Mostrando postagens com marcador Algébra Linear. Mostrar todas as postagens

sexta-feira, 3 de setembro de 2021

Cálculo de autovalores e autovetores

Seja A a matriz da transformação T:V → V. A matriz A deve ser, portanto, uma matriz quadrada (n x n). Conforme já visto, para um autovalor λ e um autovetor v,

T(v) = λ v. De outra forma,

A v = λ v #A.1#

Considerando I a matriz unitária (ou matriz identidade), pode-se escrever λ v = λ I v. Substituindo na anterior e reagrupando,

λ I v − A v = 0. De outra forma,

(λ I − A) v = 0 #B.1#

Seja a função:

f(λ) = det (λ I − A) #C.1#

Ela é denominada função característica da matriz A.

Para solução não nula de #B.1#, deve-se ter o determinante nulo:

det (λ I − A) = 0 #D.1#

Resolvendo a equação acima, obtém-se os valores de λ que, substituídos em #A.1#, permitem a determinação dos autovetores.

Exemplo: são dados:

• matriz 3x3 A, para a qual se deseja calcular os autovalores.

• λ I, que é o produto do escalar λ pela matriz unitária I 3x3.

Matrizes para autovalores

A matriz da diferença λ I − A é

O seu determinante é calculado pelas relações a seguir.

det (λ I − A) = (λ − 2) [ (λ − 3) (λ + 2) − (1) (−4) ] − (−1) [ (−2) (λ + 2) − (1) (−4) ] + (−1) [ (−2) (1) − (1) (λ − 3) ].

det (λ I − A) = [ (λ − 2) (λ − 3) (λ + 2) + 4λ − 8 ] + [−2λ ] − [−λ − 1].

det (λ I − A) = (λ − 2) (λ − 3) (λ + 2) + 3 (λ − 3).

det (λ I − A) = (λ − 3) [ (λ − 2) (λ + 2) + 3 ].

det (λ I − A) = (λ − 3) [ λ² − 4 + 3 ] = (λ − 3) [ λ² − 1 ].

Expandindo o último termo e igualando a zero conforme #D.1#,

det (λ I − A) = (λ − 3) (λ + 1) (λ − 1) = 0.

As soluções dessa equação do terceiro grau são claramente:

λ =  1
λ = −1
λ =  3

Aplica-se agora a igualdade #A.1# para o valor de λ = 1.

Matrizes para cálculo de autovetores

Essa relação matricial pode ser transformada em um sistema de equações lineares através do desenvolvimento do produto das matrizes e posterior simplificação.

Equações lineares para autovalores

Somando a primeira com a terceira equação, v3 = 0. Substituindo nas demais, chega-se ao resultado

v1 + v2 = 0

Ou

v1 = − v2

Há infinitas soluções e pode-se dizer que o vetor é dado por v = α (1, −1, 0) onde α é um escalar não nulo qualquer. Portanto, para o autovalor λ = 1, os autovetores são da forma:

α (1, −1, 0) com α ≠ 0.

Procedimento idêntico pode ser usado para os demais valores de λ.
fonte:http://www.mspc.eng.br/mam

quinta-feira, 23 de julho de 2020

Transformações Lineares

1. Se T : V → W é uma transformação linear, mostre que:
(a) Ker(T) é um subespaço de V . (b) Im(T) é um subespaço de W.
Solução:

Agora, somando-se membro a membro estas duas equações vetoriais, vem

fazendo v = λu ∈ V . Isto é, existe v ∈ V tal que λw = T(v), basta tomarmos v = λu ∈ V e, portanto, λw ∈ Im(T). Daí, concluímos que Im(T) é um subespaço vetorial de W.
(a) Determine uma base do núcleo de T. (b) Dê a dimensão da imagem de T. (c) T é sobrejetora? Justiﬁque. (d) Faça um esboço de Ker(T) e Im(T).
Solução:

(c) Não. A imagem não é igual ao contradomínio já que DimIm(T) = 2 e o contradomínio tem dimensão 3.
3. No plano, uma rotação anti-horária de 45◦ é seguida por uma dilatação de √ 2. Ache a aplicação
A que representa esta trasnformação do plano.
Solução:
sinθ cosθ
Que pode ser escrito como uma transformação:

Uma dilatação D de √
2(x,y). Como queremos dilatar a transformação R, teremos

Solução: Escreva
Aplicando T e sabendo que ela é linear, temos:

α1 = α2 =

= αm = 0.

