Curiosidade

Se você somar 1 ao produto de quatro números inteiros consecutivos, o resultado sempre será um quadrado perfeito.

Em outros termos, o que devemos demonstrar é:

Dado um número x inteiro qualquer o resultado da operação R = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1 será sempre um quadrado perfeito, isto é, um número inteiro elevado ao quadrado.

Então, vamos começar, como não poderia deixar de ser, realizando umas “continhas” utilizando-se da propriedade distributiva da multiplicação, para reescrever R:

R = (x2 + x)(x + 2)(x + 3) + 1 = (x3 + 2x2 + x2 + 2x)(x + 3) + 1 =>

R = (x3 + 3x2 + 2x)(x + 3) + 1 = x4 + 3x3 + 3x3 + 9x2 + 2x2 + 6x + 1

Agrupando os termos de R, na expressão acima, obtemos:

R = (x4 + 6x3 + 9x2) + 2(x2 + 3x) + 1

Agora, repare bem, bem mesmo, na primeira expressão entre parêntesis, lembre-se do velho e conhecido Produtos Notáveis e conclua comigo que:

R = (x2 + 3x)2 + 2(x2 + 3x) + 1 [1]

Para facilitar o entendimento final da demonstração, vamos definir y como:

y = (x2 + 3x) [2]

e substituir em [1] para concluir que:

R = y2 + 2y + 1 = (y + 1)2 [3]

é um quadrado perfeito, onde em [3], mais uma vez, utilizamos a propriedade dos produtos notáveis: Quadrado da soma de dois números. Tem dúvidas, consulte o artigo indicado no link acima sobre o tema.

Para finalizar, vamos a um exemplo: dado x = 4 vem que R = (4×5×6×7) + 1 = 841. Tudo bem, até aí está fácil. Mas como saber se 841 ou um número bem maior é um quadrado perfeito sem muito esforço – extração da raiz quadrada.

Tranquilo. Utilize a expressão [2] para determinar y = (16 + 12) = 28 e substitua em [3] para concluir que R = 292 = 841.

Jean piaget

Este trabalho abordará a vida de Jean Piaget, suas obras, algumas curiosidades, alem do tema: Jogos e brincadeiras - A lógica na educação infantil, fator fundamental ao desenvolvimento das aptidões físicas e mentais da criança, sendo um agente facilitador para que esta estabeleça vínculos sociais com os seus semelhantes.
A escolha deste tema surgiu da necessidade de abordarmos o assunto "jogos e brincadeiras infantis" não apenas como simples entretenimento, mas como atividades que possibilitam a aprendizagem de várias habilidades. O objetivo do mesmo é correlacionar o lúdico, a brincadeira de infância, com recursos capazes de contribuir para o desenvolvimento das funções cognitivas da criança.
Jean Piaget, para explicar o desenvolvimento intelectual, partiu da idéia que os atos biológicos são atos de adaptação ao meio físico e organizações do meio ambiente, sempre procurando manter um equilíbrio. Assim, Piaget entende que o desenvolvimento intelectual age do mesmo modo que o desenvolvimento biológico (WADSWORTH, 1996).
Para Piaget, a atividade intelectual não pode ser separada do funcionamento "total" do organismo.

Teorias de Piaget
Jean Piaget (1896-1980) foi um renomado psicólogo e filósofo suíço, conhecido por seu trabalho pioneiro no campo da inteligência infantil. Passou grande parte de sua carreira profissional interagindo com crianças e estudando seu processo de raciocínio. Seus estudos tiveram um grande impacto sobre os campos da Psicologia e Pedagogia.

Sua Vida
Jean Piaget nasceu no dia 9 de agosto de 1896, em Neuchâtel, na Suíça. Seu pai, um calvinista convicto, era professor universitário de Literatura medieval.
Piaget foi um menino prodígio. Interessou-se por História Natural ainda em sua infância. Aos 11 anos de idade, publicou seu primeiro trabalho sobre sua observação de um pardal albino. Esse breve estudo é considerado o início de sua brilhante carreira científica. Aos sábados, trabalhava gratuitamente no Museu de História Natural.
Freqüentou a Universidade de Neuchâtel, onde estudou Biologia e Filosofia. Ele recebeu seu doutorado em Biologia em 1918, aos 22 anos de idade.
Após formar-se, foi para Zurich, onde trabalhou como psicólogo experimental. Lá ele freqüentou aulas lecionadas por Jung e trabalhou como psiquiatra em uma clínica. Essas experiências influenciaram-no em seu trabalho. Ele passou a combinar a psicologia experimental - que é um estudo formal e sistemático - com métodos informais de psicologia: entrevistas, conversas e análises de pacientes.
Em 1919, mudou-se para a França, onde foi convidado a trabalhar no laboratório de Alfred Binet, um famoso psicólogo infantil que desenvolveu testes de inteligência padronizados para crianças. Piaget notou que crianças francesas da mesma faixa etária cometiam erros semelhantes nesses testes e concluiu que o pensamento lógico se desenvolve gradualmente.
O ano de 1919 foi um marco em sua vida. Quando iniciou seus estudos experimentais sobre a mente humana e começou a pesquisar também sobre o desenvolvimento das habilidades cognitivas. Seu conhecimento de Biologia levou-o a enxergar o desenvolvimento cognitivo de uma criança como sendo uma evolução gradativa.
Em 1921, voltou à Suíça e tornou-se diretor de estudos no Instituto J. J. Rousseau da Universidade de Genebra. Lá ele iniciou o maior trabalho de sua vida, ao observar crianças brincando e registrar meticulosamente as palavras, ações e processos de raciocínio delas.
Em 1923, casou-se com Valentine Châtenay, com quem teve três filhas: Jacqueline (1925), Lucienne (1927) e Laurent (1931). As teorias de Piaget foram, em grande parte, baseadas em estudos e observações de seus filhos que ele realizou ao lado de sua esposa.
Enquanto prosseguia com suas pesquisas e publicações de trabalhos, Piaget lecionou em diversas universidades européias. Registros revelam que ele foi o único suíço a ser convidado para lecionar na Universidade de Sorbonne (Paris, França), onde permaneceu de 1952 a 1963. Até a data de seu falecimento fundou e dirigiu o Centro Internacional para Epistemologia Genética. Ao longo de sua brilhante carreira, Piaget escreveu mais de 75 livros e centenas de trabalhos científicos.
Piaget morreu em Genebra, em 17 de setembro de 1980.

Sua Obra
Piaget desenvolveu diversos campos de estudos científicos: a psicologia do desenvolvimento, a teoria cognitiva e o que veio a ser chamado de epistemologia genética.
A essência de seu trabalho ensina que ao observarmos cuidadosamente a maneira com que o conhecimento se desenvolve nas crianças, podemos entender melhor a natureza do conhecimento humano. Suas pesquisas sobre a psicologia do desenvolvimento e a epistemologia genética tinham o objetivo de entender como o conhecimento evolui.
Formulou sua teoria de que o conhecimento evolui progressivamente por meio de estruturas de raciocínio que substituem umas às outras através de estágios. Isto significa que a lógica e formas de pensar de uma criança são completamente diferentes da lógica dos adultos.
Em seu trabalho, identifica os quatro estágios de evolução mental de uma criança. Cada estágio é um período onde o pensamento e comportamento infantil é caracterizado por uma forma específica de conhecimento e raciocínio. Esses quatro estágios são: sensório-motor, pré-operatório, operatório concreto e operatório formal.

Construção do conhecimento
A construção do conhecimento ocorre quando acontecem ações físicas ou mentais sobre objetos que, provocando o desequilíbrio, resultam em assimilação ou acomodação e assimilação dessas ações e, assim, em construção de esquemas ou de conhecimento. Em outras palavras, uma vez que a criança não consegue assimilar o estímulo, ela tenta fazer uma acomodação e após, uma assimilação e o equilíbrio é então alcançado.

Esquema
Autores sugerem que imaginemos um arquivo de dados na nossa cabeça. Os esquemas são análogos às fichas deste arquivo, ou seja, são as estruturas mentais ou cognitivas pelas quais os indivíduos intelectualmente organizam o meio.
São estruturas que se modificam com o desenvolvimento mental e que se tornam cada vez mais refinadas na medida em que a criança torna-se mais apta a generalizar os estímulos.
Por este motivo, os esquemas cognitivos do adulto são derivados dos esquemas sensório-motores da criança e os processos responsáveis por essas mudanças nas estruturas cognitivas são assimilação e acomodação.

Assimilação
É o processo cognitivo de colocar (classificar) novos eventos em esquemas existentes. É a incorporação de elementos do meio externo (objeto, acontecimento,...) a um esquema ou estrutura do sujeito.
Em outras palavras, é o processo pelo qual o indivíduo cognitivamente capta o ambiente e o organiza possibilitando, assim, a ampliação de seus esquemas.
Na assimilação o indivíduo usa as estruturas que já possui.

Acomodação
É a modificação de um esquema ou de uma estrutura em função das particularidades do objeto a ser assimilado.
A acomodação pode ser de duas formas, visto que se pode ter duas alternativas:
Criar um novo esquema no qual se possa encaixar o novo estímulo, ou modificar um já existente de modo que o estímulo possa ser incluído.
Após ter havido a acomodação, a criança tenta novamente encaixar o estímulo no esquema e aí ocorre a assimilação.
Por isso, a acomodação não é determinada pelo objeto e sim pela atividade do sujeito sobre esse, para tentar assimilá-lo.
O balanço entre assimilação e acomodação é chamado de adaptação.

