EXPRESSÕES NUMÉRICAS

EXPRESSÕES NUMÉRICAS



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Para resolver uma expressão numérica, efetuamos as operações obedecendo à seguinte ordem :

1°) Potenciação e radiciação
2°) Multiplicações e divisões
3°) Adições e Subtrações

EXEMPLOS

1) 5 + 3² x 2 =
= 5 + 9 x 2 =
= 5 + 18 =
= 23

2) 7² - 4 x 2 + 3 =
= 49 – 8 + 3 =
= 41 + 3 =
= 44

Há expressões onde aparecem os sinais de associação e que devem ser eliminados nesta ordem:
1°) parênteses ( )
2°) colchetes [ ]
3°) chaves { }

exemplos

1°) 40 – [5² + ( 2³ - 7 )] =
= 40 – [5² + ( 8 - 7 )]
= 40 – [25 + 1 ]=
= 40 – 26 =
= 14

2°) 50 –{ 15 + [ 4² : ( 10 – 2 ) + 5 x 2 ] } =
= 50 –{ 15 + [ 16 : 8 + 10 ]}=
= 50 – { 15 + [ 2 + 10 ] } =
= 50 – { 15 +12 } =
= 50 – 27 =
= 23

3°) exemplo
(-3)² - 4 - (-1) + 5²
9 – 4 + 1 + 25
5 + 1 + 25
6 + 25
31


4°) exemplo

15 + (-4) . (+3) -10
15 – 12 – 10
3 – 10
-7

5°) exemplo

5² + √9 – [(+20) : (-4) + 3]
25 + 3 – [ (-5) +3 ]
25 + 3 - [ -2]
25 +3 +2
28 + 2
30





EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
São expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números. São também denominadas expressões literais.

Exemplos

- A = 2a + 7b
- B = (3c + 4) - 5
- C = 23c + 4

As letras nas expressões são chamadas variáveis o que significa que o valor de cada letra pode ser substituída por um valor numérico.

PRIORIDADE DAS OPERAÇÕES NUMA EXPRESSÃO ALGÉBRICA

Nas operações em uma expressão algébrica, devemos obedecer a seguinte ordem:

1. Potenciação ou Radiciação
2. Multiplicação ou Divisão
3. Adição ou Subtração

Observações:

 Antes de cada uma das três operações citadas anteriormente, deve-se realizar a operação que estiver dentro dos parênteses, colchetes ou chaves.

 A multiplicação pode ser indicada por x ou por um ponto . ou às vezes sem sinal, desde que fique clara a intenção da expressão.

 Muitas vezes devemos utilizar parênteses quando substituímos variáveis por valores negativos.


EXERCICIOS

1) Calcule o valor das expressões:

a) 7² - 4 = (R:45)
b) 2³ + 10 = (R:18)
c) 5² - 6 = (R:19)
d) 4² + 7⁰= (R:17)
e) 5⁰+ 5³= (R:126)
f) 2³+ 2⁴ = (R:24)
g) 10³ - 10² = (R:900)
h) 80¹ + 1⁸⁰ = (R:81)
i) 5² - 3² = (R:16)
j) 1⁸⁰ + 0⁷⁰ = (R:1)

2) Calcule

a) 3² + 5 = (R:14)
b) 3 + 5² = (R:28)
c) 3² + 5² = (R:34)
d) 5² - 3² = (R:16)
e) 18 - 7⁰ = (R:17)
f) 5³ - 2² = (R:121)
g) 10 + 10² = (R:110)
h) 10³ - 10² = (R:900)
i) 10³ - 1¹ = (R:999)

3) Calcule o valor das expressões

a) 2³ x 5 + 3² = (R:49)b) 70⁰+ 0⁷⁰ - 1 = (R:0)
c) 3 x 7¹ - 4 x 5⁰ = (R:17)d) 3⁴- 2⁴: 8 – 3 x 4 = (R:67)
e) 5² + 3 x 2 – 4 = (R:27)
f) 5 x 2² + 3 – 8 = (R:15)
g) 5² - 3 x 2² - 1 = (R:12)
h) 16 : 2 – 1 + 7² = (R:56)

4) calcule o valor das expressões:

a) 5² : ( 5 +1 -1)+ 4 x 2 = (R:13)
b) (3 +1)² +2 x 5 - 10⁰ = (R:25)
c) c) 3²: ( 4 – 1) + 3 x 2² = (R:15)
d) 70 –[ 5 x (2² : 4) + 3²] = (R:56)
e) ( 7 + 4) x ( 3² - 2³) = (R:11)
f) 5² + 2³ - 2 x (3 + 9) = (R:9)
g) 6² : 3² + 4 x 10 – 12 = (R:32)
h) (7² - 1 ) : 3 + 2 x 5 = (R:26)


