articulador 1

quarta-feira, 30 de novembro de 2016

Determinantes

Triângulo equilátero inscrito numa circunferência

Professor de Matemática Antonio Carlos Carneiro Barroso
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com


O uso da geometria plana, das suas definições, conceitos e fórmulas é muito comum em diversas situações cotidianas. Diariamente nos envolvemos com situações em que a geometria se faz presente, como o cálculo de comprimentos, áreas, medidas de ângulos e outras. É um dos ramos da matemática que mais apresenta aplicações na vida prática, portanto, fundamental é conhecer, compreender e aplicar suas fórmulas na resolução de situações-problema.

Vejamos como podemos determinar a área de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência de raio r em função da medida do raio.

Considere um triângulo equilátero de lado l, inscrito numa circunferência de raio r, como mostra a figura.
Onde a é o apótema do triângulo equilátero.

O centro C da circunferência é o ortocentro e baricentro do triângulo equilátero. Logo, seu comprimento equivale a 1/3 do valor da altura do triângulo. Ou seja,
Dessa forma, podemos constatar, também, que o raio r equivale a 2/3 do valor da altura do triângulo. Assim, podemos escrever:
Verificamos também que o apótema equivale à metade do valor do raio da circunferência. Ou seja:
Sabemos que a área de qualquer triângulo é dada por:

A = base x altura

Para o triângulo equilátero, sabemos que:

Logo, a área do triângulo equilátero será:
Nosso objetivo é determinar a área do triângulo equilátero em função do raio da circunferência. Temos que:
Daí, obtemos a seguinte igualdade:
Dessa forma, a área do triângulo equilátero inscrito numa circunferência, em função do raio r, será:
Vejamos alguns exemplos de aplicação.

Exemplo 1. Determine a área de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência de 8 cm de raio.

Solução: Pelo enunciado, temos que r = 8 cm. A área do triângulo equilátero inscrito numa circunferência pode ser obtida conhecendo-se somente o valor do raio. Segue que:
Exemplo 2. Um triângulo equilátero com lados medindo 10 cm está inscrito numa circunferência de raio r. Calcule a área dessa circunferência.

Solução: Para determinar a área da circunferência precisamos conhecer a medida de seu raio. Como sabemos a medida do lado do triângulo equilátero, podemos obter o valor de r pela fórmula:
Por Marcelo Rigonatto
Especialista em Estatística e Modelagem Matemática

Conjunto

Podemos efectuar algums Relações entre conjunto com conjunto, entre conjunto e elemento de UM conjunto. Essa Relações possuem características específicas e REPRESENTACOES próprias. Vamos caracterizar cada umha delas.

• Igualdade de conjuntos

Podemos Dizer que Dois ou mais conjuntos São iguais se os elementos de UM forem idênticos aos dos demais, matematicamente representamos umha igualdade cabelo sinal =.

Dado o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4} eo conjunto B = {4, 3, 2, 1, 0}, observando os elementos de cada conjunto percebe que São idênticos, entao podemos
Dizer que A = B (A igual a B).

Quand comparamos A e B e eles Não São iguais dizemos que São diferentes representados assim A ≠ B.

• relaçao de inclusão

Ao compararmos Dois conjuntos percebe que eles Nem sempre iguais, mas em alguns casos alguns elementos sim. Por exemplo:
Dado o conjunto A = {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} e conjunto B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} eles Não São diferentes, mas observando o conjunto B veremos que todos os seus elementos está dentro do conjunto A.
Essa relaçao é chamada de inclusão, ou sejas, o conjunto B é até mesmo, conteúdo, no conjunto A. Representada matematicamente por BA (B está contido em A).

Dado o conjunto C = {0, 1, 2, 3} e D = {4, 5, 6, 7}, Ness Dois conjuntos Não é possivel aplicar a relaçao de inclusão, entao dizemos que CD (C Não está contido em D ), assim como DC (D Não está contido em C).

• relaçao de proximidade

Essa relaçao é utilizada Quand comparamos conjunto com elementos. Quand queremos Dizer que UM elemento qualque está dentro de UM conjunto ou que ele Não está no conjunto, dizemos que ele pertence ou Não pertence a êsse determinado conjunto, Veja o exemplo:

Dado o conjunto A = {-8, -4, -2, 0, 1, 2, 3}, podemos Dizer que - 4 A (- 4 pertence a A) e 5 A (5 Não pertence a A)
extraido de www.mundoeducacao.com.br

Probabilidades

Nos espaços amostrais equiprováveis temos que os eventos possuem probabilidades iguais de ocorrência. No lançamento de um dado temos que a ocorrência de cada face é a mesma, isto é 1/6. Nesses casos, calculamos a probabilidade de um evento ocorrer relacionando o número de casos favoráveis com o número de casos possíveis.

Exemplo 1

Ao lançarmos por duas vezes sucessivas um dado, qual a probabilidade de:

a) ocorrer 2 no primeiro lançamento e um número impar no segundo?

Precisamos que aconteça o seguinte evento: (2,1), (2,3), (2,5). Assim, temos que a probabilidade é de 3 chances em 36.

P(E) = 3/36 = 1/12.

b) a multiplicação entre os números for maior que 10?
(2,6), (3,4), (3,5), (3,6), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5).

P(E) = 16/36 = 4/9

Exemplo 2

Sorteando ao acaso um número de 1 a 50, qual a probabilidade de sair um múltiplo de 4?

Temos que os múltiplos de 4 compreendidos entre 1 e 50, são: {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48}, então:

P(E) =12/50 = 6/25


Exemplo 3

Uma urna contém 100 bolas numeradas de 1 a 100. Uma delas é extraída ao acaso. Qual é a probabilidade de o número sorteado ser:

a) 18?
P(E) = 1/100

b) maior que 63?
P(E) = 34/100 = 17/50

c) formado por dois algarismos
P(E) = 90/100 = 9/10



Exemplo 4

Um baralho possui 52 cartas. Uma delas é extraída ao acaso. Qual é a probabilidade de ser sorteada:

a) a carta com o rei de copas?
P(E) = 1/52

b) uma carta de espadas.
O baralho é formado por quatro naipes: copas, ouro, espadas, paus. Dessa forma temos 13 cartas de copas, 13 cartas de ouro, 13 cartas de espadas e 13 cartas de paus. A probabilidade de retirar uma carta de espadas é dada por:
P(E) = 13/52 = 1/4

c) uma carta que não seja o 6?
Cada número está associado a um naipe, portanto, temos quatro cartas com numeração 6. Então 52 – 4 = 48
P(E) = 48/52 = 12/13

A Fome atual


Criança africana com aspecto de profunda subnutrição.
A fome pode ser expressa de duas formas: aberta ou epidêmica; e oculta ou endêmica.

A fome aberta ocorre em períodos em que acontecem guerra em um determinado lugar, desastres ecológicos ou pragas que compromete drasticamente o fornecimento de alimentos, isso ocasiona a morte de milhares de pessoas.

Atualmente esse tipo de fome não tem ocorrido. Hoje existem vários organismos humanitários que fornecem alimentos às áreas afetadas por conflitos.

A fome oculta possui outra característica, é aquela no qual o indivíduo não ingere a quantidade mínima de calorias diárias, o resultado disso é a desnutrição ou subnutrição que assola 800 milhões de pessoas em todo mundo.

A subnutrição fragiliza a saúde, tornando a pessoa acessível a doenças. Houve uma diminuição relativa no mapa da fome, mas a realidade ainda é alarmante.

Observando esse panorama, nota-se que a fome ou subnutrição não é decorrente da produção insuficiente de alimentos, pelo contrário, ano após ano a produção tem aumentado o volume, e é fato que a produção de alimentos é mais do que suficiente para suprir as necessidades da população mundial.
Veja Mais!
Fome, miséria e altos impostosA elevada carga tributária pode contribuir para o aumento da forme.
Thomas Malthus
Teoria ligada ao equilíbrio entre produção de alimentos e população.
Fome oculta
Causada pela má alimentação do indivíduo.
Eduardo de Freitas

Propriedades organolépticas Identificação pelos nossos sentidos


Características de uma substância que podem ser percebidas com nossos sentidos são chamadas de propriedades organolépticas.

Identificar substâncias é uma das atividades realizadas pela química analítica. Muitas vezes nos deparamos com situações que necessitam dessa atividade: uma empresa recebe um carregamento de uma substância e deve verificar se o que recebeu é realmente o que foi pedido; um detetive forense precisa saber se a mancha encontrada em uma roupa é sangue; um ourives quer saber se o metal que comprou é ou não ouro.

Todas as substâncias possuem determinadas características que podem identificá-las. Algumas propriedades só podem ser aferidas através de sofisticados equipamentos e outras de maneira muito mais simples.

Se você pegar um pedaço de alumínio e outro de estanho na mão, mesmo que não lhe digam qual é qual, você é perfeitamente capaz de identificá-los: o alumínio é mais claro e prateado enquanto o estanho é mais escuro e amarelado.

Propriedades organolépticas
Se em sua cozinha existirem dois potes sem identificação, um contendo sal e outro açúcar, você também os identifica pelo gosto salgado ou doce. Um recipiente com óleo diesel e outro com gasolina também conseguem ser identificados apenas pela sua aparência.

Veja que em todos os exemplos duas coisas são comuns: você sabe o que são embora não saiba qual é qual e, para identificá-los não foi necessário nenhum método especial, você utilizou apenas seus próprios sentidos: olfato, tato, visão e paladar. Como você viu, as propriedades organolépticas, não devem ser desprezadas na identificação das substâncias.

Quando não confiar nas propriedades organolépticas
Algumas substâncias têm propriedades organolépticas muito características e, desde que tenhamos uma prévia noção do que se trata, podemos classificá-la com certeza. Imagine que você tenha uma situação onde não há essa prévia noção. Imagine que lhe entreguem dois frascos com os seguintes sais: cloreto de potássio e cloreto de sódio. Os dois estão em pó, os dois são brancos, não têm cheiro e, como você não sabe se podem lhe fazer mal, não irá prová-los. Neste caso as propriedades organolépticas não foram muito úteis.

Quando confiar nas propriedades organolépticas
Excluindo casos óbvios como os dos exemplos que já demos, vamos pensar em outra coisa: mesmo não podendo chegar ao resultado final, podemos "filtrar" nossa busca com base em algumas observações. Você recebe um bloco sólido para identificar. O simples fato de ser um sólido já excluirá uma série de substâncias - oxigênio, por exemplo - observando o bloco, você também é capaz de dizer se é um metal, um pedaço de um sal ou até mesmo de origem orgânica. Percebeu que mesmo não tendo obtido uma identificação positiva você consegue afunilar sua busca ganhando bastante tempo e excluindo muitas substâncias? Trocando em miúdos: mesmo não sabendo quem é, podemos excluir muitos que não são.

Cuidado!
Embora tenhamos dito que as propriedades organolépticas podem ser muito úteis, não devemos, em hipótese alguma, cheirar ou provar substâncias desconhecidas pois, se não sabemos quem é, não sabemos que mal pode nos fazer e, mesmo que saibamos do que se trata, não conhecemos sua pureza nem sua esterilidade (pode estar biologicamente contaminado).

