quinta-feira, 4 de junho de 2020
Medida de Tempo
Medidas de tempo
IntroduçãoÉ comum em nosso dia-a-dia pergunta do tipo:
Qual a duração dessa partida de futebol?
Qual o tempo dessa viagem?
Qual a duração desse curso?
Qual o melhor tempo obtido por esse corredor?
Todas essas perguntas serão respondidas tomando por base uma unidade padrão de medida de tempo.
A unidade de tempo escolhida como padrão no Sistema Internacional (SI) é o segundo.
Segundo
O Sol foi o primeiro relógio do homem: o intervalo de tempo natural decorrido entre as sucessivas passagens do Sol sobre um dado meridiano dá origem ao dia solar.
O segundo (s) é o tempo equivalente a
 do dia solar médio. |
Múltiplos e Submúltiplos do Segundo
Quadro de unidades
Múltiplos
| ||
| minutos | hora | dia |
| min | h | d |
| 60 s | 60 min = 3.600 s | 24 h = 1.440 min = 86.400s |
- décimo de segundo
- centésimo de segundo
- milésimo de segundo
Observe:
Outras importantes unidades de medida:
mês (comercial) = 30 dias
ano (comercial) = 360 dias
ano (normal) = 365 dias e 6 horas
ano (bissexto) = 366 dias
|
semana = 7 dias
quinzena = 15 dias
bimestre = 2 meses
trimestre = 3 meses
quadrimestre = 4 meses
|
semestre = 6 meses
biênio = 2 anos
lustro ou qüinqüênio = 5 anos
década = 10 anos
século = 100 anos
milênio = 1.000 anos
|
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Escala
Escala
Definimos escala de um desenho como sendo a razão entre o comprimento do projeto e o comprimento real correspondente,
sempre medidos na mesma unidade.
Usamos escala quando queremos representar um esboço gráfico de objetos, da planta de uma casa ou de uma cidade, mapas,
maquetes, etc.
Se num mapa a escala indicada é de 1 : 1000, isso quer dizer que cada medida no desenho do mapa é 1000 vezes menor que a
realidade, sendo assim : Cada 1 cm medido no mapa representará no real ->1000 cm = 10 m
Se num projeto arquitetônico cada cm desenhado equivale a 120 cm ( 1,2 m ) de dimensão real, afirmamos que esse modelo está
na escala de 1 : 120, ou seja, tudo na realidade é 120 vezes maior que no projeto arquitetônico.
Se num aeromodelo cada cm do protótipo equivale a 32 cm no real, afirmamos que esse modelo está na escala de 1 : 32, ou seja,
tudo no avião é 32 vezes maior que no modelo.
Todo mapa cartográfico é feito em escala
Todo projeto arquitetônico é feito em escala
Toda maquete reproduz fielmente o real, já que sempre é projetada em escala
Ambas as casas estão desenhadas em escala. A moça que aparece a frente da casa rosa tem, por definição em projetos de
arquitetura, a altura de 1,70 m. Assim se tem uma idéia melhor das dimensões da casa.
Outros dois projetos, também executados em escala.
O Mapa parcial do município do Rio de Janeiro está construído na escala 1:450.000, ou seja, cada cm medido no mapa, medirá,
na verdade 450.000 vezes maior, ou seja : 1 cm no mapa será equivalente, no mapa, a 450.000 cm = 4.500 m = 4,5 km.
Escala - Exercícios Resolvidos
Exemplo 01) Um protótipo foi desenhado na escala 1:100. Qual será o comprimento desse protótipo se o modelo em tamanho real tem
um comprimento igual a 4,00 m ? 4 cm
Resolução : Os exercícios de escalas sempre serão resolvidos por meio de proporção. Se a escala é de 1:100, podemos escrever :
Exemplo 02) Qual é escala da planta de um terreno no qual um comprimento de 48 metros foi representado no papel por um segmento
de 2,4 dm ?
