POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO

Consideremos uma multiplicação em que todos os fatores são iguais

Exemplo
5x5x5, indicada por 5³

ou seja , 5³= 5x5x5=125

onde :

5 é a base (fator que se repete)

3 é o expoente ( o número de vezes que repetimos a base)

125 é a potência ( resultado da operação)

Outros exemplos :
a) 7²= 7x7=49
b) 4³= 4x4x4=64
c) 5⁴= 5x5x5x5=625
d) 2⁵= 2x2x2x2x2=32

O expoente 2 é chamado de quadrado
O expoente 3 é chamado de cubo
O expoente 4 é chamado de quarta potência.
O expoente 5 é chamado de quinta potência.

Assim:

a) 7² Lê-se: sete elevado ao quadrado
b) 4³ Lê-se: quatro elevado ao cubo
c) 5⁴Lê-se: cinco elevado a quarta potência
d) 2⁵ Lê-se: dois elevado a quinta potência



Por convenção temos que:

1) todo o número elevado ao expoente 1 é igual à própria base,

exemplo

a) 8¹ = 8
b) 5¹ = 5
c) 15¹ = 15

2) todo o número elevado ao expoente zero é igual a 1

exemplo

a) 8º=1
b) 4º=1
c) 12º=1


EXERCÍCIOS

1) Em 7² = 49, responda:

a) Qual é a base?
b) Qual é o expoente?
c) Qual é a potência?

2) Escreva na forma de potência:

a) 4x4x4= (R: 4³)  
b) 5x5 = (R: 5²)  
c) 9x9x9x9x9= (R: 9⁵)   
d) 7x7x7x7 = (R:  7⁴)  
e) 2x2x2x2x2x2x2= (R: 2⁷ )
f) cxcxcxcxc= (R: c⁵ ) 

3) Calcule a potência:

a) 3² = (R: 9)
b) 8² = (R: 64)
c) 2³= (R: 8)d) 3³ = (R: 27)e) 6³ = (R: 216)
f) 2⁴ = (R: 16)
g) 3⁴ = (R: 81)
h) 3⁵ = (R: 243)i) 1⁴ = (R: 1)j) 0⁴ = (R: 0)l) 1⁵ = (R: 1)
m) 10² = (R: 100)
n) 10³ = (R: 1000)
o) 15² = (R: 225)
p) 17² = (R: 289)
q) 30² = (R: 900)

4) Calcule as potências:

a)40² = (R: 1600)
b)32² = (R: 1024)
c)15³ = (R: 3375)
d) 30³= (R: 27000)
e) 11⁴ = (R: 14641)
f) 300² = (R: 90000)
g) 100³ = (R: 1000000)
h) 101² = (R: 10201)

5) Calcule as Potências:

a) 11² = (R: 121)b) 20² = (R: 400)
c) 17² =(R: 289)
d) 0² = (R: 0)e) 0¹ = ( R: 0)
f) 1⁶ = (R: 1)
g) 10³ = (R: 1.000)
h) 470¹ = (R: 470)i) 11³ = R: 1331)
j) 67⁰ = (R: 1)k) 1³⁰ = (R: 1)l) 10⁵ = (R: 100000)m) 1⁵ = (R: 1)n) 15³ = (R: 3375)
o) 1² = (R: 1)
p) 1001⁰= (R: 1)



RADICIAÇÃO
Qual o número que elevado ao quadrado é igual a 9?

Solução

Sendo 3² = 9, podemos escrever que √9 = 3

Essa operação chama-se radiciação, que é a operação inversa da potenciação

Exemplos

Potenciação------------------------radiciação
a) 7² = 49 ---------------------------- √49= 7
b) 2³= 8 ------------------------------ ∛8 = 2
c) 3⁴= 81 ---------------------------- ∜81 = 3

O sinal √ chamamos de radical
O índice 2 significa : raiz quadrada
O índice 3 significa: raiz cúbica
O índice 4 significa: raiz quarta

assim:

√49= 7 lê-se: raiz quadrada de 49

∛8 = 2 lê-se : raiz cúbica de 8

∜81 = 3 lê-se: raiz quarta de 81

Nota:

Não é necessário o índice 2 no radical para a raiz quadrada


EXERCÍCIOS

1)Descubra o número que :

a) elevado ao quadrado dá 9

b) elevado ao quadrado dá 25

c) elevado ao quadrado dá 49

d) elevado ao cubo dá 8


2) Quanto vale x ?

a) x²= 9 (R:3)
b) x²= 25 (R:5)
c) x²= 49 (R:7)
d) x²= 81 (R:9)

3) Determine a Raiz quadrada:

a) √9 = (R: 3)b) √16 = (R: 4)
c) √25 = (R: 5)
d) √81 = (R: 9)
e) √0 = (R: 0)
f) √1 = (R: 1)
g) √64 = (R: 8)
h) √100 = (R: 10)

4) Resolva as expressões abaixo:

a) √16 + √36 = 4 + 6 = (R: 10)
b) √25 + √9 = 5 + 3 = (R: 8)
c) √49 - √4 = 7 - 2 = (R: 5)
d) √36- √1 = 6 - 1 = (R: 5)
e) √9 + √100 = 3 + 10 = (R: 13)
f) √4 x √9 = 2 x 3 = (R: 6)


PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO

Primeira propriedade

Multiplicação de potências de mesma base

Ao multiplicar potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes.
exemplos
3² x 3⁵ = 3²⁺⁵ = 3⁷

conclusão:
conservamos a base e somamos os expoentes.


