Ensino de Matemática

segunda-feira, 16 de setembro de 2019

ÂNGULOS

Ângulo é a reunião de duas semi-retas de mesma origem e não-colineares.

Na figura

Indicação do ângulo: AÔB, ou BÔA ou simplismente Ô

PONTOS INTERNOS E PONTOS EXTERNOS A UM ÂNGULO

Seja o ângulo AÔB

MEDIDA DE UM ÂNGULO

Um ângulo pode ser medido através de um instrumento chamado transferidor e que tem o grau como unidade. O ângulo AÔB da figura mede 40 graus.

Indicação:

m (AÔB) = 40º

A unidade grau tem dois submúltiplos: minuto e segundo

1 grau tem 60 minutos (indicação: 1 = 60º)

1 minuto tem 60 segundos ( indicação 1´ = 60"

Simbolicamente:

== Um ângulo de 25 graus e 40 minutos é indicado por 25º 40´.

== Um ângulo de 12 graus, 20 minutos e 45 segundos é indicado por 12º 20´45"

EXERCICIOS

1) Dê a indicação, o vértice e os lados dos ângulos:

2) Em cada uma das figuras abaixo há três ângulos. Quais são esses ângulos?

3) 0bserve os pontos assinalados e responda:

a) Quais pontos estão no interior do ângulo?

b) Quais ponmtos estão no ixterior do ângulo?

c) Quais pontos pertencem aos lados do ângulo?

4) Escreva as medidas em graus dos ângulos indicados pelo transferidor.

a) m (AÔB)

b) m (AÔC)

c) m (AÔD)

d) m (AÔE)

e) m (AÔF)

f) m (AÔG)

5) Escreva simbolicamente:

a) 30 graus

b) 10 graus e 25 minutos

c) 42 graus e 54 minutos

d) 15 graus, 20 minutos e 40 segundos

e) 54 graus, 38 m inutos e 12 segundos

6) Responda:

a) Um grau é igual a quantos minutos?

b) Um minuto é igual a quantos segundos?

c) Um grau é igual a quantos segundos?

7) Tranforme :

a) 1º em minutos

b) 2º em minutos

c) 3º em minutos

d) 4º em minutos

e) 5º em minutos

f) 1´ em segundos

g) 2´ em segundos

h) 3´ em segundos

i) 4´ em segundos

j) 5´ em segundos

8) Transforme em minutos, observando o exemplo resolvido:

resolvido = 2º 17´ = 2 x 60´ + 17´ = 137´

a) 5º 7´ =

b) 3º 20´ =

c) 10º 35´ =

d) 12º 18´ =

e) 3º 45´ =

f) 5º 54´ =

g) 7º 12´ =

h) 9º 36´ =

9) Transforme:

120´= 120 : 60 = 2º ===== resolvidos ==== 120" = 120" : 60 = 2´

a) 180´em graus =

b) 240´em graus =

c) 300´ em graus =

d) 360´em graus =

e) 180" em minutos =

f) 240" em minutos =

g) 300" em minutos =

h) 360" em minutos =

10) Transforme em graus e minutos:

Resolvido: 75´= 1º 15´ (obs divida os minutos por 60 para obter os graus. O resto , se existir, serão os minutos.)

a) 90´ =

b) 95´=

c) 130´ =

d) 150´ =

e) 385´ =

f) 512´=

g) 867´=

h) 1000´=

11) Transforme em minutos e seguntos:

a) 97" =

b) 130" =

c) 150" =

d) 162" =

e) 185" =

f) 254" =

12) Copie e complete:

a) 40° = 39°_______

b) 70° = 69 _______

c) 84° = 83° ______

d) 90° = 89° _______

e) 150° = 149° ________

f) 180° = 179° _______

13) Escreva as medidas na forma mais simples:

Resolvildo: 27° 60´ = 28°

a) 29º 60´= (R: 30°)

b) 34° 60´= (R: 35°)

c) 72° 60´= (R: 73°)

d) 99° 60´= (R: 100°)

e) 54° 60´ = (R: 55°)

f) 108° 60´= (R: 109°)

