NÚMEROS FRACIONÁRIOS E DECIMAIS

Durante muito tempo, os números naturais eram os únicos números que o homem utilizava. Mas, com o passar do tempo, o homem foi encontrando situações mais difíceis para resolver. No antigo Egito, por exemplo, as terras próximas ao rio Nilo eram muito disputadas por isso os faraós tinham funcionários que mediam e demarcavam os terrenos.
Eles usavam cordas com nós separados sempre pela mesma distância. Em muitos casos, principalmente para efetuar medições, precisou criar outros números que não fossem apenas os números naturais. Surgiram assim, os números fracionários ou racionais.

Para representar os números fracionários foi criado um símbolo, que é a fração. Sendo a e b números racionais e b ≠ 0, indicamos a divisão de a por b com o símbolo a : b ou, ainda a/b

Chamamos o símbolo a/b de fração.

Assim, a fração 10/2 é igual a 10 : 2

Na fração a/b, a é o numerador e b é o denominador

Efetuando, por exemplo, a divisão de 10 por 2, obtemos o quociente 5.

Assim, 10/2 é um número natural, pois 10 é múltiplo de 2.

Mas efetuando a divisão de 3 por 4 não obtemos um número natural. Logo ¾ não é um número natural. A fração envolve a idéia de alguma coisa que foi dividida em partes iguais.

Agenor comeu ¾ de uma barra de chocolate. Que quantidade de chocolate Agenor comeu? Que parte da barra de chocolate sobrou?

Dividindo o chocolate em 4 partes, iguais temos;

Agenor comeu ¾ , portanto sobrou ¼



LEITURA DE UMA FRAÇÃO

Algumas frações recebem nomes especiais: as que têm denominadores 2,3,4,5,6,7,8,9

½ um meio

¼ um quarto

1/6 um sexto

1/8 um oitavo

2/5 dois quintos

9/8 nove oitavos

1/3 um terço

1/5 um quinto

1/7 um sétimo

1/9 um nono

4/9 quatro nonos

16/9 dezesseis nonos


as que tem denominadores 10, 100, 1000, etc.............

1/10 um décimo

1/100 um centésimo

1/1000 um milésimo

7/100 sete centésimos


as decimais que são lidas acompanhadas da palavra avos :

1/11 um onze avos

7/120 sete cento e vinte avos

4/13 quatro treze avos

1/300 um trezentos avos

5/19 cinco dezenove avos

6/220 seis duzentos e vinte avos



EXERCÍCIOS

1) indique as divisões em forma de fração:

a) 14 : 7 = (R: 14/7)
b) 18 : 8 = (R: 18/8)
c) 5 : 1 = (R: 5/1)d) 15 : 5 = ( R: 15/5)
e) 18 : 9 = (R: 18/9)
f) 64 : 8 = (R: 64/8)
2) Calcule o quociente das divisões

a) 12/3 = (R:4)
b) 42/21 = (R: 2)
c) 8/4 = (R: 2)d) 100/10 = (R: 10)
e) 56/7 = (R: 8)
f) 64/8 = (R: 8 )
3) Em uma fração, o numerador é 5 e o denominador é 6

a) Em quantas partes o todo foi dividido? (R: 6)b) Quantas partes do todo foram consideradas? (R: 5)

4) Escreva como se lêem as seguintes frações:

a) 5/8 (R: cinco oitavos)b) 9/10 (R: nove décimos)
c) 1/5 (R: um quinto)
d) 4/200 ( R: quatro duzentos avos)
e) 7/1000 (R: sete milésimos)
f) 6/32 (R: seis trinta e dois avos)


TIPOS DE FRAÇÕES

a) Fração própria : é aquela cujo o numerador é menor que o denominador.
Exemplos : 2/3, 4/7, 1/8

b) Fração imprópria: é a fração cujo numerador é maior ou igual ao denominador
Exemplo: 3/2, 5/5

c) Fração aparente: é a fração imprópria cujo o numerador é múltiplo do denominador
Exemplo: 6/2, 19/19, 24/12, 7/7


EXERCÍCIO
1) Classifique as frações em própria, imprópria ou aparente:

a) 8/9 (R: própria)
b) 10/10 (R: imprópria e aparente)
c) 26/13(R: imprópria e aparente)
d) 10/20 (R: própria)
e) 37/19 (R: imprópria)
f) 100/400 (R: própria)



FRAÇÕES EQUIVALENTES

Para encontrar frações equivalentes, multiplicamos o numerador e o denominador da fração ½ por um mesmo numero natural diferente de zero.

Assim: ½, 2/4, 4/8, 3/6, 5/10 são algumas frações equivalentes a 1/2




SIMPLIFICANDO FRAÇÕES

Cláudio dividiu a pizza em 8 partes iguais e comeu 4 partes. Que fração da pizza ele comeu?

Cláudio comeu 4/8 da pizza. Mas 4/8 é equivalente a 2/4. Assim podemos dizer que Cláudio comeu 2/4 da pizza.
A fração 2/4 foi obtida dividindo-se ambos os termos da fração 4/8 por 2 veja:

4/8 : 2/2 = 2/4

Dizemos que a fração 2/4 é uma fração simplificada de 4/8.
A fração 2/4 ainda pode ser simplificada, ou seja, podemos obter uma fração equivalente dividindo os dois termos da fração por 2 e vamos obter ½



OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS ABSOLUTOS (FRAÇÕES)


ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

1°) Como adicionarmos ou subtrairmos números fracionários escritos sob a forma de fração de denominadores iguais

Conclusão: Somamos os numeradores e conservamos o denominador comum.

Exemplo:
a) 5/7 – 2/7 = 3/7
b) 4/9+ + 2/9 = 6/9 = 2/3
c) 3/5 – 1/5 = 2/5



Exercícios
1) Efetue as adições

a) 3/6 + 2/6 = (R: 5/6)b) 13/7 + 1/7 = (R: 14/7)
c) 2/7+ 1/7 + 5/7 = (R: 8/7)d) 4/10 + 1/10 + 3/10 = (R: 8/10)
e) 5/6 + 1/6 = (R: 1)
f) 8/6 + 6/6 = (R: 14/6) = (R: 7/3)
g) 3/5 + 1/5 = (R: 4/5)


2) Efetue as subtrações:

a) 7/9 – 5/9 = (R: 2/9)
b) 9/5 -2/5 = (R: 7/5)
c) 2/3 – 1/3 = (R: 1/3)
d) 8/3 – 2/3 = (R: 6/3)
e) 5/6 – 1/6 = (R: 2/3)
f) 5/5 – 2/5 = (R: 3/5)
g) 5/7 – 2/7 = (R: 3/7)

3) Efetue as operações:

a) 5/4 + ¾ - ¼ = (R: 7/4)
b) 2/5 + 1/5 – 3/5 = (R: 0/5)
c) 8/7 – 3/7 + 1/7 = (R: 6/7)d) 7/3 – 4/3 – 1/3 = (R: 2/3)
e) 1/8 + 9/8 -3/8= (R: 7/8)
f) 7/3 – 2/3 + 1/3 = (R:6/3 ) = (R: 2)
g) 7/5 + 2/5 – 1/5 = (R: 8/5)
h) 5/7 – 2/7 – 1/7 = (R: 2/7)


