articulador 1

quinta-feira, 30 de setembro de 2021

Sistema de Equação de 1º grau método da Adição

Sistema de Equação do 1º grau método de Substituição

Sistema de equação de 1º grau método gráfico

Conjunto Pertinência e inclusão

Equação de 1º grau Literal

Equação de 1º grau Literal

Equação de 1º grau fracionária

Equação de 1º grau fracionária

Equação de 1º grau Fracionária

Equação de 1º grau Fracionária

Expressão de Números Naturais com soma e subtração

Expressões de Números Naturais com Multiplicação

Expressão de número Natural com Divisão

Expressão de Números Naturais com Potência

Feixe de retas paralelas teorema de Tales

Comprimento da circunferência

Razões Trigonométricas sen ,cos e tg

Razões trigonométricas sen cos e tg

Ciclo trigonométrico soma e subtração de arcos

Ciclo trigonométrico arcos duplos

Ciclo trigonométrico arcos metade

Ciclo trigonométrico transformação soma de arcos em produto

Ciclo Trigonométrico equação trigonométrica tipo sen x

Ciclo trigonométrico equações trigonométricas tipo cos x

Números Naturais adição e subtração

terça-feira, 28 de setembro de 2021

ciclo trigonométrico Relações Fundamentais

Equação de 1º grau

Conjunto problemas com Conjunto

Ciclo trigonométrico soma e subtração de arcos

Ciclo trigonométrico arcos duplos

Ciclo trigonométrico arcos metade

Ciclo trigonométrico transformação soma de arcos em produto

Ciclo Trigonométrico equação trigonométrica tipo sen x

Ângulos definição, classificação e tipos complementar e suplementar

Ângulos formados por retas paralelas cortadas por transversais

Determinante de Matriz de ordem 2

segunda-feira, 27 de setembro de 2021

Números Binomiais

Fatorial

Análise Combinatória

Análise Combinatório Arranjos e Combinações

Análise Combinatório arranjo

Análise Combinatório Combinação

Análise Combinatório Permutação

Binômio de Newton

Binômio de Newton Termo geral

Relações Métricas na Circunferência

Números Inteiros parte II;subtração ;Multiplicação

Polígono Regular

Polígonos Regulares Lados e Apótema de polígonos Inscritos

Polígonos Regulares lado e Apótema dos circunscritos e diagonal

Polígono Regular

Relações Métricas no Triângulo Retângulo

Relações Métricas no Triângulo Retângulo

domingo, 26 de setembro de 2021

Polígono Regular

Geometria Plana áreas do Quadrado ,retângulo e Paralelogramo

Áreas das Figuras Planas Triângulos ,Losangos e Trapézios

Áreas das Figuras Planas Circulos,Setor circulares ,Coroa circular e P...