Equilibração
É o processo da passagem de uma situação de menor equilíbrio para uma de maior equilíbrio. Uma fonte de desequilíbrio ocorre quando se espera que uma situação ocorra de determinada maneira e esta não acontece.

Estágios
Sensório motor (0 a 2 anos)
A partir de reflexos neurológicos básicos, o bebê começa a construir esquemas de ação para assimilar mentalmente o meio. A inteligência é prática. As noções de espaço e tempo são construídas pela ação. O contato com o meio é direto e imediato, sem representação ou pensamento.

Exemplos:
O bebê “pega” o que está em sua mão; "mama" o que é posto em sua boca; "vê" o que está diante de si. Aprimorando esses esquemas, é capaz de ver um objeto, pegá-lo e levá-lo a boca.
Pré-operatório (2 a 7 anos)
Também chamado de estágio da Inteligência Simbólica. Caracteriza-se, principalmente, pela interiorização de esquemas de ação construídos no estágio anterior (sensório-motor).

A criança deste estágio:
É egocêntrica, centrada em si mesma, e não consegue se colocar, abstratamente, no lugar do outro;
Não aceita a idéia do acaso e tudo deve ter uma explicação (é fase dos "por quês");
Já pode agir por simulação, "como se";
Possui percepção global sem discriminar detalhes;
Deixa se levar pela aparência sem relacionar fatos;

Exemplos:
Mostram-se para a criança, duas bolinhas de massa iguais e dá-se a uma delas a forma de salsicha. A criança nega que a quantidade de massa continue igual, pois as formas são diferentes. Não relaciona as situações.
Operatório Concreto (7 – 11 anos)
A criança desenvolve noções de tempo, espaço, velocidade, ordem, casualidade,..., já sendo capaz de relacionar diferentes aspectos e abstrair dados da realidade. Não se limita a uma representação imediata, mas ainda depende do mundo concreto para chegar à abstração. Isso desenvolve a capacidade de representar uma ação no sentido inverso de uma anterior, anulando a transformação observada (reversibilidade).

Exemplos:
Despeja-se a água de dois copos em outros, de formatos diferentes, para que a criança diga se as quantidades continuam iguais. A resposta é afirmativa uma vez que a criança já diferencia aspectos e é capaz de "refazer" a ação.
Operatório Formal (12 anos em diante)
A representação agora permite a abstração total. A criança não se limita mais a representação imediata nem somente às relações previamente existentes, mas é capaz de pensar em todas as relações possíveis logicamente buscando soluções a partir de hipóteses e não apenas pela observação da realidade.
Em outras palavras, as estruturas cognitivas da criança alcançam seu nível mais elevado de desenvolvimento e tornam-se aptas a aplicar o raciocínio lógico a todas as classes de problemas.

Exemplos:
Se lhe pedem para analisar um provérbio como "de grão em grão, a galinha enche o papo", a criança trabalha com a lógica da idéia (metáfora) e não com a imagem de uma galinha comendo grãos.

Jogos e Brincadeiras
A lógica na educação infantil
Piaget (1998) acredita que os jogos são essenciais na vida da criança. De início tem-se o jogo de exercício que é aquele em que a criança repete uma determinada situação por puro prazer, por ter apreciado seus efeitos.
Em torno dos 2-3 e 5-6 anos (fase Pré-operatória) nota-se a ocorrência dos jogos simbólicos, que satisfazem a necessidade da criança de não somente relembrar o mentalmente o acontecido, mas também de executar a representação.
Em período posterior surgem os jogos de regras, que são transmitidos socialmente de criança para criança e por conseqüência vão aumentando de importância de acordo com o progresso de seu desenvolvimento social. Para Piaget, o jogo constituiu-se em expressão e condição para o desenvolvimento infantil, já que as crianças quando jogam assimilam e podem transformar a realidade.
Vamos analisar uma entrevista feita por Piaget com crianças sobre o jogo “Bola de gude”.
O experimentador fala mais ou menos isso. “Aqui estão algumas bolas de gude... você deve me mostrar como jogar. Quando eu era pequeno eu costumava jogar bastante, mas agora eu me esqueci como se joga. Eu gostaria de jogar novamente. Vamos jogar juntos. Você me ensinará as regras e eu jogarei com você...”. Você deve evitar fazer qualquer tipo de sugestão. Tudo o que precisa é parecer completamente ignorante (sobre o jogo de bola de gude) e até mesmo cometer alguns erros propositais de modo que a criança, a cada erro, possa dizer claramente qual é a regra. Naturalmente, você deve levar a coisa a sério, e se as coisas não ficarem muito claras você começará uma nova partida.(Piaget, 1965, p.24).
Com os jogos de regras podemos analisar por traz das respostas, informações sobre seus conhecimentos e conceitos. Esses níveis de conhecimento podem ser classificados como: Motor, Egocêntrico, Cooperação e Codificação de Regras, e são paralelos ao desenvolvimento cognitivo da criança.
Motor: Nível apresentado nos primeiros anos de vida e que normalmente se estende até o estágio pré-operacional. No estágio de compreensão de regras, a criança não apresenta nenhuma compreensão de regras. O prazer da criança parece advir grandemente do controle motor e muscular, e não há atividade social nesse nível.
Egocêntrico: Em geral, essa fase se dá dos 2 aos 5 anos, a criança adquire a consciência da existência de regras e começa a querer jogar com outras crianças – vemos nesse ponto os primeiros traços de socialização. Mas notamos também que algumas crianças insistem em jogar sozinhas, sem tentar vencer, assim revelando uma atividade cognitiva egocêntrica. As regras são percebidas como fixas e o respeito por elas é unilateral.
Cooperação: Normalmente a cooperação acontece em torno dos 7 a 8 anos. Há uma compreensão quase que plena nas regras do jogo e o objetivo passa a ser a vitória.
Codificação das Regras: Por volta dos 11 a 12 anos, a maioria das crianças passa a entender que as regras são ou podem ser feitas pelo grupo, podem ser modificadas, mas nunca ignoradas. A presença de regras se torna um fator importantíssimo para a existência do jogo.
Segundo Piaget (1976): “... os jogos não são apenas uma forma de desafogo ou entretenimento para gastar energias das crianças, mas meios que contribuem e enriquecem o desenvolvimento intelectual”.
O jogo é, portanto, sob as suas duas formas essenciais de exercício sensório-motor e de simbolismo, uma assimilação da real à atividade própria, fornecendo a esta seu alimento necessário e transformando o real em função das necessidades múltiplas do eu. Por isso, os métodos ativos de educação das crianças exigem a todos que se forneça às crianças um material conveniente, a fim de que, jogando, elas cheguem a assimilar as realidades intelectuais e que, sem isso, permanecem exteriores à inteligência infantil.(Piaget 1976, p.160).
Já Vygotsky (1998), diferentemente de Piaget, considera que o desenvolvimento ocorre ao longo da vida e que as funções psicológicas superiores são construídas ao longo dela. Ele não estabelece fases para explicar o desenvolvimento como Piaget e para ele o sujeito não é ativo nem passivo: é interativo.
Segundo ele, a criança usa as interações sociais como formas privilegiadas de acesso a informações: aprendem a regra do jogo, por exemplo, através dos outros e não como o resultado de um engajamento individual na solução de problemas. Desta maneira, aprende a regular seu comportamento pelas reações, quer elas pareçam agradáveis ou não.
Enquanto Vygotsky fala do faz-de-conta, Piaget fala do jogo simbólico, e pode-se dizer, segundo Oliveira (1997), que são correspondentes.
“O brinquedo cria uma Zona de Desenvolvimento Proximal na criança”. (Oliveira, 1977: 67), lembrando que ele afirma que a aquisição do conhecimento se dá através das zonas de desenvolvimento: a real e a proximal. A zona de desenvolvimento real é a do conhecimento já adquirido, é o que a pessoa traz consigo, já a proximal, só é atingida, de início, com o auxílio de outras pessoas mais “capazes”, que já tenham adquirido esse conhecimento.
“As maiores aquisições de uma criança são conseguidas no brinquedo, aquisições que no futuro tornar-se-ão seu nível básico de ação real e moralidade (Vygotsky, 1998)”.
Piaget (1998) diz que a atividade lúdica é o berço obrigatório das atividades intelectuais da criança sendo por isso, indispensável à prática educativa (Aguiar, 1977, 58).
Na visão sócio-histórica de Vygotsky, a brincadeira, o jogo, é uma atividade específica da infância, em que a criança recria a realidade usando sistemas simbólicos. Essa é uma atividade social, com contexto cultural e social.
Para Vygotsky, citado por Wajskop (1999:35): “... A brincadeira cria para as crianças uma zona de desenvolvimento proximal que não é outra coisa senão à distância entre o nível atual de desenvolvimento, determinado pela capacidade de resolver independentemente um problema, e o nível de desenvolvimento potencial, determinado através da resolução de um problema, sob a orientação de um adulto, ou de um companheiro mais capaz”.
Vygotsky, citado por Lins (1999), classifica o brincar em algumas fases: durante a primeira fase a criança começa a se distanciar de seu primeiro meio social, representado pela mãe, começa a falar, andar e movimentar-se em volta das coisas. Nesta fase, o ambiente a alcança por meio do adulto e pode-se dizer que a fase estende-se até em torno dos sete anos. A segunda fase é caracterizada pela imitação, a criança copia os modelos dos adultos. A terceira fase é marcada pelas convenções que surgem de regras e convenções a elas associadas.
Vygotsky (1989: 109), ainda afirma que: “é enorme a influência do brinquedo no desenvolvimento de uma criança. É no brinquedo que a criança aprende a agir numa esfera cognitiva, ao invés de agir numa esfera visual externa, dependendo das motivações e tendências internas, e não por incentivos fornecidos por objetos externos”.
A noção de “zona proximal de desenvolvimento” interliga-se, portanto, de maneira muito forte, à sensibilidade do professor em relação às necessidades e capacidades da criança e à sua aptidão para utilizar as contingências do meio a fim de dar-lhe a possibilidade de passar do que sabe fazer para o que não sabe. (Pourtois, 199: 109).
As brincadeiras que são oferecidas à criança devem estar de acordo com a zona de desenvolvimento em que ela se encontra, desta forma, pode-se perceber a importância do professor conhecer a teoria de Vygotsky.
No processo da educação infantil o papel do professor é de suma importância, pois é ele quem cria os espaços, disponibiliza materiais, participa das brincadeiras, ou seja, faz a mediação da construção do conhecimento.
A desvalorização do movimento natural e espontâneo da criança em favor do conhecimento estruturado e formalizado ignora as dimensões educativas da brincadeira e do jogo como forma rica e poderosa de estimular a atividade construtiva da criança. É urgente e necessário que o professor procure ampliar cada vez mais as vivências da criança com o ambiente físico, com brinquedos, brincadeiras e com outras crianças.
O jogo, compreendido sob a ótica do brinquedo e da criatividade, deverá encontrar maior espaço para ser entendido como educação, na medida em que os professores compreenderem melhor toda sua capacidade potencial de contribuir para com o desenvolvimento da criança.
NEGRINE (1994, 20), em estudos realizados sobre aprendizagem e desenvolvimento infantil, afirma que "quando a criança chega à escola, traz consigo toda uma pré-história, construída a partir de suas vivências, grande parte delas através da atividade lúdica".
Segundo esse autor, é fundamental que os professores tenham conhecimento do saber que a criança construiu na interação com o ambiente familiar e sócio-cultural, para formular sua proposta pedagógica.
Entendemos, a partir dos princípios aqui expostos, que o professor deverá contemplar a brincadeira como princípio norteador das atividades didático-pedagógicas, possibilitando às manifestações corporais encontrarem significado pela ludicidade presente na relação que as crianças mantêm com o mundo.
Porém essa perspectiva não é tão fácil de ser adotada na prática. Podemos nos perguntar: como colocar em prática uma proposta de educação infantil em que as crianças desenvolvam, construam/adquiram conhecimentos e se tornem autônomas e cooperativas?
Como os professores favorecerão a construção de conhecimentos se não forem desafiados a construírem os seus? O caminho que parece possível implica pensar a formação permanente dos profissionais que nela atuam.
“... é preciso que os profissionais de educação infantil tenham acesso ao conhecimento produzido na área da educação infantil e da cultura em geral, para repensarem sua prática, se reconstruírem enquanto cidadãos e atuarem enquanto sujeitos da produção de conhecimento. E para que possam, mais do que “implantar” currículos ou “aplicar” propostas à realidade da creche/pré-escola em que atuam, efetivamente participar da sua concepção, construção e consolidação”. (Kramer apud MEC/SEF/COEDI, 1996 p.19).
"Os professores podem guiá-las proporcionando-lhes os materiais apropriados mais o essencial é que, para que uma criança entenda, deve construir ela mesma, deve reinventar. Cada vez que ensinamos algo a uma criança estamos impedindo que ela descubra por si mesma. Por outro lado, aquilo que permitimos que descubra por si mesma, permanecerá com ela." ( Jean Piaget)