Em tempo
Quer saber como diferenciar o cloreto de sódio do cloreto de potássio, que usamos como exemplo: misture um pouco de álcool a eles e coloque fogo. A chama do sódio é cor de laranja e a do potássio violeta.
Fábio Rendelucci é professor de química e física, diretor do cursinho COC-Universitário de Santos e presidente da ONG Sobreviventes.

Substâncias


Uma das maiores confusões que as pessoas fazem na hora de classificar as substâncias reside nos quesitos de substância simples e substância pura. Para que isso fique claro é fundamental que entendamos bem algumas coisas antes de chegarmos a essa classificação:

O átomo é uma unidade fundamental, primária que constitui a matéria. O que queremos dizer é que toda matéria é constituída por átomos. Os átomos são diferenciados uns dos outros pelo seu número atômico (que você deve lembrar que corresponde ao número de prótons que ele possui).

Elementos químicos, aqueles que encontramos na tabela periódica, representam átomos de mesmo número atômico. Assim, todo e qualquer átomo que apresentar, por exemplo, oito prótons e conseqüentemente possui número atômico Z=8, será um átomo do elemento oxigênio.

Você também sabe que os átomos se combinam, se ligam entre si formando o que chamamos de moléculas. Perceba que uma molécula pode, a princípio, ser formada pela "combinação" de qualquer número de átomos de qualquer elemento químico.

Substâncias químicas
Os átomos ligados, ou seja, as moléculas, representam o que chamamos de substância química, cada uma identificada por uma fórmula química como, por exemplo, H2O, que representa a substância água e indica que sua composição é de dois átomos do elemento hidrogênio e um átomo do elemento oxigênio.

Isso posto, podemos perceber algumas coisas:

# O2 - é a fórmula da substância oxigênio, composta por dois átomos, ambos do elemento oxigênio.
# CO2 - é a fórmula da substância dióxido de carbono, composta por três átomos, sendo dois do elemento oxigênio e um do elemento carbono.
# C6H6 - é a fórmula da substância benzeno, composta por 12 átomos, sendo seis do elemento carbono e seis do elemento hidrogênio.

Quando classificamos uma substância podemos fazê-lo levando em conta:

1) Número de átomos: obviamente se refere ao número de átomos que a constitui, independentemente do elemento que cada um representa. Veja:

* Ar (gás argônio) - monoatômica (um único átomo);
* O2 (oxigênio), CO (monóxido de carbono), NaCl (cloreto de sódio) - diatômica (dois átomos);
* CO2 (dióxido de carbono), H2O (água), - triatômica (três átomos)


e assim por diante.

2) Número de elementos que constitui a molécula: Cuidado! Isso não tem nada a ver com o número de átomos! Veja:

* Ar (gás argônio) - um único elemento: argônio
* O2 (oxigênio) - um único elemento: oxigênio
* CO (monóxido de carbono) - dois elementos: carbono e oxigênio
* CO2 (dióxido de carbono) - dois elementos: carbono e oxigênio
* NaCl (cloreto de sódio) - dois elementos: sódio e cloro
* H2O (água) - dois elementos: hidrogênio e oxigênio



Uma substância é classificada como simples quando sua molécula é formada por um único tipo de elemento, independentemente do número de átomos que possui. Substâncias cujas moléculas são formadas por dois ou mais elementos químicos são chamadas de compostas. Retomando o exemplo, teremos:

* O2 - Substância simples
* CO, CO2, NaCl, H2O - Substâncias compostas



Substâncias puras
Diferentemente do que o nome possa sugerir, as substâncias puras não são aquelas formadas nem por um único átomo (monoatômicas), nem por um único elemento químico (simples). Substâncias são consideradas puras quando em uma amostra só encontramos moléculas daquela substância, sem nenhuma outra presente.

Por exemplo: na água destilada encontramos única e exclusivamente moléculas da substância água (H2O). Mesmo a água sendo uma molécula triatômica e composta (possui os elementos H e O), essa amostra é de uma substância pura.

Amostras onde são encontradas moléculas de mais de uma substância, são chamadas de misturas.

O ar atmosférico é um bom exemplo de uma mistura em que encontramos várias substâncias simples, como N2, O2, H2, Ar, e outras compostas, como CO, CO2, etc.

Espero que vocês não confundam mais os conceitos de substâncias simples e substâncias puras. Esses conceitos são muito importantes para sua base de conhecimento em química.
*Fábio Rendelucci é professor de química e física, diretor do cursinho COC-Universitário de Santos e presidente da ONG Sobreviventes.

Monômios

No cotidiano, muitas vezes usamos expressões sem perceber que as mesmas representam expressões algébricas ou numéricas.

Numa papelaria, quando calculamos o preço de um caderno somado ao preço de duas canetas, usamos expressões como 1x+2y, onde x representa o preço do caderno e y o preço de cada caneta.

Num colégio, ao comprar um lanche, somamos o preço de um refrigerante com o preço de um salgado, usando expressões do tipo 1x+1y onde x representa o preço do salgado e y o preço do refrigerante.

Usamos a subtração para saber o valor do troco. Por exemplo, se V é o valor total de dinheiro disponível e T é o valor do troco, então temos uma expressão algébrica do tipo V-(1x+1y)=T.

As expressões algébricas são encontradas muitas vezes em fórmulas matemáticas. Por exemplo, no cálculo de áreas de retângulos, triângulos e outras figuras planas.
Expressão algébrica Objeto matemático Figura
A = b x h Área do retângulo
A = b x h / 2 Área do triângulo
P = 4 a Perímetro do quadrado

Elementos históricos

Na Antiguidade, as letras foram pouco usadas na representação de números e relações. De acordo com fontes históricas, os gregos Euclides e Aristóteles (322-384 a.C), usaram as letras para representar números. A partir do século XIII o matemático italiano Leonardo de Pisa (Fibonacci), que escreveu o livro sobre Liber Abacci (o livro do ábaco) sobre a arte de calcular, observamos alguns cálculos algébricos.

O grande uso de letras para resumir mais racionalmente o cálculo algébrico passou a ser estudado pelo matemático alemão Stifel (1486-1567), pelos matemáticos italianos Germano (1501-1576) e Bombelli ( autor de Álgebra publicada em 1572), porém, foi com o matemático francês François Viéte (1540-1603), que introduziu o uso ordenado de letras nas analogias matemáticas, quando desenvolveu o estudo do cálculo algébrico.

Expressões Numéricas

São expressões matemáticas que envolvem operações com números.

Exemplos:

a = 7 + 5 + 4

b = 5 + 20 - 87

c = (6 + 8) - 10

d = (5 x 4) + 15

Expressões algébricas

São expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números. São também denominadas expressões literais.

Exemplos:

A = 2a + 7b

B = (3c + 4) - 5

C = 23c + 4

As letras nas expressões são chamadas variáveis o que significa que o valor de cada letra pode ser substituída por um valor numérico.

Prioridade das operações numa expressão algébrica

Nas operações em uma expressão algébrica, devemos obedecer a seguinte ordem:

(1) Potenciação ou Radiciação

(2) Multiplicação ou Divisão

(3) Adição ou Subtração

Observações quanto a prioridade:

(1) Antes de cada uma das três operações citadas anteriormente, deve-se realizar a operação que estiver dentro dos parênteses, colchetes ou chaves.

(2) A multiplicação pode ser indicada por x ou por um ponto . ou às vezes sem sinal, desde que fique clara a intenção da expressão.

(3) Muitas vezes devemos utilizar parênteses quando substituímos variáveis por valores negativos.

Exemplos:

(1) Consideremos P=2A+10 e tomemos A=5. Assim

P = 2.5+10 = 10+10 = 20

Aqui A é a variável da expressão, 5 é o valor numérico da variável e 20 é o valor numérico da expressão indicada por P. Observe que ao mudar o valor de A para 9, teremos:

A = 2.9 + 10 = 18 + 10 = 28

Quando A=9, o valor numérico de P=2A+10 é igual a 28.

(2) Seja X = 4A + 2 + B - 7 e tomemos A=5 e B=7. Desse modo:

X = 4.5+2+7-7 = 20+2-0 = 22

Quando A=5 e B=7, o valor numérico de X = 4A + 2 + B - 7, é igual a 28.

(3) Seja Y = 18 - C + 9 + D + 8C, onde C=-2 e D=1. Então:

Y = 18-(-2)+9+1+8(-2) = 18+2+9+1-16 = 30-16 = 14

Se C=-2 e D=1, o valor numérico de Y=18-C+9+D+8C, é 14.

Conclusão: O valor numérico de uma expressão algébrica é o valor obtido na expressão quando substituímos a variável por um valor numérico.

Exemplos práticos:

(1) Lembrando-se que o triângulo eqüilátero é aquele que possui os três lados congruentes (mesma medida), calcular o perímetro de um triângulo equilátero cujo lado mede 5 cm. sabendo-se que o perímetro de um triangulo equilátero pode ser representado por uma expressão algébrica da forma: P=a+a+a=3a. Substituindo a=5cm nesta expressão, obtemos P=3×5cm=15cm.

(2) Para obter a área do quadrado cujo lado mede 7cm, devemos usar a expressão algébrica para a área do quadrado de lado L que é A=L×L=L². Assim, se L=7cm, então A=7×7=49cm².

Observação: Mudando o valor do lado para L=8cm, o valor da área mudará para A=8×8=64cm².

(3) Escreva expressões algébricas para representar o perímetro de cada uma das figuras abaixo:


(4) Se a letra y representa um número natural, escreva a expressão algébrica que representa cada um dos seguintes fatos:

1. O dobro desse número.
2. O sucessor desse número.
3. O antecessor desse número (se existir).
4. Um terço do número somado com seu sucessor.

(5) Como caso particular do exercício anterior, tome y=9 e calcule o valor numérico:

1. do dobro de y
2. do sucessor de y
3. do antecessor de y
4. da terça parte de y somado com o sucessor de y

(6) Calcular a área do trapézio ilustrado na figura, sabendo-se que esta área pode ser calculada pela expressão algébrica A=(B+b)×h/2, onde B é a medida da base maior, b é a medida da base menor e h é a medida da altura.

Monômios e polinômios

São expressões matemáticas especiais envolvendo valores numéricos e literais, onde podem aparecer somente operações de adição, subtração ou multiplicação. Os principais tipos são apresentados na tabela:
Nome No.termos Exemplo
monômio um m(x,y) = 3 xy
binômio dois b(x,y) = 6 x²y - 7y
trinômio três f(x) = a x² + bx + c
polinômio vários p(x)=aoxn+a1xn-1+a2xn-2+...+an-1x+an

Identificação das expressões algébricas

Muitas vezes as expressões algébricas aparecem na forma:

3x2y

onde se observa que ela depende das variáveis literais x e y, mas é importante identificá-las com nomes como:

p(x,y) = 3x2y

para deixar claro que esta é uma expressão algébrica que depende das variáveis x e y.

Esta forma de notação é muito útil e nos leva ao conceito de função de várias variáveis que é um dos conceitos mais importantes da Matemática.

Valor numérico de uma expressão algébrica identificada

É o valor obtido para a expressão, ao substituir as variáveis literais por valores numéricos.

