamos extrair a raiz quadrada do termo quadrado e descobrirmos dois número cuja soma seja S e cujo produto seja P. e
verificarmos se a soma aparece multiplica pela raiz quadrada do termo comum.

Só com alguns exemplos poderemos entender melhor esse tipo de fatoração. Vamos a eles.

Exemplo 08) Fatore o trinômio k2 + 8k + 15

Extraindo a raiz quadrada do termo quadrado k2, teremos k. Vamos descobrir agora dois números que somados sejam iguais a 8 e
multiplicados sejam iguais a 15. Esses números serão 3 e 5, já que: 3 + 5 = 8 e 3 x 5 = 15. Percebemos, também, que a soma 8 aparece
multiplicada pela raiz quadrada k de k2.

Assim : k2 + 8k + 15 = (k + 3) (k + 5)

Exemplo 09) Fatore o trinômio m4 - 6m2 + 8

Extraindo a raiz quadrada do termo quadrado m4, teremos m2. Vamos descobrir agora dois números que somados sejam iguais a - 6 e
multiplicados sejam iguais a 8. Esses números serão - 2 e - 4 , já que: - 2 + - 4 = - 6 e (- 2) x (- 4) = + 8. Percebemos, também, que a
soma - 6 aparece multiplicada pela raiz quadrada m2 de m4.

Assim : m4 - 6m2 + 8 = (m2 - 2) (m2 - 4)

Exemplo 10) Fatore o trinômio 25y6 + 20y3 - 21

Extraindo a raiz quadrada do termo quadrado 25y6, teremos 5y3. Vamos descobrir agora dois números que somados sejam iguais a + 4,
lembremos que a raiz de 9y6, está presente nesse termo, assim, 20y3 : 5y3 = 4 e multiplicados sejam iguais a - 21.

Esses números serão - 3 e + 7 , já que: - 3 + 7 = 4 e (- 3) x (+ 7) = - 21. Percebemos, como já vimos, que a soma + 4 aparece
multiplicada pela raiz quadrada 5y3 de 25y6.

Assim : 25y6 + 20y3 - 21 = (5y3 + 7) (5y3 - 3)

Exemplo 11) Fatore o trinômio 4p8 - 8p4a - 5a2

Extraindo a raiz quadrada do termo quadrado 4p8, teremos 2p4. Vamos descobrir agora dois números que somados sejam iguais a - 4a,
lembremos que a raiz de 4p8, está presente nesse termo, assim, - 8p4a : 2p4 = 4a e multiplicados sejam iguais a - 5a2.

Esses números serão - 5a e + 1a , já que: - 5a + 1a = 4a e (- 5a) x (+ a) = - 5a2. Percebemos, como já vimos, que a soma + 4a aparece
multiplicada pela raiz quadrada 2p4 de 4p8.

Assim : 4p8 - 8p4a - 5a2 = (2p4 + a) (2p4 - 5a)

Quinto Caso de Fatoração : Soma de Dois Cubos


Um binômio soma da forma x3 + y3 pode ser fatorado em um produto da forma:

x3 + y3 = (x + y) ( x2 - xy + y2)

A melhor forma para fatorarmos uma soma de dois cubos é compreendermos que um dos fatores será a soma das raízes cúbicas dos
termos cúbicos originais, e a partir dele, montarmos o outro fator que será o quadrado do primeiro menos o produto entre o primeiro e
o segundo mais ( sempre mais ) o quadrado do segundo. Só praticando entenderemos esse caso fatoração.

Exemplo 12) Fatore a soma de dois cubos 8p6 + 125

Como ambos são termos cúbicos, essa soma poderá ser fatorada.

A raiz cúbica de 8p6 é 2p2 e a raiz cúbica de 125 é 5. Assim já temos o nosso primeiro fator (2p2 + 5)

A partir dele montaremos o nosso segundo fator. O quadrado de 2p2 é 4p4 ; o produto entre 2p2 e 5 é 10p2 e o quadrado do
segundo é 52 = 25. E dessa forma, teremos:

8p6 + 125 = (2p2 + 5) ( 4p4 - 10p2 + 25)

Exemplo 13) Fatore 27x3y9 + 64z6

Como ambos são termos cúbicos, essa soma poderá ser fatorada.

A raiz cúbica de 27x3y9 é 3xy3 e a raiz cúbica de 64z6 é 4z3.

Assim já temos o nosso primeiro fator (3xy3 + 4z2)

A partir dele montaremos o nosso segundo fator. O quadrado de 3xy3 é 9x2y6 ; o produto entre 3xy3 e 4z2 é 12xy3z2 e o quadrado do
segundo é (4z2)2 = 16z4.