EXERCÍCIOS

1) Reduza a uma só potência

a) 4³ x 4 ²= (R: 4⁵)
b) 7⁴ x 7⁵ = (R: 7⁹)
c) 2⁶ x 2²= (R: 2⁸)
d) 6³ x 6 = (R: 6⁴)
e) 3⁷ x 3² = (R: 3⁹)
f) 9³ x 9 = (R: 9⁴)
g) 5 x 5² = (R: 5³)
h) 7 x 7⁴ = (R: 7⁵)
i) 6 x 6 = (R: 6²)
j) 3 x 3 = (R: 3²)
l) 9² x 9⁴x 9 = (R: 9⁷)
m) 4 x 4² x 4 = (R: 4⁴)
n) 4 x 4 x 4= (R: 4³)
0) m⁰ x m x m³ = (R: m⁴)
p) 15 x 15³ x 15⁴x 15 = (R: 15⁹)


2) Reduza a uma só potência:

a) 7² x 7⁶ = (R: 7⁸)
b) 2² x 2⁴= (R: 2⁶)
c) 5 x 5³ = (R: 5⁴)
d) 8² x 8 = (R: 8³)
e) 3⁰ x 3⁰ = (R: 3⁰)
f) 4³ x 4 x 4² = (R: 4⁶)
g) a² x a² x a² = (R: a⁶)
h) m x m x m² = (R: m⁴)
i) x⁸ . x . x = (R: x¹⁰)
j) m . m . m = (R: m³)

Segunda Propriedade

Divisão de Potência de mesma base

Ao dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos os expoentes.

Exemplo

a) 8⁹: 8² = 8⁹⁻² = 8⁷

b) 5⁴ : 5 = 5⁴⁻¹ = 5³

conclusão : conservamos a base e subtraimos os expoentes

EXERCÍCIOS

1) Reduza a uma só potência


a) 5⁴ : 5² = (R: 5²)
b) 8⁷ : 8³ = (R:  8⁴)
c) 9⁵ : 9² = (R: 9³)
d) 4³ : 4² = (R: 4¹)e) 9⁶ : 9³ = (R: 9³)
f) 9⁵ : 9 = (R: 9⁴)
g) 5⁴ : 5³ = (R: 5¹)
h) 6⁶ : 6 = (R: 6⁷)
i) a⁵ : a³ = (R: a²)
j) m² : m = (R: m¹)
k) x⁸ : x = (R: x⁷)
l) a⁷ : a⁶ = (R: a¹)


2) Reduza a uma só potência:

a) 2⁵ : 2³ =
b) 7⁸ : 7³=
c) 9⁴ : 9 =
d) 5⁹ : 5³ =
e) 8⁴ : 8⁰ =
f) 7⁰ : 7⁰ =

Teceira Propriedade

Potência de Potência

Ao elevar uma potência a um outro expoente, repetimos a base e multiplicamos os expoentes.

(7²)³ = 7²΄³ = 7⁶

conclusão: conservamos a base e multiplicamos os expoentes.


EXERCÍCIOS

1) Reduza a uma só potência:

a) (5⁴)²
b) (7²)⁴
c) (3²)⁵
d) (4³)²
e) (9⁴)⁴
f) (5²)⁷
g) (6³)⁵
h) (a²)³
i) (m³)⁴
j) (m³)⁴
k) (x⁵)²
l) (a³)⁰
m) (x⁵)⁰

2) Reduza a uma só potência:

a) (7²)³ =
b) (4⁴)⁵ =
c) (8³)⁵ =
d) (2⁷)³ =
e) (a²)³ =
f) (m³)⁴ =
g) (a⁴)⁴ =
h) (m²)⁷ =


EXPRESSÕES NUMÉRICAS COM POTENCIAÇÃO


Para resolver uma expressão numérica, efetuamos as operações obedecendo à seguinte ordem :

1°) Potenciação
2°) Multiplicações e divisões
3°) Adições e Subtrações

EXEMPLOS

1) exemplo

   5 + 3² x 2 =
= 5 + 9 x 2 =
= 5 + 18 =
= 23

2) exemplo

 7² - 4 x 2 + 3 =
= 49 – 8 + 3 =
= 41 + 3 =
= 44

Há expressões onde aparecem os sinais de associação e que devem ser eliminados nesta ordem:

1°) parênteses ( )
2°) colchetes [ ]
3°) chaves { }

exemplos

1°) exemplo

   40 – [5² + ( 2³ - 7 )] =
= 40 – [5² + ( 8 - 7 )]
= 40 – [25 + 1 ]=
= 40 – 26 =
= 14

2°) exemplo

   50 –{ 15 + [ 4² : ( 10 – 2 ) + 5 x 2 ] } =
= 50 –{ 15 + [ 16 : 8 + 10 ]}=
= 50 – { 15 + [ 2 + 10 ] } =
= 50 – { 15 +12 } =
= 50 – 27 =
= 23

Exercícios

1) Calcule o valor das expressões:

a) 7² - 4 = (R:45)
b) 2³ + 10 = (R:18)
c) 5² - 6 = (R:19)
d) 4² + 7⁰= (R:17)e) 5⁰+ 5³= (R: 126)
f) 2³+ 2⁴ = (R: 24)
g) 10³ - 10² = (R: 900) 
h) 80¹ + 1⁸⁰ = (R: 81)
i) 5² - 3² = (R: 16)
j) 1⁸⁰ + 0⁷⁰ = (R: 1)

2) Calcule

a) 3² + 5 = (R: 14)b) 3 + 5² = (R: 28)
c) 3² + 5² = (R: 34)
d) 5² - 3² = (R: 16)
e) 18 - 7⁰ = (R: 17)f) 5³ - 2² = (R: 121)
g) 10 + 10² = (R: 110)
h) 10³ - 10² = (R: 900)
i) 10³ - 1¹ = (R: 999)

3) Calcule o valor das expressões

a) 2³ x 5 + 3² = (R: 49)
b) 70⁰+ 0⁷⁰ - 1 = (R: 0 )
c) 3 x 7¹ - 4 x 5⁰ = (R: 17)
d) 3⁴- 2⁴: 8 – 3 x 4 = (R: 67)
e) 5² + 3 x 2 – 4 = (R: 27)
f) 5 x 2² + 3 – 8 = (R: 15)
g) 5² - 3 x 2² - 1 = (R: 12)
h) 16 : 2 – 1 + 7² = (R: 56)

4) calcule o valor das expressões:

a) 5² : ( 5 +1 -1)+ 4 x 2 = (R: 13)
b) (3 +1)² +2 x 5 - 10⁰ = (R: 25)
c) c) 3²: ( 4 – 1) + 3 x 2² = (R: 15)
d) 70 –[ 5 x (2² : 4) + 3²] = (R: 56)
e) ( 7 + 4) x ( 3² - 2³) = (R: 11)
f) 5² + 2³ - 2 x (3 + 9) = (R: 9)
g) 6² : 3² + 4 x 10 – 12 = (R: 32) 
h) (7² - 1 ) : 3 + 2 x 5 = (R: 26)