Conclusão
Em seus estudos sobre crianças, Jean Piaget descobriu que elas não raciocinam como os adultos. Esta descoberta levou-o a recomendar aos adultos que adotassem uma abordagem educacional diferente ao lidar com crianças. Ele modificou a teoria pedagógica tradicional que, até então, afirmava que a mente de uma criança é vazia, esperando ser preenchida por conhecimento. Na visão de Piaget, as crianças são as próprias construtoras ativas do conhecimento, constantemente criando e testando suas teorias sobre o mundo. Grande parte desse conhecimento é adquirida através das zonas do conhecimento onde os jogos e brincadeiras infantis têm sua principal influencia, onde as noções de regras são criadas, a socialização se faz presente, o simbólico é exercitado, além do físico e o mental. Fazendo uma comparação relativa com os pensamentos e a linha de trabalho de Vygotsky.
Piaget forneceu uma percepção sobre as crianças que serve como base de muitas linhas educacionais atuais. De fato, suas contribuições para as áreas da Psicologia e Pedagogia são imensuráveis.
Curiosidades sobre Piaget
O pai de Piaget, Arthur Piaget, era professor de literatura.
Piaget com apenas 10 anos publicou, em Neuchâtel, um artigo sobre um pardal branco.
Aos 22 anos, já era doutor em Biologia.
Escreveu cerca de 70 livros e 300 artigos sobre Psicologia, Pedagogia e Filosofia.
Casou-se com uma de suas assistentes, Valentine Châtenay.
Observando seus filhos, desvendou muitos dos enigmas da inteligência infantil.
Vygotsky prefaciou a tradução russa de A Linguagem e o Pensamento da Criança, de Piaget, de 1923.
Vygotsky e Piaget não se conheceram pessoalmente.

Referências bibliográficas
KRAMER, Sonia. Currículo de Educação Infantil e a Formação dos Profissionais de Creche e Pré-escola: questões teóricas e polêmicas. In: MEC/SEF/COEDI. Por uma política de formação do profissional de Educação Infantil. Brasília-DF. 1994a
LINS, Maria Judith Sucupira da Costa. 1999. O direito de brincar: desenvolvimento cognitivo e a imaginação da criança na perspectiva de Vygotsky. In: XIII CONGRESSO BRASILEIRO DE EDUCAÇÃO INFANTIL DA OMEP. Paraíba. Anais do XIII Congresso Brasileiro de Educação Infantil da OMEP. p. 41-47.
NEGRINE, Airton. Aprendizagem e desenvolvimento infantil. Porto Alegre: Prodil, 1994.
OLIVEIRA, Zilma de Moraes Ramos de (org). 2000. Educação infantil: muitos olhares. 4.ed. São Paulo: Cortez.
PIAGET, J. A psicologia da criança. Ed Rio de Janeiro: Bertrand Brasil, 1998.
POURTOIS & DESMET. A educação pós-moderna. Loyola, 1999.
VYGOTSKY, L. 1989. A formação social da mente. São Paulo: Martins Fontes.
WAJSKOP, Gisela. 1995. O brincar na educação infantil. Caderno de Pesquisa, São Paulo, n.92, p. 62-69, fev.
BORBA CAMPOS, Márcia. Piaget, Disponível em: http://penta.ufrgs.br/~marcia/piaget.htm. Acesso em 25 Maio de 2004.
LOPES, Josiane. Jean Piaget, Revista Nova Escola - ano XI - Nº 95 – fev. de 1996.
WADSWORTH, Barry J., Inteligência e Afetividade da Criança na Teoria de Piaget, Pioneira, 1997, São Paulo, cap. IV.

Curiosidades

Curiosidades

O epitáfio de Diofanto

Diofanto foi um matemático que viveu em Alexandria no século 3º. Foi o primeiro matemático grego a usar simbolismo algébrico e sua obra nos chegou através de fragmentos do seu livro "Aritmética". Em sua homenagem, chamamos de equações diofantinas as equações cujas soluções devem ser números inteiros.
Pouco sabemos sobre sua vida, mas existe uma charada que, dizem, teria sido gravada no seu túmulo: "Aqui jaz o matemático que passou um sexto da sua vida como menino. Um dozeavo da sua vida passou como rapaz. Depois viveu um sétimo da sua vida antes de se casar. Cinco anos após nasceu seu filho, com quem conviveu metade da sua vida. Depois da morte de seu filho, sofreu mais 4 anos antes de morrer." Quantos anos viveu Diofanto?

O último teorema de Fermat

Pierre de Fermat foi um grande matemático francês do século 17. Um dia, Fermat estava lendo um livro, "Aritmética" de Diofanto, onde o autor discutia as soluções inteiras para uma equação do tipo x² + y² = z². De acordo com o Teorema de Pitágoras, esses números constituem os lados de um triângulo retângulo. Existem infinitos números inteiros que satisfazem essa equação, como 3, 4 e 5 ou 5, 12 e 13.
Fermat começou a pensar se o mesmo seria verdadeiro para cubos ou biquadrados (quarta potência), isto é, se existiriam também soluções inteiras para equações do tipo x^3 + y^3 = z^3 ou, x^4 + y^4 = z^4 de modo geral, x^n + y^n = z^n. Ele escreveu na margem do seu livro: "É impossível separar um cubo em dois, ou um biquadrado em dois, ou, de um modo geral qualquer potência, exceto o quadrado, em duas potências com o mesmo expoente. Descobri uma demonstração demasiadamente maravilhosa, mas é demasiadamente comprida para caber nesta margem."Fermat morreu sem apresentar a demonstração Com isso, criou-se um problema que desafiaria os maiores matemáticos do mundo durante mais de três séculos e meio. Euler, o maior matemático do século 18, teve que reconhecer sua derrota. Recentemente, grandes matemáticos como Elkies e Faltings, quase o demonstraram. Muitos matematicos modernos começaram a duvidar que Fermat tivesse realmente demonstrado esse teorema. Até que, em 1995, um matemático americano, Andrew Wiles demonstrou definivamente o último teorema de Fermat, consagrando-se mundialmente.

