Pronomes Pessoais

Pronomes pessoais são aqueles que designam uma das três pessoas do discurso.

Exemplo: Eu fui ao cinema de táxi. (eu = 1ª pessoa do discurso)

Os pronomes pessoais são subdivididos em:
- do caso reto: função de sujeito na oração.
Nós saímos do shopping. (nós = sujeito)

- do caso oblíquo: função de complemento na frase.
Desculpem-me. (me = objeto)

Os pronomes oblíquos subdividem-se em:

- oblíquos átonos: nunca precedidos de preposição, são eles: me, te, se, o, a, lhe, nos, vos, se, os, as, lhes.

Basta-me o teu amor.

- oblíquos tônicos: sempre precedidos de preposição:
Preposição: a, de, em, por etc.
Pronome: mim, ti, si, ele, ela, nós, vós, si, eles, elas.

Basta a mim o teu amor.

Pronomes Pessoais:

Número	Pessoa	Pronomes retos	Pronomes oblíquos
Singular	primeira	Eu	Me, mim, comigo
	segunda	Tu	Te, ti, contigo
	terceira	Ele/ela	Se, si, consigo, o, a, lhe
Plural	primeira	nós	Nos, conosco
	segunda	vós	Vos, convosco
	terceira	eles/elas	Se, si, consigo, os, as, lhes

Pronomes de Tratamento

Nos pronomes pessoais incluem-se os pronomes de tratamento.

Pronome de tratamento é aquele com que nos referimos às pessoas a quem se fala (de maneira cerimoniosa), portanto segunda pessoa, mas a concordância gramatical deve ser feita com a terceira pessoa.

Alguns pronomes de tratamento:

pronome de tratamento	abreviatura	referência
Vossa Alteza	V.A.	príncipes, duques
Vossa Eminência	V.Emª.	cardeais
Vossa Excelência	V.Exª.	altas autoridades em geral
Vossa Magnificência	V.Magª.	reitores de universidades
Vossa Reverendíssima	V.Revma	sacerdotes em geral
Vossa Santidade	V.S.	papas
Vossa Senhoria	V.Sª.	funcionários graduados
Vossa Majestade	V.M.	reis, imperadores

Emprego dos pronomes pessoais:

- conosco e convosco: são utilizados na forma sintética, exceto se vierem seguidos de outros, todos, mesmos.

Queriam falar conosco.Queriam falar com nós mesmos.

- o, a, os, as, quando precedidos de verbos que terminam em –r, -s, -z, assumem a forma lo, la, los, las, e os verbos perdem aquelas terminações.

Vou pô-lo a par do assunto. (pôr + o)

- o, a, os, as, quando precedidos de verbos que terminam em –m, -ão, -õe, assumem a forma no, na, nos, nas.

Fizeram-no calar.

- nós e vós podem ser empregados em lugar de eu e tu em situações de cerimônia ou, no caso de nós, por modéstia.

Nós, disse o papa, seguiremos os mesmos passos de nossos antecessores.

Vós sois sábio.

- vossa e sua: vossa cabe à pessoa com quem se fala; sua cabe à pessoa de quem se fala.

Vossa Excelência queira tomar a palavra. (falando com ou para uma autoridade)
Sua Excelência não compareceu. (falando de uma autoridade)

- você e os demais pronomes de tratamento comportam-se gramaticalmente como pronomes da terceira pessoa.

Você chegou atrasado para o jantar!
Por Marina Cabral
Especialista em Língua Portuguesa e Literatura

Determinantes

Determinantes

P₁₀) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal multiplicado por .
Exemplos:

P₁₁) Para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, . Como:

Exemplo:

P₁₂)

Exemplo:

P₆) O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais.

Exemplo:

P₇) Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número.

Exemplos:

P₈) Quando trocamos as posições de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal.
Exemplo:

P₉) Quando, em uma matriz, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal.
Exemplos:

Propriedades dos determinantes

Os demais associados a matrizes quadradas de ordem n apresentam as seguintes propriedades:

P₁ ) Quando todos os elementos de uma fila ( linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo.

Exemplo:

P₂) Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo.

Exemplo:

P₃) Se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, então seu determinante é nulo.

Exemplo:

P₄) Se os elementos de uma fila de uma matriz são combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é nulo.

Exemplos:

P₅ ) Teorema de Jacobi: o determinante de uma matriz não se altera quando somamos aos elementos de uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas.