5) calcule o valor das expressões:

a) 5 + 4²- 1 = (R:20)
b) 3⁴ - 6 + 2³ = (R:83)
c) 2⁵ - 3² + 1⁹ = (R:24)
d) 10²- 3² + 5 = (R:96)
e) 11² - 3² + 5 = (R:117)
f) 5 x 3² x 4 = (R:180)
g) 5 x 2³ + 4² = (R:56)
h) 5³ x 2² - 12 = (R:488)

6) Calcule o valor das expressões:

a) ( 4 + 3)² - 1 = (R:48)
b) ( 5 + 1 )² + 10 = (R:46)
c) ( 9 – 7 )³ x 8 = (R:64)
d) ( 7² - 5²) + ( 5² - 3 ) = (R:46)
e) 6² : 2 - 1⁴ x 5 = (R:13)
f) 3² x 2³ + 2² x 5² = (R:172)

7) Calcule o valor das expressões:

a) 4²- 10 + (2³ - 5) = (R:9)
b) 30 – (2 + 1)²+ 2³ = (R:29)
c) 30 + [6² : ( 5 – 3) + 1 ] = (R:49)
d) 20 – [6 – 4 x( 10 - 3²) + 1] = (R:17)
e) 50 + [ 3³ : ( 1 + 2) + 4 x 3] = (R:71)
f) 100 –[ 5² : (10 – 5 ) + 2⁴ x 1 ] = (R:79)
g) [ 4² + ( 5 – 3)³] : ( 9 – 7)³ = (R:3)
h) 7²+ 2 x[(3 + 1)² - 4 x 1³] = (R:73)
i) 25 + { 3³ : 9 +[ 3² x 5 – 3 x (2³- 5¹)]} = (R:64)

8) Calcule as expressões:

a) ( 8 : 2) . 4 + {[(3² - 2³) . 2⁴ - 5⁰] . 4¹}= (R:76)
b) ( 3² - 2³) . 3³ - 2³ + 2² . 4² = ( R:83)
c) ( 2⁵ - 3³) . (2² - 2 ) = (R: 10)
d) [2 . (10 - 4² : 2) + 6²] : ( 2³ - 2²) = ( R:10)
e) (18 – 4 . 2) . 3 + 2⁴ . 3 - 3² . ( 5 – 2) = (R: 51)
f) 4² . [2⁴ : ( 10 – 2 + 8 ) ] + 2⁰ = (R: 17)
g) [( 4² + 2 . 3²) + ( 16 : 8)² - 35]² + 1¹⁰ - 10⁰ = (R : 9)
h) 13 + ( 10 – 8 + (7 – 4)) = (R: 18)
i) (10 . 4 + 18 – ( 2 . 3 +6)) = (R:46)
j) 7 . ( 74 – ( 4 + 7 . 10)) = (R: 0)
k) ( 19 : ( 5 + 3 . 8 – 10)) = (R : 1)
l) (( 2³ + 2⁴) . 3 -4) + 3² = (R: 77)
m) 3 + 2 . ((3²- 2⁰) + ( 5¹ - 2²)) + 1 = (R: 22)

9) Calcule as expressões:

a) 7 – ( 1 + 3)
b) 9 – ( 5 – 1 + 2)
c) 10 – ( 2 + 5 ) + 4
d) ( 13 – 7 ) + 8 – 1
e) 15 – ( 3 + 2) – 6
f) ( 10 – 4 ) – ( 9 -8) + 3
g) 50 – [ 37 – ( 15 – 8 ) ]
h) 28 + [50 – (24 – 2) -10 ]
i) 20 + [ 13 + (10 – 6) + 4]
j) 52 – { 12 + [ 15 – ( 8 – 4)]}
l) 25 + { 12 + [ 2 – ( 8 – 6 ) + 2 ]} = )
m) { [ ( 18 – 3 ) + ( 7 + 5) – 2 ] + 5 } – 12 = (R:18)n) 65 – { 30 – [ 20 – ( 10 – 1 + 6) + 1 ]} = (R: 41)
o)45 + { 15 – [ ( 10 – 8 ) + ( 7 – 4) – 3 ] – 4 } = (R:54)
p) 40 + { 50 – [35 – ( 25 +5) – 1 ]} + 7 = (R:93)
q)38 – { 20 – [ 22 – ( 5 + 3) + ( 7 – 4 +1)]} = ( R:36)
r) 26 + { 12 – [ ( 30 – 18) + ( 4 – 1) – 6 ] – 1 } = (R::28)
s) 25-[10 + (7 - 4)] = (R:12)
t) 32+ [10-(9-4)+8] = (R:45)
u)45-[12-4+(2+1)] = (R:31)
v)70-{20-[10-(5-1)]} = (R:56)
x) 28 + {13 - [6 -(4 + 1) + 2] - 1 } = (R:37)
z) 53-{20-[30-(15-1+6) + 2 ]} = (R:45)
10) Calcule as expressões:

