Equação do Segundo Grau

Denomina-se equação do 2° grau, qualquer sentença matemática que possa ser reduzida à forma ax² + bx + c = 0, onde x é a incógnita e a, b e c são números reais, com a ≠ 0. a, b e c são coeficientes da equação. Observe que o maior índice da incógnita na equação é igual a dois e é isto que a define como sendo uma equação do segundo grau.

Equação do 2° grau completa e equação do 2° grau incompleta

Da definição acima temos obrigatoriamente que a ≠ 0, no entanto podemos ter b = 0 e/ou c = 0.
Caso b ≠ 0 e c ≠ 0, temos uma equação do 2° grau completa. A sentença matemática -2x² + 3x - 5 = 0 é um exemplo de equação do 2° grau completa, pois temos b = 3 e c = -5, que são diferentes de zero.
-x² + 7 = 0 é um exemplo de equação do 2° grau incompleta, pois b = 0.
Neste outro exemplo, 3x² - 4x = 0 a equação é incompleta, pois c = 0.
Veja este último exemplo de equação do 2° grau incompleta, 8x² = 0, onde tanto b, quanto c são iguais a zero.

Resolução de equações do 2° grau

A resolução de uma equação do segundo grau consiste em obtermos os possíveis valores reais para a incógnita, que torne a sentença matemática uma equação verdadeira. Tais valores são a raiz da equação.

Fórmula Geral de Resolução

Para a resolução de uma equação do segundo grau completa ou incompleta, podemos recorrer à fórmula geral de resolução:

Esta fórmula também é conhecida como fórmula de Bhaskara.
O valor b² -4ac é conhecido como discriminante da equação e é representado pela letra grega Δ. Temos então que Δ = b² -4ac, o que nos permitir escrever a fórmula geral de resolução como:

Resolução de equações do 2° grau incompletas

Para a resolução de equações incompletas podemos recorrer a certos artifícios. Vejamos:

Para o caso de apenas b = 0 temos:

Portanto para equações do tipo ax² + c = 0, onde b = 0, podemos utilizar a fórmula simplificada para calcularmos as suas raízes. Observe no entanto que a equação só possuirá raízes no conjunto dos números reais se .

Para o caso de apenas c = 0 temos:

Portanto para equações do tipo ax² + bx = 0, onde c = 0, uma das raízes sempre será igual a zero e a outra será dada pela fórmula .

Para o caso de b = 0 e c = 0 temos:

Podemos notar que ao contrário dos dois casos anteriores, neste caso temos apenas uma única raiz real, que será sempre igual a zero.

Discriminante da equação do 2° grau

O cálculo do valor do discriminante é muito importante, pois através deste valor podemos determinar o número de raízes de uma equação do segundo grau.
Como visto acima, o discriminante é representado pela letra grega Δ e equivale à expressão b² - 4ac, isto é: Δ = b² - 4ac.

Discriminante menor que zero

Caso Δ <>, a equação não tem raízes reais, pois :

Discriminante igual a zero

Caso Δ = 0, a equação tem duas raízes reais e iguais, pois :

Discriminante maior que zero

Caso Δ > 0, a equação tem duas raízes reais e diferentes, pois :

Conjunto Verdade de equações do 2° grau

A partir do estudado acima, podemos esquematizar o conjunto verdade das equações do segundo grau completas e incompletas como a seguir:

Para o caso das equações completas temos:

Para o caso das equações incompletas onde somente b = 0 temos:

Para o caso das equações incompletas onde somente c = 0 temos:

E no caso das equações incompletas onde tanto b = 0, quanto c = 0 temos:

Exemplo de resolução de uma equação do segundo grau

Encontre as raízes da equação: 2x² - 6x - 56 = 0

Aplicando a fórmula geral de resolução à equação temos:



Observe que temos duas raízes reais distintas, o que já era de se esperar, pois apuramos para Δ o valor 484, que é maior que zero.

Logo:

As raízes da equação 2x² - 6x - 56 = 0 são: -4 e 7.

Anelídeos

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

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Representantes dos anelídeos portadores de cerdas.
Filo do Reino Animal constituído por animais invertebrados triblásticos, celomados, de corpo cilíndrico, possuindo simetria bilateral e metamerização interna e externa do corpo, formado por vários anéis. Seus representantes, com ampla distribuição, habitam ambientes aquáticos ou terrestres.

As principais características anatômicas internas desses organismos são:

- Sistema Digestório: constituído por boca, faringe, papo, moela, intestino e ânus;
- Sistema Circulatório: fechado e com vasos contráteis (corações), que atuam impulsionando o sangue;
- Sistema Excretor: formado por metanefrídeos;
- Sistema Respiratório: realizado por difusão entre as camadas da epiderme (cutânea), ou branquiais, através de codificações do aparelho locomotor de algumas espécies;
- Sistema Nervoso: ganglionar, composto de diversos gânglios ligados entre si por cordões nervosos ventrais.
- Sistema Reprodutor: nos organismos dióicos, ocorre por processos sexuados; e nos monóicos, por fecundação cruzada.

A classificação do Filo Annelida (seres segmentados)

Classe Oligochaeta (oligo = pouco; chaeta = cerdas) → são anelídeos com poucas cerdas no corpo, possuindo uma região epidérmica espaçada, o clitelo, sendo responsável pela síntese de um casulo que abrigará os ovos fecundados durante a reprodução.
Exemplo: as minhocas.

Classe Polychaeta (poly = várias; chaeta = cerdas) → são anelídeos portadores de inúmeras cerdas inseridas em projeções laterais ao corpo, formando estruturas denominadas parapódios que auxiliam na locomoção. Esses animais são desprovidos de clitelo. A maioria das espécies deste grupo se reproduz sexuadamente, possuindo fertilização externa que resulta na formação de larvas livre nadantes.
Exemplo: Nereis (organismo marinho).

Classe Hirudínea → anelídeos sem cerdas e com ventosas bucais e na região posterior do corpo. São hermafroditas, com fecundação cruzada e desenvolvimento direto.
Exemplo: sanguessuga.
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Sistema Nervoso

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

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Sistema Nervoso

Na nossa relação com o mundo, o tempo inteiro somos estimulados e respondemos aos elementos do ambiente. A cada estímulo externo (como o cheiro de um alimento ou o som de uma buzina) e mesmo interno (como dor ou sensação de fome), o organismo reage, ou seja, de certo modo “responde a essas perguntas:

De onde vem o estímulo?

Como meu corpo reage a esse estímulo?

Isto me fará bem ou mal?

Já tive essa sensação antes?

Esse processo ocorre no sistema nervoso central de maneira tão instantânea que a nossa consciência não tem como identificar todas as suas etapas, nem os milhares de estímulos que o corpo recebe a todo instante.

Para compreender melhor como percebemos os estímulos externos e como respondemos a eles, é fundamental reconhecer o sistema que forma a rede de comunicação do corpo.



Por que precisamos de um sistema nervoso?

Seu cérebro é o órgão mais importante de seu corpo. Ele controla tudo o que você faz, seus movimentos, seus pensamentos e sua memória. Muitas vezes ele não age diretamente, mas pode controlar pequenas quantidades de substâncias químicas do sangue, que, por sua vez, têm um forte efeito sobre outra parte do corpo.



Embora pareça muito simples, o cérebro é imensamente complicado. E uma massa de tecido esbranquiçado, bastante mole ao tato, que ocupa cerca de metade do volume da cabeça. Fica posicionado no alto da cabeça, acima dos olhos e dos ouvidos, estendendo para trás e para a parte inferior da cabeça.

Quase tão importante quanto o cérebro é o restante do sistema nervoso. A medula espinhal estende-se do cérebro para baixo, ao longo da coluna, O cérebro e a medula espinhal formam o sistema nervoso central.