Exemplo:

Substituindo a 1ª coluna pela soma dessa mesma coluna com o dobro da 2ª, temos:

6ª propriedade

O valor do determinante de uma matriz R é igual ao determinante da matriz da transposta de R, det R = det (R ^t).

det R = ps + qr

det Rt = ps – rq


7ª propriedade
Ao trocarmos duas linhas ou duas colunas de posição de uma matriz, o valor do seu determinante passa a ser oposto ao determinante da anterior.



8ª propriedade

O determinante de uma matriz triangular é igual à multiplicação dos elementos da diagonal principal.
Lembre-se que em uma matriz triangular, os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero.

9ª propriedade
Considerando duas matrizes quadradas de ordem iguais e AB matriz produto, temos que: det (AB) = (det A) * (det B), conforme teorema de Binet.


10ª propriedade

Ao multiplicarmos todos os elementos de uma linha ou de uma coluna pelo mesmo número e adicionarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha ou coluna, formamos a matriz B, onde ocorre a seguinte igualdade: det A = det B. Esse teorema é atribuído a Jacobi.

Mata Atlântica

Wagner de Cerqueria e Francisco

Aspecto da Mata Atlântica

A Mata Atlântica é o terceiro maior bioma brasileiro em extensão territorial. Há 500 anos, ela cobria aproximadamente 15% do que atualmente é o território nacional, com 1,3 milhões de quilômetros quadrados na zona litorânea do Brasil. Em consequência do intenso desmatamento, restaram apenas 7% da mata original. Atualmente, a mesma é considerada um dos biomas mais ameaçados do planeta.

Sua composição não é homogênea, uma vez que se forma por um mosaico de diferentes ecossistemas, com estruturas e interações ecológicas distintas em cada região. A Mata Atlântica faz transições ou contato com todos os grandes biomas do Brasil Atlântico: caatinga, cerrados, mangues, campestres e planaltos de araucárias.


Quanto ao relevo, este é caracterizado por planaltos e serras. O clima predominante é o tropical quente e úmido, apresentando temperaturas médias elevadas e altos índices pluviométricos. Em virtude da densidade da vegetação, a luz no interior da mata é extremamente reduzida.


A Mata Atlântica apresenta a maior biodiversidade por hectare do planeta. No entanto, se considerarmos a biodiversidade vista de um modo geral, a da Floresta Amazônica apresenta-se superior, pois ela é menos desmatada e possui também uma extensão territorial mais ampla.
Quanto à hidrografia, o bioma em questão abrange as bacias hidrográficas do Paraná, Uruguai, Paraíba do Sul, Doce, Jequitinhonha e São Francisco.

A vegetação é marcada por espécies como, a peroba, ipê, quaresmeira, cedro, canela, imbaúba, jequitibá-rosa e as figueiras. O jacarandá e o pau-brasil foram praticamente dizimados, em virtude da intensa exploração madeireira. Poucas áreas da Mata Atlântica possuem vegetação original, como é o caso da Serra do Mar, que, em decorrência do difícil acesso humano, ainda continua preservada.

A fauna é bem diversificada, composta pelo tamanduá, tatu-canastra, onça-pintada, lontra, mico-leão, macaco muriqui, anta, veado, quati, cutia, bicho-preguiça, gambá, diversas espécies de aves, entre tantos outros. Em consequência da grande devastação do bioma, 200 espécies estão ameaçadas de extinção e outras, já foram totalmente extintas.
Entre elas destacam-se: o mico-leão, macaco muriqui, lontra, tatu-canastra e a onça-pintada.

Fatoração

O Dia Nacional da Matemática

NO DIA DA MATEMÁTICA, A MATEMÁTICA DO DIA A DIA.Reflexões e sugestões do Professor Mário Tourinho.
Aproxima-se 06 de maio, data dedicada à comemoração do Dia da Matemática. Não vejo hipótese de uma data como esta ser reverenciada fora da sala de aula. Não vejo sentido em se pensar qualquer atividade celebrativa para este dia, sem que estejam envolvidos diretamente os nossos alunos. Assim como a própria Matemática, é uma questão de lógica.

Defendo minhas afirmações apoiando-me nas seguintes perguntas: Sabemos das dificuldades de nossos alunos (e da população em geral) no que diz respeito à disciplina? Sabemos as causas dessas dificuldades? Esta data pode ser uma oportunidade para modificar o olhar de muitas pessoas em relação à Matemática?