2°) Como adicionarmos ou subtrairmos números fracionários escritos sob a forma de fração de denominadores diferentes

conclusão: Quando os denominadores são diferentes fazemos o m.m.c. dos denominadores .

exemplo:

a) 2/3 +1/2 = 4/6 + 3/6 = 7/6

3, 2 I 2 
3, 1 I 3
1, 1 I ---2 . 3 = 6



b) 2/3 – ¼ = 8/12 – 3/12 = 5/12

3, 4 I 2
3, 2 I 2
3, 1 I 3
1, 1 I ----2 . 2. 3 = 12

exercícios
1) Efetue as adições:

a) 1/3 + 1/5 = (R: 8/15)
b) ¾ + ½ = (R: 5/4)
c) 2/4 + 2/3 = (R: 14/12)
d) 2/5 + 3/10 = (R: 7/10)
e) 5/3 + 1/6 = (R: 11/6)
f) ¼ + 2/3 + ½ = (R: 17/12)
g) ½ + 1/7 + 5/7 = (R: 19/14)
h) 3/7 + 5/2 + 1/14 = (R: 42/14)
i) 4/5 + 1/3 + 7/6 = (R: 69/30)
j) 1/3 + 5/6 + ¾ = (R: 23/12)
k) ½ + 1/3 + 1/6 = (R: 1)l) 10 + 1/8 + ¾ = (R: 85/8)
m) 1/3 + 3/5 = (R:14/15)
n) ¾ + 6/7 = (R: 45/28)
o) 5/7 + ½ = (R: 17/14)
p) ½ + 1/3 = (R: 5/6)
q) 3/14 + 3/7 = (R: 9/14)
r) 3/5 + ¾ + ½ = (R: 37/20)
s) 1/12 + 5/6 + ¾ = (R: 20/12)
t) 8 + 1/5 + 4/5 = (R: 45/5)
u)

2) efetue as subtrações

a) 5/4 – ½ = (R: 3/4)
b) 3/5 – 2/7 = (R: 11/35)
c) 8/10 – 1/5 = (R: 6/10)
d) 5/6 – 2/3 = (R: 1/6)
e) 4/3 – ½ = (R: 5/6)
f) 13/4 – 5/6 = (R: 29/12)
g) 7/8 – 1/6 = (R: 17/24)
h) 4/5 – 1/3 = (R: 7/15)
i) 3/5 – ¼ = (R: 7/20)
j) 10/11 – ½ = (R: 9/22)
l) 6/4 – 2/3 = (R: 10/12)
m) 5/8 – ½ = (R: 1/8)
n) 4/5 – ¼ = (R: 11/20)
o) ¾ - 5/8 = (R: 1/8)
p) 9/11 – ½ = (R: 7/22)
q) 7 – 2/3 = (R: 19/3)r) 4/2 - 2/3 = (R: 8/6)
s) 3/2 - 2/3 = (R: 5/6)
t) 1/2 - 1/3 = (R: 1/6) 
u) 3/2 - 1/4 = (R: 5/4)


3) Efetue

a) 2 + 5/3 = (R: 11/3)
b) 7 + ½ = (R: 15/2)
c) 3/5 + 4 = (R: 23/5)
d) 6/7 + 1 = (R: 13/7)
e) 8 + 7/9 = (R: 79/9) 
f) 5 – ¾ = (R: 17/4)
g) 2 – ½ = (R: 3/2)
h) 7/2 – 3 = (R: 1/2)
i) 11/2 – 3 = (R: 5/2)
j) 7/4 – 1 = (R: 3/4)
k) 1 – ¼ = (R: ¾ )
l) ½ - 1/3 = (R: 1/6)
m) ½ + ¼ = (R: ¾)
n) 1 + 1/5 = (R: 6/5)
o) 1 – 1/5 = (R: 4/5)

4) Calcule o valor das expressões:

a) 3/5 + ½ - 2/4 = (R: 12/20)
b) 2/3 + 5/6 – ¼ = (R: 15/12)c) 4/5 – ½ + ¾ = (R: 21/20)
d) 5/7 – 1/3 + ½ = (R: 37/42)
e) 1/3 + ½ - ¼ = (R: 7/12)
f) ¾ - ½ + 1/3 = (R: 7/12)
g) 5/6 – ½ + 2/3 = (R: 1)
h) 4/5 – ¾ + ½ = (R: 11/20)
i) ½ + 2/3 + 2/5 + 1/3 = (R: 57/30)
j) 6/5 – ¾ + ½ - 2/3 = (R: 17/60)l) 1/6 + 5/4 + 2/3 = (R: 25/12)



MULTIPLICAÇÃO


Vamos Calcular : 2/3 x 4/5 = 8/15

Conclusão : multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si

Exemplo:

a) 4/7 x 3/5 = 12/35

b) 5/6 x 3/7 = 15//42 = 5/14 simplificando

EXERCICIOS

1) Efetue as multiplicações

a) ½ x 8/8 = (R: 8/16)
b) 4/7 x 2/5 = (R: 8/35)
c) 5/3 x 2/7 = (R: 10/21)
d) 3/7 x 1/5 = (R: 3/35)
e) 1/8 x 1/9 = (R: 1/72)
f) 7/5 x 2/3 = (R: 14/15)
g) 3/5 x ½ = (R: 3/10)h) 7/8 x 3/2 = (R: 21/16)
i) 1/3 x 5/6 = (R: 5/18)
j) 2/5 x 8/7 = (R: 16/35)k) 7/6 x 7/6 = (R: 49/36)
l) 3/7 x 5/2 = (R: 15/14)
m) 3/10 x 5/9 = (R: 15/90)
n) 2/3 x ¼ x 5/2 = (R: 10/24)
o) 7 x ½ x 1/3 = (R: 7/6) 
p)

2) Efetue as multiplicações

a) 4/3 x ½ x 2/5 = (R: 8/30)
b) 1/5 x ¾ x 5/3 = (R: 15/60) 
c) ½ x 3/7 x 1/5 = (R: 3/70)d) 3/2 x 5/8 x ¼ = (R: 15/64)
e) 5/4 x 1/3 x 4/7 = (R: 20/84)

3) Efetue as multiplicações
a) 2 x 5/3 = (R: 10/3)
b) 3 x 2/5 = (R: 6/5)
c) 1/8 x 5 = (R: 5/8)d) 6/7 x 3 = (R: 18/7)e) 2 x 2/3 x 1/7 = (R: 4/21)
f) 2/5 x 3 x 4/8 = (R: 24/40)
g) 5 x 2/3 x 7 = (R: 70/3)
h) 7/5 x 2 x 4 = (R: 56/5)
i) 8 x 2/3 = (R: 16/3)
j) 5/9 x 0/6 = (R: 0/54)
k) 1/7 x 40 = (R: 40/7)l) ½ x 1/3 x ¼ x 1/5 = (R: 1/120)m) 1 x 2/3 x 4/3 x 1/10 = (R: 8/90)


