Leis de Ohm Resistência elétrica, resistividade e leis de Ohm

Como mostramos em outro artigo, a corrente elétrica consiste no movimento ordenado de elétrons é formada quando há uma diferença de potencial (ddp) em um fio condutor. E esse movimento no condutor fica sujeito a uma oposição que é conhecida como resistência elétrica.

No inicio do século 19, o físico alemão Georg Simon Ohm (1787-1854) descobriu duas leis que determinam a resistência elétrica dos condutores. Essas leis, em alguns casos, também valem para os semicondutores e os isolantes.

A primeira lei de Ohm
Considere um fio feito de material condutor. As extremidades desse fio, são ligadas aos pólos de uma pilha, como mostra a figura abaixo. Desse modo, a pilha estabelece uma diferença de potencial no fio condutor e, conseqüentemente, uma corrente elétrica. Para se determinar o valor da corrente elétrica, coloca-se em série no circuito um amperímetro e, em paralelo, um voltímetro que permititrá a leitura da tensão. A montagem do circuito está ilustrada na figura abaixo:


Com o circuito montado e funcionando, fazemos as medições de tensão e corrente através dos aparelhos instalados. Agora imagine que a diferença de potencial da pilha seja dobrada (podemos fazer isso ligando uma segunda pilha em série com a primeira). Como resultado dessa alteração, o voltímetro marcará o dobro da tensão anterior, e o amperímetro marcará o dobro de corrente elétrica. Se triplicarmos a diferença de potencial, triplicaremos a corrente elétrica. Isso quer dizer que a razão entre a diferença de potencial e a corrente elétrica tem um valor constante. Essa constante é simbolizada pela letra R.


Se colocarmos a corrente elétrica (i) em evidência, podemos observar que, quanto maior o valor de R, menor será a corrente elétrica. Essa constante mostra a resistência que o material oferece à passagem de corrente elétrica.

A primeira lei de Ohm estabelece que a razão entre a diferença de potencial e a corrente elétrica em um condutor é igual a resistência elétrica desse condutor. Vale salientar que a explicação foi desenvolvida tendo como base um condutor de resistência constante. É por isso que condutores desse tipo são chmados de condutores ôhmicos.

A unidade de resistência elétrica no Sistema Internacional está exposta no quadro a seguir.



A segunda lei de Ohm
A primeira lei de Ohm nos apresentou uma nova grandeza física, a resistência elétrica. A segunda lei de Ohm nos dirá de que fatores influenciam a resistência elétrica. De acordo com a segunda lei, a resistência depende da geometria do condutor (espessura e comprimento) e do material de que ele é feito. A resistência é diretamente proporcional ao comprimento do condutor e inversamente proporcional a área de secção (a espessura do condutor). Observe a figura abaixo.




A figura apresenta a segunda lei de Ohm, onde L representa o comprimento do condutor e A é a área de sua secção reta. Essa equação mostra que se aumentarmos o comprimento do fio, aumentaremos a resistência elétrica, e que o aumento da área resultará na diminuição da resistência elétrica.

O é a resistividade do condutor, que depende do material de que ele é feito e da sua temperatura.
Paulo Augusto Bisquolo é professor de física do colégio COC-Santos (SP).

Função Logarítmica

Chama-se logaritmo de "A" na base "B" ao número "x" tal que, log_B A = x  B^x = A.

Ao se escrever log_B A = x    (lê-se: log de A na base B igual a "x") tem-se que:
B é a base do logaritmo,       A é o logaritmando       e       x é o logaritmo.

B > 0 e B  1   ( a base é um número real positivo e diferente de 1 );
A > 0    ( o logaritmando é sempre um número real positivo );
x     ( o logaritmo "x" é um número real qualquer, positivo, negativo ou nulo ).