Solução: (a) Podemos escrever essa transformação na forma:

(b) Para a imagem, teremos

6. Mostrar que a matriz do operador linear indentidade
I : Rn → Rn,I(v) = v em uma base qualquer, é a matriz identidade n × n.
Solução:

T(v1) = 1 · v1 + 0 · v2 +	0 · vn
T(v2) = 0 · v1 + 1 · v2 +	+ 0 · vn

T(vn) = 0 · v1 + 0 · v2 +

+ 1 · vn

Daí, a matriz de transformação será

Solução: Escreva a combinação

a1 · Tu1 + a2 · Tu2 +

+ ak · Tuk = 0(= T(0))

T(a1 · u1 + a2 · u2 +

+ ak · uk) = T(0).

Como T é linear,

a1 · u1 + a2 · u2 +	+ ak · uk = 0.
Como u1,u2,...,uk são vetores LI, teremos a1 = a2 =	= ak = 0, e portanto {T(u1),...,T(uk)}

Sendo T injetiva, é L.I.
(d) Ache a transformação linear P : R2 → R2 tal que P = S ◦ T
Solução:

ou seja,
(c)

ou seja,
(d)
Solução:

10. Seja T : V → W uma transformação. Mostre que se T é linear, então T(0) = 0.

fonte http://www.ebah.com.br

sexta-feira, 22 de maio de 2020

Vetores

segunda-feira, 17 de fevereiro de 2020

Vetores Exercícios

Esse é o blog de Antonio Carneiro, Professor e Articulador do gestar de Matemática do Estado da
Bahia no Colégio Est. Dinah Gonçalves em Valéria, Salvador-bahia e Biologia na rede privada.
graduado Em Ciências Naturais UFBA e pós graduado em Metodologia de Ensino Superior pela
Faculdade São Bento. visite meus blogs http://accbarrosogestar.blogspot.com.br e
accbarroso60.wordpress.com ou o site www.profantoniocarneiro.com www.accbarrosogestar.wordpress.com
Vetores
1) determine x para que se tenha AB=CD sendo A(x,1) B(4,x+3) C (x,x+2) e D (2x,x+6)
Resolução AB=CD
B-A= D-C
(4-x;x+3-1) = (2x-x;x+6-x-2)
4-x=x oux+2=4
fica x=2
2) Escreva o vetor (7,-1) como a soma de dois vetores, um paralelo ao vetor (1,-1) e outro paralelo
ao vetor (1,1)
resolvendo sabemos que A+B =(7,-1)
A=(y,-y)
B= (x,x) logo temos x+y=7 e x-y=-1 resolvendo o sistema x=3 e y =4
3) dados A (-1,-1) B=(3,5) Determine C tal que:
a) AC=AB:2
resolvendo
C-A = (B-A):2
C=(B_A):2 +A
C=(1,2)
b)AC=2(AB):3
C-A=2(B-A):3
C=2(B-A):3+A
C=(8/3,3)
4)Sendo A (-2,1,3) e B(6,-7,1) os pontos C,D,E nesta ordem divide AB em 4 partes iguais
resolvendo se divide em 4 partes iguais AB =4AC
B-A =4(C-A)
(8,-8,-2) =4(x+2;y-1;4z-12)
igualando os elementos temos x=0
y=-1 e z=5/2
logo C=(0,-1,5/2)
5)Sejam os pontos M(1,-2,-2) e P (0,-1,2). Determine um vetor V colinear a PM e tal que módulo
de v =√3
Resolvendo
PM= P-M = (-1,1,4)
v+(a,b,c)
como módulo de v =√3
módulo a^2 +b^2+c^2 =3
por ser colineares são multiplos logo
v=a (-1,1,4) v+ (-a,a,4a) a é uma constante
resolvendo a = √6/6
v=√6/6 (-1,1,4)

quinta-feira, 13 de fevereiro de 2020

Transformações Lineares

F:R R definida por F(x)=2x é linear.

F(x+y) = 2(x+y) = 2x+2y = F(x)+F(y)

F(k.x) = 2(kx) = 2.k.x=k(2x) = k.F(x)
F:R R definida por F(x)=0 é linear.