14) Escreva as medidas na forma mais simples:

Resolvido: 39° 75´ = 40° 15´

a) 30° 80´ = (R: 31° 20´)

b) 45° 90´= (R : 46° 30´)

c) 57° 100´= (R: 58° 40´)

d) 73° 110´= (R: 74° 50´)

e) 20° 120´= (R: 22°)

f) 25° 150´= (R: 27° 30´)

g) 42° 160´= (R: 44° 40´)

h) 78° 170´= (R: 80° 50´)

OPERAÇÕES COM MEDIDAS DE ÂNGULOS

ADIÇÃO

1) Exemplo

17° 15´ 10" + 30° 20´40"

17° 15´ 10"

30° 20´ 40"

-----------

47° 35´ 50"

2) Exemplo

13° 40´ + 30° 45´

13° 40´

30° 45´

--------

43° 85´ (simplificando) 44° 25´

EXERCÍCIOS

1) Calcule as somas:

a) 49° + 65° = (R:

b) 12° 25´ + 40° 13´ = (R:

c) 28° 12´ + 5 2° 40´ = (R:

d) 58° + 17° 19´ = (R:

e) 41° 58´ + 16° = (R:

f) 25° 40´ + 16° 50´ = (R:

g) 23° 35´ + 12° 45´ = (R:

h) 21° 15´40" + 7° 12´5" = (R:

i) 35° 10´50" + 10° 25´20" = (R:

j) 31° 45´50" + 13° 20´40" = (R:

l) 3° 24´9" + 37° 11´33" = (R:

m) 35° 35´2" + 22° 24´58" = (R:

SUBTRAÇÃO

1) Exemplo

58° 40´ - 17° 10´ =

58° 40´

17° 10´

-------

41° 30´

2) Exemplo

80° - 42° 30´ =

80°

42° 30´

-------

37° 30´

EXERCÍCIOS

1) Calcule as diferenças:

a) 42° - 17° = (R:

b) 172° - 93° = (R:

c) 48° 50´ - 27° 10´ = ( R:

d) 42° 35´ - 13° 15´ = (R:

e) 70° - 22° 30´ = (R:

f) 30° - 18° 10´= (R:

g) 90° - 54° 20´ (R:

h) 120° - 50°45´ =(R:

i) 52°30´ - 20°50´ = (R:

j) 39° 1´ - 10°15´ = (R:

MULTIPLICAÇÃO DE ÂNGULOS

1º) Exemplo

17°15´ x 2 =

17°15´

___x2

--------

34°30´

2°) Exemplo

24° 20´ x 3 =

24°20´

____3

-------

72°60´ (simplificando) 73°

EXERCÍCIOS

1) Calcule os produtos:

a) 25°10´ x 3 = (R:

b) 44°20´ x 2 = ( R:

c) 35° 10´ x 4 = (R:

d) 16°20´ x 3 = (R:

e) 28°30´ x 2 = (R:

f) 12°40´ x 3 = (R:

g) 15°30´ x 3 = (R:

h) 14° 20´ x 5 =(R:

DIVISÃO DE UM ÂNGULO POR UM NÚMERO

1º Exemplo

2º Exemplo

EXERCÍCIOS

1) Calcule os quocientes:

a) 48° 20´ : 4 = (R:

b) 45° 30´ : 3 = (R:

c) 75° 50´ : 5 = (R:

d) 55° : 2 = (R:

e) 90° : 4 = (R:

f) 22° 40´ : 5 = (R:

2) Calcule:

a) 2/5 de 45° = (R;

b) 5/7 de 84° = (R:

c) 3/4 de 48° 20´ (R:

d) 3/2 de 15° 20´ (R:

ÂNGULOS CONGRUENTES

Dois ângulos são congruentes se as suas medidas são iguais.

Indicação AÔB = CÔD ( significa: AÔB é congruente a CÔD )

BISSETRIZ DE UM ÂNGULO

Bissetriz de um ângulo é a simi-reta com origem no vértice do ângulo e que o divide em dois ângulos congruentes.