DIVISÃO

Vamos calcular ½ : 1/6

Para dividir uma fração por outra, basta multiplicar a primeira fração pela inversa da segunda

Assim: ½ : 1/6 = ½ x 6/1 = 6/2 = 3

Exemplos:

a) 2/3 : 5/2 = 2/3 x 2/5 = 4/15
b) 7/9 : 1/5 = 7/9 x 5/1 = 35//9
c) 3/7 : 4 = 3/7 x ¼ = 3/28

Exercícios

1) Efetue as divisões
a) ¾ : 2/5 = (R: 15/8)
b) 5/7 : 2/3 = (R: 15/14)
c) 4/5 : 3/7 = (R: 28/15) 
d) 2/9 : 7/8 = (R: 16/63)
e) 1/6 : 5/3 = (R: 3/30) ou (3/10)
f) 7/8 : ¾ = (R: 28/24) ou (7/6)g) 8/7 : 9/3 = (R: 24/63)
h) 4/5 : 2/5 = (R: 20/10) ou (2/1) ou ( 2)i) 5/8 : ¾ = (R: 20/24) ou (5/6)
j) 2/9 : 4/7 = (R: 14/36) ou (7/18)

2) Efetue as divisões :

a) 5 : 2/3 = (R: 15/2)
b) 4 : 1/7 = (R: 28/1) ou (28)
c) 8/9 : 5 = (R: 8/45)
d) 3/7 : 3 = (R: 3/21)
e) 7/3 : 4/7 = (R: 49/12)
f) 2/3 : ½ = (R: 4/3)
g) 4/5 : 2/3 = (R: 12/10)
h) 2/7 : 5/3 = (R: 6/35)
i) 3/7 : 2 = (R: 3/14)
j) 3/2 : 5/7 = (R: 21/10)
k) 3/8 : 4/7 = (R: 21/32)


POTENCIAÇÃO

Vamos calcular a potência (2/5)³= 2/5 x 2/5 x 2/5 = 8/125

Conclusão: para elevar uma fração a um expoente, elevam-se o numerador e o denominador da fração desse expoente.

Exemplo

a) (5/7)² = 5²/ 7² = 25/49

1) Toda fração de expoente 1 dá como resultado a própria fração

Exemplo: (3/8)¹ = 3/8

2) Toda a fração elevada ao expoente zero dá como resultado o número 1

Exemplo : (3/4)⁰ = 1


Exercícios

1) Calcule as potências

a) (2/3)² = (R: 4/9)
b) (4/7)² = (R: 16/49)
c) (7/5)² = (R: 49/25)
d) (1/3)² = (R: 1/9)
e) (5/3)² = (R: 25/9)
f) (7/30)⁰ = ( R: 1)
g) (9/5)¹ = (R: 9/5)
h) (2/3)³ = (R: 8/27)
i) (1/5)³ = (R: 1/125)
j) (1/2)² = (R: 1/4)
k) (2/3)⁴= (R: 16/81)
l) (2/5)¹ = (R: 2/5)
m) (3/11)² = (R: 9/121) 
n) (9/4)⁰ = (R: 1)o) (12/13)² = (R: 144/169)
p) (1/2)⁵ = (R: 1/32)q) (3/7)³ = ( R: 27/343)

RAIZ QUADRADA DE NÚMEROS RACIONAIS (FRAÇÃO)
Sabemos que :

√25 = 5
√49 = 7
√25/49 = 5/7

Conclusão:

Para extrair a raiz quadrada de um número fracionário, extraem-se a raiz quadrada do numerador e a raiz quadrada do denominador.

Exemplos

a) √4/9 = 2/3
b) √1/36 = 1/6

Exercícios

1) Calcule a raiz quadrada

a) √9/16 = (R: 3/4)
b) √1/25 = (R:1/5)
c) √9/25 = (R: 3/5)
d) √16/49 = (R: 4/7)
e) √64/25 = (R: 8/5)
f) √1/9 = (R: 1/3)
g) √25/81 = (R: 5/9)
h) √49/36 = (R: 7/6)
i) √1/100 = (R: 1/10)








EXPRESSÕES COM NÚMEROS RACIONAIS
As expressões com números racionais devem ser resolvidas obedecendo à seguinte ordem de operações:

1°) Potenciação e Radiciação
2°) Multiplicação e Divisão
3°) Adição e subtração

Essas operações são realizadas eliminando :

1°) Parênteses
2°) Colchetes
3°) Chaves

Exemplos:

1) 1/5 + 4/5 x 1/3 =
    1/5 + 4/15 =
    3/15 + 4/15 =
    7/15


2) (3/5)² + 2/5 x ½ =
     9/25 + 2/10 =
     18/50 + 10/50 =
     = 28/50 ou  14/25

3) ( 4 + ½ ) – 1/5 : 2/3 =
    ( 8/2 + ½ ) – 1/5 : 2/3 =
       9/2 – 1/5 : 2/3 =
       9/2 – 1/5 x 3/2 =
       9/2 – 3/10 =
       45/10 – 3/10 =
    = 42/10 ou  21/5


Exercícios


1) Calcule o valor das expressões:


a) 5/8 + ½ -2/3 = (R: 11/24)
b) 5 + 1/3 -1/10 = (R: 157/30)
c) 7/8 – ½ - ¼ = (R: 1/8)
d) 2/3 + 3 + 1/10 = (R: 113/30)
e) ½ + 1/6 x 2/3 = (R: 11/18)
f) 3/10 + 4/5 : ½ = (R: 19/10)
g) 2/3 x ¾ - 1/6 = (R: 4/12 ou 1/3)
h) 7 – ¼ + 1/7 = (R: 193/28)
i) 3 x ½ - 4/5 = (R: 7/10)
j) 7/4 – ¼ x 3/2 = ( R: 11/8)k) ½ + 3/2 x ½ = ( R: 5/4)
l) 1/10 + 2/3 x ½ = (R: 13/30)
2) Calcule o valor da expressão:

a) 7 x ½ + (4/5)² = (R: 207/50)
b) (1/3)² + 2/5 x ½ = (R: 28/90 ) ou (14/45)
c) (1/2)² : ¾ + 5/3 = ( R: 24/12) ou (2)d) (1/3)² x 5/2 + ½ = ( R: 14/18) ou (7/9)
e) 2/5 x ½ + ( 3/5)² = ( R: 28/50) ou (14/25)f) (2/3)²+ 4 + 1/3 -1/2 = ( R: 77/18)
3) Calcule o valor da expressão:

a) 5/6 – ( 1/3 + 1/5 ) = ( R: 9/30) ou (3/10)
b) 2/5 x ( ¾ + 5/8) = ( R: 22/40) ou (11/20)c) ½ : ( 2/3 + ¾ ) = ( R: 12/34) ou ( 6/17)
d) ( 1/3 + ½ ) : 5/6 = (R: 30/30) ou (1)
e) ½ . ( 2/3 + ¾ ) = ( R: 17/24)f) ( 5/7 x 2/3 ) : 1/6 = (R: 60/21)
g) (3/2 - 2/5 ) + ( 5/4 - 2/3) = (R: 101/60)
h) 1 + (1/2 - 1/5) - (7/4 - 5/4) = (R: 16/20)i) ( 7/8 - 5/6) + ( 8/9 - 7/9) = (R: 11/72)


