Produtos Notáveis Mais Comuns

PN1. Quadrado da soma de dois números reais a e b quaisquer – a mais b ao quadrado é igual ao quadrado do primeiro mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Demonstração:

Pela definição de potenciação temos que:

(a + b)2 = (a + b)(a + b)

Utilizando-se da propriedade distributiva da multiplicação:

(a + b)2 = a(a + b) + b(a + b) = a2 + ab + ba + b2

E, finalmente pela propriedade comutativa vem:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

PN2. Quadrado da diferença de dois números reais a e b quaisquer – a menos b ao quadrado é igual ao quadrado do primeiro menos duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo:

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

PN3. O Produto da soma pela diferença de dois números reais a e b quaisquer é igual ao quadrado do primeiro termo (a) menos o quadrado do segundo (b):

(a + b)(a – b) = a2 – b2

Demonstração:

Novamente é decorrência das propriedades distributiva e comutativa da multiplicação:

(a + b)(a – b) = a(a – b) + b(a – b) = a2 – ab + ba – b2 = a2 – b2

PN4. Cubo da soma de dois números reais a e b quaisquer – a mais b ao cubo é igual ao cubo do primeiro mais três vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, mais três vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo, mais o cubo do segundo:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Demonstração:

Da definição de potenciação:

(a + b)3 = (a + b)(a + b)2

Pela propriedade PN1:

(a + b)3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2)

Da propriedade distributiva da multiplicação vem:

(a + b)3 = a(a2 + 2ab + b2) + b(a2 + 2ab + b2)

=> (a + b)3 = a3 + 2a2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3

Somando os termos comuns com o uso da propriedade comutativa:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

PN5. Cubo da diferença de dois números reais a e b quaisquer – a menos b ao cubo é igual ao cubo do primeiro menos três vezes o quadrado do primeiro vezes o segundo, mais três vezes o primeiro vezes o quadrado do segundo, menos o cubo do segundo:

(a + b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

PN6. Produto de Stevin:

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

PN7. Produtos de Warring:

[1] a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

[2] a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

Demonstração de [1]:

Da propriedade PN4 temos que:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Por outro lado:

(a + b)3 = (a + b)(a + b)2 = (a + b)(a2 + 2ab + b2)

Substituindo na igualdade anterior vem:

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2)

Ajustando a igualdade e colocando os termos comuns em evidência:

a3 + b3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2) – 3a2b – 3ab2

=> a3 + b3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2) – 3ab(a + b)

=> a3 + b3 = (a + b)(a2 + 2ab + b2 – 3ab) = (a + b)(a2 – ab + b2)