a) [-7+14 : (5 - √ 49 ) ] : 7
b) [ -13 + 13 . ( -1 -3 . 2²)] : 14
c) -5 – [ (-5}² - (-2 -√9 ). 5 ] : 10
d) (-2)² - [ -2³ - √16 . ( 2³ - 10) ] : 171
e) 2 .[10-(3²- 4 . 5) - √9] : 18
f) 10 – [ 3º - (-2)³ - ( 4 – 8 : 2)] - √4
g) [(13 – 3 .4)³ - ( 18 – 4 . 5)³] : 3
h) 100 – {[25 + ( -2 – 1 )³] : 2 + √49} : 3
i) 100 – {[30 – ( 5 + 1)²] : 6 + √81 } : 8
j) 72. [ 4³ - ( √121 + 2 .26)]
l) 42 . [ 4. ( 32 – 4 . √49 ) -1 ] : 63
m) -5 + 2 .3² + 2 . √4
n) -6 + 2 . (-2)³ + 5 . 7º
o) 10 + 2 . 2² - 5 . √49
p) √100 + 3 .(-3)³- 2
q) 11 – 100 : (-10)
r) -13 + (-800) : 80
s) 5 – 2 . [ (-3) . (-2 – 6) : 4 + 15]
t) (3 -2 . 9 ) : 5
u) (3 – 2 .9) : (-5) : (-3)
v) ( 7 – 2 .14) : (-21) – ( 5 – 2 ) : 3
x) [(7 – 2 . 14) : (-21) – (5 – 2)] : 2
z) [4 – 2 . (3 – 7)] : (-2) -5

11) Calcule as expressões:

a) 1 – [7 – (4 – 3 . 2 ) . (-1 – 1)] . 5
b) 125 : (-5) : (-5)
c) (-64) : (-4) : (-4)
d) 5 + ( -3)² + 1 = (R:15)
e) 10 + (-2)³ -4 = (R:-2)
f) 12 – 1 + (-4)² = (R:27)
g) (-1)⁵ + 3 – 9 = (R:-7)
h) 18 – (+7) + 3² = (R:20)
i) 6 + (-1)⁵ - 2 = (R:3)
j) (-2)³ - 7 – (-1) = (R:-14)
l) (-5)³ - 1 + (-1)⁹ = (R:-127)
m) 5⁰ - ( -10) + 2³ = (R:19)
n) (-2)³ + (-3)² - 25 = (R:-24)

12) Calcule o valor das expressões:

a) 3 - 4² + 1 = (R:-12)b) 2³ - 2² - 2 = (R:2)
c) (-1)⁴ + 5 - 3² = (R:-3)
d) 5⁰ - 5¹ - 5⁰ = (R:-5)
e) (-3)². (+5) + 2 = (R:47)
f) (-1)⁷ - (-1)⁸ = (R:-2)
g) 5 + (-3)² + 7⁰ = (R:15)
h) √49 + 2³ - 1 = (R:14)

13) Calcule o valor das expressões:

a) (-3)² + 5 = (R:14)
b) (-8)² - (-9)² = (R:-17)
c) -72⁰ + (-1)⁸ = (R:0)
d) (-12)⁰ + (+12)⁰ = (R:2)
e) 10³ - (-10)² - 10⁰ = (R:899)
f) (-7)² + (-6)² - (-1)² = (R:84)
g) (-1)⁶ + (+1)⁵ + (-1)⁴ + (+1)³ = (R:4)
h) 2⁶ - 2⁵ - 2⁴ - 2³ - 2² - 2 = (R:2)

14) Calcule o valor das expressões:

a) (-3) . (+7) + (-8) . (-3) = (R:3)
b) (-3)³ + (+2)² - 7 = (R:-30)
c) 8 + (-3 -1)² = (R:24)
d) (-2 + 6)³ : (+3 – 5)² = (R:16)
e) –(-5)² + (-7 + 4) = (R:-28)
f) (-2)⁶ + (+5) . (-2) = (R:54)

