Sistema de Equação do 1º grau com duas Variáveis Método da adição

 

Anelídeos

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

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Anelídeos




O solo é uma parte da biosfera geralmente repleta de vida. Muitos dos seres vivos que habitam o interior do solo não são visíveis a olho nú, mas há outros que podem ser vistos com facilidade. Um exemplo é a minhoca. Ela vive em solo úmido, como é, geralmente, o solo fértil que serve como canteiro (de horta ou jardim).

A minhoca pertence ao filo dos anelídeos - nome que inclui vermes com o corpo segmentado, dividido em anéis. Os anelídeos compreendem cerca de 15 mil espécies, com representantes que vivem no solo úmido, na água doce e na água salgada. Podem ser parasitas ou de vida livre.



Características gerais dos anelídeos

Além da minhoca, existem várias espécies de anelídeos. Podemos citar animais pequenos - como a sanguessuga, que pode medir apenas alguns milímetros de comprimento - e também animais de grande porte - como o minhocuçu, que atinge dois metros.

Sanguessuga


Minhocuçu

O habitat dos anelídeos pode ser a água dos mares e oceanos ou a água doce e a terra úmida. Eles são considerados os mais complexos dos vermes. Além do tubo digestório completo, têm um sistema circulatório fechado, isto é, têm boca e ânus e também apresentam um sistema circulatório em que o sangue só circula dentro dos vasos.

O corpo dos anelídeos é revestido por uma pele fina e úmida. Essa é uma característica importante da respiração cutânea - respiração realizada através da pele, pois os gases respiratórios não atravessam superfícies secas.

Na maioria das vezes, os anelídeos são hermafroditas, isto é, cada animal possui os dois sistemas reprodutores: o masculino e o feminino. No entanto, eles realizam fecundação cruzada e recíproca, ou seja, dois animais hermafroditas cruzam e se fecundam mutuamente.

Classificação dos anelídeos

Podemos classificar os anelídeos utilizando como critério a presença ou a ausência de estruturas semelhantes a pelos e a quantidade dessas cerdas.

Há três grupos de anelídeos: oligoquetos, poliquetos e aquetos. Pelo significado dessas palavras, é possível identificar como são as cerdas (quetos) desses animais: oligo significa "poucos"; poli significa "muitos"; e a significa "sem".



Oligoquetos

Apresentam poucas cerdas por anel. Não há parapódios (pequenas projeções do corpo que auxiliam a locomoção) nem cabeça diferenciada do restante do corpo.

O principal representante desse grupo é a minhoca. Ela tem a pele coberta por uma fina película e produz uma substância viscosa; esse muco diminui o atrito com o solo, protege a pele do contato com possíveis substâncias tóxicas e mantém a umidade, que é fundamental para a respiração cutânea.

Nesse animal, é visível o clitelo - um anel mais claro por onde os animais se unem na fecundação cruzada, trocando espermatozóides. Após a reprodução, cada um dos vermes libera no solo um casulo cheio de ovos. Alguns dias depois, saem desses ovos vermes jovens.

* O sistema digestório é formado por uma boca; um papo, que parece uma grande câmera; uma moela, por onde o alimento é triturado; um longo intestino, que termina no ânus, situado no ultimo anel do corpo.
* O sistema circulatório é fechado, e nele o sangue circula dentro dos vasos. O sangue possui hemoglobina, o mesmo pigmento vermelho que nós, seres humanos, possuímos.
* O sistema nervoso é formado por células nervosas que coordenam várias funções do corpo.

A minhoca desempenha um papel importante na fertilidade do solo. Ela cava "túneis", atua como arado, aumentando a aeração e a circulação da água. Além disso, as suas fezes contêm, substâncias nutritivas que se misturam com a terra e agem como adubo, fertilizando o solo.



Poliquetos

Possuem muitas cerdas em cada segmento, ou seja, em cada anel. Cada anel tem um par de projeções laterais, os parapódios, no qual estão implantadas as cerdas.

