Equação do Segundo Grau

quações de 2º grau

Definições

Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma:

ax2 + bx + c = 0; a, b, c IR e

Exemplo:

• x² - 5x + 6 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = -5 e c = 6.
• 6x² - x - 1 = 0 é um equação do 2º grau com a = 6, b = -1 e c = -1.
• 7x² - x = 0 é um equação do 2º grau com a = 7, b = -1 e c = 0.
• x² - 36 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = 0 e c = -36.

Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de uma equação do 2º grau na incógnita x) chamamos a, b e c de coeficientes.

a é sempre o coeficiente de x²;

b é sempre o coeficiente de x,

c é o coeficiente ou termo independente.

Equação completas e Incompletas

Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero. Exemplos:

x² - 9x + 20 = 0 e -x² + 10x - 16 = 0 são equações completas.

Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda quando ambos são iguais a zero. Exemplos:

x² - 36 = 0 (b = 0)

x² - 10x = 0 (c = 0)

4x² = 0 (b = c = 0)

Raízes de uma equação do 2º grau
Resolver uma equação do 2º grau significa determinar suas raízes.

Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação, transforma-a numa sentença verdadeira.

O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-se conjunto verdade ou conjunto solução. Exemplos:

• Dentre os elementos do conjuntos A= {-1, 0, 1, 2}, quais são raízes da equação
  x² - x - 2 = 0 ?

Solução
Substituímos a incógnita x da equação por cada um dos elementos do conjunto e verificamos quais as sentenças verdadeiras.

Para x = -1	(-1)² - (-1) - 2 = 0 1 + 1 - 2 = 0 0 = 0	(V)
Para x = 0	0² - 0 - 2 = 0 0 - 0 -2 = 0 -2 = 0	(F)
Para x = 1	1² - 1 - 2 = 0 1 - 1 - 2 = 0 -2 = 0	(F)
Para x = 2	2² - 2 - 2 = 0 4 - 2 - 2 = 0 0 = 0	(V)

Logo, -1 e 2 são raízes da equação.

• Determine p sabendo que 2 é raiz da equação (2p - 1) x² - 2px - 2 = 0.
  
  Solução
  Substituindo a incógnita x por 2, determinamos o valor de p.
  
  Logo, o valor de p é .
• Resolução de equações incompletas
  Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade.
  Utilizamos na resolução de uma equação incompleta as técnicas da fatoração e duas importantes propriedades dos números reais:
  1ª Propriedade:
  2ª Propriedade:
  1º Caso: Equação do tipo .
  Exemplo:
  
• Determine as raízes da equação , sendo .
  
  Solução
  Inicialmente, colocamos x em evidência:
  

Para o produto ser igual a zero, basta que um dos fatores também o seja. Assim:

Obtemos dessa maneira duas raízes que formam o conjunto verdade:

De modo geral, a equação do tipo tem para soluções e .

2º Caso: Equação do tipo

Exemplos:

• Determine as raízes da equação , sendo U = IR.

Solução

De modo geral, a equação do tipo possui duas raízes reais se for um número positivo, não tendo raiz real caso seja um número negativo.

Resolução de equações completas

Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a fórmula de Bhaskara.
A partir da equação , em que a, b, c IR e , desenvolveremos passo a passo a dedução da fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolutiva).

1º passo: multiplicaremos ambos os membros por 4a.

2º passo: passar 4ac par o 2º membro.

3º passo: adicionar aos dois membros.

4º passo: fatorar o 1º elemento.

5º passo: extrair a raiz quadrada dois membros.

6º passo: passar b para o 2º membro.

7º passo: dividir os dois membros por .

Assim, encontramos a fórmula resolutiva da equação do 2º grau:

Podemos representar as duas raízes reais por x' e x", assim:

Exemplos:

• resolução a equação:
  Temos

Discriminante

Denominamos discriminante o radical b² - 4ac que é representado pela letra grega (delta).

Podemos agora escrever deste modo a fórmula de Bhaskara:

De acordo com o discriminante, temos três casos a considerar:

1º Caso: O discriminante é positivo .
O valor de é real e a equação tem duas raízes reais diferentes, assim representadas:

Exemplo:

• Para quais valores de k a equação x² - 2x + k- 2 = 0 admite raízes reais e desiguais?
  
  Solução
  
  Para que a equação admita raízes reais e desiguais, devemos ter
  

Logo, os valores de k devem ser menores que 3.

2º Caso: O discriminante é nulo
O valor de é nulo e a equação tem duas raízes reais e iguais, assim representadas:

Exemplo:

• Determine o valor de p, para que a equação x² - (p - 1) x + p-2 = 0 possua raízes iguais.
  Solução
  
  Para que a equação admita raízes iguais é necessário que .

Logo, o valor de p é 3.

3º Caso: O discriminante é negativo .
O valor de não existe em IR, não existindo, portanto, raízes reais. As raízes da equação são número complexos.

Exemplo:

• Para quais valores de m a equação 3x² + 6x +m = 0 não admite nenhuma raiz real?
  
  Solução
  Para que a equação não tenha raiz real devemos ter
  

Logo, os valores de m devem ser maiores que 3.

Resumindo

Dada a equação ax² + bx + c = 0, temos:

Para , a equação tem duas raízes reais diferentes.
Para , a equação tem duas raízes reais iguais.
Para , a equação não tem raízes reais.

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