EXERCÍCIOS

Responda:

a) Quanto mede o ângulo MÔA?

b) Quanto mede o ângulo NÔC?

c) Quanto mede o ângulo BÔN?

d) Quanto mede o ângulo MÔC?

e) Quanto mede o ângulo AÔN?

f) Quanto m,ede o ângulo MÔN?

ÂNGULOS RETO, AGUDO E OBTUSO

Os ângulos recebem nomes especiais de acordo com suas medidas:

= Ângulo reto é aquele cuja medida é 90°.

= ângulo agudo é aquele cuja medida é menor de 90°

= ângulo obtuso é aquele cuja medida é maior que 90°

RETAS PERPENDICULARES

Quanto duas retas se interceptam formando ângulos retos, dizemos que elas são perpendiculares.

EXERCÍCIOS

1) Classifique os ângulos apresentados nas figuras em agudos, obtusos ou reto:

2) Identifique na figura:

3) Responda:

a) O menor ângulo formado pelos pnteiros de um relógio às 3 horas é um ângulo agudo, reto ou obtuso?

b) O menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 2 horas é um ângulo agudo,reto ou obtuso?

c) O menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 5 horas é um ângulo é um ângulo agudo, reto ou obtuso?

4) Observe a figura e responda:

Qual o número de elementos do conjunto { a,b,c,x,y,z}?

ÂNGULOS COMPLEMENTARES

Dois angulos são complementares quando am soma de suas medidas é 90°

m(AÔB) + m((BÔC) = m(AÔC)

Exemplos:

= 65° e 25° são ângulos complementares , porque 65° + 25° = 90°

= 40° e 50° são ângulos complementares, porque 40° + 50° = 90°

EXERCÍCIOS

1) Responda:

a) Um ângulo de 20° e um de 70° são complementares?
b) Um ângulo de 35° e um de 65° são complementares?
c) Um ângulo de 73° e um de 27° são complementares?
d) Um ângulo de 58° e um de 32° são complementares?

2) Calcule o complemento dos seguintes ângulos:

a) 34°
b) 72°
c) 84°
d) 18° 25´
e) 40° 30´
f) 51° 20´

3) Resolva as equações abaixo, onde a inc´gnita x é um ângulo (medido em graus)

a) 2x = 90°
b) x + 17° = 90°
c) 4x + 10° = 90°
d) x + 8x = 90°
e) 5x - 20° = 1° = 2x
f) x = 2( 90° - x)
g) 4( x + 3° 0 = 20°
h) ( 3x - 20° ) + 50° = 90°
I) 3( x + 1°) = 2( x + 7°)
J) 2x + 2 (x + 1° ) = 4° + 3 ( x + 2°)

4) Determine x, sabendo que os ângulos são complementares:

5) Dado um ângulo de medida x, indicar:

a) o seu complemento.

b) o dobro do seu complemento

c) o triplo do seu complemento.

d) a metade do seu complemento

e) a terça parte do seu complemento

7) A medida de um ângulo é igual à medida de seu comprimento, quanto mede esse ângulo?

8) A medida de um ângulo é a metade da medida do seu comprimento. Calcule a medida desse ângulo.

9) Calcule a medida de um ângulo cuja medida é igual ao triplo de seu complemento.

10) A diferença entreo o dobro da medida de um ângulo e o seu complemnto é 45° Calcule a medida desse ângulo.

11) A terça parte do complemento de um ângulo mede 20°. Qual a medida do ângulo?

12) Dois ângulos complementares têm suas medidas expressas em graus por 3x + 25° e 4x - 5° . Quanto medem esses ângulos?

ÂNGULOS SUPLEMENTARES

Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180°

m(AÔB) + m(BÔC) = 180°

Exemplos:

= 50° e 130° são angulos suplementares, porque 50° + 130° = 180°

= 125° e 55° são ângulos suplementares, porque 125° + 55º = 180°

EXERCÍCIOS

1) Responda:

a) Um ângulo de 70° e um de 110° são suplementares?
R: (

b) Um ângulo de 155° e um de 25° são suplementares?