F(x+y) = 2(0) = 0 = 0+0 = F(x)+F(y)

F(k.x) = 0 = k.0 = k.F(x)
F:R R definida por F(x)=ax é linear.

F(x+y) = a(x+y) = ax+ay = F(x)+F(y)

F(k.x) = a(kx) = a.k.x = k(ax) = k.F(x)
F:R R² definida por F(x)=x(a,b) sendo a R e b R.

F(x+y) = (a(x+y),b(x+y)) = (ax+ay,bx+by)

= (ax,bx)+(ay,by) = F(x)+F(y)

F(k.x) = x(ak,bk) = (akx,bkx) = k.(ax,bx) = k.F(x)

F(x+y)	=	2(x+y) = 2x+2y = F(x)+F(y)
F(k.x)	=	2(kx) = 2.k.x=k(2x) = k.F(x)

F(x+y)	=	2(0) = 0 = 0+0 = F(x)+F(y)
F(k.x)	=	0 = k.0 = k.F(x)

F(x+y)	=	a(x+y) = ax+ay = F(x)+F(y)
F(k.x)	=	a(kx) = a.k.x = k(ax) = k.F(x)

F(x+y)	=	(a(x+y),b(x+y)) = (ax+ay,bx+by)
	=	(ax,bx)+(ay,by) = F(x)+F(y)
F(k.x)	=	x(ak,bk) = (akx,bkx) = k.(ax,bx) = k.F(x)

F:R²

R definida por F(x,y)=2x+3y é linear.
Se u=(x₁,y₁)

R², v=(x₂,y₂)

R² e w = (x,y)

R², então

F(u+v)	=	F((x₁,y₁)+(x₂,y₂)) = F(x₁+x₂, y₁+y₂)
	=	2(x₁+x₂)+3(y₁+y₂) = (2x₁+2x₂)+(3y₁+3y₂)
	=	(2x₁+3y₁)+(2x₂+3y₂) = F(x₁,y₁) + F(x₂,y₂)
	=	F(u)+F(v)
F(k.w)	=	F(k(x,y)) = F(kx,ky) = 2(kx)+3(ky)
	=	(2kx)+(3ky) = k.(2x+3y) = k.F(x,y) = k.F(w)

F:R²

R definida por F(x,y)=ax+by, onde a

R e b

R.
Se u=(x₁,y₁)

R², v=(x₂,y₂)

R² e w=(x,y)

R², então

F(u+v)	=	F((x₁,y₁)+(x₂,y₂)) = F(x₁+x₂,y₁+y₂)
	=	a(x₁+x₂)+b(y₁+y₂) = (ax₁+ax₂)+(by₁+by₂)
	=	(ax₁+by₁)+(ax₂+by₂) = F(x₁,y₁)+F(x₂,y₂)
	=	F(u)+F(v)
F(k.w)	=	F(k(x,y)) = F(kx,ky) = a(kx)+b(ky)
	=	(akx)+(bky) = k.(ax+by) = k.F(x,y) = k.F(w)

A identidade I:R²R² definida por I(x,y)=(x,y).
Sejam u=(x,y)R² e v=(w,z)R², segue que

I(u+v) = I((x,y)+(w,z)) = I(x+w,y+z) = (x+w,y+z)

= (x,y)+(w,z) = I(x,y) + I(w,z) = I(u)+I(v)

I(k.v) = I.(k(x,y)) = I.(kx,ky) = (kx,ky) = k.(x,y) = k.I(x,y) = k.I(u)

I(u+v)	=	I((x,y)+(w,z)) = I(x+w,y+z) = (x+w,y+z)
	=	(x,y)+(w,z) = I(x,y) + I(w,z) = I(u)+I(v)
I(k.v)	=	I.(k(x,y)) = I.(kx,ky) = (kx,ky) = k.(x,y) = k.I(x,y) = k.I(u)

F:R²

R² definida por F(x,y)=(ax,by).
Tomando u=(x₁,y₁)

R², v=(x₂,y₂)

R² e w=(x,y)

R², segue

F(u+v)	=	F((x₁,y₁)+(x₂,y₂)) = F(x₁+x₂,y₁+y₂)
	=	(a(x₁+x₂),b(y₁+y₂)) = (a x₁+a x₂, b y₁+b y₂)
	=	(a x₁, b y₁)+(a x₂, b y₂) = F(x₁,y₁)+F(x₂,y₂)
	=	F(u)+F(v)
F(k.w)	=	F(kx,ky) = (a(kx),b(ky))
	=	(axb,byk)= k(ax,by) = k F(x,y) = k F(w)

F:R²R² definida por F(x,y)=(0,0).
Para u=(x₁,y₁)R², v=(x₂,y₂)R² e w=(x,y)R².

