Funções Horárias

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

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INTRODUÇÃO
Quando trabalhamos com a velocidade escalar média, estamos presumindo uma velo-cidade fictícia e constante durante todo o movimento, porém, na maioria dos movimentos que acontecem, a velocidade escalar varia a todo instante. O nosso objetivo, neste momento, é tratar dessas variações, que podem acontecer quando pisamos no acelerador ou no freio do carro.
Imagine que o motorista de um carro que está a uma velocidade de 30km/h pisa no acelerador fazendo que a sua velocidade aumente para 80km/h em 5 segundos. Podemos dizer que a sua velocidade variou em 50km/h em 5 segundos ou, ainda, a sua velocidade variou 10km/h a cada segundo.

ACELERAÇÃO ESCALAR MÉDIA (am)
Define-se aceleração escalar média (símbolo am) como sendo uma grandeza física que representa as variações ocorridas com a velo-cidade escalar por unidade de tempo.
Unidades de Medida
A unidade de medida da aceleração escalar é dada através das unidades utilizadas para as grandezas envolvidas em sua determinação, que são as unidades de velocidade e de tempo.
No Sistema Internacional:
Δv em m/s =>Δt em s =>am em (m/s)/s ou m/s2 ou m.s-2
Exemplo:
Δv = 24 m/s =>
Δt = 8s =>am=Δv/Δt = (24 m/s)/8s .: am=(4 km/h)/s
Portanto, uma aceleração escalar média igual a 3 m/s2 significa que, em cada segundo, a velocidade escalar variou em média 3 m/s.

ACELERAÇÃO ESCALAR INSTANTÂNEA (a)
Podemos dizer que a aceleração escalar instantânea é a aceleração que o corpo possui em um certo instante de seu movimento,ou em um certo ponto de sua trajetória.
Sendo assim, temos:
a = lim am a = lim (Δt/Δt)
Δt = 0 ou ainda a =Δv/Δt
Logo, a aceleração escalar instantânea é a derivada da velocidade escalar em relação ao tempo e, naturalmente, sua unidade de medida será a mesma da aceleração escalar média, ou seja, m/s2 no Sistema Internacional.

FUNÇÕES HORÁRIAS
A função horária do espaço, s = f(t), nos fornece a posição do móvel sobre a trajetória em qualquer instante do movimento.
Derivando essa função em relação ao tempo, obtemos a função horária da velocidade escalar v = f`(t), que nos permite conhecer o valor da velocidade escalar em qualquer instante do movimento, ou em um determinado ponto da trajetória.
Derivando em relação ao tempo a função horária da velocidade, v = f`(t), obtemos a função horária da aceleração, a = f''(t), que nos permite conhecer o valor da aceleração escalar em um certo instante do movimento, ou em um determinado ponto da trajetória.
Todos os conhecimentos adquiridos até agora podem ser sintetizados através do seguinte quadro que mostra as relações e forma de obtenção das principais grandezas cinemáticas.
s = f(t)
v = Δs/Δt
v = f'(t)
a = Δs/Δt
a = f''(t)
Vm=Δs/Δt am = Δv/Δt
Os conhecimentos adquiridos até agora permitem que você, partindo da função horária dos espaços, tenha condições de analisar quase que integralmente um movimento.Saber o comportamento das grandezas envolvidas e relacioná-las são os subsídios necessários para que você possa fazer previsões a respeito das possíveis posições do corpo que se movimenta, de sua velocidade e também de sua aceleração.
A sistematização dos referidos conhecimentos é necessária para podermos visualizar com maior destreza os acontecimentos cinemáticos, levando-nos a observar com segurança os diferentes tipos de movimentos. Isto nos permite estipular critérios de classificação e impor uma série de propriedades comuns a tipos específicos de movimentos que se enquadram nos critérios estipulados. Comecemos, pois, com uma classificação geral.

CRITÉRIOS PARA A CLASSIFICAÇÃO DOS MOVIMENTOS
1º Critério (Quanto à Trajetória.)
Movimento Retilíneo
Contido em uma reta
Movimento Curvilíneo
Contido em algum tipo de curva
2º Critério (Quanto à Função Horária Dos Espaços.)
s = f(t)
Movimento Uniforme
A função horária dos espaços é do 1º grau em t.
Movimento Uniformemente Variado
A função horária dos espaços é do 2º grau em t, ou seja, do tipo s = at2 + b.t + c com a, b e c constantes e a ¹ 0.
Movimento Variado Qualquer ou apenas Variado
A função horária dos espaços tem um grau maior que 2 em t. No caso de ser do grau, temos s = at3 + b.t2 + c.t + d com a, b, c, d constantes e a ¹ 0.
3º Critério (Quanto ao Sinal da Velocidade Escalar Instantânea)
Movimento Progressivo
Uma partícula está desenvolvendo, em um certo instante, um movimento progressivo quando, no instante considerado, o sinal da velocidade escalar for positivo. Isto significa que os espaços são crescentes, ou seja, que
a partícula se movimenta no mesmo sentido positivo adotado para a trajetória.
Movimento Retrógrado
Uma partícula está desenvolvendo, em um certo instante, um movimento retrógrado quando, no instante considerado, o sinal da velocidade escalar for negativo, o que significa que os espaços estão decrescendo, ou que a partícula se movimenta em sentido contrário ao sentido positivo adotado para a trajetória.
4º Critério (Quanto ao Valor Absoluto da Velocidade Escalar Instantânea)
Movimento Acelerado
É todo movimento em que o valor absoluto da velocidade escalar instantânea aumenta no decorrer do tempo. Isto acontece quando, em um instante considerado, a velocidade e a aceleração escalares tiverem os mesmos sinais, resultando que o produto v.a seja sempre positivo.
Movimento Retardado
É todo movimento em que o valor absoluto da velocidade escalar instantânea diminui no decorrer do tempo. Isto acontece quando, em um instante considerado, a velocidade e a aceleração escalares tiverem sinais opostos, resultando que o produto v.a. seja sempre negativo.
Autoria: Jaqueline Grace Carvalho