E dessa forma, teremos: 27x3y9 + 64z6 = (3xy3 + 4z2) (9x2y6 - 12xy3z2 + 16z4)

Sexto Caso de Fatoração : Diferença de Dois Cubos


Um binômio diferença da forma x3 - y3 pode ser fatorado em um produto da forma:

x3 - y3 = (x - y)( x2 + xy + y2)

A melhor forma para fatorarmos uma diferença de dois cubos é compreendermos que um dos fatores será a diferença das raízes
cúbicas dos termos cúbicos originais, e a partir dele, montarmos o outro fator que será o quadrado do primeiro mais o produto entre o
primeiro e o segundo mais ( sempre mais ) o quadrado do segundo. Só praticando entenderemos esse caso fatoração.

Exemplo 14) Fatore a diferença de dois cubos 216p3 - 125m6

Como ambos são termos cúbicos, essa diferença poderá ser fatorada.

A raiz cúbica de 216p3 é 6p e a raiz cúbica de 125 m6 é 5m2. Assim já temos o nosso primeiro fator (6p - 5m2)

A partir dele montaremos o nosso segundo fator. O quadrado de 6p é 36p2 ; o produto entre 6p e 5m2 é 30pm2 e o quadrado do segundo
é (5m2)2 = 25m4.

E dessa forma, teremos: 216p3 - 125m6 = (6p - 5m2) ( 36p2 + 30pm2 + 25m4)

Sétimo Caso de Fatoração : Agrupamento


Quando em um polinômio dois ou mais termos possuem um termo comum que evidenciado faz aparecer um termo comum à fatoração
dos demais termos. Só com alguns exemplos podemos compreender melhor esse caso de fatoração.

Por essa razão o deixamos como o último caso de fatoração.

Exemplo 15) Fatore o polinômio ac + ad + bc + bd (1ª resolução )

Se colocarmos, nos dois primeiros termos, o fator comum a em evidência e colocarmos, nos dois últimos termos, o fator comum b em
evidência, teremos :

ac + ad + bc + bd = a(c + d) + b( c + d). E colocando o novo fator comum (c + d) em evidência, teremos :

ac + ad + bc + bd = a(c + d) + b(c + d) = (c + d) (a + b)

Exemplo 16) Fatore o polinômio ac + ad + bc + bd (2ª resolução )

Vamos agrupar agora o primeiro e o terceiro termo e, também, o segundo e o quarto termo.

ac + ad + bc + bd = ac + bc + ad + bd

Se colocarmos, nos dois primeiros termos, o fator comum c em evidência e colocarmos, nos dois últimos termos, o fator comum d em
evidência, teremos :

ac + bc + ad + bd = c(a + b) + d(a + b)

E colocando o novo fator comum (a + b) em evidência, teremos :

ac + bc + ad + bd = c(a + b) + d(a + b) = (a + b) (c + d)

Exemplo 17) Fatore o polinômio 2am + an - 6bm - 3bn

Se colocarmos, nos dois primeiros termos, o fator comum a em evidência e colocarmos, nos dois últimos termos, o fator comum - 3b em
evidência, teremos :

2am + an - 6bm - 3bn = a(2m + n) - 3b(2m + n).

E colocando o novo fator comum (2m + n) em evidência, teremos :

2am + an - 6bm - 3bn = a(2m + n) - 3b(2m + n) = (2m + n) (a - 3b)

Exemplo 18) Fatore 3a2x - 2b2 + 2a2 - 3b2x

Reagrupando o polinômio, teremos : 3a2x - 3b2x + 2a2 - 2b2
Se colocarmos, nos dois primeiros termos, o fator comum 3x em evidência e colocarmos, nos dois últimos termos, o fator comum 2 em
evidência, teremos :

3a2x - 3b2x + 2a2 - 2b2 = 3x(a2 - b2) - 2(a2 - b2)

E colocando o novo fator comum (a2 - b2) em evidência, teremos :

3a2x - 3b2x + 2a2 - 2b2 = 3x(a2 - b2) - 2(a2 - b2) = (a2 - b2) (3x - 2)
E como o fator (a2 - b2) é fatorável e igual a (a + b) (a - b), teremos, finalmente :

3a2x - 3b2x + 2a2 - 2b2 = 3x(a2 - b2) - 2(a2 - b2) = (a2 - b2) (3x - 2) = (a + b) (a - b) (3x - 2)

Com isso, apresentamos os mais importantes casos de fatoração. Alguns exercícios resolvidos e um pouco mais complexos,
nos ajudarão no entendimento desse assunto da Álgebra, que é um dos que mais dificuldades apresenta aos alunos.