15) Calcule o valor das expressões:

a) (-3)³ . (-2)² + (3) + 5⁰ = (R:-110)
b) (-1)³ + 3 + (+2) . (+5) = (R:12)
c) (-2) . (-7) + (-3)² = (R:23)
d) 2 . (-5)² - 3 . (-1)³ + 4 = (R:57)
e) –[ -1 + (-3) . (-2)]² = (R:-25)
f) –(5 – 7)³ - [ 5 - 2² - (4 – 6)] = (R:5)
g) (-3 + 2 – 1)³ - ( -3 + 5 – 1)⁸ + 3 = (R:-6)
h) 8 – [ -7 + )-1) . (-6) + 4]²= (R:-1)
i) 14 – [(-1)³ . (-2)² + (-35) : (+5)] = (R:25)
j) 5³ - [ 10 + (7 -8)² ]² - 4 + 2³ = (R:8)
k) (-1)⁸ + 6⁰ - [15 + (-40) : (-2)³ ] = (R:-18)
l) -3 –{ -2 – [(-35) : (+5) + 2² ]} = (R:-4)

16) Calcule o valor das expressões:

a) (- 3 + 5 + 2) : (-2) = (R:-2)
b) (+3 – 1)² - 15 = (R:-11)
c) (-2)³ - (-1 + 2)⁵ = (R:-9)
d) 40 : (-1)⁹ + (-2)³ - 12 = (R:-60)
e) 10 – [5 – (-2) + (-1)] = (R:4)
f) 2 – { 3 + [ 4 – (1 – 2) + 3 ] – 4} = (R:-5)
g) 15 – [ (-5)² - (10 - 2³ ) ] = (R:-8)
h) 13 – [(-2) – (-7) + (+3)² ] = (R:-1)
i) 7² - [ 6 – (-1)⁵ - 2²] = (R:46)
j) 2³ - [(-16) : (+2) – (-1)⁵] = (R:15)
k) 50 : { -5 + [ -1 –(-2)⁵ : (-2)³ ]} = (R:-5)

17) Calcule o valor das expressões:

a) 10 + (-3)² = (R:19)
b) (-4)² - 3 = (R:13)
c) 1 + (-2)³ = (R:-7)
d) -2 + (-5)² = (R:23)
e) (-2)² + (-3)³ = (R:-23)
f) 15 + (-1)⁵ - 2 = (R:12)
g) (-9)² -2 – (-3) = (R:82)
h) 5 + (-2)³ + 6 = (R:3)

18) Calcule o valor das expressões:

a) 5 – { +3 – [(+2)² -(-5)² + 6 – 4 ]} = (R:-17)
b) 15 – { -3 + [(5 – 6)² . (9 -8 ) ² + 1]} = (R:16)
c) 18 – { 6 – [ -3 – (5 – 4) – (7- 9)³ ] – 1 } = (R:17)
d) -2 + { -5 –[ -2 – (-2)³ - 3- (3 -2 )⁹ ] + 5 } = (R:-4)
e) 4 – {(-2)² . (-3) – [ -11 + (-3) . (-4)] – (-1)} = (R:16)

19) Efetue as subtrações:

a) (+5/7) – (+2/3) = (R: 1/21)b) (+2/3) – (+1/2) = (R: 1/6)c) (+2/3) – (+4/5) = (R: -2/15)
d) (-7/8) – (-3/4) = (R: -1/8)
e) (-2/5) – (-1/4) = (R: -3/20)
f) (-1/2) – (+5/8) = (R: -9/8)
g) (+2/3) – ( (+1/5) = (R: 7/15)
h) (-2/5) – ( +1/2) = (R: -9/10)

20) Efetue as subtrações:

a) (+1/2) – (+5) = (R: -9/2)
b) (+5/7) – (+1) = (R: -2/7)
c) 0 – ( -3/7) = (R:3/7)
d) (-4) – (-1/2) = (R: -7/2)
e) (+0,3) – (-1/5) = (R: ½)
f) (+0,7) – (-1/3) = (R:31/30)