2) Calcule o suplemento dos seguintes ângulos:
a) 30° = (R:
b) 85° = (R:
c) 72° = (R:
d) 132° 30´ = (R:
e) 140° 20´ = (R:
f) 151° 40` =(R:

3) Determine x, sabendo que os ángulos são suplementares:

4) Determine x, sabendo que os ângulos são suplementares:

5) Calcule x:

6) Aquarta parte da medida de um ângulo mede 30°. Calcule a medida do seu suplemento.

(R:

7) A medida de um ângulo é igual à medida de seu suplemento. Calcule esse ângulo.

(R:

8) Calcule a medida de um ângulo que é igual ao triplo de seu suplemento.

(R:

9) O dobro da medida de um ângulo é igual à medida do suplemento desse ângulo. Calcule a medida do ângulo.

(R:

10) O triplo da medida de um ângulo mais a medida do suplemento desse ângulo é 250°. Calculo a medida do ângulo.

(R:

11) Calcule a medida de um ângulo cuja medida é igual a 2/3 do seu suplemento.

(R:

12) A soma do complemento com o suplemento de um ângulo é 110° . Quanto mede o ângulo?

(R:

ÂGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE

Duas retas concorrentes determinam quatro ângulos, dois a dois , opostos pelo vértice

Na figura:

â e c são opostos pelo vértice.

m e n são opostos pelo vértice

TEOREMA

Dois ângulos opostos´pelo vértice são congruentes.

prova:

Sejam os ângulos a e b opostos pelo vértice.

1) m(â) + m(^c) = 180°

2) m(b) + m(c) = 180°

comparando : m(â) + m(c) = m(b) + m(c)

m(â) = m(b)

Se a e b têm a mesma medida, eles são congruentes.

EXECÍCIOS

1) Quais são os 3 pares de ângulos opostos pelo vértice?

2) Se x = 50° , determine y, m e n:

3) Calcule os ângulos x,y, z e w da figura:

4) Calcule os ângulos x, y e z das figuras:

5) Calcule x:

6) Calcule x:

7) Calcule x :

8) Calcule x:

9) As medidas de dois ângulos opostos pelo vértice são expressas em graus por 15x - 14° e 3x + 10°. Quanto vale x?

10) As medidas de dois ângulos opostos pelo vértice são expressas em graus por (2m - 50) e (m + 35). Quanto vale m?

ÂNGULOS FORMADFOS POR DUAS RETAS PARALELAS E UMA TRANSVERSAL

Duas retas r e s, interceptadas pela transversalo t, formam oito ângulos.

Os pares de ângulos com um vértice em A e o outro em B são assim determinados:

= Correspondentes: 1 e 5, 4 e 8, 2 e 6, 3 e 7

= Colaterais Internos: 4 e 5, 3 e 6

= Colaterais externos: 1 e 8, 2 e 7

= Alternos internos: 4 e 6, 3 e 5

= Alternos externos: 1 e 7, 2 e 8

ILUSTRANDO:

= ALTERNOS (um de cada "lado" da transversal).

= COLATERAIS (ambos do mesmo "lado" da transvwesal)

EXERCÍCIOS

1) Dê o nome dos pares de ângulod de acordo com a figura:

a) a e g

b) a e e

c) d e h

d) c e g

e) c e e

f) a e f

g) b e h

h) b e f

i) d e f

j) c e e

l) c e h

m) b e e

PROPRIEDADES

Considere duas retas paralelas e uma transversal.

Medindo esses ângulos com o transferidor, você vai concluir que são validas as seguintes propriedades:

= Os ângulos correspondentes são congruentes
= Os ângulos alternos externos são congruentes
= Os ângulos alternos internos são congruentes.
= Os ângulos colaterais externos são suplememntares.
= Os ângulos colaterais internos são suplementares

EXERCÍCIOS

1) Sabendo que r//s, determine a medida dos ângulos indicados:

a)

2) Sabendo que r // a , calcule x:

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Acentuação Tônica e Acentuação Gráfica

1. Devem ser acentuados os vocábulos oxítonos e os monossilábicos tônicos terminados em -a, -e, -o, seguidos ou não de -s.