Triângulos Soma dos Ângulos internos

Geometria Plana área das figuras

Áreas das Figuras Planas Triângulos,Losangos , Trapézios revisão

Ciclo trigonométrico revisão

Conjuntos e Intervalos em R Revisão

Ciclo Trigonométrico Equações trigonométricas

sábado, 25 de setembro de 2021

Estudo das Matrizes tipo de matriz e elementos da matriz

Estudo das Matrizes adição e subtração de matriz

Estudo das Matrizes multiplicação de Matriz

Determinante de Matriz de ordem 2

Determinantes Matriz de ordem 3 Sarrus e Laplace

Determinantes Matriz Inversa

Determinantes matriz de ordem maior que 3

Sistema pelo método de Cramer

Sistema Método de Cramer

Determinante de Matriz de ordem 2

sexta-feira, 24 de setembro de 2021

Sistema pelo método de Cramer

Sistema Método de Cramer

Números Binomiais

Fatorial

Análise Combinatória

Análise Combinatório Arranjos e Combinações

Análise Combinatório arranjo

Análise Combinatório Combinação

Análise Combinatório Permutação

Binômio de Newton

Binômio de Newton Termo geral

quinta-feira, 23 de setembro de 2021

Multiplicidade das raízes do polinômio

Decomposição de polinômios em fatores de 1º grau

Equações Polinomiais

Briot -Ruffini Divisão de Polinômios

Teorema do resto divisão de polinômios

Teorema do resto divisão de polinômios

Divisão de Polinômios

Multiplicação de Polinômios

Adição , Subtração e Multiplicação de Polinômios

Polinômios Idênticos e independente

Grau do polinômio e Polinômio nulo

Valor Numérico de Polinômio

Equações Trinomiais

Equações Binomiais e Trinomiais

Estudo das Cônicas Parábola

Estudo das Cônicas Parábola

Estudo das Cônicas Hipérbole

Estudo das Cônicas Hipérbole

Estudo das Cônicas Elipse

Estudo das Cônicas -Elipse

 


segunda-feira, 20 de setembro de 2021

Lei do seno e do cosseno


 

Estudo da Reta


 

Determinante


 

Estudo da Circunferência


 

Sistema linear


 

Produtos Notáveis


 

Conjuntos

MMC e MDC

A utilização de mmc e mdc nas resoluções de problemas é muito comum já que um trata de múltiplos e o outro de divisores comuns de dois ou mais números. Antes de estudarmos as aplicações vejamos como obtê-los.

MÁXIMO DIVISOR COMUM ( M.D.C )

O máximo divisor comum (mdc) entre dois números naturais é obtido a partir da interseção dos divisores naturais, escolhendo-se a maior. O mdc pode ser calculado pelo produto dos fatores primos que são comuns tomando-se sempre o de menor expoente.

Exemplo: 120 e 36

120 2 36 2
60 2 18 2
30 2 9 3
15 3 3 3
5 5 1 22.32
1 23.3.5

m.d.c ( 120, 36) = 22.3 = 12


OBS: O m.d.c pode ser calculado pela decomposição simultânea em fatores primos, tomando apenas os fatores que dividem simultaneamente.

120 - 36 2 ( * )
60 - 18 2 ( * )
30 - 9 2
15 - 9 3 ( * )
5 - 3 3
5 - 1 5
1 - 1 22. 3 = 12

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM ( M.M.C)

O número múltiplo comum entre dois números naturais é obtido a partir da interseção dos múltiplos naturais, escolhendo-se o menor excetuando o zero. O m.m.c pode ser calculado pelo produto de todos os fatores primos, considerados uma única vez e de maior expoente.

Exemplo: 120 e 36

120 2 36 2
60 2 18 2
30 2 9 3
15 3 3 3
5 5 1 22.32
1 23.3.5

m.m.c ( 120, 36) = 23.32.5 = 360

OBS: O m.m.c pode ser calculado pela decomposição simultânea em fatores primos.

120 - 36 2
60 - 18 2
30 - 9 2
15 - 9 3
5 - 3 3
5 - 1 5
1 - 1 23. 32 . 5 = 360

OBS : Existe uma relação entre o m.m.c e o m.d.c de dois números naturais a e b

m.m.c.(a,b) . m.d.c. (a,b) = a . b

O produto entre o m.m.c e m.d.c de dois números é igual ao produto entre os dois números.

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ÂNGULOS



Ângulo é a reunião de duas semi-retas de mesma origem e não-colineares.

Na figura





Indicação do ângulo: AÔB, ou BÔA ou simplismente Ô




PONTOS INTERNOS E PONTOS EXTERNOS A UM ÂNGULO


Seja o ângulo AÔB





MEDIDA DE UM ÂNGULO


Um ângulo pode ser medido através de um instrumento chamado transferidor e que tem o grau como unidade. O ângulo AÔB da figura mede 40 graus.