Exemplo: Se p(x,y)=3x2y, então para x=7 e y=2 temos que:

p(7,2) = 3 x 72 x 2 = 294

Se alterarmos os valores de x e de y para x=-1 e y=5, teremos outro valor numérico:

p(-1,5) = 3 x (-1)2 x 5 = 3 x 5 = 15

mas dependendo da mudança de x e de y, poderíamos ter o mesmo valor numérico que antes. Se x=-7 e y=2, teremos:

p(7,2) = 3 x (-7)2 x 2 = 294

A regra dos sinais (multiplicação ou divisão)

(+1) x (+1) = +1 (+1) ÷ (+1) = +1
(+1) x (-1) = -1 (+1) ÷ (-1) = -1
(-1) x (+1) = -1 (-1) ÷ (+1) = -1
(-1) x (-1) = +1 (-1) ÷ (-1) = +1

Regras de potenciação

Para todos x e y em R-{0} e m e n números inteiros, tem-se que:
Propriedades Alguns exemplos
xº=1 (x não nulo) 5º = 1
xm xn = xm+n 5².54 = 56
xm ym = (xy)m 5² 3² = 15²
xm ÷ xn = xm-n 520 ÷ 54 = 516
xm ÷ ym = (x/y)m 5² ÷ 3² = (5/3)²
(xm)n = xmn (53)² = 125² = 15625 = 56
xm÷n = (xm)1/n 53÷2 = (53)1/2 = 1251/2
x-m = 1 ÷ xm 5-3 = 1 ÷ 53 = 1/125
x-m/n = 1 ÷ (xm)1/n 5-3/2 = 1 ÷ (53)1/2= 1 ÷ (125)1/2

Eliminação de parênteses em Monômios

Para eliminar os parênteses em uma expressão algébrica, deve-se multiplicar o sinal que está fora (e antes) dos parênteses pelo sinal que está dentro (e antes) dos parênteses com o uso da regra dos sinais. Se o monômio não tem sinal, o sinal é o positivo. Se o monômio tem o sinal +, o sinal é o positivo.

Exemplos:

A = -(4x) + (-7x) = -4x-7x = -11x
B = -(4x) + (+7x) = -4x+7x = 3x
C = +(4x) + (-7x) = 4x-7x = - 3x
D = +(4x) + (+7x) = 4x+7x = 11x

Operações com expressões algébricas de Monômios

1. Adição ou Subtração de Monômios

Para somar ou subtrair de monômios, devemos primeiramente eliminar os parênteses e depois realizar as operações.

Exemplos:

1. A = -(4x)+(-7x) = -4x-7x = -11x

2. B = -(4x)+(+7x) = -4x+7x = 3x

3. C = +(4x)+(-7x) = 4x-7x = -3x

4. D = +(4x)+(+7x) = 4x+7x = 11x

2. Multiplicação de Monômios

Para multiplicar monômios, deve-se primeiramente multiplicar os valores numéricos observando com muito cuidado a regra de multiplicação dos sinais, multiplicar as potências literais de mesma base e escrever a resposta de uma forma simplificada:

Exemplos:

1. A = -(4x²y).(-2xy) = +8x³y²

2. B = -(4x²y).(+2xy) = -8x³y²

3. C = +(4x²y).(-2xy) = -8x³y²

4. D = +(4x²y).(+2xy) = +8x³y²

3. Divisão de Monômios

Para dividir monômios, deve-se primeiramente dividir os valores numéricos observando com muito cuidado a regra de divisão dos sinais, dividir as potências literais de mesma base e escrever a resposta de uma forma simplificada:

Exemplos:

1. A = -(4x²y)÷(-2xy) = 2x

2. B = -(4x²y)÷(+2xy) = -2x

3. C = +(4x²y)÷(-2xy) = -2x

4. D = +(4x²y)÷(+2xy) = 2x

4. Potenciação de Monômios

Para realizar a potenciação de um monômio, deve-se primeiramente realizar a potenciação do valor numérico levando em consideração o sinal, tomar as potências literais e escrever a resposta de uma forma simplificada:

Exemplos:

1. A =(+4x²y)³= 4³ x²y x²y ²y = 256 x6 y³

2. B =(-4x²y)³ = -4³x²y x²y x²y = -256x6 y³

Alguns Produtos notáveis

1. Quadrado da soma de dois termos

Sabemos que x²=x.x, y²=y.y, mas não é verdade que

x² + y² = (x+y)²

a menos que um dos dois termos seja nulo. Este é um erro muito comum, mas o correto é:

(x+y)² = x² + 2xy + y²

Isto significa que o quadrado da soma de dois números sem sempre é igual à soma dos quadrados desses números.

Existe um algoritmo matemático que permite obter o quadrado da soma de x e y, e este algoritmo é semelhante àquele que permite obter o quadrado de um número com dois dígitos. Por exemplo, o número 13 pode ser decomposto em 10+3:
x+y
x+y
+xy+y²
x²+xy
x²+2xy+y²
Compare
as duas
operações
10+3
10-3
+10.3+3²
10²+10.3
10²+2.10.3+3²

Assim temos que o quadrado da soma de dois termos x e y, é a soma do quadrado do primeiro termo com o quadrado do segundo termo e com o dobro do produto do primeiro termo pelo segundo termo. Em resumo:

(x+y)² = x² + 2xy + y²

Exemplos:

(x+8)² = x²+2.x.8+8² = x²+16x+64
(3k+y)² = (3k)²+2.3k.y+y² = 9k²+6ky+y²
(1+x/5)² = 1+ 2x/5 +x²/25

Exercícios: Desenvolver as expressões:

(a+8)² =
(4y+2)² =
(9k/8 +3)² =

Pensando um pouco:

1. Se (x+7)²=x²+[ ]+49, qual é o termo que deve ser colocado no lugar de [ ]?

2. Se (5a+[ ])² = 25a²+30a+[ ], quais são os termos que devem ser colocados nos lugares de [ ]?

3. Se ([ ]+9)² = x²+[ ]+81, quais são os termos que devem ser colocados nos lugares de [ ]?

4. Se (4b+[ ])² = l6b²+36b+[ ], substitua os [ ] por algo coerente.

5. Se (c+8)²=c²+[ ]+[ ], substitua os [ ] por algo coerente.

2. Quadrado da diferença de dois termos

Como um caso particular da situação anterior, o quadrado da diferença de x e y é igual ao quadrado de x somado com o quadrado de y menos duas vezes xy. Resumindo:

(x-y)² = x² - 2xy + y²

Exemplos:

(x-4)² = x²-2.x.4+4² = x²-8x+16
(9-k)² = 9²-2.9.k+k² = 81-18k+k²
(2/y -x)² = (2/y)²-2.(2/y).x+x²

Exercícios: Complete o que falta.

(5x-9)² =[ ]
(k-6s)² =[ ]
(p-[ ])² = p²-10p+[ ]

3. Produto da soma pela diferença de dois termos

Vamos utilizar o mesmo algoritmo já usado para o produto da soma de dois termos.
x+y
x-y
-xy-y²
x²+xy
x² -y²
Compare
as duas
operações
10+3
10-3
-10.3-3²
10²+10.3
10² - 3²

Em geral, o produto da soma de x e y pela diferença entre x e y é igual ao quadrado de x menos o quadrado de y.

(x+y)(x-y) = x² - y²

Exemplos:

(x+2)(x-2) = x²-2x+2x-4 = x²-4
(g-8)(g+8) = g²-8g+8g-64 = g²-64
(k-20)(k+20) = k²-400
(9-z)(9+z) = 81-z²

Exercícios: Complete as expressões:

(6-m)(6+m) =
(b+6)(b-6) =
(6+b)(b-6) =
(6+b)(6-b) =
(100-u)(100+u) =
(u-100)(100+u) =

Teorema de Pitágoras

Dicas de trabalhar teorema de Pitagoras.
São excelentes e envolvem três níveis de dificuldades.
Pratiquem com seus alunos!: clique aqui

Agrupamento de Dados em Intervalos

Os estudos estatísticos são responsáveis pela análise de informações através de tabelas informativas e representações gráficas, no intuito de fornecer clareza nos resultados obtidos. Os dados coletados são organizados em tabelas que detalham as frequências absoluta e relativa. Em algumas situações, a quantidade de informações diferenciadas torna inviável a construção de uma tabela com uma linha para cada representação de valor. Nesses casos optamos por agrupar os dados em intervalos de classes.
Para a melhor representação dessa situação iremos apresentar um grupo de pessoas, das quais suas alturas foram coletadas. Observe:

1. Amorim: 1,91
2. Antônio: 1,78
3. Bernardo: 1,69
4. Carlos: 1,82
5. Celso: 1,80
6. Danilo: 1,72
7. Douglas: 1,73
8. Daniel: 1,76
9. Everton: 1,77
10. Gabriel: 1,93
11. Gustavo: 1,84
12. Heitor: 1,87
13. Ítalo: 1,85
14. João Carlos: 1,89
15. João Vinicius: 1,70
16. Leonardo: 1,91
17. Lucas: 1,86
18. Marlon: 1,70
19. Orlando: 1,71
20. Pedro: 1,93
Para definirmos os intervalos, vamos realizar a subtração entre a maior e a menor altura: 1,94 – 1,69 = 0,25.
O número de intervalos deve ser sempre maior que quatro. No caso descrito, vamos estipular cinco intervalos de classe, dessa forma adicionamos 0,01 a 0,24 e dividimos por 5:
0,25 : 5 = 0,05. Veja os intervalos:
1,69 1,74 (1,69 + 0,05)
1,74 1,79 (1,74 + 0,05)
1,79 1,84 (1,79 + 0,05)
1,84 1,89 (1,84 + 0,05)
1,89 1,94 (1,89 + 1,94)

Importante: no intervalo 1,69 1,74, o símbolo indica fechado à esquerda e aberto à direita, assim as alturas iguais a 1,69; 1,70; 1,71; 1,72 e 1,73 serão registradas, e a altura 1,74 somente será computada no intervalo 1,74 1,79 e assim sucessivamente. Observe a tabela com os dados distribuídos de acordo com seu intervalo:

A tabela informa as alturas de acordo com os intervalos, a frequência absoluta e a frequência relativa e percentual.
Por Marcos Noé

Função seno

Área da Coroa do Círculo

Quando duas ou mais circunferências possuem o mesmo centro, são denominadas concêntricas. Nesse caso elas podem ter raio de tamanhos diferentes. Observe:

Ao unirmos duas circunferências de mesmo centro com raios R e r, considerando R > r, temos que a diferença entre as áreas é denominada coroa circular. Observe:

A área da coroa circular representada pode ser calculada através da diferença entre as áreas totais das duas circunferências, isto é, área do círculo maior menos a área do círculo menor.

Área da coroa = Área do círculo maior – Área do círculo menor

Área da coroa = (π * R²) – (π * r²)

Área da coroa = π * (R² – r²)

Observação: Os resultados podem ser dados em função de π, caso seja necessário substitua π por seu valor aproximado, 3,14.

Exemplo 1

Determine a área da coroa circular da figura a seguir, considerando o raio da circunferência maior igual a 10 metros e raio da circunferência menor igual a 8 metros.