4) Calcule o valor das expressões

a) ( ¾ x ½ + 2/5 ) + ¼ = (R: 41/40)b) ( 2/3 x ¼ ) + ( 1/3 x ½ ) = (R: 4/12)
c) ( 5- ½ ) : ( 2 – 1/3) = ( R: 27/10)d) ( 3 x 5/2 ) : ( 1/5 + 1/3 ) = (R: 225/16)
e) ( 3 x ¾ ) + ( 3 x ¼ ) = ( R: 12/4)
f) ( 3 + ½ ) x 4/5 – 3/10 = (R: 25/10)
5) Calcule o valor das expressões

a) ½ : 1/3 + ¾ x 5/9 = ( R: 69/36)
b) 3/8 x ( ½ x 4/3 + 4/3 ) = (R: 36/48)
c) ( 1/3 + ¼ ) : 5/2 + 2/3 = (R: 54/60)
d) ( ¾ + ¼ - ½ ) : 3/2 = (R: 8/11)
d) ( 1 + 1/3 )² x 9/4 + 6 = (R: 360/36)
e) 1 + (3/2)² + ( 1 + ¼ ) = (R: 18/4)


6) calcule o valor das expressões


PROBLEMAS COM NÚMEROS RACIONAIS

Os problemas com números racionais absolutos são geralmente resolvidos da seguinte forma :

1°) Encontrando o valor de uma unidade fracionária

2°) obtendo o valor correspondente da fração solicitada

exemplo

Eu tenho 60 fichas, meu irmão tem ¾ dessa quantidade. Quantas fichas tem o meu irmão ?

60 x ¾ = 180/4 = 45

R: O meu irmão tem 45 fichas

EXERCICIOS 

1) Determine 2/3 de R$ 1200,00 (R: 800)
2) Numa caixa existem 80 bombons. Calcule 2/5 desses bombons. (R: 32)
3) O comprimento de uma peça de tecido é de 42 metros. Quanto medem 3/7 dessa peça ? (R: 18 m)

4) Um automóvel percorreu 3/5 de uma estrada de 600 km. Quantos quilômetros percorreu? (R: 360 km)

5) Numa viagem de 72 km, já foram percorridos ¾ . Quantos quilômetros já foram percorridos? (R : 54 km)
6) Um livro tem 240 páginas., Você estudou 5/6 do livro. Quantas paginas você estudou? (R: 200)

7) Os 2/5 de um número correspondem a 80. Qual é esse número? (R: 200)

8) Os ¾ do que possuo equivalem a R$ 900,00. Quanto possuo? (R: 1200)

9) Um time de futebol marcou 35 gols, correspondendo a 7/15 do total de gols do campeonato. Quantos gols foram marcados no campeonato? (R: 75)

10) Para encher 1/5 de um reservatório são necessários 120 litros de água. Quanto é a capacidade desse reservatório? (R: 600 litros)

11) Se 2/9 de uma estrada corresponde a 60 km, quantos quilômetros tem essa estrada?
(R: 270 km)

12) Para revestir ¾ de uma parede foram empregados 150 azulejos. Quantos azulejos são necessários para revestir toda a parede? (R: 200)

13) De um total de 240 pessoas,1/8 não gosta de futebol. Quantas pessoas gostam de futebol?
(R: 210)

14) Eu fiz uma viagem de 700 km. Os 3/7 do percurso foram feitos de automóvel e o restante de ônibus. Que distancia eu percorri de ônibus? (R: 400 km)

15) Numa prova de 40 questões um aluno errou ¼ da prova. Quantas questões ele acertou?
(R: 30 )

16) Numa classe de 45 alunos, 3/5 são meninas. Quantos meninos há nessa classe? (R: 18)

17) Um brinquedo custou R$ 152,10,. Paguei 1/6 do valor desse objeto. Quanto estou devendo?
(R: 126,75)


NÚMEROS DECIMAIS


FRAÇÃO DECIMAL


Chama-se fração decimal toda fração cujo denominador é 10 ou potência de 10 ex 10, 100, 100...

como:

a) 7/10
b) 3/100
c) 27/1000

NÚMEROS DECIMAIS

a) 7/10 = 0,7
b) 3/100 = 0,03
c) 27/1000 = 0,027

nos números decimais , a virgula separa a parte inteira da parte decimal

LEITURA DO NÚMERO DECIMAL

Para ler um, número decimal, procedemos do seguinte modo:

1°) Lêem -se os inteiros

2°) Lê-se a parte decimal, seguida da palavra:

décimos - se houver uma casa decimal
centésimos - se houver duas casas decimais
milésimos - se houver três casas decimais

exemplos:

a) 5,3 - lê-se cinco inteiros e três décimos
b) 1,34 - lê-se um inteiro e trinta e quatro centésimos
c) 12,007 - lê-se doze inteiros e sete milésimos

quando a parte inteira for zero, lê-se apenas a parte decimal

a) 0,4 - lê-se quatro décimos
b) 0,38 - lê-se trinta e oito centésimos

TRANSFORMAÇÃO DE FRAÇÃO DECIMAL EM NÚMERO DECIMAL

Para transformar uma fração decimal em número decimal, escrevemos o numerador e separamos, à direita da virgula, tantas casas quanto são os zeros do denominador

exemplos:

a) 42/10 = 4,2
b) 135/100 = 1,35
c) 135/1000 = 0,135

Quando a quantidade de algarismos do numerador não for suficiente para colocar a vírgula, acrescentamos zeros à esquerda do número.

exemplo:

a) 29/1000 = 0,029
b) 7/1000 = 0,007


EXERCÍCIOS ,

1) transforme as frações em números decimais

a) 3/10 = (R: 0,3)
b) 45/10 = (R: 4,5)
c) 517/10 = (R:51,7)
d) 2138/10 = (R: 213,8)
e) 57/100 = (R: 0,57)f) 348/100 = (R: 3,48)
g) 1634/100 = (R: 16,34)
h) 328/ 1000 = (R: 0,328)
i) 5114 / 1000 = (R: 5,114)
j) 2856/1000 = (R: 2,856)l) 4761 / 10000 = (R: 0,4761)
m) 15238 /10000 = (R: 1,5238)

2) transforme as frações em números decimais

a) 9 / 100 = (R: 0,09)
b) 3 / 1000 = (R: 0,003)c) 65 /1000 = (R: 0,065)d) 47 /1000 = (R: 0,047)e) 9 / 10000 = (R: 0,0009)f) 14 / 10000 = (R: 0,0014)