Resolução : Já sabemos que escala é a razão entre a dimensão de projeto e a dimensão verdadeira. Assim, podemos escrever :
Exemplo 03) Uma bandeira brasileira oficial tem o comprimento de 10 metros e a largura de 7 metros. Que escala estaremos
trabalhando ao desenharmos nossa bandeira com 8 cm de comprimento ?
Resolução : Como escala é a razão entre a dimensão de projeto e a dimensão verdadeira. Assim, podemos escrever :
Escala - Exercícios Propostos
01) Qual deve ser a escala de uma planta de uma parede de 17,5 m, que está representada por um segmento de 0,35 dm ?
02) A distância entre duas cidades é de 150 km e está representada em um mapa por 10 cm. Determine a escala desse mapa.
03) A extensão de uma estrada de ferro é de 420 km. Qual foi a escala usada, se a mesma foi representada por 5 cm ?
04) Numa planta elaborada na escala de 1:25 a sala de jantar está com as seguintes dimensões: 12,6 cm e 1,74 dm. Calcule,
em metros quadrados, a área real da sala.
05) Em um mapa de escala 1 : 4.500.000, a distância entre duas cidades é de 100 mm. Qual será a escala de um outro mapa, no qual
estas mesmas cidades distem 2 cm entre si ?
06) Num desenho cuja escala é 1 : 500, tem-se um comprimento de 9 em, que no natural mede 45 metros. Calcule, em centímetros, o
mesmo comprimento do desenho na escala 1 :200.
07) Numa planta na escala 1 : 1.000, que dimensões (em m) devem ser atribuídas, a um compartimento de 0,5 dm por 60 mm ?
08) Qual o comprimento que devemos representar uma avenida de 42 hm de comprimento, ao desenhar a planta de um bairro, na
escala de 1 : 20.000 ?
09) Num mapa, uma rua mede 72 cm. Calcule o comprimento natural da rua, sabendo-se que o mapa foi desenhado na escala de
1 : 250.
10) Um prédio está desenhado na escala 1 : 150. Qual é o perímetro e a área de uma sala, que no desenho mede 4 cm x 5 cm ?
11) Sabe-se que um terreno tem 8.400 m2. Para representá-la por um retângulo de 6 cm por 2 cm, que escala deveremos representar?
Escala - Exercícios - Questões Objetivas
12) Um muro de 28,5 m está representado num desenho na escala 1 : 75. O comprimento do muro desenhado, é:
a) 0,38 m b) 0,38 cm c) 3,8 cm d) 1,9 m e) 0,19 dm
13) Num mapa de escala 1 : 2.000.000, a distância entre duas cidades é de 10 cm. Qual a distância entre as cidades ?
a) 10 km b) 20 km c) 100 km d) 200 km
14) Numa carta geográfica, a distância entre as cidades A e B é de 10 em. A distância real entre elas é de 500 km. Qual é a escala
da carta ?
a) 1 : 100.000 b) 1 : 500.000 c) 1 : 1.000.000 d) 1 : 5.000.000
15) ( UFCE ) Em um mapa cartográfico, 4 cm representam 12 km. Nesse mesmo mapa, 10 cm representarão quantos quilômetros ?
a) 60 km b) 30 km c) 15 km d) 18 km e) 25 km
16) ( UNICAMP - SP ) Na planta de um edifício em construção, cuja escala é 1 : 50. As dimensões de uma sala retangular são
10 cm e 8 cm. Calcule a área total da sala projetada.
a) 20 m2 b) 22 m2 c) 25 m2 d) 36 m2 e) 42 m2
Escala - Respostas dos Exercícios Propostos
01 1:500 02 1:1.500.000 03 1:840.000 04 13,7025 m2
05 1 : 2.250.000 06 18 m 07 50 m e 60 m 08 0,21 m = 21 cm
09 180 m 10 27 m e 45 m2 11 1:3.000 12 letra A
13 letra D 14 letra D 15 Letra B 16 Letra A
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Definimos escala de um desenho como sendo a razão entre o comprimento do projeto e o comprimento real correspondente,
sempre medidos na mesma unidade.
Usamos escala quando queremos representar um esboço gráfico de objetos, da planta de uma casa ou de uma cidade, mapas,
maquetes, etc.
