sábado, 1 de fevereiro de 2020

A estrutura atômica da matéria

Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com
         



A estrutura atômica da matéria
Estatueta de bronze da idade dos Metais, por volta de 3000 aC.

Desde a antiguidade o ser humano vem investigando para saber mais sobre a matéria e usar esse conhecimento para viver melhor. Uma curiosidade muita antiga é esta:
Tudo o que existe é feito de matéria, mas de que é feita a matéria?
Pelos registros que temos até hoje, as respostas mais antigas obtidas pela humanidade para as questões colocadas na página anterior tiveram por base a religião e a mitologia.
No entanto, essas explicações não atendiam às necessidades práticas das sociedades da época. Não forneciam, por exemplo, o conhecimento que se fazia necessário à metalurgia e, mais tarde, à siderurgia.
Há milhares de anos, o ser humano é capaz de misturar alguns materiais e, com isso, obter outros materiais, diferentes dos animais. Um exemplo é a liga de bronze – mistura dos metais cobre e estanho, que já era produzida há 5000 anos.
Com esses avanços, outras questões surgiram:
  • Porque alguns tipos de material, ao se misturarem se transforma em outro material?
  • Como ocorrem essas transformações?
Para explicar essas e outras questões práticas, surgiu a necessidade de saber de que é feita a matéria ou de que é constituída a menor partícula de água, do ferro e de tudo o que existe.
Os escritos mais antigos que contêm explicações sobre a estrutura da matéria pertencem aos filósofos gregos do século V antes de Cristo.
Há cerca de 2500 anos, os filósofos gregos Leucipo e Demócrito indagavam sobre a estrutura fundamental da matéria. Eles afirmaram que a água, então tida como um elemento fundamental de tudo o que existe, era composta por partículas indivisíveis que receberam o nome de átomos. A palavra átomo significa, em grego, “indivisível”.
Todo e qualquer tipo de matéria existente no Universo seria constituído de átomos. Os diversos materiais teriam em sua constituição átomos diferentes, e esses átomos estariam em diferentes proporções.
Essa idéia de átomo – partícula indivisível da matéria – foi aceita sem alterações significativas por mais de 2 000 anos.
Os modelos atômicos
Como explicar o que é invisível? Apesar de todos os sofisticados aparelhos empregados nas investigações e das avançadas pesquisas sobre o átomo, ele continua invisível.
O estudo do átomo é realizado a partir de modelos idealizados pelos cientistas, isto é, representações hipotéticas da idéias que se tem de como é e de que é formado o átomo.
O conceito de átomo indivisível, imutável e indestrutível afirmado pelos sábios gregos era uma idéia filosófica.
Da idéia filosófica à primeira explicação científica sobre o átomo transcorreram mais de vinte séculos.
Foi no século XIX, com o início da Revolução industrial, que o conhecimento científico ganhou maior importância. Nesse século, intensificou-se o interesse pelo conhecimento que possibilitasse realizar a transformação de um material em outro. Os cientistas ainda buscavam conhecer uma forma de transformar elementos minerais comuns, como o ferro, por exemplo, em elementos nobres e raros, como ouro e prata.
Teoria atômica de Dalton
Em 1808, o químico inglês John Dalton retomou a hipótese atômica de Demócrito para explicar a composição da matéria.

Por meio de vários experimentos, Dalton concluiu que algumas substâncias são formadas por outros elementos. Por exemplo: o hidrogênio e o oxigênio são substâncias que se combinam para formar a substância água.
Segundo Dalton, nas diversas combinações dos átomos – ainda tidos como partículas fundamentais e indivisíveis – estaria a origem da diversidade das substâncias conhecidas.

Ele então formulou explicações para a sua teoria atômica. No modelo concebido por Dalton, os átomos seriam minúsculas esferas maciças, homogêneas, indivisíveis e indestrutíveis
Portador da cegueira específica para determinadas cores, estudou essa anomalia que recebeu o nome de daltonismo, em sua homenagem.
O modelo de Thomson