F(u+v) = F((x₁,y₁)+(x₂,y₂)) = F(x₁+x₂, y₁ +y₂) = 0

= 0+0 = F((x₁,y₁))+F((x₂,y₂)) = F(u)+F(v)

F(k.w) = F(k(x,y) = F(kx,ky) = 0=k.0=k F(x,y) = k F(w)

F(u+v)	=	F((x₁,y₁)+(x₂,y₂)) = F(x₁+x₂, y₁ +y₂) = 0
	=	0+0 = F((x₁,y₁))+F((x₂,y₂)) = F(u)+F(v)
F(k.w)	=	F(k(x,y) = F(kx,ky) = 0=k.0=k F(x,y) = k F(w)

F:R²

R² definida por F(x,y)=(x+y,x−y).
Tomando u=(x₁,y₁)

R², v=(x₂,y₂)

R² e w=(x,y)

R²

F(u+v)	=	F((x₁,y₁)+(x₂,y₂)) = F(x₁+x₂,y₁+y₂)
	=	((x₁+x₂)+(y₁+y₂),(x₁+x₂)−(y₁+y₂))
	=	(x₁+y₁,x₁−y₁)+(x₂+y₂,x₂−y₂)
	=	F(x₁,y₁) + F(x₂,y₂) = F(u)+F(v)
F(k.w)	=	F(kx,ky) = ((kx+ky),(kx−ky)) = (k(x+y), k(x−y))
	=	k (x+y,x−y) = k F(x,y) = k F(w)

F:R²

R² definida por F(x,y)=(ax+by,cx+dy).
Se u=(x₁,y₁)

R², v=(x₂,y₂)

R² e w=(x,y)

R², então

F(u+v)	=	F((x₁,y₁)+(x₂,y₂)) = F(x₁+x₂, y₁+y₂)
	=	(a(x₁+x₂)+b(y₁+y₂),c(x₁+x₂)+d(y₁+y₂))
	=	(ax₁+ax₂+by₁+by₂, cx₁+cx₂+dy₁+dy₂)
	=	(ax₁+by₁, cx₁+dy₁)+(ax₂+by₂, cx₂+dy₂)
	=	F(x₁,y₁) + F(x₂,y₂) = F(u)+F(v)
F(k.w)	=	F(kx,ky) = (a(kx)+b(ky),c(kx)+d(ky))
	=	(akx+bky, ckx+dky) = k (ax+by, cx+dy)
	=	k F(x,y) = k F(w)

F:R²

R³ definida por F(x,y)=(ax,by,cx+dy).
Se u=(x₁,y₁)

R², v=(x₂,y₂)

R² e w=(x,y)

R², então

F(u+v)	=	F((x₁,y₁)+(x₂,y₂)) = F(x₁+x₂, y₁+y₂)
	=	(a(x₁+x₂),b(y₁+y₂),c(x₁+x₂)+d(y₁+y₂))
	=	(ax₁+ax₂,by₁+by₂, cx₁+cx₂+dy₁+dy₂)
	=	(ax₁, by₁,cx₁+dy₁)+(ax₂,by₂,cx₂+dy₂)
	=	F(x₁,y₁) + F(x₂,y₂) = F(u)+F(v)
F(k.w)	=	F(kx,ky) = (a(kx),b(ky),c(kx)+d(ky))
	=	(akx, bky, ckx+dky) = k(ax,by,cx+dy)
	=	k F(x,y) = k F(w)

F:R²R³ definida por F(x,y)=(0,0,0).
Se u=(x₁,y₁)R², v=(x₂,y₂)R² e w=(x,y)R², então

F(u+v) = F((x₁,y₁)+(x₂,y₂)) = F(x₁+x₂, y₁ +y₂) = 0

= 0+0 = F((x₁,y₁)) + F((x₂,y₂)) = F(u)+F(v)

