Equação

Introdução às equações

Para resolver um problema matemático, quase sempre devemos transformar uma sentença apresentada com palavras em uma sentença que esteja escrita em linguagem matemática. Esta é a parte mais importante e talvez seja a mais difícil da Matemática.

Sentença com palavras Sentença matemática

2 melancias + 2Kg = 14Kg 2 x + 2 = 14

Normalmente aparecem letras conhecidas como variáveis ou incógnitas. A partir daqui, a Matemática se posiciona perante diferentes situações e será necessário conhecer o valor de algo desconhecido, que é o objetivo do estudo de equações.

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Vamos trabalhar com uma situação real e a partir dela, tirar algumas informações importantes. Observe a seguinte balança:

A balança está equilibrada. No prato esquerdo há um "peso" de 2Kg e duas melancias com "pesos" iguais. No prato direito há um "peso" de 14Kg. Quanto pesa cada melancia?

2 melancias + 2Kg = 14Kg

Usaremos uma letra qualquer, por exemplo x, para simbolizar o peso de cada melancia. Assim, a equação poderá ser escrita, do ponto de vista matemático, como:

2x + 2 = 14

Este é um exemplo simples de uma equação contendo uma variável, mas que é extremamente útil e aparece na maioria das situações reais. Valorize este exemplo simples.

Podemos observar que toda equação tem:

Uma ou mais letras indicando valores desconhecidos, denominados variáveis ou incógnitas;

Um sinal de igualdade, denotado por =.

Uma expressão à esquerda da igualdade, denominada primeiro membro;

Uma expressão à direita da igualdade, denominada segundo membro.

No link sobre Expressões Algébricas, estudamos várias situações contendo variáveis. A letra x é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa desconhecida e equação tem o prefixo equa que provém do Latim e significa igual.

2 x + 2 = 14

As expressões do primeiro e segundo membro da equação são os termos da equação.

Para resolver essa equação, utilizaremos o seguinte procedimento para obter o valor de x.

2x + 2 = 14 Equação original

2x + 2 - 2 = 14 - 2 Subtraímos 2 dos dois membros

2x = 12 Dividimos por 2 os dois membros

x = 6 Solução

Observação: Quando adicionamos (ou subtraímos) valores iguais em ambos os membros da equação, ela permanece em equilíbrio. Da mesma forma, se multiplicamos ou dividimos ambos os membros da equação por um valor não nulo, a equação permanece em equilíbrio. Este processo nos permite resolver uma equação, ou seja, permite obter as raízes da equação.

Exemplos:

A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.

Resolução: Primeiro passaremos o problema para a linguagem matemática. Vamos tomar a letra c para a idade de Carlos e a letra a para a idade de André, logo a=c-4. Assim:

c + a = 22

c + (c - 4) = 22

2c - 4 = 22

2c - 4 + 4 = 22 + 4

2c = 26

c = 13

Resposta: Carlos tem 13 anos e André tem 13-4=9 anos.

A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas cidades juntas têm uma população de 100000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B?

Resolução: Identificaremos a cidade A com e letra A e a cidade B com B=3A. Assim:

A + B = 100000

A + 3A = 100000

4A = 100000

A = 25000

Resposta: Como B=3A, então a população de B é igual a: 3×25000=75000.

Uma casa contendo 260m2 de área construída possui 3 dormitórios de mesmo tamanho. Qual é a área de cada dormitório se as outras dependências da casa ocupam 140m2 ?

Resolução: Tomaremos a área de cada dormitório com letra x.

3x + 140 = 260

3x = 260-140

3x = 120

x = 40

Resposta: Cada dormitório tem 40m2.

Exercícios: Resolver as equações.

2 x + 4 = 10

5 k - 12 = 20

2 y + 15 - y = 22

9 h - 2 = 16 + 2 h

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Desigualdades do primeiro grau (1 variável)

Relacionadas com as equações de 1o. grau, temos as desigualdades de primeiro grau, (também denominadas inequações) que são expressões matemáticas em que os termos estão ligados por um dos quatro sinais:

< > < >

menor maior menor

ou igual maior

ou igual

Nas desigualdades, deseja-se obter um conjunto de todas os possíveis valores que pode assumir uma ou mais incógnitas na equação proposta.