Ao longo do comprimento da medula espinhal saem nervos semelhantes a fios que se dividem e se ligam com quase todas as partes do corpo. Os nervos transportam mensagens dos órgãos dos sentidos para o cérebro, e também instruções do cérebro para outras partes do corpo. O cérebro funciona como uma rede telefônica complicada, mas muito compacta, com um complexo fluxo de mensagens que chegam, são selecionadas e depois dirigidas a seu destino apropriado.





As membranas protetoras do cérebro

Por ser um órgão tão importante, o cérebro precisa de boa proteção contra acidentes. Ficando em pé, o ser humano mantém o cérebro e a cabeça afastados de choques e batidas. Mesmo assim, é necessária uma proteção muito confiável. Por isso o cérebro fica alojado no crânio, uma dura caixa óssea.

Embora de paredes finas, o crânio é muito resistente devido a sua forma arredondada. Uma das formas mais fortes que se conhece é uma bola rígida. Um ovo, por exemplo, é extremamente resistente, considerando-se como é fina sua casca. Assim, o mole e delicado cérebro é protegido contra danos externos diretos pelo resistente crânio. Entretanto, mesmo sendo o crânio rígido e forte, um abalo violento poderia balançar o cérebro e causar-lhe danos. É preciso, então, maior proteção, que é dada por três membranas, denominadas meninges, que recobrem completamente o cérebro. A membrana mais externa é chamada de dura-máter, que fornece uma boa proteção e apoio devidos a sua constituição forte e coriácea.

Junto ao cérebro há uma outra membrana, denominada pia-máter, muito mais fina, que acompanha cada depressão e cada elevação da superfície do cérebro. Entre essas duas membranas há uma terceira, de constituição esponjosa, a aracnóide. Os espaços desta membrana são preenchidos por um liquido no qual flutua todo o cérebro, fornecendo a camada protetora final. Há ainda grandes espaços dentro do cérebro, que também são preenchidos com o mesmo liquido da aracnóide, de modo que o delicado tecido do cérebro não se deforma quando movemos nossa cabeça.


A medula espinhal

A medula espinhal é uma extensão do cérebro, estendendo-se da base do crânio até logo abaixo das costelas. E uma haste de tecido cerebral, com um pequeno canal passando através de todo seu comprimento. Toda a medula é coberta por membranas, tal como o cérebro, e é também banhada por dentro e por fora com o mesmo líquido protetor do cérebro.

Como o cérebro, a medula espinhal precisa de proteção. Enquanto o cérebro está seguramente encerrado em um crânio rígido, a medula espinhal está cercada por um conjunto de ossos chamados vértebras. Estes formam a coluna vertebral, que é capaz de flexionar-se quando nos dobramos ou movemos. Ao mesmo tempo, a coluna vertebral tem que ser forte o suficiente para suportar o peso do corpo e dar proteção segura à coluna espinhal. Poderia parecer que flexibilidade, força e proteção de seu frágil conteúdo não poderiam ser obtidos pela coluna vertebral, mas sua construção engenhosa toma tudo isso possível.



A coluna vertebral é constituída por mais de duas dúzias de vértebras em forma de anel. A medula espinhal passa através do buraco existente no centro de cada uma das vértebras, e é completamente protegida pelos arcos ósseos. As protuberâncias ósseas das vértebras articulam-se de maneira que cada vértebra pode mover-se apenas um pouco, para não apertar ou machucar a medula espinhal. Entre cada par de vértebras há pequenas aberturas através das quais os nervos podem passar, ramificando-se a partir da própria medula espinhal. A complicada estrutura da coluna é mantida unida por flexíveis cordões de ligamento e por músculos poderosos.



A estrutura do encéfalo

O encéfalo se parece com uma noz grande, de cor rosa clara. Sua superfície é profundamente enrugada e cheia de dobras, e sua parte superior está quase dividida em duas partes por um sulco muito profundo. Essa superfície enrugada ocupa a maior parte do encéfalo e é chamada de cérebro. Na maioria dos animais o cérebro é bem pequeno, mas no homem ele cresceu tanto que cobre todo o resto do encéfalo.

O cérebro, junto com outras partes do encéfalo, cresce do tronco cerebral, que é uma expansão no topo da medula espinhal. Um pouco mais abaixo do tronco cerebral está o cerebelo, com apenas 1/8 do tamanho do cérebro, mas bastante semelhante em sua aparência exterior. E até mesmo mais enrugado, e está colocado diretamente na parte de trás da cabeça. O tálamo e o hipotálamo, outras partes menores do encéfalo, também crescem do tronco cerebral, sendo completamente cobertos pela massa do cérebro. Uma série de grandes espaços, ou ventrículos, atravessam toda a estrutura do cérebro, e são preenchidos com líquido.


O tronco cerebral

O tronco cerebral, onde se localiza o bulbo, é algumas vezes chamado de a parte mais velha do cérebro, porque é a principal parte do cérebro na maioria dos animais primitivos. Controla a maior parte das funções importantes do corpo, e é o sistema de sustentação da vida. Se o tronco cerebral não for prejudicado, é realmente possível o corpo permanecer vivo por algum tempo, mesmo depois que o resto do cérebro tenha sido destruído.

O tronco cerebral atua junto com a medula espinhal para controlar as funções vitais, como o batimento regular do coração, a pressão sanguínea e a respiração. Mas a função mais importante do tronco cerebral é controlar a consciência, desligando as atividades do cérebro quando dormimos e ligando quando acordamos. Mesmo quando dormimos o tronco cerebral controla e confere nossas atividades vitais, mantendo o corpo funcionando.



O tronco cerebral trabalha como um computador, continuamente conferindo e controlando as informações que entram no cérebro através do sistema nervoso; em seguida ele age em cima dessa informação liberando as mensagens para que o sistema nervoso controle o corpo inteiro. Não tomamos consciência de todas essas atividades; podemos apenas notar seus efeitos. O tronco cerebral controla funções, como a respiração, automaticamente.



Cerebelo

Se localiza abaixo do cérebro. Coordena, com o cérebro, os movimentos do corpo. É responsável pelo equilíbrio do corpo, pois está ligado a alguns canais da orelha interna. Além disso, mantém o tônus muscular, isto é, regula o grau de contração muscular dos músculos em repouso.



Como as mensagens passam pelos neurônios

Um sinal carregado por um neurônio pode parecer com uma corrente elétrica sendo carregada através de um fio, mas na realidade é bem diferente. Uma minúscula carga elétrica é produzida, mas o movimento do sinal ao longo de um axônio é mais semelhante à queima de um estopim de pólvora. O sinal move-se com uma velocidade entre 1,5 metros e 90 metros por segundo.

O axônio é um tubo fino cheio de substâncias químicas dissolvidas em água. Muitos têm a parte exterior coberta com uma camada de material gorduroso, como um isolamento elétrico. A passagem de um sinal ao longo do axônio envolve o movimento de íons, ou minúsculas partículas eletricamente carregadas de dois elementos metálicos: sódio e potássio. Normalmente há mais potássio do lado de dentro de um axônio e mais sódio do lado de fora. Quando passa um sinal, a membrana que cobre o axônio se altera, permitindo aos íons escoarem através dela, causando uma mudança súbita nas propriedades elétricas nesse ponto. Essas mudanças oscilam ao longo do axônio como uma onda.



Quando o sinal alcança a sinapse, ele deve cruzar um pequeno intervalo para alcançar o próximo neurônio. Minúsculas bolhas nas ramificações da extremidade dos axônios contêm substâncias químicas, chamadas transmissores. Estas são liberadas quando atingidas pelos sinais e então atravessam o intervalo da sinapse. Quando contatam os dendritos da célula seguinte, dão início ao movimento do sódio e do potássio, transmitindo o sinal.

Agora o primeiro neurônio volta ao estado de descanso normal, esperando por outro sinal. Os transmissores químicos que carregam um sinal através do intervalo da sinapse podem ser de dois tipos diferentes. Alguns são chamados de substâncias químicas excitadoras. Estas são as substâncias que passam a mensagem para o próximo neurônio, que em seguida, começa as mudanças elétricas que darão origem a sinais a serem produzidos e passados ao longo do axônio. Os outros transmissores são chamados de substâncias químicas inibidoras. Sua função é evitar que um sinal seja produzido em outro neurônio.