F(k.w) = F(k(x,y)) = F(kx,ky) = 0 = k.0 = k F(x,y) = k F(w)

F(u+v)	=	F((x₁,y₁)+(x₂,y₂)) = F(x₁+x₂, y₁ +y₂) = 0
	=	0+0 = F((x₁,y₁)) + F((x₂,y₂)) = F(u)+F(v)
F(k.w)	=	F(k(x,y)) = F(kx,ky) = 0 = k.0 = k F(x,y) = k F(w)

F:R²

R³ definida por F(x,y)=(ay,bx,0).
Se u=(x₁,y₁)

R², v=(x₂,y₂)

R² e w=(x,y)

R², então

F(u+v)	=	F((x₁,y₁)+(x₂,y₂)) = F(x₁+x₂,y₁+y₂)
	=	(a(y₁+y₂),b(x₁+x₂),0) = (ay₁+ay₂,bx₁+bx₂,0)
	=	(ay₁,cx₁,0) + (ay₂,bx₂,0) = F(x₁,y₁) + F(x₂,y₂)
	=	F(u)+F(v)
F(k.w)	=	F(kx,ky) = (a(ky),b(kx),0) = (aky, bkx,0)
	=	k(ay,bx,0) = k F(x,y) = k F(w)

F:R²

R³ definida por F(x,y)=(x+y,0,0).
Se u=(x₁,y₁)

R², v=(x₂,y₂)

R² e w=(x,y)

R², então

F(u+v)	=	F((x₁,y₁)+(x₂,y₂)) = F(x₁+x₂,y₁+y₂)
	=	((x₁+x₂)+(y₁+y₂),0,0)
	=	(x₁+y₁,0,0) +(x₂+y₂,0,0)
	=	F(x₁,y₁) + F(x₂,y₂) = F(u)+F(v)
F(k.w)	=	F(kx,ky) = (kx+ky,0,0)
	=	k(x+y,0,0) = k F(x,y) = k F(w)

F:R²

R³ definida por F(x,y)=(ax+by,0,0).
Se u=(x₁,y₁)

R², v=(x₂,y₂)

R² e w=(x,y)

R², obteremos:

F(u+v)	=	F((x₁,y₁)+(x₂,y₂)) = F(x₁+x₂, y₁+y₂)
	=	(a(x₁+x₂)+b(y₁+y₂),0,0)
	=	((ax₁+ax₂)+(by₁+by₂),0,0)
	=	(ax₁+by₁,0,0) +(ax₂+by₂,0,0)
	=	F(x₁,y₁)+F(x₂,y₂) = F(u)+F(v)
F(k.w)	=	F(kx,ky) = (a(kx)+b(ky),0,0)
	=	(akx+bky,0,0) = k(ax+by,0,0)
	=	k F(x,y) = k F(w)

F:R³R² definida por F(x,y,z)=(0,0).
Se u=(x₁,y₁,z₁)R³, v=(x₂,y₂,z₂)R³ e w=(x,y,z)R³, então

F(u+v) = F((x₁,y₁,z₁)+(x₂,y₂,z₂))

= F(x₁+x₂,y₁+y₂,z₁+z₂) = 0 = 0 + 0

= F((x₁,y₁,z₁)) + F((x₂,y₂,z₂)) = F(u)+F(v)

F(k.w) = F(k(x,y,z)) = F(kx,ky,kz) = 0

= k.0 = k F(x,y,z) = k F(w)

F:R³

R² definida por F(x,y,z)=(x,y).
Tomando u=(x₁,y₁,z₁)

R³, v=(x₂,y₂,z₂)

R³ e w=(x,y,z)

R³, obtemos

F(u+v)	=	F((x₁,y₁,z₁)+(x₂,y₂,z₂))
	=	F(x₁+x₂,y₁+y₂,z₁+z₂)
	=	((x₁+x₂),(y₁+y₂)) = ((x₁+y₁)+(x₂ +y₂))
	=	F(x₁,y₁,z₁)+F(x₂,y₂,z₂) = F(u)+F(v)
F(k.w)	=	F(kx,ky,kz) = (kx,ky) = k(x,y) = k F(x,y,z) = k F(w)

F:R³

R² definida por F(x, y,z)=(x,z).
Para u=(x₁,y₁,z₁)