Se num mapa a escala indicada é de 1 : 1000, isso quer dizer que cada medida no desenho do mapa é 1000 vezes menor que a
realidade, sendo assim : Cada 1 cm medido no mapa representará no real ->1000 cm = 10 m
Se num projeto arquitetônico cada cm desenhado equivale a 120 cm ( 1,2 m ) de dimensão real, afirmamos que esse modelo está
na escala de 1 : 120, ou seja, tudo na realidade é 120 vezes maior que no projeto arquitetônico.
Se num aeromodelo cada cm do protótipo equivale a 32 cm no real, afirmamos que esse modelo está na escala de 1 : 32, ou seja,
tudo no avião é 32 vezes maior que no modelo.
Todo mapa cartográfico é feito em escala
Todo projeto arquitetônico é feito em escala
Toda maquete reproduz fielmente o real, já que sempre é projetada em escala
Ambas as casas estão desenhadas em escala. A moça que aparece a frente da casa rosa tem, por definição em projetos de
arquitetura, a altura de 1,70 m. Assim se tem uma idéia melhor das dimensões da casa.
Outros dois projetos, também executados em escala.
O Mapa parcial do município do Rio de Janeiro está construído na escala 1:450.000, ou seja, cada cm medido no mapa, medirá,
na verdade 450.000 vezes maior, ou seja : 1 cm no mapa será equivalente, no mapa, a 450.000 cm = 4.500 m = 4,5 km.
Escala - Exercícios Resolvidos
Exemplo 01) Um protótipo foi desenhado na escala 1:100. Qual será o comprimento desse protótipo se o modelo em tamanho real tem
um comprimento igual a 4,00 m ? 4 cm
Resolução : Os exercícios de escalas sempre serão resolvidos por meio de proporção. Se a escala é de 1:100, podemos escrever :
Exemplo 02) Qual é escala da planta de um terreno no qual um comprimento de 48 metros foi representado no papel por um segmento
de 2,4 dm ?
Resolução : Já sabemos que escala é a razão entre a dimensão de projeto e a dimensão verdadeira. Assim, podemos escrever :
Exemplo 03) Uma bandeira brasileira oficial tem o comprimento de 10 metros e a largura de 7 metros. Que escala estaremos
trabalhando ao desenharmos nossa bandeira com 8 cm de comprimento ?
Resolução : Como escala é a razão entre a dimensão de projeto e a dimensão verdadeira. Assim, podemos escrever :
Escala - Exercícios Propostos
01) Qual deve ser a escala de uma planta de uma parede de 17,5 m, que está representada por um segmento de 0,35 dm ?
02) A distância entre duas cidades é de 150 km e está representada em um mapa por 10 cm. Determine a escala desse mapa.
03) A extensão de uma estrada de ferro é de 420 km. Qual foi a escala usada, se a mesma foi representada por 5 cm ?
04) Numa planta elaborada na escala de 1:25 a sala de jantar está com as seguintes dimensões: 12,6 cm e 1,74 dm. Calcule,
em metros quadrados, a área real da sala.
05) Em um mapa de escala 1 : 4.500.000, a distância entre duas cidades é de 100 mm. Qual será a escala de um outro mapa, no qual
estas mesmas cidades distem 2 cm entre si ?
06) Num desenho cuja escala é 1 : 500, tem-se um comprimento de 9 em, que no natural mede 45 metros. Calcule, em centímetros, o
mesmo comprimento do desenho na escala 1 :200.
07) Numa planta na escala 1 : 1.000, que dimensões (em m) devem ser atribuídas, a um compartimento de 0,5 dm por 60 mm ?
08) Qual o comprimento que devemos representar uma avenida de 42 hm de comprimento, ao desenhar a planta de um bairro, na
escala de 1 : 20.000 ?
09) Num mapa, uma rua mede 72 cm. Calcule o comprimento natural da rua, sabendo-se que o mapa foi desenhado na escala de
1 : 250.
10) Um prédio está desenhado na escala 1 : 150. Qual é o perímetro e a área de uma sala, que no desenho mede 4 cm x 5 cm ?