Consequências da definição

Como se sabe que log_B A = x  B^x = A:
1ª)  log_B 1 = 0, pois B⁰ = 1    ( o logaritmo de 1 em qualquer base é zero )
2ª)  log_B B = 1, pois B¹ = B    ( o logaritmo de um número na sua própria base é 1 )
3ª)  B^log_B A = A, pois substituindo log_B A por "x" fica B^x = A.
4ª)  log_B A = log_B C  A = C, pois em log_B A = log_B C se tem que:   B^log_B C = A, ou seja, C = A.

Propriedades operatórias do logaritmo

1ª)  log_B (A . C) = log_B A + log_B C    ( o logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos )
2ª)  log_B (A / C) = log_B A – log_B C    ( o logaritmo de um quociente é a diferença dos logaritmos )
3ª)  log_B Aⁿ = n . log_B A    ( o logaritmo de uma potência é o produto do expoente pelo logaritmo desse número )
4ª)  log_Bⁿ A = 1/n . log_B A    ( se o expoente estiver na base, ele continua a multiplicar o logaritmo, mas invertido )

Exemplo:
— Calcule o valor das expressões:
a) 6^{1 – log₆ 2}                   b) log₂ 8  – 2 . log₂ (log₃ 81).

a) 6^{1 – log₆ 2} = 6¹ . 6^–log₆ 2 = 6 . 6^{log₆ 2–1} = 6 . 2^–1 = 6 . (1/2) = 3.

b) log₂ 8  – 2 . log₂ (log₃ 81) = log₂ 2³ . 2^1/2 – 2 . log₂ (log₃ 3⁴) =
log₂ 2^{3 + 1/2} – 2 . log₂ (4 . log₃ 3) = log₂ 2^7/2 – 2 . log₂ (4 . 1) = (7/2) . log₂ 2 – 2 . log₂ 4 =
(7/2) . 1 – 2 . log₂ 2² = 7/2 – 2 . 2 . log₂ 2 = 7/2 – 2 . 2 . 1 = 7/2 – 4 = – 1/2.

Cologaritmo

Chama-se cologaritmo de "x" na base B, e escreve-se, colog_B x ao logaritmo do inverso do logaritmando na mesma base,
colog_B x = log_B (1 / x)         ou          colog_B x = – log_B x.

Logaritmo natural

Chama-se logaritmo natural ou neperiano ao logaritmo de base e (número de Euler, ondee  2,71828)
Ao invés de se escrever log_e x, escreve-se ln x.

Logaritmo decimal

Chama-se logaritmo decimal ao logaritmo de base 10.
Ao invés de se escrever log₁₀ x, escreve-se log x (não se escreve a base).

Mudança de Base

Algumas vezes é necessário fazer uma conversão dos logaritmos de bases diferentes para uma outra base.
Para mudar de base se faz o quociente entre o logaritmo do logaritmando e o logaritmo da antiga base, ambos na nova base.

Se em log_B x, desejar mudar dessa base B para uma base H, tem-se:
log_B x = (log_H x) / (log_H B). 

Exemplo:
— Simplifique a expressão: log₂ 16 . log₄ 3 . log₂₅ 2 . log₃ 5.

log₂ 16 . log₄ 3 . log₂₅ 2 . log₃ 5 = log₂ 2⁴ . log_2² 3 . log_5² 2 . log₃ 5 =
4 . log₂ 2 . (1/2) . log₂ 3 . (1/2) . log₅ 2 . log₃ 5 =
4 . 1 . (1/2) . (1/2) . log₂ 3 . log₅ 2 . log₃ 5 =
mudando para a base 10:
1 . (log 3 / log 2) . (log 2 / log 5) . (log 5 / log 3) =
organizando:
(log 3 / log 3) . (log 2 / log 2) . (log 5 / log 5) = 1 . 1 . 1 = 1.

Função Logarítmica

A função f:    definida por f(x) = log_b x, com b > 0 e b  1, é denominada função logarítmica.