Indicação:
m (AÔB) = 40º

A unidade grau tem dois submúltiplos: minuto e segundo

1 grau tem 60 minutos (indicação: 1 = 60º)
1 minuto tem 60 segundos ( indicação 1´ = 60"

Simbolicamente:

== Um ângulo de 25 graus e 40 minutos é indicado por 25º 40´.
== Um ângulo de 12 graus, 20 minutos e 45 segundos é indicado por 12º 20´45"


EXERCICIOS


1) Dê a indicação, o vértice e os lados dos ângulos:





2) Em cada uma das figuras abaixo há três ângulos. Quais são esses ângulos?










3) 0bserve os pontos assinalados e responda:






a) Quais pontos estão no interior do ângulo?
b) Quais ponmtos estão no ixterior do ângulo?
c) Quais pontos pertencem aos lados do ângulo?


4) Escreva as medidas em graus dos ângulos indicados pelo transferidor.






a) m (AÔB)
b) m (AÔC)
c) m (AÔD)
d) m (AÔE)
e) m (AÔF)
f) m (AÔG)

5) Escreva simbolicamente:

a) 30 graus
b) 10 graus e 25 minutos
c) 42 graus e 54 minutos
d) 15 graus, 20 minutos e 40 segundos
e) 54 graus, 38 m inutos e 12 segundos

6) Responda:

a) Um grau é igual a quantos minutos?
b) Um minuto é igual a quantos segundos?
c) Um grau é igual a quantos segundos?

7) Tranforme :

a) 1º em minutos
b) 2º em minutos
c) 3º em minutos
d) 4º em minutos
e) 5º em minutos
f) 1´ em segundos
g) 2´ em segundos
h) 3´ em segundos
i) 4´ em segundos
j) 5´ em segundos


8) Transforme em minutos, observando o exemplo resolvido:

resolvido = 2º 17´ = 2 x 60´ + 17´ = 137´

a) 5º 7´ =
b) 3º 20´ =
c) 10º 35´ =
d) 12º 18´ =
e) 3º 45´ =
f) 5º 54´ =
g) 7º 12´ =
h) 9º 36´ =

9) Transforme:

120´= 120 : 60 = 2º ===== resolvidos  ==== 120" = 120" : 60 = 2´

a) 180´em graus =
b) 240´em graus =
c) 300´ em graus =
d) 360´em graus  =
e) 180" em minutos =
f) 240" em minutos =
g) 300" em minutos =
h) 360" em minutos =

10) Transforme em graus e minutos:

Resolvido: 75´= 1º 15´  (obs divida os minutos por 60 para obter os graus. O resto , se existir, serão os minutos.)

a) 90´ =
b) 95´=
c) 130´ =
d) 150´ =
e) 385´ =
f) 512´=
g) 867´=
h) 1000´=

11) Transforme em minutos e seguntos:

a) 97" =
b) 130" =
c) 150" =
d) 162" = 
e) 185" =
f) 254" = 

12) Copie e complete:

a) 40° = 39°_______
b) 70° = 69 _______
c) 84° = 83° ______
d) 90° = 89° _______
e) 150° = 149° ________
f) 180° = 179° _______

13) Escreva as medidas na forma mais simples:

Resolvildo: 27° 60´ = 28°

a) 29º 60´= (R: 30°)
b) 34° 60´= (R: 35°)
c) 72° 60´= (R: 73°)
d) 99° 60´= (R: 100°)
e) 54° 60´ = (R: 55°)
f)  108° 60´= (R: 109°)

14) Escreva as medidas na forma mais simples:

Resolvido: 39° 75´ = 40° 15´

a) 30° 80´ = (R: 31° 20´)
b) 45° 90´= (R : 46° 30´)
c) 57° 100´= (R: 58° 40´)
d) 73° 110´= (R: 74° 50´)
e) 20° 120´= (R: 22°)
f) 25° 150´= (R: 27° 30´)
g) 42° 160´= (R: 44° 40´)
h) 78° 170´= (R: 80° 50´)