21) Calcule

a) -1 – ¾ = (R: -7/4)
b) (-3/5) + (1/2) = (R: -1/10)
c) 2 – ½ -1/4 = (R: 5/4)
d) -3 -4/5 + ½ = (R: -33/10)
e) 7/3 + 2 -1/4 = (R: 49/12)
f) -3/2 + 1/6 + 2 -2/3 = (R: 0)
g) 1 – ½ + ¼ - 1/8 = (R:5/8)
h) 0,2 + ¾ + ½ - ¼ = (R:6/5)
i) ½ + (-0,3) + 1/6 = (R:11/30)
j) 1/5 + 1/25 + (-0,6) = (R: 1/10)

22) Calcule o valor de cada expressão:

a) 3/5 – 1 – 2/5 = (R: -4/5)
b) 3/5 – 0,2 + 1/10 = (R: ½)
c) -3 – 2 – 4/3 = (R: -19/3)
d) 4 – 1/10 + 2/5 = (R: 43/10)
e) 2/3 – ½ -5 = (R: 29/6)
f) -5/12 – 1/12 + 2/3 = (R: 1/6)

23) Calcule o valor de cada expressões:

a) -1/3 + 2/9 – 4/3 = (R: -13/9)
b) -4 + ½ - 1/6 = (R:-11/3)
c) 0,3 + ½ - ¾ = (R: 1/20)
d) 1 + ¼ - 3/2 + 5/8 = (R: 3/8)
e) 0,1 + 3/2 – ¼ + 2 = (R: 67/20)f) ¾ + 0,2 – 5/2 – 0,5 = ( R: - 41/20)

24) Calcule o valor de cada expressão

a) 1/2 – (-3/5) + 7/10 = (R: 9/5)
b) -(-1) – (- 4/3) + 5/6 = (R: 19/6)
c) 2 – ( - 2/3 – ¼) + 0,1 = (R: 181/60)
d) ( -1 + ½) – ( -1/6 + 2/3) = (R: -1)
e) 2 – [ 3/5 – ( -1/2 + ¼ ) ] = (R: 23/20)
f) 3 – [ -1/2 – (0,1 + ¼ )] = (R: 77/20)
g) (1/3 + ½) – (5/6.- ¾) = (R: ¾)
h) (5/2 – 1/3 – ¾ ) – (1/2 + 1) = (R: -1/12)
i) (1/4 + ½ + 2 ) + (-1/6 + 2/3) = (R: 13/4)
j) (-0,3 + 0,5 ) – ( -2 - 4/5) = (R: 3)
k) (1/6 + 2/3) – (4/10 – 3/5) + 1/3 = (R: 41/30)l) 0,2 + (2/3 – ¼) – ( -7/12 + 4/3) = (R: -2/15)
m) (1 – ¼) + (2 + ½) – (1 - 1/3) – ( 2 – ¼ ) = (R: 5/6)





Exercícios em forma de teste:

1) O resultado de (-1001)² é:
a) 11 011
b) -11 011
c) 1 002 001 X
d) -1 002 001

2) O valor da expressão 2⁰ - 2¹ - 2² é:

a) -4
b) -5 xc) 8
d) 0

3) O valor da expressão (-10)² - 10² é:

a) 0 x
b) 40
c) -20
d) -40

4) O valor da expressão √16 - √4 é

a) 2 xb) 4
c) 6
d) 12

5) O valor da expressão 10 + √9 – 1 é:

a) 14
b) 18
c) 12 x
d) 20

6) O valor da expressão (-4)⁴ - (-4) é :

a) 20
b) -20
c) 252
d) 260 x

7) O valor da expressão (-2)⁴ + (-9)⁰ - (-3)² é :

a) 8 x
b) 12
c) 16
d) -26

8) O valor da expressão (-7)² + (+3) . (-4) – (-5) é :

a) 7
b) 37
c) 42 x
d) 47

9) A expressão (-7)¹⁰ : (-7)⁵ é igual a:

a) (-7)⁵ x
b) (-7)²
c) (-7)¹⁵
d) (-1)²

10) O valor da expressão –[-2 + (-1) . (-3)]² é :

a) -1 xb) -4
c) 1
d) 4

11) O valor da expressão numérica -4² + (3 -5) . (-2)³ + 3² - (-2)⁴ é

a) 7
b) 8
c) 15
d) -7 x
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Reprodução das Aves

As aves são animais dióicos (existem machos e fêmeas) e ovíparos, frequentemente mostram um dimorfismo sexual muito marcante, sendo os machos mais vistosos do que as fêmeas, com penas maiores e mais coloridas, são comuns também grandes papos e cristas de cores bem vibrantes, e isto é que faz com que o macho atraia a fêmea para fazerem um ninho e formarem uma ninhada.


ninhada avespavaoOutras aves realizam complexos e curiosos rituais de danças a dois (macho e fêmea) e diversas posturas corporais quando pretendem acasalar. Na sua época de reprodução, as aves podem ficar seus territórios onde constituem seus ninhos, que geralmente é um local alto e seguro, e estes ninhos servem para incubação dos ovos, onde a fêmea os depositam.