11) Sabe-se que um terreno tem 8.400 m2. Para representá-la por um retângulo de 6 cm por 2 cm, que escala deveremos representar?
Escala - Exercícios - Questões Objetivas
12) Um muro de 28,5 m está representado num desenho na escala 1 : 75. O comprimento do muro desenhado, é:
a) 0,38 m b) 0,38 cm c) 3,8 cm d) 1,9 m e) 0,19 dm
13) Num mapa de escala 1 : 2.000.000, a distância entre duas cidades é de 10 cm. Qual a distância entre as cidades ?
a) 10 km b) 20 km c) 100 km d) 200 km
14) Numa carta geográfica, a distância entre as cidades A e B é de 10 em. A distância real entre elas é de 500 km. Qual é a escala
da carta ?
a) 1 : 100.000 b) 1 : 500.000 c) 1 : 1.000.000 d) 1 : 5.000.000
15) ( UFCE ) Em um mapa cartográfico, 4 cm representam 12 km. Nesse mesmo mapa, 10 cm representarão quantos quilômetros ?
a) 60 km b) 30 km c) 15 km d) 18 km e) 25 km
16) ( UNICAMP - SP ) Na planta de um edifício em construção, cuja escala é 1 : 50. As dimensões de uma sala retangular são
10 cm e 8 cm. Calcule a área total da sala projetada.
a) 20 m2 b) 22 m2 c) 25 m2 d) 36 m2 e) 42 m2
Escala - Respostas dos Exercícios Propostos
01 1:500 02 1:1.500.000 03 1:840.000 04 13,7025 m2
05 1 : 2.250.000 06 18 m 07 50 m e 60 m 08 0,21 m = 21 cm
09 180 m 10 27 m e 45 m2 11 1:3.000 12 letra A
13 letra D 14 letra D 15 Letra B 16 Letra A
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Período Composto
É o período constituído de duas ou mais orações, sabendo-se que cada oração é, obrigatoriamente, estruturada em torno de um verbo.
"Traziam / não sei / que fluido misterioso e enérgico, uma força / que arrastava para dentro,/ como a vaga / que se retira da praia, nos dias de ressaca. (M. Assis).
I - ORAÇÕES SUBORDINADAS
São orações dependentes sintaticamente de outra. Exercem uma função sintática correspondente ao substantivo, adjetivo ou advérbio.
Exemplo:
Os credores internacionais esperavam / que o Brasil suspendesse o pagamento dos juros.
Nesse exemplo, a segunda oração está subordinada à primeira, pois exerce função sintática de objeto direto do verbo esperar.
- Orações subordinadas substantivas
São aquelas que exercem função sintática própria de um substantivo, a saber: sujeito, objeto direto, objeto indireto, complemento nominal, predicativo do sujeito, aposto ou agente da passiva. Assim temos:
a) Subjetiva
Função de sujeito em relação ao verbo da principal.
Exemplos:
É importante / que tenhamos o equilíbrio da balança comercial.
Ainda se espera / que o governo mude as normas do imposto de renda.
Ainda era esperado / que a equipe palmeirense se reabilitasse.
Consta / que haverá mudanças no ministério, caso o presidente seja reeleito.
b) Objetiva direta
Função de objeto direto em relação ao verbo da principal.
Exemplo:
Os contribuintes esperam / que o governo altere as normas do imposto de renda.
c) Objetiva indireta
Função de objeto indireto em relação ao verbo da principal.
Exemplo:
O país necessita / de que se faça uma melhor distribuição de renda.
d) Completiva nominal
Função sintática de complemento nominal em relação a um substantivo, adjetivo ou advérbio da principa
Exemplos:
O país tem necessidade / de que se faça uma reforma social.
O governador era contrário / a que mudassem as regras do jogo.
Percebia-se que agia favoravelmente / a que mudassem as regras do jogo.
e) Predicativa
Função de predicativo do sujeito em relação à principal.
Exemplo:
O medo dos empresários era / que sobreviesse uma violenta recessão.
f) Apositiva
Função de aposto em relação a um termo da principal.