Você é capaz de somar os algarismos de 1 a 100 em poucos minutos?

Carl Friedrich Gauss (1777-1855) aos 10 anos de idade respondeu rapidamente 5.050 ao seu professor surpreendendo-o pela sua grande habilidade na matemática. Em 1792, seu talento foi reconhecido pelo duque de Braunschweig, que lhe garantiu recursos para prosseguir o estudo de matemática. Gauss criou a geometria diferencial, e fez novas descobertas como a Lei da Reciprocidade Quadrática, que introduz o conceito de congruência e o Teorema Fundamental da Álgebra. Em 1801, publicou Disquisitiones Arithmeticae, seu tratado sobre a Teoria dos Números. No mesmo ano, calculou a órbita do asteróide Ceres. Com base em uma teoria que desenvolveu, previu corretamente onde e quando o Ceres deveria reaparecer. Morreu em 23 de fevereiro de 1855, sendo considerado o "Príncipe da Matemática".

O Algebrismo na Matemática

O Professor Algebrista da Matemática Muitos especialistas em Educação Matemática e que pesquisam o comportamento dos professores no ensino da matemática, julgam que o medo crescente por parte de uma grande parcela do alunado por essa disciplina é assustador, e cuja disciplina é julgada como o “bicho papão” da educação aqui em nosso país, e se deve em grande parte a alguns professores de Matemática que vêm sendo denominados pejorativamente de nada mais do que apenas algebristas. Malba Tahan, um dos maiores especialistas em Matemática, brasileiro do Rio de Janeiro,  nos diz que o que cria esse tenebroso sentimento em relação ao gosto pela Matemática por parte da nossa clientela, ou seja, o medo que se criou da nobre ciência é obra de um inimigo roaz e pernicioso, um inimigo que é para a Matemática, equivalente ao que a broca é para o café, a lagarta para o algodão, e o gafanhoto para a plantação. Esse inimigo perigoso e implacável chama-se professor algebrista.  Essa denominação é utilizada para designar todo àquele professor que vive possuído da preocupação mórbida de complicar, enegrecer e lacerar o ensino da Matemática. Segundo ele, o algebrista, sem pudor e escrupulos, para resolver questões facílimas, cria muitos artifícios complicados, usando proveito próprio e criando tropeços sem o menor interesse para o aprendizado. Eles inventam inúmeros exercícios, desafios e enigmas que, em geral, são irreais, absurdos e fora da realidade, tudo para  vangloriar o seu próprio ego e, em detrimento do aprendizado eficaz de seus alunos, promovendo um verdadeiro pânico em todos seus aprendizes. Ressaltamos que um professor de Matemática, que é conhecido como algebrista, normalmente, ele se mantém afastado da realidade e visa constantemente torturar os seus alunos com problemas absurdos, trabalhosos, ou com equações dificílimas, repleta de denominadores e com muitos radicais e equações que afinal não oferecem utilidade alguma.  É fácil verificar que, é grande o mal que os algebristas que normalmente são truculentos fazem ao ensino da Matemática, inventando fantasmas que não existem.  Ilustramos abaixo o que vem ocorrendo com o mestre algebrista e seus pupilos, onde certos conteúdos são empurrados goela abaixo, para total desespero do seu alunado. Porque os Alunos Detestam a Matemática Temos que reconhecer que a Matemática tem sido considerada, em demasia, como uma matéria detestada pela maioria dos alunos, ou como uma área que só pode ser bem compreendida por uma minoria dos mesmos.  Desde que um aluno passe a temer a Matemática, começa esse ciclo crescente e vicioso, de ansiedade pela Matemática e consequentemente de deficiência no seu aprendizado.  Já presenciarmos professores que parecem sentir prazer em impor à Matemática uma impressão equivocada de algo muito difícil de ser entendido e assimilado. Definição do Algebrismo na Matemática O Algebrismo na Matemática é definido como um conjunto de teorias emaranhadas; de problemas muito complicados, sem a menor aplicação em nosso cotidiano; um conjunto de cálculos numéricos trabalhosos,  dos quais o estudante quase nada aproveita; muitas questões fora da vida real; de inúmeras demonstrações longas, complexas, cheias de sutilezas, enfim, é tudo o que o professor apresenta em Matemática, fora dos objetivos reais dessa ciência, com finalidade única de complicar, dificultar e tornar obscuro o ensino da Matemática, apenas para mostrar que tal conhecimento é imensamente complexo e acessível a poucos “ilustres” estudantes, o que é uma grande mentira e só vem gerando grande descontentamento de todos. Sabe-se que esse mal já é muito antigo. Alertamos que o Prof. José Ferraz de Camposno ano de 1928, teceu o seguinte comentário com relação aos professores algebristas: “... é comum desperdiçarem o seu tempo a propor e a antolhar os alunos de dificuldades abstratas, desinteressantes e fastidiosas, em vez de irem buscar no inesgotável manancial dos fatos e das circunstâncias da vida ordinária, os dados necessários à organização de problemas úteis”. Os Principais Inimigos da Matemática Acreditamos que o professor algebrista vem sendo apoiado por um sistema que valoriza demasiadamente os conteúdos absurdos de matemática, que são exigidos muita  vezes em programas curriculares, programa de provas em concursos públicos ou vestibulares e livros didáticos equivocados e que não ensinam o aluno para uma educação voltada para a vida, com problemas práticos e aplicados sempre em nosso dia a dia e colaboram sistematicamente para aumentar o repúdio ao ensino da disciplina. Muitos professores praticam o algebrismo por exigência do seu curso. Citemos um exemplo: A divisão do binômio x^16 – a^16 por x^2 – a^2 apresentado como problema no Ensino Médio. Não existe problema algum, em ciência alguma, que conduza o aluno a um binômio do 16º grau dividido por outro do 2º grau. Para que isso serve? Então, para que forçar o aluno a resolver essa inutilidade? Ao longo das séries do ensino fundamental, há uma verdadeira cadeia de algebrismo atormentando os estudantes. Um professor X ensina, na 5ª série, um disparate qualquer com receio de que o professor Y, mais tarde na 6ª série, possa exigir esse falso conhecimento. E assim por diante... É muito fácil apontarmos centenas de professores, dedicados e eficientes, que orientam os seus trabalhos de suas classes,  na ilusão de que devem ensinar o difícil que não tem aplicação, a fim de que os estudantes aprendam bem o simples, o fácil que tem aplicação. Encarar o ensino da Matemática desta maneira é antididática e errônea. Ensinar bem o fácil que é básico e fundamental deveria ser nosso foco; isto é, insistindo nas noções conceituais importantes; e obrigar o estudante a ser correto em sua linguagem; seguro e preciso em seus cálculos; e impecável em seus raciocínios. É um crime, porém, atormentar o aluno com teorias inúteis, difíceis ou trabalhosas. As teorias complicadas e obscuras fazem nascer, no espírito do aluno, verdadeira aversão e intolerância pela Matemática. Julgamos que é um crime esconder a beleza da Matemática implantando, nessa ciência, as deformações do algebrismo. O cálculo trabalhoso e inútil deve ser abolido, nos ensinos fundamental e médio. Didaticamente, é fácil observar que o algebrismo é o inimigo n.º 1 da  Matemática.  Então, vamos caracterizar, de maneira bem clara, em que consiste o algebrismo, para que não sejamos mal interpretados, encarando-o do ponto de vista do ensino da Matemática, com toda as suas extravagâncias, através da exemplificação de alguns problemas apresentados em muitos livros didáticos destinados aos ensinos fundamental ou médio ou em provas dos mais variados concursos: 1) É dada a fração ordinária irredutível 1/117 que, convertida em número decimal, dá origem a uma dízima periódica simples. Achar o período, dessa dízima, efetuando uma única multiplicação. Além desta multiplicação nenhuma outra operação será admitida; 2) Mostrar, graficamente, que a equação x + x - 5 = 7 admite duas raízes reais e desiguais, e determinar essas raízes com auxílio de uma equação do 2º grau. Essas questões e outras muito mais difíceis, apresentadas a estudantes dos ensinos fundamental ou médio, degeneram em puro, em autêntico algebrismo. Outrossim poderiam ser ensinadas, talvez com muito interesse em um Curso Superior de Matemática (Bacharelado e Licenciatura); tais problemas caberiam, perfeitamente, como assunto de prova prática, num concurso para professores de Matemática; e seriam admissíveis, ainda, num Curso de Aperfeiçoamento de Professores de Matemática. Muitos professores cultivam o algebrismo por vaidade e esforçam-se a fim de que os alunos não compreendam suas aulas, firmados no preceito contista, de que aquilo que não se entende, é venerado.  Concordando com isso, inconscientemente alguns estudantes estão convencidos de que só os grandes matemáticos podem ensinar coisas que os ouvintes não compreendem. Acreditamos que um professor, sempre que for desenvolver a sua prova ou cobrar os seus exercícios em aula, deveria ter em mente algumas perguntas, tais como: a) Qual é a finalidade desse problema ou dessa transformação? b) A que curso ou a que concurso esse problema será destinado? Muitos estudantes talentosos são afastados de suas vocações em função da não aptidão para os estudos abstratos e pesquisas teóricas exigidas pelo algebrismo, que ainda vigora em nossos currículos de matemática. Muitos são os professores que desenvolvem, dentro dos ensinos fundamental e médio, um programa imenso, nebuloso, cheio de teorias ocas, inúteis, com a finalidade principal de preparar matemáticos teóricos, pesquisadores ou cientistas para alguma academia imaginária de Análises transcendentais. Sabemos que, apesar dos reparos e censuras de vários estudiosos, o algebrismo ainda está presente diante da realidade estudantil, permanecendo com o peso de sua inutilidade no ensino da Matemática. Para o bem geral e do ensino da Matemática, precisamos abolir, ou pelo menos reduzir a um mínimo razoável, a obsessão algebrista de certos professores de matemática que encontramos facilmente em nossas escolas.  Sabemos que há professores que detestam o algebrismo e reconhecem o mal que, para o ensino, decorre dessa prática, mas não se sentem capazes de trilhar outro caminho, dentro da Didática da Matemática, que conduza os seus alunos a compreenderem melhor sua utilidade, e continuam preparando as suas aulas da mesma forma que os seus professores mestres algebristas, contribuindo dessa maneira para a manutenção do medo da Matemática e não para sua eliminação de nossos bancos escolares. O Algebrismo Existe Mesmo em Nossas Escolas? A maior prova de que o algebrismo existe é dado pelo sintoma de rotina que podemos observar facilmente, analisando com atenção alguns dos inúmeros livros didáticos; os exercícios algebrísticos não variam; estão enraizados nos vários capítulos da Matemática e são os mesmos que eram enunciados há cinquenta ou mais anos. Para verificarmos tais absurdos, observemos dois problemas apresentados em provas e em livros didáticos para o Ensino Fundamental da Matemática a) Um quitandeiro distribuiu 1.855 maçãs em quatro caixas cujos volumes são inversamente proporcionais aos números 6, 8, 12 e 15. Quantas maçãs ele colocou em cada uma? Lendo o enunciado desse problema, não encontramos a menor indicação sobre o tamanho de uma das quatro caixas. Vemos ainda, que o quitandeiro não é obrigado a encher literalmente as quatro caixas com as 1.855 maçãs. Deverá, apenas, distribuir as maçãs pelas quatro caixas. A única condição do confuso problema é que essas caixas tenham os respectivos volumes inversamente proporcionais aos quatro números dados. E que volumes serão esses? As quatro caixas podem ser enormes, cabendo, na menor, por exemplo, as 1.860 maçãs. O quitandeiro, nesse caso, poderá distribuir as 1.855 maças pelas quatro caixas à vontade. Cada caixa poderá receber do total