Média Harmônica

A média harmônica está relacionada ao cálculo matemático das situações envolvendo as grandezas inversamente proporcionais. Como exemplo, temos a relação entre velocidade e tempo. Suponha que, em uma determinada viagem, um carro desenvolva duas velocidades distintas, durante a metade do percurso ele manteve a velocidade de 50 km/h e durante a metade restante sua velocidade foi de 60 km/h. Vamos determinar a velocidade média do veículo durante o percurso.

De acordo com a média harmônica temos a seguinte relação:

A velocidade média do veículo durante todo o percurso será de aproximadamente 54 km/h.

Caso calculássemos a velocidade média utilizando a média aritmética chegaríamos ao resultado de 55 km/h. Esse valor demonstra que a velocidade e o tempo de percurso nos dois trechos seriam iguais. Mas precisamos considerar que no primeiro trecho o automóvel levou um tempo maior para o percurso, pois a velocidade era de 50 km/h e no segundo trecho o tempo decorrido foi menor, devido à velocidade de 60 km/h.

Nesse momento, observamos a relação inversa entre velocidade e tempo e, para que não ocorra erro, é aconselhável nessas condições a utilização da média harmônica.

Por Marcos Noé

Frequência Absoluta

Toda pesquisa envolve uma coleta de dados, que devem ser organizados e analisados. Ao determinarmos o número de vezes que determinado valor de uma variável acontece estamos demonstrando a sua Frequência Absoluta.

Frequência Absoluta de um valor é o número de vezes em que uma determinada variável assume um valor.

Em um Colégio foi realizada uma pesquisa sobre a preferência musical dos alunos do ensino médio matutino. Foram entrevistados 150 alunos aleatoriamente e as opções preferenciais dos entrevistados foram organizadas na seguinte tabela de frequências absolutas:




A tabela acima é um exemplo de representação da frequência absoluta de uma determinada pesquisa de opinião, pois ela apresenta os estilos musicais e o número de vezes que foram citados. A organização clara e objetiva dos dados da entrevista facilita a análise e a interpretação.

Observe a tabela a seguir, ela mostra o resultado de uma pesquisa feita no ensino fundamental de uma escola.



Note que a frequência absoluta é dada através da quantidade de alunos por idade. Por exemplo, temos 30 alunos na faixa etária de 11 anos de idade. Os dados quantitativos expressam com exatidão a situação analisada, dessa forma a escola fica com os dados atualizados, podendo organizar melhor os eventos escolares, evitando gastos desnecessários na área administrativa.

Média aritmética

A média aritmética é considerada uma medida de tendência central e é muito utilizada no cotidiano. Surge do resultado da divisão do somatório dos números dados pela quantidade de números somados.

Por exemplo, determinar a média dos números 3, 12, 23, 15, 2.
Ma = (3+12+23+15+2) / 5
Ma = 55 / 5
Ma = 11
A média dos números é igual a 11.

Esse tipo de cálculo é muito utilizado em campeonatos de futebol no intuito de determinar a média de gols da rodada, nas escolas calculando a média final dos alunos, também é utilizado nas pesquisas estatísticas, pois a média dos resultados determina o direcionamento das ideias expressas pelas pessoas pesquisadas.

Exemplo 1
Calcule a média anual de Carlos na disciplina de Matemática com base nas seguintes notas bimestrais:
1ºB = 6,0
2ºB = 9,0
3ºB = 7,0
4ºB = 5,0

Ma = (6,0 + 9,0 + 7,0 + 5,0) / 4
Ma = 27/4
Ma = 6,75

A média anual de Carlos foi 6,75.


Exemplo 2O dólar é considerado uma moeda de troca internacional, por isso o seu valor diário possui variações. Acompanhando a variação de preços do dólar em reais durante uma semana verificou-se as variações de acordo com a tabela informativa:

Segunda	Terça	Quarta	Quinta	Sexta
R$ 2,30	R$ 2,10	R$ 2,60	R$ 2,20	R$ 2,00

Determine o valor médio do preço do dólar nesta semana.

Ma = (2,3 + 2,1 + 2,6 + 2,2 + 2) / 5
Ma = 11,2 / 5
Ma = 2,24

O valor médio do dólar na semana apresentada foi de R$ 2,24.


Exemplo 3Em uma empresa existem cinco faixas salariais divididas de acordo com a tabela a seguir:

Grupos	Sálario
A	R$ 1.500,00
B	R$ 1.200,00
C	R$ 1.000,00
D	R$ 800,00
E	R$ 500,00

Determine a média de salários da empresa.