Exemplo:
O receio dos jogadores era esse: / que o técnico não os ouvisse.
g) Agente da passiva
Função de agente da passiva em relação à principal.
Exemplo:
O assunto era explicado / por quem o entendia profundamente.
- Orações subordinadas adjetivas
São aquelas que exercem função sintática própria de um adjetivo:
a) Restritivas
Restringem, limitam o sentido de um termo da oração principal. Não são isoladas por vírgulas.
Exemplo:
A doença que surgiu nestes últimos anos pode matar muita gente.
b) Explicativas
Explicam, generalizam o sentido de um termo da oração principal. São isoladas por vírgulas.
Exemplo:
As doenças, que são um flagelo da humanidade, já mataram muita gente.
Observação:
As orações subordinadas adjetivas são introduzidas por pronomes relativos: que, quem, o qual, a qual, cujo, onde, como, quando etc.
Os pronomes relativos exercem funções sintáticas, a saber:
a) Sujeito
Exemplo:
Os trabalhadores que fizeram greve exigiam aumento salarial.
(= Os trabalhadores fizeram greve.)
b) Objeto direto
Exemplo:
As reivindicações que os trabalhadores faziam preocupavam os empresários.
(= Os trabalhadores faziam as reivindicações.)
c) Objeto indireto
Exemplo:
O aumento de que todos necessitavam proveria o sustento da casa.
(= Todos necessitavam do aumento.)
d) Complemento nomina
Exemplo:
O aumento de que todos tinham necessidade proveria o sustento da casa.
(= Todos tinham necessidade do aumento.)
e) Predicativo do sujeito
Exemplo:
O grande mestre que ele sempre foi agradava a todos.
(= Ele sempre foi o grande mestre.)
f) Adjunto adnominal
Exemplo:
Os peregrinos de cujas contribuições a paróquia dependia retornaram à sua cidade.
(= A paróquia dependia de suas contribuições.)
g) Adjunto adverbial
Exemplo:
Observem o jeitinho como ela se requebra.
(= Ela se requebra com jeitinho.)
- Orações subordinadas adverbiais
São aquelas que exercem função sintática própria de advérbio, ou seja, adjunto adverbial em relação à principal.
a) Causal
Exemplo:
Todos se opuseram a ele, porque não concordavam com suas idéias.
b) Condicional
Exemplo:
Se houvesse opiniões contrárias, o acordo seria desfeito.
c) Temporal
Exemplo:
Assim que chegou a casa, resolveu os problemas.
d) Proporcional
Exemplo:
Quanto mais obstáculos surgiam, mais ele se superava.
e) Final
Exemplo:
O pai sempre trabalhou para que os filhos estudassem.
f) Conformativa
Exemplo:
Os jogadores procederam segundo o técnico lhes ordenara.
g) Consecutiva
Exemplo:
Suas dívidas eram tantas que vivia nervoso.
h) Concessiva
Exemplo:
Embora enfrentasse dificuldades, procurava manter a calma.
i) Comparativa
Exemplo:
Ele sempre se comportou tal qual um cavalheiro.
II - ORAÇÕES COORDENADAS
As orações coordenadas são independentes sintaticamente. Não exercem nenhuma função sintática em relação a outra dentro do período.
Quando não são introduzidas por conjunções (conectivos), são classificadas como assindéticas.
Exemplo:
"No alto da figueira estava, / no alto da figueira fiquei." (J. C. de Carvalho)
Se introduzidas por conjunções (conectivo), classificam-se como sindéticas, recebendo o nome da conjunção que as introduzem, assim:
a) aditivas (e, nem, mas também...)
Exemplo:
O ministro não pediu demissão e manteve sua posição anterior.
b) adversativa (mas, porém, todavia, contudo, entretanto)
Exemplo:
O ministro pediu demissão, mas o presidente não a aceitou.
c) explicativas (que, porque, e a palavra pois antes do verbo)
Exemplo:
Peçam a demissão dos seus assessores, pois eles pouco fazem para o bem do povo.
d) conclusivas (logo, portanto, por conseguinte, por isso, de modo que e a palavra pois após o verbo)
Exemplo:
Os assessores pouco fazem pelo povo; devem, pois, deixar seus cargos.
e) alternativas (ou, ou ... ou, ora ... ora, quer ... quer, seja ... seja, já ... já, talvez ... talvez)
Exemplo:
O Congresso deve ser soberano, ou perderá a legitimidade.