R³, v=(x₂,y₂,z₂)

R³ e w=(x,y,z)

R³, obtemos

F(u+v)	=	F((x₁,y₁,z₁)+(x₂,y₂,z₂))
	=	F(x₁+x₂,y₁+y₂,z₁+z₂)
	=	((x₁+x₂),(z₁+z₂)) = ((x₁+z₁)+(x₂ +z₂))
	=	F(x₁,y₁,z₁) + F(x₂,y₂,z₂) = F(u)+F(v)
F(k.w)	=	F(kx,ky,kz) = ((kx),(kz)) = k(x,z) = k F(x,y,z) = k F(w)

F:R³

R² definida por F(x,y,z)=(z,y).
Para u=(x₁,y₁,z₁)

R³, v=(x₂,y₂,z₂)

R³ e w=(x,y,z)

R³, obtemos

F(u+v)	=	F((x₁,y₁,z₁)+(x₂,y₂,z₂)) = F(x₁+x₂,y₁+y₂,z₁+z₂)
	=	((z₁+z₂),(y₁+y₂)) = ((z₁+y₁)+(z₂+y₂))
	=	F(x₁,y₁,z₁)+F(x₂,y₂,z₂) = F(u)+F(v)
F(k.w)	=	F(kx,ky,kz) = (kz,ky) = k(z,y) = k F(x,y,z) = k F(w)

F:R³

R² definida por F(x,y,z)=(z,x).
Para u=(x₁,y₁,z₁)

R³, v=(x₂,y₂,z₂)

R³ e w=(x,y,z)

R³, obtemos

F(u+v)	=	F((x₁,y₁,z₁)+(x₂,y₂,z₂)) = F(x₁+x₂,y₁+y₂,z₁+z₂)
	=	(z₁+z₂,x₁+x₂) = (z₁,x₁) + (z₂,x₂)
	=	F(x₁,y₁,z₁) + F(x₂,y₂,z₂) = F(u)+F(v)
F(k.w)	=	F(kx,ky,kz) = (kz,kx) = k(z,x) = k F(x,y,z) = k F(w)

F:R³

R² definida por F(x,y,z)=(y,x).
Se u=(x₁,y₁,z₁)

R³, v=(x₂,y₂,z₂)

R³ e w=(x,y,z)

R³, então

F(u+v)	=	F((x₁,y₁,z₁)+(x₂,y₂,z₂)) = F(x₁+x₂,y₁+y₂,z₁+z₂)
	=	(y₁+y₂,x₁+x₂) = (y₁,x₁) + (y₂,x₂)
	=	F(x₁,y₁,z₁) + F(x₂,y₂,z₂) = F(u)+F(v)
F(k.w)	=	F(kx,ky,kz) = (ky,kx) = k(y,x) = k F(x,y,z) = k F(w)

F:R³

R² definida por F(x,y,z)=(y,z).
Se u=(x₁,y₁,z₁)

R³, v=(x₂,y₂,z₂)

R³ e w=(x,y,z)

R³, obtemos

F(u+v)	=	F((x₁,y₁,z₁)+(x₂,y₂,z₂))
	=	F(x₁+x₂,y₁+y₂,z₁+z₂)
	=	((y₁+y₂) ,(z₁+z₂)) = ((y₁+z₁) +(y₂ +z₂))
	=	F(x₁,y₁,z₁)+F(x₂,y₂,z₂) = F(u)+F(v)
F(k.w)	=	F(kx,ky,kz) = ((ky),(kz)) = k(y,z)
	=	k F(x,y,z) = k F(w)

F:R³

R² definida por F(x,y,z)=(x+y,x+z).
Para u=(x₁,y₁,z₁)

R³, v=(x₂,y₂,z₂)

R³ e w=(x,y,z)

R³, obtemos

F(u+v)	=	F((x₁,y₁,z₁)+(x₂,y₂,z₂))
	=	F(x₁+x₂,y₁+y₂,z₁+z₂)
	=	((x₁+x₂)+(y₁+y₂),(x₁+x₂)+(z₁+z₂))
	=	(x₁+y₁,x₁+z₁) + (x₂+y₂,x₂+z₂)
	=	F(x₁,y₁,z₁) + F(x₂,y₂,z₂) = F(u) + F(v)
F(k.w)	=	F(kx,ky,kz) = (kx+ky,kx+kz) = k(x+y,x+z)
	=	k F(x,y,z) = k F(w)