Ma = (1500 + 1200 + 1000 + 800 + 500) / 5
Ma = 5000 / 5
Ma = 1000

A média salarial da empresa é de R$ 1.000,00. Por Marcos Noé

Variância e Desvio Padrão

Observe as notas de três competidores em uma prova de manobras radicais com skates.

Competidor A: 7,0 – 5,0 – 3,0

Competidor B: 5,0 – 4,0 – 6,0

Competidor C: 4,0 – 4,0 – 7,0
Ao calcular a média das notas dos três competidores iremos obter média cinco para todos, impossibilitando a nossa análise sobre a regularidade dos competidores.
Partindo dessa ideia, precisamos adotar uma medida que apresente a variação dessas notas no intuito de não comprometer a análise.

Variância e Desvio Padrão

A variância é calculada subtraindo o valor observado do valor médio. Essa diferença é quanto um valor observado se distância do valor médio. Observe os cálculos:

Competidor A



Competidor B



Competidor C




Desvio Padrão
É calculado extraindo a raiz quadrada da variância.

Competidor A
√2,667 = 1,633

Competidor B
√ 0,667 = 0,817

Competidor C
√2 = 1,414

Podemos notar que o competidor B possui uma melhor regularidade nas notas.
Por Marcos Noé

Medidas de centralidade: moda

Gráfico de Barras, informações estatísticas

A Estatística trabalha com diversas informações que são dispostas por meio de gráficos e tabelas e com diversos números que representam e caracterizam um determinado grupo. Dentre todas as informações, podemos retirar valores que representem, de algum modo, todo o grupo. Esses valores são determinados de “valores de tendência central”.

Entre estes valores temos a moda. Moda é uma medida de tendência central, definida como o valor mais frequente de um grupo de valores, ou seja, o valor de maior ocorrência dentre os valores observados. A representação da moda é dada por Mo.

Compreender tudo isso apenas pela teoria não é muito interessante, portanto, vejamos alguns exemplos para que possamos melhor compreender a definição de moda.

Exemplo 1:

Os dados a seguir remetem à idade dos alunos de uma sala de aula.

12-11-13-12-12-12-11-10-13-13-12-13-11-12-12-12

Vejamos a quantidade de alunos para cada idade.

10 anos – 1 aluno
11 anos – 3 alunos
12 anos – 8 alunos
13 anos – 4 alunos.

Com isso, temos que Mo=12

Ou seja, a moda da idade dos alunos é 12 anos.

Exemplo 2:

Pesquisa sobre “peso” (em quilograma) de um grupo de pessoas em uma determinada academia.

Peso	Quantidade de pessoas (Frequência Absoluta)
42 ? 45	2
45 ? 49	4
49 ? 54	7
54 ? 60	6
60 ? 65	6
65 ? 70	5

Para determinarmos a moda, temos que analisar as informações e observar qual dado aparece com maior frequência. Como se trata de uma tabela de frequência absoluta, temos a quantidade de pessoas em cada um dos intervalos dos pesos.

Sendo assim, temos que:

Ou seja, a maior quantidade de pessoas deste grupo tem entre 49 quilos e 54 quilos.

Por Gabriel Alessandro de Oliveira

Histograma

Distribuição de frequências

A distribuição de frequências é um agrupamento de dados em classes, de tal forma que contabilizamos o número de ocorrências em cada classe. O número de ocorrências de uma determinada classe recebe o nome de frequência absoluta. O objetivo é apresentar os dados de uma maneira mais concisa e que nos permita extrair informação sobre seu comportamento. A seguir, apresentamos algumas definições necessárias à construção da distribuição de frequências.

• Frequência absoluta (ƒ_i): É o número de observações correspondente a cada classe. A frequência absoluta é, geralmente, chamada apenas de frequência.
• Frequência relativa (ƒ_ri): É o quociente entre a frequência absoluta da classe correspondente e a soma das frequências (total observado), isto é,  onde n representa o número total de observações.
• Frequência percentual (p_i): É obtida multiplicando a frequência relativa por 100%.
• Frequência acumulada: É o total acumulado (soma) de todas as classes anteriores até a classe atual. Pode ser: frequência acumulada absoluta (F_i), frequência acumulada relativa (F_ri), ou frequência acumulada percentual (P_i).

Distribuição de frequência pontual: dados discretos

A construção de uma tabela de distribuição de frequência pontual é equivalente à construção de uma tabela simples, onde se listam os diferentes valores observados da variável com suas frequências absolutas, denotadas por (ƒ_i) (o índice i corresponde ao número de linhas da Tabela) como é mostrado na Tabela abaixo. Utilizamos a distribuição de frequência pontual quando se trabalha com dados discretos. Um gráfico utilizado para representar este tipo de distribuição de frequência é o Gráfico de Barras.

