Transformações Lineares

1. F:R R definida por F(x)=2x é linear.
   

   F(x+y)	=	2(x+y) = 2x+2y = F(x)+F(y)
   F(k.x)	=	2(kx) = 2.k.x=k(2x) = k.F(x)

2. F:R R definida por F(x)=0 é linear.
   

   F(x+y)	=	2(0) = 0 = 0+0 = F(x)+F(y)
   F(k.x)	=	0 = k.0 = k.F(x)

3. F:R R definida por F(x)=ax é linear.
   

   F(x+y)	=	a(x+y) = ax+ay = F(x)+F(y)
   F(k.x)	=	a(kx) = a.k.x = k(ax) = k.F(x)

4. F:R R² definida por F(x)=x(a,b) sendo a R e b R.
   

   F(x+y)	=	(a(x+y),b(x+y)) = (ax+ay,bx+by)
   	=	(ax,bx)+(ay,by) = F(x)+F(y)
   F(k.x)	=	x(ak,bk) = (akx,bkx) = k.(ax,bx) = k.F(x)

5. F:R² R definida por F(x,y)=2x+3y é linear.
   Se u=(x₁,y₁)R², v=(x₂,y₂)R² e w = (x,y) R², então
   

   F(u+v)	=	F((x1,y1)+(x2,y2)) = F(x1+x2, y1+y2)
   	=	2(x1+x2)+3(y1+y2) = (2x1+2x2)+(3y1+3y2)
   	=	(2x1+3y1)+(2x2+3y2) = F(x1,y1) + F(x2,y2)
   	=	F(u)+F(v)
   F(k.w)	=	F(k(x,y)) = F(kx,ky) = 2(kx)+3(ky)
   	=	(2kx)+(3ky) = k.(2x+3y) = k.F(x,y) = k.F(w)

6. F:R² R definida por F(x,y)=ax+by, onde a R e b R.
   Se u=(x₁,y₁) R², v=(x₂,y₂) R² e w=(x,y) R², então
   

   F(u+v)	=	F((x1,y1)+(x2,y2)) = F(x1+x2,y1+y2)
   	=	a(x1+x2)+b(y1+y2) = (ax1+ax2)+(by1+by2)
   	=	(ax1+by1)+(ax2+by2) = F(x1,y1)+F(x2,y2)
   	=	F(u)+F(v)
   F(k.w)	=	F(k(x,y)) = F(kx,ky) = a(kx)+b(ky)
   	=	(akx)+(bky) = k.(ax+by) = k.F(x,y) = k.F(w)

7. A identidade I:R²R² definida por I(x,y)=(x,y).
   Sejam u=(x,y)R² e v=(w,z)R², segue que
   

   I(u+v)	=	I((x,y)+(w,z)) = I(x+w,y+z) = (x+w,y+z)
   	=	(x,y)+(w,z) = I(x,y) + I(w,z) = I(u)+I(v)
   I(k.v)	=	I.(k(x,y)) = I.(kx,ky) = (kx,ky) = k.(x,y) = k.I(x,y) = k.I(u)

8. F:R²R² definida por F(x,y)=(ax,by).
   Tomando u=(x₁,y₁)R², v=(x₂,y₂)R² e w=(x,y)R², segue
   

   F(u+v)	=	F((x1,y1)+(x2,y2)) = F(x1+x2,y1+y2)
   	=	(a(x1+x2),b(y1+y2)) = (a x1+a x2, b y1+b y2)
   	=	(a x1, b y1)+(a x2, b y2) = F(x1,y1)+F(x2,y2)
   	=	F(u)+F(v)
   F(k.w)	=	F(kx,ky) = (a(kx),b(ky))
   	=	(axb,byk)= k(ax,by) = k F(x,y) = k F(w)

9. F:R²R² definida por F(x,y)=(0,0).
   Para u=(x₁,y₁)R², v=(x₂,y₂)R² e w=(x,y)R².
   

   F(u+v)	=	F((x1,y1)+(x2,y2)) = F(x1+x2, y1 +y2) = 0
   	=	0+0 = F((x1,y1))+F((x2,y2)) = F(u)+F(v)
   F(k.w)	=	F(k(x,y) = F(kx,ky) = 0=k.0=k F(x,y) = k F(w)