dado, o número de maçãs que ele quiser. O número de soluções do problema (dentro da hipótese que formulamos) que não é infinito, mas é muito grande. O certo seria dispensar o quitandeiro, distribuir as maçãs pelas crianças do bairro, suprimir as quatro caixas, e propor, apenas, sem rodeios e sem fantasias, uma nova apresentação do problema, ou seja: Dividir o número 1.855 em partes inversamente proporcionais aos números 6, 8, 12 e 15. O autor do problema, anteriormente apresentado, embora quisesse transformar ele em uma aplicação real, não foi feliz em seu propósito e consequentemente atentou contra o ensino da Matemática; b) Um dono de estábulo vendia diariamente 255 litros de leite. Destes litros uns eram misturados com água. Vendeu 21 litros de leite de 1ª qualidade (leite puro) e 44 litros de 2ª qualidade (leite com água) e assim ficou com partes iguais das duas quantidades. Que porção de leite tinha de cada espécie? Esse é um exemplo do algebrismo que é rico em impropriedade didática. A questão aritmética aqui proposta parece aceitar como coisa certa, legal e perfeitamente admissível, que um leiteiro procure aumentar os seus proventos, vendendo o chamado leite de 2ª qualidade (leite com água). A ação é criminosa, e quem a pratica está atentando contra a saúde pública, estando sujeito, portanto, às penalidades da Lei. Que importa tudo isso? O ato torpe em que foi inspirado o problema do leiteiro delinquente é apresentado a inúmeros jovens e que nunca poderia ser aceito numa aula de ensino para uma vida civilizada. No caso em questão, o algebrismo é amoral e não educativo. c) Vamos imaginar que eu escrevo todos os números inteiros desde 204 até 15.611. Quantas vezes o 9 aparece entre dois setes? d) Vamos admitir que eu possa escrever todos os números desde 411 até 183.944, inclusive. Quantos algarismos eu empreguei? Qual é o algarismo que aparece em 3.418º lugar? e) Achar todos os divisores de 18.252 que são quadrados perfeitos. Todas estas questões acima(c, d, e), tratam-se de problemas trabalhosos, sem originalidade alguma, sem interesse e sem a menor aplicação, dentro ou fora da Matemática.  Ressaltamos que isso é apenas algebrismo, isto é, são verdadeiras monstruosidades aritméticas. Esse tópico possui, para muitos de seus defensores a única aplicação de um simples exercício de cálculo. Porém, verdadeiramente, as expressões numéricas acima só conseguem implantar no espírito do estudante, a irremediável ojeriza pelo estudo da Matemática.  Ressaltamos que os problemas ora apresentados indicam a barbárie imposta aos estudantes e evidenciam diretamente o algebrismo existente no ensino da Matemática. Como Formular de Modo Correto os Problemas Matemáticos O ensino da Matemática está repleto de questões irreais, mentirosas, implementados pela imaginação mórbida dos algebristas.  Com relação a isso, particularmente, na apresentação de diversos problemas, sugerimos as seguintes atitudes, entre outras afim de evitarmos tais arbitrariedades: 1º) Os dados de um problema devem ser familiares, próprios da experiência do aluno, isto é, devem constituir uma situação em que o estudante possa facilmente imaginar encontrar-se nela; 2º) O caráter principal de um problema deve consistir em haver uma razão para resolvê-lo, isto é, se o aluno estiver na situação descrita no problema, sentirá uma necessidade real de encontrar a solução que o problema reclama; 3º) O vocabulário e a estrutura da redação do problema devem encontrar- se dentro da capacidade de leitura dos nossos alunos. 4º) Propor questões que sejam revestidos de ética e comportamento exemplar dentro da mais perfeita civilidade e harmonia e que possam transmitir positividade e bons exemplos ao corpo de alunos, pois nunca devemos esquecer que você além de matemático também é um educador e é exemplo copiado por todos.  Sabemos que a Matemática, como qualquer outra ciência, deva ter suas dificuldades e desafios, mas é preciso escoimá-la dos germes comprometedores ao seu aprendizado. É tão comum ouvirmos de diversos estudantes a confissão de incapacidade para compreender a Matemática, o que nos motiva a tornar o seu estudo atraente, tanto quanto possível, aperfeiçoando os programas curriculares; encorajando os estudantes e assinalando os seus progressos, as suas falhas, sempre com bondade e persuasão. Devemos Cobrar as Demonstrações dos Nossos Alunos? No que tange as demonstrações de inúmeros teoremas no decorrer dos ensino fundamental e médio, cumpre ao professor consciencioso, bem orientado sobre os objetivos da Matemática, não torturar os seus alunos com demonstrações trabalhosas, ou longos raciocínios cheios de sutilezas, ou seja, no ensino da Matemática devem ser suprimidas as demonstrações complicadíssimas que têm sido a tortura dos estudantes não aptos para o estudo dessa ciência. Os algebristas ferrenhos, algemados pela rotina, não se capacitam dessa verdade.  O ensino algebrista da Matemática é um mal mundial. Entre inúmeros professores de diferentes nacionalidades e de alto prestígio, perfilam-se aqueles que colocam, acima de tudo, a parte abstrata da ciência e menosprezam as aplicações práticas. O Combate ao Algebrismo Já vimos que, para o ensino da Matemática, são danosas as consequências do algebrismo. Como combatê-lo? Como expurgar a Matemática desse entulho pesado e inútil? Estando o algebrismo fortemente ligado a rotina diária dos estudos em matemática, será impossível suprimi-lo integralmente. Escudado pela rotina ele resistirá. Os argumentos, os fatos apontados, não chegarão a mudar a atitude errônea do algebrista e derrubá-lo do pedestal em que se acha, a mais de um século acocorado. Sabemos que o algebrismo, para muitos professores, é fonte de renda. Torturado por essa vil prática de ensino, o estudante vê-se forçado a tomar aulas particulares, a contratar um explicador. No dia em que o algebrismo desaparecer, os seus exploradores serão obrigados a procurar outro meio de vida. Desta forma, para atenuarmos seus efeitos maléficos, apontamos algumas medidas: a) A revisão cuidadosa dos programas curriculares, com o objetivo de simplificá-los, e torná-los mais vivos e mais interessantes. Os atuais programas devem encerrar muitas noções parasitas, teorias inúteis e transformações algébricas sem a menor aplicação em ciência alguma, ou situação da vida real. Todo esse entulho algébrico deve ser suprimido. No ensino da Matemática, precisamos suprimir matérias e aliviar os deplorativos programas de Matemática, atufados de inutilidades; b) A apresentação analítica dos programas, pois um programa sintético combate diretamente a tendência algebrista de certos professores mal orientados; c) A supressão dos problemas em falso e a limitação do cálculo algébrico, ou seja, não propor aos nossos alunos problemas com dados numéricos fora da vida real. Afirmamos que os problemas apresentados aos educandos nunca devem falsear a verdade. A finalidade dos problemas de Matemática não é a de preparar só para a Escola, mas sim a de habilitar para as ocupações normais da vida. Por essa razão, devem provir de situações reais da vida dos alunos ou de situações que os mesmos possam compreender como capazes de ocorrer com frequência. Para que forçar os nossos estudantes a efetuarem cálculos e transformações totalmente inúteis. Como Devemos Escolher o Livro Didático e Implementar Nossos Planos de Aulas Muitos dos livros didáticos destinados ao ensino da Matemática, nos ensinos fundamental e médio, são elaborados de acordo com os programas curriculares. Nos referidos livros, o autor apresenta os diversos pontos com o necessário desenvolvimento de modo que os alunos encontrem, em suas páginas, os assuntos exigidos nas provas, nos concursos, etc. O professor ao adotar um livro deve examiná-lo com bastante atenção para ver se o mesmo não é repleto de problemas difíceis, sem a menor finalidade teórica ou prática, pois senão, esse professor, mesmo sem querer, será levado a praticar o algebrismo em sua classe.  Como consequência, o livro didático considerado, por muitos professores e estudantes, como bom e eficiente, na maioria dos casos é do princípio ao fim, um amontoado de algebrismos sem utilidade prática.  Sempre devemos fazer uma análise completa do livro didático, antes de adotá-lo e, caso não concordemos com alguma coisa devemos acionar aos seus autores as nossas opiniões, para que esses, diante de nossas opiniões, concluam que devem melhorar e até alterar a sua obra. Chega de mostrarmos aos nossos estudantes ideias ultrapassadas e bitoladas, preparemos planos de aula com o verdadeiro propósito do ensino, pois os atuais alunos serão os homens do futuro, profissionais que herdarão as lideranças educacionais, políticas e econômicas do Brasil. Com o algebrista não devemos ter a menor complacência. Evitemos, a todo custo, os golpes que ele está sempre disposto a desferir contra a beleza e a simplicidade da Matemática. Qualquer brecha abre, para o algebrista, caminho para os excessos mais desastrosos!  Acreditamos que, aparando as arestas curriculares do algebrismo, será possível dar mais importância ao aspecto cultural, intercalar a história da evolução dos conceitos e a parte prática indispensável na vida corrente. Só assim, caminharemos para o aniquilamento do mal do  algebrismo. Segundo o grande sábio Rui Barbosa, em seu famoso parecer sobre a Reforma do Ensino Primário, publicado em 1883, chamava a atenção dos educadores e parlamentares para a irrealidade do ensino. Esse grande homem dizia que o segredo da importância do ensino atual e do seu peso acabrunhador está na irrealidade. Longe de preparar as crianças para a batalha da vida, a escola parece amoldada ao cálculo de transportá-la a outro mundo, mais turvo, mais penoso; não absolutamente a paragens encantadoras, mas a uma região ocupada por impérvias abstrações e vagas sombras. A partir do exposto, observamos que o combate ao algebrismo é uma tarefa árdua e dificílima, pois o mesmo conta, realmente, com uma aliada muito forte e obstinada: a rotina imposta pelo programa curricular, por alguns livros didáticos, entre outros, os quais vêm reforçando equivocadamente ao mal do algebrismo. Cabe a nós todos, a pertinaz tarefa de consolidar e manter a qualquer custo uma educação de qualidade, sempre voltada para o crescimento intelectual de todos e  em permanente atuação em todos os níveis e modalidades de ensino e combatendo enfaticamente todos os desvios e equivocos mencionados nesta matéria. Conclusão Depois dessa leitura, constatamos que o ensino da Matemática hoje está agonizando, contando com alguns livros inadequados, programas curriculares de ensino igualmente equivocados, muitos professores algebristas, e tudo conspirando para acentuar ainda mais o medo dos alunos pela disciplina.  Algo precisa ser mudado, mas como mudar se os concursos, as provas e toda a rotina gira em torno dessa matemática algebrista e inútil em nosso cotidiano, que infelizmente é cobrada erroneamente pela sociedade organizada em concursos públicos, provas e testes enfadonhos. Ensinar Matemática não é uma tarefa fácil, contudo nesse artigo, apontamos alguns focos dos quais acreditamos irradiar as maiores dificuldades relativas ao ensino dessa disciplina e de onde, provavelmente, surge o medo e as deficiências no ensino da Matemática e apresentamos algumas soluções. Precisamos, com certeza encontrarmos um novo jeito de ensinar, algo mais útil, utilizando-se quem sabe das muitas mídias amplamente aceitas pelo nosso contingente estudantil, como os computadores e outras tecnologias que possam motivar o aprendizado de todo nosso corpo discente e servir a nossa socidade  positivamente, gerando no futuro profissionais de todos os níveis bem mais preparados para servir nosso país em todos os sentidos. fonte:recordandomatematica.blogspot.com.br

