Cálculo de áreas de figuras planas – (coordenadas polares)

Introdução

Como foi visto na Matemática Básica, as coordenadas polares são usadas para representar pontos de um plano.

Para definir um sistema de coordenadas polares, consideramos um ponto O do plano (chamado origem ou pólo) e uma semi-reta orientada com extremidade O ( o eixo polar). Dado um ponto P ¹O do plano tomamos,

q , uma ângulo formado pelo eixo polar e OP, tendo origem no eixo polar, positivo se orientado no sentido anti-horário e negativo se no sentido horário.
r, a distância de P a O
r e q são coordenadas polares de P e representamos P = (r, q )

Dado um ponto qualquer do plano, as suas coordenadas polares não são únicas.

Exemplo 1: Representar graficamente os pontos de coordenadas polares

Como estes ângulos são côngruos temos P₁ = P₂ = P₃

As coordenadas do pólo são (0, q ) para todo q Î R .

Tomamos também valores negativos para a coordenada r. Se r é negativo, o ponto de coordenadas polares (r, q ) é tal que (-r, q + p ) são também coordenadas deste ponto

Exemplo 2: Representar graficamente o ponto de coordenadas polares

Suponhamos neste mesmo plano um par de eixos cartesianos XOY de modo que o semi-eixo OX positivo coincida com o eixo polar.
Se P é um ponto qualquer do plano de coordenadas polares (r, q ) e coordenadas cartesianas (x ,y) então

x = r.cos(q )

y = r.sen(q )

x2 + y2 = r2

Exemplo 3: Consideremos as curvas a seguir e suas equações em coordenadas polares

3.1) O círculo da raio r_o e centro na origem tem equação polar r = r_o

3.2) A reta que passa pela origem e faz um ângulo q _o com o sentido positivo do eixo OX tem equação polar q = q _o

Voltar ao ÍndiceÁrea de um setor circular

A área de um setor circular de raio r e ângulo central q é igual a

Proposição 1: Seja a equação polar de uma curva dada pela função contínua  r = r (q )  para a   £  q   £ b   tal   que  b  -  a   £  2p  e   r ³ 0. A área da região do plano limitada  pelas   retas  de equações  polares  q = a e q = b e a curva r = r(q ) é igual a.

Demonstração.

Para todo q tal que a £ q £ b , seja A(q ) a área como indicada na figura abaixo.

Vamos calcular

Para D q > 0 , tomando-se no intervalo [ q , q + D q ], r_M e r_m o maior e o menor raio, as áreas dos setores circulares com ângulo central D q e esses raios são

Para D q < 0 segue de modo análogo.
Pelo teorema fundamental do cálculo

Voltar ao Índice

Exemplo 4: Calcular a área limitada pela cardióide r (q ) = a.(1 – cos(q ))

Observação 1: São equações de cardióides:

r (q ) = a.(1 ± cos(q )) e r (q ) = a.(1 ± sen(q ))

Exemplo 5: Calcular a área limitada pelas pétalas da rosácea r = a.sen(2q ), a > 0
Trata-se de uma rosácea de 4 pétalas. Devido a simetria das pétalas, basta calcular a área de uma delas e multiplicar por 4.

Observação 2: São equações de rosáceas:

r = a.cos(nq )  e  r = a. sen(nq ), para n =1, 2, 3..., que possuem

• 2n pétalas , se n é par
• n pétalas se n é ímpar

Exemplo 6: Calcular a área limitada pela lemniscata r2 = 4.cos(2q ).
Como q deve ser tal que cos(2q ) >0, então, na 1a volta,
Devido a simetria dos semi-laços, basta  cal cular a área de um deles e multiplicar por 4.

Observação 3: São equações de lemniscatas:

r² = a.cos(2q ) e r² = a. sen(2q )

Exemplo 7: Calcular a área entre a 1a e a 2a volta da espiral (exponencial) r = eq , com 0 £ q .

Exemplo 8: Esboce a limaçon (com laço) de equação polar r = a.(1 – 2sen(q )) e determine uma expressão em integrais que represente a área da região do plano que se encontra no interior da curva e fora do laço.

Observação 4: São equações de limaçons:

r = a ± b.cos(q ) e r = a ± b.sen(q ) que possuem laço se a < b

Exemplo 9: Determine uma expressão em integrais que represente a área da região do plano sombreada na figura ao lado onde temos o arco da espiral de Arquimedes de equação polar r = q ; -p £ q £ p .

Exemplo 10: Determine uma expressão em integrais que represente a área da região do plano interior a ambas as curvas de equações polares r =1 + cos( q ) e r = 3cos( q )
r =1 + cos( q ) é equação de uma cardióide e r = 3cos( q ) é equação de um círculo.
Obtendo a interseção das duas curvas : 3cos( q ) = 1 + cos( q ) Þ cos( q ) = 1/2 Þ q = ± p /3 + 2kp

fonte :http://www.mat.ufba.br/