5) calcule o valor das expressões:

a) 5 + 4²- 1 = (R: 20)
b) 3⁴ - 6 + 2³ = (R: 83)
c) 2⁵ - 3² + 1⁹ = (R: 24)
d) 10²- 3² + 5 = (R: 96)e) 11² - 3² + 5 = (R: 117)
f) 5 x 3² x 4 = (R: 180)
g) 5 x 2³ + 4² = (R: 56)
h) 5³ x 2² - 12 = (R: 488)

6) Calcule o valor das expressões:

a) ( 4 + 3)² - 1 = (R: 48)
b) ( 5 + 1 )² + 10 = (R: 46)
c) ( 9 – 7 )³ x 8 = (R: 64)
d) ( 7² - 5²) + ( 5² - 3 ) = (R: 46)e) 6² : 2 - 1⁴ x 5 = (R: 13)
f) 3² x 2³ + 2² x 5² = (R: 172)

7) Calcule o valor das expressões:

a) 4²- 10 + (2³ - 5) = (R: 9)b) 30 – (2 + 1)²+ 2³ = (R: 29)
c) 30 + [6² : ( 5 – 3) + 1 ] = (R: 49)
d) 20 – [6 – 4 x( 10 - 3²) + 1] = (R: 17)
e) 50 + [ 3³ : ( 1 + 2) + 4 x 3] = (R: 71)f) 100 –[ 5² : (10 – 5 ) + 2⁴ x 1 ] = (R: 79)
g) [ 4² + ( 5 – 3)³] : ( 9 – 7)³ = (R: 3 )h) 7²+ 2 x[(3 + 1)² - 4 x 1³] = (R: 73)
i) 25 + { 3³ : 9 +[ 3² x 5 – 3 x (2³- 5¹)]} = (R: 64)

8) Calcule as expressões:

a) ( 8 : 2) . 4 + {[(3² - 2³) . 2⁴ - 5⁰] . 4¹}= (R:76)
b) ( 3² - 2³) . 3³ - 2³ + 2² . 4² = ( R:83)
c) ( 2⁵ - 3³) . (2² - 2 ) = (R: 10)
d) [2 . (10 - 4² : 2) + 6²] : ( 2³ - 2²) = ( R:10)
e) (18 – 4 . 2) . 3 + 2⁴ . 3 - 3² . ( 5 – 2) = (R: 51)
f) 4² . [2⁴ : ( 10 – 2 + 8 ) ] + 2⁰ = (R: 17)
g) [( 4² + 2 . 3²) + ( 16 : 8)² - 35]² + 1¹⁰ - 10⁰ = (R : 9)
h) 13 + ( 10 – 8 + (7 – 4)) = (R: 18)
i) (10 . 4 + 18 – ( 2 . 3 +6)) = (R:46)
j) 7 . ( 74 – ( 4 + 7 . 10)) = (R: 0)
k) ( 19 : ( 5 + 3 . 8 – 10)) = (R : 1)
l) (( 2³ + 2⁴) . 3 -4) + 3² = (R: 77)
m) 3 + 2 . ((3²- 2⁰) + ( 5¹ - 2²)) + 1 = (R: 22)

Adição e Subtração de Frações

Adição e Subtração de Frações

Para adicionar ou subtrair frações de mesmo denominador, somam-se os numeradores e repete-se o denominador.

Temos que analisar dois casos:

1º) denominadores iguais

Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conservar o denominador.
Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar o denominador.

Observe os exemplos:



2º) denominadores diferentes

Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações equivalentes, de denominadores iguais ao mmc dos denominadores das frações.

Exemplo: somar as frações

Obtendo o mmc dos denominadores temos mmc (5,2) = 10.

	(10:5). 4 = 8		(10:2).5 = 25

Resumindo: utilizamos o mmc para obter as frações equivalentes e depois somamos normalmente as frações, que já terão o mesmo denominador, ou seja, utilizamos o caso 1.

Multiplicação e divisão de números fracionários

Nas multiplicações de frações multiplica-se o numerador com numerador e denominador com denominador. Se necessário, simplifique o produto.

Veja os exemplos:








Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda. Se necessário simplifique.

Veja o exemplo abaixo:

www.colegioweb.com.br

Introdução ao estudo dos conjuntos

Professor de Matemática no Colégio Estadual Dinah Gonçalves

E Biologia na rede privada de Salvador-Bahia

Professor Antonio Carlos carneiro Barroso

email accbarroso@hotmail.com

Blog HTTP://ensinodematemtica.blogspot.com.br e HTTP://accbarroso60.wordpress.com
www.accbarrosogestar.wordpress.com 

Introdução ao estudo dos conjuntos

Por Marcelo Rigonatto

Teoria de conjuntos

O estudo sobre teoria dos conjuntos é atribuído ao russo George Ferdinand Cantor (1845 – 1918). Podemos definir conjunto como sendo um agrupamento de elementos com características comuns. Compreender a teoria de conjuntos é fundamental para resolução de diversas situações-problema da matemática.

Os conjuntos são representados sempre por uma letra maiúscula do alfabeto e podem ser expressos das seguintes formas:

1. Por extenso: A = {6, 8, 10, 12, 14}
2. Por descrição: B = {x: x é um número ímpar maior que 7} → lê-se: B é um conjunto formado por elementos x, tal que x é um número ímpar maior que 7.
3. Pelo diagrama de Venn-Euler:

Um conjunto pode: apresentar infinitos elementos, sendo classificado como conjunto infinito; apresentar um número finito de elementos, denominado de conjunto finito; apresentar somente um elemento, sendo chamado de conjunto unitário; ou não possuir nenhum elemento, sendo classificado como conjunto vazio. Vejamos alguns exemplos de cada um desses conjuntos.