História da Geometria

HISTÓRIA DA GEOMETRIA
Uma estranha construção feita pelos antigos persas para estudar o movimento dos astros. Um compasso antigo. Um vetusto esquadro e, sob ele, a demonstração figurada do teorema de Pitágoras. Um papiro com desenhos geométricos e o busto do grande Euclides. São etapas fundamentais no desenvolvimento da Geometria. Mas, muito antes da compilação dos conhecimentos existentes, os homens criavam, ao sabor da experiência, as bases da Geometria. E realizavam operações mentais que depois seriam concretizadas nas figuras geométricas.

Uma medida para a vida
As origens da Geometria (do grego medir a terra) parecem coincidir com as necessidades do dia-a-dia. Partilhar terras férteis às margens dos rios, construir casas, observar e prever os movimentos dos astros, são algumas das muitas atividades humanas que sempre dependeram de operações geométricas. Documentos sobre as antigas civilizações egípcia e babilônica comprovam bons conhecimentos do assunto, geralmente ligados à astrologia. Na Grécia, porém, é que o gênio de grandes matemáticos lhes deu forma definitiva. Dos gregos anteriores a Euclides, Arquimedes e Apolônio, consta apenas o fragmento de um trabalho de Hipócrates. E o resumo feito por Proclo ao comentar os "Elementos" de Euclides, obra que data do século V a.C., refere-se a Tales de Mileto como o introdutor da Geometria na Grécia, por importação do Egito.
Pitágoras deu nome a um importante teorema sobre o triângulo-retângulo, que inaugurou um novo conceito de demonstração matemática. Mas enquanto a escola pitagórica do século VI a.C. constituía uma espécie de seita filosófica, que envolvia em mistério seus conhecimentos, os "Elementos" de Euclides representam a introdução de um método consistente que contribui há mais de vinte séculos para o progresso das ciências. Trata-se do sistema axiomático, que parte dos conceitos e proposições admitidos sem demonstração (postulados o axiomas) para construir de maneira lógica tudo o mais. Assim, três conceitos fundamentais - o ponto, a reta e o círculo - e cinco postulados a eles referentes servem de base para toda Geometria chamada euclidiana, útil até hoje, apesar da existência de geometrias não-euclidianas baseadas em postulados diferentes (e contraditórios) dos de Euclides.
O corpo como unidade
As primeiras unidades de medida referiam-se direta ou indiretamente ao corpo humano: palmo, pé, passo, braça, cúbito. Por volta de 3500 a.C. - quando na Mesopotâmia e no Egito começaram a ser construídos os primeiros templos - seus projetistas tiveram de encontrar unidades mais uniformes e precisas. Adotaram a longitude das partes do corpo de um único homem (geralmente o rei) e com essas medidas construíram réguas de madeira e metal, ou cordas com nós, que foram as primeiras medidas oficiais de comprimento.
Ângulos e figuras
Tanto entre os sumérios como entre os egípcios, os campos primitivos tinham forma retangular. Também os edifícios possuíam plantas regulares, o que obrigava os arquitetos a construírem muitos ângulos retos (de 90º). Embora de bagagem intelectual reduzida, aqueles homens já resolviam o problema como um desenhista de hoje. Por meio de duas estacas cravadas na terra assinalavam um segmento de reta. Em seguida prendiam e esticavam cordas que funcionavam à maneira de compassos: dois arcos de circunferência se cortam e determinam dois pontos que, unidos, secionam perpendicularmente a outra reta, formando os ângulos retos.
O problema mais comum para um construtor é traçar, por um ponto dado, a perpendicular a uma reta. O processo anterior não resolve este problema, em que o vértice do ângulo reto já está determinado de antemão. Os antigos geômetras, o solucionavam por meio de três cordas, colocadas de modo a formar os lados de um triângulo-retângulo. Essas cordas tinham comprimentos equivalentes a 3, 4 e 5 unidades respectivamente. O teorema de Pitágoras explica porque: em todo triângulo-retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto). E 32+42=52, isto é, 9+16=25.
Qualquer trio de números inteiros ou não que respeitem tal relação definem triângulos-retângulos, que já na antiguidade foram padronizados na forma de esquadros.
Para medir superfícies
Os sacerdotes encarregados de arrecadar os impostos sobre a terra provavelmente começaram a calcular a extensão dos campos por meio de um simples golpe de vista. Certo dia, ao observar trabalhadores pavimentando com mosaicos quadrados uma superfície retangular, algum sacerdote deve ter notado que, para conhecer o total de mosaicos, bastava contar os de uma fileira e repetir esse número tantas vezes quantas fileiras houvesse. Assim nasceu a fórmula da área do retângulo: multiplicar a base pela altura.
Já para descobrir a área do triângulo, os antigos fiscais seguiram um raciocínio extremamente geométrico. Para acompanhá-lo, basta tomar um quadrado ou um retângulo e dividí-lo em quadradinhos iguais. Suponhamos que o quadrado tenha 9 "casas" e o retângulo 12. Esses números exprimem então a área dessas figuras. Cortando o quadrado em duas partes iguais, segundo a linha diagonal, aparecem dois triângulos iguais, cuja área, naturalmente, é a metade da área do quadrado.
Quando deparavam com uma superfície irregular da terra (nem quadrada, nem triangular), os primeiros cartógrafos e agrimensores apelavam para o artifício conhecido como triangulação: começando num ângulo qualquer, traçavam linhas a todos os demais ângulos visíveis do campo, e assim este ficava completamente dividido em porções triangulares, cujas áreas somadas davam a área total. Esse método - em uso até hoje - produzia pequenos erros, quando o terreno não era plano ou possuía bordos curvos.