Isomeria

01. SÉRIES ORGÂNICAS

01.1. SÉRIE HOMÓLOGA: é um conjunto de compostos de mesma função orgânica, que diferem entre si em um ou mais grupos CH₂.
Ex.: metano; etano.; propano; butano (CH₄; C₂H₆; C₃H₈; C₄H₁₀); Fórmula Geral: C_nH_2n+2. Metanol; etanol; 1-propanol; 1-butanol (CH₄O; C₂H₆O; C₃H₈O; C₄H₁₀O); Fórmula Geral: C_nH_2n+2O.
Obs.: As propriedades físicas dos compostos de uma série homóloga variam uniformemente;
01.2. SÉRIE ISÓLOGA: é um conjunto de compostos da mesma função orgânica que diferem entre si em um ou mais H₂.
Ex.: etano; eteno; etino (C₂H₆; C₂H₄; C₂H₂); ciclopentano; ciclopenteno; ciclopentadieno (C₅H₁₀; C₅H₈; C₅H₆).
01.3. SÉRIE HETERÓLOGA: é um conjunto de compostos provenientes de funções orgânicas diferentes, mas tendo em comum o mesmo número de átomos de carbono. Ex.: tolueno; ácido benzóico; aldeído benzóico; cianeto de fenila (C₆H₈; C₆H₆O; C₆H₆O₂; C₆H₅N).

02. ISOMERIA

Isomeria: é o fenômeno pelo qual o mesmo grupo de átomos dá origem a substâncias diferentes devido a arranjos atômicos diferentes.
Isômeros: são compostos com a mesma fórmula molecular, mas com arranjos atômicos diferentes; portanto com propriedades diferentes.
Isomeria Plana: é aquela em que os compostos apresentam diferentes fórmulas estruturais planas, portanto a diferença dos compostos é visível no plano.
Isomeria espacial: é aquela em que os compostos têm a mesma fórmula plana, mas estruturas espaciais diferentes.
Obs.: A Isomeria pode ser Plana ou Espacial. A Isomeria Plana pode ser: de cadeia, de posição, de compensação ou metameria, de função ou funcional, dinâmica ou tautomeria. A Isomeria Espacial se divide em Isomeria Geométrica ou Cis-Trans e em Isomeria Óptica.
02.1. ISOMERIA PLANA
I) Isomeria de cadeia: caracteriza-se por apresentar isômeros da mesma função orgânica que apresentam números diferentes de átomos de carbono na cadeia principal.
Obs.: No caso dos compostos cíclicos essa isomeria pode também ser chamada de isomeria de núcleo ou de anel;
II) Isomeria de posição: caracteriza-se por apresentar isômeros da mesma função orgânica que apresentam a mesma cadeia principal, mas que possuem grupos funcionais ou duplas e triplas ligações em posições diferentes;
III) Isomeria de compensação ou Metameria: caracteriza-se por apresentar isômeros da mesma função orgânica, mas que apresenta um heteroátomo em diferentes posições na cadeia carbônica;
Obs.: Heteroátomo é um átomo diferente de carbono entre dois carbonos, geralmente: O, S, N, P etc.
Obs.: O hidrogênio nunca será um heteroátomo;
IV) Isomeria de função ou Funcional: caracteriza-se por apresentar isômeros de funções orgânicas diferentes.
Ex.: aldeído e cetona; ácido carboxílico e éster; fenol e éter aromático e álcool aromático.
V) Isomeria dinâmica ou Tautomeria: caracteriza-se por apresentar isômeros de funções orgânicas diferentes, mas que se transformam um no outro quando em solução, através de um equilíbrio dinâmico.
Obs.: Ocorre geralmente entre: aldeído e enol (equilíbrio aldo-enólico), cetona e enol (equilíbrio ceto-enólico).
Obs.: enol é uma função orgânica caracterizada pela presença da hidroxila (OH) ligada a um carbono com dupla ligação, o que o diferencia de um álcool, pois como vimos possui hidroxila ligada a carbono saturado.
02.2. ISOMERIA ESPACIAL OU ESTEREOISOMERIA
02.2.1. ISOMERIA GEOMÉTRICA OU CIS-TRANS
I) Em compostos de cadeia acíclica
Ocorre quando átomos ou grupos de átomos diferentes se unem a cada um dos átomos de carbono de uma dupla ligação.

