Progressão Geométrica

Progressão Geométrica é uma sequência de números reais onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por uma constante denominada de razão. Por exemplo, na sequência 2, 6, 18, 54, 162, 486, 1 458, 4 374, 13 122, a razão é igual a 3, pois:

2 * 3 = 6
6 * 3 = 18
18 * 3 = 54
54 * 3 = 162
162 * 3 = 486
486 * 3 = 1 458
1 458 * 3 = 4 374
4 374 * 3 = 13 122

Podemos determinar os elementos de uma Progressão Geométrica utilizando uma expressão algébrica matemática. Observe:

an = termo procurado
a1 = primeiro elemento
q = razão da progressão
n = número de elementos da progressão

Exemplo 1

Determine o 6º termo de uma progressão geométrica que possui razão 2 e primeiro termo igual a 4.

an = ?
a1 = 4
q = 2
n = 6

O 6º da progressão geométrica é igual a 128.

Exemplo 2

Considerando que uma progressão geométrica possui a1 = 8 e razão (q) igual a 3. Determine o valor do 7º termo.


O sétimo termo da progressão geométrica é 5832.

Uma importante aplicação dos conceitos de progressão geométrica, diz respeito à Matemática Financeira e os assuntos relacionados ao cálculo de juros compostos. Temos que a expressão matemática utilizada no regime de juros compostos é dada por M = C * (1 + i)t, onde a parte (1 + i)t que determina o fator de correção da aplicação é uma progressão geométrica. Observe:

Exemplo 3

Um capital de R$ 4 500,00 foi aplicado a taxa de 1,5% ao mês durante 12 meses. Determine o valor do Montante ao final da aplicação.
Obs.: 1,5% = 1,5/100 = 0,015

M = 4 500 * (1 + 0,015)t
M = 4 500 * 1,01512
M = 4 500 * 1,19561817
M = 5 380,28

Veja os fatores de correção durante os meses decorrentes da aplicação:

1º mês = 1,015
2º mês = 1,0302250
3º mês = 1,04567838
4º mês = 1,06126355
5º mês = 1,07728400
6º mês = 1,09344326
7º mês = 1,10984491
8º mês = 1,12649259
9º mês = 1,14338998
10º mês = 1,16054083
11º mês = 1,17794894
12º mês = 1,19561817

Observe que os fatores de correção mês a mês correspondem a uma progressão geométrica de razão 1,015. Veja:

1º mês = 1,015
2º mês = 1,015 * 1,015 = 1,0302250
3º mês = 1,0302250 * 1,015 = 1,04567838, e assim sucessivamente.
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