1. Conjunto Infinito
A = {x: x é um número par} = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...}

2. Conjunto Finito
B = {x: x é um número par menor que 11} = {0, 2, 4, 6, 8, 10}

3. Conjunto Unitário
C = {x: x é um número primo e par} = {2}

4. Conjunto Vazio
D = {x: x é um número primo menor que 2} = { } = ø

Relação de pertinência

A relação de pertinência é utilizada para determinar se um elemento pertence ou não a um determinado conjunto. Para isso utilizamos os símbolos:


Exemplo 1: Dado o conjunto A = {5, 9, 13, 17, 21, 25, 29}, temos que:


A relação de pertinência é utilizada somente para comparação de elemento com conjunto.

Relação de inclusão

A relação de inclusão é utilizada para verificar se um conjunto está ou não contido em outro, ou seja, se um é subconjunto do outro, utilizando para isso os símbolos:


Dizemos que um conjunto A está contido num conjunto B quando todos os elementos de A pertencem também a B.

Exemplo 2: Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6, 7} e C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, podemos dizer que:


Quando ocorrer de , dizemos que A é um subconjunto de B.

Produto Cartesiano

Dados dois conjuntos A e B, define-se produto cartesiano, representado por A x B (lê-se A cartesiano B), como sendo o conjunto de todos os pares ordenados (x, y) onde os valores de x são compostos por elementos do conjunto A e os valores de y compostos por elementos do conjunto B.

Exemplo 3: Seja A = {2, 4, 6, 8} e B = {1, 3, 5}, temos que:

A x B = {(2, 1), (2, 3), (2, 5), (4, 1), (4, 3), (4, 5), (6, 1), (6, 3), (6, 5), (8, 1), (8, 3), (8, 5)}

Note que B x A é diferente de A x B:

B x A = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (1, 8), (3, 2), (3, 4), (3, 6), (3, 8), (5, 2), (5, 4), (5, 6), (5, 8)}

Exemplo 4: Sendo A = {m, n, p} e B = {10, 11}, temos que:

A x B = {(m, 10), (m, 11), (n, 10), (n, 11), (p, 10), (p, 11)}
B x A = {(10, m), (10, n), (10, p), (11, m), (11, n), (11, p)}

Sistema métrico decimal

1 - Medida de comprimento

No sistema métrico decimal, a unidade fundamental para medir comprimentos é o metro, cuja abreviação é m. Existem os múltiplos e os submúltiplos do metro, veja na tabela:

Múltiplos				u.f.	Submúltiplos
quilôm	hectôm	decâm	metro		Decím	centím	Milím
km	hm	dam	m		Dm	cm	mm
1 000 m	100 m	10 m	1 m		0,1 m	0,01 m	0,001 m

Existem outras unidades de medida mas que não pertencem ao sistema métrico decimal. Vejamos as relações entre algumas dessas unidades e as do sistema métrico decimal:

1.1 Transformação de unidades

Observando o quadro das unidades de comprimento, podemos dizer que cada unidade de comprimento é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior, isto é, as sucessivas unidades variam de 10 em 10. Concluí-se então que para transformar uma unidade para um submúltiplo, basta multiplicar por 10ⁿ onde n é o número de colunas à direita do número na tabela. Já para passar para um múltiplo, basta dividir por 10ⁿ onde n é o número de colunas à esquerda do número na tabela.
No sistema métrico decimal, a unidade fundamental para medir superfícies é o metro quadrado, cuja representação é m² . O metro quadrado é a medida da superfície de um quadrado de um metro de lado. Como na medida de comprimento, na área também temos os múltiplos e os submúltiplos:

Múltiplos				u.f.	Submúltiplos
km2	hm2	dam2	m2		dm2	cm2	mm2
1 000 000 m2	10 000 m2	100 m2	1 m2		0,01 m2	0,0001 m2	0,000001 m2

2 - Transformação de unidades

Analogamente à transformação de unidades da medida de comprimento, faremos para a medida de área, porém para cada devemos multiplicar ou dividir por 10² e não 10. Veja os exemplos:

c) 20 000 m² = 20 000 x 10^-6 km² = 0,02 km²

Em alguns estados do Brasil, utiliza-se também uma unidade não legal chamada alqueire.

- 1 alqueire mineiro é equivalente a 48 400 m².

- 1 alqueire paulista é equivalente a 24 200 m².

3 - Áreas das figuras geométricas planas

Constantemente no estudo de gráficos, precisamos determinar a área compreendida entre a curva e o eixo-x. Daremos aqui as fórmulas, para o cálculo da área, das figuras mais utilizadas na Física.

No sistema métrico decimal, a unidade fundamental para medir volume é o metro cúbico, cuja abreviatura é m³ . O metro cúbico (m³) é o volume ocupado por um cubo de 1 m de aresta. Como nas medidas de comprimento e de área, no volume também temos os múltiplos e os submúltiplos:

Múltiplos				u.f.	Submúltiplos
km3	hm3	dam3	m3		dm3	cm3	mm3
1 000 000 000 m3	1000 000 m3	1000 m3	1 m3		0,001 m3	0,00001 m3	0,000000001 m3

As mais utilizadas, além do metro cúbico, são o decímetro cúbico e o centímetro cúbico.

Analogamente à transformação de unidades da medida de comprimento, faremos para a medida de área, porém para cada devemos multiplicar ou dividir por 10³ e não 10. Veja os exemplos:

De acordo com o Comitê Internacional de Pesos e Medidas, o litro é, aproximadamente, o volume equivalente a um decímetro cúbico, ou seja:

1 litro = 1,000027 dm³

Porém, para todas as aplicações práticas, simples, podemos definir:

Veja os exemplos:

1) Na leitura do hidrômetro de uma casa, verificou-se que o consumo do último mês foi de 36 m³. Quantos litros de água foram consumidos?
2) Uma industria farmacêutica fabrica 1 400 litros de uma vacina que devem ser colocados em ampolas de 35 cm³ cada uma. Quantas ampolas serão obtidas com essa quantidade de vacina?
(1 400 000 cm³ ) : (35 cm³) = 40 000 ampolas.