Exemplo 1.6.1: Considere os dados do Exemplo 1.3.3. Construa a distribuição de frequências para este conjunto de dados e o gráfico de barras.

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Número de pessoas com diabetes	Frequência(ƒi)	Frequência relativa (ƒri)	Frequência percentual	Frequência acumulada
7	1	0,05	5	5
8	2	0,1	10	15
9	5	0,25	25	40
10	8	0,4	40	80
11	3	0,15	15	95
12	1	0,05	5	100

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Distribuição de frequência em intervalos de classes: Dados contínuos

Para dados quantitativos contínuos, geralmente resultantes de medições de características da qualidade de peças ou produtos, dividimos a faixa de variação dos dados em intervalos de classes. O menor valor da classe é denominado limite inferior (l_i) e o maior valor da classe é denominado limite superior (L_i).

O intervalo ou classe pode ser representado das seguintes maneiras:

1. (l_i)(L_i), onde o limite inferior da classe é incluído na contagem da frequência absoluta, mas o superior não;
2. (l_i)(L_i) , onde o limite superior da classe é incluido na contagem, mas o inferior não.

Podemos escolher qualquer uma destas opções, mas é importante que deixemos claro no texto ou na tabela qual delas está sendo usada. Embora não seja necessário, os intervalos são frequentemente construídos de modo que todos tenham larguras iguais, o que facilita as comparações entre as classes.

Na tabela de distribuição de frequência, acrescentamos uma coluna com os pontos médios de cada intervalo de classe, denotada por x_i. Esta é definida como a média dos limites da classe . Estes valores são utilizados na construção de gráficos.

Algumas indicações na construção de distribuição de frequências são:

• Na medida do possível, as classes deverão ter amplitudes iguais.
• Escolher os limites dos intervalos entre duas possíveis observações.
• O número de intervalos não deve ultrapassar 20.
• Escolher limites que facilitem o agrupamento.
• Marcar os pontos médios dos intervalos.
• Ao construir o histograma, cada retângulo deverá ter área proporcional à frequência relativa (ou à frequência absoluta, o que dá no mesmo) correspondente.

Histograma

Histograma é uma representação gráfica (um gráfico de barras verticais ou barras horizontais) da distribuição de frequências de um conjunto de dados quantitativos contínuos. O histograma pode ser um gráfico por valores absolutos ou frequência relativa ou densidade. No caso de densidade, a frequência relativa do intervalo i, (f_ri), é representada pela área de um retângulo que é colocado acima do ponto médio da classe  i. Consequentemente, a área total do histograma (igual a soma das áreas de todos os retângulos) será igual a 1. Assim, ao construir o histograma, cada retângulo deverá ter área proporcional à frequência relativa (ou à frequência absoluta, o que é indiferente) correspondente. No caso em que os intervalos são de tamanhos (amplitudes) iguais, as alturas dos retângulos serão iguais às frequências relativas (ou iguais às frequências absolutas) dos intervalos correspondentes.

Exemplo 1.6.2: Considerando os dados do Exemplo 1.3.4, monte a distribuição de frequências e construa o histograma correspondente.

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Como temos dados quantitativos contínuos, para construir a distribuição de frequências, vamos separar os dados em classes. Dividimos os dados em 8 classes de tamanhos iguais. A distribuição de frequências então é a seguinte

Classe	Frequência	Freq. Relativa	Porcentagem	Porc. Acumulada	Densidades	Ponto médio
[4,2;4,4)	12	0,06	6	6	0,3	4,3
[4,4;4,6)	16	0,08	8	14	0,4	4,5
[4,6;4,8)	31	0,15	15,5	29,5	0,775	4,7
[4,8;5,0)	66	0,33	33	62,5	1,65	4,9
[5,0;5,2)	35	0,17	17,5	80	0,875	5,1
[5,2;5,4)	25	0,12	12,5	92,5	0,625	5,3
[5,4;5,6)	11	0,06	5,5	98	0,275	5,5
[5,6;5,8)	4	0,02	2	100	0,099	5,7

E então, construímos o histograma correspondente. Podemos utilizar o software Action para resolver este problema.

Para entender como executar essa função do Software Action, você pode consultar o manual do usuário.

Exemplo 1.6.3: Considerando os dados do Exemplo 1.3.4, construa o histograma de densidades correspondente

^{clique aqui para efetuar o download dos dados utilizados nesse exemplo}

Para construir o histograma de densidades, basta que os retângulos tenham altura do tamanho da densidade de cada classe e largura do tamanho da classe. Neste caso, o histograma ficaria da seguinte forma:

 fonte:www.portalaction.com.br

Estatística Básica

A Estatística (ou ciência Estatística) é um conjunto de técnicas e métodos de pesquisa que entre outros tópicos envolve o planejamento do experimento a ser realizado, a coleta qualificada dos dados, a inferência, o processamento, a análise e a disseminação das informações.