F:R³

R² definida por F(x,y,z)=(x+y+z,0).
Para u=(x₁,y₁,z₁)

R³, v=(x₂,y₂,z₂)

R³ e w=(x,y,z)

R³, obtemos

F(u+v)	=	F((x₁,y₁,z₁)+(x₂,y₂,z₂))
	=	F(x₁+x₂,y₁+y₂,z₁+z₂)
	=	((x₁+x₂)+(y₁+y₂)+(z₁+z₂),0)
	=	((x₁+y₁+z₁)+(x₂+y₂+z₂),0)
	=	((x₁+y₁+z₁),0) + ((x₂+y₂+z₂),0)
	=	F(x₁,y₁,z₁) + F(x₂,y₂,z₂) = F(u) + F(v)
F(k.w)	=	F(kx,ky,kz) = (kx+ky+kz,0) = (k(x+y+z),0)
	=	k F(x,y,z) = k F(w)

F:R³

R² definida por F(x,y,z)=(0,x+y+z).
Para u=(x₁,y₁,z₁)

R³, v=(x₂,y₂,z₂)

R³ e w = (x,y,z)

R³, segue

F(u+v)	=	F((x₁,y₁,z₁)+(x₂,y₂,z₂))
	=	F(x₁+x₂,y₁+y₂,z₁+z₂)
	=	(0,(x₁+x₂)+(y₁+y₂)+(z₁+z₂))
	=	(0,(x₁+y₁+z₁)+(x₂+y₂+z₂))
	=	(0,(x₁+y₁+z₁))+(0,(x₂+y₂+z₂))
	=	F(x₁,y₁,z₁)+F(x₂,y₂,z₂) = F(u)+F(v)
F(k.w)	=	F(kx,ky,kz) = ((kx)+(ky)+(kz)) = k (0,(x+y+z))
	=	k F(x,y,z) = k F(w)

F:R³

R² definida por F(x,y,z)=(ax+by,ax+cz).
Para u=(x₁,y₁,z₁)

R³, v=(x₂,y₂,z₂)

R³ e w=(x,y,z)

R³, obtemos

F(u+v)	=	F((x₁,y₁,z₁)+(x₂,y₂,z₂))
	=	F(x₁+x₂,y₁+y₂,z₁+z₂)
	=	(a(x₁+x₂)+b(y₁+y₂),a(x₁+x₂)+c(z₁+z₂))
	=	((ax₁+ax₂)+(by₁+by₂),(ax₁+ax₂)+(cz₁+cz₂))
	=	((ax₁+by₁),(ax₁+cz₁) + (ax₂+by₂),(ax₂+cz₂))
	=	F(x₁,y₁,z₁) + F(x₂,y₂,z₂) = F(u) + F(v)
F(k.w)	=	F(kx,y,kz) = (akx+bky,akx+ckz)
	=	k(ax+by,ax+cz) = k F(x,y,z) = k F(w)

F:R³R³ definida por F(x,y,z)=(0,0,0).
Se u=(x₁,y₁,z₁)R³, v=(x₂,y₂,z₂)R³ e w=(x,y,z)R³, então

F(u+v) = F((x₁,y₁,z₁)+(x₂,y₂,z₂))

= F(x₁+x₂,y₁+y₂,z₁+z₂) = 0 = 0+0

= F(x₁,y₁,z₁)+F(x₂,y₂,z₂) = F(u)+F(v)

F(k.w) = F(k(x,y,z)) = F(kx,ky,kz) = 0

= k.0 = k F(x,y,z) = k F(w)

I:R³

R³ definida por I(x,y,z)=(x,y,z).
Para u=(x₁,y₁,z₁)

R³, v=(x₂,y₂,z₂)

R³ e w=(x,y,z)

R³, segue que

I(u+v)	=	I((x₁,y₁,z₁)+(x₂,y₂,z₂)) = I(x₁+x₂,y₁+y₂,z₁+z₂)
	=	(x₁+x₂,y₁+y₂,z₁+z₂) = (x₁,y₁,z₁)+(x₂,y₂,z₂)
	=	I(x₁,y₁,z₁)+I(x₂,y₂,z₂) = I(u)+I(v)
I(k.w)	=	I(k(x,y,z)) = I(kx,ky,kz) = (kx,ky,kz)
	=	k (x,y,z) = k I(x,y,z) = k F(w)