Milhares de neurônios estão em contato com os outros através de sinapse, e muitos estarão produzindo sinais excitadores ou inibidores, O neurônio não produzirá nenhum sinal a menos que receba mais mensagens excitadoras ("liga") do que inibidoras ("desliga").Um sinal de um ou dois neurônios não é suficiente para acionar um outro - ele deve receber vários sinais de uma vez. Isto significa que quaisquer sinais ocasionais de milhares de neurônios ao redor não causarão uma mensagem falsa a ser passada. E quase como o princípio da votação, onde o neurônio precisa dos "votos" de uma série de outros neurônios antes de ser capaz de emitir um sinal.

Rotas através do sistema nervoso



A atividade elétrica dos neurônios não tem lugar apenas no cérebro. Os nervos espalham-se pelo corpo todo desde o alto da cabeça até a ponta dos dedos dos pés. São feixes de axônios, ou fibras nervosas, dividindo-se e tomando-se mais finos quanto mais afastados estão do cérebro ou da medula espinhal. Os corpos das células dos neurônios estão agrupados na massa cinzenta, na superfície do cérebro, na massa cinzenta similar, na parte interna da medula espinhal, e em pequenos nódulos chamados gânglios, perto da coluna vertebral.

As mensagens dos órgãos dos sentidos, situados nos olhos, nariz, ouvidos e boca, dos órgãos do tato, espalhados por toda a superfície do corpo, e até mesmo em alguns órgãos internos, chegam ao cérebro através do sistema nervoso. Os neurônios que carregam essas mensagens para o cérebro são chamados neurônios sensoriais. Outros sinais passam do cérebro e da medula espinhal de volta para todo o corpo, sendo carregados pelos chamados neurônios motores.



Os sinais passam ao longo de todo o sistema muito rapidamente, mas não tão depressa quanto em um circuito elétrico normal. Leva um certo tempo para os sinais serem carregados através da sinapse pelas substâncias químicas transmissoras. Por esta razão os axônios dos nervos são imensamente compridos de maneira que a mensagem possa ser levada tão rápido quanto possível, sem ser retardada por sinapses desnecessárias.



A rede neurônica

É difícil perceber como podem ser complicadas as conexões das células nervosas. Os terminais das ramificações de um axônio não apenas tocam a célula mais próxima mas podem também estar em contato com outras 50.000 células ou mais. Sabemos que as mensagens passam de um neurônio para o seguinte na rede de células e que sinais repetidos geralmente passam pelo mesmo caminho. Se queremos dizer a palavra "cérebro", as instruções para a fala vêm do cérebro e passam ao longo de uma série de caminhos especiais. Se queremos dizer "cérebro" em voz mais baixa ou mais alta os músculos da caixa da voz (laringe) devem ser instruídos para se moverem de maneiras diferentes; então, as mensagens devem passar por caminhos diferentes.

O cérebro pode selecionar diferentes conjuntos de caminhos para obter resultados semelhantes. Por causa dessa habilidade, as pessoas podem, muitas vezes, sobrepujar danos cerebrais, aprendendo a usar partes diferentes do cérebro para duplicar as funções das partes prejudicadas. Isso é importante para nós, porque, ao contrário de outras células do corpo, as células do cérebro não podem crescer ou regenerar-se depois do nosso nascimento. Células cerebrais estão morrendo a cada minuto, mas temos as remanescentes tomando o seu lugar e geralmente não notamos qualquer efeito prejudicial.



Os reflexos

O controle cerebral é essencial para muitas de nossas funções, mas em algumas situações é necessário que o corpo reaja muito rapidamente, na verdade, sem esperar instruções. Essas reações de emergência são chamadas reflexos. Afastar o dedo de uma picada de alfinete é uma reação muito comum para evitar ferimentos. Isso acontece rapidamente, antes mesmo que possamos perceber o que houve. É um reflexo.


Mini órgãos sensoriais da pele chamados receptores, registram a picada do alfinete e imediatamente passam os sinais para os nervos que correm pelo braço em direção à medula espinhal. Os sinais são então transmitidos para outras fibras nervosas (neurônios) que os carregam para a massa cinzenta dentro da medula espinhal. Na medula, os sinais saem em duas direções. Alguns contatam fibras nervosas que os conduzem diretamente de volta aos músculos do braço. Eles fazem os músculos do braço reagirem violentamente, afastando a mão para longe da picada do alfinete. Enquanto isso, os outros sinais originais ainda estão sendo levados ao cérebro, através da medula espinhal.

Uma fração de segundo mais tarde percebemos que fomos picados. E dói. O cérebro instrui agora a cabeça e os olhos para se moverem e observarem o ferimento. Algumas vezes temos que levar uma picada quando recebemos uma vacina, por exemplo. Contudo, sabemos disso com antecedência, e, embora a picada da agulha acione um reflexo, o cérebro manda uma mensagem inibidora pela medula espinhal. Então o reflexo é contido antes de ser completado e o braço, portanto, não se afasta da picada.
O sistema nervoso periférico

O Sistema Nervoso Periférico é constituído pelos nervos e gânglios nervosos e sua função é conectar o sistema nervoso central às diversas partes do corpo humano.



Nervos e gânglios nervosos

Nervos são feixes de fibras nervosas envoltas por uma capa de tecido conjuntivo. Nos nervos há vasos sanguíneos, responsáveis pela nutrição das fibras nervosas. As fibras presentes nos nervos podem ser tanto dendritos como axônios que conduzem, respectivamente, impulsos nervosos das diversas regiões do corpo ao sistema nervoso central e vice-versa. Gânglios nervosos são aglomerados de corpos celulares de neurônios localizados fora do sistema nervoso central. Os gânglios aparecem como pequenas dilatações em certos nervos.



Nervos sensitivos, motores e mistos

Nervos sensitivos são os que contêm somente fibras sensitivas, que conduzem impulsos dos órgãos sensitivos para o sistema nervoso central. Nervos motores são os que contêm somente fibras motoras, que conduzem impulsos do sistema nervoso central até os órgãos efetuadores (músculos ou glândulas). Nervos mistos contêm tanto fibras sensitivas quanto motoras.



O sistema nervoso autônomo

Algumas das atividades do sistema nervoso, como o pensamento e o controle dos movimentos, são muito óbvias para nós. Mas o sistema nervoso também está trabalhando, sem que o percebamos, no controle dos órgãos internos.

Esta é a responsabilidade de uma parte especial do sistema nervoso chamada sistema nervoso autônomo, que regula a circulação sanguínea, a digestão, a respiração, os órgãos reprodutores e a eliminação dos resíduos do organismo. Também controla glândulas importantes que têm efeitos poderosos sobre o corpo. O sistema nervoso autônomo trabalha independentemente da maior parte do cérebro e suas células estão agrupadas em gânglios próximos da coluna vertebral. Ele opera inteiramente por reflexos e, embora o tronco cerebral também esteja envolvido em suas atividades, não temos consciência disso.



Esse sistema está dividido em duas partes, o sistema nervoso simpático e parassimpático, que trabalham um em oposição ao outro. Um dos sistemas estimulam um órgão, uma glândula, por exemplo, fazendo-a trabalhar bastante, o outro sistema faz cessar esse trabalho. Primeiro um começa; depois o outro, e o resultado é que o órgão é mantido trabalhando no nível correto.

O trabalho do sistema nervoso simpático pode ser observado quando estamos bravos ou assustados; sua ação faz o coração bater mais rápido e a respiração tornar-se mais profunda. As pupilas dos olhos dilatam-se e nos tornamos pálidos à medida que o sangue é drenado da pele para alimentar os músculos de que podemos precisar para uma reação qualquer. Isso tudo acontece porque o sistema simpático foi, acionado, fazendo o corpo ficar pronto para uma emergência.