Os poliquetos são carnívoros. Muitas vezes, são canibais, isto é, devoram outros poliquetos.

Aquetos

Os aquetos (também chamados hirudíneos) não possuem cerdas e apresentam ventosas, que ajudam na fixação e na locomoção.

Nesse grupo, está a sanguessuga. Ela é hermafrodita e vive em solo úmido e pantanoso ou em água doce. Existem também algumas espécies marinhas.

A sanguessuga chupa o sangue de outros animais pelas ventosas, mas também pode se alimentar de minhocas e de restos de animais. É de pequeno porte, o seu comprimento varia de 1 a 20 centímetros.


Sanguessuga
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Sistemas Lineares

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

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Chamamos de sistema linear um conjunto de equações lineares. Esse conjunto pode ter m equações e n incógnitas. Resolver um sistema linear consiste em determinar o conjunto solução de suas incógnitas, isto é, encontrar os valores desconhecidos que tornem o sistema verdadeiro.

De acordo com a solução, um sistema pode ser classificado da seguinte forma:

Possível e determinado: uma única solução
Possível e indeterminado: infinitas soluções
Impossível: não possui soluções.

Observe o seguinte sistema linear com três equações e três incógnitas:

Exemplo 1

Devemos aplicar conhecimentos matemáticos relacionados à resolução de sistemas no intuito de descobrir os valores de x, y e z. Nessas situações, o cálculo mental se torna muito complexo. Observe o método de resolução oferecido para este sistema linear:

1ª equação – Isolar x

x + 2y + 3z = 1
x = 1 – 2y – 3z

2ª equação – Substituir x por 1 – 2y – 3z

4x – y – z = 3
4 * (1 – 2y – 3z) – y – z = 3
4 – 8y – 12z – y – z = 3
–9y – 13z = 3 – 4
–9y – 13z = – 1

3ª equação – Substituir x por 1 – 2y – 3z

x + y – z = 6
1 – 2y – 3z + y – z = 6
– y – 4z = 6 – 1
– y – 4z = 5

Resolver o novo sistema determinando os valores de z e y.

A solução do sistema linear é: x = 1, y = 3 e z = –2. Nesse caso, o sistema é possível e determinado.

Exemplo 2

Isolar x na 1ª equação

x + 2y – z = 3
x = 3 – 2y + z

Substituir x na 2ª equação

3x – y + z = 1
3 * (3 – 2y + z) – y + z = 1
9 – 6y + 3z – y + z = 1
– 7y + 4z = – 8

Substituir x na 3ª equação

2x + 4y – 2z = 6
2 * (3 – 2y + z) + 4y – 2z = 6
6 – 4y + 2z + 4y – 2z = 6
0y + 0z = 6 – 6
0y + 0z = 0

Na ocorrência dessa situação dizemos que o sistema é possível e indeterminado, pois nesse caso as incógnitas admitem infinitas soluções. Por qualquer valor que trocarmos y e z na equação 0y + 0z = 0, tornamos a sentença verdadeira. Observe:

y = 3 e z = 4
0 * 3 + 0 * 4 = 0 → verdadeiro

y = 7 e z = – 4
0 * 7 + 0 * (–4) = 0 → verdadeiro

Um sistema será impossível quando na sua resolução ocorrer sentença semelhante a 0y = 4, pois nessas condições temos uma divisão impossível, 4 / 0.
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Operações com decimais

Número decimal é aquele número que tem parte inteira e parte decimal, essas são separadas por vírgula.
As quatro operações (adição, subtração, multiplicação e divisão) com os números decimais, para resolver é necessário utilizar algumas regras.

Adição

Para adicionarmos dois ou mais números decimais é preciso colocar vírgula em baixo de vírgula.
Para fazermos qualquer adição, devemos saber que os números somados são chamados de parcelas e o resultado de soma total e que as parcelas tem que ser adicionadas da maior pela menor.

►4,879 + 13,14 → Parcelas

1
13 , 140 → Acrescentamos o zero para completar casas decimais.
+4 , 879
18 , 019 → Soma total

Na soma de 4 centésimos com 7 centésimos é igual a 11 centésimos, assim fica um e “vai um”.

