Limites Propriedades Aula 2

Derivadas

Derivada aula 1

Limite de uma Função

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

email accbarroso@hotmail.com

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Na matemática, o limite tem o objetivo de determinar o comportamento de uma função à medida que ela se aproxima de alguns valores, sempre relacionando os pontos x e y. Utilizando a função y = x + 1, vamos determinar os valores de y à medida que x assume alguns valores. Veja:

Note que à medida que x se aproxima de –2, o valor de y se aproxima de –1, isto é, quando x tende a –2 (x → –2), y tende a –1 (y → –1). Portanto:

x → –1, y → 0
x → 1, y → 2
x → 2, y → 3

A utilização de limites ajuda na compreensão de diversas situações envolvendo funções, através de pontos notáveis como mínimo e máximo ou até mesmo os pontos de intersecção entre funções, a continuidade de funções também utiliza as noções de limites, bem como os problemas envolvendo séries numéricas convergentes ou divergentes.

Vamos trabalhar a função f(x) = x², mostrando que à medida que os valores de x aproximam de 3, pela esquerda ou pela direita, a função se aproxima do valor 9.

Pela direita
f(3,1) = (3,1)² = 9,61
f(3,01) = (3,01)² = 9,06
f(3,001) = (3,001)² = 9,006001
f(3,0001) = (3,0001)² = 9,00060001

Pela esquerda

f(2,9) = (2,9)² = 8,41
f(2,99) = (2,99)² = 8,9401
f(2,999) = (2,999)² = 8,994001
f(2,9999) = (2,9999)² = 8,99940001

Observe que à medida que os valores se aproximam de 3, tanto pela direita quanto pela esquerda, a imagem da função f(x) = x², fica mais próxima do valor 8.



Exemplo 1

Dada a função f(x) = 4x + 1, determine a sua imagem à medida que o valor de x tende a 2.

f(x) = 4x + 1 f(2) = 4 * 2 + 1 f(2) = 9


Exemplo 2

Vamos determinar o limite da função f(x) = x² – 5x + 3, quando x tende a 4.

Nesse caso devemos aplicar a seguinte regra: o limite das somas é a soma dos limites. Portanto, devemos determinar o limite de cada monômio e depois realizar a soma entre eles.

Exemplo 3Calcular o limite da função , quando x tende a –2.

Exemplo 4Determine o limite da função , à medida que x se aproxima de 1.

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Integrais Indefinidas Aula 1

Integrais Substituição de variáveis Aula 6.

Integrais Indefinidas Aula 2

Derivadas aula 4

Limites da Função composta aula 6

Derivadas

Derivadas

A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , é igual ao valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y=f(x), no ponto x = x0, ou seja, a derivada é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto x0.

A derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos:
y' , dy/dx ou f ' (x).

A derivada de uma função f(x) no ponto x₀ é dada por:

Algumas derivadas básicas

Nas fórmulas abaixo, u e v são funções da variável x.
a, b, c e n são constantes.

Derivada de uma constante

Derivada da potência

Portanto:

Soma / Subtração

Produto por uma constante

Derivada do produto

Derivada da divisão

Potência de uma função

Derivada de uma função composta

Derivadas

Regra da cadeia

A fórmula:

é conhecida como regra da cadeia. Ela pode ser escrita como:

Outra fórmula similar é a seguinte:

Derivada da função inversa

A inversa da função y(x) é a função x(y):

Derivadas de funções trigonométricas e suas inversas

Derivadas de funções exponencial e logarítmica

Derivada do logaritmo natural

Derivada do logaritmo

em outras bases

Exponencial

Lembre-se da definição da função logarítmica com base a > 0:

Derivadas das funções hiperbólicas e suas inversas

Lembre-se das definições das funções trigonométricas:

Derivadas de alta ordem

Seja y = f(x). Temos:

A segunda derivada é dada por:

A terceira derivada é dada por:

A enésima derivada é dada por:

Em alguns livros, a seguinte notação também é usada:

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