Binômio de Newton

Binômio de Newton

Introdução
Pelos produtos notáveis, sabemos que (a+b)² = a² + 2ab + b².
Se quisermos calcular (a + b)³, podemos escrever:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Se quisermos calcular

, podemos adotar o mesmo procedimento:

(a + b)⁴ = (a + b)³ (a+b) = (a³ + 3a²b + 3ab² + b³) (a+b)

= a⁴ + 4a³b + 6a²b²+ 4ab³ + b⁴

De modo análogo, podemos calcular as quintas e sextas potências e, de modo geral, obter o desenvolvimento da potência

a partir da anterior, ou seja, de

.
Porém quando o valor de n é grande, este processo gradativo de cálculo é muito trabalhoso.
Existe um método para desenvolver a enésima potência de um binômio, conhecido como binômio de Newton (Isaac Newton, matemático e físico inglês, 1642 - 1727). Para esse método é necessário saber o que são coeficientes binomiais, algumas de suas propriedades e o triângulo de Pascal.

Coeficientes Binomiais

Sendo n e p dois números naturais

, chamamos de coeficiente binomial de classe p, do número n, o número

, que indicamos por

(lê-se: n sobre p). Podemos escrever:

O coeficiente binomial também é chamado de número binomial. Por analogia com as frações, dizemos que n é o seu numerador e p, o denominador. Podemos escrever:

É também imediato que, para qualquer n natural, temos:

Exemplos:

Propriedades dos coeficientes binomiais

1ª)

Se n, p, k e p + k = n então

Coeficientes binomiais como esses, que tem o mesmo numerador e a soma dos denominadores igual ao numerador, são chamados complementares.

Exemplos:

2ª)

Se n, p, k e p p-1 0 então

Essa igualdade é conhecida como relação de Stifel (Michael Stifel, matemático alemão, 1487 - 1567).

Exemplos:

Triângulo de Pascal

A disposição ordenada dos números binomiais, como na tabela ao lado, recebe o nome de Triângulo de Pascal

Nesta tabela triangular, os números binomiais com o mesmo numerador são escritos na mesma linha e os de mesmo denominador, na mesma coluna.
Por exemplo, os números binomiais

estão na linha 3 e os números binomiais

, ...,

, ... estão na coluna 1.
Substituindo cada número binomial pelo seu respectivo valor, temos:

Construção do triângulo de Pascal

Para construir o triângulo do Pascal, basta lembrar as seguintes propriedades dos números binomiais, não sendo necessário calculá-los:

1ª) Como

= 1, todos os elementos da coluna 0 são iguais a 1.

2ª) Como

= 1, o último elemento de cada linha é igual a 1.

3ª) Cada elemento do triângulo que não seja da coluna 0 nem o último de cada linha é igual à soma daquele
que está na mesma coluna e linha anterior com o elemento que se situa à esquerda deste último (relação
de Stifel).

Observe os passos e aplicação da relação de Stifel para a construção do triângulo:

Propriedade do triângulo de Pascal

P1 Em Qualquer linha, dois números binomiais eqüidistantes dos extremos são iguais.

De fato, esses binomiais são complementares.

P2 Teorema das linhas: A soma dos elementos da enésima linha é

De modo geral temos:

P3 Teorema das colunas: A soma dos elementos de qualquer coluna, do 1º elemento até um qualquer, é igual ao elemento situado na coluna à direita da considerada e na linha imediatamente abaixo.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
1 + 4 + 10 + 20 = 35

P4 Teorema das diagonais: A soma dos elementos situados na mesma diagonal desde o elemento da 1ª coluna até o de uma qualquer é igual ao elemento imediatamente abaixo deste.

1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35

Fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton
Como vimos, a potência da forma

, em que a,

, é chamada binômio de Newton. Além disso:

quando n = 0 temos
quando n = 1 temos
quando n = 2 temos
quando n = 3 temos
quando n = 4 temos

Observe que os coeficientes dos desenvolvimentos foram o triângulo de Pascal. Então, podemos escrever também:

De modo geral, quando o expoente é n, podemos escrever a fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton:

Note que os expoentes de a vão diminuindo de unidade em unidade, variando de n até 0, e os expoentes de b vão aumentando de unidade em unidade, variando de 0 até n. O desenvolvimento de (a + b)ⁿ possui n + 1 termos.

Fórmula do termo geral do binômio

Observando os termos do desenvolvimento de (a + b)ⁿ, notamos que cada um deles é da forma

Quando p = 0 temos o 1º termo:
Quando p = 1 temos o 2º termo:
Quando p = 2 temos o 3º termo:
Quando p = 3 temos o 4º termo:
Quando p = 4 temos o 5º termo:
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