O modelo de Dalton possibilitou explicação de diversos fenômenos e contribuiu muito para a evolução do conhecimento da matéria. No entanto, não considerava a natureza elétrica da matéria.
A eletricidade era estudada desde o século XVIII, e os cientistas avançavam em novas pesquisas e experimentos. A teoria referente à existência de uma partícula da matéria de carga negativa, o elétron, se consolidava.
Novos conhecimentos, novas questões eram formuladas, e o modelo de Dalton não satisfazia, pois não explicava a existência do elétron. Era necessário, então, um modelo que tivesse como base o fato de a matéria, portanto o átomo, possuir partículas com a carga elétrica negativa e, supostamente, também conter partículas com carga elétrica positiva.
Cerca de um século depois de Dalton, o cientista inglês Joseph John Thomson propôs outro modelo para explicar o átomo, levando em consideração o conhecimento já existente sobre eletricidade.
Em 1887, Thomson afirmou que o átomo seria uma esfera neutra, maciça e não-homogênia, composta por um fluído positivo onde estariam dispersos os elétrons.
No modelo de Thomson, o átomo continua sendo representado por uma minúscula esfera maciça, porém revela o átomo como uma estrutura complexa e divisível.
Esse modelo de átomo á chamado por alguns de pudim de passas: a massa do pudim seria a carga positiva, e as passas espalhadas sobre o pudim seriam as partículas negativas – os elétrons.
A descoberta e os estudos de radioatividade, além dos significativos avanços tecnológicos, levaram os cientistas a novas especulações sobre a composição da matéria e a estrutura do átomo.
O Modelo de Rutherford
Em 1904, o cientista neozelandês Ernest Rutherford realizou um experimento que ficou conhecido na história da ciência como experimento de Rutherford. Ele já sabia da existência das partículas de carga positiva, denominadas partículas alfa (). Em seu experimento, Rutherford colocou no interior de um bloco de chumbo uma substância emissora de partículas , de forma que elas fossem orientadas, por meio de um orifício em uma placa de chumbo, a colidir contra uma fina lâmina de ouro.
Observe o esquema do experimento de Rutherford:
Com esse experimento, ele verificou que:
  • a maioria das partículas atravessa a lâmina de ouro;
  • algumas dessas partículas, ao atravessar a lâmina, eram desviadas;
  • uma pequena parte das partículas não ultrapassa a lâmina e retornava, como se essas partículas se chocassem com algo muito denso.
Analisando esses resultados, Rutherford concluiu que:
  • O átomo não é uma esfera maciça. Existem grandes espaços vazios visto que a maior parte das partículas atravessou a lâmina de ouro.
  • O átomo possui uma região central onde está concentrada a sua massa. Foi contra essa região, denominada por ele de núcleo, que as partículas , se chocaram e retornaram.
  • Esse núcleo apresenta carga positiva, pois repeliu a partícula - que também possui carga positiva.
Com esses dados, Rutherford construiu um modelo atômico semelhante ao Sistema Solar, em que o átomo é uma partícula muitíssimo pequena composta de duas regiões:
  • uma interna, o núcleo, onde estariam concentradas praticamente toda a massa do átomo – de carga elétrica positiva, representada por partículas chamadas de prótons;
  • outra externa, de massa desprezível, onde estariam os elétrons, diminutas partículas negativas em movimento ao redor do núcleo.
Nos modelos aqui apresentados, as dimensões do núcleo e da eletrosfera não estão em escala. Na realidade, a eletrosfera tem o seu volume cerca de 100 mil vezes maior que o do núcleo.
Em 1932, o físico inglês James Chadwick (1891-1974), realizando experiências com material radioativo, comprovou uma das hipóteses de Rutherford que afirmava a possibilidade de existir no núcleo uma outra partícula desprovida de carga elétrica.
Chadwick chamou essas partículas de nêutrons.
O modelo de Rutherford-Böhr
O modelo atômico de Rutherford foi complementado com um novo conceito introduzido pelo físico dinamarquês Niels Bohr:
“O elétrons descreve uma órbita circular ao redor do núcleo sem ganhar ou perder energia.”
Cada órbita descrita pelo elétron é denominada nível de energia ou camada de energia. Em um átomo, há várias órbitas circulares, cada uma delas com um determinado valor energético.
Outros modelos que vieram depois especificam as características das órbitas ou camadas de energia, incorporando a discussão de elétron considerado como partícula e/ou onda.
Pesquisas mais recentes, realizadas após a elaboração do modelo de Rutherford-Böhr, comprovaram que impossível determinar num mesmo instante a posição e a velocidade de um elétron. Por isso, cientistas afirmam que existe a probabilidade de os elétrons estarem em uma ou outra região da eletrosfera.
O Interior do Átomo
No centro de um átomo está o seu núcleo, que apesar de pequeno, contém quase toda a massa do átomo. Os prótons e os nêutrons são as partículas nele encontradas, cada um com uma massa atômica unitária.
O Número de prótons no núcleo estabelece o número atômico do elemento químico e, o número de prótons somado ao número de nêutrons é o número de massa atômica. Os elétrons ficam fora do núcleo e tem pequena massa.
Características das Partículas:
  • Prótons: tem carga elétrica positiva e uma massa unitária.
  • Nêutrons: não tem carga elétrica, mas tem massa unitária.
  • Elétrons: tem carga elétrica negativa e quase não possuem massa.
Cargas elétricas e massas
Inúmeros experimentos realizados permitiram estabelecer as propriedades das partículas do átomo quanto à sua carga elétrica e massa.
Quando à carga elétrica: considera-se a carga do próton igual a +1; a carga do elétron igual a -1, e a carga do nêutron igual a 0.
Como se sabe, cargas elétricas de mesma intensidade e de sinais contrários se neutralizam. Ou seja, a carga elétrica de um próton (positiva) anula a carga elétrica de um elétron (negativa). Qualquer átomo apresenta número de prótons e de elétrons iguais; logo, é eletricamente neutro.
Quanto a massa: tendo o valor da massa do próton como referência, afirma-se que a massa do nêutron é praticamente igual à massa do próton. Como o próton possui massa cerca de 2 mil vezes maior que a de um elétron, esta última é considerada desprezível.
O núcleo do átomo
Agora, vamos considerar melhor as características do núcleo atômico.
Número atômico
Há muitos átomos diferentes entre si. Por exemplo, o átomo de alumínio é diferente do átomo de ouro. Qual será a principal diferença entre os tipos de átomos?
Após estudos definiu-se que o número de prótons é uma das principais características que diferenciam um átomo do outro.
Esse número é chamado de número atômico e é representado pela letra Z.
  • Z é a “carteira de identidade” do átomo, pois indica a qual elemento químico cada átomo pertence.
  • O conjunto dos átomos que possuem o mesmo número atômico (Z) é denominado elemento químico.
Portanto, a partir do conceito de elemento químico, á possível afirmar que átomos com número de prótons diferentes entre si pertencem, obrigatoriamente a elementos químicos diferentes. Vejamos:
O átomo de sódio tem 11 prótons; logo, seu número atômico é igual a 11 (Z = 11), e todos os átomos com número atômico (Z) igual a 11 pertencem ao elemento químico sódio.
Número de massa
É a soma do número de prótons com o número de nêutrons. O número de massa é representado pela letra A.
Nesta expressão, temos: A = número de massa;
p = número de prótons;
n = número de nêutrons.
Logo, a diferença entre o número de massa e o número atômico revela o número de nêutrons.
A soma do número de prótons com o número de nêutrons, ou seja, o número de massa (A), não corresponde a toda a massa do átomo, pois também existem os elétrons. O motivo de A representar a massa do átomo é que a amassa do elétron é desprezível quando comparada com a dos prótons e nêutrons.
Átomos pertencentes ao mesmo elemento químico podem apresentar diferentes números de nêutrons. A prata, por exemplo, é encontrada na natureza com números de nêutrons distintos: 60 e 62. Se somarmos esses números com o número de prótons, que é igual a 47, teremos:
  • 60 nêutrons + 47 prótons = 107 como número de massa.
  • 62 nêutrons + 47 prótons = 109 como número de massa.
Por isso, somente o número atômico pode identificar a que elemento químico o átomo pertence.
Representação dos átomos
Os átomos dos elementos químicos são representados por símbolos composto por uma, duas ou três letras. Para o sódio, utiliza-se Na, para o cloro Cl; para o carbono, C; e assim por diante.
Note que a primeira letra é sempre maiúscula. Normalmente, o número de massa (A) é representado no canto superior esquerdo, e o número atômico (Z) no canto inferior esquerdo.
Observe o exemplo para o elemento químico cloro:
Semelhanças atômicas
Além da existência de vários átomos com o mesmo número de prótons, pesquisas indicam que semelhanças podem ocorrer também com o número de nêutrons e com o número de massa.
Os átomos que possuem algum tipo de semelhança são agrupados em três grupos básicos: isótopos, isótonos e isóbaros.
Átomos isótopos são aqueles que apresentam o mesmo número de prótons e diferente número de nêutrons e de massa. Obrigatoriamente, pertencem ao mesmo elemento químico.
Exemplo:
Átomos isótonos são aqueles que apresentam o mesmo número de nêutrons e diferente número de prótons e de massa. Obrigatoriamente, não podem pertencer ao mesmo elemento químico.
Átomos isóbaros são aqueles que apresentam o mesmo número de massa e diferente número de prótons e de nêutrons. Obrigatoriamente, não podem pertencer ao mesmo elemento químico.
Eletrosfera e níveis energéticos