Obs.: este par de estruturas análogas representa substâncias quimicamente diferentes, já que uma molécula não pode ser convertida na outra por causa da rotação impedida entre os carbonos.
Obs.: nos compostos que apresentam quatro ligantes diferentes nos carbonos de rotação impedida, considera-se isômero CIS o que contém os grupos maiores do mesmo lado.
Obs.: de um modo geral, os isômeros cis-trans apresentam as mesmas propriedades químicas, porém têm diferentes propriedades físicas. As propriedades químicas serão diferentes quando dependerem das posições relativas dos grupos; se estas posições forem diferentes, as propriedades químicas dos isômeros também o serão.
Obs.: Verifica-se que as formas trans são mais estáveis que as respectivas formas cis, o que se explica pela menor repulsão entre os grupos na posição trans.
II) Em Compostos de Cadeia Cíclica (Isomeria de Baeyer ou Baeyeriana)
Quando átomos de carbono estiverem ligados num ciclo jamais poderão sofrer uma rotação completa em trono de seus eixos sem quebrar o ciclo, logo para que haja isomeria geométrica basta que pelo menos dois carbonos do ciclo possuam ligantes diferentes entre si.

02.2. 2. ISOMERIA ÓPTICA
Isômeros ópticos: são aqueles cuja a única diferença está no comportamento diante de uma luz polarizada (luz polarizada é aquela que vibra em um único sentido). Para que um composto orgânico seja opticamente ativo é necessário que suas moléculas seja assimétricas, ou seja, suas moléculas devem possuir carbono assimétrico, que é o carbono que possui os quatro ligantes diferentes, ou seja, carbono com ligação dupla ou tripla nunca pode ser assimétrico. O carbono assimétrico ou quiral é representado por C*.
Substância opticamente ativa: é aquela que desvia o plano de luz polarizada, se o desvio for para a direita dizemos que é dextrógiro e se o desvio for para a esquerda dizemos que é levógiro.
Substância opticamente inativa: é aquela que não desvia o plano de luz polarizada.
Mistura racêmica: é opticamente inativa por compensação externa, ou seja como há um número igual de molécula provocando desvios contrários na luz polarizada, uma cancela o desvio da outra e o desvio final é nulo.
Enantiomorfos, Antípodas ópticos ou Enanciômeros: são compostos que são imagens especulares um do outro, ou seja não são superponíveis, desviam a luz polarizada de um mesmo ângulo (ativos), só que para lados opostos.
Diasteroisômeros: são isômeros ópticos não enantiomorfos entre si, ou seja, não são imagens especulares um do outro, desviam a luz polarizada em Ângulos diferentes (ativos) e só ocorrem em compostos com mais de um C* na molécula.
Obs.: as mãos direita e esquerda são imagens especulares uma da outra e não são superponíveis, por isso são assimétrica.
Isômero Meso: é um isômero inativo por compensação interna, ou seja é um composto que possui dois carbonos assimétricos (2C*) com ligantes iguais e um dos carbonos desvia a luz polarizada de um ângulo µ para a direita e o outro C* desvia a luz polarizada de um ângulo µ para a esquerda, portanto o desvio final será nulo.
1.º Caso: Moléculas com um C*: possuem três isômeros: um dextrógiro, um levógiro e um racêmico (formado por quantidades equimolares do dextrógiro e do levógiro).
2.º Caso: Moléculas com dois C* iguais: possuem quatro isômeros: um dextrógiro, um levógiro, um racêmico e um meso ou mesógiro (inativo por compensação interna).
3.º Caso: Moléculas que possuem "n" carbonos assimétricos diferentes:

A. n.º de isômeros ópticos ativos: 2ⁿ (Obs.: fórmulas de Van't Hoff)
B. n.º de isômeros ópticos inativos: 2^n-1 (o que corresponde à metade dos ativos, pois aqueles se reúnem dois a dois para formar os inativos correspondentes)
C. n.º de isômeros ópticos dextrógiros: 2^n-1 (o que corresponde à metade dos ativos)
D. n.º de isômeros ópticos levógiros: 2^n-1 (o que corresponde à metade dos ativos)
E. n.º de misturas racêmicas: 2^n-1 (o que corresponde à metade dos ativos)
F. n.º de isômeros ópticos: 2ⁿ + 2^n-1 ou 3. 2^n-1(o que corresponde à soma dos ativos com os inativos)

I - Moléculas Assimétricas que não possuem Carbono Assimétrico
1.º Caso: Moléculas de alcadienos acumulados ou compostos alênicos
Os alcadieno acumulados são compostos que possuem duas ligações duplas seguidas.

Observando a geometria espacial destes tipos de compostos veremos que não possuem um plano de simetria, ou seja, são assimétricos, consequentemente apresentam atividade óptica e possuem dois isômeros, o dextrógiro e o levógiro e consequentemente uma mistura racêmica.
2.º Caso: Moléculas Cíclicas com Isomeria Trans.
Quando um composto de cadeia carbônica cíclica apresenta isomeria geométrica, a molécula do isômero trans é assimétrica, isto é, não apresenta plano de simetria e portanto possui atividade óptica, apresentando dois isômero, o dextrógiro, o levógiro e também uma mistura racêmica.