► 2 + 1, 751

2 , 000 → Acrescentamos o zero para completar casar decimais.
+1 , 751
3 , 751

►0,3 + 1

1 , 0
+ 0 , 3
1 , 3

Subtração

Para subtrairmos dois números decimais, devemos da mesma forma que na adição colocar vírgula de baixo de vírgula de vírgula.
Sendo que o diminuendo deve ser sempre maior que o subtraendo e o resultado recebem o nome de resto ou diferença.

• 7,37 – 2,8 → minuendo e subtraendo nessa mesma ordem.

6 13
7 , 3 7 → Minuendo
- 2 , 8 0 → Subtraendo → acréscimo do zero para completar casas decimais.
4 , 5 7 → Resto ou Diferença

Para subtrair 8 décimos, transformamos 1 inteiro em 10 décimos, ficando com 13 décimos no minuendo. Assim fazemos:
13 – 8 = 5
6 – 2 = 4

► 0,25 - 0,18

1 15
0 , 2 5
- 0 , 1 8
0 , 0 7

Pra subtrair 8, transformamos 1 décimo em 10 centésimos, ficando com 15 o minuendo. Assim fazemos:
15 – 8 = 7
1 – 1 = 0

Multiplicação de inteiros

Professor de Matemática Antonio Carlos Carneiro Barroso

Ensino no Colégio Estadual Dinah Gonçalves

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O conjunto dos números inteiros é formado pelos números inteiros positivos e seus respectivos negativos, denominado oposto ou simétrico. A multiplicação entre esses números deverá respeitar algumas regras envolvendo jogo de sinais.

Produto de dois números inteiros com sinais diferentes.

Quando realizamos a multiplicação:

5 x 6 é o mesmo que 6 + 6 + 6 + 6+ 6. Então, para multiplicarmos dois números inteiros com sinais diferentes, iremos utilizar a mesma ideia.

(+5) * (– 2)

(– 2) + (– 2) + (– 2) + (– 2) + (– 2) (Escrevendo uma adição de parcelas iguais)

– 2 – 2 – 2 – 2 – 2 = – 10 (Simplificando a escrita e calculando o resultado)

(+5) * (– 2) = –10

O produto de dois números inteiros, diferente de zero, e de sinais diferentes é um número inteiro de:

Valor absoluto igual ao produto dos valores absolutos dos fatores e sinal negativo (–).

Produto de dois números inteiros com sinais iguais.

Nesse caso há duas possibilidades: dos fatores serem positivos ou dos fatores serem negativos.

Vamos calcular o produto de (+ 8) * (+5) = + 40

Vamos calcular o produto de (– 6) * (– 15) = + 90

O produto de dois números inteiros diferentes de zero e de sinais iguais é um número inteiro de:

Valor absoluto igual ao produto dos valores absolutos dos fatores e sinal positivo (+).

Elemento Neutro

O elemento neutro da multiplicação é 1 ou + 1.

Pois qualquer número inteiro multiplicado por 1 (positivo) será ele mesmo.
Exemplo:
(– 4) * 1 = – 4
(+ 5) * (+ 1) = 5
(–10) * (+1) = – 10
(+ 9) * ( 1 ) = + 9


A multiplicação dos números inteiros é mais simples que a adição e subtração, pois basta multiplicarmos os valores absolutos e o sinal fica conforme a regra:

( + ) * ( + ) = ( + )
( + ) * ( – ) = ( – )
( – ) * ( + ) = ( – )
( – ) * ( – ) = ( + )

Fatorar

A fatoração é um recurso usado para analisar e estudar melhor os números com o objetivo de aperfeiçoar o cálculo. É uma técnica fácil e até divertida de ser apreendida, desde que fiquem claros alguns procedimentos.

O primeiro é o exercício de transformarmos qualquer número, diferente de zero, em uma multiplicação com pelo menos dois números, em outras palavras, em dois fatores.