As funções do córtex

Os músculos dos nossos órgãos internos trabalham automaticamente, mas a maioria dos nossos músculos trabalham apenas quando queremos movê-los. Estes são os músculos voluntários. Os movimentos voluntários, como caminhar, mover os braços ou usar os dedos, são diretamente controlados pelo cérebro. Uma estreita faixa de córtex que atravessa o topo de nosso cérebro, chamado de córtex motor, está em ligação direta com os nossos movimentos. O córtex motor recolhe informações de outras partes do cérebro, incluindo os sinais dos órgãos dos sentidos. Quando a decisão de mover um músculo ou uma série de músculos é tomada, o córtex transmite suas instruções para a parte apropriada do corpo.

Partes diferentes do córtex motor têm funções especiais, cada uma controlando os movimentos de certas partes do corpo. Partes importantes e complexas, tais como mãos e lábios, requerem um controle muito cuidadoso e os muitos neurônios necessários para esse trabalho ocupam grandes áreas do córtex. Partes menos complicadas precisam de menos controle e, portanto, há áreas menores de córtex destinadas a elas. Da mesma maneira que o movimento é controlado pelo córtex motor, partes especiais do córtex sensorial são responsáveis pelo tato. Outras partes cuidam da visão, da audição e de todos os outros sentidos.



Onde ocorre o pensamento

O movimento e os sentidos ocupam apenas duas estreitas faixas transversais do córtex cerebral. O resto do córtex não tem funções tão facilmente reconhecíveis. Contém as áreas de associação, e é onde, provavelmente, ocorre o pensamento. Por "pensamento", queremos dizer o exame e a interpretação do enorme número de sinais que chegam ao cérebro, e a decisão de qualquer ação a ser efetuada - ou, às vezes, a decisão de não agir. Algumas funções, entre elas a fala, estão espalhadas pelo córtex em pequenas áreas. A fala é também controlada por várias áreas diferentes do cérebro, além de uma parte do córtex.

A maneira pela qual as áreas de associação trabalham ainda não é bem compreendida. Algumas vezes grandes partes do cérebro podem ser afetadas, por doença ou por acidente, sem provocar muitos problemas; por outro lado, danos em pequenas partes podem originar graves distúrbios. Na realidade, a maneira pela qual o cérebro funciona é muito mais complicada do que parece à primeira vista. Partes muito grandes do cérebro parecem não ter nenhuma finalidade aparente, mas, como os neurônios estão de tal maneira interligados, acredita-se que todas as partes do cérebro têm alguma função. Talvez parte dessa "reserva" cerebral comece a ser usada para substituir os neurônios que vão morrendo à medida que envelhecemos.
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Conjuntos

Conjunto é uma reunião de elementos, podemos dizer que essa definição é bem primitiva, mas a partir dessa ideia podemos relacionar outras situações. O conjunto universo e o conjunto vazio são tipos especiais de conjuntos.
Vazio: não possui elementos e pode ser representado por { } ou Ø.
Universo: possui todos os elementos de acordo com o que estamos trabalhando, pode ser representado pela letra maiúscula U.

Representando conjuntos

A representação de um conjunto depende de determinadas condições:

Exemplo 1
Condição: O conjunto dos números pares maiores que zero e menores que quinze.Representação através de seus elementos.
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}

Representação pela propriedade de seus elementos.
A = {x / x é par e 0 < x < 15}, o símbolo da barra (/) significa “tal que”.
x tal que x é par e x maior que zero e x menor que 15.
Exemplo 2
Condição: O conjunto dos números Naturais ímpares menores que vinte.Elementos
A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}

Propriedade dos elementos
A = {x Є N / x é impar e x < 20}
x pertence aos naturais tal que x é impar menor que 20.
Outra forma de representação de conjuntos de elementos é a utilização de diagramas. Observe os conjuntos A e B.
A = {x / 2 < x ≤ 12} e B = {x / 4 < x < 8}

União do conjunto A com o conjunto B. (A U B)

Os conjuntos servem para representar qualquer situação envolvendo ou não elementos. Na Matemática, uma importante aplicação dos conjuntos é na representação de conjuntos numéricos.

Conjunto dos números Naturais
Conjunto dos números Inteiros
Conjunto dos números Racionais
Conjunto dos números Irracionais
Conjunto dos números Reais
Conjunto dos números Complexos
Conjunto dos números Algébricos
Conjunto dos números Transcendentais
Conjunto dos números Imaginários
Os estudos básicos sobre conjuntos deram origem aos estudos relacionados às Teorias dos Conjuntos, que faz uma análise sobre as suas propriedades. Esses estudos se originaram nos trabalhos do matemático russo Georg Cantor. Na teoria dos conjuntos, os elementos podem ser: pessoas, números, outros conjuntos, dados estatísticos e etc.

Marcos Noé

Equação do Segundo Grau

EQUAÇÃO DO 2° GRAU

A fórmula quadrática de Sridhara (Bhaskara)

Mostraremos na sequência como o matemático Sridhara, obteve a Fórmula (conhecida como sendo) de Bhaskara, que é a fórmula geral para a resolução de equações do segundo grau. Um fato curioso é que a Fórmula de Bhaskara não foi descoberta por ele mas pelo matemático hindu Sridhara, pelo menos um século antes da publicação de Bhaskara, fato reconhecido pelo próprio Bhaskara, embora o material construído pelo pioneiro não tenha chegado até nós.
O fundamento usado para obter esta fórmula foi buscar uma forma de reduzir a equação do segundo grau a uma do primeiro grau, através da extração de raízes quadradas de ambos os membros da mesma.

Seja a equação:

ax² + bx + c = 0

onde os números reais a, b e c são os coeficientes da equação, sendo que a deve ser diferente de zero. Essa equação é também chamada de equação quadrática, pois o termo de maior grau está elevado ao quadrado

Equação Completa do segundo grau

Uma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero.

Exemplos:

1) 2 x² + 7x + 5 = 0
2) 3 x² + x + 2 = 0

o coeficiente a é diferente de zero.
Exemplos:
1) 4 x² + 6x = 0
2) 3 x² + 9 = 0
3) 2 x² = 0

Resolução de equações completas do 2° grau

Como vimos, uma equação do tipo: ax²+bx+c=0, é uma equação completa do segundo grau e para resolvê-la basta usar a fórmula quadrática (atribuída a Bhaskara), que pode ser escrita na forma:
onde Δ=b²-4ac é o discriminante da equação.Para esse discriminante Δ, há três possíveis situações:

1) Δ <> 0, há duas soluções reais e diferentes

Mostraremos agora como usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação:

x² - 5 x + 6 = 0

1) Identificar os coeficientes: a=1, b= -5, c=6
2) Escrever o discriminante Δ = b²-4ac.
3) Calcular Δ=(-5)²-4×1×6=25-24=1
4) Escrever a fórmula de Bhaskara:













EXERCÍCIOS

1. Calcular o discriminante de cada equação e analisar as raízes em cada caso:

a) x² + 9 x + 8 = 0 (R:-1 e -8)
b) 9 x² - 24 x + 16 = 0 (R:4/3)
c) x² - 2 x + 4 = 0 (vazio)
d) 3 x² - 15 x + 12 = 0 (R: 1 e 4)
e) 10 x² + 72 x - 64 = 0 (R:-8 e 4/5)
e) 5x² - 3x - 2 = 0
f) x² - 10x + 25 = 0
g) x² - x - 20 = 0
h) x² - 3x -4 = 0
i) x² - 8x + 7 = 0



