Logica

	Conectivos e valores lógicos Conectivos: (Termos usados para formar novas proposições a partir de outras existentes.) "e", "ou", "não", "se... então... ", "se e somente se ..." Valores lógicos das proposições: Verdade (V) e Falsidade (F).
	Tabelas verdade A Tabela verdade é um instrumento usado para determinar os valores lógicos das proposições compostas, a partir de atribuições de todos os possíveis valores lógicos das proposições simples componentes. A primeira das tabelas abaixo apresenta duas proposições simples: p e q e a segunda, três proposições simples: p, q e r. As células de ambas as tabelas são preenchidas com valores lógicos V e F, de modo a esgotar todas as possíveis combinações. O número de linhas da tabela pode ser previsto efetuando o cálculo: 2 elevado ao número de proposições simples. Nos exemplos abaixo tem-se 22 = 4 linhas e 23 = 8 linhas. p q V V V F F V F F p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F
	Valor lógico da proposição Notação: O valor lógico de uma proposição simples indica-se por V(p) e composta por V(P) (letra maiúscula). Exemplos de proposições simples: p : um triângulo têm três lados. q : Blumenau é um país. V(p) = V   V(q) = F   (Lê-se valor lógico de p é igual a V (verdadeiro) e de q é igual a F (falso)) Exemplo de proposição composta: p : o sol é uma estrela ou q : a terra é uma estrela. P(p,q) = p v q     V(P) = V     (O símbolo "v" representa o conectivo "ou" visto abaixo)
	Operações lógicas Os valores lógicos das proposições são definidos pelas tabelas descritas em cada operação a seguir. Negação (~)   "~p"   lê-se "não p". Exemplo: p : Joana é bonita ~p : Joana não é bonita ou   ~p : Não é verdade que Joana é bonita ou   ~p : É falso que Joana é bonita p ~p V F F V Conjunção (^)     "p ^ q"   lê-se "p e q". Exemplo: p : A neve é branca  (V) q : 2 < 5  (V) p ^ q : A neve é branca e 2 < 5  (V) Representação: V(p ^ q) = V(p) ^ V(q) = V ^ V = V Leitura: p q p ^ q V V V V F F F V F F F F Valor lógico de (p e q) é igual a ou, de outro modo, valor lógico de (p) e valor lógico de(q) é igual a ou resulta em verdade e verdade que é igual a verdade. Disjunção (v)    "p v q"   lê-se "p ou q". Exemplo: p : Blumenau é a capital de SC   (F) q : 5/7 é uma fração própria   (V) p v q : Blumenau é a capital de SC ou 5/7 é uma            fração própria (V) V(p v q) = V(p) v V(q) = F v V = V p q p v q V V V V F V F V V F F F Disjunção exclusiva (v)    "p v q"   lê-se "ou p ou q", mas não ambos ou ainda "ou exclusivo". p q p v q V V F V F V F V V F F F O valor lógico é Falso(F) quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas. Exemplo: P : Carlos é médico ou professor Q : Antônio é catarinense ou gaúcho. Na proposição composta P pelo menos uma das proposições simples é verdadeira, podendo ser ambas verdadeiras. ("ou" inclusivo). Na proposição composta Q apenas uma das proposições é verdadeira. ("ou" exclusivo). Condicional (—>)   "p —> q"   lê-se "se p então q" ("—>" símbolo de implicação). p q p —> q V V V V F F F V V F F V O valor lógico é Falso(F) no caso em que p é verdadeira e q é falsa. Exemplo: p : A terra é uma estrela   (F) q : O ano tem nove meses (F) p —> q : Se a terra é uma estrela, então o ano  tem nove meses  (V) V(p —> q) = V(p) —> V(q) = F —> F = V Bicondicional (<—>)    "p <—> q"   lê-se "p se e somente se q". p q p <–> q V V V V F F F V F F F V Uma bicondicional é verdadeira somente quando ambas proposições são verdadeiras ou ambas falsas. (p é condição necessária e suficiente para q ou q é condição necessária e suficiente para p). Exemplo: p : A terra é plana   (F) q : 10 é um número primo (F) p <—> q : A terra é plana se e somente se 10 for um  número primo  (V) V(p <—> q) = V(p) <—>  V(q) = F <—>  F = V