Apesar da maioria das espécies de aves machos não possuírem órgão copulador (pênis), a fecundação é interna. A transferência de espermatozóides para fêmea ocorre pela justaposição das aberturas das cloacas de ambos durante a cópula. Após a cópula as fêmeas eliminam os ovos pela cloaca no ninho, e estes ovos (ricos em vitelo) são protegidos por uma casca calcária.

O ovo já pronto, então, zigoto, protegido por invólucros, são encubados nos ninhos, pelos pais, e então ocorre seu desenvolvimento. Durante a incubação o macho ou a fêmea ou ambos, em rodízio, assentam-se no ovo para manter em uma temperatura adequada, e com certa frequência com o bico rolam o ovo para que de certo modo o calor de seus corpos distribua uniformemente por toda a superfície desses ovos. Dentro dos ovos mais ou menos em média de duas semanas o embrião se desenvolve até torna-se uma pequena ave.

Após essa formação ocorre a eclosão dos ovos e os filhotes demonstram um comportamento que chamamos de nidífugo, ou seja, já estão bem formados o suficiente para caminhar ou nadar, acompanhando os pais em busca de alimento. Mas também podem ocorrer ao contrário as aves nidícolas são, aqueles filhotes que nasceram muito imaturos e permanecem no ninho até adquirirem penas e força muscular para terem a capacidade de voar, se tornando assim independentes, mas enquanto não adquirem penas e força muscular seus pais, vão em busca de alimento e armazenam no bico, até que possam chegar no ninho e alimentar os seus filhotes ainda imaturos. Este processo é o das aves voadoras.

Os ovos não fecundados são chamados de ovos não-galados.

Fontes:
Biologia Vol. 1 – José Mariano Amabis & Gilberto Rodrigues Martho
Biologia Vol.2 – César e Sezar
Biologia atual Vol. 2 – Wilson Roberto Paulino
http://pinfotos.abril.com.br/busca/tags/aves/699c15b6-16f9-4f79-86c1-4b30ae964c73/ave_alimentando_os_filhotesjpg
http://jornalanimais.blogspot.com/2009/08/colibri-formula-um-dos-passaros.html
http://www.eb1-brunheiras-n1.rcts.pt/aves.htm

Sistema de numeração Binario

O sistema decimal é muito usado no cotidiano, pois nos oferece uma forma mais simples de manipular os números em determinadas situações matemáticas, é composto por dez números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
O uso da Matemática em situações diversas não diz respeito somente ao homem, os computadores utilizam números para efetuar cálculos complexos com uma maior rapidez e praticidade. O sistema binário é usado pelos computadores é e constituído de dois dígitos o 0 e o 1. A combinação desses dígitos leva o computador a criar várias informações: letras, palavras, textos, cálculos.
A criação do sistema de numeração binária é atribuída ao matemático alemão Leibniz.

Numeração Binária e Numeração Decimal

Transformando decimal em binário

14_(base10) = 1110_(base2)

14 / 2 = 7 resto 0
7 / 2 = 3 resto 1
3 / 2 = 1 resto 1


36_(base10) = 100100_(base2)

36 / 2 = 18 resto 0
18 / 2 = 9 resto 0
9 / 2 = 4 resto 1
4 / 2 = 2 resto 0
2 / 2 = 1 resto 0

O número binário será formado agrupando o último resultado seguido dos restos das divisões anteriores.

Transformando binário em decimal

110100_(base2) = 52 _(base10)

1	1	0	1	0	0
casa 6	casa 5	casa 4	casa 3	casa 2	casa 1
25	24	23	22	21	20
1 x 25	1 x 24	1 x 23	1 x 22	1 x 21	1 x 20
1 x 32	1 x 16	0 x 8	1 x 4	0 x 2	0 x 1
32	16	0	4	0	0

32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 0 = 52

1100100_(base2) = 100_(base10)

1	1	0	0	1	0	0
casa 7	casa 6	casa 5	casa 4	casa 3	casa 2	casa 1
26	25	24	23	22	21	20
1 x 26	1 x 25	0 x 24	0 x 23	1 x 22	0 x 21	0 x 20
1 x 64	1 x 32	0 x 16	0 x 8	1 x 4	0 x 2	0 x 1
64	32	0	0	4	0	0

64 + 32 + 0 + 0 + 4 + 0 +0 = 100

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática

Números complexos

Como em qualquer conjunto numérico, no conjunto dos números complexos existe uma maneira específica de aplicar as operações (adição, subtração, multiplicação e divisão). Antes de aplicarmos as operações devemos saber que um número complexo qualquer é indicado na maioria das vezes pela letra z e a sua forma geométrica é z = a + bi, onde a é a parte real e b a parte imaginária.