Se b > 1 a função é crescente                            Se 0 < b < 1 a função é decescente

                            

Esboço gráfico:
Seja a função dada pela sentença: f(x) = log₂ x, faça um esboço gráfico.

f(1/2) = log₂ 1/2 = log₂ 2^–1 = – 1 . log₂ 2 = – 1 . 1 = – 1.
f(1) = log₂ 1 = 0
f(2) = log₂ 2 = 1

Equação Logarítmica

Para se resolver equações logarítmicas deve-se reduzir as bases a uma mesma base e igualar os logaritmandos.
Devido ao domínio da função logarítmica, a condição de existência deve ser observada.

Resolução:
Para resolver a equação log₂ x² = log₂ ( x + 2 ), verifica-se a condição de existência:
para a 1ª condição:
x² > 0, é positivo para todo x  0, e para a 2ª condição:
x + 2 > 0, é positivo para todo x > – 2.
Assim, para satisfazer as duas condições, x > 0.

Como as bases já estão iguais, os logaritmandos também são iguais, então:
x² = x + 2, e daí: x² – x – 2 = 0
x' = 2 e x'' = – 1  e,   como tem que satisfazer a condição x > 0, a solução é:
S = { 2 }.

Inequação Logarítmica

Para resolver inequações logarítmicas, além de se observa a condição de existência, deve-se realizar dois passos importantes:

1°) A redução dos dois membros da inequação a logaritmos de mesma base.

2°) A aplicação da propriedade:
log_b x > log_b y,    então:
x > y   se   b > 1    ( a desigualdade permanece se a base for maior do que 1 )
x < y   se   0 < b < 1    ( a desigualdade será invertida, se a base estiver entre 0 e 1 ).

Resolução:
Obtenha os valores de "x" na inequação log_1/2 x² > log_1/2 (x + 2).
Problema semelhante ao anterior, onde a condição de existência é x > 0, e como a base 1/2 é menor que 1, tem-se:
x² < x + 2, e daí: x² – x – 2 < 0 que é negativa entre as raízes, então:
A inequação do segundo grau assume os valores – 1 < x < 2, mas pela condição de existência x > 0, então:
S = { x   ; 0 < x < 2 }.

Exercícios Resolvidos

R01 — Faça um esboço do gráfico de f(x) = log_1/2 x.

f(2) = log_1/2 2 = log_2^–1 2 = (1 /– 1) . 1 = – 1.
f(1) = log_1/2 1 = 0
f(1/2) = log_1/2 (1/2) = 1

R02 — Sendo log₅ 2 = k e log₅ 3 = m, calcule o valor de:
a) log₅ 45                          b) log₅ 240

a) log₅ 45 = log₅ 3² . 5 = log₅ 3² + log₅ 5 = 2 . log₅ 3 + log₅ 5 = 2 . m + 1 = 2m + 1.

b) log₅ 240 = log₅ 2⁴ . 3 . 5 = log₅ 2⁴ + log₅ 3 + log₅ 5 = 4 . log₅ 2 + m + 1 = 4k + m + 1.

R03 — Considerando que log_b x = 1,52; log_b y = 1,43 e que log_b z = 0,97. Calcule log_b (x³ . y⁴. z²)

log_b (x³ . y⁴ . z²) = log_b x³ + log_b y⁴ + log_b z² = 3 . log_b x + 4 . log_b y + 2 . log_b z =
3. 1,52 + 4. 1,43 + 2. 0,97 = 4,56 + 5,72 + 1,94 = 12,22.

R04 — Supondo que log₂ 3 = 1,5. Simplifique a expressão: log₂ 18 / log₄ 12.