RESOLVA AS EQUAÇÕES DE 2º GRAU


1) x² - 5x + 6 = 0 _____(R:2,3)
2) x² - 8x + 12 = 0 ______(R:2,6)
3) x² + 2x - 8 = 0______ (R:2,-4)
4) x² - 5x + 8 = 0 ______(R:vazio)
5) 2x² - 8x + 8 = 0_______ (R:2,)
6) x² - 4x - 5 = 0_______ (R:-1, 5)
7) -x² + x + 12 = 0_______ (R:-3, 4)
8) -x² + 6x - 5 = 0_______ (R:1,5)
9) 6x² + x - 1 = 0______ (R:1/3 , -1/2)
10) 3x² - 7x + 2 = 0 ______(R:2, 1/3)
11) 2x² - 7x = 15 _______(R:5, -3/2)
12) 4x² + 9 = 12x______ (R:3/2)
13) x² = x + 12 ______(R:-3 , 4)
14) 2x² = -12x - 18 _____(R:-3 )
15) x² + 9 = 4x_____ (R: vazio)
16) 25x² = 20x – 4 ____(R: 2/5)
17) 2x = 15 – x² ______(R: 3 , -5)
18) x² + 3x – 6 = -8____ (R:-1 , -2)
19) x² + x – 7 = 5 ____(R: -4 , 3)
20) 4x² - x + 1 = x + 3x² ___(R: 1)
21) 3x² + 5x = -x – 9 + 2x²____ (R: -3)
22) 4 + x ( x - 4) = x _____(R: 1,4)
23) x ( x + 3) – 40 = 0 _____(R: 5, -8)
24) x² + 5x + 6 = 0 _____(R:-2,-3)
25) x² - 7x + 12 = 0 _____(R:3,4)
26) x² + 5x + 4 = 0 _____(R:-1,-4)
27) 7x² + x + 2 = 0 _____(vazio)
28) x² - 18x + 45 = 0 _____(R:3,15)
29) -x² - x + 30 = 0 _____(R:-6,5)
30) x² - 6x + 9 = 0 _____(R:3)
31) ( x + 3)² = 1_______(R:-2,-4)
32) ( x - 5)² = 1_______(R:3,7)
33)( 2x - 4)² = 0_______(R:2)
34) ( x - 3)² = -2x²_______(R:vazio)

35)Na equação 3x² - 12 = 0 as soluções são:
a)0 e 1
b)-1 e 1
c)-2 e 2 (x)
d)-3 e 3
e)0 e 4

36) x² + 3x - 28 = 0 (R: -7,4)
37) 3x² - 4x + 2 = 0 (R: vazio)
38) x² - 3 = 4x + 2 (R: -1,5)




PROBLEMAS COM EQUAÇÃO DO 2° GRAU



1) A soma de um numero com o seu quadrado é 90. Calcule esse numero. (R:9 e-10)

2) A soma do quadrado de um número com o próprio número é 12. Calcule esse numero (R: 3 e -4)

3) O quadrado menos o dobro de um número é igual a -1. Calcule esse número. (R:1)

4) A diferença entre o quadrado e o dobro de um mesmo número é 80. Calcule esse número (R:10 e -8)

5) O quadrado de um número aumentado de 25 é igual a dez vezes esse número. Calcule esse número (R: 5)

6) A soma do quadrado de um número com o seu triplo é igual a 7 vezes esse número. Calcule esse número.(R: 0 e 4)

7) O quadrado menos o quádruplo de um numero é igual a 5. Calcule esse número (R: 5 e -1)

8) O quadrado de um número é igual ao produto desse número por 3, mais 18. Qual é esse numero? (R: 6 e -3)

9) O dobro do quadrado de um número é igual ao produto desse numero por 7 menos 3. Qual é esse numero? (R:3 e ½)

10) O quadrado de um número menos o triplo do seu sucessivo é igual a 15. Qual é esse numero?(R: 6 e -3)

11) Qual o número que somado com seu quadrado resulta em 56? (R:-8 e 7)

12) Um numero ao quadrado mais o dobro desse número é igual a 35. Qual é esse número ? (R:-7 e 5)

13) O quadrado de um número menos o seu triplo é igual a 40. Qual é esse número? (R:8 e -5)

14) Calcule um número inteiro tal que três vezes o quadrado desse número menos o dobro desse número seja igual a 40. (R:4)

15) Calcule um número inteiro e positivo tal que seu quadrado menos o dobro desse número seja igual a 48. (R:8)

16) O triplo de um número menos o quadrado desse número é igual a 2. Qual é esse número? (R:1 e 2)

17) Qual é o número , cujo quadrado mais seu triplo é igual a 40? ( R: 5 , -8)

18) O quadrado de um número diminuido de 15 é igual ao seu dobro. Calcule esse número.
(R: 5 e -3)

19) Determine um número tal que seu quadrado diminuído do seu triplo é igual a 26. (R:7 e -4)

20) Se do quadrado de um número, negativo subtraimos 7, o resto será 42. Qual é esse número?
(R: -7)

21) A diferença entre o dobro do quadrado de um número positivo e o triplo desse número é 77. Calcule o número. (R: 7)

22) Determine dois números ímpares consecutivos cujo produto seja 143. (R: 11 e 13 ou -11, -13)

23) Um azulejista usou 2000 azulejos quadrados e iguais para revestir 45m² de parede. Qual é a medida do lado de cada azulejo? (R:15 cm)



RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO INCOMPLETAS



Resolver uma equação é determinar todas as suas soluções. Vejamos, através de exemplos, como se resolvem as equações incompletas do 2° grau

1° CASO – equações da forma ax² + c = 0, (b = 0)

Exemplos:

1) x² - 25 = 0
x² = 25
x = √25
x = 5
logo V= (+5 e -5)

2) 2x² - 18 = 0
2x² = 18
x² = 18/2
x² = 9
x = √9
x = 3
logo V= (-3 e +3)

3) 7x² - 14 = 0
7x² = 14
x² = 14/7
x² = 2
x = √2
logo V = (-√2 e +√2)

4) x²+ 25 = 0
x² = -25
x = √-25
obs: não existe nenhum número real que elevado ao quadrado seja igual a -25

EXERCÍCIOS

1) Resolva as seguintes equações do 2° grau

a) x² - 49 = 0 (R: -7 e +7)
b) x² = 1 (R: +1 e -1)
c) 2x² - 50 = 0 (R: 5 e -5)
d) 7x² - 7 = 0 (R: 1 e -1)
e) 5x² - 15 = 0 (R: √3 e -√3)
f) 21 = 7x² (R: √3 e -√3)
g) 5x² + 20 = 0 (R: vazio)
h) 7x² + 2 = 30 (R: 2 e -2 )
i) 2x² - 90 = 8 (R: 7 e -7)
j) 4x² - 27 = x² (R:3 e -3)
k) 8x² = 60 – 7x² (R: 2 e -2)
l) 3(x² - 1 ) = 24 (R: 3 e -3)
m) 2(x² - 1) = x² + 7 (R:3 e -3)
n) 5(x² - 1) = 4(x² + 1) (R:3 e -3)
o) (x – 3)(x + 4) + 8 = x (R:2 e -2)

2° CASO: Equações da forma ax² + bx = 0 ( c = 0)

Propriedade: Para que um produto seja nulo é preciso que um dos fatores seja zero .

Exemplos

1) resolver x² - 5x = 0
fatorando x ( x – 5) = 0

deixando um dos fatores nulo temos x = 0

e o outro x – 5 = 0 , passando o 5 para o outro lado do igual temos x = 5

logo V= (0 e 5)

2) resolver: 3x² - 10x = 0
fatorando: x (3x – 10) = 0

deixando um dos fatores nulo temos x = 0

Tendo também 3x – 10 = 0
3x = 10
x = 10/3

logo V= (0 e 10/3)

Observe que, nesse caso, uma das raízes é sempre zero.