10. F:R²R² definida por F(x,y)=(x+y,x−y).
    Tomando u=(x₁,y₁)R², v=(x₂,y₂)R² e w=(x,y)R²
    

    F(u+v)	=	F((x1,y1)+(x2,y2)) = F(x1+x2,y1+y2)
    	=	((x1+x2)+(y1+y2),(x1+x2)−(y1+y2))
    	=	(x1+y1,x1−y1)+(x2+y2,x2−y2)
    	=	F(x1,y1) + F(x2,y2) = F(u)+F(v)
    F(k.w)	=	F(kx,ky) = ((kx+ky),(kx−ky)) = (k(x+y), k(x−y))
    	=	k (x+y,x−y) = k F(x,y) = k F(w)

11. F:R²R² definida por F(x,y)=(ax+by,cx+dy).
    Se u=(x₁,y₁)R², v=(x₂,y₂)R² e w=(x,y)R², então
    

    F(u+v)	=	F((x1,y1)+(x2,y2)) = F(x1+x2, y1+y2)
    	=	(a(x1+x2)+b(y1+y2),c(x1+x2)+d(y1+y2))
    	=	(ax1+ax2+by1+by2, cx1+cx2+dy1+dy2)
    	=	(ax1+by1, cx1+dy1)+(ax2+by2, cx2+dy2)
    	=	F(x1,y1) + F(x2,y2) = F(u)+F(v)
    F(k.w)	=	F(kx,ky) = (a(kx)+b(ky),c(kx)+d(ky))
    	=	(akx+bky, ckx+dky) = k (ax+by, cx+dy)
    	=	k F(x,y) = k F(w)

12. F:R²R³ definida por F(x,y)=(ax,by,cx+dy).
    Se u=(x₁,y₁)R², v=(x₂,y₂)R² e w=(x,y)R², então
    

    F(u+v)	=	F((x1,y1)+(x2,y2)) = F(x1+x2, y1+y2)
    	=	(a(x1+x2),b(y1+y2),c(x1+x2)+d(y1+y2))
    	=	(ax1+ax2,by1+by2, cx1+cx2+dy1+dy2)
    	=	(ax1, by1,cx1+dy1)+(ax2,by2,cx2+dy2)
    	=	F(x1,y1) + F(x2,y2) = F(u)+F(v)
    F(k.w)	=	F(kx,ky) = (a(kx),b(ky),c(kx)+d(ky))
    	=	(akx, bky, ckx+dky) = k(ax,by,cx+dy)
    	=	k F(x,y) = k F(w)

13. F:R²R³ definida por F(x,y)=(0,0,0).
    Se u=(x₁,y₁)R², v=(x₂,y₂)R² e w=(x,y)R², então
    

    F(u+v)	=	F((x1,y1)+(x2,y2)) = F(x1+x2, y1 +y2) = 0
    	=	0+0 = F((x1,y1)) + F((x2,y2)) = F(u)+F(v)
    F(k.w)	=	F(k(x,y)) = F(kx,ky) = 0 = k.0 = k F(x,y) = k F(w)

14. F:R²R³ definida por F(x,y)=(ay,bx,0).
    Se u=(x₁,y₁)R², v=(x₂,y₂)R² e w=(x,y)R², então
    

    F(u+v)	=	F((x1,y1)+(x2,y2)) = F(x1+x2,y1+y2)
    	=	(a(y1+y2),b(x1+x2),0) = (ay1+ay2,bx1+bx2,0)
    	=	(ay1,cx1,0) + (ay2,bx2,0) = F(x1,y1) + F(x2,y2)
    	=	F(u)+F(v)
    F(k.w)	=	F(kx,ky) = (a(ky),b(kx),0) = (aky, bkx,0)
    	=	k(ay,bx,0) = k F(x,y) = k F(w)