5.1 - Outras unidades para medir a capacidade

São também utilizadas outras unidades para medir capacidade, que são múltiplos e submúltiplos do litro:

Múltiplos			u.f.	Submúltiplos
hectolitro	decalitro	litro		decilitro	centilitro	mililitro
hl	dal	l		dl	cl	ml
100 l	10 l	1 l		0,1 l	0,01 l	0,001 l

Obs. 1) Não é usado nem consta da lei o quilolitro.

Observando o quadro das unidades de capacidade, podemos verificar que cada unidade de capacidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior, isto é, as sucessivas unidades variam de 10 em 10.

Veja os exemplos:

Solução: 15 l = (15 x 10³) ml = 15 000 ml

Solução: 250 ml = 0,25 l = 0,25 dm³ = 250 cm³

2) Expressar 250 ml em cm³.

1) Expressar 15 l em ml.

5.1.1 - Transformação de unidades

2) Além do litro, a unidade mais usado é o mililitro (ml) , principalmente para medir pequenos volumes, como a quantidade de líquido de uma garrafa, de uma lata ou de uma ampola de injeção.

Solução: 1 400 litros = 1 400 dm³ = 1 400 000 cm³
Solução: 36 m³ = 36 000 dm³ = 36 000 l 1 litro = 1 dm³
A unidade fundamental para medir capacidade de um sólido é o litro, cuja abreviação é l .

5 Unidades de medida de capacidade
b) 500 000 cm³ = 500 000 x 10^-6 m³ = 0,5 m³
a) 8,2 m³ = 8,2 x 10³ dm³ = 8 200 dm³

4.1 Transformação de unidades
4 - Medidas de volume
A = b x h A = A = A = p.r²
1 hectare (há) = 1 hm² = 10 000 m²
O hectare é a medida de superfície de um quadrado de 100 m de lado.
obs. Quando queremos medir grandes porções de terra (como sítios, fazendas etc.) usamos uma unidade agrária chamada hectare (ha).
b) 3 km² = 3 x 10⁶ m² = 3 000 000 m²
a) 5 m² = 5 x 10² dm² = 500 dm²

2- Medida de superfície
500 m = 500 x 10^-3 km = 0,5 km
Por exemplo: 7 m = 7 x 10² cm = 700 cm
1 pé = 30 centímetros (aproximadamente)
1 légua = 5 555 metros (aproximadamente)
1 milha = 1 609 metros (aproximadamente)
1 polegada = 25 milímetros (aproximadamente)
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MDC e MMC com exercícios

Máximo Divisor Comum - M.D.C.


Definimos Máximo Divisor Comum - M.D.C entre dois ou mais números como sendo o maior divisor comum entre eles.

Exemplo 1 : Consideremos, por exemplo, os números 18 e 30. Determinemos, inicialmente, o conjunto de seus divisores :

D(18) = { 1, 2, 3, 6, 9 e 18 } e D(30) = { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30 }

O Conjunto nos mostra os divisores comuns a 18 e 30 e dentre eles o maior, ou máximo,
será o 6 ; Com isso diremos que : M.D.C ( 18 e 30 ) = 6

Exemplo 2 : Consideremos, por exemplo, os números 24, 60 e 84. Determinemos, inicialmente, seus divisores :

D(24) = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24 },
D(60) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60 } e
D(84) = { 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42 e 84 }

O Conjunto nos mostra os divisores comuns a 24, 60 e 84 e dentre eles o maior, ou
máximo, será o 12 ; Com isso diremos que : M.D.C ( 18, 60 e 84 ) = 12

2.0 - Métodos para o Cálculo do M.D.C.


2.1 - 1º Método: Algoritmo de Euclides, Método das Divisões Sucessivas ou " Jogo da Velha "


Exemplo 1 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre 48 e 72 .

Montemos um diagrama semelhante ao Jogo da Velha e nele colocaremos na ordem decrescente os números dados.

Passo 1 - Dividimos o maior 72 pelo menor 48, o quociente 1 dessa divisão colocaremos acima do divisor 48 e o resto da divisão 24
colocaremos abaixo do dividendo 72.

Passo 2 - Deslocamos o resto obtido 24 para o espaço a direita do divisor e Dividimos este 48 por ele 24, o quociente 2 dessa divisão
colocaremos acima do novo divisor e o resto da divisão 0 colocaremos abaixo do novo dividendo 48. Esse processo será repetido até
que chequemos ao resto zero.

Passo 3 - Quando o resto se tornar igual a zero concluímos que o último divisor será o M.D.C. procurado . Assim: M.D.C. ( 48 e 72 ) = 24



Exemplo 2 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre 324 e 252 .

Montemos um diagrama semelhante ao Jogo da Velha e nele colocaremos na ordem decrescente os números dados.

Passo 1 - Dividimos o maior 324 pelo menor 252, o quociente 1 dessa divisão colocaremos acima do divisor 252 e o resto da divisão 72
colocaremos abaixo do dividendo 324.

Passo 2 - Deslocamos o resto obtido 72 para o espaço a direita do divisor e dividimos este 252 por ele 72, o quociente 3 dessa divisão
colocaremos acima do novo divisor 72 e o resto 36 colocaremos abaixo do novo dividendo 252.

Passo 3 - Deslocamos o resto obtido 36 para o espaço a direita do novo divisor 72 e dividimos este 72 por ele 36, o quociente 2 dessa
divisão colocaremos acima do divisor 36 e o resto da divisão 0 colocaremos abaixo do último dividendo 72.

Passo 4 - Como o resto se tornou igual a zero concluímos que o último divisor é o M.D.C. procurado . Assim M.D.C. ( 324 e 252 ) = 36



2.2 - 2º Método: Decomposição em Fatores Primos


Nesse método iremos decompor os números em fatores primos e aplicarmos a regra :

O M.D.C. entre dois ou mais números é dado pelo produto entre os fatores primos comuns, elevados aos menores expoentes

Exemplo 1 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre 96 e 360.

Decompondo cada um dos números em fatores primos, teremos :

96 = 25 X 3 e 360 = 23 X 32 X 5. E aplicando a regra, teremos :

fatores comuns => 2 e 3 e elevados aos menores expoentes : 23 e 31. Com isso : M.D.C. ( 96 e 360 ) = 23 X 3 = 8 X 3 = 24

Exemplo 2 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre 100, 180 e 840.