Exemplos: aliás, atrás, chá, vatapá, através, três, mês, após, dominó, sós, pó, etc.

OBSERVAÇÃO: Devem ser acentuadas as formas verbais terminadas em -a, -e, -o, tônicas, seguidas de pronomes complementos -l-, -la, -los, -la.

Exemplos: amá-lo, levá-lo, fá-lo-ás, conhecê-lo, vê-lo, percebê-los, compô-lo, propô-los, repô-las, etc.

2. Devem ser acentuados os vocábulos oxítonos terminados por -em ou -ens, colocando-se sobre -e- o acento agudo.

Exemplos: além, alguém, desdém, também, armazém, parabéns, conténs, convés, etc.

OBSERVAÇÕES:

a) Devemos colocar acento circunflexo na sílaba tônica das formas verbais de terceira pessoa do plural do presente do indicativo dos verbos TER e VIR, e de seus derivados.

Exemplo:

TER
eles tem - eles têm

Derivados:
ele contém
eles contêm
ele retém
eles retêm

SER:
ele vem - eles vêm

Derivados:
ele intervém
eles intervêm
ele sobrevém
eles sobrevêm

b) Devemos colocar acento circunflexo sobre o primeiro -e- da terminação -eem (3ª Pessoa do plural) dos verbos crer, dar, ler, ver, bem como de seus derivados.

Exemplos:

CRER
Crêem

Derivado:
descrêem

DAR
dêem

Derivado:
desdêem

LER
lêem

Derivado:
relêem

VER
vêem

Derivado:
revêem

Obs: as formas acima são paroxítonas.

3. Devem ser acentuados os vocábulos paroxítonos terminado em -r, -x, -m, -l, -i(s), -uns, -um, -ão,(s), -eis(s), -ps.

Exemplos: âmbar, açúcar, caráter, córtex, fênix, tórax, abdômen, hífen, pólen, amável, cônsul, solúvel, beribéri, júri, tênis, bônus, vírus, vênus, álbum, médium, álbuns, médiuns, órfão, órgão, sótãos, órfã, ímã, afáveis, jóquei, fórceps, bíceps, etc.

4. Devem ser acentuados os vocábulos paroxítonos terminados em encontros vocálicos átonos seguidos ou não de -s. Tais encontros vocálicos átonos são ditongos crescentes: -ea(s), -eo(s), -ia(s), -ie(s), -io(s), -os(s), ua(s), -ue(s), uo(s).

Exemplos: áurea, códeas, errôneo, terráqueos, ânsia, boêmia, calvície, espécie, colégio, ginásio, amêndoa, páscoa, água, régua, tênue, bilíngüe, árduo, contínuo, etc.

5. Devem ser acentuados todos os vocábulos proparoxítonos.

Exemplos: álcool, ângulo, cálice, chácara, cônjuge, êxodo, hálito, plêiade, vértice, etc.

Regras Especiais

1. Devem ser acentuados o -i- ou o -u-, tônicos quando:

a) Formarem sílaba sozinhos ou seguidos de "s";
b) Apresentarem sílaba em hiato com uma vogal anterior;
c) não seguidas de NH

Exemplos:

saída (sa-í-da)
saúva (sa-ú-va)
ateísmo (ate-ís-mo)
balaústre (ba-la-ús-tre)
baú (ba-ú)
Havaí (Ha-va-í)
juiz (ju-iz)
juízes (ju-í-zes)
raiz (ra-iz)
raízes (ra-í-zes)
rainha (ra-i-nha)
tainha (ta-i-nha)

OBSERVAÇÃO: Não se acentuam o -i ou o u- tônicos da base dos ditongos -iu- ou -ui-, quando antes deles vem uma vogal.