TRANSFORMAÇÃO DE NÚMERO DECIMAL EM FRAÇÃO

Procedimentos:

1) O numerador é um número decimal sem a virgula
2) O denominador é o número 1 acompanhado de tantos zeros quantos forem os algarismos do número decimal depois da vírgula.

exemplos:

a) 0,7 = 7/10
b) 8,34 / 834 /100
0,005 = 5/ 1000

EXERCÍCIOS

1) Transforme os números decimais em frações

a) 0,4 = (R: 4/10)b) 7,3 = (R: 73/10)
c) 4,29 = (R: 429/100)
d) 0,674 = (R: 674/1000)
e) 8,436 = (R: 8436/1000)f) 69,37 = (R: 6937/100)
g) 15,3 = (R: 153/10)
h) 0,08 = (R: 8/100)
i) 0,013 = (R: 13/1000)j) 34,09 = (R: 3409/100)l) 7,016 = (R: 7016/1000)m) 138,11 = (R: 13811/100)



OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

Colocamos vírgula debaixo de vírgula e operamos como se fossem números naturais>

exemplo

1) Efetuar 2,64 + 5,19

2,64
5,19 +
----
7,83

2) Efetuar 8,42 - 5,61

8,42
5,61 -
----
2,81

Se o número de casas depois da virgula for diferente, igualamos com zeros à direita

3) Efetuar 2,7 + 5 + 0,42

2,70
5,00 +
0,42
----
8,12

4) efetuar 4,2 - 2,53

4,20
2,53 -
------
1,67


EXERCÍCIOS

1) Calcule

a) 1 + 0,75 = (R: 1,75)b) 0,8 + 0,5 = (R: 1,3)c) 0,5 + 0,5 = (R: 1,0)d) 2,5 + 0,5 + 0,7 = (R: 3,7)e) 0,5 + 0,5 + 1,9 + 3,4 = (R:6,3)
f) 5 + 0,6 + 1,2 + 15,7 = (R: 22,5)
2) Efetue as adições

a) 3,5 + 0,12 = (R: 3,62)
b) 9,1 + 0,07 = (R: 9,17)
c) 4,7 + 12,01 = (R: 16,71)
d) 2,746 + 0,92 = (R: 3,666)
e) 6 + 0,013 = (R: 6,013)f) 4 + 0,07 + 9,1 = (R: 13,17)g) 16.,4 + 1,03 + 0,72 = (R: 18,15)h) 5,3 + 8,2 + 0,048 = (R: 13,548)
i) 0,45 + 4,125 + 0,001 = (R: 4,576)
3) Efetue as subtrações

a) 8,2 - 1,7 = (R: 6,5)b) 5 - 0,74 = (R: 4,26)c) 4,92 - 0,48 = (R: 4,44)d) 12,3 - 1,74 = (R: 10,56)e) 3 - 0,889 = (R: 2,111)
f) 4,329 - 2 = (R: 2,329)g) 15,8 - 9,81 = (R: 5,99)h) 10,1 - 2,734 = (R: 7,366)

4) Calcule o valor das expressões

a) 5 - 1,3 + 2,7 = (R: 6,4)
b) 2,1 - 1,8 + 0,13 = (R: 0,43)
c) 17,3 + 0,47 - 8 = (R: 9,77)d) 3,25 - 1,03 - 1,18 = (R: 1,04)
e) 12,3 + 6,1 - 10,44 = (R: 7,96)
f) 7 - 5,63 + 1,625 = (R: 2,995)

5) Calcule o valor das expressões

a) (1 + 0,4) - 0,6 = (R: 0,8)
b) 0,75 + ( 0,5 - 0,2 ) = (R: 1,05)
c) ( 5 - 3,5 ) - 0,42 = (R: 1,08)
d) 45 - ( 14,2 - 8,3 ) = (R: 39,1)e) 12 + ( 15 - 10,456) = (R: 16,544)
f) 1,503 - ( 2,35 - 2,04) = (R: 1,193)
g) ( 3,8 - 1,6) - ( 6,2 - 5,02) = (R: 1,04) 
h) ( 7 + 2,75 ) - ( 0,12 + 1,04) = (R: 8,59)





MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS

Multiplicamos os números decimais como se fossem números naturais. O números de casas decimais do produto é igual a soma do número de casas decimais dos fatores.

Exemplo

1) efetuar 2,45 x 3,2

2,46
x3,2
-----
7,872

2) efetuar 0,27 x 0,003

x0,27
0,003
-------
0,00081

EXERCÍCIOS

1) Efetue as multiplicações

a) 2 x 1,7= (R: 3,4)
b) 0,5 x 4 = (R: 2)c) 0,5 x 7 = (R: 3,5)d) 0,25 x 3 = (R: 0,75)
f) 6 x 3,21 = (R: 19,26)

2) Efetue as multiplicações

a) 5,7 x 1,4 = (R: 7,98)b) 0,42 x 0,3 = (R: 0,126)
c) 7,14 x 2,3 = (R: 16,422)
d) 14,5 x 0,5 = (R: 7,25)
e) 13,2 x 0,16 = (R 2,112)f) 7,04 x 5 = (R:35,2)
g) 21,8 x 0,32 = (R: 6,976)
h) 3,12 x 2,81 = (R: 8,7672)i) 2,14 x 0,008 = (R: 0,01712)j) 4,092 x 0,003 = (R: 0,012276)


3) Determine os seguintes produtos:

a) 0,5 x 0,5 x 0,5 = (R: 0,125)
b) 3 x 1,5 x 0,12 = (R: 0,54)
c) 5 x 0,24 x 0,1 = (R: 0,120)
d) 0,2 x 0,02 x 0,002 = (R: 0,000008)
e) 0,7 x 0,8 x 2,1 = (R: 1,176)
f) 3,2 x 0,1 x 1,7 = (R: 0,544)

4) calcule o valor das expressões

a) 3 x 2,5 - 1,5 = (R: 6)
b) 2 x 1,5 + 6 = (R: 9)
c) 3,5 x 4 - 0,8 = (R: 13,2)
d) 0,8 x 4 + 1,5 = (R: 4,7)
e) 2,9 x 5 - 8,01 = (R: 6,49)
f) 1,3 x 1,3 - 1,69 = (R: 0)


MULTIPLICAÇÃO POR POTENCIA DE 10

Para multiplicar por 10, 100, 1000, etc, basta deslocar a vírgula para a direita, uma, duas, três, etc casas decimais.

exemplos

a) 3,785 x 10 = 37,85
b) 3,785 x 100 = 378,5
c) 3,785 x 1000 = 3785
d) 0,0928 x 100 = 9,28