OPERAÇÕES COM MEDIDAS DE ÂNGULOS



 ADIÇÃO

1) Exemplo

17° 15´ 10"  + 30° 20´40"

17° 15´ 10"
30° 20´ 40"
-----------
47° 35´ 50"

2) Exemplo

13° 40´ +  30° 45´

13° 40´
30° 45´
--------
43° 85´ (simplificando) 44° 25´


EXERCÍCIOS

1) Calcule as somas:

a) 49° + 65° = (R:
b) 12° 25´ + 40° 13´ = (R:
c) 28° 12´ + 5 2° 40´ = (R:
d) 58°  + 17° 19´ = (R:
e) 41° 58´ +  16°  =  (R:
f) 25° 40´ + 16° 50´ =  (R:
g) 23° 35´ + 12° 45´ = (R:
h) 21° 15´40" + 7° 12´5" = (R:
i) 35° 10´50"  +  10° 25´20"  = (R:
j) 31° 45´50" + 13° 20´40"  = (R:
l) 3° 24´9" + 37° 11´33" = (R:
m) 35° 35´2" + 22° 24´58" = (R:



SUBTRAÇÃO

1) Exemplo

58° 40´ -  17° 10´ =

58° 40´
17° 10´
-------
41° 30´


2) Exemplo

80° - 42° 30´ =

80°
42° 30´
-------
37° 30´

EXERCÍCIOS

1) Calcule as diferenças:

a) 42° - 17° = (R:
b) 172° - 93° = (R:
c) 48° 50´ - 27° 10´ = ( R:
d) 42° 35´  -  13° 15´ = (R:
e) 70° - 22° 30´ = (R:
f) 30° - 18° 10´= (R:
g) 90° - 54° 20´ (R:
h) 120° - 50°45´ =(R:
i) 52°30´ - 20°50´ = (R:
j) 39° 1´ - 10°15´ =  (R:




MULTIPLICAÇÃO DE ÂNGULOS


1º) Exemplo

17°15´ x 2 =

17°15´
___x2
--------
34°30´

2°) Exemplo

24° 20´ x  3 =

24°20´
____3
-------
72°60´ (simplificando) 73°


EXERCÍCIOS

1) Calcule os produtos:

a) 25°10´ x 3 = (R:
b) 44°20´ x 2 = ( R:
c) 35° 10´ x 4 = (R:
d) 16°20´ x 3 = (R:
e) 28°30´ x 2 = (R:
f) 12°40´ x 3  = (R:
g) 15°30´ x 3 = (R:
h) 14° 20´ x 5 =(R:




DIVISÃO DE UM ÂNGULO POR UM NÚMERO


1º Exemplo







2º Exemplo










EXERCÍCIOS

1) Calcule os quocientes:

a) 48° 20´ : 4 = (R:
b) 45° 30´ : 3 = (R:
c) 75° 50´ : 5  = (R:
d) 55° : 2 = (R:
e) 90° : 4 = (R:
f) 22° 40´ : 5 = (R:


2) Calcule:

a) 2/5 de 45° = (R;
b) 5/7 de 84° = (R:
c) 3/4 de 48° 20´ (R:
d) 3/2 de 15° 20´ (R:



ÂNGULOS CONGRUENTES


Dois ângulos são congruentes se as suas medidas são iguais.




Indicação AÔB = CÔD ( significa: AÔB é congruente a CÔD )





BISSETRIZ DE UM ÂNGULO


Bissetriz de um ângulo é a simi-reta com origem no vértice do ângulo e que o divide em dois ângulos congruentes.