15. F:R²R³ definida por F(x,y)=(x+y,0,0).
    Se u=(x₁,y₁)R², v=(x₂,y₂)R² e w=(x,y)R², então
    

    F(u+v)	=	F((x1,y1)+(x2,y2)) = F(x1+x2,y1+y2)
    	=	((x1+x2)+(y1+y2),0,0)
    	=	(x1+y1,0,0) +(x2+y2,0,0)
    	=	F(x1,y1) + F(x2,y2) = F(u)+F(v)
    F(k.w)	=	F(kx,ky) = (kx+ky,0,0)
    	=	k(x+y,0,0) = k F(x,y) = k F(w)

16. F:R²R³ definida por F(x,y)=(ax+by,0,0).
    Se u=(x₁,y₁)R², v=(x₂,y₂)R² e w=(x,y)R², obteremos:
    

    F(u+v)	=	F((x1,y1)+(x2,y2)) = F(x1+x2, y1+y2)
    	=	(a(x1+x2)+b(y1+y2),0,0)
    	=	((ax1+ax2)+(by1+by2),0,0)
    	=	(ax1+by1,0,0) +(ax2+by2,0,0)
    	=	F(x1,y1)+F(x2,y2) = F(u)+F(v)
    F(k.w)	=	F(kx,ky) = (a(kx)+b(ky),0,0)
    	=	(akx+bky,0,0) = k(ax+by,0,0)
    	=	k F(x,y) = k F(w)

17. F:R³R² definida por F(x,y,z)=(0,0).
    Se u=(x₁,y₁,z₁)R³, v=(x₂,y₂,z₂)R³ e w=(x,y,z)R³, então
    

    F(u+v)	=	F((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2))
    	=	F(x1+x2,y1+y2,z1+z2) = 0 = 0 + 0
    	=	F((x1,y1,z1)) + F((x2,y2,z2)) = F(u)+F(v)
    F(k.w)	=	F(k(x,y,z)) = F(kx,ky,kz) = 0
    	=	k.0 = k F(x,y,z) = k F(w)

18. F:R³R² definida por F(x,y,z)=(x,y).
    Tomando u=(x₁,y₁,z₁)R³, v=(x₂,y₂,z₂)R³ e w=(x,y,z)R³, obtemos
    

    F(u+v)	=	F((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2))
    	=	F(x1+x2,y1+y2,z1+z2)
    	=	((x1+x2),(y1+y2)) = ((x1+y1)+(x2 +y2))
    	=	F(x1,y1,z1)+F(x2,y2,z2) = F(u)+F(v)
    F(k.w)	=	F(kx,ky,kz) = (kx,ky) = k(x,y) = k F(x,y,z) = k F(w)

19. F:R³R² definida por F(x, y,z)=(x,z).
    Para u=(x₁,y₁,z₁)R³, v=(x₂,y₂,z₂)R³ e w=(x,y,z)R³, obtemos
    

    F(u+v)	=	F((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2))
    	=	F(x1+x2,y1+y2,z1+z2)
    	=	((x1+x2),(z1+z2)) = ((x1+z1)+(x2 +z2))
    	=	F(x1,y1,z1) + F(x2,y2,z2) = F(u)+F(v)
    F(k.w)	=	F(kx,ky,kz) = ((kx),(kz)) = k(x,z) = k F(x,y,z) = k F(w)

20. F:R³R² definida por F(x,y,z)=(z,y).
    Para u=(x₁,y₁,z₁)R³, v=(x₂,y₂,z₂)R³ e w=(x,y,z)R³, obtemos
    

    F(u+v)	=	F((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)) = F(x1+x2,y1+y2,z1+z2)
    	=	((z1+z2),(y1+y2)) = ((z1+y1)+(z2+y2))
    	=	F(x1,y1,z1)+F(x2,y2,z2) = F(u)+F(v)
    F(k.w)	=	F(kx,ky,kz) = (kz,ky) = k(z,y) = k F(x,y,z) = k F(w)

21. F:R³R² definida por F(x,y,z)=(z,x).
    Para u=(x₁,y₁,z₁)R³, v=(x₂,y₂,z₂)R³ e w=(x,y,z)R³, obtemos
    

    F(u+v)	=	F((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)) = F(x1+x2,y1+y2,z1+z2)
    	=	(z1+z2,x1+x2) = (z1,x1) + (z2,x2)
    	=	F(x1,y1,z1) + F(x2,y2,z2) = F(u)+F(v)
    F(k.w)	=	F(kx,ky,kz) = (kz,kx) = k(z,x) = k F(x,y,z) = k F(w)