Como vimos anteriormente, Bohr aperfeiçoou o modelo atômico de Rutherford com base em formulações teóricas. Uma delas é esta:
Os elétrons estão distribuídos de acordo com suas distâncias em relação ao núcleo, descrevendo órbitas circulares ao redor deste sem ganhar ou perder energia.
Assim, há várias órbitas circulares em um átomo, e cada uma delas tem um determinado valor energético. Dependendo do número de elétrons que possui, o átomo pode apresentar vários níveis eletrônicos ou camadas de energia.
Esses níveis eletrônicos, conforme o número de elementos químicos conhecidos, são numerados de 1 a 7 ou representados pelas letras K, L, M, N, O, P e Q, a partir do nível mais interno, que é o mais próximo do núcleo.
Bohr afirmou também que:
Ao receber energia o elétron pode saltar da camada em que está para uma camada mais externa; quando cessa a fonte de energia, ela retorna para a camada de origem, liberando sob a forma de luz a energia anteriormente recebida.
Pela observação das fotos seguir, você verá que a chama apresenta cores diferentes.
O que se pode constatar ao observar as diferentes cores apresentadas nas fotos?
Isso ocorre porque os elétrons dos diferentes elementos químicos atingem camadas externas também diferentes ao ganhar energia. A emissão da luz depende da diferença de energia entre a camada eletrônica em que o se encontrava e a camada para a qual “saltou” ao receber energia.
A energia em forma de luz é emitida quando o elétron retorna à sua camada eletrônica inicial, e a cor da luz dependerá de cada elemento químico.
Como a luz visível é formada por ondas eletromagnéticas distribuídas numa certa faixa de frequências, e a frequências da onda corresponde a quantidade de energia que ela transporta, temos que, a energia emitida pelo elétron é percebida por nós na forma de luz com a cor determinada pela quantidade de energia liberada.
Isso explica, por exemplo, as cores dos fogos de artifício, já que eles são produzidos com adição de substâncias que emitem luz quando aquecidas.
Como vimos, de acordo com a teoria de Bohr, ao receber energia um elétron pode saltar para uma camada mais externa, de maior energia.
Atualmente, sabemos que, se a quantidade de energia fornecida a um elétron for muito elevada, esse elétron poderá saltar para fora da área considerada eletrosfera. Em conseqüência, o átomo deixa de apresentar igual número de prótons e elétrons, deixando, portanto de ser neutro.

Da mesma forma que se podem perder elétrons, o átomo também pode receber elétrons, ocorrendo a quebra de neutralidade de cargas elétricas.
Nos dois exemplos anteriores, foi possível verificar que, com a perda ou com o ganho de elétrons, os átomos deixaram de apresentar carga neutra. Quando isso ocorre, o átomo recebe uma nova denominação: são chamados de íons.
Os íons
Observe que, se um átomo perder um elétron, seu numero de prótons fica maior que o número de elétrons. Assim, o átomo assume uma carga positiva, transformando-se em um íon positivo, denominado cátion.
Considere novamente o átomo de sódio:
Quando o átomo de sódio perde um elétron, ele se transforma em um íon de carga positiva (+1). Caso o processo seja inverso, ou seja, o átomo receba um elétron, o número de elétrons torna-se superior ao de prótons e o átomo assume uma carga negativa, transformando-se em íon negativo, denominado ânion.
Agora, observe o átomo de cloro:
Nesse exemplo, a carga do íon cloro passa a valer -1, pois seu átomo de origem recebeu um elétron.
A quantidade de carga de um cátion ou ânion pode variar de acordo com o número de elétrons que o átomo de origem perdeu ou recebeu. Assim, é possível verificar a existência de íons com carga +1, -1, +2, -2, +3, -3 etc.
Veja um exemplo, considerando o átomo de magnésio:
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sexta-feira, 31 de janeiro de 2020