EXERCÍCIOS










Responda:

a) Quanto mede o ângulo MÔA?
R:
b) Quanto mede o ângulo NÔC?
R:
c) Quanto mede o ângulo BÔN?
R:
d) Quanto mede o ângulo MÔC?
R:
e) Quanto mede o ângulo AÔN?
R:
f) Quanto m,ede o ângulo MÔN?
R:














ÂNGULOS RETO, AGUDO E OBTUSO

Os ângulos recebem nomes especiais de acordo com suas medidas:

= Ângulo reto é aquele cuja medida é 90°.
= ângulo agudo é aquele cuja medida é menor de 90°
= ângulo obtuso é aquele cuja medida é maior que 90°



RETAS PERPENDICULARES

Quanto duas retas se interceptam formando ângulos retos, dizemos que elas são perpendiculares.









EXERCÍCIOS

1) Classifique os ângulos apresentados nas figuras em agudos, obtusos ou reto:





2) Identifique na figura:





3) Responda:

a) O menor ângulo formado pelos pnteiros de um relógio às 3 horas é um ângulo agudo, reto ou obtuso?
b) O menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 2 horas é um ângulo agudo,reto ou obtuso?
c) O menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 5 horas é um  ângulo é um ângulo agudo, reto ou obtuso?

4) Observe a figura e responda:




Qual o número de elementos do conjunto { a,b,c,x,y,z}?



ÂNGULOS COMPLEMENTARES






Dois angulos são complementares quando am soma de suas medidas é 90°

m(AÔB) + m((BÔC) = m(AÔC)

Exemplos:

= 65° e 25° são ângulos complementares , porque 65° + 25° = 90°
= 40° e 50° são ângulos complementares, porque 40° + 50° = 90°


EXERCÍCIOS 

1) Responda: 

a) Um ângulo de 20° e um de 70° são complementares?
b) Um ângulo de 35° e um de 65° são complementares?
c) Um ângulo de 73° e um de 27° são complementares?
d) Um ângulo de 58° e um de 32° são complementares?


2) Calcule o complemento dos seguintes ângulos:

a) 34°
b) 72°
c) 84°
d) 18° 25´
e) 40° 30´
f) 51° 20´

3) Resolva as equações abaixo, onde a inc´gnita x é um ângulo (medido em graus)

a) 2x = 90°
b) x + 17° = 90°
c)  4x + 10° = 90°
d) x + 8x = 90°
e) 5x - 20° = 1° = 2x
f) x = 2( 90° - x)
g) 4( x + 3° 0 = 20°
h) ( 3x - 20° ) + 50° = 90°
I) 3( x + 1°) = 2( x  + 7°)
J) 2x + 2 (x + 1° ) = 4° + 3 ( x + 2°)

4) Determine x, sabendo que os ângulos são complementares:













5) Dado um ângulo de medida x, indicar:

a) o seu complemento.
b) o dobro do seu complemento
c) o triplo do seu complemento.
d) a metade do seu complemento
e) a terça parte do seu complemento





7) A medida de um ângulo é igual à medida de seu comprimento, quanto mede esse  ângulo?

8) A medida de um ângulo é a metade da medida do seu comprimento. Calcule a medida desse ângulo.

9) Calcule a medida de um ângulo cuja medida é igual ao triplo de seu complemento.

10) A diferença entreo o dobro da medida de um ângulo e o seu complemnto é 45° Calcule a medida desse ângulo.

11) A terça parte do complemento de um ângulo mede 20°. Qual a medida do ângulo?

12) Dois ângulos complementares têm suas medidas expressas em graus por 3x + 25° e 4x - 5° . Quanto medem esses ângulos?




ÂNGULOS SUPLEMENTARES


Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180°

m(AÔB) + m(BÔC) = 180°



Exemplos:

= 50° e 130° são angulos suplementares, porque 50° + 130° = 180°
= 125° e 55° são ângulos suplementares, porque 125°  + 55º = 180°


EXERCÍCIOS

1) Responda:

a) Um ângulo de 70° e um de 110° são suplementares?
R: (

b) Um ângulo de 155° e um de 25° são suplementares?