Se você respondeu sim aos três questionamentos, então você concorda, logicamente, que a melhor maneira de desmistificar a Matemática é fazendo com que as pessoas compreendam a natureza prática e útil da disciplina e percebam a presença cotidiana dos conhecimentos matemáticos em suas vidas.

Todos aqueles que têm “ódio”, “medo”, “pavor”, “indiferença” ou até “pânico” da Matemática, certamente tem uma história ruim para contar sobre a matéria. Em geral estas histórias relatam falta de oportunidade, falta de respeito, falta de paciência, carência na formação (do aluno e do professor), falta de material escolar, falta de infraestrutura educacional, enfim, uma série de razões que findam por desestimular o aluno na compreensão e no estudo de um conteúdo tão específico e tão importante para o seu desenvolvimento e para a prática da cidadania. A baixa autoestima dos alunos e dos cidadãos, por conseguinte, é flagrante: “não sei Matemática”, “não gosto de Matemática”, “sou burro em Matemática”, e outras declarações semelhantes, são comuns na sociedade em geral e no ambiente escolar.

Malba Tahan foi o precursor da Educação Matemática. Foi quem primeiro trabalhou com a História da Matemática. Defendeu a valorização do raciocínio na resolução de problemas matemáticos, sem o uso mecânico de fórmulas, além de utilizar atividades lúdicas para facilitar o estudo. Muito antes de se falar em interdisciplinaridade ele já se preocupava com a unificação das ciências. Malba Tahan, para quem não se lembra, é o pseudônimo Júlio César de Mello e Souza, um genial professor, educador, pedagogo, escritor e conferencista brasileiro, nascido no Rio de Janeiro em 6 de maio de 1895. Em homenagem a ele, 06 de maio é o Dia da Matemática.

ÂNGULOS

Ângulo é a reunião de duas semi-retas de mesma origem e não-colineares.

Na figura

Indicação do ângulo: AÔB, ou BÔA ou simplismente Ô

PONTOS INTERNOS E PONTOS EXTERNOS A UM ÂNGULO

Seja o ângulo AÔB

MEDIDA DE UM ÂNGULO

Um ângulo pode ser medido através de um instrumento chamado transferidor e que tem o grau como unidade. O ângulo AÔB da figura mede 40 graus.

Indicação:

m (AÔB) = 40º

A unidade grau tem dois submúltiplos: minuto e segundo

1 grau tem 60 minutos (indicação: 1 = 60º)

1 minuto tem 60 segundos ( indicação 1´ = 60"

Simbolicamente:

== Um ângulo de 25 graus e 40 minutos é indicado por 25º 40´.

== Um ângulo de 12 graus, 20 minutos e 45 segundos é indicado por 12º 20´45"

EXERCICIOS

1) Dê a indicação, o vértice e os lados dos ângulos:

2) Em cada uma das figuras abaixo há três ângulos. Quais são esses ângulos?

3) 0bserve os pontos assinalados e responda:

a) Quais pontos estão no interior do ângulo?

b) Quais ponmtos estão no ixterior do ângulo?

c) Quais pontos pertencem aos lados do ângulo?

4) Escreva as medidas em graus dos ângulos indicados pelo transferidor.

a) m (AÔB)

b) m (AÔC)

c) m (AÔD)

d) m (AÔE)

e) m (AÔF)

f) m (AÔG)

5) Escreva simbolicamente:

a) 30 graus

b) 10 graus e 25 minutos

c) 42 graus e 54 minutos

d) 15 graus, 20 minutos e 40 segundos

e) 54 graus, 38 m inutos e 12 segundos

6) Responda:

a) Um grau é igual a quantos minutos?

b) Um minuto é igual a quantos segundos?

c) Um grau é igual a quantos segundos?

7) Tranforme :

a) 1º em minutos

b) 2º em minutos

c) 3º em minutos

d) 4º em minutos

e) 5º em minutos

f) 1´ em segundos

g) 2´ em segundos

h) 3´ em segundos

i) 4´ em segundos

j) 5´ em segundos

8) Transforme em minutos, observando o exemplo resolvido:

resolvido = 2º 17´ = 2 x 60´ + 17´ = 137´

a) 5º 7´ =

b) 3º 20´ =

c) 10º 35´ =

d) 12º 18´ =

e) 3º 45´ =

f) 5º 54´ =

g) 7º 12´ =

h) 9º 36´ =

9) Transforme:

120´= 120 : 60 = 2º ===== resolvidos  ==== 120" = 120" : 60 = 2´

a) 180´em graus =

b) 240´em graus =

c) 300´ em graus =

d) 360´em graus  =

e) 180" em minutos =

f) 240" em minutos =

g) 300" em minutos =

h) 360" em minutos =

10) Transforme em graus e minutos:

Resolvido: 75´= 1º 15´  (obs divida os minutos por 60 para obter os graus. O resto , se existir, serão os minutos.)

a) 90´ =

b) 95´=

c) 130´ =

d) 150´ =

e) 385´ =

f) 512´=

g) 867´=

h) 1000´=

11) Transforme em minutos e seguntos:

a) 97" =

b) 130" =

c) 150" =

d) 162" = 

e) 185" =

f) 254" = 

12) Copie e complete:

a) 40° = 39°_______

b) 70° = 69 _______

c) 84° = 83° ______

d) 90° = 89° _______

e) 150° = 149° ________

f) 180° = 179° _______

13) Escreva as medidas na forma mais simples:

Resolvildo: 27° 60´ = 28°

a) 29º 60´= (R: 30°)

b) 34° 60´= (R: 35°)

c) 72° 60´= (R: 73°)

d) 99° 60´= (R: 100°)

e) 54° 60´ = (R: 55°)

f)  108° 60´= (R: 109°)

14) Escreva as medidas na forma mais simples:

Resolvido: 39° 75´ = 40° 15´

a) 30° 80´ = (R: 31° 20´)

b) 45° 90´= (R : 46° 30´)

c) 57° 100´= (R: 58° 40´)

d) 73° 110´= (R: 74° 50´)

e) 20° 120´= (R: 22°)

f) 25° 150´= (R: 27° 30´)

g) 42° 160´= (R: 44° 40´)

h) 78° 170´= (R: 80° 50´)

OPERAÇÕES COM MEDIDAS DE ÂNGULOS

 ADIÇÃO

1) Exemplo

17° 15´ 10"  + 30° 20´40"

17° 15´ 10"

30° 20´ 40"

-----------

47° 35´ 50"

2) Exemplo

13° 40´ +  30° 45´

13° 40´

30° 45´

--------

43° 85´ (simplificando) 44° 25´

EXERCÍCIOS

1) Calcule as somas:

a) 49° + 65° = (R:

b) 12° 25´ + 40° 13´ = (R:

c) 28° 12´ + 5 2° 40´ = (R:

d) 58°  + 17° 19´ = (R:

e) 41° 58´ +  16°  =  (R:

f) 25° 40´ + 16° 50´ =  (R:

g) 23° 35´ + 12° 45´ = (R:

h) 21° 15´40" + 7° 12´5" = (R:

i) 35° 10´50"  +  10° 25´20"  = (R:

j) 31° 45´50" + 13° 20´40"  = (R:

l) 3° 24´9" + 37° 11´33" = (R:

m) 35° 35´2" + 22° 24´58" = (R:

SUBTRAÇÃO

1) Exemplo

58° 40´ -  17° 10´ =

58° 40´

17° 10´

-------

41° 30´

2) Exemplo

80° - 42° 30´ =

80°

42° 30´

-------

37° 30´

EXERCÍCIOS

1) Calcule as diferenças:

a) 42° - 17° = (R:

b) 172° - 93° = (R:

c) 48° 50´ - 27° 10´ = ( R:

d) 42° 35´  -  13° 15´ = (R:

e) 70° - 22° 30´ = (R:

f) 30° - 18° 10´= (R:

g) 90° - 54° 20´ (R:

h) 120° - 50°45´ =(R:

i) 52°30´ - 20°50´ = (R:

j) 39° 1´ - 10°15´ =  (R:

MULTIPLICAÇÃO DE ÂNGULOS

1º) Exemplo

17°15´ x 2 =

17°15´

___x2

--------

34°30´

2°) Exemplo

24° 20´ x  3 =

24°20´

____3

-------

72°60´ (simplificando) 73°

EXERCÍCIOS

1) Calcule os produtos:

a) 25°10´ x 3 = (R:

b) 44°20´ x 2 = ( R:

c) 35° 10´ x 4 = (R:

d) 16°20´ x 3 = (R:

e) 28°30´ x 2 = (R:

f) 12°40´ x 3  = (R:

g) 15°30´ x 3 = (R:

h) 14° 20´ x 5 =(R:

DIVISÃO DE UM ÂNGULO POR UM NÚMERO

1º Exemplo

2º Exemplo

EXERCÍCIOS

1) Calcule os quocientes:

a) 48° 20´ : 4 = (R:

b) 45° 30´ : 3 = (R:

c) 75° 50´ : 5  = (R:

d) 55° : 2 = (R:

e) 90° : 4 = (R:

f) 22° 40´ : 5 = (R:

2) Calcule:

a) 2/5 de 45° = (R;

b) 5/7 de 84° = (R:

c) 3/4 de 48° 20´ (R:

d) 3/2 de 15° 20´ (R:

ÂNGULOS CONGRUENTES

Dois ângulos são congruentes se as suas medidas são iguais.

