Adição e subtração de polinômios

Marcelo Rigonatto

Operações com polinômios

As operações de adição e subtração de polinômios requerem a utilização de jogos de sinais, redução de termos semelhantes e o reconhecimento do grau do polinômio. A compreensão dessas operações é fundamental para o aprofundamento dos estudos futuros sobre polinômios. Vejamos como são realizadas as operações de adição e subtração com exemplos.

Adição de Polinômios.

Exemplo 1. Dados os polinômios P(x) = 8x⁵ + 4x⁴ + 7x³ – 12x² – 3x – 9 e Q(x) = x⁵ + 2x⁴ – 2x³ + 8x² – 6x + 12. Calcule P(x) + Q(x).

Solução:

P(x) + Q(x) = (8x⁵ + 4x⁴ + 7x³ – 12x² – 3x – 9) + ( x⁵ + 2x⁴ – 2x³ + 8x² – 6x + 12)
P(x) + Q(x) = (8x⁵ + x⁵ ) + ( 4x⁴ + 2x⁴ ) + ( 7x³ – 2x³ ) + (– 12x² + 8x² ) + (– 3x – 6x) + ( – 9 + 12)
P(x) + Q(x) = 9x⁵ + 6x⁴ + 5x³ – 4x² – 9x + 3

Exemplo 2. Considere os polinômios:

A(x) = – 9x³ + 12x² – 5x + 7
B(x) = 8x² + x – 9
C(x) = 7x⁴ + x³ – 8x² + 4x + 2

Calcule A(x) + B(x) + C(x).

Solução:
A(x) + B(x) + C(x) = (– 9x³ + 12x² – 5x + 7) + (8x² + x – 9) + (7x⁴ + x³ – 8x² + 4x + 2)
A(x) + B(x) + C(x) = 7x⁴ + (– 9x³ + x³) + (12x² + 8x² – 8x²) + (– 5x + x + 4x) + (7 – 9 + 2)
A(x) + B(x) + C(x) = 7x⁴ – 8x³ + 12x²

Para a operação de adição valem as seguintes propriedades:

a) Propriedade comutativa
P(x) + Q(x) = Q(x) + P(x)

b) Propriedade associativa
[P(x) + Q(x)] + A(x) = P(x) + [Q(x) + A(x)]

c) Elemento neutro
P(x) + Q(x) = P(x)
Basta tomar Q(x) = 0.

d) Elemento oposto
P(x) + Q(x) = 0
Basta tomar Q(x) = – P(x)

Subtração de Polinômios.

A subtração é feita de maneira análoga à adição, mas deve-se ficar muito atento aos jogos de sinais. Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 3. Considere os polinômios:

P(x) = 10x⁶ + 7x⁵ – 9x⁴ – 6x³ + 13x² – 4x + 11
Q(x) = – 3x⁶ + 4x⁵ – 3x⁴ +2x³ + 12x² + 3x + 15

Efetue P(x) – Q(x).

Solução:

P(x) – Q(x) = (10x⁶ + 7x⁵ – 9x⁴ – 6x³ + 13x² – 4x + 11) – (– 3x⁶ + 4x⁵ – 3x⁴ +2x³ + 12x² + 3x + 15)
P(x) – Q(x) = 10x⁶ + 7x⁵ – 9x⁴ – 6x³ + 13x² – 4x + 11 + 3x⁶ – 4x⁵ + 3x⁴ – 2x³ – 12x² – 3x – 15
P(x) – Q(x) = 13x⁶ + 3x⁵ – 6x⁴ – 8x³ + x² – 7x – 4

Exemplo 4. Dados os polinômios:

A(x) = x³ + 2x² – 3x + 7
B(x) = 5x³ + 3x² – 2x + 1
C(x) = 6x³ + 5x² – 5x + 8

Calcule A(x) + B(x) – C(x).

Solução:

A(x) + B(x) – C(x) = (x³ + 2x² – 3x + 7) + (5x³ + 3x² – 2x + 1) – (6x³ + 5x² – 5x + 8)
A(x) + B(x) – C(x) = x³ + 2x² – 3x + 7 + 5x³ + 3x² – 2x + 1 – 6x³ – 5x² + 5x – 8
A(x) + B(x) – C(x) = (x³ + 5x³ – 6x³) + (2x² + 3x² – 5x²) + (– 3x – 2x + 5x) + (7 + 1 – 8)
A(x) + B(x) – C(x) = 0 + 0 + 0 + 0 = 0