III - ORAÇÕES REDUZIDAS
Não são introduzidas por conjunção e possuem verbo em uma das formas nominais (infinitivo, particípio ou gerúndio).
a) Infinitivo (pessoal ou impessoal)
Exemplos:
Todos sabiam ser impossível a manutenção da política econômica.
O.S.S.Objetiva Direta reduzida de infinitivo.
Seria bom manteres a calma nesse momento.
O.S.S. Subjetiva reduzida de infinitivo.
b) Gerúndio
Exemplos:
Entrando na sala de aula, foi recebido com frieza.
O.S. Ad. Temporal reduzida de gerúndio.
Vencendo seus adversários futuros, o clube ganhará o campeonato.
O.S. Adv. Condicional reduzida de gerúndio.
c) Particípio
Exemplos:
Realizado o congresso internacional, percebeu-se a gravidade da moléstia.
O.S. Ad. Temporal reduzida de particípio.
Encontrado o autor dos assaltos, a população ficará aliviada.
O.S. Condicional reduzida de particípio.
Entristecido com a campanha do seu clube, não mais discutia futebol.
O.S. Adv. Causal reduzida de particípio.
História da Páscoa
Ovos pintados: tradição da páscoa
O terceiro significado da Páscoa é pouco conhecido. Relata-se sobre uma festa de grupos pastoris que viviam na terra de Canaã no segundo milênio antes de Cristo. No final das chuvas, entre março e abril, eles abandonavam suas terras e viajavam para a região das planícies, mais férteis. A festa da Páscoa pedia proteção durante a travessia.
A palavra páscoa não está relacionada unicamente com o significado simbólico de “passagem”, mas também pela posição da páscoa no calendário, segundo os cálculos se referem à última ceia.
Na tradição moderna a páscoa é marcada pela troca de ovos de chocolate. Alguns historiadores sugerem que muitos dos atuais símbolos ligados à Páscoa, como os ovos de chocolate, ovos coloridos e o coelhinho da páscoa são vestígios culturais da festividade de primavera em honra de Eostre que, posteriormente foram aprendidas pelas celebrações cristãs, depois da cristianização dos pagãos germânicos.
Um ritual adaptado pela Igreja Católica no começo do 1o milênio depois de Cristo que fundiu com a festa da Páscoa, ocorreu no equinócio da primavera, quando os participantes pintavam e decoravam ovos e os escondiam, enterrando-os em tocas nos campos.
Probabilidade
PROBABILIDADE
A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório.
Experimento Aleatório
É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem envolve cálculo de experimento aleatório.
Espaço Amostral
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa o espaço amostral, é S.
Exemplo:
Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espaço amostral, constituído pelos 12 elementos:
S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6}
- Escreva explicitamente os seguintes eventos: A={caras e m número par aparece}, B={um número primo aparece}, C={coroas e um número ímpar aparecem}.
- Idem, o evento em que:
a) A ou B ocorrem;
b) B e C ocorrem;
c) Somente B ocorre.
- Quais dos eventos A,B e C são mutuamente exclusivos
Resolução:
- Para obter A, escolhemos os elementos de S constituídos de um K e um número par: A={K2, K4, K6};
Para obter B, escolhemos os pontos de S constituídos de números primos: B={K2,K3,K5,R2,R3,R5}
Para obter C, escolhemos os pontos de S constituídos de um R e um número ímpar: C={R1,R3,R5}.
- (a) A ou B = AUB = {K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,R5}
(b) B e C = B Ç C = {R3,R5}
(c) Escolhemos os elementos de B que não estão em A ou C;
B Ç Ac Ç Cc = {K3,K5,R2}
- A e C são mutuamente exclusivos, porque A Ç C = Æ
Conceito de probabilidade
Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento A é:
Por, exemplo, no lançamento de um dado, um número par pode ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6 igualmente prováveis, portanto, P = 3/6= 1/2 = 50%
Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando seus eventos elementares têm probabilidades iguais de ocorrência.
Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência de um evento A é sempre:
Propriedades Importantes:
1. Se A e A’ são eventos complementares, então:
P( A ) + P( A' ) = 1
2. A probabilidade de um evento é sempre um número entre Æ (probabilidade de evento impossível) e 1 (probabilidade do evento certo).
Probabilidade Condicional
Antes da realização de um experimento, é necessário que já tenha alguma informação sobre o evento que se deseja observar. Nesse caso, o espaço amostral se modifica e o evento tem a sua probabilidade de ocorrência alterada.
Fórmula de Probabilidade Condicional
P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) é igual a P(E1).P(E2/E1).P(E3/E1 e E2)...P(En/E1 e E2 e ...En-1).
Onde P(E2/E1) é a probabilidade de ocorrer E2, condicionada pelo fato de já ter ocorrido E1;
P(E3/E1 e E2) é a probabilidade ocorrer E3, condicionada pelo fato de já terem ocorrido E1 e E2;
P(Pn/E1 e E2 e ...En-1) é a probabilidade de ocorrer En, condicionada ao fato de já ter ocorrido E1 e E2...En-1.Exemplo:
Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma de cada vez e sem reposição, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?
Resolução:
Seja o espaço amostral S=30 bolas, e considerarmos os seguintes eventos:
A: vermelha na primeira retirada e P(A) = 10/30
B: azul na segunda retirada e P(B) = 20/29
Assim:
P(A e B) = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87
Eventos independentes
Dizemos que E1 e E2 e ...En-1, En são eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não depende do fato de os outros terem ou não terem ocorrido.
Fórmula da probabilidade dos eventos independentes:
P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) = P(E1).P(E2).p(E3)...P(En)
Exemplo:
Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e repondo a sorteada na urna, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?
Resolução:
Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada e azul na segunda retirada é igual ao produto das probabilidades de cada condição, ou seja, P(A e B) = P(A).P(B). Ora, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada é 10/30 e a de sair azul na segunda retirada 20/30. Daí, usando a regra do produto, temos: 10/30.20/30=2/9.
Observe que na segunda retirada forma consideradas todas as bolas, pois houve reposição. Assim, P(B/A) =P(B), porque o fato de sair bola vermelha na primeira retirada não influenciou a segunda retirada, já que ela foi reposta na urna.
Probabilidade de ocorrer a união de eventos
Fórmula da probabilidade de ocorrer a união de eventos:
P(E1 ou E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 e E2)
De fato, se existirem elementos comuns a E1 e E2, estes eventos estarão computados no cálculo de P(E1) e P(E2). Para que sejam considerados uma vez só, subtraímos P(E1 e E2).
Fórmula de probabilidade de ocorrer a união de eventos mutuamente exclusivos:
P(E1 ou E2 ou E3 ou ... ou En) = P(E1) + P(E2) + ... + P(En)
Exemplo: Se dois dados, azul e branco, forem lançados, qual a probabilidade de sair 5 no azul e 3 no branco?
Considerando os eventos:
A: Tirar 5 no dado azul e P(A) = 1/6
B: Tirar 3 no dado branco e P(B) = 1/6
Sendo S o espaço amostral de todos os possíveis resultados, temos:
n(S) = 6.6 = 36 possibilidades. Daí, temos:P(A ou B) = 1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36
Exemplo: Se retirarmos aleatoriamente uma carta de baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de ser um 8 ou um Rei?
Sendo S o espaço amostral de todos os resultados possíveis, temos: n(S) = 52 cartas. Considere os eventos:
A: sair 8 e P(A) = 4/52
B: sair um rei e P(B) = 4/52
Assim, P(A ou B) = 4/52 + 4/52 – 0 = 8/52 = 2/13. Note que P(A e B) = 0, pois uma carta não pode ser 8 e rei ao mesmo tempo. Quando isso ocorre dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos.
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