Obs.: O isômero cis apresenta plano de simetria, portanto é opticamente inativo.

Hidrostática

Hidrostática é a parte da física que estuda as forças exercidas por e sobre fluidos que estão em repouso.

Conceito de pressão: A grandeza dada pela relação entre a intensidade da força que atua perpendicularmente e a área em que ela se distribui é denominada pressão (p).

Assim se uma força de intensidade 10N estiver aplicada perpendicularmente à área de 0,4m², a pressão sobre ela será p = 10N/0,4m², ou p = 25N/m². Distribuindo-se a mesma forma sobre uma área de apenas 0,2m², a pressão exercida será p = 10n/0,2m² ou p = 50N/m².

Sendo F a intensidade da resultante das forças distribuídas perpendicularmente em uma superfície de área A, a pressão p é dada pela relação:

p = F / A

A unidade de pressão no sistema internacional de unidades (SI) é o Newton por metro quadrado, também denominada Pascal (Pa). Eventualmente é usada o dina por centímetro quadrado(dyn/cm²).

Os aparelhos que medem pressão são denominados manômetros.

Conceito de massa específica(μ): considere uma amostra de certa substância cuja massa seja m e cujo volume seja V. Define-se massa específica de substância pela relação:

μ = m / V

Conceito de densidade(d): considere um corpo homogêneo ou não, de massa m e volume V. A densidade do corpo é dada por:

d = m / V

Se um corpo é maciço e homogêneo, a sua densidade coincide com a massa específica (μ) do material que o constitui.

Para os líquidos, considerados sempre homogêneos, não é necessário fazer a distinção entre densidade e massa específica. A tabela seguinte fornece alguns valores de massa específica para alguns materiais.
SÓLIDOS LÍQUIDOS
Alumínio 2,7g/cm³ Álcool 0,79g/cm³
Ferro 7,9g/cm³ Mercúrio 13,6g/cm³
Chumbo 11,3g/cm³ Água 1g/cm³
Platina 21,5g/cm³

As unidades de densidade ou massa específica correspondem sempre à relação entre unidade de massa e de volume. As unidades mais utilizadas são Kg/m³, g/cm³ e Kg/l.

Fontes
Baseado no livro os fundamentos da física, Toledo.

movimento uniforme exercicios

Exercícios sobre movimento uniforme



Testes:

01. A luz solar gasta 5,0 . 102 s para chegar à Terra. O diâmetro do Sol é da ordem de 1,4 . 106 km. Seja 10n a ordem de grandeza do número de corpos idênticos ao Sol que cabem no espaço entre o Sol e a Terra, com centros na reta que una o centro do Sol ao centro da Terra. O valor de n é:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 10




02. Abaixo estão representados, exatamente como foram obtidos, 5 pedaços de fita, marcados por uma "campainha" que os fere periodicamente e com uma freqüência constante. Estas fitas foram puxadas pela mão, no sentido assinalado, representando, portanto, a velocidade da mão do observador.

Qual das fitas representa, no intervalo de tempo considerado (10 tiques), o movimento que tem velocidade escalar média maior?

a) I

b) II

c) III

d) IV

e) V




03. (FUND. CARLOS CHAGAS) Um trem de 200m de comprimento, com velocidade escalar constante de 60 km/h, gasta 36s para atravessar completamente uma ponte. A extensão da ponte, em metros, é de:

a) 200

b) 400

c) 500

d) 600

e) 800




Para as questões 04 e 05

Dois pontos materiais A e B caminham sobre uma mesma reta e no mesmo sentido. na origem dos tempos a distância entre os pontos é de 5,0 km. A velocidade escalar de A é de 80 km/h e a velocidade escalar de B é de 60 km/h, mantidas constantes.

04. A velocidade escalar de A relativa a B é igual a:

a) zero;

b) 80 km/h;

c) -20 km/h

d) 20 km/h

e) -80 km/h




05. A encontra B:

a) no instante t = 15 h;

b) no instante t = 15 min;

c) no instante t = 1/4 min;

d) nunca

e) n.d.a




Para as questões 06 e 07

Dois pontos materiais A e B caminham sobre uma mesma reta e no mesmo sentido. na origem dos tempos a distância entre os pontos é de 5,0 km. A velocidade escalar de A é de 80 km/h e a velocidade escalar de B é de 60 km/h, mantidas constantes.

06. A função horária que descreve o movimento de B, relativo a A para s em km e t em h, é representada por:

a) s = 5,0 - 20t

b) s = 5,0 + 20 t

c) s = 20t

d) s = -20t

e) n.d.a.





07. A função horária que descreve o movimento de A, relativo a B para s em km e t em h, é representada por:

a) s = -5,0 - 20t

b) s = 5,0 + 20 t

c) s = 20t - 5,0

d) s = -20t

e) n.d.a.





08. Considere dois trens T1 e T2 caminhando em linhas férreas retilíneas e paralelas com velocidades de intensidade V1 = 36 km/h e V2 = 72 km/h, em sentidos opostos. Um observador O1 está no trem T1 e nota que a passagem de T2, diante de sua janela, durou um intervalo de tempo de 10s. O tempo gasto por T2, para passar por um túnel de comprimento 200m, é de:

a) 25s

b) 20s

c) 30s

d) 50s

e) 60s





Para as questões 09 e 10

Considere um movimento cuja posição s, em função do tempo t, está representado no gráfico.