2) Calcule o suplemento dos seguintes ângulos:
a) 30° = (R:
b) 85° = (R: 
c) 72° = (R: 
d) 132° 30´ = (R: 
e) 140° 20´ = (R: 
f) 151° 40` =(R:


3) Determine x, sabendo que os ángulos são suplementares:








4) Determine x, sabendo que os ângulos são suplementares:







5) Calcule x:


6) Aquarta parte da medida de um ângulo mede 30°. Calcule a medida do seu suplemento.
(R:
7) A medida de um ângulo é igual à medida de seu suplemento. Calcule esse ângulo.
(R:
8) Calcule a medida de um ângulo que é igual ao triplo de seu suplemento.
(R:
9) O dobro da medida de um ângulo é igual à medida do suplemento desse ângulo. Calcule a medida do ângulo.
(R:
10) O triplo da medida de um ângulo mais a medida do suplemento desse ângulo é 250°. Calculo a medida do ângulo.
(R:
11) Calcule a medida de um ângulo cuja medida é igual a 2/3 do seu suplemento.
(R:
12) A soma do complemento com o suplemento de um ângulo é 110° . Quanto mede o ângulo?
(R:


ÂGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE



Duas retas concorrentes determinam quatro ângulos, dois a dois , opostos pelo vértice


Na figura:

â e  c são opostos pelo vértice.
m e n são opostos pelo vértice


TEOREMA

Dois ângulos opostos´pelo vértice são congruentes.

prova:

Sejam os ângulos a e b opostos pelo vértice.

1) m(â) + m(^c) = 180°

2) m(b) + m(c) = 180°

comparando : m(â) + m(c) = m(b) + m(c)

m(â) = m(b)


Se a e b têm a mesma medida, eles são congruentes.



EXECÍCIOS

1) Quais são os 3 pares de ângulos opostos pelo vértice?



2)  Se x = 50° , determine y, m e n:



3) Calcule os ângulos x,y, z e w da figura:



4) Calcule os ângulos x, y e z das figuras:


5) Calcule x:






6) Calcule x:



7) Calcule x :


8) Calcule x:






9) As medidas de dois ângulos opostos pelo vértice são expressas em graus por  15x - 14° e 3x + 10°. Quanto vale x?

10) As medidas de dois ângulos opostos pelo vértice são expressas em graus por (2m - 50) e (m + 35). Quanto vale m?



ÂNGULOS FORMADFOS POR DUAS RETAS PARALELAS E UMA TRANSVERSAL

Duas retas r e s, interceptadas  pela transversalo t, formam oito ângulos.





Os pares de ângulos com um vértice em A e o outro em B são assim determinados:

= Correspondentes: 1 e 5, 4 e 8, 2 e 6, 3 e 7
= Colaterais Internos: 4 e 5, 3 e 6
= Colaterais externos: 1 e 8, 2 e 7
= Alternos internos: 4 e 6, 3 e 5
= Alternos externos: 1 e 7, 2 e 8


ILUSTRANDO:

= ALTERNOS (um de cada "lado" da transversal).
= COLATERAIS (ambos do mesmo "lado" da transvwesal)





EXERCÍCIOS


1) Dê o nome dos pares de ângulod de acordo com a figura:




a) a e g
b) a e e
c) d e h
d) c e g
e) c e e
f) a e f
g) b e h
h) b e f
i) d e f
j) c e e
l) c e h
m) b e e

PROPRIEDADES

Considere duas retas paralelas e uma transversal.



 




Medindo esses ângulos com o transferidor, você vai concluir que são validas as seguintes propriedades:
= Os ângulos correspondentes são congruentes
= Os ângulos alternos externos são congruentes
= Os ângulos alternos internos são congruentes.
= Os ângulos colaterais externos são suplememntares.
= Os ângulos colaterais internos são suplementares

EXERCÍCIOS

1)  Sabendo que r//s, determine a medida dos ângulos indicados:

a)



b)



c)


d)


2) Sabendo que r // a , calcule x:

a)

b)


c)


d)

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