EXERCÍCIOS

1) Resolva as seguintes equações do 2° grau.

a) x² - 7x = 0 (R: 0 e 7)
b) x² + 5x = 0 (R: 0 e -5)
c) 4x² - 9x = 0 (R: 0 e 9/4)
d) 3x² + 5x =0 (R: 0 e -5/3)
e) 4x² - 12x = 0 (R: 0 e 3)
f) 5x² + x = 0 (R: 0 e -1/5)
g) x² + x = 0 (R: 0 e -1)
h) 7x² - x = 0 (R: 0 e 1/7)
i) 2x² = 7x (R: 0 e 7/2)
j) 2x² = 8x (R: 0 e 4)
k) 7x² = -14x (R: 0 e -2)
l) -2x² + 10x = 0 (R: 0 e 5)

2) Resolva as seguintes equações do 2° grau

a) x² + x ( x – 6 ) = 0 (R: 0 e 3)
b) x(x + 3) = 5x (R: 0 e 2)
c) x(x – 3) -2 ( x-3) = 6 (R: 0 e 5)
d) ( x + 5)² = 25 (R: 0 e -10)
e) (x – 2)² = 4 – 9x (R: 0 e -5)
f) (x + 1) (x – 3) = -3 (R: 0 e 2)

Ponto médio de um seguimento de reta

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

email accbarroso@hotmail.com

 www.ensinodematemtica.blogspot.com.br

www.accbarrosogestar.blogspot.com.br 

     

Segmento de reta é limitado por dois pontos de uma reta. Por exemplo, considere a reta r e dois pontos A e B que pertencem a essa reta.



A distância dos pontos A e B é o segmento da reta r.

Por ser um “pedaço” de uma reta podemos medir o seu comprimento (distância entre dois pontos de uma reta), assim possuindo seu ponto médio (ponto que separa o segmento ao meio).



Se o ponto fosse A (2,1) e B (3,4), qual seria as coordenadas do ponto médio?

Utilizando o Teorema de Tales, podemos dizer que:

AM = A1M1
MB M1B1

Os segmentos AM e MB são iguais, pois M é o ponto médio de A e B, assim podemos escrever:

1 = A1M1
M1 B1

x _A = 2, então A1M1 = x_M – 2
x _B = 3, então M1B1 = 3 – x_M

Substituindo A1M1 = x_M – 2 e M1B1 = 3 – x_M em 1 = A1M1, teremos:
M1B1

1 = A1M1
M1B1

1 = x_M – 2
3 – x_M

x_M – 2 = 3 – x_M

2x_M = 3 + 2

x_M = 3+2
2

x_M = 5/2

Podemos concluir que a abscissa x_M é a media entre as abscissas x_A e x_B, portando y_M será a mediana de y_A e y_B.

y _M = 4 + 1 2

y _M = 5/2

Portanto, o ponto médio M terá coordenadas iguais a (5/2, 5/2).

Assim, a forma geral para o cálculo das coordenadas de um ponto médio será:

x_M = xA + xB
2

y_M = yA + yB
2

Abolição da escravatura

Renato Cancian

Fotos de escravos como esta eram vendidas como souvenir a viajantes estrangeiros no Rio de Janeiro

Em 13 de maio de 1888, a Princesa Isabel sancionou a Lei Áurea que aboliu oficialmente o trabalho escravo no Brasil. O fim da escravidão foi o resultado das transformações econômicas e sociais que começaram a ocorrer a partir da segunda metade do século 19 e que culminaram com a crise do Segundo Reinado e a conseqüente derrocada do regime monárquico.

A ruptura dos laços coloniais e a consolidação do regime monárquico no Brasil asseguraram a manutenção da economia agroexportadora baseada na existência de grandes propriedades rurais e no uso da mão-de-obra escrava do negro africano. A escravidão, e a sociedade escravista que dela resultou, foi marcada por um estado de permanente violência.

Mas desde os tempos coloniais, os escravos negros reagiram e lutaram contra a dominação dos brancos, através da recusa ao trabalho, de rebeliões, de fugas e formação de quilombos.

A Leis Eusébio de Queirós e do Ventre Livre

Ao longo do século 19, a legislação escravista no Brasil sofreu inúmeras mudanças como conseqüência das pressões internacionais e dos movimentos sociais abolicionistas. A primeira alteração na legislação ocorreu em 1850, quando foi decretada a Lei Eusébio de Queirós, que extinguiu definitivamente o tráfico negreiro no país. Foi uma solução encontrada pelo governo monárquico brasileiro diante das constantes pressões e ameaças da Inglaterra, nação que estava determinada a acabar com o tráfico negreiro.

Em 1871, foi decretada a Lei Visconde do Rio Branco. Conhecida também como a Lei do Ventre Livre, estabelecia que a partir de 1871 todos os filhos de escravos seriam considerados livres. Os proprietários de escravos ficariam encarregados de criá-los até os oito anos de idade, quando poderiam entregá-los ao governo e receber uma indenização. Com as leis de extinção do tráfico negreiro e de abolição gradual da escravidão, o trabalho cativo estava fadado a acabar.

O café e as transformações econômicas

As mudanças nas leis escravistas coincidiram com profundas transformações econômicas que o país atravessava. Enquanto a produção açucareira e os engenhos do nordeste entravam em franca decadência, a lavoura cafeeira dá novo impulso a economia agroexportadora.

O café, plantado nas regiões do Rio de Janeiro, vale do Paraíba e Oeste paulista, passa a ser o principal produto de exportação brasileiro.

Quando a produção do café se expande, os cafeicultores têm que lidar com o problema da escassez de mão-de-obra na lavoura. A compra de escravos, provenientes sobretudo das regiões econômicas decadentes do nordeste, não soluciona o problema.

Os prósperos fazendeiros paulistas tomaram as primeiras iniciativas visando a substituição do trabalho escravo pelo trabalho livre. A elite de cafeicultores paulistas adotou uma política oficial de incentivo a imigração européia e fizeram as primeiras experiências de introdução do trabalho assalariado nas lavouras através do chamado sistema de parcerias, em que os lucros da produção eram divididos entre os colonos e os proprietários.

A campanha abolicionista

Nas regiões onde a lavoura cafeeira se expandiu e prosperou, ocorreram importantes transformações econômicas e sociais. A urbanização e a industrialização foram estimuladas, de modo a provocar o surgimento de novos grupos sociais com interesses distintos daqueles grupos ligados a produção agrícola.

Progressivamente, esses novos grupos sociais começarão a se opor ao regime escravista. O movimento abolicionista surgiu em meados de 1870, a partir de ações individuais promovidas por ativistas da causa, que incentivavam as fugas e rebeliões de escravo.

Em 1879, um grupo de parlamentares lançou oficialmente a campanha pela abolição da escravatura. Foi uma resposta a crescente onda de agitações e manifestações sociais pelo fim da escravidão. No Parlamento formaram-se duas tendências: uma moderada, que defendia o fim da escravidão por meio de leis imperiais. Seus principais defensores foram Joaquim Nabuco, José do Patrocínio e Jerônimo Sodré.

A outra tendência era mais radical, porque defendia a idéia de que o fim da escravidão deveria ser conquistada pelos próprios escravos, através da insurreição e lutas de libertação. Seus principais defensores foram Raul Pompéia, André Rebouças, Luís Gama e Antonio Bento.

O movimento abolicionista intensificou-se, ganhando maior respaldo e adesão popular. Uma série de iniciativas de caráter popular em defesa da abolição foram surgindo. Nas cidades eram freqüentes a realização de manifestações e comícios em favor do fim da escravidão. A tática da recusa também foi muito empregada. Na imprensa, por exemplo, os tipógrafos passaram a não imprimir folhetos com textos que defendessem a escravidão.

Os jangadeiros, que realizavam o transporte de escravos da decadente zona açucareira do nordeste para as regiões sul, entraram inúmeras vezes em greve. Em 1887, o Exército nacional lança um documento declarando que não mais desempenharia a função de perseguir os escravos fugitivos. Todas essas ações levam progressivamente o trabalho escravo a se desagregar.

O governo monárquico procurou reagir a todas as pressões pela abolição da escravidão. Em 1885, promulgou a Lei dos Sexagenários, ou Lei Saraiva-Cotegipe, estabelecendo que depois de completar 65 anos os escravos estariam em liberdade. A lei recebeu fortes críticas e foi veementemente repudiada pelos abolicionistas, sob a argumentação de que eram poucos os escravos que chegariam a tal idade. Além disso, a lei beneficiava os proprietários de escravos porque os liberava de arcar com o sustento dos cativos que chegassem a idade avançada.