09. A distância percorrida pelo móvel entre os instantes t = 0 e t = 20s, em metros, vale:

a) -40

b) zero

c) 20

d) 40

e) 80





10. O móvel passa pela origem no instante:

a) zero

b) 5,0s

c) 10s

d) 15s

e) 20s







Resolução:


01 - B
02 - A 03 - B
04 - D
05 - B
06 - A 07 - C
08 - A
09 - E
10 - C

Aplicações da Função do 2º grau na Física

A função do 2º grau está presente em inúmeras situações cotidianas, na Física ela possui um papel importante na análise dos movimentos uniformemente variados (MUV), pois em razão da aceleração, os corpos variam a velocidade e o espaço em função do tempo.

Uma função do 2º grau obedece à seguinte lei de formação f(x) = ax² + bx + c,
na Física a expressão que relaciona o espaço em função do tempo é dada pela expressão S = S₀ + V₀t + (at²)/2, onde
a: aceleração, S: espaço, V: velocidade e t: tempo.

Exemplo 1

Um móvel realiza um MUV obedecendo à função S = 2t² - 18t + 36, sendo s medido em metros e t em segundos. Em que instante o móvel muda de sentido?

Resolução:
A equação do movimento é do segundo grau, então ela descreve uma parábola crescente (a > 0), a mudança de sentido do móvel dará no momento em que ele atingir o ponto mínimo da parábola. Observe a ilustração do movimento do móvel:

Devemos calcular o ponto mínimo da parábola, dado por:


Exemplo 2

Um canhão atira um projétil (figura), descrevendo a função s = -9t² + 120t, sendo s em metros e t em segundos. Calcule o ponto máximo de altura atingida pelo projétil.





Resolução:
A função do movimento do projétil descreve uma parábola decrescente (a < 0), o ponto máximo da parábola será a altura máxima atingida pelo projétil.

Ponto máximo

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As Leis de Newton

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

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Isaac Newton propôs as leis que descrevem o comportamento dos corpos em movimento.

Galileu deixou várias contribuições científicas para a humanidade, como a difusão do modelo heliocêntrico de Copérnico e a invenção de alguns tipos de lunetas. Algumas de suas descobertas serviram de referência para que Isaac Newton criasse as bases da mecânica com três leis fundamentais.

Inércia

Inércia é a tendência que os corpos apresentam de permanecer no seu estado de equilíbrio, em repouso ou em movimento retilíneo e uniforme.

Podemos perceber essa tendência quando observamos uma pessoa que está em pé dentro de um ônibus. Caso o motorista pise no acelerador, fazendo com que o ônibus arranque, o passageiro que está em pé, por inércia, tende a continuar parado em relação ao solo terrestre.

Agora, como o ônibus está em movimento, se o motorista frear, a tendência do passageiro é continuar em movimento em relação ao solo terrestre, fato este que não acontece por estar se segurando na barra de apoio do ônibus.

Primeira Lei de Newton

Também conhecida como a lei da inércia, trata a respeito das condições de equilíbrio das partículas. Uma partícula pode ou não receber a ação de várias forças. Se a soma vetorial desses vetores-força for nula, dizemos que a partícula está em equilíbrio.

Massa: é a medida quantitativa da inércia de um determinado corpo. Então, quanto maior a massa de um corpo, maior vai ser a dificuldade para vencer a inércia desse corpo.

Segunda Lei de Newton

Na segunda lei, Newton analisou a relação que existe entre a força aplicada em um corpo e a mudança na velocidade que ele sofre. Após realizar várias experiências, Newton constatou que algo sempre ocorria.

A variação da velocidade sofrida por um corpo é diretamente proporcional à resultante das forças nele aplicadas.

Então, quando há variação de velocidade, em um determinado intervalo de tempo, encontramos a aceleração desse corpo.

F_r = m.a – força resultante é igual ao produto da massa pela aceleração.

As unidades, no SI, são: N (newton) para força, kg para m e m/s² para a.

Terceira Lei de Newton

Vamos agora considerar uma mesa bem lisa. Sobre ela temos um bloco de ferro e um ímã bem próximos um ao outro, como mostra a figura abaixo.

Mantendo o ímã fixo, se abandonarmos o bloco de ferro, ele será atraído pelo ímã, deslocando-se para a esquerda.

Mantendo o ferro fixo, se abandonarmos o ímã, ele será atraído pelo ferro, deslocando-se para a direita.

Ao analisar casos parecidos com esse que citamos, Newton enunciou a terceira lei, que também é conhecida como lei da ação e reação. De acordo com Newton, não existe força que seja capaz de agir sozinha, pois, para cada força considerada ação, existe outra chamada de reação.

Temos que lembrar que as forças de ação e reação ocorrem sempre em corpos distintos e por isso não se anulam mutuamente.

Por Domiciano Marques

A Cinemática

A Cinemática, parte da mecânica que se ocupa da descrição do movimento e não de suas causas, que são estudadas pela dinâmica.