De fato, muitos terrenos seguem o contorno de um morro ou o curso de um rio. E construções há que requerem uma parede curva. Assim, um novo problema se apresenta: como determinar o comprimento de uma circunferência e a área de um círculo. Por circunferência entende-se a linha da periferia do círculo, sendo este uma superfície. Já os antigos geômetras observavam que, para demarcar círculos, grandes ou pequenos, era necessário usar uma corda, longa ou curta, e girá-la em torno de um ponto fixo, que era a estaca cravada no solo como centro da figura. O comprimento dessa corda - conhecido hoje como raio - tinha algo a ver com o comprimento da circunferência. Retirando a corda da estaca e colocando-a sobre a circunferência para ver quantas vezes cabia nela, puderam comprovar que cabia um pouco mais de seis vezes e um quarto. Qualquer que fosse o tamanho da corda, o resultado era o mesmo. Assim tiraram algumas conclusões: a) o comprimento de uma circunferência é sempre cerca de 6,28 vezes maior que o de seu raio; b) para conhecer o comprimento de uma circunferência, basta averiguar o comprimento do raio e multiplicá-lo por 6,28.
E a área do círculo? A história da Geometria explica-a de modo simples e interessante. Cerca de 2000 anos a.C., um escriba egípcio chamado Ahmes matutava diante do desenho de um círculo no qual havia traçado o respectivo raio. Seu propósito era encontrar a área da figura.
Conta a tradição que Ahmes solucionou o problema facilmente: antes, pensou em determinar a área de um quadrado e calcular quantas vezes essa área caberia na área do círculo. Que quadrado escolher? Um qualquer? Parecia razoável tomar o que tivesse como lado o próprio raio da figura. Assim fez, e comprovou que o quadrado estava contido no círculo mais de 3 vezes e menos de 4, ou aproximadamente, três vezes e um sétimo (atualmente dizemos 3,14 vezes). Concluiu então que, para saber a área de um círculo, basta calcular a área de um quadrado construído sobre o raio e multiplicar a respectiva área por 3,14.
O número 3,14 é básico na Geometria e na Matemática. Os gregos tornaram-no um pouco menos inexato: 3,1416. Hoje, o símbolo p ("pi") representa esse número irracional, já determinado com uma aproximação de várias dezenas de casas decimais. Seu nome só tem uns duzentos anos e foi tirado da primeira sílaba da palavra peripheria, significando circunferência.
Novas figuras
Por volta de 500 a.C., as primeiras universidades eram fundadas na Grécia. Tales e seu discípulo Pitágoras coligiram todo o conhecimento do Egito, da Etúrria, da Babilônia, e mesmo da Índia, para desenvolvê-los e aplicá-los à matemática, navegação e religião. A curiosidade crescia e os livros sobre Geometria eram muito procurados. Um compasso logo substituiu a corda e a estaca para traçar círculos, e o novo instrumento foi incorporado ao arsenal dos geômetras. O conhecimento do Universo aumentava com rapidez e a escola pitagórica chegou a afirmar que a Terra era esférica, e não plana. Surgiam novas construções geométricas, e suas áreas e perímetros eram agora fáceis de calcular.
Uma dessas figuras foi chamada polígono, do grego polygon, que significa "muitos ângulos". Atualmente até rotas de navios e aviões são traçadas por intermédio de avançados métodos de Geometria, incorporados ao equipamento de radar e outros aparelhos. O que não é de estranhar"desde os tempos da antiga Grécia, a Geometria sempre foi uma ciência aplicada, ou seja, empregada para resolver problemas práticos. Dos problemas que os gregos conseguiram solucionar, dois merecem referência: o cálculo da distância de um objeto a um observador e o cálculo da altura de uma construção.
No primeiro caso, para calcular, por exemplo, a distância de um barco até a costa, recorria-se a um curioso artifício. Dois observadores se postavam de maneira que um deles pudesse ver o barco sob um ângulo de 90º com relação à linha da costa e o outro sob um ângulo de 45º. Isto feito, a nave e os dois observadores ficavam exatamente nos vértices de um triângulo isósceles, porque os dois ângulos agudos mediam 45º cada um, e portanto os catetos eram iguais. Bastava medir a distância entre os dois observadores para conhecer a distância do barco até a costa.



O cálculo da altura de uma construção, de um monumento ou de uma árvore é também muito simples: crava-se verticalmente uma estaca na terra e espera-se o instante em que a extensão de sua sombra seja igual à sua altura. O triângulo formado pela estaca, sua sombra e a linha que une os extremos de ambos é isósceles. Basta medir a sombra para conhecer a altura.

Fonte: Dicionário Enciclopédico Conhecer - Abril Cultural
Antonio Carlos Carneiro Barroso
HTTP://ensinodematemtica.blogspot.com

Os Maiores Matemáticos do Mundo!

Lista Aleatória com os Maiores Matemáticos de Todos os Tempos
Nessa publicação, estamos prestando uma pequena homenagem aos onze maiores matemáticos que já passaram pela história da matemática, desenvolvida em toda nossa humanidade e que nos deixaram inúmeras contribuições científicas de grande valor a todos. Sem seus trabalhos não teriamos todo o conforto que hoje estamos desfrutando, como uma indústria desenvolvida, sistemas de computação cada vez mais inteligentes, aparelhos telefônicos, internet e celulares, arquitetura, engenharia cada vez mais eficientes, agricultura mecanizada, entre tantas outras aplicações. É muito difícil sabermos qual deles foi o maior ou o melhor de todos, por isso eles figuram em nossa lista de forma aleatória.  Sabemos que existem muito outros que também são merecedores de figurar nesta lista e em nossos registros, como Albert Einstein, Évariste Galois, Al-Khwarizmi, e muitos outros, que pretendemos abordar futuramente. 

1. Pitágoras de Samos - (fundador da matemática moderna)

Pitágoras é considerado por muitos, como um dos maiores dos primeiros matemáticos da humanidade. Ele viveu entre os anos de 570-495 a.C, na Grécia moderna.  Foi conhecido por ter fundado a escola de Pitágoras, cujos realatos descritos por Aristóteles seria um dos primeiros grupos a estudar ativamente a matemática naquela ocasião.  A ele também é creditado o Teorema de Pitágoras até hoje muito usado na trigonometria.  No entanto, algumas fontes duvidam que seja ele quem construiu a prova deste teorema (alguns atribuem a prova aos seus alunos, ou mesmo a Baudhayana que viveu cerca de 300 anos antes dele, na Índia).  No entanto, o efeito positivo que o teorema nos trouxe, é muito expressivo na matemática fundamental.  Ele desempenha um papel importante também nas medições modernas, sobretudo nos equipamentos tecnológicos, além de ser a base de uma grande parcela dos estudos para outras áreas e desenvolvimento de outros teoremas em matemática.  Mas, ao contrário da maioria das teorias antigas, este desempenhou uma influência sobre o desenvolvimento muito grande da geometria, bem como abriu a porta para o estudo da matemática como um esforço meritório.  Assim, ele poderia ser chamado de o pai fundador da matemática moderna.

2. Leonhard Euler - (o rei da matemática)

Euler viveu entre os anos de 1707-1783, e é considerado como o maior matemático que já pisou neste planeta.  Ele juntamente com Einstein são considerados verdadeiros gênios.  Sua principal contribuição para o campo matemático é com a introdução da notação matemática, incluindo o conceito de uma função (e como ela é escrita como f(x)), funções trigonométricas taquigrafia, o "e" para a base do logaritmo natural (a constante de Euler), a letra grega Sigma para soma e a letra  “i” para as unidades imaginárias dos números complexos, bem como o pi símbolo para a relação do círculo de uma circunferência e o seu diâmetro.  São inúmeras suas contribuições para a matemática moderna, que são usadas por nós todos os dias até o incrível  número complexo.

Ademais, ele contribuiu muito ao desenvolver cálculo, topologia, teoria dos números, análise e teoria dos grafos, e, finalmente, ele abriu o caminho para a matemática moderna e todas as suas revelações.  É muito provável que os desenvolvimentos da indústria e tecnológicas que tiveram um crescimento espantoso nos nossos tempos, se devem muito aos seus descobrimentos no campo das muitas ciências e tecnologias  aplicadas às máquinas modernas.

3. Carl Friedrich Gauss - (o príncipe da matemática)

Ele fez sua primeira grande descoberta quando ainda era um adolescente, e escreveu o livro: Disquisitiones Arithmeticae, que é um livro-texto sobre a teoria dos números e foi escrito em latim no ano de 1798, quando ele tinha apenas 21 anos de idade. Relatos dizem que Gauss, por sua habilidade excepcional, conseguiu somar os números 1 a 100 em poucos segundos, enquanto ele frequentou a escola primária (com a ajuda de um truque inteligente).  Como prêmio o Duque local o enviou para estudar nas melhores escolas de seu tempo.  Após graduar-se em 1798 (com a idade de 22 anos), ele começou a desenvolver várias contribuições importantes nas principais áreas da matemática, mais notadamente na teoria dos números (especificamente sobre os números primos).  Ele teria conseguido provar o teorema fundamental da álgebra, e introduzido a constante gravitacional Gaussian na física, bem como desenvolver outros estudos importantes, tudo isso antes dele completar 24 anos.  Mas, ele continuou seus trabalhos até a sua morte que se deu aos 77 anos de idade, ficando conhecido também como o príncipe da matemática, pois foi com pouca idade que ele se destacou na matemática e física.