Indicação AÔB = CÔD ( significa: AÔB é congruente a CÔD )

BISSETRIZ DE UM ÂNGULO

Bissetriz de um ângulo é a simi-reta com origem no vértice do ângulo e que o divide em dois ângulos congruentes.

EXERCÍCIOS

Responda:

a) Quanto mede o ângulo MÔA?

R:

b) Quanto mede o ângulo NÔC?

R:

c) Quanto mede o ângulo BÔN?

R:

d) Quanto mede o ângulo MÔC?

R:

e) Quanto mede o ângulo AÔN?

R:

f) Quanto m,ede o ângulo MÔN?

R:

ÂNGULOS RETO, AGUDO E OBTUSO

Os ângulos recebem nomes especiais de acordo com suas medidas:

= Ângulo reto é aquele cuja medida é 90°.

= ângulo agudo é aquele cuja medida é menor de 90°

= ângulo obtuso é aquele cuja medida é maior que 90°

RETAS PERPENDICULARES

Quanto duas retas se interceptam formando ângulos retos, dizemos que elas são perpendiculares.

EXERCÍCIOS

1) Classifique os ângulos apresentados nas figuras em agudos, obtusos ou reto:

2) Identifique na figura:

3) Responda:

a) O menor ângulo formado pelos pnteiros de um relógio às 3 horas é um ângulo agudo, reto ou obtuso?

b) O menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 2 horas é um ângulo agudo,reto ou obtuso?

c) O menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 5 horas é um  ângulo é um ângulo agudo, reto ou obtuso?

4) Observe a figura e responda:

Qual o número de elementos do conjunto { a,b,c,x,y,z}?

ÂNGULOS COMPLEMENTARES

Dois angulos são complementares quando am soma de suas medidas é 90°

m(AÔB) + m((BÔC) = m(AÔC)

Exemplos:

= 65° e 25° são ângulos complementares , porque 65° + 25° = 90°

= 40° e 50° são ângulos complementares, porque 40° + 50° = 90°

EXERCÍCIOS 

1) Responda: 

a) Um ângulo de 20° e um de 70° são complementares?
b) Um ângulo de 35° e um de 65° são complementares?
c) Um ângulo de 73° e um de 27° são complementares?
d) Um ângulo de 58° e um de 32° são complementares?


2) Calcule o complemento dos seguintes ângulos:

a) 34°
b) 72°
c) 84°
d) 18° 25´
e) 40° 30´
f) 51° 20´

3) Resolva as equações abaixo, onde a inc´gnita x é um ângulo (medido em graus)

a) 2x = 90°
b) x + 17° = 90°
c)  4x + 10° = 90°
d) x + 8x = 90°
e) 5x - 20° = 1° = 2x
f) x = 2( 90° - x)
g) 4( x + 3° 0 = 20°
h) ( 3x - 20° ) + 50° = 90°
I) 3( x + 1°) = 2( x  + 7°)
J) 2x + 2 (x + 1° ) = 4° + 3 ( x + 2°)

4) Determine x, sabendo que os ângulos são complementares:

5) Dado um ângulo de medida x, indicar:

a) o seu complemento.

b) o dobro do seu complemento

c) o triplo do seu complemento.

d) a metade do seu complemento

e) a terça parte do seu complemento

7) A medida de um ângulo é igual à medida de seu comprimento, quanto mede esse  ângulo?

8) A medida de um ângulo é a metade da medida do seu comprimento. Calcule a medida desse ângulo.

9) Calcule a medida de um ângulo cuja medida é igual ao triplo de seu complemento.

10) A diferença entreo o dobro da medida de um ângulo e o seu complemnto é 45° Calcule a medida desse ângulo.

11) A terça parte do complemento de um ângulo mede 20°. Qual a medida do ângulo?

12) Dois ângulos complementares têm suas medidas expressas em graus por 3x + 25° e 4x - 5° . Quanto medem esses ângulos?