Na mecânica clássica, o movimento de um corpo é descrito por meio de três funções do tempo: a posição em relação a um referencial, a velocidade e a aceleração. Em princípio, dada a aceleração do corpo como função do tempo, podemos determinar sua velocidade em qualquer instante e depois sua posição.

Os movimentos encontrados na natureza são inúmeros e, na maioria das vezes, combinações extremamente complexas de translações e rotações. Esse é o caso de uma bola de futebol chutada com efeito, cujo exemplo mais célebre é a "folha seca" do mestre Didi, assim chamada porque o movimento da bola assemelhava-se ao de uma folha caindo ao sabor do vento. Movimentos desse tipo exigem uma descrição matemática sofisticada que muitas vezes só é possível com auxílio de computadores de grande capacidade de processamento. Alguns movimentos, porém, são relativamente simples e podem ser estudados com métodos simples. É o caso, por exemplo, do movimento retilíneo uniforme (MRU), do movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV), ou do movimento circular uniforme (MCU).

A análise dos movimentos observados nas partículas e sistemas, independentemente de suas causas, é o objeto do estudo da cinemática. É difícil descrever qualquer movimento na natureza sem recorrer a simplificações iniciais que abordem esse movimento como composição de outros mais simples, regidos por trajetórias que podem ser expressas matematicamente. Em cinemática distinguem-se fundamentalmente dois tipos de movimentos básicos simples: o retilíneo e o circular. O movimento circular se define pela determinação da posição do corpo e do ângulo de rotação, em relação a um sistema de referência inercial.

Define-se como movimento uniforme aquele que apresenta velocidade constante, linear ou angular, de modo que seja possível determinar a posição de um sistema apenas pela multiplicação de sua velocidade pelo tempo transcorrido, e pelo acréscimo do resultado a sua posição inicial. Tal definição se expressa em termos matemáticos por meio das seguintes equações:

s = so + v.t

em que s é a posição atual; so é a posição inicial; v é a velocidade linear, que no sistema MKS se expressa em metros por segundo; e t é o tempo transcorrido; e

j = j0 + v.t

em que j é o ângulo atual; j0 é o ângulo inicial; v é a velocidade angular, que no sistema MKS se expressa em radianos por segundo; e t é o tempo transcorrido.

O movimento uniformemente variado é aquele em que se verifica uma variação uniforme de velocidade, ou aceleração constante, regido por leis matemáticas expressas pelas seguintes fórmulas:

s = so + vo.t + 1/2 a.t²

em que vo é a velocidade linear inicial; a é a aceleração linear, que no sistema MKS se expressa em metros por segundo ao quadrado, e

j = j0 + v0 . t + 1/2y.t²

em que v0 é a velocidade angular inicial e y é a aceleração angular, que no sistema MKS se mede em radianos por segundo ao quadrado.

Os movimentos não uniformemente acelerados têm expressões matemáticas bem mais complicadas. O movimento uniforme e o uniformemente variado permitem estudar dois fenômenos cinemáticos de grande interesse: a queda livre de dois corpos, motivada por uma aceleração constante, chamada de gravidade (g), e o lançamento de projéteis, que pode ser decomposto em dois movimentos simultâneos, um horizontal uniforme e outro vertical uniformemente acelerado, com aceleração g. Do ponto de vista cinemático, muitos sistemas estáveis reagem às perturbações a seu funcionamento normal oscilando, como forma de recuperar o equilíbrio perdido. O movimento oscilatório harmônico, como é conhecido, define-se pela existência de uma força que em todo momento se opõe à direção do movimento.

Autoria: Danielle Teixeira

E=mc2 Einstein e a equivalência entre matéria e energia

Einstein, em célebre recorte de uma foto da Universidade de Jerusalém
Você já deve ter visto a seguinte equação: E=mc2

Essa é a mais célebre equação científica do século 20 e foi desenvolvida por Albert Einstein. Ela estabelece a equivalência quantitativa da transformação de matéria em energia ou vice-versa.

Nela, E = energia, m = massa e c2 = velocidade da luz elevada ao quadrado. Sendo a velocidade da luz 300.000 Km/s ou, nas unidades do Sistema Internacional de Unidades, 300.000.000 m/s, a energia teoricamente obtenível da transformação completa de um único quilograma de massa é de astronômicos 9 x 1016Joules [1kg . (300.000.000 m/s)2].

Para se ter idéia do significado desse número, segundo a equação de Einstein, a transformação completa de dez quilogramas de massa produziria uma quantidade de energia suficiente para evaporar toda a água da Baía de Guanabara.

Transformação de matéria em energia
À primeira vista, essa sentença matemática parece mais próxima dos misteriosos cálculos relativistas do grande cientista alemão que da física que aprendemos nas salas de aula.

Na verdade, a parte relativista da equação se concentra no elemento "c", a velocidade da luz que, segundo a teoria da relatividade, é a única constante do universo. Ou seja, tempo, espaço, matéria e energia são relativos, mas a velocidade da luz no vácuo é sempre a mesma, independentemente do referencial adotado para medi-la.