Divisores de um Número




Divisores de um Número


Definimos divisores de um número n, como sendo o conjunto numérico formado por todos os números que o dividem exatamente.
Vejamos o 12 por exemplo:


Somente os quocientes 1, 2, 3, 4, 6 e 12 o dividem exatamente, já o quociente 5 não o divide exatamente. Sendo assim, o conjunto dos
divisores de 12 é :

D(12) = { 1, 2, 3, 4, 6 e 12 } , da mesma forma teríamos :

D(4) = { 1, 2, e 4 } D(10) = { 1, 2, 5 e 10 } D(18) = { 1, 2, 3, 6, 9 e 18 }

D(24) = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24 } D(40) = { 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 e 40 }

Com isso percebemos que :

O conjunto dos divisores de um número é um conjunto finito, já que possui uma quantidade limitada de elementos.

O conjunto dos divisores da unidade é um conjunto unitário formado pelo elemento 1 D(1) = { 1 }

O conjunto dos divisores do ZERO é um conjunto infinito formado por todos os números naturais diferentes de 0.
D(0) = { 1 , 2, 3, 4 ,5 , 6, 7, 8 , 9, 10, 11, 12 , 13, ....}
Lembremos que IN - { 0 } = { 1 , 2, 3, 4 ,5 , 6, 7, 8 , 9, 10, 11, 12 , 13, ....} .

O conjunto dos divisores de um número diferente de 1 ou 0 tem no mínimo dois divisores, ele mesmo e a unidade. Assim :
D(7) = { 1, 7 } D(9) = { 1, 3 , 9 } D(11) = { 1, 11 } D(7) = { 1, 3, 5, 15 }

E com isso percebemos que a unidade é divisor de todo e qualquer número.

Observação Importante: Alguns autores e alguns concursos, como o Colégio Naval, estendem a definição de divisores de um número
para o conjunto dos números inteiros, e com isso teremos divisores positivos e negativos. Assim :

D(12) = { -12, - 6, - 4, -3, -2, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 12 } , mas só devemos considerar dessa forma se isso ficar bem claro numa questão.

Números Primos


Números Primos são aqueles que possuem somente dois divisores, ele mesmo e a unidade. Alguns números primos :
D(2) = { 1, 2 } D(5) = { 1, 5 } D(7) = { 1, 7 } D(19) = { 1, 19 }

Com isso percebemos que :

O 2 é o único número par que é primo.

A unidade não é um número primo pois possui apenas 1 divisor D(1) = { 1 }

O ZERO não é um número primo pois possui uma infinidade de divisores D(0) = { 1 , 2, 3, 4 ,5 , 6, 7, 8 , 9, 10, 11, 12 , 13, ....}

O conjunto dos números primos é um conjunto infinito Primos = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ....}

Números Compostos


Números Compostos são aqueles que possuem uma quantidade finita de 3 ou mais divisores . Alguns números compostos :

D(4) = { 1, 2, 4 } D(8) = { 1, 4, 8 } D(24) = { 1,2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 }
D(42) = { 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 } D(50) = { 1,2, 5, 10, 25, 50 }

Com isso percebemos que :

Com exceção do 2, todos os demais números pares são compostos.

A unidade não é um número composto pois possui apenas 1 divisor D(1) = { 1 }

O ZERO não é um número composto pois possui uma infinidade de divisores D(0) = { 1 , 2, 3, 4 ,5 , 6, 7, 8 , 9, 10, 11, 12 , 13, ....}

O conjunto dos números compostos é um conjunto infinito Compostos = { 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18, ....}

E dessa forma podemos classificar os números em quatro categorias :

Um número N poderá ser o 0, a unidade, um número primo ou um número composto.

Reconhecimento de um Número Primo


Um número terminado em 1, 3, 7 e 9 será primo quando dividido sucessivamente pela listagem crescente dos números primos menores
que ele, gerar divisões inexatas e quando o quociente da divisão se tornar menor ou igual a ele .

Verifiquemos, por exemplo, se 173 é primo : Vamos dividi-lo pelos primos menores que ele a começar pelo 2.




Notemos que gradativamente os quocientes obtidos vão diminuindo e cada divisão se mantém inexata, até que o quociente 13 e o
divisor tornam-se iguais. Com isso podemos afirmar que 173 é um número primo.

Verifiquemos, agora, se 187 é primo :

Vamos dividi-lo pelos primos menores que ele a começar pelo 2.




Notemos que gradativamente os quocientes obtidos vão diminuindo e cada divisão se mantém inexata, até que ao dividirmos 187
por 11 o resto torna-se 0. Com isso podemos afirmar que 187 não é um número primo, já que ele é divisível por 11 e também por 17 .