ÂNGULOS SUPLEMENTARES

Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180°

m(AÔB) + m(BÔC) = 180°

Exemplos:

= 50° e 130° são angulos suplementares, porque 50° + 130° = 180°

= 125° e 55° são ângulos suplementares, porque 125°  + 55º = 180°

EXERCÍCIOS

1) Responda:

a) Um ângulo de 70° e um de 110° são suplementares?
R: (

b) Um ângulo de 155° e um de 25° são suplementares?

2) Calcule o suplemento dos seguintes ângulos:
a) 30° = (R:
b) 85° = (R: 
c) 72° = (R: 
d) 132° 30´ = (R: 
e) 140° 20´ = (R: 
f) 151° 40` =(R:


3) Determine x, sabendo que os ángulos são suplementares:

4) Determine x, sabendo que os ângulos são suplementares:



5) Calcule x:

6) Aquarta parte da medida de um ângulo mede 30°. Calcule a medida do seu suplemento.

(R:

7) A medida de um ângulo é igual à medida de seu suplemento. Calcule esse ângulo.

(R:

8) Calcule a medida de um ângulo que é igual ao triplo de seu suplemento.

(R:

9) O dobro da medida de um ângulo é igual à medida do suplemento desse ângulo. Calcule a medida do ângulo.

(R:

10) O triplo da medida de um ângulo mais a medida do suplemento desse ângulo é 250°. Calculo a medida do ângulo.

(R:

11) Calcule a medida de um ângulo cuja medida é igual a 2/3 do seu suplemento.

(R:

12) A soma do complemento com o suplemento de um ângulo é 110° . Quanto mede o ângulo?

(R:

ÂGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE

Duas retas concorrentes determinam quatro ângulos, dois a dois , opostos pelo vértice

Na figura:

â e  c são opostos pelo vértice.

m e n são opostos pelo vértice

TEOREMA

Dois ângulos opostos´pelo vértice são congruentes.

prova:

Sejam os ângulos a e b opostos pelo vértice.

1) m(â) + m(^c) = 180°

2) m(b) + m(c) = 180°

comparando : m(â) + m(c) = m(b) + m(c)

m(â) = m(b)

Se a e b têm a mesma medida, eles são congruentes.

EXECÍCIOS

1) Quais são os 3 pares de ângulos opostos pelo vértice?

2)  Se x = 50° , determine y, m e n:

3) Calcule os ângulos x,y, z e w da figura:

4) Calcule os ângulos x, y e z das figuras:

5) Calcule x:

6) Calcule x:

7) Calcule x :

8) Calcule x:

9) As medidas de dois ângulos opostos pelo vértice são expressas em graus por  15x - 14° e 3x + 10°. Quanto vale x?

10) As medidas de dois ângulos opostos pelo vértice são expressas em graus por (2m - 50) e (m + 35). Quanto vale m?

ÂNGULOS FORMADFOS POR DUAS RETAS PARALELAS E UMA TRANSVERSAL

Duas retas r e s, interceptadas  pela transversalo t, formam oito ângulos.

Os pares de ângulos com um vértice em A e o outro em B são assim determinados:

= Correspondentes: 1 e 5, 4 e 8, 2 e 6, 3 e 7

= Colaterais Internos: 4 e 5, 3 e 6

= Colaterais externos: 1 e 8, 2 e 7

= Alternos internos: 4 e 6, 3 e 5

= Alternos externos: 1 e 7, 2 e 8

ILUSTRANDO:

= ALTERNOS (um de cada "lado" da transversal).

= COLATERAIS (ambos do mesmo "lado" da transvwesal)

EXERCÍCIOS

1) Dê o nome dos pares de ângulod de acordo com a figura:

a) a e g

b) a e e

c) d e h

d) c e g

e) c e e

f) a e f

g) b e h

h) b e f

i) d e f

j) c e e

l) c e h

m) b e e

PROPRIEDADES

Considere duas retas paralelas e uma transversal.

 

Medindo esses ângulos com o transferidor, você vai concluir que são validas as seguintes propriedades:

= Os ângulos correspondentes são congruentes
= Os ângulos alternos externos são congruentes
= Os ângulos alternos internos são congruentes.
= Os ângulos colaterais externos são suplememntares.
= Os ângulos colaterais internos são suplementares

EXERCÍCIOS

1)  Sabendo que r//s, determine a medida dos ângulos indicados:

a)

b)

c)

d)

2) Sabendo que r // a , calcule x:

a)

b)

c)



d)

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