A = π * (R² – r²)
A = π * (10² – 8²)
A = π * (100 – 64)
A = π * 36
A = 36π m²
ou
A = 36 * 3,14
A = 113,04 m²


Exemplo 2

Um cavalo está amarrado em uma árvore através de uma corda de 20 metros de comprimento. A área total da pastagem possui raio de 50 metros de comprimento. Considerando a área de pastagem máxima do cavalo, determine a área não utilizada na alimentação do cavalo.
A = π * (50² – 20²)
A = π * (2500 – 400)
A = π * (2100)
A = π * 2100
A = 2100π m²
ou
A = 2100 * 3,14
A = 6594 cm²
mundoeducacao

Regra de três

Definição

Regra de três é o cálculo ou processo matemático utilizado para resolver problemas que envolvam duas ou mais grandezas diretas ou grandezas inversamente proporcionais.

O problema que envolve somente duas grandezas diretamente é mais comumente chamado de regra de três simples.

Exercício de fixação da definição:

Um automóvel percorre um espaço de 480 Km em 02 horas. Quantos kms ele percorrerá em 06 horas?

Grandeza 1: Distância percorrida

Grandeza 2: Tempo necessário

Cálculo:

Distância 1 = 480 Km - 02 horas

Distância 2 = ? Km - 06 horas

01 hora percorrida = 240 km

06 horas percorrida = 240 Km x 6

Resultado: 1440 Kms

Método mais prático de solução da regra de três simples

Faça um X na equação, pegue o primeiro número de cima (480) e multiplique pelo segundo número de baixo (06) depois é só dividir pelo número que restou (02) - O que você deseja saber está em Km, portanto a resposta será em Km



480 km - 02 horas

X

? km - 06 horas

Resp: ? = 480 . 06 / 02 = 1440 Km


Regra de três composta – Este tipo de cálculo de regra de três envolve mais de duas grandezas proporcionais.

Exercícios de fixação da definição:

1) Se 20 homens trabalhando durante 15 dias constroem 500 metros de um muro, quantos homens serão necessários para construir mais 1000 metros deste muro em 30 dias?

Grandeza 1 : Número de homens trabalhando

Grandeza 2 : Tempo de duração do trabalho

Grandeza 3 : Tamanho do muro

2) Se 10 carros consomem em 05 dias a quantidade de 1000 litros de gasolina, quantos carros usaremos para consumir somente 500 litros de gasolina no espaço de 02 dias??

Grandeza 1: Número de carros

Grandeza 2: Número de dias

Grandeza 3: Quantidade combustível

Método mais prático de solução da regra de três composta

Faça a comparação da grandeza que irá determinar com as demais grandezas. Se esta grandeza for inversa, invertemos os dados dessa grandeza das demais grandezas.

A grandeza a se determinar não se altera, então, igualamos a razão das grandezas e determinamos o valor que se procura.

Veja:

1) Na alimentação de 02 bois, durante 08 dias, são consumidos 2420 kgs de ração. Se mais 02 bois são comprados, quantos quilos de ração serão necessários para alimentá-los durante 12 dias.

Regra de 3 composta


Assim: serão necessários 7260 Kgs de ração

2) Se 10 metros de um tecido custam R$ 50,00, quanto custará 22 metros ?

Solução: O problema envolve duas grandezas (quantidade de tecidos e preço da compra)

Regra de 3 composta

Assim: 22 metros custarão R$ 110,00

3) Em 06 dias de trabalho, 12 confeiteiros fazem 960 tortas. Em quantos dias 04 confeiteiros poderão fazer 320 tortas

Solução: O problema envolve três grandezas (tempo, número de confeiteiros, quantidade de tortas)

Regra de 3 composta


Exercícios de regra de três simples e composta

As respostas estão no final da página.

01 – Com 10 kg de trigo podemos fabricar 7kg de farinha. Quantos quilogramas de trigo são necessários para fabricar 28 kg de farinha?

02 – Com 50 kg de milho, obtemos 35 kg de fubá. Quantas sacas de 60 kg de fubá podemos obter com 1 200 kg de milho ?

03 – Sete litros de leite dão 1,5 quilos de manteiga. Quantos litros de leite serão necessários para se obterem 9 quilos de manteiga ?

04 – Em um banco, contatou-se que um caixa leva, em média, 5 minutos para atender 3 clientes. Qual é o tempo que esse caixa vai levar para atender 36 clientes ?

05 – Paguei R$ 6,00 por 1.250 kg de uma substância. Quanto pagaria por 0,750 kg dessa mesma substância ?

06 – Seis máquinas escavam um túnel em 2 dias. Quantas máquinas idênticas serão necessárias para escavar esse túnel em um dia e meio ?

07 – Uma fonte fornece 39 litros de água em 5 minutos. Quantos litros fornecerá em uma hora e meia ?

08 – Abrimos 32 caixas e encontramos 160 bombons. Quantas caixas iguais necessitamos para obter 385 bombons ?

09 – Um automóvel percorre 380 km em 5 horas. Quantos quilômetros percorrerá em 7 horas, mantendo a mesma velocidade média ?

10 – Um automóvel gasta 24 litros de gasolina para percorrer 192 km. Quantos litros de gasolina gastará para percorrer 120 km ?

11 – Uma torneira despeja 30 litros de água a cada 15 minutos. Quanto tempo levará para encher um reservatório de 4m3 de volume?

12 – Um relógio adianta 40 segundos em 6 dias. Quantos minutos adiantará em 54 dias ?

13 – Um relógio atrasa 3 minutos a cada 24 horas.

a) Quantos minutos atrasará em 72 horas ?

b) Quantos minutos atrasará em 18 dias ?

c) Quantos dias levará para o relógio ficar atrasado 45 minutos ?

14 – Quero ampliar uma foto 3 x 4 (3 cm de largura e 4 cm de comprimento) de forma que a nova foto tenha 10,5 m de largura. Qual será o comprimento da foto ampliada?

15 – Uma foto mede 2,5 cm por 3,5 cm e se quer ampliá-la de tal maneira que o lado maior meça 14 cm. Quanto deve medir o lado menor da foto ampliada ?

16 – Duas piscinas têm o mesmo comprimento, a mesma largura e profundidades diferentes. A piscina A tem 1,75 m de profundidade e um volume de água de 35 m3. Qual é o volume de água da piscina B, que tem 2 m de profundidade?

17 – Uma roda de automóvel dá 2750 voltas em 165 segundos. Se a velocidade permanecer constante, quantas voltas essa roda dará em 315 segundos?

18 – A combustão de 48 g de carbono fornece 176 gás carbônico. A combustão de 30 g de carbono fornece quantos gramas de gás carbônico?

19 – Num mapa, a distância Rio-Bahia, que é de 1.600 km, está representada por 24 cm. A quantos centímetros corresponde, nesse mapa, a distância Brasília-Salvador, que é de 1200 km ?

20 – Sabendo-se que, para cada 5 fitas de música brasileira, tenho 2 fitas de música estrangeira, quantas fitas de música brasileira eu tenho se possuo 22 fitas estrangeiras ?

21 – Duas piscinas têm a mesma largura e a mesma profundidade e comprimentos diferentes. Na piscina que tem 8 m de comprimento, a quantidade de água que cabe na piscina é de 45.000 litros. Quantos litros de água cabem na piscina que tem 10 m de comprimento ?

22 – Em uma prova de valor 6, Cristina obteve a nota 4,8. Se o valor da prova fosse 10, qual seria a nota obtida por Cristina?

23 – Uma vara de 3 m em posição vertical projeta uma sombra de 0,80 m. Nesse mesmo instante, um prédio projeta uma sombra de 2,40 m. Qual a altura do prédio ?

24 – Uma tábua de 2 m, quando colocada verticalmente, produz uma sombra de 80 cm. Qual é a altura de um edifício que, no mesmo instante, projeta uma sombra de 12 m ?

25 – Uma tábua com 1,5 m de comprimento foi colocada verticalmente em relação ao chão e projetou urna sombra de 53 cm. Qual seria a sombra projetada no mesmo instante por um poste que tem 10,5 m de altura?

26 – Se 3/7 da capacidade de um reservatório correspondem a 8.400 litros, a quantos litros correspondem 2/5 da capacidade do mesmo tanque?

27 – Uma circunferência, com 8 cm de diâmetro, tem 25,1 cm de comprimento. Qual é o comprimento de outra circunferência que tem 14 cm de diâmetro ?

28 – Uma folha de alumínio tem 400 cm2 de área e tem uma massa de 900 g. Qual será, em g, a massa de uma peça quadrada, da mesma folha de alumínio, que tem 40 cm de lado? ( Determine a área da peça quadrada ).

29 – Para azulejar uma parede retangular, que tem 6,5 m de comprimento por 3 m de altura, foram usados 390 azulejos. Quantos azulejos iguais a esses seriam usados para azulejar uma parede que tem 15 m2 de área?

30 – Sabe-se que 100 graus aferidos na escala Celsius (100°C) correspondem a 212 graus aferidos na escala Fahrenheit (212°F). Em Miami, nos Estados Unidos, uma temperatura, lida no termômetro Fahrenheit, registrou 84,8 graus. Qual é a temperatura correspondente se lida no termômetro Celsius?

31 – Com 4 latas de tinta pintei 280 m2 de parede. Quantos metros quadrados poderiam ser pintados com 11 latas dessa tinta?

32 – Um corredor de Fórmula 1 manteve, em um treino, a velocidade média de 153 km/h. Sabendo-se que 1 h = 3 600 s, qual foi a velocidade desse corredor em m/s ?

33 – A velocidade de um móvel é de 30m/s, Qual será sua velocidade em km/h ?

34 – Para fazer um recenseamento, chegou-se à seguinte conclusão: para visitar 102 residências, é necessário contratar 9 recenseadores. Numa região em que existem 3 060 residências, quantos recenseadores precisam ser contratados ?

35 – O ponteiro de um relógio de medição funciona acoplado a uma engrenagem, de modo que 4 voltas completas da engrenagem acarretam uma volta completa no mostrador do relógio. Quantas voltas completas, no mostrador do relógio, o ponteiro dá quando a engrenagem dá 4.136 voltas ?

36 – O ponteiro menor de um relógio percorre um ângulo de 30 graus em 60 minutos. Nessas condições, responda :

a) Quanto tempo ele levará para percorrer um ângulo de 42 graus ?

b) Se O relógio foi acertado às 12 horas ( meio-dia ), que horas ele estará marcando?

37 – Uma rua tem 600 m de comprimento e está sendo asfaltada. Em seis dias foram asfaltados 180 m da rua Supondo-se que o ritmo de trabalho continue o mesmo, em quantos dias o trabalho estará terminado?

38 – Um muro deverá ter 49 m de comprimento. Em quatro dias, foram construídos 14 m do muro. Supondo-se que o trabalho continue a ser feito no mesmo ritmo, em quantos dias será construído o restante do muro?

39 – Um automóvel percorreu uma distância em 2 horas, à velocidade média de 90 km por hora. Se a velocidade média fosse de 45 km por hora, em quanto tempo o automóvel faria a mesma distância?

40 – Com a velocidade de 75 km/h, um ônibus faz percurso em 40 minutos. Devido a um pequeno congestionamento, esse ônibus fez o percurso de volta em 50 minutos. Qual a velocidade média desse ônibus no percurso de volta?

41 – Para transportar material bruto para uma construção, foram usados 16 caminhões com capacidade de 5 cm3 cada um. Se a capacidade de cada caminhão fosse de 4m3, quantos caminhões seriam necessários para fazer o mesmo serviço ?