Exemplo: Determinar todos os números inteiros positivos para os quais vale a desigualdade:

2x + 2 < 14 Para resolver esta desigualdade, deveremos seguir os seguintes passos: 2x + 2 < 14 Equação original 2x + 2 - 2 < 14 - 2 Subtraímos 2 dos dois membros 2x < 12 Dividimos por dois os dois membros x < 6 Solução Concluímos que o conjunto solução é formado por todos os números inteiros positivos menores do que 6: S = { 1, 2, 3, 4, 5 } Para obter todos os números pares positivos satisfazendo à desigualdade 2x + 2 < 14 o conjunto solução será: S = { 2, 4 } Observação: Quando aparece mais do que um dos quatro de desigualdade, temos várias desigualdades "disfarçadas" em uma. Exemplo: Determinar todos os números inteiros positivos para os quais valem as desigualdades: 12 < 2x + 2 < 20 Para resolver estas desigualdades, poderemos seguir o seguinte processo: 12 < 2x + 2 < 20 Equação original 12 - 2 < 2x + 2 - 2 < 20 - 2 Subtraímos 2 de todos os membros 10 < 2x < 18 Dividimos por 2 todos os membros 5 < x < 9 Solução Concluímos que o conjunto solução é: S = { 6, 7, 8, 9 } Para obter todos os números inteiros negativos satisfazendo às desigualdades 12 < 2x + 2 < 20 teremos apenas o conjunto vazio, como solução, isto é: S = Ø = { } --------------------------------------------------------------------- Desigualdades do primeiro grau (2 variáveis) Uma situação comum em aplicações é aquela em que temos uma desigualdade envolvendo uma equação com 2 ou mais incógnitas. Estudaremos aqui apenas o caso em aparecem 2 incógnitas x e y. Uma forma geral típica, pode ser: a x + b y < c onde a, b e c são valores dados. Exemplo: Determinar todos os pares ordenados de números reais para os quais: 2x + 3y > 0

Como exemplo, observamos que o conjunto solução contem os pares:

(0,0), (1,0), (0,1), (-1,1), (1,-1), ...

Há infinitos pares ordenados de números reais satisfazendo a esta desigualdade, o que torna impossível exibir todas as soluções. Para remediar isto, utilizaremos um processo geométrico que permitirá obter uma solução geométrica satisfatória.

Processo geométrico:

Traçamos a reta 2x+3y=0;

Identificamos um par ordenado fora da reta, por exemplo o par (1,1);

Se este ponto satisfaz à desigualdade, colorimos a região que o contém.

Se este ponto não satisfaz à desigualdade, colorimos a região que não contém o ponto.

A região colorida representa o conjunto solução para a desigualdade.

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Sistemas de equações do primeiro grau

Uma equação do primeiro grau, é aquela em que todas as incógnitas estão elevadas à potência 1. Este tipo de equação poderá ter mais do que uma incógnita.

Um sistema de equações do primeiro grau em duas incógnitas x e y, é um conjunto formado por duas equações do primeiro nessas duas incógnitas.

Exemplo: Seja

2 x + 3 y = 38

3 x - 2 y = 18

Resolver este sistema de equações é o mesmo que obter os valores de x e de y que satisfazem simultaneamente a ambas as equações. Podemos observar que x=10 e y=6 são as soluções deste sistema e denotamos esta resposta como um par ordenado de números reais:

S = { (10,6) }

Um processo para obter a solução deste sistema : A idéia básica é isolar o valor algébrico de uma das variáveis, por exemplo x, e, aplicar o resultado à outra equação. Este é o método de substituição.

Consideremos o sistema:

2 x + 3 y = 38

3 x - 2 y = 18

Para extrair o valor de x na primeira equação, usamos o seguinte processo:

2 x + 3 y = 38 Primeira equação

2 x = 38 - 3 y Passamos 3y para o 2o. membro

x = 19 - (3y/2) Dividimos ambos os membros por 2

Para substituir o valor de x na segunda equação 3x-2y=18, seguiremos o seguinte:

3 x - 2 y = 18 Segunda equação

3 [19 - (3 y / 2)] - 2 y = 18 x substituído

57 - 9 y/2 - 2 y = 18 eliminamos os colchetes

114 - 9 y - 4 y = 36 multiplicamos os termos por 2

114 - 13 y = 36 reduzimos os termos semelhantes

114 - 36 = 13 y separamos variáveis e números

78 = 13 y simplificamos a equação

13 y = 78 mudamos de posição, dividindo por 6

y = 6 Valor obtido para y

Substituindo y=6 na equação x = 19 - (3y/2), obtemos:

x = 19 - 3×6/2

x = 19 - 18/2

x = 19 - 9 = 10

Exercício: Determinar a solução do sistema de equações:

x + y = 2

x - y = 0

Cada equação do sistema apresentado representa uma reta no plano cartesiano. Construir as duas retas no plano e verificar que a solução é um par ordenado que pertence à interseção das duas retas.