Somente poderá ser primo um número terminado em 1, 3 , 7 ou 9

Listagem dos Números Primos Menores que 1 000


2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 87 89 97 101 103 107 109 113 119
121 123 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479
487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683
691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911
919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997


Decomposição de um Número em Fatores Primos


Por diversas ocasiões precisamos decompor um número num produto de fatores primos. Assim :

20 = 4 x 5, e usando apenas fatores primos => 20 = 2 x 2 x 5 ou 22 x 5
60 = 4 x 15, e usando apenas fatores primos => 60 = 2 x 3 x 5 ou 22 x 3 x 5
7800 = 8 x 3 x 25 x 13, e usando apenas fatores primos => 23 x 3 x 52 x 13
2772 = 4 x 9 x 7 x 11, e usando apenas fatores primos => 22 x 32 x 7 x 11

Método prático para a decomposição de um número em fatores primos


Escrevemos o Número
A sua direita traçamos uma linha vertical
Vamos dividí-lo sucessivamente pelos números primos a partir do 2
Enquanto a divisão for possível continuaremos a divisão
Não sendo mais possível passamos para o próximo número primo
E assim faremos até que cheguemos a unidade.
Vejamos alguns Exemplos

Decomponha 120 em
fatores primos Decomponha 312 em
fatores primos Decomponha 495 em
fatores primos Decomponha 900 em
fatores primos

120 = 23 X 3 X 5 312 = 23 X 3 X 13 495 = 32 X 5 X 11 900 = 22 X 32 X 5





Cálculo dos Divisores de um Número


Escrevemos o Número
À sua direita traçamos uma linha vertical
Vamos decompô-lo em fatores primos
Feito isso traçamos a direita dos fatores primos uma nova linha vertical
A direita dessa linha e acima do menor número primo encontrado lançamos a unidade
Multiplicamos o menor fator primo encontrado por todos os números que se encontram acima dele e escrevemos os resultados à
direita do traço vertical e na mesma linha do fator primo
Se o fator primo for o mesmo do anterior multiplicaremos esse fator apenas pela linha de cima.
Se o fator primo for diferente do anterior começaremos nossa multiplicação pela unidade e continuaremos por todos os números
acima dele
E assim faremos até chegarmos ao número original que é o maior divisor possível.
Todos os números encontrados a direita do segundo traço vertical serão os divisores do número solicitado.

Vejamos alguns Exemplos

Exemplo 1 - Quais são os divisores de 120 Exemplo 2 - Quais são os divisores de 158



Os divisores de 120 são :
1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 8 - 10 - 12 - 15 - 18 - 20 - 30 - 40 - 60 - 120 Os divisores de 158 são :
1 - 2 - 79 - 158


Exemplo 3 - Quais são os divisores de 200 Exemplo 4 - Quais são os divisores de 396


Os divisores de 200 são :
1 - 2 - 4 - 5 - 8 - 10 - 20 - 25 - 40 - 50 - 100 - 200 Os divisores de 396 são :
1 - 2 - 3 - 4 - 6 - 9 - 11 - 12 - 18 - 22 - 33 - 36 - 44 - 66 - 99 - 132 - 198 - 396


Cálculo da Quantidade de Divisores de um Número


Em muitas situações precisamos conhecer apenas a quantidade de divisores de um número sem conhecermos exatamente quais são
eles :

E para tal utilizaremos a fórmula : ( Mais tarde a deduziremos )

A quantidade de divisores de um número é dado pelo produto entre os
consecutivos dos expoentes de todos os seus fatores primos.


Exemplo 1 - Quantos são os divisores de 60
Decomposição em fatores primos 60 = 22 x 3 x 5
Expoentes dos fatores primos 2 , 1 e 1
Consecutivos dos Expoentes 2 + 1 = 3 , 1 + 1 = 2 e 1 + 1 = 2
Produto entre os consecutivos 3 x 2 x 2 = 12
O número 60 possui 12 divisores


Exemplo 2 - Quantos são os divisores de 720
Decomposição em fatores primos 720 = 24 x 32 x 5
Expoentes dos fatores primos 4 , 2 e 1
Consecutivos dos Expoentes 4 + 1 = 5 , 2 + 1 = 3 e 1 + 1 = 2
Produto entre os consecutivos 5 x 3 x 2 = 30
O número 720 possui 30 divisores


Cálculo da Quantidade dos Divisores Ímpares de um Número


Em muitas situações precisamos conhecer apenas a quantidade de divisores ímpares de um número sem conhecermos exatamente
quais são eles :

E para tal utilizaremos a fórmula : ( Mais tarde a deduziremos )

A quantidade de divisores ímpares de um número é dado, exclusivamente, pelo
produto entre os consecutivos dos expoentes de seus fatores primos ímpares..


Exemplo 1 - Quantos são os divisores ímpares de 540
Decomposição em fatores primos 540 = 22 X 33 X 5
Expoentes dos Fatores primos ímpares 3 e 1
Consecutivos dos Expoentes 3 + 1 = 4 e 1 + 1
Produto entre os consecutivos 4 x 2 = 8
O Número 540 possui 8 divisores ímpares


Exemplo 2 - Quantos são os divisores ímpares de 3 150
Decomposição em fatores primos 3 150 = 2 x 33 x 5 x 7
Expoentes dos Fatores primos ímpares 3, 1 e 1
Consecutivos dos Expoentes 3 + 1 = 4 , 1 + 1 = 2 e 1 + 1= 2
Produto entre os consecutivos 4 x 2 x 2 = 16
O Número 3 150 possui 16 divisores ímpares


Cálculo da Quantidade dos Divisores Pares de um Número


Lembremos que somente um número par terá divisores pares

A quantidade de divisores pares de um número par é dado pelo produto entre o expoente do fator primo 2 e os consecutivos dos expoentes dos demais fatores primos ..


Exemplo 1 - Quantos são os divisores pares de 360
Decomposição em fatores primos 360 = 23 X 32 X 5
Expoente do fator primo 2 3
Expoentes dos Fatores primos ímpares 2 e 1
Consecutivos dos Expoentes 2 + 1 = 3 e 1 + 1 = 2
Produto entre 3 ( expoente do fator primo 2 ) e os consecutivos dos demais fatores primos 3 x 3 x 2 = 18
O Número 360 possui 18 divisores pares


Exemplo 2 - Quantos são os divisores pares de 420
Decomposição em fatores primos 840 = 22 X 3 X 5 X 7
Expoente do fator primo 2 2
Expoentes dos Fatores primos ímpares 1, 1 e 1
Consecutivos dos Expoentes 1 + 1 = 2 , 1 + 1 = 2 e 1 + 1 = 2
Produto entre 2 ( expoente do fator primo 2 ) e os consecutivos dos demais fatores primos 2 x 2 x 2 x 2 = 16
O Número 840 possui 16 divisores pares


Cálculo da quantidade dos múltiplos de um número p dentre os divisores de um número N


OBS => Esse cálculo somente terá sentido se p for divisor de N

1º Caso : O número p é um fator primo de N

A quantidade de divisores múltiplos de um número p é dado pelo produto entre o expoente do fator primo p e os consecutivos dos expoentes dos demais fatores primos..