42 – Com o auxílio de uma corda, que julgava ter 2 m de comprimento, medi o comprimento de um fio elétrico e encontrei 40 m. Descobri, mais tarde, que a corda media na realidade, 2,05 m. Qual é o comprimento verdadeiro do fio?

43 – Com uma certa quantidade de arame pode.se fazer uma tela de 50 m de comprimento por 1,20 m de largura. Aumentando-se a largura em 1,80 m, qual será o comprimento de uma outra tela feita com a mesma quantidade de arame da tela anterior ?

44 – Para construir a cobertura de uma quadra de basquete, 25 operários levaram 48 dias. Se fosse construída uma cobertura idêntica em outra quadra e fossem contratados 30 operários de mesma capacidade que os primeiros, em quantos dias a cobertura estaria pronta ?

45 – Para forrar as paredes de uma sala, foram usadas 21 peças de papel de parede com 80 cm de largura. Se houvesse peças desse mesmo papel que tivessem 1,20 m de largura, quantas dessas peças seriam usadas para forrar a mesma parede ?

46 – Para pintar um barco, 12 pessoas levaram 8 dias, Quantas pessoas, de mesma capacidade de trabalho que as primeiras, são necessárias para pintar o mesmo barco em 6 dias ?

47 – Uma torneira, despejando 4,25 litros de água por minuto, enche uma caixa em 3 horas e meia. Em quanto tempo uma torneira que despeja 3,5 I de água por minuto encherá uma caixa de mesma capacidade que a primeira ?

48 – Oito pedreiros fazem um muro em 72 horas. Quanto tempo levarão 6 pedreiros para fazer o mesmo muro ?

49 – Dez operários constroem uma parede em 5 horas. Quantos operários serão necessários para construir a mesma parede em 2 horas ?

50 – Uma certa quantidade de azeite foi colocada em latas de 2 litros cada uma, obtendo-se assim 60 latas. Se fossem usadas latas de 3 litros, quantas latas seriam necessárias para colocar a mesma quantidade de azeite ?

51 – Um corredor gastou 2 minutos para dar uma volta num circuito à velocidade média de 210 km/h. Quanto tempo o corredor gastaria para percorrer o circuito à velocidade média de 140km/h ?

52 – Para se transportar cimento para a construção de um edifício, foram necessários 15 caminhões de 2m3 cada um. Quantos caminhões de 3m3 seriam necessários para se fazer o mesmo serviço?

53 – Uma torneira despeja 16 litros por minuto e enche uma caixa em 5 horas. Quanto tempo levará para encher a mesma caixa uma torneira que despeja 20 litros por minuto?

54 – Com certa quantidade de fio, um tear produz 35 m de tecido com 50 cm de largura. Quantos m de tecido com 70 cm de largura esse tear pode produzir com a mesma quantidade de fio ?

55 – A área de um terreno é dada pelo produto do comprimento pela largura. Um terreno retangular tem 50 m de comprimento por 32 m de largura. Se você diminuir 7 m da largura, de quantos m deverá aumentar o comprimento para que a área do terreno seja mantida ?

56 – Na construção de uma quadra de basquete, 20 pedreiros levam 15 dias. Quanto tempo levariam 18 pedreiros para construir a mesma quadra ?

57 – Um livro possui 240 páginas e cada página 40 linhas. Qual seria o número de páginas desse livro se fossem colocadas apenas 30 linhas em cada página ?

58 – Para paginar um livro que tem 45 linhas em cada páginas são necessárias 280 páginas. Quantas páginas com 30 linhas cada uma seriam necessárias para paginar o mesmo livro?

59 – Com velocidade média de 60 km/h, fui de carro de uma cidade A para uma cidade B em 16 min. Se a volta foi feita em 12 minutos, qual a velocidade média da volta ?

60 – ( MACK – SP ) Uma engrenagem de 36 dentes movimenta outra de 48 dentes. Quantas voltas dá a maior enquanto a menor dá 100 voltas ?

61 – Um caminhão percorre 1.116 km em 6 dias, correndo 12 horas por dia. Quantos quilômetros percorrerá 10 dias, correndo 14 horas por dia?

62 – Uma certa máquina, funcionando 4 horas por dia, fabrica 12.000 pregos durante 6 dias. Quantas horas por essa máquina deveria funcionar para fabricar 20.000 pregos em 20 dias?

63 – Um ciclista percorre 75km em 2 dias, pedalando 3 horas por dia. Em quantos dias faria uma viagem 200 km, pedalando 4 horas por dia?

64 – Foram empregados 4 kg de fio para tecer 14 m de fazenda de 0,8 m de largura. Quantos quilogramas serão precisos para produzir 350 m de fazenda com 1,2 m de largura ?

65 – Em 30 dias, uma frota de 25 táxis consome 100.000 l de combustível. Em quantos dias uma frota de 36 táxis consumiria 240.000 de combustível?

66 – Um folheto enviado pela Sabesp informa que uma torneira, pingando 20 gotas por minuto, em 30 dias, ocasiona um desperdício de 100 l de água. Na casa de Helena, uma torneira esteve pingando 30 gotas por minuto durante 50 dias. Calcule quantos litros de água foram desperdiçados.

67 – Numa fábrica de calçados, trabalham 16 operários que produzem, em 8 horas de serviço diário, 240 pares de calçados. Quantos operários São necessários para produzir 600 pares de calçados por dia, com 10 horas de trabalho diário?

68 – Meia dúzia de datilógrafos preparam 720 páginas em 18 dias. Em quantos dias 8 datilógrafos, com a mesma capacidade dos primeiros, prepararão 800 páginas ?

69 – Para erguer um muro com 2,5 m de altura e 30 m de comprimento, certo número de operários levou 24 dias. Em quantos dias esse mesmo número de operários ergueria um muro de 2 m de altura e 25 m de comprimento ?

70 – Um automóvel, com velocidade média de 60 km/h, roda 8 h por dia e leva 6 dias para fazer certo percurso. Se a sua velocidade fosse de 80 km/h e se rodasse 9 horas por dia, em quanto tempo ele faria o mesmo percurso?

71 – Dois carregadores levam caixas do depósito para um caminhão. Um deles leva 4 caixas por vez e demora 3 minutos para ir e voltar. O outro leva 6 caixas por vez e demora 5 minutos para ir e voltar. Enquanto o mais rápido leva 240 caixas, quantas caixas leva o outro ?

72 – O consumo de 8 lâmpadas, acesas durante 5 horas por dia, em 18 dias, é de 14 quilowatts. Qual será o consumo em 15 dias, deixando apenas 6 dessas lâmpadas acesas durante 4 horas por dia?

73 – Em 6 dias, 6 galinhas botam 6 ovos. Quantos ovos botam 12 galinhas em 12 dias?

74 – Se 5 gatos pegam 5 ratos em 5 minutos, 100 gatos pegam 100 ratos em quantos minutos ?

75 – ( UNIV. BRASíLIA ) Com 16 máquinas de costura aprontaram 720 uniformes em 6 dias de trabalho. Quantas máquinas serão necessárias para confeccionar 2.160 uniformes em 24 dias?

76 – ( USP – SP ) Uma família composta de 6 pessoas consome em 2 dias 3 kg de pão. Quantos quilos de pão serão necessários para alimentá-la durante 5 dias, estando ausentes 2 pessoas?

77 – ( CEFETQ – 1991 ) Quinze operários trabalhando oito horas por dia, em 16 dias, constroem um muro de 80 metros de comprimento. Em quantas horas por dia, 10 operários construirão um muro de 90 metros de comprimento, da mesma altura e espessura do anterior, em 24 dias ?

78 – ( CEFET – 1993 ) Os desabamentos, em sua maioria, são causados por grande acúmulo de lixo nas encostas dos morros. Se 10 pessoas retiram 135 toneladas de lixo em 9 dias, quantas toneladas serão retiradas por 40 pessoas em 30 dias ?

79 – ( CEFETQ – 1996 ) Uma frota de caminhões percorreu 3 000 km para transportar uma mercadoria, com velocidade média de 60 km/h, gastando 10 dias. Quantos dias serão necessários para que, nas mesmas condições, uma frota idêntica percorra 4 500 km com uma velocidade média de 50 km/h ?

80 – ( CEFETQ – 1997 ) Há 40 dias, um torneira na casa de Neilson está apresentando um vazamento de 45 gotas por minuto. Se um vazamento de 20 gotas por minuto, apresentado pela mesma torneira, desperdiça 100 litros de água em 30 dias, calcular o número de litros de água já desperdiçados na casa de Neilson.

81 – ( EsPECEx – 1981 ) Se 12 recenseadores visitam 1440 famílias em 5 dias de trabalho de 8 horas por dia, quantas famílias serão visitadas por 5 recenseadores, em 6 dias, trabalhando 4 horas por dia ?

82 – ( EsPECEx – 1982 ) Um grupo de jovens, em 16 dias, fabricam 320 colares de 1,20 m de cada. Quantos colares de 1,25 m serão fabricados em 5 dias ?

83 – ( EsPECEx – 1983 ) Um trem percorreu 200 km em certo tempo. Se tivesse aumentado sua velocidade em 10 km/h, teria percorrido essa distância em 1 hora menos. Determinar a velocidade do trem, em km/h.


Regra de Três – Questões Objetivas

84 – Se 4 máquinas fazem um serviço em 6 dias, então 3 dessas máquinas farão o mesmo serviço em:

a) 7 dias b) 8 dias c) 9 dias d) 4,5 dias

85 – Um quilo de algodão custa R$ 50,00. Um pacote de 40 gramas do mesmo algodão custa :

a) R$ 1,80 b) R$ 2,00 c) R$ 2,20 d) R$ 2,50

86 – Um litro de água do mar contém 25 gramas de sal. Então, para se obterem 50 kg de sal, o número necessário de litros de água do mar será:

a) 200 b) 500 c) 2 000 d) 5 000

87 – Um avião percorre 2 700 km em quatro horas. Em uma hora e 20 minutos de vôo percorrerá:

a) 675 km b) 695 km c) 810 km d) 900 km

88 – Na fabricação de 20 camisetas, 8 máquinas gastam 4 horas. Para produzir 15 dessas camisetas, 4 máquinas gastariam quantas horas ?

a) 3 horas b) 6 horas c) 5 horas d) 4 horas

89 – Em 7 dias, 40 cachorros consomem 100 kg de ração. Em quantos dias 3/8 deles comeriam 75 kg de ração ?

a) 10 dias. b) 12 dias. c) 14 dias. d) 18 dias

90 – Três máquinas imprimem 9.000 cartazes em uma dúzia de dias. Em quantos dias 8/3 dessas máquinas imprimem 4/3 dos cartazes, trabalhando o mesmo número de horas por dia?

a) 4 dias. b) 6 dias. c) 9 dias. d) 12 dias

91 – ( VESTIBULINHO – SP ) Numa corrida de FórmuIa 1, um corredor dá uma volta na pista em 1 minuto e 30 segundos com velocidade média de 200 km por hora. Se sua velocidade média cair para 180km por hora, o tempo gasto para a mesma volta na pista será de:

a) 2 min b) 2 min e 19 segundos

c) 1 min e 40 segundos d) 1 min e 50 segundos

92 – ( UMC – SP ) Um carro consumiu 50 litros de álcool para percorrer 600 km. Supondo condições equivalentes, esse mesmo carro, para percorrer 840 km, consumirá :

a) 68 litros b) 80 litros c) 75 litros d) 70 litros

93 – ( UF – MG ) Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes para o almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados, a quantidade de marmitas já adquiridas seria suficiente para um numero de dias igual a:

a) 10 b) 12 c) 15 d) 18

94 – ( UDF ) Uma máquina varredeira limpa uma área de 5.100 m2 em 3 horas de trabalho. Nas mesmas condições, em quanto tempo limpará uma área de 11.900 m2 ?

a) 4 horas b) 5 horas c) 7 horas d) 9 horas

95 – ( PUC – SP ) Um motorista de táxi, trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias, gasta R$ 1.026,00 de gás. Qual será o seu gasto mensal, se trabalhar 4 horas por dia ?

a) R$ 1.026,00 b) R$ 2.052,00

c) R$ 3.078,00 d) R$ 4.104,00

96 – ( VUNESP – SP ) Um secretário gastou 15 dias para desenvolver um certo projeto, trabalhando 7 horas por dia. Se o prazo concedido fosse de 21 dias para realizar o mesmo projeto, poderia ter trabalhado :

a) 2 horas a menos por dia. b) 2 horas a mais por dia.

c) 3 horas a menos por dia. d) 3 horas a mais por dia.

