Equação da reta

Em um plano cartesiano as retas podem ser paralelas ou coincidentes, se no ponto comum as duas retas formarem um ângulo de 90° graus podemos dizer que são perpendiculares, para que isso seja verdade os seus coeficientes deverão ser o oposto do inverso um do outro. Veja alguns exemplos onde aplicamos essa comparação dos coeficientes de duas retas coincidentes e perpendiculares.

Exemplo 1: obtenha a equação geral da reta t que passa pelo ponto P(9,-1) e é perpendicular à reta s: y = x/5 + 2.

Resolução

A reta s tem equação reduzida igual a y = x/5 + 2, nela podemos identificar o coeficiente angular de s: ms = 1/5. Como foi dito no enunciado que as retas s e t são perpendiculares, podemos considerar as seguintes informações pertencentes à reta t:

t: P(9,-1) e seu coeficiente será o oposto do inverso do coeficiente da reta s: mt = -5. Com essas informações e utilizando a definição de equação fundamental da reta podemos encontrar a equação geral da reta t.

y – y0 = m(x – x0)
y – (-1) = -5(x – 9)
y + 1 = - 5x + 45
5x + y – 45 = 0 é a equação geral da reta t.

Exemplo 2: Considerando o gráfico:


Responda:
a) Obtenha uma equação da reta r.

Com os pontos pertencentes à reta r, podemos calcular seu coeficiente que será igual à mr = -2, com esse valor mais um dos dois pontos e utilizando a definição de equação fundamental da reta, a reta r terá a seguinte equação:

y – y0 = m(x – x0)
y – 0 = - 2(x + 1)
2x – y – 2 = 0

b) Obtenha a equação da reta s que passa pelo ponto P e é perpendicular à reta r.
Como as retas r e s são perpendiculares e o coeficiente da reta r é mr = -2, podemos concluir pela definição de coeficiente de retas paralelas que o coeficiente da reta s será ms = 1/2, como o ponto P pertence à reta s, concluímos pela definição da equação fundamental da reta, que a reta s terá equação igual a:

y – y0 = m(x – x0)
y + 2 = 1/2 (x – 5)
y + 2 = x/2 – 5/2
x – 2y – 9 = 0

c) Determinar o ponto A (x,y) de interseção de r com a reta s obtida no item b.

O ponto A irá pertencer à reta r e para que esse mais os outros dois pontos pertençam à reta r eles deverão obedecer à condição de alinhamento de três pontos, que diz que os coeficientes angulares das semi-retas formadas pelos pontos deverão ser iguais. Assim iremos obter uma equação em função dos valores do ponto A (x,y).

-2x – y = 2

O ponto A e P pertencem à reta s, com eles é possível calcular o coeficiente angular da reta s:
y + 2 = 1
x – 5 2

x – 2y = 9

Com essas duas equações podemos formar um sistema que terá como solução o par ordenado (1,-4) que corresponde ao ponto A.