A Lei Áurea

No debate que se seguiu a promulgação da Lei dos Sexagenários, ficou cada vez mais evidente as divergências entres as elites agrárias do país. Os prósperos cafeicultores paulistas, que já haviam encontrado uma solução definitiva para a substituição da mão-de-obra escrava pelo trabalho assalariado, se afastaram dos decadentes cafeicultores do vale do Paraíba e da aristocracia rural nordestina (os senhores de engenho), que ainda resistiam na defesa da escravidão.

Como já não dependiam do trabalho escravo para continuar com o empreendimento agrícola, os cafeicultores paulistas se colocaram ao lado dos abolicionistas. Para essa próspera elite agrária, que representava o setor mais dinâmico da economia do país, o regime imperial e o governo monárquico também já não serviam aos seus interesses.

Em 13 de maio de 1888, o ministro João Alfredo, promoveu a votação de um projeto de lei que previa o fim definitivo da escravidão. Os parlamentares representantes dos interesses dos proprietários agrários do vale do Paraíba se opuseram votando contra. Mas foram derrotados pela ampla maioria de votos a favor. Estava aprovada a Lei Áurea. Na condição de regente do trono imperial, a princesa Isabel sancionou a nova lei. O Brasil, porém, carrega o fardo histórico de ter sido um dos últimos países do mundo a abolir a escravidão.

SISTEMA RESPIRATÓRIO

SISTEMA RESPIRATÓRIO

O sistema respiratório humano é constituído por um par de pulmões e por vários órgãos que conduzem o ar para dentro e para fora das cavidades pulmonares. Esses órgãos são as fossas nasais, a boca, a faringe, a laringe, a traquéia, os brônquios, os bronquíolos e os alvéolos, os três últimos localizados nos pulmões.



Fossas nasais: são duas cavidades paralelas que começam nas narinas e terminam na faringe. Elas são separadas uma da outra por uma parede cartilaginosa denominada septo nasal. Em seu interior há dobras chamada cornetos nasais, que forçam o ar a turbilhonar. Possuem um revestimento dotado de células produtoras de muco e células ciliadas, também presentes nas porções inferiores das vias aéreas, como traquéia, brônquios e porção inicial dos bronquíolos. No teto das fossas nasais existem células sensoriais, responsáveis pelo sentido do olfato. Têm as funções de filtrar, umedecer e aquecer o ar.

Faringe: é um canal comum aos sistemas digestório e respiratório e comunica-se com a boca e com as fossas nasais. O ar inspirado pelas narinas ou pela boca passa necessariamente pela faringe, antes de atingir a laring



Laringe: é um tubo sustentado por peças de cartilagem articuladas, situado na parte superior do pescoço, em continuação à faringe. O pomo-de-adão, saliência que aparece no pescoço, faz parte de uma das peças cartilaginosas da laringe.

A entrada da laringe chama-se glote. Acima dela existe uma espécie de “lingüeta” de cartilagem denominada epiglote, que funciona como válvula. Quando nos alimentamos, a laringe sobe e sua entrada é fechada pela epiglote. Isso impede que o alimento ingerido penetre nas vias respiratórias.

O epitélio que reveste a laringe apresenta pregas, as cordas vocais, capazes de produzir sons durante a passagem de ar.



Traquéia: é um tubo de aproximadamente 1,5 cm de diâmetro por 10-12 centímetros de comprimento, cujas paredes são reforçadas por anéis cartilaginosos. Bifurca-se na sua região inferior, originando os brônquios, que penetram nos pulmões. Seu epitélio de revestimento muco-ciliar adere partículas de poeira e bactérias presentes em suspensão no ar inalado, que são posteriormente varridas para fora (graças ao movimento dos cílios) e engolidas ou expelidas.



Pulmões: Os pulmões humanos são órgãos esponjosos, com aproximadamente 25 cm de comprimento, sendo envolvidos por uma membrana serosa denominada pleura. Nos pulmões os brônquios ramificam-se profusamente, dando origem a tubos cada vez mais finos, os bronquíolos. O conjunto altamente ramificado de bronquíolos é a árvore brônquica ou árvore respiratória.

Cada bronquíolo termina em pequenas bolsas formadas por células epiteliais achatadas (tecido epitelial pavimentoso) recobertas por capilares sangüíneos, denominadas alvéolos pulmonares.

Diafragma: A base de cada pulmão apóia-se no diafragma, órgão músculo-membranoso que separa o tórax do abdomen, presente apenas em mamíferos, promovendo, juntamente com os músculos intercostais, os movimentos respiratórios. Localizado logo acima do estômago, o nervo frênico controla os movimentos do diafragma (ver controle da respiração)



Imagem: SÉRIE ATLAS VISUAIS. O corpo Humano. Ed. Ática, 1997.
www.afh.bio.br

Propriedades das potências

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Na operação com potências, ao efetuarmos a sua resolução podemos utilizar algumas propriedades para simplificar os cálculos.

Produto de potência de mesma base

Sem utilizar essa propriedade resolveríamos uma multiplicação de potência de mesma base da seguinte forma:

2² . 2³ = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 2⁵ = 32

Utilizando a propriedade de produtos de mesma base, resolvemos da seguinte forma: como é um produto de bases iguais, basta repetir a base e somar os expoentes.

2² . 2³ = 2^{2 + 3} = 2⁵ = 32

5¹ . 5³ = 5^{1 + 3} = 5⁴ = 625

Quocientes de potências de mesma base

Sem utilizar dessa propriedade, o cálculo do quociente com potência 128 : 126 ficaria da seguinte forma:

12⁸ : 12⁶ = 429981696 : 2985984 = 144

Utilizando a propriedade do quociente de mesma base, a resolução ficaria mais simplificada, veja: como nessa divisão as bases são iguais, basta repetir a base e diminuir os expoentes.

12⁸ : 12⁶ = 12^{8 – 6} = 12² = 144

(-5)⁶ : (-5)² = (-5)^{6 – 2} = (-5)⁴ = 625

Potência de Potência

Quando nos deparamos com a seguinte potência (3²)³ resolvemos primeiro a potência que está dentro dos parênteses e depois, com o resultado obtido, elevamos ao expoente de fora, veja:

(3²)³ = (3 . 3)³ = 9³ = 9 . 9 . 9 = 729

Utilizando a propriedade de potência, a resolução ficará mais simplificada: basta multiplicarmos os dois expoentes, veja:

(3²)³ = 3^{2 . 3} = 3⁶ = 729

(-9¹)² = (-9)^{1 . 2} = (-9)² = 81

Potência de um produto

Veja a resolução da potência de um produto sem utilizarmos a propriedade:
(3 x 4)³ = (3 x 4) x (3 x 4) x (3 x 4)
(3 x 4)³ = 3 x 3 x 3 x 4 x 4 x 4
(3 x 4)³ = 27 x 64
(3 x 4)³ = 1728

Utilizando a propriedade, a resolução ficaria assim:

(3 x 4)³ = 3³ x 4³ = 27 x 64 = 1728

Classificação de um sistema linear

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Qualquer sistema linear pode ser classificado quanto ao número de soluções. Lembrando que um sistema linear é o conjunto de equações lineares.

Podemos classificar os sistemas lineares da seguinte forma:

SPD – Sistema Possível e Determinado
SPI – Sistema Possível e Indeterminado
SI – Sistema Impossível

Sistema Possível e Determinado

Dado o par ordenado (2, 3) e o sistema a seguir:

x + y = 5
4x – 2y = 2

Podemos dizer que o par ordenado (2, 3) é a única solução do sistema, por isso o classificamos como SPD.