97 – ( MACK – SP ) Se 15 operários em 9 dias de 8 horas ganham R$ 10.800,00; 23 operários em 12 dias de 6 horas ganhariam :

a) R$ 16.560,00 b) R$ 17.560,00.

c) R$ 26.560,00. d) R$ 29.440,00

98 – ( SANTA CASA – SP ) Sabe-se que 4 máquinas, operando 4 horas por dia, durante 4 dias, produzem 4 toneladas de certo produto Quantas toneladas do mesmo produto seriam produzidas por 6 máquinas daquele tipo, operando 6 horas por dia, durante 6 dias ?

a) 8 b) 15 c) 10,5 d) 13,5

99 – ( FEP – PA ) Para asfaltar 1 km de estrada, 30 homens gastaram 12 dias trabalhando 8 horas por horas por dia. Vinte homens, para asfaltar 2 km da mesma estrada, trabalhando 12 horas por dia, gastarão :

a) 6 dias. b) 12 dias. c) 24 dias. d) 28 dias.

100 – ( PUCCAMP-SP ) Operando 12 horas por dia horas, 20 máquinas produzem 6000 peças em 6 dias. Com 4 horas a menos de trabalho diário, 15 daquelas máquinas produzirão 4.000 peças em:

a) 8 dias b) 9 dias

c) 9 dias e 6 horas. d) 8 dias e 12 horas.

101 – ( USP – SP ) Uma família de 6 pessoas consome em 2 dias 3 kg de pão. Quantos quilos serão necessários para alimentá-lo durante 5 dias estando ausentes 2 pessoas ?

a) 3 quilos b) 4 quilos c) 5 quilos d) 6 quilos

102 – ( Unimep – SP ) Se dois gatos comem dois ratos em dois minutos, para comer 60 ratos em 30 minutos são necessários:

a) 4 gatos b) 3 gatos c) 2 gatos

d) 5 gatos e) 6 gatos

102 – ( FAAP – SP ) Numa campanha de divulgação do vestibular, o diretor mandou confeccionar cinqüenta mil folhetos. A gráfica realizou o serviço em cinco dias, utilizando duas máquinas de mesmo rendimento, oito horas por dia. O diretor precisou fazer nova encomenda. Desta vez, sessenta mil folhetos. Nessa ocasião, uma das máquinas estava quebrada. Para atender o pedido, a gráfica prontificou-se a trabalhar 12 horas por dia, executando o serviço em :

a) 5 dias b) 8 dias c) 10 dias d) 12 dias

103 – ( PUC Campinas 2001 ) Em uma fábrica, constatou-se que eram necessários 8 dias para produzir certo nº de aparelhos, utilizando-se os serviços de 7 operários, trabalhando 3 horas a cada dia. Para reduzir a dois dias o tempo de produção, é necessário :

a) triplicar o nº de operários

b) triplicar o nº de horas trabalhadas por dia

c) triplicar o nº de horas trabalhadas por dia e o nº de

operários

d) duplicar o nº de operários

e) duplicar o nº de operários e o número de horas

trabalhadas por dia

104 – ( UNICAMP 2001. ) Uma obra será executada por 13 operários (de mesma capacidade de trabalho) trabalhando durante 11 dias com jornada de trabalho de 6 horas por dia. Decorridos 8 dias do início da obra 3 operários adoeceram e a obra deverá ser concluída pelos operários restantes no prazo estabelecido anteriormente. Qual deverá ser a jornada diária de trabalho dos operários restantes nos dias que faltam para a conclusão da obra no prazo previsto ?

a) 7h 42 min

b) 7h 44 min

c) 7h 46 min

d) 7h 48 min

e) 7h 50 min

105 – ( CEFET – 1990 ) Uma fazenda tem 30 cavalos e ração estocada para alimentá-los durante 2 meses. Se forem vendidos 10 cavalos e a ração for reduzida à metade. Os cavalos restantes poderão ser alimentados durante:

a) 10 dias b) 15 dias c) 30 dias

d) 45 dias e) 180 dias

106 – ( CEFETQ – 1980 ) Em um laboratório de Química, trabalham 16 químicos e produzem em 8 horas de trabalho diário, 240 frascos de uma certa substância. Quantos químicos são necessários para produzir 600 frascos da mesma substância, com 10 horas de trabalho por dia ?

a) 30 b) 40 c) 45 d) 50

107 – ( Colégio Naval – 1995 ) Se K abelhas, trabalhando K meses do ano, durante K dias do mês, durante K horas por dia, produzem K litros de mel; então, o número de litros de mel produzidos por W abelhas, trabalhando W horas por dia, em W dias e em W meses do ano será :

a) b) c) d) e)



Respostas dos Exercícios de Regra de Três Simples e Composta

01) 40 kg
02) 14 sacas
03) 42 litros
04) 60 min
05) 60 minutos = 1 hora
06) 8 máquinas
07) 702 litros
08) 77 caixas
09) 532 km
10) 15 litros
11) 33 h 20 min
12) 6 minutos
13) 9 min / 54 min / 15 dias
14) 14 cm
15) 10 cm
16) 40 m3
17) 5.250 voltas
18) 110 g
19) 18 cm
20) 55 fitas
21) 56.250 litros
22) Nota 8
23) 9 metros
24) 30 m
25) 371 cm ou 3,71 m
26) 7.840 litros
27) 43.925 cm
28) 3.600 g
29) 300 azulejos
30) 40 graus
31) 770 m2
32) 42 m/s
33) 108 km/h
34) 270 recenseadores
35) 1.034 voltas
36) a)84 min b) 1 h 24 min
37) 14 dias
38) 10 dias
39) 4 horas
40) 60 km/h
41) 20 caminhões
42) 41 m
43) 20 metros
44) 40 dias
45) 14 peças
46) 16 pessoas
47) 4 h 15 min
48) 96 horas
49) 25 operários
50) 40 latas
51) 3 minutos
52) 10 caminhões
53) 4 horas
54) 25 m
55) 20 cm
56) 16 dias e 16 horas
57) 320 páginas
58) 420 páginas
59) 80 km/h
60) 75 voltas
61) 2.170 km
62) 2 horas
63) 4 dias
64) 150 kg
65) 50 dias
66) 250 litros
67) 12 operários
68) 15 dias
69) 16 dias
70) 4 dias
71) 216 caixas
72) 7 kw
73) 24 ovos
74) 5 min
75) 12 máquinas
76) 5 kg
77) 9 horas
78) 1.800 toneladas
79) 18 dias
80) 300 litros
81) 360 famílias
82) 480 colares
83) 5 horas
84) letra d
85) letra b
86) letra c
87) letra d
88) letra b
89) letra c
90) letra b
91) letra c
92) letra d
93) letra c
94) letra c
95) letra b
96) letra a
97) letra a
98) letra d
99) letra c
100) letra a
101) letra c
102) letra a
103) letra e
104) letra d
105) letra d
106) letra d
107) letra e

Eletricidade

Professor de Matemática no Colégio Estadual Dinah Gonçalves
E Biologia na rede privada de Salvador-Bahia
Professor Antonio Carlos carneiro Barroso
email accbarroso@hotmail.com
Extraído de http://www.alunosonline.com.br

Eletricidade

Danielle de Miranda




Eletricidade, uma grande invenção.
A eletricidade é considerada um dos fenômenos da física que estuda as cargas elétricas em repouso e em movimento. Assim, o estudo da eletricidade pode ser dividido em:

• Eletrostática: estuda os efeitos produzidos por cargas elétricas em repouso, estudando carga elétrica, campo elétrico, potencial elétrico.

• Eletrodinâmica: estuda cargas elétricas em movimento, estudando corrente elétrica, resistores, capacitores.

• Eletromagnetismo: estuda os efeitos produzidos por essas cargas, estudando o campo magnético e suas influências, campo magnético gerado por correntes elétricas, forças magnéticas sobre correntes elétricas e indução eletromagnética.

Willian Gilbert é o cientista inglês que primeiro definiu alguns conceitos sobre cargas elétricas e campo elétrico, não com essa mesma nomenclatura, mas com a mesma definição. Assim, vários outros estudiosos deram seqüência aos estudos, como: Benjamin Franklin, Charles François de Cisternay Du Fa, Joseph Priestley, Lord Henry Cavendish, Charles-Augustin de Coulomb e Siméon-Denis Poisson, esses estudaram e aprofundaram o estudo sobre eletricidade.

No Brasil, a eletricidade começou a ser colocada em uso a partir de 1879, depois da invenção da Lâmpada, e em 1881 foi inaugurada a primeira instalação de energia pública em São Paulo.
No decorrer do tempo, o uso da energia foi aprimorando com instalações de hidroelétricas, projetos que beneficiavam a energia foram aprovados, surgimento da Eletrobrás, dentre outras.

O estudo da eletricidade é de grande importância para que tomemos conhecimento sobre a energia elétrica que utilizamos hoje com tanta abundância

Adjetivo

Adjetivo

Adjetivo é a classe gramatical que modifica o substantivo atribuindo-lhes qualidade, estado ou modo de ser. Com os adjetivos é possível comparar características e ou qualidades de mais de um substantivo. Os adjetivos concordam com os substantivos em gênero e número, há também a possibilidade de variar as características de um só substantivo, sendo assim, ele varia de grau e tamanho.

Exemplo:
1. Aquele homem é belíssimo.
2. O homem é muito forte.
3. Aquele cachorro é bravo demais.
4. Hoje a comida estava fria.
5. O mar é bastante fundo.
6. O céu é eterno.

Locução Adjetiva
É uma expressão constituída por mais de uma palavra para caracterizar o substantivo, e possuem o mesmo valor, sentido e função de um adjetivo, ou seja, a preposição é unida com o adjetivo, para que ele seja caracterizado.

