Transformações Lineares

1. Se T : V → W é uma transformação linear, mostre que:
(a) Ker(T) é um subespaço de V . (b) Im(T) é um subespaço de W.
Solução:

Agora, somando-se membro a membro estas duas equações vetoriais, vem

fazendo v = λu ∈ V . Isto é, existe v ∈ V tal que λw = T(v), basta tomarmos v = λu ∈ V e, portanto, λw ∈ Im(T). Daí, concluímos que Im(T) é um subespaço vetorial de W.
(a) Determine uma base do núcleo de T. (b) Dê a dimensão da imagem de T. (c) T é sobrejetora? Justifique. (d) Faça um esboço de Ker(T) e Im(T).
Solução:

(c) Não. A imagem não é igual ao contradomínio já que DimIm(T) = 2 e o contradomínio tem dimensão 3.
3. No plano, uma rotação anti-horária de 45◦ é seguida por uma dilatação de √ 2. Ache a aplicação
A que representa esta trasnformação do plano.
Solução:
sinθ cosθ
Que pode ser escrito como uma transformação:

Uma dilatação D de √
2(x,y). Como queremos dilatar a transformação R, teremos

Solução: Escreva
Aplicando T e sabendo que ela é linear, temos:

α1 = α2 =

= αm = 0.

Solução: (a) Podemos escrever essa transformação na forma:

(b) Para a imagem, teremos

6. Mostrar que a matriz do operador linear indentidade
I : Rn → Rn,I(v) = v em uma base qualquer, é a matriz identidade n × n.
Solução:

T(v1) = 1 · v1 + 0 · v2 +	0 · vn
T(v2) = 0 · v1 + 1 · v2 +	+ 0 · vn

T(vn) = 0 · v1 + 0 · v2 +

+ 1 · vn

Daí, a matriz de transformação será

Solução: Escreva a combinação

a1 · Tu1 + a2 · Tu2 +

+ ak · Tuk = 0(= T(0))

T(a1 · u1 + a2 · u2 +

+ ak · uk) = T(0).

Como T é linear,

a1 · u1 + a2 · u2 +	+ ak · uk = 0.
Como u1,u2,...,uk são vetores LI, teremos a1 = a2 =	= ak = 0, e portanto {T(u1),...,T(uk)}

Sendo T injetiva, é L.I.
(d) Ache a transformação linear P : R2 → R2 tal que P = S ◦ T
Solução:

ou seja,
(c)

ou seja,
(d)
Solução:

10. Seja T : V → W uma transformação. Mostre que se T é linear, então T(0) = 0.

fonte http://www.ebah.com.br