Sistema Possível e Indeterminado

SPI é um sistema que possui infinitas soluções. Observe:

x – y + z = 2
4x – 4y + 4z = 8

Podem existir inúmeras soluções para o sistema mostrado acima, por isso o classificamos como SPI. Algumas soluções possíveis: (1, 1, 2), (0, 2, 4), (1, 0, 1),...

Sistema Impossível

SI é um sistema impossível de se resolver, ele não apresenta soluções. Observe:

3x – 3y = – 9
3x – 3y = 15

Não existe nenhum par ordenado que satisfaça as equações do sistema acima, por isso o classificamos como SI.

Conjunto

Plano Cartesiano

O plano cartesiano é definido por dois eixos orientados x e y – as dimensões -, perpendiculares entre si, que se cruzam no ponto O, origem de ambos os eixos, conforme figura a seguir.

Plano Cartesiano

Observações:

* O eixo x é denominado de eixo das abcissas ou eixo Ox;
* O eixo y é denominado de eixo das ordenadas ou eixo Oy;
* Os dois eixos dividem o plano em quatro quadrantes (I, II, III e IV na figura);
* Cada ponto P do plano cartesiano é identificado por dois números reais x e y e é representado na forma de um par ordenado (x,y), também chamado de coordenadas do ponto P, onde x é a abcissa e y a ordenada;
* Um ponto P é obtido por meio do encontro das perpendiculares aos eixos Ox e Oy traçadas a partir de sua abcissa e de sua ordenada. Veja na figura a representação do ponto P = (2,3);
* A origem O é representada pelo par ordenado (0,0);
* Os pontos do quadrante I são representados pelos pares ordenados (x,y) em que x e y são positivos;
* E os do quadrante II pelos pares ordenados (x,y) em que x < 0 e y > 0;
* Os do quadrante III pelos pares ordenados (x,y) em que x e y são negativos;
* Os pontos do quadrante IV são representados pelos pares ordenados (x,y) em que x > 0 e y < 0; * Um par ordenado (a,b) é igual a outro par ordenado (c,d) se, e somente se, a = c e b = d; * Em um par ordenado (a,b), se a é diferente de b, então (a,b) é diferente do par ordenado (b,a). Determine, por exemplo, no plano cartesiano os pontos P = (1,2) e Q = (2,1) para comprovar a afirmação; * De forma resumida, podemos afirmar que, no plano cartesiano, cada ponto é representado por um único par ordenado (a,b), a e b números reais. A recíproca também é verdadeira, ou seja, cada par ordenado (a,b) representa um único ponto no plano cartesiano; * E, por fim, o plano cartesiano é obtido associando-se a cada um dos eixos o conjunto dos números reais. Produto Cartesiano Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Definimos como produto cartesiano de A por B o conjunto A x B cujos elementos são todos os pares ordenados (a,b) em que a pertence a A e b pertence a B: A x B = {(a,b) | a Ɛ A e b Ɛ B} Observações: * O símbolo A x B lê-se “A cartesiano B” ou “produto cartesiano de A por B”; * Se o conjunto A é diferente do conjunto B, A e B diferentes do conjunto vazio, então A x B é diferente de B x A, veja exemplo abaixo; * A x ø = ø, ø x A = ø e ø x ø = ø; * Se A ou B é infinito e nenhum deles for vazio, então A x B é infinito; * A x A pode ser também representado por A2, que se lê “A dois”; * Se A e B são finitos e A tem m elementos e B tem n elementos, então A x B tem m.n elementos: n(A x B) = n(A).n(B) = m.n. Exemplo extraído do livro Fundamentos de Matemática Elementar, Vol 01, Conjuntos e Funções – ver referências no final do post: Se A = {1,2,3} e B = {1,2} então: A x B = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2)} e B x A = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3)} cujas representações no plano cartesiano são as seguintes:
Exemplo de Produto Cartesiano - Gráficos
Relação Binária

Dados dois conjunto A e B não vazios, chama-se relação R, ou mais simplesmente relação binária, de A em B a qualquer subconjunto de A x B. Uma relação R de A em B é representada pelo símbolo R: A -> B:

R: A -> B <=> R C A x B

Exemplo:

Se A = {1,5} e B = {3,4,6}, então A x B = {(1,3), (1,4), (1,6), (5,3), (5,4), (5,6)}. Logo:

R = {(1,3), (1,6), (5,4)}

S = {(5.4)}

T = {(1,3), (1,4), (5,3), (5,6)}

são relações de A em B, uma vez que R, S e T são subconjuntos de A x B.

As relações que estabelecem uma condição matemática para que um determinado par ordenado (x,y) pertença à uma relação são de grande importância. Vejamos alguns exemplos para ilustrar o fato.

Se A = {1,3,4} e B = {2,4}, então A x B = {(1,2), (1,4), (3,2), (3,4), (4,2), (4,4)}. São relações de A em B:

a) R = {(x,y) Ɛ A x B | x = y} = {(4,4)}

b) S = {(x,y) Ɛ A x B | x/y Ɛ Z} = {(4,2), (4,4)}

c) T = {(x,y) Ɛ A x B | y – x = 1} = {(1,2), (3,4)}
Domínio e Imagem

Seja R uma relação de A em B.

1. Chama-se domínio de R, e denotamos por D(R), o conjunto de todos os primeiros elementos dos pares ordenados pertencentes a R. Ou, alternativamente, o conjunto de todos os elementos de A que estão associados a pelo menos um elemento de B.

2. Chama-se imagem de R, e denotamos por Im(R), o conjunto de todos os segundos elementos dos pares ordenados pertencentes a R.

Com base no exemplo anterior, temos:

a) D(R) = {4} e Im(R) = {4}

b) D(S) = {4} e Im(S) = {2,4}

c) D(T) = {1,3} e Im(T) = {2,4}
Referências

1. Fundamentos de Matemática Elementar, Gelson Iezzi, Osvaldo Dolce & Carlos Murakami, São Paulo, Atual Editora Ltda, edição 1977;
2. Matemática para o Ensino Médio: Volume Único, Manoel Jairo Bezerra, São Paulo, Editora Scipione, 2001.

Fórmula de Heron

Heron de Alexandria é o responsável por elaborar uma fórmula matemática que calcula a área de um triângulo em função das medidas dos seus três lados. A fórmula de Heron de Alexandria é muito útil nos casos em que não sabemos a altura do triângulo, mas temos a medida dos lados.
Em um triângulo de lados medindo a, b e c podemos calcular a sua área utilizando a fórmula de Heron:




Exemplo 1
Calcule a área do triângulo a seguir:

p = (9 + 7 + 14) / 2
p = 30 / 2
p = 15

A = √15(15 – 9)(15 – 7)(15 – 14)
A = √15 * 6 * 8 * 1
A = √720
A = 26,83 cm2(aproximadamente)

Exemplo 2
Utilizando a Fórmula de Heron, calcule a área da região com as seguintes medidas:

26cm, 26cm e 20cm

p = (26 + 26 + 20) / 2
p = 72 / 2
p = 36

A = √36(36 – 26)(36 – 26)(36 – 20)
A = √36 * 10 * 10 * 16
A = √57600
A = 240 cm2

JUROS COMPOSTOS

    O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte.

    Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal.

Após três meses de capitalização, temos:

    1º mês: M =P.(1 + i)
    2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) 
    3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)

    Simplificando, obtemos a fórmula:
  

M = P . (1 +  i)n

    Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses.

    Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período:
  

J = M - P

    Exemplo:

   Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês.
  (use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788)

   Resolução:

   P = R$6.000,00
    t = 1 ano = 12 meses
    i = 3,5 % a.m. = 0,035
    M = ?

  

   Usando a fórmula M=P.(1+i)ⁿ, obtemos:

   M  =  6000.(1+0,035)¹²  =  6000. (1,035)¹²
    Fazendo  x = 1,035¹² e aplicando logaritmos, encontramos:

   log x = log 1,035¹²    =>   log x = 12 log 1,035    =>   log x = 0,1788    =>   x = 1,509

   Então  M = 6000.1,509 = 9054.

    Portanto o montante é R$9.054,00

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