Na estatística trabalhamos com dados, os quais podem ser obtidos por meio de uma amostra da população em estudo. A seguir, definimos esses conceitos básicos:

• População: conjunto de elementos que tem pelo menos uma característica em comum. Esta característica deve delimitar corretamente quais são os elementos da população.

• Amostra: subconjunto de elementos de uma população, que são representativos para estudar a característica de interesse da população. A seleção dos elementos que irão compor a amostra pode ser feita de várias maneiras e irá depender do conhecimento que se tem da população e da quantidade de recursos disponíveis. 

Vamos apresentar os elementos básicos da análise de dados. Veremos as Estatísticas Descritivas utilizadas para organizar, resumir e descrever os aspectos importantes do comportamento dos dados. A descrição dos dados também pode identificar anomalias, até mesmo resultantes do registro incorreto de valores e valores extremos (aqueles que não seguem a tendência geral do restante do conjunto de dados). As ferramentas descritivas são os muitos tipos de graficos e tabelas, bem como as medidas de síntese: medidas de posição e medidas de dispersão.

Sempre que resumimos um conjunto de dados, perdemos informação sobre o mesmo, pois condensamos as observações originais. Entretanto, esta perda de informação é pequena se comparada ao ganho que se tem com a clareza da interpretação proporcionada.

• 1 - Noções básicas de estatística
• 2 - Estatísticas descritivas
• 3 - Gráficos
• 4 - Exercícios
• Referências Bibliográficas

Cálculos Percentuais Envolvendo Frequências Relativas

A porcentagem é uma razão centesimal utilizada na comparação de valores de uma determinada situação. A frequência relativa é representada por um número percentual oriundo da comparação entre um evento e o espaço amostral ao qual ele faz parte. Por exemplo, no lançamento de uma moeda, o espaço amostral é constituído de dois eventos: cara ou coroa, portanto, a frequência relativa nesse caso é de 50% para cara e 50% para coroa.

Os cálculos percentuais estão presentes em situações cotidianas e nos exames de classificação de diversas Universidades. Observe o exercício a seguir, ele exige conhecimentos de porcentagem, cálculos estatísticos, espaço amostral, representação de frequência relativa, cálculo de probabilidade e processos de contagem.

Uma empresa de táxis tem como meta atender em, no máximo, 20 minutos pelo menos 94% das chamadas que recebe. O controle dessa meta é feito de forma ininterrupta por um funcionário que utiliza um aparelho de rádio para monitoramento. A cada 100 chamadas, ele registra o número acumulado de chamadas que não foram atendidas em 20 minutos. Ao final de um dia, a cooperativa apresenta o seguinte desempenho:



Com base no enunciado do exercício, o número de chamadas não atendidas em 15 minutos não deve ultrapassar 6%.

Estabelecendo a frequência relativa

Razões: 10/100, 15/200, 20/300, 25/400, 28/482.

10/100 = 0,1 = 10% > 6% → acima

15/200 = 0,075 = 7,5% > 6% → acima

20/300 = 0,066 = 6,6% > 6% → acima

25/400 = 0,0625 = 6,25% > 6% → acima

28/482 = 0,058 = 5,8% < 6% → meta atingida

Concluímos que a meta somente foi cumprida quando o total de chamadas acumuladas resultou em 482.

Por Marcos Noé

Estatistica

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Frequência Relativa

Organizando dados de pesquisas em tabelas

A coleta de dados em uma pesquisa tem por objetivo analisar determinada situação, as informações coletadas devem ser organizadas em tabelas para se ter um melhor entendimento das diferentes opções de respostas escolhidas pelos entrevistados. A frequência absoluta registra exatamente a quantidade de vezes que determinada realização ocorreu, não sendo possível uma análise de comparação.
Para que os dados se tornem significativos devemos recorrer à frequência relativa da pesquisa, sendo esta feita através de dados percentuais, definidos como a razão entre a frequência absoluta e o número total de observações.

Em uma empresa foi realizada uma pesquisa a fim de saber a quantidade de filhos de cada funcionário. Os dados da pesquisa foram organizados na seguinte tabela:

A frequência relativa nos fornece uma melhor visualização, pois os dados percentuais traduzem melhor a situação comparativa de cada caso. Veja a análise:

18,75% dos funcionários não possuem filhos.
22,5% possuem exatamente um filho.
37,5% possuem dois filhos.
15% possuem três filhos.
6,25% possuem quatro filhos. 
Marcos Noé Pedro da Silva