Adição e subtração

Dado dois números z1 = 2 – i e z2 = -3 + 7i. Somando os dois teremos:

z1 + z2 = (2 – i) + (-3 + 7i)
z1 + z2 = 2- i – 3 + 7i
z1 + z2 = 2 – 3 – i + 7i
z1 + z2 = - 1 + 6i

Dado dois números z1 = 2 – i e z2 = -3 + 7i. Somando os dois teremos:

z1 - z2 = (2 – i) - (-3 + 7i)
z1 - z2 = 2- i + 3 - 7i
z1 - z2 = 2 + 3 – i - 7i
z1 - z2 = 5 - 8i

Podemos concluir que para subtrair ou adicionar números complexos devemos operar parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária.

De uma maneira geral podemos representar a adição e a subtração com números complexos da seguinte forma.

Dados dos números complexos qualquer z1 = a + bi e z2 = c + di, veja a adição e subtração entre eles.

z1 + z2 = (a + bi) + (c + di)
z1 + z2 = a + bi + c + di
z1 + z2 = a + c + bi + di
Portanto, a adição de dois números complexos quaisquer pode ser calculada da seguinte forma:
z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i

z1 - z2 = (a + bi) - (c + di)
z1 - z2 = a + bi - c - di
z1 - z2 = a - c + bi - di
Portanto, a subtração de dois números complexos quaisquer pode ser calculada da seguinte forma:
z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i

Potência i

Os números considerados complexos são escritos acompanhados de uma parte imaginária. No complexo z = a + bi, temos que a parte imaginária é representada por bi. Considerando i a unidade imaginária, vamos determinar alguns valores de in. Veja:

Qualquer número elevado a zero será sempre 1, então:
i ⁰ = 1

Qualquer número elevado a 1 será ele mesmo, então:
i ¹ = i

Conforme a regra dos números complexos:
i ² = – 1
i ³ = i² * i = (–1) * i = –i
i ⁴ = i² * i² = (–1) * (– 1) = 1
i ⁵ = i⁴ * i = 1 * i = i
i ⁶ = i⁵ * i = i * i = i² = –1
i ⁷ = i⁶ * i = (–1) * i = – i
i ⁸ = i⁴ * i⁴ = 1 * 1 = 1
i⁹ = i⁸ * i = 1 * i = i
i¹⁰ =(i²)⁵ = (–1)⁵ = –1

A partir da potência i4 as outras vão se repetindo de 4 em 4, para calcularmos in (n um número inteiro qualquer), para calcularmos por exemplo a potência i343, iremos dividir o expoente n por 4. No caso do exemplo, iremos dividir 343 por 4, irá sobrar um resto r igual a 3, assim, podemos concluir que:

i ⁿ = i ^r
i ³⁴³ = i³, portanto i³⁴³ = – i

Exemplo 1

Aplicando as propriedades da potência, calcule (2 – 2i)⁶.
Podemos fatorar o expoente da seguinte forma:

[(2 – 2i)²]³ =
[2² – 2 * 2 * (2i) + (2i)²]³
[4 – 8i + 4i²]³ =
[4 – 8i + 4 * (–1)]³ =
[4 – 8i – 4]³ =
[– 8i]³ =
– 512 * i³ =
– 512 * (– i) =
+ 512i

Exemplo 2
Para calcularmos a seguinte soma: i 1993 + i 1994 + i 1995, devemos dividir cada expoente por 4 utilizando da seguinte propriedade i ⁿ = i ^r.
Dividindo 1993 por 4, termos como resto 1; dividindo 1994 por 4, teremos resto 2; dividindo 1995 por 4, teremos resto 3, substituindo os expoentes 1993, 1994 e 1995 (aplicando a propriedade in = ir) pelos seus respectivos restos, teremos:

i¹ + i² + i³ =
i + (–1) + (–i) =
i – 1 – i =
– 1 + i – i =
– 1

Portanto, i¹⁹⁹³ + i¹⁹⁹⁴ + i¹⁹⁹⁵ = –1.
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Números complexos