Exemplo 1 - Quantos divisores de 720 são múltiplos de 3
Decomposição em fatores primos 720 = 24 x 32 x 5
Expoente do fator primo 3 2
Expoentes dos demais fatores primos 4 e 1
Consecutivos dos Expoentes 4 + 1 = 5 , 1 + 1 = 2
Produto entre 2 ( expoente do fator primo 3 ) e os consecutivos dos demais fatores primos 2 x 5 x 2 = 20
O Número 720 possui 20 divisores múltiplos de 3


Exemplo 2 - Quantos divisores de 2 880 são múltiplos de 5
Decomposição em fatores primos 2 880 = 26 x 32 x 5
Expoente do fator primo 5 1
Expoentes dos demais fatores primos 6 e 2
Consecutivos dos Expoentes 6 + 1 = 7 , 2 + 1 = 3
Produto entre 1 ( expoente do fator primo 5 ) e os consecutivos dos demais fatores primos 1 x 7 x 3 = 21
O número 2 880 possui 21 divisores múltiplos de 5



2º Caso : O número p é composto e é um produto de fatores primos de N

A quantidade de divisores múltiplos de um número composto p é dado pelo
produto entre os consecutivos dos expoentes dos fatores primos restantes..


Exemplo 1 - Quantos divisores de 720 são múltiplos de 12
Decomposição em fatores primos 720 = 24 x 32 x 5
Isolemos o produto 12 ( 22 X 3 ) X 22 X 3 X 5
Expoentes dos demais fatores primos 2, 1 e 1
Consecutivos dos Expoentes 2 + 1, 1 + 1 e 1 + 1
Produto entre os consecutivos 3 X 2 X 2= 12
O número 720 possui 12 divisores múltiplos de 12


Exemplo 2 - Quantos divisores de 1 440 são múltiplos de 40
Decomposição em fatores primos 1 440 = 25 x 32 x 5
Isolemos o produto 40 ( 23 X 5 ) X 22 X 32
Expoentes dos demais fatores primos 2 e 2
Consecutivos dos Expoentes 2 + 1 e 2 + 1
Produto entre os consecutivos 2 X 2= 4
O número 1 440 possui apenas 4 divisores múltiplos de 40


Uma regra prática e bastante útil nesse caso seria a de dividirmos o número N pelo número p e a quantidade de divisores desse quociente nos dará a quantidade de múltiplos de p dentre os divisores de N.


Exercícios Propostos

I - Quais são os divisores de :

01) 20 02) 45 03) 72 04) 128
05) 400 06) 560 07) 1 040 08) 1 200


II - Calcule o produto entre os divisores positivos de :

09) 36 10) 48 11) 60 12) 144


III - Calcule o produto entre os divisores inteiros de :

13) 30 14) 54 15) 105 16) 108


IV - Verifique se são primos os números :

17) 237 18) 267 19) 343 20) 433
21) 851 22) 953 23) 1 049


24) Mostre que a soma dos algarismos de um número primo não pode ser 15 e nem 21.

VI - Determine o valor de x para que os números abaixo sejam primos

25) 1x3 26) 32x 27) 54x 28) 63x5


29) Podemos afirmar que não existem números consecutivos primos ?

30) O consecutivo de um número primo é sempre um número ....... .

31) Podemos afirmar que todo número primo com mais de um algarismo é ímpar ?

VII - Decomponha em fatores primos :

32) 24 33) 38 34) 56 35) 96 36) 180
37) 240 38) 320 39) 539 40) 936 41) 1024
42) 1440 43) 3850 44) 3960 45) 4500


VII - Decomponha em fatores primos as multiplicações :

46) 24 x 30 47) 38 x 60 x 72 48) 32 x 40 x 108
49) 22 x 33 x 44 x 77 50) 122 x 203 x 212 51) 15 n x 18 n x 28 n


VIII - Quantos são os divisores de :

52) 72 53) 96 54) 360 55) 450 56) 600
57) 740 58) 840 59) 1 120 60) 1 560 61) 1 800


IX - Quantos são os divisores pares de :

62) 36 63) 60 64) 96 65) 420 66) 660
67) 720 68) 900 69) 1 200 70) 1 440 71) 2 000


X - Quantos são os divisores ímpares de :

72) 54 73) 234 74) 275 75) 1 428 76) 7 425


XI - Determine o valor de n para que os números tenham :

77) 22 x 3n x 5 - 18 divisores 78) 23 x 32 x 7n - 36 divisores 79) 24 x 5n x 11n - 45 divisores
80) 123 x 52 x 13n - 168 divisores 81) 24n x 72 x 23 - 126 divisores 82) 123 x 52 x 13n - 168 divisores


XII - Qual o menor número da forma 2a X 3b que possui :

83) 12 84) 20 85) 36 86) 40


XIII - Qual o menor número da forma 2a X 3b X 5c que possui :

87) 18 88) 24 89) 60


XIV - Dentre os divisores de 60, quantos são múltiplos de :

90) 6 91) 10 92) 12 93) 18 94) 20


XV - Dentre os divisores de 120, quantos são múltiplos de :

95) 8 96) 10 97) 12 98) 15 99) 30


XVI - Dentre os divisores de 300, quantos são múltiplos de :

100) 4 101) 6 102) 12 103) 18 104) 60


105) Dentre os divisores de 180, quantos não terminam em 0 ?