	Construção de tabelas verdade a) Construir a tabela verdade da seguinte proposição: P(p,q) = ~(p ^ ~q).      Solução: p q ~q p ^ ~q ~(p ^ ~q) V V F F V V F V V F F V F F V F F V F V Procedimento: Para determinar os valores lógicos de uma proposição composta, deve-se antes relacionar em colunas as proposições simples envolvidas e dar a elas todos os valores lógicos combinados, podendo seguir a ordem na qual se começa estabelecendo na primeira linha o valor lógico Verdade para todas as variáveis, na segunda linha repete-se os valores, exceto para coluna mais a direita que recebe o valor lógico F e, assim, seguir alternando os valores até especificar na última linha o valor F para todas as proposições simples. No exemplo acima, inicialmente, foram colunadas as proposições simples p e q e determinados todos os valores lógicos. Em seguida, foi criada a próxima coluna ~q e definidos seus valores, aplicando a operação de negação ou inversão com base nos valores da coluna q. O passo seguinte foi abrir a coluna p ^ ~q e determinar seus valores, efetuando a operação de conjunção considerando os valores das colunas p e ~q. No próximo e último passo criou-se a coluna  ~(p ^ ~q) e estabelecidos seus valores, negando ou invertendo o conteúdo da coluna anterior. Formas de indicar o resultado da proposição composta da tabela acima: P(VV) = V,   P(VF) = F,   P(FV) = V,   P(FF) = V    ou    P(VV, VF, FV, FF) = VFVV b) Construir a tabela verdade da proposição: P(p,q,r) = p v ~r —> q ^ ~r.      Solução: p q r ~r p v ~r q ^ ~r p v ~r —> q ^ ~r V V V V V F F V V F V V V V V F V F V F F V F F V V F F F V V F F F V F V F V V V V F F V F F F V F F F V V F F A tabela verdade desenvolvida acima precisou de oito linhas (23) para dispor todos seus valores lógicos, uma vez que a proposição composta envolve tres proposições simples: p, q e r. Ordem de precedência dos conectivos: A precedência é o critério que especifica a ordem de avaliação dos conectivos ou operadores lógicos de uma expressão qualquer. A lógica matemática prioriza as operações de acordo com a ordem listadas abaixo. 1)  ~      2) ^ e v     3) —>      4) <—>. Parênteses podem ser utilizados para determinar uma forma específica de avaliação de uma proposição. A proposição  p —> q <—> s ^ r, por exemplo, é bicondicional e nunca uma condicional ou uma conjunção. Para convertê-la numa condicional deve-se usar parênteses: p —> (q <—> s ^ r).
	Tautologia, contradição e contingência Tautologia - proposição composta cuja última coluna de sua tabela verdade encerra somente a letra V(verdade).  Exemplo:  p v ~(p ^ q). Contradição - proposição composta cuja última coluna de sua tabela verdade encerra somente a letra F(falsidade).  Exemplo:  (p ^ q) ^ ~(p v q). Contingência - proposição composta cuja última coluna de sua tabela verdade figuram as letras V e F cada uma pelo menos uma vez.  Exemplo: p v q —> p.