Os números considerados complexos são escritos acompanhados de uma parte imaginária. No complexo z = a + bi, temos que a parte imaginária é representada por bi. Considerando i a unidade imaginária, vamos determinar alguns valores de in. Veja:

Qualquer número elevado a zero será sempre 1, então:
i 0 = 1

Qualquer número elevado a 1 será ele mesmo, então:
i 1 = i

Conforme a regra dos números complexos:
i 2 = – 1
i 3 = i2 * i = (–1) * i = –i
i 4 = i2 * i2 = (–1) * (– 1) = 1
i 5 = i4 * i = 1 * i = i
i 6 = i5 * i = i * i = i2 = –1
i 7 = i6 * i = (–1) * i = – i
i 8 = i4 * i4 = 1 * 1 = 1
i9 = i8 * i = 1 * i = i
i10 =(i2)5 = (–1)5 = –1

A partir da potência i4 as outras vão se repetindo de 4 em 4, para calcularmos in (n um número inteiro qualquer), para calcularmos por exemplo a potência i343, iremos dividir o expoente n por 4. No caso do exemplo, iremos dividir 343 por 4, irá sobrar um resto r igual a 3, assim, podemos concluir que:

i n = i r
i 343 = i3, portanto i343 = – i

Exemplo 1

Aplicando as propriedades da potência, calcule (2 – 2i)6.
Podemos fatorar o expoente da seguinte forma:

[(2 – 2i)2]3 =
[22 – 2 * 2 * (2i) + (2i)2]3
[4 – 8i + 4i2]3 =
[4 – 8i + 4 * (–1)]3 =
[4 – 8i – 4]3 =
[– 8i]3 =
– 512 * i3 =
– 512 * (– i) =
+ 512i

Exemplo 2

Para calcularmos a seguinte soma: i 1993 + i 1994 + i 1995, devemos dividir cada expoente por 4 utilizando da seguinte propriedade i n = i r.
Dividindo 1993 por 4, termos como resto 1; dividindo 1994 por 4, teremos resto 2; dividindo 1995 por 4, teremos resto 3, substituindo os expoentes 1993, 1994 e 1995 (aplicando a propriedade in = ir) pelos seus respectivos restos, teremos:

i1 + i2 + i3 =
i + (–1) + (–i) =
i – 1 – i =
– 1 + i – i =
– 1

Portanto, i1993 + i1994 + i1995 = –1.

Expressões numericas

As expressões numéricas podem ser definidas através de um conjunto de operações fundamentais. As operações que podemos encontrar são: radiciação, potenciação, multiplicação, divisão, adição e subtração. Como uma expressão numérica é formada por mais de uma operação, devemos saber que resolvemos primeiramente as potências e as raízes (na ordem que aparecerem), depois a multiplicação ou divisão (na ordem) e por último adição e subtração (na ordem).

É comum o aparecimento de sinais nas expressões numéricas, eles possuem o objetivo de organizar as expressões, como: ( ) parênteses, [ ] colchetes e {} chaves, e são utilizados para dar preferência para algumas operações. Quando aparecerem em uma expressão numérica devemos eliminá-los, essa eliminação irá acontecer na seguinte ordem: parênteses, colchetes e, por último, as chaves.

Veja alguns exemplos da resolução de algumas expressões numéricas.

8 – [– (6 + 4) + (3 – 2 – 1)] = resolva primeiro os parênteses.
8 – [– 10 + (1 – 1)] =
8 – [– 10 + 0 ] = resolva os colchetes.
8 – [– 10] = faça o jogo de sinais para eliminar o colchete.
8 + 10 = 18
O valor numérico da expressão é 18.


– 62 : (– 5 + 3) – [– 2 * (– 1 + 3 – 1)² – 16 : (– 1 + 3)²] = elimine parênteses.
– 62 : (– 2) – [– 2 * (2 – 1)² – 16 : 2²] = continue eliminando os parênteses.
– 62 : (– 2) – [– 2 * 1 – 16 : 2²] = resolva as potências dentro do colchetes.
– 62 : (– 2) – [– 2 * 1 – 16 : 4] = resolva as operações de multiplicação e divisão nos colchetes.
– 62 : (– 2) – [– 2 – 4] =
– 62 : (– 2) – [– 6] = elimine o colchete.
– 62 : (– 2) + 6 = efetue a potência.
31 + 6 = 37 efetue a adição.
O valor numérico da expressão é 37.
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