106) Dentre os divisores de 90, quantos terminam em cinco ?

Questões de Concurso

107)( CEFETQ 1992 - Discursiva ) Na decomposição em fatores primos de um número natural N, encontramos o seguinte resultado:
3x . 3y . 5z . Sabendo que possui 105 divisores, calcule o valor de x + y + z.

108) ( CEFET 2000 - Discursiva ) Seja N = 2 x 302 , qual o número de divisores de N que são também múltiplos de 15 ?

109) ( Colégio Naval - 1982 ) Seja N = 24 x 35 x 56 . O número de divisores de N que são múltiplos de 10, é

A) 24 B) 35 C) 120 D) 144 E) 210

110) ( Colégio Naval - 1984 ) Seja o número , o número de divisores positivos de N é :

A) 6 B) 15 C) 2 D) 13 E) 4

111)( CEFET 1996 ) A soma dos valores absolutos dos algarismos de um número superior a 1010 e inferior a 2010 e ao mesmo tempo
múltiplo de 7, 11 e 13 é:

A) 2 B) 5 C) 15 D) 11 E) 22

112) ( EPCAR 2001 ) Sobre o menor número natural n de 4 algarismos, divisível por 3, tal que o algarismo das dezenas é a metade do
algarismo das unidades e igual ao dobro do algarismo das unidades de milhar. É correto afirmar que

A) n + 1 é divisível por 7 B) n está entre 2000 e 3009
C) n + 2 é múltiplo de 10 D) n apresenta 12 divisores positivos


113) ( Colégio Naval - 1991 ) O produto de todos os divisores inteiros de 144 é :

A) - 230 X 315 B) 230 X 315 C) - 260 X 330 D) 260 X 330 E) - 630

114) ( CEFET 1995 - Discursiva ) Determine a soma dos valores absolutos de um número que é superior a 500, inferior a 1000 e é, ao
mesmo tempo, múltiplo de 3, 11 e 13 .

115) ( Colégio Naval - 1990 ) Os números da forma 4k 2 + 50 + 4k 2 + 51 + 4k 2 + 52 + 4k 2 + 53 são sempre múltiplos de:

A) 17 B) 19 C) 23 D) 29 E) 31


116) ( Colégio Naval - 1996 ) Os números naturais M e N são formados por dois algarismos não nulos. Se os algarismos de M são os
mesmos algarismos de N, na ordem inversa, então M + N é necessariamente múltiplo de :

A) 2 B) 3 C) 5 D) 7 E) 11

117) ( Colégio Naval - 2001 ) Se a e b são números naturais e 2a + b é divisível por 13, então um número múltiplo de 13 será :
A) 91a + b B) 92a + b C) 93a + b D) 94a + b E) 95a + b






extraido de www.Matemática Muito Fácil.com

RAIZ QUADRADA


Chama-se raiz quadrada de um número natural, um segundo número natural cujo o quadrado é igual ao número dado.
Exemplos:
a) √49 = 7 porque 7² = 49
b) √100 = 10 porque 10² = 100

NÚMEROS QUADRADOS PERFEITOS

Vamos calcular os quadrados dos primeiros números naturais:
0² = 0
1² = 1
2² = 4
3² = 9
4² = 16
5² = 25
6² = 36
7² = 49

Os números : 0,1,4,9,16,25,36,49,..........chamam-se quadrado perfeito. Somente esses números possuem raiz quadrada exata em IN.



RAIZ QUADRADA APROXIMADA

Vamos calcular a raiz quadrada do número 23.

Esse número compreendido entre os quadrados perfeitos 16 e 25

Veja: 16 é menor 23 é menor 25.

Extraindo a raiz quadrada desses números, temos: √16, √23, √25.
4 é menor que √23 é menor que 5.

Dizemos então que: 4 é raiz quadrada aproximada, por falta, de 23.
E 5 é a raiz quadrada aproximada por excesso de 23

1) Determine cada raiz, justificando o resultado: Exercício resolvido : √25 = 5 porque 5² = 25

a) √4 = (R: 2)b) √64 = ( R: 8)
c) √81 = (R: 9)d) √49 = (R: 7)e) √0 = ( R: 0)f) √1 = (R: 1)g) √100 = (R: 10)h) √121 = (R: 11)i) √169 = ( R: 13)j) √400 = (R: 20)k) √900 = (R: 30)l) √225 = (R:15)
2) Calcule

a) √1 + √0 = (R: 1)
b) √64 - √49 = ( R: 1)
c) 15 + √81 = (R: 24)d) 2 + √4/9 = (R: 8/3)
e) -3 + √16 = ( R: 1)
f) -5 - √36 = (R: -11)
g) 3√16 – 9 = (R: 3)

3) Calcule

a) √81 = (R: 9)
b) √36 = (R: 6)
c) √144 = (R: 12)
d) √196 = (R: 14)
e) √1600 = (R: 40)
f) √100 = (R:10)
g) -√100 = (R: -10)
h) √121 = (R: 11)
i) -√121 = (R: -11)
j) √400 = (R: 20)
k) -√400 = (R: -20)
l) √4/9 = (R: 2/3)
m) √1/16 = ( R: 1/4)
n) √64/81 = (R: 8/9)
o) √49/25 = (R: 7/5)


4) Calcule

a) 10.√4 = (R: 20)
b) 3 + √25 = (R: 8)
c) 1 - √4/9 = ( R: 2/3)
d) √81-√9 = ( R: 6)
e) √100 - √25 = (R: 5)
f) √25/36 - √1/9 = (R:3/6)
g) 4 . √4/100 = (R:8/10 ou 4/5)