Fatorando:   18 = 2 . 3²,    12 = 2² . 3    e    4 = 2², assim:
log₂ 18 / log₄ 12 = log₂ (2 . 3²) / log_2² (2² . 3) = (log₂ 2 + log₂3²) / (1/2) . [ log₂ (2² . 3) ] =
(1 + 2 . log₂ 3) / (1/2) . [ 2 . log₂ 2 + log₂ 3 ] = (1 + 2 . log₂ 3) / (1/2) . ( 2 + log₂ 3 ) =
2 . (1 + 2 . log₂ 3) / ( 2 + log₂ 3 ) = (2 + 4 . log₂ 3) / ( 2 + log₂ 3 ) = (2 + 4 . 1,5) / (2 + 1,5) =
(2 + 6) / 3 = 8/3.

R05 — Sendo log 2 = 0,3010; log 3 = 0,4771; log 7 = 0,8451 e log 11 = 1,0414, calcule:
a) log 2,8                          b) log 3,08

a) Log 2,8 = log 28 / 10 = log 28 – log 10 = log 2² . 7 – log 10 = log 2² + log 7 – 1 =
2 . log 2 + log 7 – 1 = 2 . 0,3010 + 0,8451 – 1 = 0,6020 + 0,8451 – 1 = 1,4471 – 1 =
0,4471

b) Log 3,08 = log 308 / 100 = log 308 – log 100 = log 2² . 7. 11 – log 10² =
log 2² + log 7 + log 11 – 2 . log 10 = 2 . log 2 + log 7 + log 11 – 2 . log 10 =
2 . 0,3010 + 0,8451 + 1,0414 – 2 . 1 = 0,6020 + 0,8451 + 1,0414 – 2 = 2,4885 – 2 =
0,4885

R06 — Resolver a equação log₃ (x + 5) = 2.

Primeiro deve-se ver a condição de existência: x + 5 > 0       ou       x > – 5

Deixando as bases iguais:
log₃ (x + 5) = 2  log₃ (x + 5) = 2 . log₃ 3  log₃ (x + 5) = log₃ 3²
x + 5 = 3²       ou       x + 5 = 9       ou       x = 9 – 5       ou       x = 4.
Como x = 4 satisfaz a condição de existência, x > – 5, então a solução é:
S = { 4 }.

R07 — Resolver a equação log₂ (log₄ x) = 1.

A condição de existência: log₄ x > 0, então x > 1.
log₂ (log₄ x) = 1; como 1 = log₂ 2, então log₂ (log₄ x) = log₂ 2     ou    log₄ x = 2
Então, log₄ x = 2 . log₄ 4     ou    log₄ x = log₄ 4²
E como as bases são iguais, x = 4² = 16 ( que satisfaz a condição de existência ).
S = { 16 }.

R08 — Resolva a equação log_{x + 1} (x² – x) = 1.

Condição de existência:
Da base: x + 1 > 0    ou    x > – 1     e    x + 1  1     ou    x  0.
Do logaritmando: x² – x > 0     ou    x < 0 ou x > 1 

R09 — Resolva o sistema: 

A condições de existência: x > 0 e y > 0
Na 1ª equação: log x + log y = 7     ou    log y = 7 – log x
Daí, substituindo log y na segunda equação tem-se:

3 . log x – 2 . (7 – log x) = 1     ou    3 . log x – 14 + 2 . log x = 1     ou
5 . log x = 15     ou    log x = 3     ou    x = 10³

Como, x = 10³ então log y = 7 – log x, temos: log y = 7 – log 10³     ou
log y = 7 – 3     ou    log y = 4     ou    y = 10⁴.

Como satisfazem as condições de existência, então a solução é:
S = { (10³; 10⁴) }.

R10 — Obtenha a solução da inequação log₂ x + 1 > log₂ (x² – 1).

Condição de existência: x > 0 e x² – 1 > 0, ou seja, x < – 1 ou x > 1, portanto serve apenas x > 1.
log₂ x + log₂ 2 > log₂ (x² – 1)
log₂ 2x > log₂ (x² – 1)
2x > x² – 1     ou     – x² – 2x + 1 > 0
Encontrando as raízes de – x² – 2x + 1 = 0
 = (– 2)² – 4 . (– 1) . 1 = 4 + 4 = 8
x' = 1 –      e     x'' = 1 + 
Assim, a solução da inequação do 2º grau é 1 –  < x < 1 + 
E por causa da condição de existência a solução é:
S = { x   ; 1 < x < 1 +  }.