Exemplo:

Amor de pai (locução adjetiva) paterno (adjetivo)
Curso da tarde (locução adjetiva) vespertino (adjetivo)
Máscara de cabelo (locução adjetiva) capilar (adjetivo)

Na locução adjetiva, o substantivo tem o seu próprio gênero e número, não concordando com a locução: Máscaras de cabelo - a locução adjetiva não está de acordo com o substantivo em relação ao número. Já o substantivo concorda em gênero e número em relação ao adjetivo: Máscaras capilares.

Flexão do adjetivo – gênero.

A flexão dos adjetivos é classificada em dois grupos: Uniformes e Biformes.

Uniformes: é invariável como o gênero, por isso possui somente uma forma, tanto femininos quanto masculinos.

Exemplo: Aquela menina é muito inteligente/ Aquele menino é muito inteligente.

Biformes: são variáveis, possui duas formas distintas, ou seja, para o sexo masculino usam-se palavras masculinas para complementar a frase, e o mesmo acontecem com as frases femininas.

Exemplo: A menina é bonita/ O menino é bonito.
Casaco novo/ saia nova.

Nos adjetivos compostos, somente o último elemento é flexionado para o feminino.

Exemplo: Ela tem os olhos verde-claros. / Eu vi blusas azul-escuras.

Flexão do adjetivo – número.

Adjetivos Simples: as regras são iguais as do substantivo simples.

Exemplos:

Feliz – Felizes
Amável – Amáveis
Conservador - conservadores

Adjetivos Compostos: o último elemento sofre a flexão.

Exemplo: Sabores doce-amargos

Em relação às cores usadas nos adjetivos compostos:

Se no último elemento houver um substantivo, ele fica invariável.

Exemplo: sapatos amarelo-canário.

Se no último elemento houver um adjetivo, somente ele sofrerá a variação:
Olhos verde-claros

Flexão do adjetivo – grau.

O adjetivo apresenta dois graus diferentes, o comparativo e o superlativo.

O comparativo: designa um ser como superior, inferior ou igual.

Exemplos:
Amanda é tão esperta quanto Mariana. (comparativo de igualdade).
Amanda é mais esperta (do) que Mariana (comparativo de superioridade analítico)
Amanda é maior (do) que Mariana (comparativo de superioridade sintético)

O superlativo: quando a qualidade é elevada ao mais alto nível.

Exemplo:

Joana é muito bela. (superlativo absoluto analítico)
Joana é belíssima. (superlativo absoluto sintético)
Joana é a mais bela de todas. (superlativo relativo de superioridade analítico)
Joana é a menor de todas. (superlativo relativo de superioridade sintético)
Joana é a menos bela de todas. (superlativo relativo de inferioridade)

Multiplicação de inteiros

O conjunto dos números inteiros é formado pelos números inteiros positivos e seus respectivos negativos, denominado oposto ou simétrico. A multiplicação entre esses números deverá respeitar algumas regras envolvendo jogo de sinais.

Produto de dois números inteiros com sinais diferentes.

Quando realizamos a multiplicação:

5 x 6 é o mesmo que 6 + 6 + 6 + 6+ 6. Então, para multiplicarmos dois números inteiros com sinais diferentes, iremos utilizar a mesma ideia.

(+5) * (– 2)

(– 2) + (– 2) + (– 2) + (– 2) + (– 2) (Escrevendo uma adição de parcelas iguais)

– 2 – 2 – 2 – 2 – 2 = – 10 (Simplificando a escrita e calculando o resultado)

(+5) * (– 2) = –10

O produto de dois números inteiros, diferente de zero, e de sinais diferentes é um número inteiro de:

Valor absoluto igual ao produto dos valores absolutos dos fatores e sinal negativo (–).

Produto de dois números inteiros com sinais iguais.

Nesse caso há duas possibilidades: dos fatores serem positivos ou dos fatores serem negativos.

Vamos calcular o produto de (+ 8) * (+5) = + 40

Vamos calcular o produto de (– 6) * (– 15) = + 90

O produto de dois números inteiros diferentes de zero e de sinais iguais é um número inteiro de:

Valor absoluto igual ao produto dos valores absolutos dos fatores e sinal positivo (+).

Elemento Neutro

O elemento neutro da multiplicação é 1 ou + 1.

Pois qualquer número inteiro multiplicado por 1 (positivo) será ele mesmo.
Exemplo:
(– 4) * 1 = – 4
(+ 5) * (+ 1) = 5
(–10) * (+1) = – 10
(+ 9) * ( 1 ) = + 9


A multiplicação dos números inteiros é mais simples que a adição e subtração, pois basta multiplicarmos os valores absolutos e o sinal fica conforme a regra:

( + ) * ( + ) = ( + )
( + ) * ( – ) = ( – )
( – ) * ( + ) = ( – )
( – ) * ( – ) = ( + )



Segundo o dicionário Aurélio, divisão significa “partir ou distinguir em diversas partes; separar as diversas partes de.”
Na divisão utilizamos praticamente o mesmo método da multiplicação. Devemos, em primeiro lugar, relembramos o jogo de sinais:
- Divisão de números com mesmo sinal = +
- Divisão de números com sinais diferentes = -

Numa divisão exata de dois números inteiros, o quociente é um número inteiro e o resto é igual a zero.



►Quociente de dois números inteiros com sinais diferentes.

(- 45) : (+ 5) = - 9
(+45) : ( -5) = -9

O quociente de uma divisão exata entre dois números inteiros, com divisor diferente de zero e sinais diferentes é um número inteiro de:
Valor absoluto: igual ao quociente dos valores absolutos dos termos.
Sinal: negativo (-).

►Quociente de dois números inteiros com sinais iguais.

(- 60) : (- 10) = + 6
(+ 60) : (+ 10) = + 6

O quociente de uma divisão exata entre dois números inteiros, com divisor diferente de zero e sinais iguais é um número inteiro de:
Valor absoluto: igual ao quociente dos valores absolutos dos termos.
Sinal: positivo (+).

Acontece da mesma forma que na multiplicação, dividimos os valores absolutos e o sinal é conforme a regra:
- : + = -
+ : + = +
- : - = +

Observações:
• Não existe divisão por zero. Exemplo: 15 : 0, pois não existe um número inteiro cujo produto por zero seja 15.

• Zero dividido por qualquer número é sempre zero.
www.mundoeducacao.com.br

Circuitos elétricos Aparelhos analisam circuitos e dispositivos eletroeletrônicos


Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com        



Multímetro digital
O estudo das grandezas envolvidas na operação dos circuitos elétricos é fundamental, pois permite o dimensionamento e manutenção de inúmeros projetos. Corrente, tensão e resistência são as principais grandezas a serem consideradas nesses estudos. Dispositivos como fusíveis e disjuntores, bitolas de fios e especificações de tomadas (materiais usados na instalação de um circuito elétrico residencial ou industrial) dependem de um correto dimensionamento.

Na prática, instrumentos como os multímetros (que permitem medir voltagem, resistência ou corrente elétrica através da seleção de função) são muito utilizados para medições e análises de circuitos e dispositivos eletroeletrônicos. Também existem outros aparelhos, mais específicos, como o voltímetro, o amperímetro e o osciloscópio.

Voltímetro
O voltímetro opera medindo a diferença de potencial entre dois pontos de um circuito elétrico. Para isso, ele utiliza duas pontas de medida que são ligadas ao aparelho e operadas por um técnico ou usuário. Atualmente, usamos mais os medidores digitais, mas o objetivo é o mesmo dos medidores analógicos.

Com o voltímetro é possível observar as tensões locais, tanto em circuitos de corrente alternada (alimentados pelas redes de distribuição elétrica) quanto nos circuitos que operam com corrente contínua (alimentados por pilhas ou baterias). No Brasil, as tensões mais comuns para operação residencial em corrente alternada são 110 e 220 volts (110 V / 220 V).

Amperímetro
O amperímetro é o aparelho que mede a intensidade da corrente elétrica direta ou alternada de um circuito. Ele é composto, basicamente, por uma agulha fixa que está acoplada a uma bobina móvel, disposta entre os pólos de um magneto. A deflexão provocada pela intensidade da corrente que passa pela bobina pode ser observada no movimento da agulha sobre uma escala.

Alguns automóveis possuem um amperímetro no painel do motorista, para monitorar o sistema elétrico do veículo. Esses sistemas são alimentados, geralmente, por uma bateria de 12 V e têm a sua segurança garantida por um conjunto de fusíveis. Os primeiros galvanômetros (medidores de corrente elétrica) foram feitos por Michael Faraday.

Osciloscópio
O osciloscópio é um instrumento que permite observar, numa tela, o valor da diferença de potencial (ddp) em função do tempo ou em função de outra ddp comparada.

O elemento sensor desse aparelho é um feixe de elétrons. Devido ao baixo valor da massa do elétron, e por serem partículas eletricamente carregadas, elas podem ser facilmente aceleradas e defletidas pela ação de um campo elétrico ou magnético. A leitura é feita numa tela fosforescente e o aparelho permite comparar medições e registrar o histórico de valores, o que faz com que seja mais adequado em medições específicas e de laboratório.

Algumas aplicações do osciloscópio: análise e monitoramento de sistemas eletroeletrônicos, aplicações na medicina diagnóstica e na mecânica de automóveis.

Osciloscópio


Para saber mais
# Construção de um voltímetro e de um amperímetro usando um galvanômetro.
# Circuitos elétricos - estude os circuitos se divertindo
*Luís Fábio Simões Pucci é licenciado em Física e Matemática. Mestre em Educação, também é professor do Instituto Galileo Galilei para a Educação.

Romantismo

Tendência que se manifesta nas artes e na literatura do final do século XVIII até o fim do século XIX. Nasce na Alemanha, na Inglaterra e na Itália, mas é na França que ganha força e de lá se espalha pela Europa e pelas Américas. Opõe-se ao racionalismo e ao rigor do neoclassicismo. Caracteriza-se por defender a liberdade de criação e privilegiar a emoção. As obras valorizam o individualismo, o sofrimento amoroso, a religiosidade cristã, a natureza, os temas nacionais e o passado. A tendência é influenciada pela tese do filósofo Jean-Jacques Rousseau (1712-1778) de que o homem nasce bom, mas a sociedade o corrompe. Também está impregnada de ideais de liberdade da Revolução Francesa (1789).

ARTES PLÁSTICAS -O romantismo chega à pintura no início do século XIX. Na Espanha, o principal expoente é Francisco Goya (1746-1828). Na França destaca-se Eugène Delacroix (1798-1863), com sua obra Dante e Virgílio. Na Inglaterra, o interesse pelos fenômenos da natureza em reação à urbanização e à Revolução Industrial é visto como um traço romântico de naturalistas como John Constable (1776-1837). O romantismo na Alemanha produz obras de apelo místico, como as paisagens de Caspar David Friedrich (1774-1840).

LITERATURA -A poesia lírica é a principal expressão. Também são freqüentes os romances. Frases diretas, vocábulos estrangeiros, metáforas, personificação e comparação são características marcantes. Amores irrealizados, morte e fatos históricos são os principais temas. O marco da literatura romântica é Cantos e Inocência (1789), do poeta inglês William Blake (1757-1827). O livro de poemas Baladas Líricas, do inglês William Wordsworth (1770-1850), é uma espécie de manifesto do movimento. O poeta fundamental do romantismo inglês é Lord Byron (1788-1824). Na linha do romance histórico, o principal nome é o escocês Walter Scott (1771-1832). Na Alemanha, o expoente é Goethe (1749-1832), autor de Fausto.