22. F:R³R² definida por F(x,y,z)=(y,x).
    Se u=(x₁,y₁,z₁)R³, v=(x₂,y₂,z₂)R³ e w=(x,y,z)R³, então
    

    F(u+v)	=	F((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)) = F(x1+x2,y1+y2,z1+z2)
    	=	(y1+y2,x1+x2) = (y1,x1) + (y2,x2)
    	=	F(x1,y1,z1) + F(x2,y2,z2) = F(u)+F(v)
    F(k.w)	=	F(kx,ky,kz) = (ky,kx) = k(y,x) = k F(x,y,z) = k F(w)

23. F:R³R² definida por F(x,y,z)=(y,z).
    Se u=(x₁,y₁,z₁)R³, v=(x₂,y₂,z₂)R³ e w=(x,y,z)R³, obtemos
    

    F(u+v)	=	F((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2))
    	=	F(x1+x2,y1+y2,z1+z2)
    	=	((y1+y2) ,(z1+z2)) = ((y1+z1) +(y2 +z2))
    	=	F(x1,y1,z1)+F(x2,y2,z2) = F(u)+F(v)
    F(k.w)	=	F(kx,ky,kz) = ((ky),(kz)) = k(y,z)
    	=	k F(x,y,z) = k F(w)

24. F:R³R² definida por F(x,y,z)=(x+y,x+z).
    Para u=(x₁,y₁,z₁)R³, v=(x₂,y₂,z₂)R³ e w=(x,y,z)R³, obtemos
    

    F(u+v)	=	F((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2))
    	=	F(x1+x2,y1+y2,z1+z2)
    	=	((x1+x2)+(y1+y2),(x1+x2)+(z1+z2))
    	=	(x1+y1,x1+z1) + (x2+y2,x2+z2)
    	=	F(x1,y1,z1) + F(x2,y2,z2) = F(u) + F(v)
    F(k.w)	=	F(kx,ky,kz) = (kx+ky,kx+kz) = k(x+y,x+z)
    	=	k F(x,y,z) = k F(w)

25. F:R³R² definida por F(x,y,z)=(x+y+z,0).
    Para u=(x₁,y₁,z₁)R³, v=(x₂,y₂,z₂)R³ e w=(x,y,z)R³, obtemos
    

    F(u+v)	=	F((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2))
    	=	F(x1+x2,y1+y2,z1+z2)
    	=	((x1+x2)+(y1+y2)+(z1+z2),0)
    	=	((x1+y1+z1)+(x2+y2+z2),0)
    	=	((x1+y1+z1),0) + ((x2+y2+z2),0)
    	=	F(x1,y1,z1) + F(x2,y2,z2) = F(u) + F(v)
    F(k.w)	=	F(kx,ky,kz) = (kx+ky+kz,0) = (k(x+y+z),0)
    	=	k F(x,y,z) = k F(w)

26. F:R³R² definida por F(x,y,z)=(0,x+y+z).
    Para u=(x₁,y₁,z₁)R³, v=(x₂,y₂,z₂)R³ e w = (x,y,z)R³, segue
    

    F(u+v)	=	F((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2))
    	=	F(x1+x2,y1+y2,z1+z2)
    	=	(0,(x1+x2)+(y1+y2)+(z1+z2))
    	=	(0,(x1+y1+z1)+(x2+y2+z2))
    	=	(0,(x1+y1+z1))+(0,(x2+y2+z2))
    	=	F(x1,y1,z1)+F(x2,y2,z2) = F(u)+F(v)
    F(k.w)	=	F(kx,ky,kz) = ((kx)+(ky)+(kz)) = k (0,(x+y+z))
    	=	k F(x,y,z) = k F(w)