EXERCÍCIOS

1) Efetue as multiplicações:

a) 4,723 x 10 = (R: 47,23)
b) 8,296 x 100 = (R: 829,6)
c) 73,435 x 1000 = ( R: 73435)
d) 6,49 x 1000 = (R: 6490)e) 0,478 x 100 = (R: 478)
f) 3,08 x 1000 = (R: 3080)
g) 0,7 x 1000 = (R: 700)
h) 0,5 x 10 = (R: 5)
i) 3,7 x 1000 = (R: 3700)j) 0,046 x 10 = (R: 0,46)




DIVISÃO

Igualamos as casas decimais do dividendo e do divisor e dividimos como se fossem números naturais.

exemplos

1) efetuar 17,568 : 7,32

Igualando as casas decimais fica : 17568 : 7320 = 2,4

2) Efetuar 12,27 : 3

Igualando as casas decimais fica: 1227 : 300 = 4,09


exercícios

1) Efetuar as divisões:

a) 38,6 : 2 = (R: 19,3)
b) 7,6 : 1,9 = (R: 4)
c) 3,5 : 0,7 = (R: 5)d) 17,92 : 5,6 = (R: 3,2)
e) 155 : 0,25 = ( R: 620)f) 6,996 : 5,83 = (R: 1,2)g) 9,576 : 5,32 = (R: 1,8)
h) 2,280 : 0,05 = (R: 45,6)i) 1,24 : 0,004 = (R: 310)
j) 7,2624 : 2,136 = (R: 3,4)
2) Calcular o valor das expressões

a) 7,2 : 2,4 + 1,7 = (R: 4,7)b) 2,1 + 6,8 : 2 = (R: 5,5 )
c) 6,9 : 3 - 0,71 = (R: 1,59)
d) 8,36 : 2 - 1,03 = (R: 3,15)
e) 1,6 : 4 - 0,12 = (R: 0,28)
f) 8,7 - 1,5 : 0,3 = (R: 3,7)


DIVISÃO POR POTÊNCIA DE 10

Para dividir por 10, 100, 1000, etc, basta deslocar a vírgula para a esquerda, uma, duas três , etc casas decimais.


exemplos

a) 379,4 : 10 = 37,94
b) 379,4 : 100 = 3,794
c) 379,4 : 1000 = 0,3794
d) 42,5 ; 1000 = 0,0425


EXERCÍCIOS
1) Efetuar as divisões

a) 3,84 : 10 = (R: 0,384)b) 45,61 : 10 = (R: 4,561)c) 182,9 : 10 = ( R: 18,29)d) 274,5 : 100 = (R: 2,745)e) 84,34 : 100 = (R: 0,8434)f) 1634,2 : 100 = (R: 16,342)
g) 4781,9 : 1000 = ( R: 4,7819)
h) 0,012 : 100 = (R: 0,0012)
i) 0,07 : 10 = (R: 0,007)
j) 584,36 : 1000 = (R: 0,58436)

2) efetue as divisões

a) 72 : 10² = (R: 0,72)
b) 65 : 10³ = ( R: 0,065)
c) 7,198 : 10² = (R: 0,07198)
d) 123,45 : 10⁴= (R: 0,012345)



POTENCIAÇÃO

A potenciação é uma multiplicação de fatores iguais

Exemplos:

1) (1,5)² = 1,5 x 1,5 = 2,25
2) (0,4)³ = 0,4 x 0,4 x 0,4 = 0,064

vamos lembrar que: são válidas as convenções para os expoentes um e zero.

Exemplos

1) (7,53)¹ = 7,53
2) ( 2,85)⁰ = 1



EXERCÍCIOS 


1) Calcule as potências

a) ( 0,7)² = (R: 0,49)
b) (0,3) ² = (R: 0,09)
c) (1,2) ² = (R: 1,44)
d) (2,5) ² = (R: 6,25)
e) (1,7) ² = (R: 2,89)
f) (8,4) ² = (R:70,56)
g) (1,1)³ = ( R: 1,331)
h) (0,1)³ = (R: 0,001)
i) (0,15) ² = (R:0,0225)
j) (0,2)⁴= (R: 0,0016)

2) Calcule o valor das expressões

a) (1,2)³ + 1,3 =  (R:3,028)
b) 20 – (3,6) ² = (R: 7,04)
c) (0,2) ² + (0,8) ² = (R: 0,68)
d) (1,5) ² - (0,3) ² = (R: 0,2025)
e) 1 – (0,9) ² = (R: 0,19)
f) 100 x (0,1)⁴ = (R: 0,01)
g) 4² : 0,5 – (1,5) ² = (R: 30,5)
h) ( 1 – 0,7) ² + ( 7 – 6)⁵ = (R: 1,09)


TRANSFORMAÇÃO DE FRAÇÕES EM NÚMEROS DECIMAIS

Para transformar uma fração em números decimais, basta dividir o numerador pelo denominador (obs o numerador é o números de cima da fração e o denominador o números debaixo)

Exemplos

transformar em números decimais as frações irredutíveis

1) 5/4 = 5 : 4 = 1,25 que será um, número decimal exato
2) 7/9 = 7 : 9 = 0,777... é uma dizima periódica simples
3) 5/6 = 5: 6 = 0,8333...... é uma dizima periódica composta

outros exemplos

a) 4,666... dízima periódica simples (período 6)
b) 2,1818....dízima periódica simples ( período 18)
c) 0,3535.... dízima periódica simples (período 35)
d) 0,8777.... dízima periódica composta (período 7 e parte não periódica 8)
e) 5,413333.... dízima periódica composta (período 3 e parte não periódica 41)

EXERCÍCIOS

1) Transforme em números decimais as frações:

a) 10/4 = (R: 2,5)
b) 4/5 =  (R: 0,8)
c) 1/3 =  (R: 0,333) 
d) 5/3 = (R: 1,666)  
e) 14/5 = (R: 2,8)
f) 1/6 = (R: 0,16)
g) 2/11 = (R: 0,1818)
h) 43/99 = (R: 0,4343)
i) 8/3 = (R: 2,666)

2) Transforme as frações decimais em números decimais :

a) 9/10 = (R: 0,9)
b) 57/10 = (R: 5,7)c) 815/10 = (R: 81,5)
d) 3/100 = (R: 0,03)e) 74/100 = (R: 0,74)
f) 2357/1000 = (R: 2,357)g) 7/1000 = (R: 0,007)
h) 15/10000 = (R: 0,0015)
i) 4782/10000 = (R: 0,4782)
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O que faz um matemático?

O Acadêmico Marcelo Viana - que, no dia 8 de junho, se tornou o primeiro brasileiro a ganhar o Grande Prêmio Científico Louis D. da França - esteve no Colégio Cruzeiro, no Rio de Janeiro, para falar sobre a área que o levou a receber a maior distinção do país europeu na área da pesquisa científica: a matemática. O evento "Encontro com as profissões", voltado para alunos do ensino médio, aconteceu em meados de maio.

