Função Logarítmica

Chama-se logaritmo de "A" na base "B" ao número "x" tal que, log_B A = x  B^x = A.

Ao se escrever log_B A = x    (lê-se: log de A na base B igual a "x") tem-se que:
B é a base do logaritmo,       A é o logaritmando       e       x é o logaritmo.

B > 0 e B  1   ( a base é um número real positivo e diferente de 1 );
A > 0    ( o logaritmando é sempre um número real positivo );
x     ( o logaritmo "x" é um número real qualquer, positivo, negativo ou nulo ).

Consequências da definição

Como se sabe que log_B A = x  B^x = A:
1ª)  log_B 1 = 0, pois B⁰ = 1    ( o logaritmo de 1 em qualquer base é zero )
2ª)  log_B B = 1, pois B¹ = B    ( o logaritmo de um número na sua própria base é 1 )
3ª)  B^log_B A = A, pois substituindo log_B A por "x" fica B^x = A.
4ª)  log_B A = log_B C  A = C, pois em log_B A = log_B C se tem que:   B^log_B C = A, ou seja, C = A.

Propriedades operatórias do logaritmo

1ª)  log_B (A . C) = log_B A + log_B C    ( o logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos )
2ª)  log_B (A / C) = log_B A – log_B C    ( o logaritmo de um quociente é a diferença dos logaritmos )
3ª)  log_B Aⁿ = n . log_B A    ( o logaritmo de uma potência é o produto do expoente pelo logaritmo desse número )
4ª)  log_Bⁿ A = 1/n . log_B A    ( se o expoente estiver na base, ele continua a multiplicar o logaritmo, mas invertido )

Exemplo:
— Calcule o valor das expressões:
a) 6^{1 – log₆ 2}                   b) log₂ 8  – 2 . log₂ (log₃ 81).

a) 6^{1 – log₆ 2} = 6¹ . 6^–log₆ 2 = 6 . 6^{log₆ 2–1} = 6 . 2^–1 = 6 . (1/2) = 3.

b) log₂ 8  – 2 . log₂ (log₃ 81) = log₂ 2³ . 2^1/2 – 2 . log₂ (log₃ 3⁴) =
log₂ 2^{3 + 1/2} – 2 . log₂ (4 . log₃ 3) = log₂ 2^7/2 – 2 . log₂ (4 . 1) = (7/2) . log₂ 2 – 2 . log₂ 4 =
(7/2) . 1 – 2 . log₂ 2² = 7/2 – 2 . 2 . log₂ 2 = 7/2 – 2 . 2 . 1 = 7/2 – 4 = – 1/2.

Cologaritmo

Chama-se cologaritmo de "x" na base B, e escreve-se, colog_B x ao logaritmo do inverso do logaritmando na mesma base,
colog_B x = log_B (1 / x)         ou          colog_B x = – log_B x.

Logaritmo natural

Chama-se logaritmo natural ou neperiano ao logaritmo de base e (número de Euler, ondee  2,71828)
Ao invés de se escrever log_e x, escreve-se ln x.

Logaritmo decimal

Chama-se logaritmo decimal ao logaritmo de base 10.
Ao invés de se escrever log₁₀ x, escreve-se log x (não se escreve a base).

Mudança de Base

Algumas vezes é necessário fazer uma conversão dos logaritmos de bases diferentes para uma outra base.
Para mudar de base se faz o quociente entre o logaritmo do logaritmando e o logaritmo da antiga base, ambos na nova base.

Se em log_B x, desejar mudar dessa base B para uma base H, tem-se:
log_B x = (log_H x) / (log_H B). 

Exemplo:
— Simplifique a expressão: log₂ 16 . log₄ 3 . log₂₅ 2 . log₃ 5.

log₂ 16 . log₄ 3 . log₂₅ 2 . log₃ 5 = log₂ 2⁴ . log_2² 3 . log_5² 2 . log₃ 5 =
4 . log₂ 2 . (1/2) . log₂ 3 . (1/2) . log₅ 2 . log₃ 5 =
4 . 1 . (1/2) . (1/2) . log₂ 3 . log₅ 2 . log₃ 5 =
mudando para a base 10:
1 . (log 3 / log 2) . (log 2 / log 5) . (log 5 / log 3) =
organizando:
(log 3 / log 3) . (log 2 / log 2) . (log 5 / log 5) = 1 . 1 . 1 = 1.

Função Logarítmica

A função f:    definida por f(x) = log_b x, com b > 0 e b  1, é denominada função logarítmica.

Se b > 1 a função é crescente                            Se 0 < b < 1 a função é decescente

                            

Esboço gráfico:
Seja a função dada pela sentença: f(x) = log₂ x, faça um esboço gráfico.

f(1/2) = log₂ 1/2 = log₂ 2^–1 = – 1 . log₂ 2 = – 1 . 1 = – 1.
f(1) = log₂ 1 = 0
f(2) = log₂ 2 = 1

Equação Logarítmica

Para se resolver equações logarítmicas deve-se reduzir as bases a uma mesma base e igualar os logaritmandos.
Devido ao domínio da função logarítmica, a condição de existência deve ser observada.