O conceito de fatoração vem justamente desse procedimento de transformarmos um número em fatores, isto é, em números que se multiplicam. Se esses números não forem primos, poderão ser transformados em nova uma multiplicação de outros dois números permitindo a construção de um jogo de cálculo mental.

É um bom caminho para testarmos a condição de um número ser primo ou não. Se no desafio de transformarmos um número em dois fatores, depararmos com a situação de esses dois fatores serem obrigatoriamente o 1 e o próprio número, que está sendo fatorado, estaremos diante de um número primo.

Assim, o 17, por exemplo, é um número primo porque - na tentativa de reescrevê-lo - com dois fatores só há a possibilidade de fazê-lo sob a forma 1 x 17.

Partindo dessas noções e desses procedimentos, podemos tentar fatorar o número 1.000 perguntando: Qual a multiplicação entre dois números que possui o resultado igual a 1.000?

Temos várias respostas, sendo uma delas 100 x 10.

Além de descobrirmos que o número 1.000 não é primo, podemos construir uma nova pergunta para os dois números que compõe a multiplicação do 1.000, que no caso são o 10 e o 100.

Quais as multiplicações que possuem como resultado o 100 e o 10? Para o 100, podemos responder que é 10 x 10. Para o 10, a resposta é 2 x 5.

Esse jogo de cálculo mental permite escrever o número 1.000 em várias etapas, sendo a primeira 1000 = 100 x 10, a segunda como 1.000 = (10 x 10) x (2 x 5) e, continuando a brincadeira, finalizamos como 1.000 = (2 x 5) x (2 x 5) x (2 x 5). O jogo termina quando todos os fatores forem primos. Neste exemplo, eles são somente o 2 e o 5.

Escrever 1.000 sob a forma de 2 x 5 x 2 x 5 x 2 x 5 é escrevê-lo sob a forma fatorada.

A partir desse resultado, não custa recordarmos que toda multiplicação pode ser escrita, por sua vez, na forma de potência quando há repetição dos fatores. Assim, concluímos que o número 1.000 - ao ser fatorado em 2 x 5 x 2 x 5 x 2 x 5, finalmente pode ser escrito como 23 x 53.

Mas você poderia ainda perguntar: não seria mais fácil escrever 1.000 na forma de 103? Sim, só que não será uma fatoração completa.

O 103 é uma fatoração incompleta do número 1.000 porque a base não é um número primo.

Então, não esqueça que fatorar um determinado número é escrevê-lo na forma de multiplicação ou potenciação, na condição de que os fatores ou as bases sejam números primos.

ÂNGULOS

Ângulo é a reunião de duas semi-retas de mesma origem e não-colineares.

Na figura

Indicação do ângulo: AÔB, ou BÔA ou simplismente Ô

PONTOS INTERNOS E PONTOS EXTERNOS A UM ÂNGULO

Seja o ângulo AÔB

MEDIDA DE UM ÂNGULO

Um ângulo pode ser medido através de um instrumento chamado transferidor e que tem o grau como unidade. O ângulo AÔB da figura mede 40 graus.

Indicação:

m (AÔB) = 40º

A unidade grau tem dois submúltiplos: minuto e segundo

1 grau tem 60 minutos (indicação: 1 = 60º)

1 minuto tem 60 segundos ( indicação 1´ = 60"

Simbolicamente:

== Um ângulo de 25 graus e 40 minutos é indicado por 25º 40´.

== Um ângulo de 12 graus, 20 minutos e 45 segundos é indicado por 12º 20´45"

EXERCICIOS

1) Dê a indicação, o vértice e os lados dos ângulos:

2) Em cada uma das figuras abaixo há três ângulos. Quais são esses ângulos?

3) 0bserve os pontos assinalados e responda:

a) Quais pontos estão no interior do ângulo?

b) Quais ponmtos estão no ixterior do ângulo?

c) Quais pontos pertencem aos lados do ângulo?