	Equivalência Uma proposição P(p, q, r, ...) é equivalente a uma proposição Q(p, q, r, ...) se as tabelas verdade dessas duas proposições são idênticas. Notação:   P(p, q, r, ...) <==> Q(p, q, r, ...). Exemplo: A condicional "p —> q" e a disjunção "~p v q" são equivalentes como expõe sua tabela verdade: p q p —> q ~p ~p v q V V V F V V F F F F F V V V V F F V V V Equivalência:  p—> q <==> ~p v q
	Proposições associadas a uma condicional Proposição recíproca de p —> q    :    q —> p Proposição contrária de p —> q    :    ~p —> ~q Proposição contrapositiva de p —> q    :    ~q —> ~p p q p —> q q —> p ~p —> ~q ~q —> ~p V V V V V V V F F V V F F V V F F V F F V V V V Equivalências:  p —> q <==> ~q —> ~p    e    q —> p <==> ~p —> ~q A condicional (p —> q) é equivalente a sua contrapositiva (~q —> ~p) e a recíproca da condicional (q —> p) é equivalente à contrária da condicional (~p —> ~q). Recíproca da condicional Exemplo: p —> q  :  Se triângulo é eqüilátero, então é isósceles. A recíproca da condicional é q —> p  :  Se triângulo é isósceles, então é eqüilátero. (A condicional p —> q é verdadeira (V), mas sua recíproca q –> p  é falsa (F)). Contrapositiva da condicional Exemplos: p —> q  :  Se Carlos é professor, então é pobre. A contrapositiva é ~q —> ~p  :  Se Carlos não é pobre, então não é  professor. Portanto, (p —> q  <==>  ~q —> ~p) (Proposições equivalentes). p  :  x é menor que zero q  :  x é negativo q —> p  :  Se x é negativo,então x é menor que zero. A contrapositiva é ~p —> ~q :  Se x não é menor que zero, então x não é negativo. Portanto, (q —> p  <==>  ~p —> ~q) (Proposições equivalentes).
	Forma normal das proposições Uma proposição está na forma normal (FN) quando contém apenas os conectivos ~, ^ e v. Toda proposição pode ser levada para a forma normal equivalente pela eliminação dos conectivos—> e <—>. Exemplos: p —> q   =  ~p v q p <—> q   =  (~p v q) ^ (p v ~q) Pode-se comprovar esta afirmação de igualdade acima construindo as respectivas tabelas verdade.
	Exercícios (Para obter as respostas posicione o cursor sobre a letra da expressão) 1.  Sejam as proposições: p : Está frio  e  q : Está chovendo. Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições: a)  ~p                b)  p ^ q               c)  p v q d)  q <—> p       e)  p —> ~q          f)  p v ~q g)  ~p ^ ~q       h)  p ^ ~q —> p 2.  A partir das proposições p : Antônio é rico e q : José é feliz, traduzir para a linguagem corrente as proposições a seguir: a)  q —> p          b)  p v ~q               c) q <—> ~p d)  ~p —> q       e)  ~~p                   f)  p ^ q 3.  Sejam as proposições: p : Carlos fala francês,  q : Carlos fala inglês  e r : Carlos fala alemão. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições: a)  Carlos fala francês ou inglês, mas não fala alemão b)  Carlos fala francês e inglês, ou não fala francês e alemão c)  É falso que Carlos fala francês mas não que fala alemão d)  É falso que Carlos fala inglês ou alemão mas não que fala francês 4.  A partir das proposições p : Maria é rica e q : Maria é feliz, traduzir para a linguagem simbólica as proposições: a)  Maria é pobre, mas feliz b)  Maria é rica ou infeliz c)  Maria é pobre e infeliz d)  Maria é pobre ou rica, mas é infeliz 5.  Construir as tabelas-verdade das seguintes proposições: a) ~(p v ~q)                    b)  p ^ q —> p v q c)  ~p ^ r —> q v ~r        d)  (p ^ ~q) v r 6.  Sabendo que os valores lógicos das proposições p e q são respectivamente F e V, determinar o valor lógico da proposição: (p ^ (~q —> p)) ^ ~((p v ~q) —> q v ~p) (Para obter a resposta posicione o cursor sobre o número da questão) 7.  Mostrar que a seguinte proposição é tautológica: p ^ r —> q v r 8.  Mostrar que a seguinte proposição é contradição: (p ^ q) ^ ~(p v q)
	Bibliografia ALENCAR FILHO, Edgard de. Iniciação à lógica matemática. 18 ed. São Paulo : Nobel, 2000.202p. FÁVARO, Silvio; KMETEUK FILHO, Osmir. Noções de lógica e matemática básica. São Paulo : Ciência Moderna, 2005. 224p. Eletrônica: http://www.angelfire.com/bc/fontini/logica.html http://mjgaspar.sites.uol.com.br/logica/logica#listapref