Resolução:
Para resolver a equação log₂ x² = log₂ ( x + 2 ), verifica-se a condição de existência:
para a 1ª condição:
x² > 0, é positivo para todo x  0, e para a 2ª condição:
x + 2 > 0, é positivo para todo x > – 2.
Assim, para satisfazer as duas condições, x > 0.

Como as bases já estão iguais, os logaritmandos também são iguais, então:
x² = x + 2, e daí: x² – x – 2 = 0
x' = 2 e x'' = – 1  e,   como tem que satisfazer a condição x > 0, a solução é:
S = { 2 }.

Inequação Logarítmica

Para resolver inequações logarítmicas, além de se observa a condição de existência, deve-se realizar dois passos importantes:

1°) A redução dos dois membros da inequação a logaritmos de mesma base.

2°) A aplicação da propriedade:
log_b x > log_b y,    então:
x > y   se   b > 1    ( a desigualdade permanece se a base for maior do que 1 )
x < y   se   0 < b < 1    ( a desigualdade será invertida, se a base estiver entre 0 e 1 ).

Resolução:
Obtenha os valores de "x" na inequação log_1/2 x² > log_1/2 (x + 2).
Problema semelhante ao anterior, onde a condição de existência é x > 0, e como a base 1/2 é menor que 1, tem-se:
x² < x + 2, e daí: x² – x – 2 < 0 que é negativa entre as raízes, então:
A inequação do segundo grau assume os valores – 1 < x < 2, mas pela condição de existência x > 0, então:
S = { x   ; 0 < x < 2 }.

Exercícios Resolvidos

R01 — Faça um esboço do gráfico de f(x) = log_1/2 x.

f(2) = log_1/2 2 = log_2^–1 2 = (1 /– 1) . 1 = – 1.
f(1) = log_1/2 1 = 0
f(1/2) = log_1/2 (1/2) = 1

R02 — Sendo log₅ 2 = k e log₅ 3 = m, calcule o valor de:
a) log₅ 45                          b) log₅ 240

a) log₅ 45 = log₅ 3² . 5 = log₅ 3² + log₅ 5 = 2 . log₅ 3 + log₅ 5 = 2 . m + 1 = 2m + 1.

b) log₅ 240 = log₅ 2⁴ . 3 . 5 = log₅ 2⁴ + log₅ 3 + log₅ 5 = 4 . log₅ 2 + m + 1 = 4k + m + 1.

R03 — Considerando que log_b x = 1,52; log_b y = 1,43 e que log_b z = 0,97. Calcule log_b (x³ . y⁴. z²)

log_b (x³ . y⁴ . z²) = log_b x³ + log_b y⁴ + log_b z² = 3 . log_b x + 4 . log_b y + 2 . log_b z =
3. 1,52 + 4. 1,43 + 2. 0,97 = 4,56 + 5,72 + 1,94 = 12,22.

R04 — Supondo que log₂ 3 = 1,5. Simplifique a expressão: log₂ 18 / log₄ 12.

Fatorando:   18 = 2 . 3²,    12 = 2² . 3    e    4 = 2², assim:
log₂ 18 / log₄ 12 = log₂ (2 . 3²) / log_2² (2² . 3) = (log₂ 2 + log₂3²) / (1/2) . [ log₂ (2² . 3) ] =
(1 + 2 . log₂ 3) / (1/2) . [ 2 . log₂ 2 + log₂ 3 ] = (1 + 2 . log₂ 3) / (1/2) . ( 2 + log₂ 3 ) =
2 . (1 + 2 . log₂ 3) / ( 2 + log₂ 3 ) = (2 + 4 . log₂ 3) / ( 2 + log₂ 3 ) = (2 + 4 . 1,5) / (2 + 1,5) =
(2 + 6) / 3 = 8/3.

R05 — Sendo log 2 = 0,3010; log 3 = 0,4771; log 7 = 0,8451 e log 11 = 1,0414, calcule:
a) log 2,8                          b) log 3,08

a) Log 2,8 = log 28 / 10 = log 28 – log 10 = log 2² . 7 – log 10 = log 2² + log 7 – 1 =
2 . log 2 + log 7 – 1 = 2 . 0,3010 + 0,8451 – 1 = 0,6020 + 0,8451 – 1 = 1,4471 – 1 =
0,4471

b) Log 3,08 = log 308 / 100 = log 308 – log 100 = log 2² . 7. 11 – log 10² =
log 2² + log 7 + log 11 – 2 . log 10 = 2 . log 2 + log 7 + log 11 – 2 . log 10 =
2 . 0,3010 + 0,8451 + 1,0414 – 2 . 1 = 0,6020 + 0,8451 + 1,0414 – 2 = 2,4885 – 2 =
0,4885

R06 — Resolver a equação log₃ (x + 5) = 2.

Primeiro deve-se ver a condição de existência: x + 5 > 0       ou       x > – 5

Deixando as bases iguais:
log₃ (x + 5) = 2  log₃ (x + 5) = 2 . log₃ 3  log₃ (x + 5) = log₃ 3²
x + 5 = 3²       ou       x + 5 = 9       ou       x = 9 – 5       ou       x = 4.
Como x = 4 satisfaz a condição de existência, x > – 5, então a solução é:
S = { 4 }.