Decompondo cada um dos números em fatores primos, teremos :

100 = 22 X 52 180 = 22 X 32 X 5 e 840 = 23 X 3 X 5 X 7

E aplicando a regra, teremos :

fatores comuns => 2 e 5 e elevados aos menores expoentes : 22 e 51. Com isso : M.D.C. (100, 180 e 840) = 22 X 5 = 4 X 5 = 20

Exemplo 3 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre A, B e C, sendo :

A = 22 X 35 X 54
B = 26 X 33 X 53 X 113 e
C = 24 X 34 X 52 X 75

Nesse caso os números já estão decompostos em fatores primos e aplicando a regra, teremos :

Fatores comuns => 2, 3 e 5 e elevados aos menores expoentes : 22, 33 e 52.

Com isso e deixando o resultado indicado como originalmente no exemplo : M.D.C. (A, B e C) = 22 X 33 X 52

3.0 - Características Marcantes do M.D.C.


5.04a - O M.D.C. entre dois ou mais números primos será sempre igual a unidade.

5.04b - O M.D.C. entre dois números consecutivos será sempre igual a unidade.

5.04c - O M.D.C. entre dois ou mais números pares será sempre igual a 2.

5.04d - Se A é múltiplo de B, o M.D.C. entre A e B será igual a B.

5.04e - Se B é divisor de A, o M.D.C. entre A e B será igual a B.

5.04f - Se multiplicarmos dois ou mais números por um número natural maior que zero, o M.D.C. entre eles também ficará multiplicado
por esse número.

5.04g - Se dividirmos dois ou mais números por um número natural maior que zero, o M.D.C. entre eles também ficará dividido por
esse número.

5.04h - Quando o M.D.C. entre dois números, não necessariamente primos, é 1, eles são chamados primos entre si.

4.0 - Mínimo Múltiplo Comum - M.M.C.


Definimos Mínimo Múltiplo Comum - M.M.C entre dois ou mais números como sendo o menor múltiplo comum não nulo entre eles.

Exemplo 1 : Consideremos, por exemplo, os números 12 e 18. Determinemos, inicialmente, o conjunto de seus múltiplos :

M(12) = { 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, … } e M(18) = { 0, 18, 36, 54, 72, 90, … }

O Conjunto nos mostra os múltiplos comuns a 12 e 18 e dentre eles o menor e
não nulo, ou mínimo, será o 36 ; Com isso, diremos que : M.M.C ( 12 e 18 ) = 36

Exemplo 2 : Consideremos, por exemplo, os números 6, 9 e 15. Determinemos, inicialmente, seus múltiplos :

M( 6 ) = { 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, … } ,
M( 9 ) = { 0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, … } e
M( 15 ) = { 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, … }

O Conjunto nos mostra os múltiplos comuns a 6, 9 e 15 e dentre eles o
menor e não nulo, ou mínimo, será o 90 ;

Com isso diremos que : M.M.C ( 6, 9 e 15 ) = 90

5.0 - Métodos para o Cálculo do Mínimo Múltiplo Comum - M.M.C.


5.1 - 1º Método para o Cálculo do M.M.C. : Decomposição em Fatores Primos


Nesse método iremos decompor os números em fatores primos e aplicarmos a regra :

O M.M.C. entre dois ou mais números é dado pelo produto entre todos os fatores primos, comuns e não comuns, elevados aos maiores
expoentes

Exemplo 1 : Calculemos, por exemplo, o M.M.C entre 24 e 50.

Decompondo cada um dos números em fatores primos, teremos : 24 = 23 X 31 e 50 = 21 X 52. E aplicando a regra, teremos :

todos os fatores => 2, 3 e 5 e elevados aos maiores expoentes : 23, 31 e 52. Com isso :

M.M.C. ( 24 e 50 ) = 23 X 31X 52 = 8 X 3 X 25 = 600

Exemplo 2 : Calculemos, por exemplo, o M.M.C entre A, B e C, sendo :

A = 22 X 35 X 5
B = 23 X 33 X 53 X 73
C = 24 X 34 X 52 X 74

Nesse caso os números já estão decompostos em fatores primos e aplicando a regra, teremos :

Todos os fatores => 2, 3, 5 e 7 e elevados aos maiores expoentes : 24, 35, 53 e 74. Com isso e deixando o resultado indicado como
originalmente no exemplo, teremos :

M.M.C. (A, B e C) = 24 X 35 X 53 X 74.

5.2 - 2º Método para o Cálculo do M.M.C. : Decomposição Simultânea.


Nesse método iremos decompor os números simultaneamente em fatores primos :

Exemplo 1 : Calculemos, por exemplo, o M.M.C entre 12 e 20.

Passo 1 - Coloquemos lado a lado os números e a direita deles tracemos uma linha vertical

Passo 2 - A partir daí dividiremos cada número pela sucessão dos números primos, enquanto pelo menos um deles for divisível a
operação deve ser continuada, e nesse caso repetiremos o número não divisível até que não seja mais possível também para o outro,
ou nenhum dos outros, a divisão.

Passo 3 - Quando cada coluna a esquerda apresentar a unidade, o produto de todos os fatores encontrados a direita nos dará o M.M.C. .



Com Isso o M.M.C. entre 12 e 20 será 22 X 3 X 5 = 60

Exemplo 2 : Calculemos, agora, o M.M.C entre 8, 14 e 20.



Com Isso o M.M.C. entre 8, 14 e 20 será 23 X 3 X 5 = 120

5.3 - 3º Método para o Cálculo do M.D.C. : Decomposição Simultânea.


Como já conhecemos como funciona o cálculo do M.M.C. pelo método da decomposição simultânea, podemos aplicá-lo também para
o cálculo do M.D.C.:

Exemplo 1 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre 12 e 60 e 72.

Passo 1 - Faremos exatamente com se fossemos calcular o M.M.C. entre eles

Passo 2 - Quando cada coluna a esquerda apresentar a unidade, o produto de todos os fatores encontrados a direita do traço que
dividiram simultameamente todos os 3 números nos dará o M.D.C. entre eles.