Entender o porquê de uma quantidade de matéria se converter em outra quantidade equivalente de energia em uma proporção direta da velocidade da luz, implica observar o aspecto de constante relativística dessa grandeza.

No restante, podemos comparar a equação de Einstein com os desdobramentos matemáticos de duas "formulinhas" bem conhecidas.

Fórmulas
1a. A equação da segunda lei de Newton, princípio fundamental da dinâmica:

# F = m.a

Onde: F = força, m = massa e a = aceleração.

2a. A equação que define energia ou trabalho em função da força e distância.

# E = F.d

Onde: E = energia ou trabalho, F= força e d= distância.

No Sistema Internacional de Unidades, isso significa que, quando deslocamos uma massa de peso 1 Newton pela distância de 1 metro, produzimos 1 Joule de trabalho, para o que precisamos consumir 1 Joule de energia.


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Como peso é a força resultante da aceleração da gravidade, basta recorrermos à equação de Newton citada e à aritmética básica para calcularmos qual massa corresponde à força-peso de 1 Newton, para aceleração da gravidade g = 9,8m/s2.

Força = massa x aceleração

Força-peso = massa x aceleração da gravidade

Como no exemplo a força-peso = 1N e aceleração da gravidade = 9,8m/s2

Então: 1N = m x 9,8m/s2 m = 1/9,8 = 0,102 kg

Assim, quando deslocamos uma massa de 0,102 kg pela distância de 1 metro, produzimos 1 Joule de trabalho e consumimos 1 Joule de energia, desconsideradas as perdas e outras interações.

Exemplificada essa correlação conhecida entre massa e energia, podemos voltar à equação de Einstein, E = mc2.

Se combinarmos a equação de Newton e a definição de energia/trabalho temos:

1. E = F.d

2. F = m.a

Substituindo F na equação 1 por seus equivalente m.a da equação 2, temos:

3. E = m.a.d

Aceleração é a variação da velocidade ao longo do tempo, ou v/t, onde v = velocidade e t= tempo.

Substituindo, na equação 3, a por v/t, temos:

E = m.a.d E = m. v/t. d

Aritmeticamente, E = m. v/t. d = E = m. v. d/t

d/t é distância dividida pelo tempo, o que é o mesmo que velocidade (v).

Assim, E = m.v.d/t é o mesmo que E = m.v.v ou E= m.v2

A fórmula de Einstein e a física do dia-a-dia
Temos, então, que a equação de Einstein que estabelece equivalência entre quantidades de matéria e energia não é tão diferente assim das equações da física do nosso dia-a-dia. Podemos perceber claramente a semelhança aritmética e física entre E = m.c2 e E = m.v2, principalmente se lembrarmos que a constante "c" também representa uma velocidade.

Claro que há distinções a fazer, uma vez que a equação de Einstein versa sobre a transformação de matéria em energia ou vice-versa, enquanto as equações que decompomos e analisamos tratam do trabalho produzido ou da energia necessária para deslocar uma quantidade de massa, o que em termos conceituais é bem diferente.

Mas entender as semelhanças e diferenças entre as equações da física básica e da física avançada é um bom exercício para melhor compreender a ambas.
Carlos Roberto de Lana

Massa e peso Descubra a diferença entre esses conceitos

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

email accbarroso@hotmail.com

 www.ensinodematemtica.blogspot.com.br

www.accbarrosogestar.blogspot.com.br 

Massa
A massa é uma grandeza física fundamental. Segundo a mecânica newtoniana, ela dá a medida da inércia ou da resistência de um corpo em ter seu movimento acelerado. Ela também é a origem da força gravitacional, atuante sobre os corpos no Universo.

Mais recentemente, dentro da física moderna, a massa aparece relacionada com a energia, relação formulada por Einstein através da equação E = mc2.

A massa inercial de um corpo é definida pela Segunda Lei de Newton como uma constante de proporcionalidade entre a força (F) aplicada e a aceleração (a) causada:


Considerando que a força e a aceleração são grandezas vetoriais, isso implica em dizer que a massa é uma grandeza escalar. Então, a massa inercial indica a tendência de aceleração de um corpo para uma dada força.

Chamamos de massa gravitacional a intensidade da força de atração gravitacional gerada por um corpo dotado de massa. Nesse momento, é bom introduzirmos a relação que pode ser deduzida de leis da Mecânica, notando que a força peso que conhecemos depende da massa do corpo, mas não é equivalente a ela conceitualmente.

Peso
O peso é a força gravitacional sofrida por um corpo na vizinhança de um planeta ou de outro corpo celeste de massa significativa. Enquanto força, o peso é uma grandeza vetorial. Portanto, apresenta intensidade, direção e sentido.

Para corpos próximos da Terra, por exemplo, a direção é a linha que passa pelo objeto e pelo centro da Terra. O sentido é aquele que aponta para o centro da Terra.

Matematicamente, ele pode ser descrito como o produto entre massa e a aceleração da gravidade local:

Unidades
A força (o peso) é medida comumente em quilograma-força (kgf), em newton (N) ou em dina (dyn). Já a massa é medida em quilograma (kg), grama (g), tonelada (t), etc.