R07 — Resolver a equação log₂ (log₄ x) = 1.

A condição de existência: log₄ x > 0, então x > 1.
log₂ (log₄ x) = 1; como 1 = log₂ 2, então log₂ (log₄ x) = log₂ 2     ou    log₄ x = 2
Então, log₄ x = 2 . log₄ 4     ou    log₄ x = log₄ 4²
E como as bases são iguais, x = 4² = 16 ( que satisfaz a condição de existência ).
S = { 16 }.

R08 — Resolva a equação log_{x + 1} (x² – x) = 1.

Condição de existência:
Da base: x + 1 > 0    ou    x > – 1     e    x + 1  1     ou    x  0.
Do logaritmando: x² – x > 0     ou    x < 0 ou x > 1 

R09 — Resolva o sistema: 

A condições de existência: x > 0 e y > 0
Na 1ª equação: log x + log y = 7     ou    log y = 7 – log x
Daí, substituindo log y na segunda equação tem-se:

3 . log x – 2 . (7 – log x) = 1     ou    3 . log x – 14 + 2 . log x = 1     ou
5 . log x = 15     ou    log x = 3     ou    x = 10³

Como, x = 10³ então log y = 7 – log x, temos: log y = 7 – log 10³     ou
log y = 7 – 3     ou    log y = 4     ou    y = 10⁴.

Como satisfazem as condições de existência, então a solução é:
S = { (10³; 10⁴) }.

R10 — Obtenha a solução da inequação log₂ x + 1 > log₂ (x² – 1).

Condição de existência: x > 0 e x² – 1 > 0, ou seja, x < – 1 ou x > 1, portanto serve apenas x > 1.
log₂ x + log₂ 2 > log₂ (x² – 1)
log₂ 2x > log₂ (x² – 1)
2x > x² – 1     ou     – x² – 2x + 1 > 0
Encontrando as raízes de – x² – 2x + 1 = 0
 = (– 2)² – 4 . (– 1) . 1 = 4 + 4 = 8
x' = 1 –      e     x'' = 1 + 
Assim, a solução da inequação do 2º grau é 1 –  < x < 1 + 
E por causa da condição de existência a solução é:
S = { x   ; 1 < x < 1 +  }.

Exercícios Propostos

P01 — Faça um esboço do gráfico de f(x) = log_0,25 x.

P02 — Se f(x) = log [x² / (x + 11) ] o valor de f(– 1) é:
a) – 2                 b) – 1                 c) 0                 d) 1                 e) 2

P03 — Determine o valor de x de modo que existam os logaritmos:
a) log_2x (x + 1)                               b) log_{(4 – x)} (x – 3)

P04 — Sendo log₅ 2 = p e log₅ 3 = m, calcule, em função de p e m, o valor de:
a) log 4,5                                    b) log 150

P05 — Sendo o log 2 = x e log 3 = y, calcule o valor de:
a) log₅ 432                                   b) log₃ 540

P06 — Resolva a equação log_b (x + 3) + log_b (x – 3) = log_b 7.

P07 — Sendo log_b a = 3; log_c a = 4 e log_d a = 2. Calcule b . c . d.

P08 — Considerando que log_b x = 1,2 e que log_b y = 0,8 e log_t b = 0,5. Calcule log_t x³ . y⁴.

P09 — Resolva a equação 3^{x + 2} = 4^{3x – 1}, Sabendo que log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771.

P10 — Resolva o sistema: 

P11 — A solução da equação log (3x – 1) + log (x) = 2 é:
a) 1/2                  b) 1                 c)                  d) 2                 e) 2/3

P12 — Resolva a equação logarítmica: 2 . log² x – 5 . log x + 2 = 0.

P13 — Se x e y são números reais que satisfazem ao sistema , qual o valor de  ?

P14 — Se "a" e "b" são números reais que satisfazem a equação x^{log x} = 100/x, então:
a) a . b = 10                 b) a + b = 10,1                 c) a . b = 0,1                 d) a + b = 1,01                  e) a . b = 0,01

P15 — (UDESC 2008) Sabendo que log₃ (7x – 1) = 3 e que log₂ (y³ + 3) = 7 pode-se afirmar que log_y (x² + 9) é igual a:
a) 6                 b) 2                 c) 4                 d) – 2                 e) – 4

P16 — (UDESC 2008) Se log_a b = 3 e log_ab c = 4, então log_a c é:
a) 12                 b) 16                 c) 24                 d) 8                 e) 6

P17 — (FUVEST) Se log x  log₂ 4 . log₄ 6 . log₆ 8 – 1, então:
a) 0 < x  10²
b) 10² < x  10⁴
c) 10⁴ < x  10⁶
d) 10⁶ < x  10⁸
e) x > 10⁸

P18 — Resolva a inequação: log₂ (x + 2) > log₂ 8.

P19 — Resolva a inequação: log₂ (log₃ x) > 0.

P20 — Resolva a inequação log_b (x + 2) + log_b (x – 2) < log_b 5.

fonte:hpdemat.apphb.com