Observação: Um sistema com duas equações de primeiro grau em 2 incógnitas sempre pode ser interpretado como um conjunto de duas retas localizadas no plano cartesiano. Há três possibilidades para construir estas retas no plano cartesiano:

Retas concorrentes

O sistema admite uma única solução que é um par ordenado localizado na interseção das duas retas;

Retas paralelas

O sistema não admite solução, pois um ponto não pode estar localizado em duas retas paralelas;

Retas coincidentes

O sistema admite uma infinidade de soluções pois as retas estão sobrepostas.

Acerca das três situações, apresentamos exemplos com as equações postas uma ao lado da outra e não uma sobre a outra como é comum encontrar nos livros.

Tipos de retas 1a. equação 2a. equação

Concorrentes x + y = 2 x - y = 0

Paralelas x + y = 2 x + y = 4

Coincidentes x + y = 2 2x + 2y = 4

Exemplos: Os mesmos problemas apresentados antes, vistos agora do ponto de vista de equações.

A soma das idades de André e Carlos é 22 anos. Descubra as idades de cada um deles, sabendo-se que André é 4 anos mais novo do que Carlos.

Resolução: A idade de André será tomada com a letra A e a idade de Carlos com a letra C. O sistema de equações será:

C + A = 22

C - A = 4

Resposta: C = 13 e A = 9

A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as duas cidades juntas têm uma população de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B?

Resolução: Identificando a população da cidade A com a letra A e a população da cidade B com B, o sistema de equações será:

A + B = 100000

A = 3B

Resposta: A = 75000, B= 25000.

Uma casa com 260m2 de área construída tem 3 dormitórios de mesmo tamanho. Qual é a área de cada dormitório se as outras dependências da casa ocupam 140m2 ?

Resolução: Identificaremos a área de cada dormitório com a letra D e a área das outras dependências com a letra O. Assim, o sistema será:

3D + O = 260

O = 140

Resposta: D = 40

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Desigualdades com 2 Equações (2 variáveis)

Outra situação bastante comum é aquela em que existe uma desigualdade com 2 equações em 2 ou mais incógnitas. Estudaremos aqui apenas o caso em aparecem 2 equações e 2 incógnitas x e y. Uma forma geral pode ter a seguinte forma típica:

a x + b y < c d x + e y > f

onde a, b, c, d, e e f são valores conhecidos.

Exemplo: Determinar todos os pares ordenados de números reais para os quais:

2x + 3y > 6

5x + 2y < 20

Há infinitos pares ordenados de números reais satisfazendo a esta desigualdade, o que torna impossível exibir todas as soluções. Para remediar isto, utilizaremos um processo geométrico que permitirá obter uma solução geométrica satisfatória.

Processo geométrico:

Traçamos a reta 2x+3y=6 (em vermelho no desenho);

Escolhemos um ponto fora da reta, por exemplo, o par (2,2);

Observamos que este ponto satisfaz à primeira desigualdade;

Colorimos o semi-plano contendo o ponto (2,2) (cor rosa).

Traçamos a reta 5x+2y=20 (em azul no desenho);

Escolhemos um ponto fora da reta, por exemplo, o próprio par já usado antes (2,2). (não é necessário que seja o mesmo)

Observamos que este ponto satisfaz à segunda desigualdade;

Colorimos o semi-plano contendo o ponto (2,2), inclusive a própria reta. (cor azul)

Construímos a interseção (em vermelho) das duas regiões coloridas.

Esta interseção é o conjunto solução para o sistema com as duas desigualdades.

Esta situação gráfica é bastante utilizada em aplicações da Matemática a estudos de Economia e Processos de otimização. O ramo da Matemática que estuda este assunto é a Pesquisa Operacional.