Se considerarmos que o valor de g na superfície da Terra é de aproximadamente 10 m/s2, teremos então que um corpo com a massa de 1 kg pesa 10 N ou 1 kgf; um corpo com a massa de 2 kg pesa 20 N ou 2 kgf; e assim por diante.

Nas balanças de farmácia, o peso é indicado por um ponteiro que é acionado por molas na plataforma. Quanto maior a massa da pessoa, maior a força peso que ela exerce sobre a plataforma, deformando mais as molas que a sustentam. Essa indicação de deformação é passada para o visor por meio de um ponteiro ou de uma indicação eletro-digital.


No cotidiano, os conceitos de massa e peso se confundem. É comum as pessoas dizerem, por exemplo, "peso 62 quilos", quando o certo seria dizer "peso 62 quilogramas força", ou "peso 620 newtons" (620 N).

Peso lunar
A Lua também tem aceleração gravitacional, mas como possui massa e tamanhos bem menores do que os da Terra, sua gravidade na superfície é de cerca de um sexto da encontrada em nosso planeta.

Com esse valor, o peso de um astronauta de massa 70 kg, por exemplo, seria de apenas 112 newtons quando ele estivesse na Lua (o valor de g na superfície lunar é de 1,6 m/s2). Na Terra, o mesmo astronauta tem quase 700 newtons de peso.


Esse fato torna os movimentos de um homem na Lua bem mais fáceis do que seriam aqui. Entretanto, a massa do astronauta permanece inalterada. Você pode calcular seu peso em outros planetas no Museu Interativo de Astronomia.
*Luís Fábio Simões Pucci é professor do Instituto Galileo Galilei para a Educação.

Cinematica parte II

Vimos que, quando um objeto está em movimento, ele muda de posição ao longo de sua trajetória. A cada posição do objeto, associamos um espaço (s), e a variação de espaço representa o deslocamento escalar (s).

A tal variação de espaço ocorre num intervalo de tempo (t), definido pela diferença entre o instante final e o inicial do percurso.

Quando relacionamos o deslocamento escalar s e o correspondente intervalo de tempo t, obtemos a velocidade escalar média (vm).

A velocidade escalar média apresenta sempre o mesmo sinal que o deslocamento escalar (s), pois o intervalo de tempo é sempre positivo. Assim, podemos ter velocidade escalar média positiva, negativa ou nula, dependendo exclusivamente do deslocamento escalar.

No Sistema Internacional (SI), a unidade para a velocidade é o metro por segundo (m/s). Outras unidades, tais como cm/s e km/h são muito utilizadas.

As relações entre elas são as seguintes:

Para transformar km/h para m/s, dividimos por 3,6; para o inverso, multiplicamos por 3,6.

Como exemplo, suponha um carro efetuando um deslocamento escalar de 36 km num intervalo de tempo de 0,50 h. A sua velocidade escalar média neste percurso corresponde a:

O resultado encontrado (72 km/h = 20 m/s), significa a suposta velocidade escalar constante que o carro poderia ter utilizado no trajeto.

1. Velocidade Escalar Instantânea

Alguns dos meios de transporte utilizados pelo homem – carro, trem, avião – possuem um instrumento – o velocímetro – que indica o módulo da velocidade escalar instantânea (), ou seja, o valor absoluto da velocidade escalar do móvel no instante em que efetuamos a leitura, em relação à Terra.

Quando o movimento for progressivo, a velocidade escalar instantânea será positiva ( > 0) e quando for retrógrado, negativa ( <>

Esta velocidade pode ou não coincidir com a velocidade escalar média do movimento. Enquanto a primeira representa a velocidade real () num determinado instante, a segunda indica a velocidade escalar hipotética (m) que o móvel poderia ter mantido entre dois instantes. Se o móvel mantiver sua velocidade escalar instantânea constante, então sua velocidade escalar média coincidirá com a instantânea.

A determinação da velocidade escalar instantânea é feita a partir da velocidade escalar média (s/t), fazendo-se o intervalo de tempo (t) tender a zero, isto é, tender a um valor extremamente pequeno, que acarretará uma variação de espaço (s) também extremamente pequena e, nessas condições, a velocidade escalar média tenderá para um valor que expressa a velocidade escalar instantânea. Assim, escrevemos:

Na equação acima, lim significa limite.
Em termos práticos, podemos determinar a velocidade escalar instantânea da seguinte forma:

O físico e matemático inglês Isaac Newton descobriu, no século XVII, o processo matemático denominado derivação de funções, que permitiu obter certas grandezas instantâneas. A partir disto, temos:

Simbolicamente, isto é expresso assim:

(lê-se derivada de s em relação a t)

Cada função matemática tem a sua derivada específica. Para o estudo da Cinemática, no ensino médio, tem grande importância a derivada de uma função polinomial, a qual é calculada de acordo com a técnica descrita a seguir.

• Função horária dada:

• Indicação da derivada:

• Cálculo da derivada:


A expressão final é denominada função horária da velocidade. Ela nos permite determinar a velocidade escalar num instante t qualquer.
Exemplo:
A função horária do espaço de um móvel é dada por:
s = 2t³ + 4t² - 5t + 7 (SI)
Obter a velocidade escalar do móvel num instante t.
Resolução:

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