Transformações Lineares

1. Obter a expressão geral da transformação linear T:R³R² definida de tal modo que T(1,0,0)=(1,0), T(0,1,0)=(1,1) e T(0,0,1)=(1,−1). Depois de obter a forma geral, obtenha o vetor v em R³, tal que T(v)=(1,2).
   Para resolver este problema devemos escrever o vetor v=(x,y,z) como combinação linear dos elementos de C={e₁,e₂,e₃} que é a base canônica de R³, que são e₁=(1,0,0), e₂=(0,1,0) e e₃= (0,0,1). Assim
   
   (x,y,z) = a(1,0,0)+ b(0,1,0)+ c(0,0,1) = (a,0,0)+(0,b,0)+(0,0,c) = (a,b,c)
   Assim, x=a, y=b e z=c e como T é linear, segue que:
   

   T(x,y,z)	=	T[x(1,0,0)+ y(0,1,0)+ z(0,0,1)]
   	=	T[x(1,0,0)]+T[y(0,1,0)]+T[z(0,0,1)]
   	=	xT(1,0,0)+yT(0,1,0)+zT(0,0,1)
   	=	x(1,0)+y(1,1)+z(1,−1)
   	=	(x+y+z,y−z)

   assim, a forma geral da referida transformação linear é:
   
   T(x,y,z) = (x+y+z,y−z)
   Para obter o vetor v=(x,y,z) em R³ tal que T(x,y,z)=(1,2), tomaremos a forma T(x,y,z)=(x+y+z,y−z) exigindo que T(x,y,z)=(1,2). Basta resolver o sistema:
   

   x+y+z	=	1
   y − z	=	2

   Como o sistema possui três variáveis e duas equações lineares, este sistema terá infinitas soluções. Somando membro a membro as equações acima, obteremos x+2z=3, de onde segue que x=−2y+3. Se escolhermos y=1, obteremos x=1 e z=3 e assim obteremos um vetor em R com a propriedade desejada que é v=(1,1,3).
   Também podemos resolver este problema da seguinte forma:
   Como x=−2y+3 e y=z+2, escrevemos x em função de z para obter x=−2z−1.
   Desse modo, (x,y,z)=(−2z−1,z+2,z). Tomando z=t, podemos escrever as equações paramétricas da reta que tem a direção do vetor v=(−2,1,1) e passa pelo ponto P₀= (−1,2,0).
   
   x(t)=−2t−1,    y(t)=t+2,    z(t)=t
   Poderíamos ainda escrever (x,y,z)=(3−2y,y,y−2).
   
2. Obter expressão geral da transformação linear T:R³R² tal que T(1,0,0)=(1,0), T(1,1,0)=(2,3) e T(1,1,1)=(4,7).
   Para resolver este problema escreveremos o vetor v=(x,y,z) como combinação linear dos elementos da base B={(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} para obter
   
   (x,y,z) = a(1,0,0)+ b(1,1,0)+ c(1,1,1) = (a,0,0)+(b,b,0)+(c,c,c) = (a+b+c,b+c,c)
   Assim, x=a+b+c, y=b+c e z=c e desse modo:
   

   T(x,y,z)	=	T[x(1,0,0)+ y(1,1,0)+ z(1,1,1)]
   	=	T[x(1,0,0)]+T[y(1,1,0)]+T[z(1,1,1)]
   	=	xT(1,0,0)+yT(1,1,0)+zT(1,1,1)
   	=	x(1,0)+y(2,3)+z(4,7)
   	=	(x+2y+4z,x+3y+7z)

Referências bibliográficas

1. Boyer,Carl Boyer. História da Matemática,Editora Edgard Blücher,São Paulo. Pag.424-427. 1974.
   
2. Howard Eves. Introdução à História da Matemática. Tradução de Hygino H. Domingues. 3a.ed. Campinas-SP: Editora da UNICAMP. Pag.552-556. 2002.