5) Se √x = 30, então o valor de x é:

a) 60
b) 90
c) 600
d) 900 (X)
6) O valor de expressões √0 + √1 - √1/4 é:

a) 1/4
b) 3/2
c) 1/2 (X)d) 3/4

7) O valor da expressão 7² - √64 + 3² é:
a) 42
b) 51
c) 50 (x)d) 38

Circunferências

Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email accbarroso@hotmail.com        




Temos que a equação da circunferência se apresenta na forma reduzida ou na forma normal. A forma reduzida é expressa por (x – xC)² + (y – yC)² = r², onde xC e yC são as coordenadas do centro da circunferência, r o raio e x e y coordenadas de um ponto P posicional da circunferência. A equação normal da circunferência é obtida através da eliminação dos parênteses e redução dos termos semelhantes.

(x – a)² + (y – b)² = r²
x² – 2xa + a² + y² – 2yb + b² – r² = 0
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0

Essa equação é mais uma forma de equacionar uma circunferência e a partir dela determinar o centro e o raio que a equação está representando, isso poderá ser feito utilizando dois métodos diferentes: comparação e redução.

Comparação

Dada a equação x2 + y2 – 2x + 8y + 8 = 0, comparado-a com a equação x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0, temos:

–2a = –2
a = 1

–2b = 8
2b = –8
b = –4

a2 + b2 – r2 = 8
12 + (–4)2 – r2 = 8
1 + 16 – r2 = 8
17 – r2 = 8
– r2 = 8 – 17
– r2 = – 9
r = 3

Portanto, a circunferência de equação igual a x2 + y2 – 2x + 8y + 8 = 0 terá centro igual a C(1,– 4) e raio igual a r = 3.


Redução

Consiste em transformar a equação normal em reduzida e assim identificar o centro e o raio.

Pegando como exemplo a equação x2 + y2 – 2x + 8y + 8 = 0, iremos transformá-la em uma equação reduzida seguindo os passos abaixo:

1º passo

É preciso agrupar os termos em x e os termos em y, e isolar o termo independente.
(x2 – 2x) + (y2 + 8y) = – 8

2º passo

Somar aos dois membros da igualdade um termo que torne o agrupamento em x um quadrado perfeito.

(x2 – 2x +1) + (y2 + 8y) = – 8 +1

3º passo

Somar aos dois membros da igualdade um termo que torne o agrupamento em y um quadrado perfeito.

(x2 – 2x +1) + (y2 + 8y + 16) = – 8 +1 + 16

(x2 – 2x +1) + (y2 + 8y + 16) = 9

(x – 1)2 + (y + 4)2 = 9

Comparando com a equação reduzida.

(x – 1)2 + (y + 4)2 = 9

(x + a)2 + (y + b)2 = r2

Portanto, o centro dessa equação da circunferência será C (1, –4) e R = 3.
fonte www.mundoeducacao.com.br

Função do 2º grau

4. VÉRTICE DE UMA PARÁBOLA

É o ponto de maior ou menor valor que a função y = ax2 + bx + c pode atingir e coincide com a intersecção do eixo de simetria com o gráfico:


Observação: eixo de simetria (R) é uma reta que divide a parábola em duas partes simétricas.

Aplicação

Calcular o vértice da parábola y = x2 – 5x + 6.




5. VALOR MÍNIMO OU MÁXIMO

A ordenada do vértice pode ser o valor mínimo ou máximo da função quadrática, dependendo de sua concavidade. Com isso temos:



Aplicação

Determinar a imagem da função

y = x2 – 2x – 3.

Solução:
Se a > 0, então o valor é máximo e é dado por:



6. ESTUDO DO SINAL

O estudo do sinal da função do 2.º grau é feito determinando-se os seus zeros (caso existam) e analisando o esboço do gráfico.

Aplicação

Lembre-se de que o valor de está relacionado com as raízes e o valor de a determina a concavidade da parábola que a representa.



Exemplo: Estude a variação de sinal da função 3x2 - 4x + 1.

a) Zeros da função: 1/3 e 1.

b) A parábola corta o eixo x nos pontos de abscissas 1/3 e 1. Como a = 3 > 0, sua concavidade está voltada para cima.



Examinando a figura, temos:

I. y > 0, para x > 1/3 ou x > 1;

II. y = 0, para x = 1/3 ou x = 1;

III. y < 0, para 1/3 < x < 1. 7. INEQUAÇÕES DO 2.º GRAU A partir do estudo dos sinais da função do 2.º grau, podemos resolver inequações de mesmo grau ou inequações que apresentem produtos ou quocientes de trinômios de 2.º grau. Tais inequações podem também apresentar binômios de 1.º grau, já estudados no tablóide anterior. Aplicação Resolver a inequação (-x2 + 3x +4).(x – 2) < 0 Essa é uma inequação produto em que um dos fatores é um trinômio de 2.º grau e o outro é um binômio de 1.º grau.

http://ensinodematemtica.blogspot.com
Professor Antonio carlos Carneiro Barroso
extraido de www.colegioweb.com.br

Produtos notaveis


Os produtos notáveis obedecem a leis especiais de formação e, por isso, não são efetuados pelas regras normais da multiplicação de polinômios. Apresentam-se em grande número e dão origem a um conjunto de identidades de grande aplicação.
Considere a e b, expressões em R, representando polinômios quaisquer, apresentamos a seguir os produtos notáveis.
A. Quadrado da Soma de Dois Termos
B. Quadrado da Diferença de Dois Termos
C. Produto da Soma pela Diferença de Dois Termos
D. Cubo da Soma de Dois Termos
E. Cubo da Diferença de Dois Termos