O romantismo impõe-se na França no fim da década de 1820 com Victor Hugo (1802-1885), autor de Os Miseráveis. Outro dramaturgo e escritor francês importante é Alexandre Dumas (1802-1870), autor de Os Três Mosqueteiros.

MÚSICA -Os compositores buscam liberdade de expressão. Para isso, flexibilizam a forma e valorizam a emoção. Exploram as potencialidades da orquestra e também cultivam a interpretação solo. Resgatam temas populares e folclóricos, que dão ao romantismo caráter nacionalista.

A transição do classicismo musical, que acontece já no século XVIII, para o romantismo é representada pela última fase da obra do compositor alemão Ludwig van Beethoven (1770-1827). Nas sonatas e em seus últimos quartetos de cordas, começa a se fortalecer o virtuosismo. De suas nove sinfonias, a mais conhecida e mais típica do romantismo é a nona. As tendências românticas consolidam-se depois com Carl Maria von Weber (1786-1826) e Franz Schubert (1797-1828).

O apogeu, em meados do século XIX, é atingido principalmente com Felix Mendelssohn (1809-1847), autor de Sonho de uma Noite de Verão, Hector Berlioz (1803-1869), Robert Schumann (1810-1856), Frédéric Chopin (1810-1849) e Franz Liszt (1811-1886). No fim do século XIX, o grande romântico é Richard Wagner (1813-1883), autor das óperas românticas O Navio Fantasma e Tristão e Isolda.
TEATRO -A renovação do teatro começa na Alemanha. Individualismo, subjetividade, religiosidade, valorização da obra de Shakespeare (1564-1616) e situações próximas do cotidiano são as principais características. O drama romântico em geral opõe num conflito o herói e o vilão. Os dois grandes expoentes são os poetas e dramaturgos alemães Goethe e Friedrich von Schiller (1759-1805). Victor Hugo é o grande responsável pela formulação teórica que leva os ideais românticos ao teatro. Os franceses influenciam os espanhóis, como José Zorrilla (1817-1893), autor de Don Juan Tenório; os portugueses, como Almeida Garrett (1799-1854), de Frei Luís de Sousa; os italianos, como Vittorio Alfieri (1749-1803), de Saul; e os ingleses, como Lord Byron (1788-1824), de Marino Faliero.

ROMANTISMO NO BRASIL -O romantismo surge em 1830, influenciado pela independência, em 1822. Desenvolve uma linguagem própria e aborda temas ligados à natureza e às questões político-sociais. Defende a liberdade de criação e privilegia a emoção. As obras valorizam o individualismo, o sofrimento amoroso, a religiosidade, a natureza, os temas nacionais, as questões político-sociais e o passado.

Artes plásticas -Os artistas dedicam-se a pinturas históricas, que enaltecem o Império e o nacionalismo oficial. Exemplos são as telas A Batalha de Guararapes, de Victor Meirelles (1832-1903), e A Batalha do Avaí, de Pedro Américo. O romantismo também influencia as obras dos pintores Araújo Porto Alegre (1806-1879) e Rodolfo Amoêdo (1857-1941).

Literatura -O marco inicial do romantismo brasileiro é a publicação, em 1836, de Suspiros Poéticos e Saudades, de Gonçalves de Magalhães (1811-1882). A produção literária passa por quatro fases. A primeira (1836-1840) privilegia o misticismo, a religiosidade, o nacionalismo e a natureza. Seus expoentes são Araújo Porto Alegre e Gonçalves de Magalhães.

Na segunda (1840-1850) predominam a descrição da natureza, a idealização do índio e o romance de costumes. Os destaques são Gonçalves Dias, poeta de Canção dos Tamoios, José de Alencar, autor de O Guarani, e Joaquim Manuel de Macedo (1820-1882), de A Moreninha.

Na terceira (1850-1860), o nacionalismo intensifica-se e preponderam o individualismo, a subjetividade e a desilusão. Na poesia sobressaem Álvares de Azevedo, de Lira dos Vinte Anos, Casimiro de Abreu (1839-1860), de Primaveras, e Fagundes Varela (1841-1875), de Cantos e Fantasias. Na prosa consolidam-se as obras de José de Alencar, com Senhora, e Bernardo Guimarães (1825-1884), com A Escrava Isaura. Destaca-se ainda Manuel Antônio de Almeida (1831-1861), com Memórias de um Sargento de Milícias.

Na última fase (1860-1880), época de transição para o realismo e o parnasianismo, prevalece o caráter social e liberal ligado à abolição da escravatura. O grande nome na poesia é Castro Alves, autor de O Navio Negreiro. Outro poeta importante é Sousândrade (1833-1902), de Guesa. Na prosa destacam-se Franklin Távora (1842-1888), de O Cabeleira, e Machado de Assis, em suas primeiras obras, como Helena.



Com o romantismo surgem as primeiras produções do regionalismo, que retrata de forma idealizada tipos e cenários de regiões do país.

Música -Os compositores buscam liberdade de expressão e valorizam a emoção. Resgatam temas populares e folclóricos, que dão ao romantismo caráter nacionalista. A ópera se desenvolve no país. Seus principais representantes são Carlos Gomes, autor de O Guarani, e Elias Álvares Lobo (1834-1901). Eles são auxiliados por libretistas como Machado de Assis e José de Alencar. Em 1863 estréia Joana de Flandres, de Carlos Gomes, com texto em português. A última ópera apresentada nesse período é O Vagabundo, de Henrique Alves de Mesquita (1830-1906). Uma segunda fase do movimento é marcada pelo folclorismo. Sobressaem Alberto Nepomuceno (1864-1920) e Luciano Gallet (1893-1931).

Teatro -Desenvolve-se a partir da chegada da corte portuguesa, em 1808. A primeira peça é a tragédia Antônio José ou o Poeta e a Inquisição (1838), de Gonçalves de Magalhães, encenada por João Caetano (1808-1863). Martins Pena, autor de O Noviço, é considerado o primeiro dramaturgo brasileiro importante. Individualismo, subjetividade, religiosidade e situações cotidianas são as principais características do período.

Fonte: Artes BR

http://www.artesbr.hpg.ig.com.br/Educacao/11/interna_hpg11.html

Avaliação

Professor de Matemática e Ciências Antonio Carlos Carneiro Barroso
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com
Blog HTTP://ensinodematemtica.blogspot.com.br
www.accbarrosogestar.blogspot.com.br

O que  é  Avaliação?

 Avaliação  é  um processo  continuo de aprendizagem no qual  deve-se  manter  a  interação entre
 professor  e  aluno .Neste caso  avaliação  não  pode  ser vista  como  método  de  reprovação  mais  uma  especialidade para  promover o conhecimento participativo ,coletivo  e  construtivo  entre  ambos. Podemos  afirmar  também  que  avaliação  se  divide  em diversas modalidades  como  formativa,diagnóstica,somatica entre  outras. Mais  vamos  realizar  uma análise  rápida  sobre a  avaliação  formativa "é  um ponto de  partida ,útil para assimilação  ou  retificação  dos  conteúdos  abordados  em  aula e  aplicando  uma  estágios  para  um processo  de  aprendizagem avaliativo e possibilitando  ao  professor  abordagens  mais  didáticas  . Avaliação  somativa  está  integrada  ao  objetivos  específicos a serem aplicados  em aula e  captar  a  rentabilidade  cognitiva  dos  alunos  na  compreensão  e  aquisição  dos  conhecimentos adquiridos  pelos  educandos. Outra  modalidade  trata-se  da  diagnóstica  seria  a  mais  complexa  entre  as  demais  pois  a diagnóstica  trabalha  com  a  visão  do  o todo das  demais  acima . Vamos  compreender  então  a  avaliação  diagnóstica  serve  para  nos  educadores  realizarmos  os  parâmetros  do conhecimento  dos  nossos  alunos  do  início ao  fim de  todo  os  processos  avaliativos, ela  avalia  os  conhecimentos  dos  alunos  quantos  aos  conteúdos que ele captou durante  o percurso  aprendido.

A avaliação é um processo natural que acontece para que o professor tenha uma noção dos conteúdos assimilados pelos alunos, bem como saber se as metodologias de ensino adotadas por ele estão surtindo efeito na aprendizagem dos alunos. Há muito tempo atrás avaliar significava apenas aplicar provas, dar uma nota e classificar os alunos em aprovados e reprovados. Ainda hoje existem alguns professores que acreditam que avaliar consiste somente nesse processo. Contudo, essa visão aos poucos está sendo modificada.

Avaliação não deve ser somente o momento da realização das provas e testes, mas um processo contínuo e que ocorre dia após dia, visando a correção de erros e encaminhando o aluno para aquisição dos objetivos previstos. Nesse sentido, a forma avaliativa funciona como um elemento de integração e motivação para o processo de ensino-aprendizagem. A avaliação é um processo atualmente entendido não só como o resultado dos testes e provas, mas também os resultados dos trabalhos e/ou pesquisas que os alunos realizam.

Existem inúmeras técnicas avaliativas como, por exemplo, a prova de consulta, trabalhos e pesquisas, resolução de soluções problemas, entre muitas outras técnicas, as quais permitem ao professor avaliar o desempenho dos alunos e fugir da tradicional prova escrita, essas técnicas apresentam algumas características como:

• Possibilidade de professor e aluno dialogarem buscado encontrar e corrigir possíveis erros, redirecionando o aluno para a aprendizagem;
• A motivação para a correção e o progresso do educando, sugerindo a ele novas formas de estudo para melhor compreensão dos assuntos abordados dentro da classe.

O importante é entender que avaliar não consiste somente em fazer provas e dar nota, avaliar é um processo pedagógico contínuo, que ocorre dia após dia, buscando corrigir erros e construir novos conhecimentos.
Tipos de Avaliação
Avaliação Diagnóstica

Tanto no âmbito geral do curso, como nas ações do professor, é utilizada a avaliação diagnóstica, visando identificar e avaliar o conhecimento que o aluno traz, tanto antes de iniciar o curso, como ao iniciar uma nova prática, mesmo que seja em menor escala, “(...) buscando detectar pré-requisitos para novas experiências de aprendizagem. Permite a averiguar as causas de repetidas dificuldades de aprendizagem.” (SANT’ANA, 1997, p. 33)


Avaliação Formativa
Alguns educadores utilizam a avaliação formativa, visando identificar se as estratégias e os recursos usadas para ensinar estão tendo resultados positivos, ou seja, se os alunos estão efetivamente aprendendo. Para Perrenoud (1999) esta prática de avaliação pode ser entendida como uma prática "contínua que pretenda melhorar as aprendizagens em curso, contribuindo para o acompanhamento e orientação dos alunos durante todo o seu processo de formação. É formativa toda a avaliação que ajuda o aluno a aprender e a se desenvolver, que participa da regulação das aprendizagens e do desenvolvimento no sentido de um projeto educativo”.


Avaliação Somativa

Essa modalidade, geralmente, é aplicada ao final de cada período de aprendizado, com o objetivo de medir o conhecimento adquirido pelo educando.