Marcelo Viana fala sobre a teoria dos grafos

O pesquisador do Instituto de Matemática Pura e Aplicada (Impa) falou sobre a sua profissão de uma forma leve e agradável aos estudantes, que tiveram a oportunidade de entender melhor sobre o que faz um matemático. Para isso, citou o professor Paul Lockhart: "Fazer matemática sempre deveria significar encontrar padrões e construir explicações bonitas e significativas".  E completou: "Essa frase é um pouco misteriosa, então decidi concretizar essa ideia". 

Dominó para explicar a matemática

Assim, Viana chamou três alunos para participarem de uma demonstração prática. Cada um recebeu peças de dominó - um recebeu o jogo completo, outro recebeu as peças até a numeração 5 e o terceiro recebeu as peças até a numeração 4. O objetivo era que cada um conseguisse fechar um círculo usando todas as peças uma vez só.  

Experimento com os alunos utilizando dominó

O aluno que tinha as peças até a numeração 5 foi o único que não conseguiu fechar o círculo. Viana afirmou que isso seria de fato impossível, e explicou com uma história do século 18 sobre a cidade de Königsberg, na Prússia, em que a população buscava meios de fazer um percurso que passasse por todas as pontes do centro apenas uma vez. As pessoas não conseguiram e chamaram um matemático, Enhard Euler, para resolver o problema. Euler, por sua vez, afirmou que o percurso em questão não era possível porque tinha vértices ímpares, ou seja, para que fosse possível, seria necessário que cada ponto de saída tivesse um número par de caminhos.  

Transformando os caminhos em linhas e suas interseções em pontos, Euler criou, possivelmente, o primeiro grafo da história, nome das estruturas empregadas em um ramo da matemática que estuda as relações entre os objetos de um determinado conjunto. Assim, nasceu o teorema de Euler: um grafo possui percurso fechado passando exatamente uma vez por cada uma das arestas se, e somente se, todos os vértices são pares.  

Para que serve a matemática?

"O rosto de Euler está na nota de dez francos suíços, mas acredito que, mesmo sendo responsável pela teoria dos grafos, que movimenta bilhões de dólares por ano, ele não tenha ganhado nem dez francos por isso", comentou Viana. Hoje, a teoria dos grafos influencia diretamente sistemas inteligentes de transporte aéreo, planejamento de tráfego urbano, de redes de estradas, controle de epidemias e outras áreas.  

"Sem a matemática, não haveria novos fármacos, aviões, conta bancária, ressonância magnética, smartphones", afirmou Marcelo Viana. No Reino Unido, 10% dos empregos são ligados à matemática, e atividades ligadas a essa área correspondem a 16% do PIB. Na França, são 15% do PIB, e 9% dos empregos estão ligados à matemática. "A empregabilidade é excelente. Esses 9% não são empregos quaisquer, são cargos bons, com bons salários. Das 85 tecnologias que a França considera estratégicas, 37 são ligadas à matemática."  

Em 2015, a revista Forbes publicou um ranking das melhores profissões. As dez primeiras incluíam atuária (que liderou a lista), estatística, ciência de dados, engenharia de software e análise de sistemas computacionais - todas profissões ligadas à matemática. O ranking considera não apenas o salário, mas também as condições de trabalho. "No Brasil não existem estudos como esse, mas tudo leva a crer que as conclusões seriam parecidas", disse Viana.

Ele lembrou que, para se tornar engenheiro, é preciso ter um mínimo de expertise em matemática. "A Austrália tem 38,1% dos seus alunos no nível 4 ou superior na avaliação de matemática do PISA [o Programa Internacional de Avaliação de Estudantes]. O Canadá, 43,3%, a Coreia do Sul, 51,8%, a China, 71,2%, e o Brasil tem 3,8%. É uma catástrofe." Quem tem expertise, disse Viana, é como se tivesse "um sexto sentido", e só 4% dos brasileiros têm. "Então há um nicho enorme para quem quiser atuar nessa direção."  

Estudantes ouvem sobre a profissão de matemático

O pesquisador informou que, se o Brasil subisse 25 pontos na prova de matemática do PISA, o PIB seria multiplicado por 2,5. "E se subirmos 25 pontos nós não vamos chegar no nível da Finlândia, mas do México." Para conseguirmos isso, segundo Viana, não precisamos inventar a roda, basta repetir o que outros países já fizeram. "Temos um sistema de educação gigantesco, 246 mil escolas. É preciso investir na formação dos professores." Quase 40% dos professores da rede pública que atuam nos anos finais dos ensinos fundamental e médio não têm formação para a matéria que ensinam, segundo dados do Censo da Educação Básica de 2015.  

Herói da matemática

Viana comentou com os estudantes sobre o Acadêmico Artur Ávila, também do Impa, que, há dois anos, ganhou o maior prêmio do mundo voltado para a matemática, a Medalha Fields (apelidada de "Nobel da matemática"), aos 34 anos. "Só é possível ganhar a Medalha Fields até os 40 anos, e isso acontece apenas uma vez a cada quatro anos. Então ganhar o Prêmio Nobel é moleza perto dela", brincou. Artur Avila foi o primeiro vencedor da Medalha que nasceu, cresceu e foi educado em um país em desenvolvimento. Tornou-se uma espécie de herói para os brasileiros.  

Ele também falou sobre o biênio da matemática no Brasil, que acontecerá em 2017 e 2018. O Rio de Janeiro receberá os dois principais eventos do mundo nessa área: a Olimpíada Internacional de Matemática, em julho de 2017, e o Congresso Internacional de Matemática (onde é entregue a Medalha Fields), em agosto de 2018.   

Julia Fragale, 17, foi uma das estudantes que participou do experimento de Viana. Ela contou que pensa em seguir a carreira de engenharia aeronáutica e se interessa por matemática: "Antes eu estudava em uma escola de artes e não gostava dessa matéria, mas, para entrar no Cruzeiro, precisei estudar muito matemática. Aí passei a entender e, quando você entende, você começa a gostar da coisa".  

Mais um prêmio para o Brasil

Sobre o Prêmio Louis D., Marcelo Viana contou que foi concedido pelo conjunto do trabalho que faz com sua equipe no Impa na área de sistemas dinâmicos, também chamada de Teoria do Caos, que estuda o modo que fenômenos evoluem no tempo - clima, aspectos da natureza, reações químicas etc. "É uma área que se desenvolveu muito no Brasil a partir dos anos 90, e é muito forte no Impa." Ele contou que outro fator a ser considerado foi o fato de seu projeto buscar aumentar a cooperação com a França, apoiando o intercâmbio e a mobilidade de jovens.

(Clarice Cudischevitch para NABC)

fonte:http://www.abc.org.br

Diferença de dois cubos

O sétimo caso de fatoração é semelhante ao 6º caso, a diferença é na operação entre os dois monômios que aqui nesse caso é uma subtração (diferença).

Observe a demonstração abaixo:

Dado dois números quaisquer x e y. Se subtrairmos ficará: x – y, se montarmos uma expressão algébrica com os dois números obteremos: x2 + xy + y2, assim, devemos multiplicar as duas expressões encontradas.