Exercícios Resolvidos de Fatoração Algébrica


Exemplo 19) Fatore c2 - 2bc - a2 + b2

Reagrupando o polinômio, teremos : b2 - 2bc + c2 - a2 = (b2 - 2bc + c2) - a2

O trinômio b2 - 2bc + c2 pode ser fatorado como : (b - c)2

E dessa forma, teremos a diferença de dois quadrados (b - c)2 - a2, e finalmente, teremos :

(b - c)2 - a2 = (b - c + a) (b - c - a)

Exemplo 20) Fatore: 5m8 + 10m4 - 15

Percebemos que o fator 5 pode ser evidenciado, Assim:

5m8 + 10m4 - 15 = 5(m8 + 2m4 - 3)

O trinômio m8 + 2m4 - 3 não é um trinômio quadrado perfeito, mas poderá ser um trinômio de Stevin.
E realmente o é, pois os números 3 e -1, têm por soma 2 e por produto - 3, e a soma aparece multiplicada pela raiz quadrada m4 de m8.

Dessa forma, teremos : 5m8 + 10m4 - 15 = 5(m8 + 2m4 - 3) = 5(m4 + 3) (m4 - 1)

E como (m4 - 1) = (m2 + 1) (m2 - 1) , e como (m2 - 1) (m + 1)(m - 1) teremos : 5m8 + 10m4 - 15 = 5(m4 + 3)(m2 + 1)(m + 1)(m - 1)

Exemplo 21) Fatore: (x - y)2 + 2(y - x) - 24

Antes de mais nada, lembremos que (x - y)2 = (y - x)2 ( verifique se isso é verdade )

Com isso podemos escrever a expressão dada como : (y - x)2 + 2(y - x) - 24

Para facilitar o reconhecimento do caso de fatoração, chamemos o binômio (y - x) de A, então :

(y - x)2 + 2(y - x) - 24 = A2 + 2A - 24

O trinômio não é quadrado perfeito, mas parece ser de Stevin.
Verificando, percebemos que os números - 4 e + 6 têm por soma + 2 e por produto - 24 e a soma + 2 aparece multiplicada pela raiz
quadrada A de A2.

E assim : A2 + 2A - 24 = (A + 6) (A - 4) e como A = y - x, finalmente teremos: (x - y)2 + 2(y - x) - 24 = (y - x + 6) (y - x - 4)

Exemplo 22) Fatore x6 - y6

1ª Resolução: Considerando uma diferença de dois cubos

Como ambos são termos cúbicos, essa diferença poderá ser fatorada.
A raiz cúbica de x6 é x2 e a raiz cúbica de y6 é y2. Assim já temos o nosso primeiro fator x2 - y2
A partir dele montaremos o nosso segundo fator. O quadrado de x2 é x4 ; o produto entre x2 e y2 é x2y2 e o quadrado do
segundo é y2 é y4.

E dessa forma, teremos:

x6 - y6 = (x2 - y2) ( x4 + x2y2 + y4). Como a diferença de quadrados (x2 - y2) ainda pode ser fatorado, teremos :

x6 - y6 = (x + y) (x - y) ( x4 + x2y2 + y4).

Se escrevermos o trinômio ( x4 + x2y2 + y4) de uma outra forma, perceberemos que ele também poderá ser fatorado. Vejamos :

x4 + x2y2 + y4 = x4 + 2x2y2 + y4 - x2y2 = (x2 + y2)2 - x2y2, que é uma diferença de dois quadrados.

Assim : (x2 + y2)2 - x2y2 = ( x2 + y2 + xy) ( x2 + y2 - xy) = ( x2 - xy + y2) ( x2 + xy + y2). E finalmente :

x6 - y6 = (x + y) (x - y) ( x2 - xy + y2) ( x2 + xy + y2)

2ª Resolução: Considerando uma diferença de dois quadrados. Como ambos são quadrados, temos uma diferença de dois quadrados.

A raiz quadrada de x6 é x3 e a raiz quadrada de y6 é y3.

Assim já temos o nosso primeiro fator (x3 + y3) e o segundo fator (x3 - y3).

Assim, teremos : x6 - y6 = (x3 + y3) (x3 - y3) .
Como a soma e a diferença de dois cubos (x3 + y3) e (x3 - y3) ainda podem ser fatorados, teremos :

x6 - y6 = (x3 + y3) (x3 - y3) = (x + y) ( x2 - xy + y2) (x - y) ( x2 + xy + y2) , ou ainda :

x6 - y6 = (x + y) (x - y) ( x2 - xy + y2) ( x2 + xy + y2)

OBSERVAÇÃO MUITO IMPORTANTE

Sempre que fatoramos uma expressão algébrica ou quando efetuamos um produto notável devemos utilizar o sinal de identidade
que é uma ampliação do conceito de igualdade.

Vamos entender melhor essa diferenciação:

Quando afirmamos que 3x + 4 = 19, sabemos que apenas o valor de x = 5 tornará verdadeira essa sentença.
Nesse caso utilizaremos o sinal de igualdade.

Quando afirmamos que 2(x + 3) = 2x + 6, percebemos que qualquer valor de x, torna essa sentença verdadeira.
Nesse caso devemos utilizar o sinal de identidade .

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