4) Escreva as medidas em graus dos ângulos indicados pelo transferidor.

a) m (AÔB)

b) m (AÔC)

c) m (AÔD)

d) m (AÔE)

e) m (AÔF)

f) m (AÔG)

5) Escreva simbolicamente:

a) 30 graus

b) 10 graus e 25 minutos

c) 42 graus e 54 minutos

d) 15 graus, 20 minutos e 40 segundos

e) 54 graus, 38 m inutos e 12 segundos

6) Responda:

a) Um grau é igual a quantos minutos?

b) Um minuto é igual a quantos segundos?

c) Um grau é igual a quantos segundos?

7) Tranforme :

a) 1º em minutos

b) 2º em minutos

c) 3º em minutos

d) 4º em minutos

e) 5º em minutos

f) 1´ em segundos

g) 2´ em segundos

h) 3´ em segundos

i) 4´ em segundos

j) 5´ em segundos

8) Transforme em minutos, observando o exemplo resolvido:

resolvido = 2º 17´ = 2 x 60´ + 17´ = 137´

a) 5º 7´ =

b) 3º 20´ =

c) 10º 35´ =

d) 12º 18´ =

e) 3º 45´ =

f) 5º 54´ =

g) 7º 12´ =

h) 9º 36´ =

9) Transforme:

120´= 120 : 60 = 2º ===== resolvidos  ==== 120" = 120" : 60 = 2´

a) 180´em graus =

b) 240´em graus =

c) 300´ em graus =

d) 360´em graus  =

e) 180" em minutos =

f) 240" em minutos =

g) 300" em minutos =

h) 360" em minutos =

10) Transforme em graus e minutos:

Resolvido: 75´= 1º 15´  (obs divida os minutos por 60 para obter os graus. O resto , se existir, serão os minutos.)

a) 90´ =

b) 95´=

c) 130´ =

d) 150´ =

e) 385´ =

f) 512´=

g) 867´=

h) 1000´=

11) Transforme em minutos e seguntos:

a) 97" =

b) 130" =

c) 150" =

d) 162" = 

e) 185" =

f) 254" = 

12) Copie e complete:

a) 40° = 39°_______

b) 70° = 69 _______

c) 84° = 83° ______

d) 90° = 89° _______

e) 150° = 149° ________

f) 180° = 179° _______

13) Escreva as medidas na forma mais simples:

Resolvildo: 27° 60´ = 28°

a) 29º 60´= (R: 30°)

b) 34° 60´= (R: 35°)

c) 72° 60´= (R: 73°)

d) 99° 60´= (R: 100°)

e) 54° 60´ = (R: 55°)

f)  108° 60´= (R: 109°)

14) Escreva as medidas na forma mais simples:

Resolvido: 39° 75´ = 40° 15´

a) 30° 80´ = (R: 31° 20´)

b) 45° 90´= (R : 46° 30´)

c) 57° 100´= (R: 58° 40´)

d) 73° 110´= (R: 74° 50´)

e) 20° 120´= (R: 22°)

f) 25° 150´= (R: 27° 30´)

g) 42° 160´= (R: 44° 40´)

h) 78° 170´= (R: 80° 50´)

OPERAÇÕES COM MEDIDAS DE ÂNGULOS

 ADIÇÃO

1) Exemplo

17° 15´ 10"  + 30° 20´40"

17° 15´ 10"

30° 20´ 40"

-----------

47° 35´ 50"

2) Exemplo

13° 40´ +  30° 45´

13° 40´

30° 45´

--------

43° 85´ (simplificando) 44° 25´

EXERCÍCIOS

1) Calcule as somas:

a) 49° + 65° = (R:

b) 12° 25´ + 40° 13´ = (R:

c) 28° 12´ + 5 2° 40´ = (R:

d) 58°  + 17° 19´ = (R:

e) 41° 58´ +  16°  =  (R:

f) 25° 40´ + 16° 50´ =  (R:

g) 23° 35´ + 12° 45´ = (R:

h) 21° 15´40" + 7° 12´5" = (R:

i) 35° 10´50"  +  10° 25´20"  = (R:

j) 31° 45´50" + 13° 20´40"  = (R:

l) 3° 24´9" + 37° 11´33" = (R:

m) 35° 35´2" + 22° 24´58" = (R:

SUBTRAÇÃO

1) Exemplo

58° 40´ -  17° 10´ =

58° 40´

17° 10´

-------

41° 30´

2) Exemplo

80° - 42° 30´ =

80°

42° 30´

-------

37° 30´

EXERCÍCIOS

1) Calcule as diferenças:

a) 42° - 17° = (R:

b) 172° - 93° = (R:

c) 48° 50´ - 27° 10´ = ( R:

d) 42° 35´  -  13° 15´ = (R:

e) 70° - 22° 30´ = (R:

f) 30° - 18° 10´= (R:

g) 90° - 54° 20´ (R:

h) 120° - 50°45´ =(R:

i) 52°30´ - 20°50´ = (R:

j) 39° 1´ - 10°15´ =  (R:

MULTIPLICAÇÃO DE ÂNGULOS

1º) Exemplo

17°15´ x 2 =

17°15´

___x2

--------

34°30´

2°) Exemplo

24° 20´ x  3 =

24°20´

____3

-------

72°60´ (simplificando) 73°

EXERCÍCIOS

1) Calcule os produtos:

a) 25°10´ x 3 = (R:

b) 44°20´ x 2 = ( R:

c) 35° 10´ x 4 = (R:

d) 16°20´ x 3 = (R:

e) 28°30´ x 2 = (R:

f) 12°40´ x 3  = (R:

g) 15°30´ x 3 = (R:

h) 14° 20´ x 5 =(R:

DIVISÃO DE UM ÂNGULO POR UM NÚMERO

1º Exemplo

2º Exemplo

EXERCÍCIOS

1) Calcule os quocientes:

a) 48° 20´ : 4 = (R:

b) 45° 30´ : 3 = (R:

c) 75° 50´ : 5  = (R:

d) 55° : 2 = (R:

e) 90° : 4 = (R:

f) 22° 40´ : 5 = (R:

2) Calcule:

a) 2/5 de 45° = (R;

b) 5/7 de 84° = (R:

c) 3/4 de 48° 20´ (R:

d) 3/2 de 15° 20´ (R:

ÂNGULOS CONGRUENTES

Dois ângulos são congruentes se as suas medidas são iguais.

Indicação AÔB = CÔD ( significa: AÔB é congruente a CÔD )

BISSETRIZ DE UM ÂNGULO

Bissetriz de um ângulo é a simi-reta com origem no vértice do ângulo e que o divide em dois ângulos congruentes.

EXERCÍCIOS

Responda:

a) Quanto mede o ângulo MÔA?

R:

b) Quanto mede o ângulo NÔC?

R:

c) Quanto mede o ângulo BÔN?

R:

d) Quanto mede o ângulo MÔC?

R:

e) Quanto mede o ângulo AÔN?

R:

f) Quanto m,ede o ângulo MÔN?

R:

ÂNGULOS RETO, AGUDO E OBTUSO

Os ângulos recebem nomes especiais de acordo com suas medidas:

= Ângulo reto é aquele cuja medida é 90°.

= ângulo agudo é aquele cuja medida é menor de 90°

= ângulo obtuso é aquele cuja medida é maior que 90°

RETAS PERPENDICULARES

Quanto duas retas se interceptam formando ângulos retos, dizemos que elas são perpendiculares.

EXERCÍCIOS

1) Classifique os ângulos apresentados nas figuras em agudos, obtusos ou reto:

2) Identifique na figura:

3) Responda:

a) O menor ângulo formado pelos pnteiros de um relógio às 3 horas é um ângulo agudo, reto ou obtuso?

b) O menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 2 horas é um ângulo agudo,reto ou obtuso?

c) O menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 5 horas é um  ângulo é um ângulo agudo, reto ou obtuso?

4) Observe a figura e responda:

Qual o número de elementos do conjunto { a,b,c,x,y,z}?