Exemplos:

atraiu (a-tra-iu)
pauis (pa-uis)
contribuiu (con-tri-buiu)

2. Deve ser acentuado, com acento circunflexo, o penúltimo -o- fechado do hiato -oo(s)-, nas palavras paroxítonas.

Exemplos: abençôo, atraiçôo, amaldiçôo, enjôos, môo, magôo, vôos, etc.

3. Devem ser acentuadas as vogais, -e- ou -o-, tônicas e abertas, dos ditongos -ei-, -eu-, -ou-.

Exemplos: anéis, européia, papéis, idéia, assembléia, céu, ilhéu, mausoléu, troféu, alcalóide, anzóis, apóio, corrói, jóia, etc.
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Óxidos

Óxidos

Óxidos são substâncias que possuem oxigênio ligado a outro elemento químico, eles são compostos binários, ou seja, formados pela combinação de dois elementos. Um desses elementos é sempre o oxigênio (O).
Os óxidos podem ser classificados em diferentes grupos: ácidos, básicos, neutros, duplos, peróxidos ou anfóteros.

Óxidos ácidos: se formam a partir da reação com água originando ácidos também chamados de anidridos. Exemplo: o ácido sulfúrico (H2SO4) se forma a partir do trióxido de enxofre (SO3) em presença de água (H2O).

Óxidos básicos: a reação é feita a partir de bases levando à formação de sal e água. Exemplo: o hidróxido de cálcio (Ca (OH)2) provém da reação do óxido de cálcio (CaO) com a água.

Óxidos neutros: são formados por ametais, portanto são covalentes e não reagem com água, ácido ou base.

Óxidos duplos ou mistos: são resultantes da combinação de dois óxidos de um mesmo elemento.

Peróxidos: esses óxidos possuem dois oxigênios ligados entre si. Exemplo: (O-O)2-.

Óxidos anfóteros: se comportam como óxidos básicos na presença de ácidos e como óxidos ácidos na presença de bases.

Utilizações dos Óxidos:

- Óxido de Cálcio (CaO): É usado na agricultura para diminuir a acidez do solo e também na preparação de argamassa na construção civil.

- Óxido Nitroso (N2O): Utilizado como anestésico, também conhecido como gás hilariante. Esse óxido inalado em pequena quantidade provoca euforia, mas pode causar sérios problemas de saúde.

- Dióxido de Enxofre (SO2): É usado no branqueamento de óleos alimentícios, entre outras aplicações. É um dos principais poluentes atmosféricos; em dias úmidos, combina-se com o vapor de água da atmosfera e origina a chamada chuva ácida.

- Monóxido de Carbono (CO): Usado na metalurgia do aço. É normalmente o principal poluente da atmosfera das zonas urbanas.

- Peróxido de hidrogênio (H2O2): A solução aquosa com concentração de 3% de peróxido de hidrogênio, popularmente conhecida como água oxigenada, é usada como anti-séptico e algumas pessoas a utilizam para a descoloração de pêlos e cabelos. Na indústria, os peróxidos são usados como clarificadores (alvejantes) de tecidos, poupa de celulose, etc. Para essas utilizações sua concentração é superior a 30% de peróxido de hidrogênio.

Exercicios

1) Para realizar a transmissão da Copa do Mundo uma emissora de rádio organizou um pool de empresas patrocinadoras, com cotas de US$400.000 cada uma. Após este acordo, duas delas decidiram que o investimento era grande demais para seus portes e rescindiram o contrato. As outras participantes decidiram ratear o montante entre si, cabendo a cada uma mais US$160.000. Quantas empresas compunham o pool inicial? Qual o valor total do patrocínio?

a) 6 ; US$2.800.000
b) 7; US$2.800.000
c) 6; U$2.600.000
d) 2; U$2.800.000
e) 7; U$2.400.000

2) Qual o conjunto solução da seguinte inequação?