Exercícios Propostos

P01 — Faça um esboço do gráfico de f(x) = log_0,25 x.

P02 — Se f(x) = log [x² / (x + 11) ] o valor de f(– 1) é:
a) – 2                 b) – 1                 c) 0                 d) 1                 e) 2

P03 — Determine o valor de x de modo que existam os logaritmos:
a) log_2x (x + 1)                               b) log_{(4 – x)} (x – 3)

P04 — Sendo log₅ 2 = p e log₅ 3 = m, calcule, em função de p e m, o valor de:
a) log 4,5                                    b) log 150

P05 — Sendo o log 2 = x e log 3 = y, calcule o valor de:
a) log₅ 432                                   b) log₃ 540

P06 — Resolva a equação log_b (x + 3) + log_b (x – 3) = log_b 7.

P07 — Sendo log_b a = 3; log_c a = 4 e log_d a = 2. Calcule b . c . d.

P08 — Considerando que log_b x = 1,2 e que log_b y = 0,8 e log_t b = 0,5. Calcule log_t x³ . y⁴.

P09 — Resolva a equação 3^{x + 2} = 4^{3x – 1}, Sabendo que log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771.

P10 — Resolva o sistema: 

P11 — A solução da equação log (3x – 1) + log (x) = 2 é:
a) 1/2                  b) 1                 c)                  d) 2                 e) 2/3

P12 — Resolva a equação logarítmica: 2 . log² x – 5 . log x + 2 = 0.

P13 — Se x e y são números reais que satisfazem ao sistema , qual o valor de  ?

P14 — Se "a" e "b" são números reais que satisfazem a equação x^{log x} = 100/x, então:
a) a . b = 10                 b) a + b = 10,1                 c) a . b = 0,1                 d) a + b = 1,01                  e) a . b = 0,01

P15 — (UDESC 2008) Sabendo que log₃ (7x – 1) = 3 e que log₂ (y³ + 3) = 7 pode-se afirmar que log_y (x² + 9) é igual a:
a) 6                 b) 2                 c) 4                 d) – 2                 e) – 4

P16 — (UDESC 2008) Se log_a b = 3 e log_ab c = 4, então log_a c é:
a) 12                 b) 16                 c) 24                 d) 8                 e) 6

P17 — (FUVEST) Se log x  log₂ 4 . log₄ 6 . log₆ 8 – 1, então:
a) 0 < x  10²
b) 10² < x  10⁴
c) 10⁴ < x  10⁶
d) 10⁶ < x  10⁸
e) x > 10⁸

P18 — Resolva a inequação: log₂ (x + 2) > log₂ 8.

P19 — Resolva a inequação: log₂ (log₃ x) > 0.

P20 — Resolva a inequação log_b (x + 2) + log_b (x – 2) < log_b 5.

fonte:hpdemat.apphb.com

MEC disponibiliza coleção de livros sobre educadores

O Ministério da Educação disponibilizou versões digitais dos 61 livros da "Coleção Educadores". Os trabalhos podem ser acessados a partir do site Domínio Público (aqui).

Um aspecto interessante da coleção é o sentido ampliado do conceito de "educador", contemplando desde autores tradicionais de linhas teóricas da Educação, como Piaget, Paulo Freire, Vygotsky (ao centro, na caricatura acima), Freinèt (à direita), até pensadores sociais (Darcy Ribeiro, Florestan Fernandes, entre outros) e indivíduos com atuação pioneira no uso da comunicação em processos educativos, como o cineasta Humberto Mauro (à esquerda, no desenho) e Roquette-Pinto.

fonte: midiaseducacao.com