27. F:R³R² definida por F(x,y,z)=(ax+by,ax+cz).
    Para u=(x₁,y₁,z₁)R³, v=(x₂,y₂,z₂)R³ e w=(x,y,z)R³, obtemos
    

    F(u+v)	=	F((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2))
    	=	F(x1+x2,y1+y2,z1+z2)
    	=	(a(x1+x2)+b(y1+y2),a(x1+x2)+c(z1+z2))
    	=	((ax1+ax2)+(by1+by2),(ax1+ax2)+(cz1+cz2))
    	=	((ax1+by1),(ax1+cz1) + (ax2+by2),(ax2+cz2))
    	=	F(x1,y1,z1) + F(x2,y2,z2) = F(u) + F(v)
    F(k.w)	=	F(kx,y,kz) = (akx+bky,akx+ckz)
    	=	k(ax+by,ax+cz) = k F(x,y,z) = k F(w)

28. F:R³R³ definida por F(x,y,z)=(0,0,0).
    Se u=(x₁,y₁,z₁)R³, v=(x₂,y₂,z₂)R³ e w=(x,y,z)R³, então
    

    F(u+v)	=	F((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2))
    	=	F(x1+x2,y1+y2,z1+z2) = 0 = 0+0
    	=	F(x1,y1,z1)+F(x2,y2,z2) = F(u)+F(v)
    F(k.w)	=	F(k(x,y,z)) = F(kx,ky,kz) = 0
    	=	k.0 = k F(x,y,z) = k F(w)

29. I:R³R³ definida por I(x,y,z)=(x,y,z).
    Para u=(x₁,y₁,z₁)R³, v=(x₂,y₂,z₂)R³ e w=(x,y,z)R³, segue que
    

    I(u+v)	=	I((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)) = I(x1+x2,y1+y2,z1+z2)
    	=	(x1+x2,y1+y2,z1+z2) = (x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)
    	=	I(x1,y1,z1)+I(x2,y2,z2) = I(u)+I(v)
    I(k.w)	=	I(k(x,y,z)) = I(kx,ky,kz) = (kx,ky,kz)
    	=	k (x,y,z) = k I(x,y,z) = k F(w)

30. Seja P_n é o espaço vetorial de todas as funções polinomiais reais de grau menor ou igual a n. Mostrar que é linear a aplicação F:P₂P₃ definida por F[p(x)]=x.p(x) onde p=p(x)P_n.
    Realmente, se a,bR e p,qP₂, então
    

    F[ap+bq](x)	=	x.(ap+bq)(x) = x[a.p(x) + b.q(x)]
    	=	a x.p(x) + b x.q(x) = a F(p) + b F(q)

31. P_n é o espaço vetorial de todas as funções polinomiais reais de grau menor ou igual a n e aplicação D: P_nP_n definida por D(p)=p', onde p' é a primeira derivada de pP_n. Mostrar que a aplicação D é linear.
    Realmente, se p,qP_n são dados por
    

    p(t)	=	a0 + a1 t + a2 t² + a3 t³ +...+ an tn
    q(t)	=	b0 + b1 t + b2 t² + b3 t³ +...+ bn tn

    então
    
    (p+q)(t) = (a₀+b₀) + (a₁+b₁)t + (a₂+b₂)t² +...+ (a_n+b_n)tⁿ
    e desse modo,
    

    D(p+q)	=	D[(a0+b0)+(a1+b1)t+(a2+b2)t² +...+(an+bn)tn]
    	=	(a1+b1)+2(a2+b2)t +...+ n(an+bn)t n−1
    	=	(a1+2a2 t +...+ n an t n−1)+(b1+2 b2 t +...+ n bn t n−1)
    	=	D(p) + D(q)
    D(kp)	=	D[k (a0+a1 t+a2 t² + a3 t³ +...+ an tn)]
    	=	D[k a0 + k a1 t + k a2 t² + k a3 t³ +...+ k an tn]
    	=	k a1 +2k a2 t + 3k a3 t² +...+ n kan t n−1
    	=	k (a1 + 2 a2 t + 3 a3 t² +...+ n an t n−1) = k D(p)

Referências bibliográficas

1. Boyer,Carl Boyer. História da Matemática, Editora Edgard Blücher, São Paulo. Pag.424-427. 1974.
   
2. Howard Eves. Introdução à História da Matemática. Tradução de Hygino H. Domingues. 3a. ed. Campinas-SP: Editora da UNICAMP. Pag.552-556. 2002.