Seja P_n é o espaço vetorial de todas as funções polinomiais reais de grau menor ou igual a n. Mostrar que é linear a aplicação F:P₂P₃ definida por F[p(x)]=x.p(x) onde p=p(x)P_n.
Realmente, se a,bR e p,qP₂, então

F[ap+bq](x) = x.(ap+bq)(x) = x[a.p(x) + b.q(x)]

= a x.p(x) + b x.q(x) = a F(p) + b F(q)

F[ap+bq](x)	=	x.(ap+bq)(x) = x[a.p(x) + b.q(x)]
	=	a x.p(x) + b x.q(x) = a F(p) + b F(q)

P_n é o espaço vetorial de todas as funções polinomiais reais de grau menor ou igual a n e aplicação D: P_n

P_n definida por D(p)=p', onde p' é a primeira derivada de p

P_n. Mostrar que a aplicação D é linear.
Realmente, se p,q

P_n são dados por

p(t)	=	a₀ + a₁ t + a₂ t² + a₃ t³ +...+ a_n tⁿ
q(t)	=	b₀ + b₁ t + b₂ t² + b₃ t³ +...+ b_n tⁿ

então

(p+q)(t) = (a₀+b₀) + (a₁+b₁)t + (a₂+b₂)t² +...+ (a_n+b_n)tⁿ

e desse modo,

D(p+q)	=	D[(a₀+b₀)+(a₁+b₁)t+(a₂+b₂)t² +...+(a_n+b_n)tⁿ]
	=	(a₁+b₁)+2(a₂+b₂)t +...+ n(a_n+b_n)t ⁿ⁻¹
	=	(a₁+2a₂ t +...+ n a_n t ⁿ⁻¹)+(b₁+2 b₂ t +...+ n b_n t ⁿ⁻¹)
	=	D(p) + D(q)
D(kp)	=	D[k (a₀+a₁ t+a₂ t² + a₃ t³ +...+ a_n tⁿ)]
	=	D[k a₀ + k a₁ t + k a₂ t² + k a₃ t³ +...+ k a_n tⁿ]
	=	k a₁ +2k a₂ t + 3k a₃ t² +...+ n ka_n t ⁿ⁻¹
	=	k (a₁ + 2 a₂ t + 3 a₃ t² +...+ n a_n t ⁿ⁻¹) = k D(p)

Referências bibliográficas

Boyer,Carl Boyer. História da Matemática, Editora Edgard Blücher, São Paulo. Pag.424-427. 1974.
Howard Eves. Introdução à História da Matemática. Tradução de Hygino H. Domingues. 3a. ed. Campinas-SP: Editora da UNICAMP. Pag.552-556. 2002.

Ensino de Matemática

sexta-feira, 3 de setembro de 2021

Cálculo de autovalores e autovetores

quinta-feira, 23 de julho de 2020

Transformações Lineares

sexta-feira, 22 de maio de 2020

Vetores

segunda-feira, 17 de fevereiro de 2020

Vetores Exercícios

quinta-feira, 13 de fevereiro de 2020

Transformações Lineares

Referências bibliográficas

Postagens mais visitadas

F(u+v)	=	F((x₁,y₁,z₁)+(x₂,y₂,z₂))
	=	F(x₁+x₂,y₁+y₂,z₁+z₂) = 0 = 0 + 0
	=	F((x₁,y₁,z₁)) + F((x₂,y₂,z₂)) = F(u)+F(v)
F(k.w)	=	F(k(x,y,z)) = F(kx,ky,kz) = 0
	=	k.0 = k F(x,y,z) = k F(w)

F(u+v)	=	F((x₁,y₁,z₁)+(x₂,y₂,z₂))
	=	F(x₁+x₂,y₁+y₂,z₁+z₂) = 0 = 0+0
	=	F(x₁,y₁,z₁)+F(x₂,y₂,z₂) = F(u)+F(v)
F(k.w)	=	F(k(x,y,z)) = F(kx,ky,kz) = 0
	=	k.0 = k F(x,y,z) = k F(w)