4. Euclides de Alexandria -(o pai da geometria)

Viveu em torno de 300 a.C, ele é considerado o pai da geometria por ter publicado sua famosa obra Os Elementos, que é uma das maiores obras de matemática de toda a história da matemática, com o seu uso na educação até o século 20.  Infelizmente, muito pouco se sabe sobre a sua vida, e o que existe foi escrito muito anos depois de sua morte presumida. No entanto, a Euclides é creditado com a instrução da prova rigorosa e lógica para diversos teoremas e conjecturas.  Esse quadro é usado ainda nos nossos dias, e assim, sem dúvida, ele teve a maior influência de todos os matemáticos desta lista.  Ao lado da obra Os elementos de Euclides foram outras cinco obras remanescentes, que teriam sido escritas por ele, usando em todas o tema da Geometria ou teoria dos números.  Existe ainda mais cinco obras que, infelizmente, foram perdidas ao longo da história.

5. Isaac Newton 

É considerado por muitos como o 'inventor' do cálculo infinitesimal moderno, e ainda fez diversas contribuições para esse campo da matemática.  Considerando por quase todos como um gênio por causa da sua grande contribuição científica épica Principia,

Em sua famosa obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, ele foi considerado um dos mais influentes na história desta ciência. Sua obra, publicada no ano de 1687, descreve a lei da gravitação universal e as três leis de Newton, que fundamentaram a mecânica clássica.

6. Leonardo Fibonacci  ou Leonardo Pisano Blgollo

Blgollo, também conhecido como Leonardo Fibonacci, talvez seja um dos maiores matemáticos da idade média. Viveu entre os anos de 1170-1250, ficou conhecido por apresentar a famosa série de Fibonacci para o mundo ocidental.  Ainda que essa séria seria do conhecimento por matemáticos indianos, desde cerca de 200 a.C, no entanto, ficou conhecida por ele como uma sequência muito curiosa por aparecer em sistemas biológicos com muita frequência.  Além disso, Fibonacci também contribuiu muito para a introdução do sistema de numeração árabe, embora ele é muitas vezes esquecido por esse feito.  Ele teria passado grande parte de sua infância no interior do Norte de África, onde aprendeu o sistema de numeração árabe, e ao perceber que era muito mais simples e mais eficiente que os algarismos romanos que eram mais volumosos, decidiu viajar o mundo árabe e aprender com os maiores matemáticos do dia. Ao retornar para a Itália em 1202, ele publicou seu livro conhecido como Liber Abaci, em que o que os números arábicos foram introduzidos e aplicados para muitas situações do mundo para uma melhor utilização no cotidiano. Como resultado de seu trabalho, o sistema foi adotado gradualmente e hoje ele é considerado um dos matemáticos mais importantes no desenvolvimento da matemática moderna.

7) Alan Turing

Considerado como o cientista da computação, O Criptoanalista(Analista de criptografia) Alan Turing é visto por muitos como uma das maiores mentes do século 20. Trabalhou no descobrimento do código de Governo e na Escola Cypher da Grã-Bretanha, durante a Segunda Guerra Mundial, onde fez importantes descobertas e criou métodos inovadores para desenvolver um código que acabaria por ajudar a elucidar o enigma utilizado nas criptografias alemães.  Com isso, atingiu sem dúvida, o resultado da guerra, ou pelo menos na escala de tempo utilizada nas batalhas.

Após o final da guerra, ele investiu seu tempo na computação, chegando a idealizar uma máquina moderna para o seu tempo em estilo de computador. Ele é considerado como um dos primeiros verdadeiros cientistas da computação. Além disso, escreveu uma série com brilhantes artigos sobre o assunto de computação, que são muitos relevantes ainda hoje, nomeadamente sobre inteligência artificial, em que, desenvolveu o teste de Turing, que ainda hoje é usado para avaliar a inteligência das pessoas frente aos computadores. Em 1948, começou a trabalhar com DG Champernowne (David Gawen Champernowne), em que ambos desenvolveram um programa de computador para jogo de xadrez, utilizando-se de uma máquina que ainda não existiria naquela época. 

8. René Descartes

Filósofo francês, físico e matemático René Descartes é mais conhecido por sua filosofia "Cogito Ergo Sum" que significa "penso, logo existo".  Apesar disso, o francês, que viveu nos anos de 1596-1650, foi um dos maiores inovadores em contribuições para a matemática.  Ao lado de Newton e Leibniz, Descartes ajudou a fornecer as bases de cálculo moderno em que mais tarde, Newton e Leibniz construíria as bases do cálculo, por isso também teve grande influência sobre o campo da matemática moderna. Paralelamente, e talvez mais conhecido do caro leitor, é o seu desenvolvimento da Geometria cartesiana, criador do famoso gráfico padrão (desenvolvido por linhas de grade quadrada, eixos X e Y, etc.) e seu uso da álgebra até hoje para descrever os vários locais de suas coordenadas.  Antes dele, a maioria utilizava o papel comum (ou outro material ou de superfície) para desenvolver a sua arte e os seus estudos.  Anteriormente, essas distâncias tinham de serem medidas manualmente, dimensionadas passo a passo. Com a introdução da geometria cartesiana isto mudou dramaticamente, pontos podiam agora ser expressos como pontos num gráfico, e, como tal, poderia ser confeccionado os gráficos desenhados em qualquer escala. Estes pontos também não têm necessariamente de ser expressos por números.  A última contribuição para o campo era sua introdução aos expoentes dentro de álgebra para expressar a multiplicação com a mesma base em vários fatores.  Esse assim, como muitos outros que figuram nesta lista, contribuíram para o desenvolvimento da notação da matemática moderna.

9. G.F Bernhard Riemann - (Georg Friedrich Bernhard Riemann)

Bernhard Riemann, nascido em uma família pobre em 1826, subiria para se tornar um dos maiores matemáticos do mundo advindos do século 19.  Sua lista de contribuições para a geometria são grandes, e ele tem uma vasta gama de teoremas que levam o seu nome.  Para citar apenas alguns: Geometria de Riemann, riemannianos Superfícies e integral de Riemann.  No entanto, ele é talvez o mais famoso por sua legendaria e difícil Hipótese de Riemann; que foi um problema extremamente complexo sobre a questão da distribuição de números primos.  O problema ficou ignorado para os primeiros 50 anos após a sua exposição, e também devido a alguns outros matemáticos realmente não entender seu trabalho.  Atualmente, sua questão ficou rapidamente famosa, para se tornar uma das maiores questões em aberto da ciência moderna, desconcertante e confundir até mesmo os maiores matemáticos.  Apesar dos progressos feitos, a sua questão tem sido incrivelmente considerada de difícil solução. No entanto, um prêmio de US $ 1 milhão foi oferecido pelo Instituto de Matemática para quem conseguisse a prova, e também,  quase sem dúvida, poderia receber a Medalha Fields, conhecida como o  prêmio Nobel da matemática.   Parece que, mesmo após sua morte, o trabalho de Riemann ainda pode abrir o caminho para novas contribuições para o campo, assim como ele fez na vida.

10. Leibniz Wilhelm

Criou o termo "função" (1694), quando a usou para descrever uma quantidade relacionada a uma curva, descrevendo matematicamente a inclinação ou um ponto qualquer situado nela.  É creditado aos matemáticos Leibniz e Newton o desenvolvimento do cálculo moderno, em particular o desenvolvimento da integral e da regra do produto. Descreveu o primeiro sistema de numeração binário moderno (1705), tal como o sistema numérico binário usado até nos dias de hoje.  Demonstrou genialidade também nos campos da lei, religião, política, história, literatura, lógica, metafísica e filosofia.

O grande matemático Leibniz nos trouxe a introdução da notação no padrão moderno para o sinal da integral.  Ele também fez grandes contribuições para o campo de Topologia, do cálculo e da integral.

11. Andrew Wiles

Andrew Wiles é o matemático que ficou mais conhecido por sua prova do Último Teorema de Fermat, que diz que os não inteiros positivos, a, b e c podem satisfazer a equação a ^ n + b ^ n = c ^ n, para n maior do que 2. (Se n = 2, temos a Fórmula Pitágoras).  Embora as contribuições para a matemática talvez podem não serem tão expressivas, como as contribuições dos outros que figuram nesta lista, só dele desenvolver grandes partes da nova matemática para concluir a sua prova do teorema já o faz merecedor desta deferência. Para isso ele isolou-se por 7 anos de estudos para chegar a formular uma solução para o teorema. Quando ele descobriu que a solução continha um erro, ele voltou à solidão por mais um ano, até que a solução foi aceita. Foi muito difícil validar a sua prova, pois foi muito grande seus estudos e isso foi feito por muitos renomados matemáticos contratados pelos organizadores do Instituto Clay de Matemática, localizado nos  USA. No entanto, à medida que o tempo passa  é certo que mais e mais pessoas estudiosas do ramo possam ter acesso aos seus estudos e entendê-los.

fonte:recordandomatematica.blogspot.com.br