(x - y) (x2 + xy + y2) é necessário utilizar a propriedade distributiva;

x3 + x2y + xy2 - x2y –xy2 - y3 unir os termos semelhantes;

x3 - y3 é uma expressão algébrica de dois termos, os dois estão elevados ao cubo e subtraídos.

Assim, podemos concluir que x3 - y3 é uma forma geral da soma de dois cubos onde
x e y podem assumir qualquer valor real.

A forma fatorada de x3 - y3 será (x - y) (x2 + xy + y2).

Com o conhecimento de todos os casos de fatoração, quando for preciso fatorar alguma expressão algébrica devemos sempre observar em qual dos casos ela se enquadra, veja os exemplos de como fazer esse reconhecimento.

Exemplo:
Se tivermos que fatorar a seguinte expressão algébrica 27x3 – y3 devemos observar que ela tem dois termos. Lembrando dos casos de fatoração, o único caso que fatora dois termos é a diferença de dois quadrados, soma de dois cubos e a diferença de dois cubos.

No exemplo acima os dois termos estão ao cubo e entre eles há uma subtração, então devemos utilizar o 7º caso de fatoração (diferença de dois cubos), para fatorarmos devemos escrever a expressão algébrica 27x3 – y3 da seguinte forma:
(x - y) (x2 + xy + y2). Ao tirar as raízes cúbicas dos dois termos, temos: 27x3 – y3.

A raiz cúbica de 27x3 é 3x e a raiz cúbica de y3 é y. Agora, basta substituir valores, no lugar de x colocaremos 2x e no lugar de y colocaremos 3 na forma fatorada
(x - y) (x2 + xy + y2) , ficando assim:

(3x – y) ((3x)2 + 3x . y + y2)

(3x – y) (9x2 + 3xy + y2)

Então, (2x – 3) (4x2 + 6x + 9) é a forma fatorada da expressão algébrica 8x3 – 27.

Exemplo 2
Para resolvemos a fatoração utilizando a diferença de dois cubos devemos seguir os mesmos passos do exemplo anterior. Fatorando a expressão algébrica r3 – 64 temos: As raízes cúbicas de r3 é r e de 64 é 4, substituindo teremos no lugar de x o r e no lugar de y o 4.

(r – 4) (r2 + 4r + 16) é a forma fatorada de r3 – 64.

Soma de dois cubos

O sexto caso de fatoração é a fatoração de uma expressão algébrica composta por dois monômios (seja um binômio) e entre eles há a operação de adição, esses dois monômios são elevados ao cubo (elevados à terceira potência).

Veja a demonstração de como foi encontrado esse caso de fatoração:

Dado dois números quaisquer x e y, se somarmos os dois obteremos x + y, se montarmos uma expressão algébrica com os dois números teremos x2 - xy + y2, agora devemos multiplicar as duas expressões encontradas.

(x + y) (x2 - xy + y2) utilize a propriedade distributiva;

x3 - x2y + xy2 + x2y –xy2 + y3 una os termos semelhantes;

x3 + y3 é uma expressão algébrica de dois termos onde os dois estão elevados ao cubo e somados.

Assim, podemos concluir que x3 + y3 é uma forma geral da soma de dois cubos onde
x e y poderão assumir qualquer valor real.

A forma fatorada de x3 + y3 será (x + y) (x2 - xy + y2).

Veja alguns exemplos:

Exemplo1:
27x3 + 1000 é a soma de dois cubos.

Podemos escrever essa expressão da seguinte forma:

33x3 + 103, assim: x = 3x e y = 10
Agora, basta usarmos a forma geral e fazermos as substituições.

(x + y) (x2 - xy + y2)
(3x + 10) ((3x)2 – 3x . 10 + 102)
(3x + 10) (9x2 – 30x + 100)

Portanto, a fatoração de 27x3 + 1000 será (3x + 10) (9x2 – 30x + 100).

Exemplo 2:
x3 + 1 é a soma de dois cubos.
Podemos escrever essa expressão da seguinte forma:

(x)3 + 13 assim: x = x e y = 1
Agora, basta usarmos a forma gral e fazermos as substituições.

(x + y) (x2 - xy + y2)

(x + 1) ((x)2 –x .1 + 12)

(x – 1) (x2 –x + 1)

Exemplo 3:
8x3 + y3 é a soma de dois cubos.
Podemos escrever essa expressão da seguinte forma:

(2x)3 + y3 assim: x = 2x e y = y
Agora, basta usarmos a forma gral e fazermos as substituições.

(x + y) (x2 - xy + y2)

(2x + y) ((2x)2 – 2xy + y2)

(2x + y) (4x2 – 2xy + y2)

Multiplicação com polinômios

A multiplicação com polinômio (com dois ou mais monômios) pode ser realizada de três formas:

Multiplicação de monômio com polinômio.

Multiplicação de número natural com polinômio.

Multiplicação de polinômio com polinômio.

As multiplicações serão efetuadas utilizando as seguintes propriedades:
• Propriedade da base igual e expoente diferente: aⁿ . a^m = a ^{n + m}

• Monômio multiplicado por monômio é o mesmo que multiplicar parte literal com parte literal e coeficiente com coeficiente.

Multiplicação de monômio com polinômio

• Se multiplicarmos 3x por (5x² + 3x – 1), teremos:
3x . ( 5x² + 3x – 1) → aplicar a propriedade distributiva.

3x . 5x² + 3x . 3x + 3x . (-1)

15x³ + 9x² – 3x

Portanto: 3x (5x² + 3x – 1) = 15x³ + 9x² – 3x

• Se multiplicarmos -2x² por (5x – 1), teremos:

-2x² (5x – 1) → aplicando a propriedade distributiva.

-2x² . 5x – 2x² . (-1)

- 10x³ + 2x²

Portanto: -2x² (5x – 1) = - 10x³ + 2x²

Multiplicação de número natural

• Se multiplicarmos 3 por (2x² + x + 5), teremos:

3 (2x² + x + 5) → aplicar a propriedade distributiva.

3 . 2x² + 3 . x + 3 . 5

6x² + 3x + 15.

Portanto: 3 (2x² + x + 5) = 6x² + 3x + 15.

Multiplicação de polinômio com polinômio

• Se multiplicarmos (3x – 1) por (5x² + 2)

(3x – 1) . (5x² + 2) → aplicar a propriedade distributiva.

3x . 5x² + 3x . 2 – 1 . 5x² – 1 . 2

15x³ + 6x – 5x² – 2

Portanto: (3x – 1) . (5x² + 2) = 15x³ + 6x – 5x² – 2

• Multiplicando (2x² + x + 1) por (5x – 2), teremos:

(2x² + x + 1) (5x – 2) → aplicar a propriedade distributiva.

2x² . (5x) + 2x² . (-2) + x . 5x + x . (-2) + 1 . 5x + 1 . (-2)

10x³ – 4x² + 5x² – 2x + 5x – 2

10x³+ x² + 3x – 2

Portanto: (2x² + x + 1) (5x – 2) = 10x³+ x² + 3x – 2
fonte mundoeducacao