12 , 60 , 72 2 <<<
6 , 30 , 36 2 <<<
3 , 15 , 18 2
3 , 15 , 9 3 <<<
1 , 5 , 3 3
1 , 5 , 1 5
1 , 1 , 1

Assinalamos com as 3 setinhas os fatores que dividiram ao mesmo tempo os 3 números. O produto desses números assinalados nos dará
o M.D.C. entre eles.

Com Isso o M.D.C entre 12 e 60 e 72 será 22 X 3 = 12

6.0 - Características Marcantes do M.M.C.


5.09a - O M.M.C. entre dois ou mais números primos será sempre igual ao produto entre eles.

5.09b - O M.M.C. entre dois números consecutivos será sempre igual ao produto entre eles.

5.09c - Se A é múltiplo de B, o M.M.C. entre A e B será igual a A.

5.09d - Se B é divisor de A, o M.M.C. entre A e B será igual a A.

5.09e - Se multiplicarmos dois ou mais números por um número natural maior que zero, o M.M.C. entre eles também ficará
multiplicado por esse número.

5.09f - Se dividirmos dois ou mais números por um número natural maior que zero, o M.D.C. entre eles também ficará dividido
por esse número.

7.0 - Propriedade Importante entre M.D.C. e M.M.C.


Dados dois números A e B, o produto entre seu M.D.C. e o seu M.M.C. , será igual ao produto A X B entre eles. Ou seja :

M.M.C. ( A e B ) x M.M.C.( A e B ) = A X B


Tente provar essa importante propriedade. É mais fácil que você imagina.

Importante: Essa propriedade somente é válida para o M.D.C. e o M.M.C. entre dois números

8.0 - Exercícios Propostos


I - Determine o M.D.C. entre :

01) dois números pares e consecutivos 02) dois números consecutivos
03) dois números ímpares e consecutivos 04) dois números primos
05) dois múltiplos pares e naturais de 9 06) 3 números terminados em 5
07) dois múltiplos inteiros de 7, positivos e consecutivos 08) dois múltiplos naturais cuja diferença é o triplo do menor


II - Determine pelo Algoritmo de Euclides ( Jogo da Velha ) o M.D.C. entre :

09) 24 e 60 10) 96 e 180 11) 132 e 198
12) 247 e 299 13) 624 e 720


14) Um aluno ao determinar o M.D.C. entre dois números pelo método das divisões sucessivas encontrou para M.D.C. 36 e
respectivamente os quocientes 1, 3 e 2. Cálculos esses dois números.

15) Um aluno ao determinar o M.D.C. de dois números pelo Algoritmo de Euclides encontrou 21 para M.D.C. e respectivamente
os quocientes 4, 2 e 2. Cálculos o maior desses números.

16) O M.D.C. de dois números determinado pelo Algoritmo de Euclides é 27. Se os 4 quocientes encontrados são distintos e os
menores possíveis, determi-ne o menor desses dois números.

17) Explique por que no cálculo do M.D.C. de dois números pelo Algoritmo de Euclides o último quociente encontrado é sempre
maior que a unidade.

III - Determine o M.D.C. entre :

18) 320 e 448 19) 462 e 1.386 20) 975 e 455
21) 28, 77 e 84 22) 108, 120 e 144 22) 60, 72, 96 e 156


IV - Qual é o maior número que divide exatamente :
23) 39, 65 e 143 24) 702 e 918 25) 519, 1.038 e 1.557


26) Qual é o maior número pelo qual devemos dividir 270 e 240 para obtermos, respectivamente, os restos 10 e 9 :

27) Qual é o maior número pelo qual devemos dividir 160, 220 e 472 para obtermos, respectivamente, os restos 7, 16 e 13

28) Ao dividirmos 167, 237, 379 e 593 pelo maior número possível, obtemos respectivamente os restos 23, 21,19 e 17.
Calcule esse número.

V - Encontrar dois números conhecendo-se sua soma S e seu M.D.C.. ( Obs : Dar todas as soluções possíveis )

29) Soma = 384 e M.D.C. = 24 30) Soma = 740 e M.D.C. = 37 31) Soma = 840 e M.D.C. = 56


VI - Encontrar dois números conhecendo-se sua soma D e seu M.D.C.. ( Obs : Dar todas as soluções possíveis )

32) Diferença = 75 e M.D.C. = 15 33) Diferença = 108 e M.D.C. = 18 34) Diferença = 378 e M.D.C. = 42


VII - Encontrar dois números conhecendo-se seu produto P e seu M.D.C.. ( Obs : Dar todas as soluções possíveis )

35) Produto = 1 536 e M.D.C. = 12 36) Produto = 1 792 e M.D.C. = 8 37) Produto = 4 320 e M.D.C. = 6


38) Encontrar três números distintos de 2 algarismos cujo M.D.C. é 13 e cuja soma é igual a 91.

VIII - Determine o M.MC. entre :

39) dois números pares e consecutivos 40) dois números consecutivos
41) dois números ímpares e consecutivos 42) dois números primos
43) dois múltiplos pares e naturais de 3 44) dois múltiplos naturais cuja diferença é o triplo do menor


IX - Determine o M.M.C. entre :

45) 32 e 48 46) 72 e 120 47) 26 e 65
48) 6, 7 e 210 49) 8, 12 e 14 50) 21, 28 e 36


X - Qual é o menor número simultaneamente divisível por :

51) 3, 4, 5, 6, 7 e 8 52) 2, 3 , 5, 8, 9 12 e 15 53) 11, 22, 33, 44 e 55
54) pelos 5 primeiros múltiplos positivos de 3 55) pelos números naturais menores que 11


XI - Determine o menor dos números que dividido por :

56) 12, 15 e 18 deixa o resto 8 57) 15, 24 e 30 deixa o resto 11
58) 24, 30, 36 e 60 deixa o resto 16 59) 32, 38 e 42 deixa o resto 17


XII - Encontrar dois números conhecendo-se sua soma S e seu M.M.C..

60) Soma = 30 e M.M.C. = 36 61) Soma = 140 e M.M.C. = 240 62) Soma = 168 e M.M.C. = 288


XIII - Encontrar dois números conhecendo-se sua soma P e seu M.M.C..

60) Produto = 360 e M.M.C. = 120 61) Produto = 2 160 e M.M.C. = 360 62) Produto = 1176 e M.M.C. = 108


63) Se o M.M.C. entre 70A e 56B é igual a 3 080. Determine os pares de valores possíveis para A e B.

XIV - Calcular o M.D.C. e o M.M.C. entre :

64) A = 23 x 34 x 5 e B = 22 x 32 x 52 65) P = 22 x 33 x 7 e Q = 2 x 34 x 5
66) M = 22 x 53 x 11 e N = 23 x 72 x 132 67) E = 23 x 3 x 5 x 72 , F = 22 x 33 x 52 x 112 e G = 2 X 32 X 73 X 112 X 17
68) A = 23 x 34 x 5 x 72 , B = 22 x 32 x 52 x 112 e C = 24 x 33 x 52 x 19 69) J = 23 x 34 x 5 x 72 , K = 22 x 32 x 52 x 112 e L = 24 x 33 x 52 x 19
70) M = 4 x 64 x 5 e P = 8 x 272 x 152


XV - Calcular o valor de n para as condições dadas :

71) A = 2n x 33 x 72 ; B= 24 x 32 x 7 x 112 para M.D.C. ( A e B ) = 23 X 32 X 7
72) Q = 22n x 32 x 52 ; B = 23 x 3n x 5 x 73 para M.M.C. ( A e B ) = 60
73) P = 24n x 9 ; B = 27 x 35 para M.D.C. ( A e B ) = 22 x 64
74) M = 30n X 7 ; B = 22 X 9 X 352 para M.M.C. ( A e B ) = 100 X 9 X 49


XVI - Calcular o valor de n + p para as condições dadas :

75) A = 2n X 33 X 132 ; B = 24 X 3p X 11 X 13 para M.D.C. ( A e B ) = 23 X 32 X 13
76) A = 2n X 32 X 11 ; B = 24 X 3p X 7 X 112 para M.M.C. ( A e B ) = 25 X 33 X 7 X 112


77) Calcular o valor da soma m + n + p tal que o M.D.C. entre A = 2m X 33 X 5p e B = 22 X 3n X 53 seja igual a 63 X 75

78) Dois números distintos A e B são os menores possíveis e podem ser representados, exclusivamente, pelos 3 menores fatores
primos. Se os expoentes do menor deles são números consecutivos. Determine o M.D.C. e o M.M.C. entre eles.

79) O produto de dois números A e B é igual a 360. Se o M.D.C. entre eles é 24, Calcule o seu M.M.C..

80) Uma doceria tem em estoque 150 balas de coco, 180 balas de chocolate e 240 balas de leite. Quantas balas de cada sabor se deve
colocar em caixas decoradas, sabendo que essas quantidades devem ser as maiores possíveis.

81) Três automóveis disputam uma corrida em uma pista circular. O mais rápido deles dá uma volta em 10 minutos, um outro leva
15 minutos e o terceiro e mais lento demora 18 minutos para dar uma volta completa. No fim de quanto tempo os 3 automóveis
voltarão a se encontrar no inicio da pista se eles partiram exatamente no mesmo instante.

82) Três automóveis disputam uma corrida em uma pista circular. Um deles dá uma volta em 18 minutos, um outro leva 20 minutos e o
terceiro demora 25 minutos para dar uma volta completa. Se eles partiram exatamente às 15 horas, Que horas serão quando os 3
automóveis voltarão a se encontrar no inicio da pista após 3 horas de corrida ?

83) Três netas visitam sua avó, respectivamente, em intervalos de 5 dias, de 7 dias e de 9 dias. Se a última vez em que as três se
encontraram na casa de sua avó foi no mês de Maio, em que mês do segundo semestre eles tornarão a se encontrar ?

84) Determine o menor número que ao ser dividido por por 11, 12 e 16 deixa, respectivamente, os restos 5, 6 e 10.

85) Determine o menor número de 4 algarismos que dividido por por 12, 15, 18 e 24 deixa, respectivamente, os restos 7, 10, 13 e 19.

9.0 - Questões de Concurso


86) ( CEFETQ - 1997 ) Determinar o maior número pelo qual se deve dividir os números 165 e 215 para que os restos sejam 9 e 11,
respectivamente.

87)( UFMG - 1996 ) O número de três algarismos divisível ao mesmo tempo por 2, 3, 5, 6, 9 e 11 é :

(A) 330 (B) 660 (C) 676 (D) 900 (E) 996


88) ( UNIFACS - 1997 ) O número de alunos de uma sala de aula é menor que 50. Formando-se equipes de 7 alunos, sobram 6.
Formando-se equipes de 9 alunos, sobram 6. Formando-se equipes de 9 alunos , sobram 5. Nessas condições, se forem formadas
equipes de 8 alunos, o número de alunos que sobram é :

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5


89) ( PUC/CAMPINAS - 1995 ) Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feito na máquina A a cada 3 dias, na máquina B,
a cada 6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita a manutenção das três máquinas, a próxima vez em que a manutenção ocorreu
no mesmo dia foi em :

(A) 5 de Dezembro (B) 6 de Dezembro (C) 8 de Dezembro (D) 14 de Dezembro (E) 26 de Dezembro


90) ( PUC/CAMPINAS - 1998 ) Uma editora tem em seu estoque 750 exemplares de um livro A, 1200 de um livro B e 2 500 de um livro C.
Deseja-se remetê-los a algumas escolas em pacotes, de modo que cada pacote os três tipos de livros em quantidades iguais e com o
maior número possível de exemplares de cada tipo. Nessas condições, remetidos todos os pacotes possíveis, o número de exemplares
que restarão no estoque é :

(A) 1.500 (B) 1.750 (C) 2.200 (D) 1.600 (E) 2.000

91) ( UNIARARAS - 1997 ) As cidade de Araras, Leme e Conchal realizam grandes festas periódicas, sendo as de Araras de 9 em
9 meses, as de Leme de 12 em 12 meses e as de Conchal de 20 em 20 meses. Se em Março de 1985 as festas coincidiram, então a
próxima coincidência foi em :

(A) Março de 1995 (B) Março de 2000 (C) Março de 1996 (D) Dezembro de 1999 (E) Nunca mais
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