-7 < 3x - 1 < 2

a) {x R | -2 < x < 1}
b) {x R | -5 < x < 2}
c) {x R | -2 < x < 2}
d) {x R | 1 < x < -2}
e) {x R | -3 < x < 1}

3) Se = 4 e y - 1 = 0, então x =

a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) n.d.a

4) O conjunto solução da equação

é:

a) {-2}
b) {8}
c)
d) {3,2}
e) {1}

5) (Mackenzie) - Em IN, o produto das soluções da inequação 2x - 3 3 é:

a)

maior que 8.
b)

6
c)

2
d)

1
e)

0

6) (Fuvest) - Se x(1 - x) = , então:

a) x =
b) x = 1
c) x =
d) x = 0
e) x =

7) Um indivíduo fez uma viagem de 630 km. Teria gasto menos quatro dias se tivesse caminhado mais 10 km por dia. Quantos dias gastou na viagem e quantos quilômetros caminhou por dia?

a) 18 dias; 25km
b) 16 dias, 32km
c) 18 dias; 35km
d) 17 dias; 35km
e) 19 dias; 28km

8) Roberto disse a Valéria: "pense um número; dobre esse número; some 12 ao resultado; divida o novo resultado por 2. Quanto deu?" Valéria disse "15", ao que Roberto imediatamente revelou o número original que Valéria havia pensado. Calcule esse número

a) 3
b) 7
c) 4
d) 9
e) 2

9) Uma sorveteria tem um custo fixo mensal de R$2.000,00 (custo este que engloba o aluguel, salários e outras despesas que independem da quantidade produzida). Sabendo-se que o custo da fabricação de cada sorvete é de R$2,50 e o preço de venda por unidade é R$5,00, quantos sorvetes, no mínimo, devem ser vendidos mensalmente para não haver prejuízo?

a) 400
b) 500
c) 600
d) 700
e) 800

10) Uma senhora comprou uma caixa de bombons para seus dois filhos. Um destes tirou para si metade dos bombons da caixa. Mais tarde o outro menino também tirou para si metade dos bombons que encontrou na caixa. Restaram 10 bombons. Calcule quantos bombons havia inicialmente na caixa.

a) 18
b) 5
c) 40
d) 15
e) 23

11) Uma pessoa gasta 1/3 do dinheiro que tem; em seguida gasta 3/4 do que lhe sobra. Sabendo-se que ainda ficou com R$12,00, podemos afirmar que tinha inicialmente:

a) menos do que R$50,00.
b) mais do que R$80,00.
c) mais do que R$100,00.
d) menos do que R$90,00.
e) R$90,00.

Professor Cardy
Gabarito dos extras
Questão 1 B
Questão 2 A
Questão 3 D
Questão 4 C
Questão 5 E
Questão 6 A
Questão 7 C
Questão 8 D
Questão 9 E
Questão 10 C
Questão 11 D

A Antártida

Localização da Antártida no Globo.

O continente antártico é formado em toda sua totalidade por gelo e possui características singulares. Essa região detém cerca de 10% das terras emersas do planeta.

O coração da Antártida é composto por um grande planalto de gelo. Dessa forma, ele apresenta altitudes que variam entre 1500 e 4000 metros acima do nível do mar.

Essa região corresponde a uma área de calota polar. Ocupando um território com tamanho semelhante ao do Brasil, é considerado o maior dos desertos, isso porque apresenta as condições mais adversas para manutenção e proliferação de vida.

Foi no coração da Antártida que foi registrada a menor temperatura do planeta, cerca de -89,2ºC, em Vostok, uma base russa. Além disso, apresenta a escuridão da noite polar que tem duração de 4 a 6 meses. Na região, a ocorrência de ventos constantes provoca uma série de erosões sobre o gelo.

Apesar de aparentemente ser um lugar úmido, a umidade relativa do ar é muito semelhante às que predominam nos desertos de areia, isso porque a ocorrência de precipitação de neves é rara, e quando acontece, ela se compacta rapidamente, tornando-se blocos de gelo. Uma grande parcela da calota de gelo se sedimenta em áreas mais profundas do continente e determinadas montanhas afloram na superfície; já em outros lugares, o gelo se acomoda abaixo do nível do mar.

Eduardo de Freitas

sexta-feira, 13 de setembro de 2019

Consciência Negra

Texto de Mário Theodoro. Fonte: IPEA Dia 20 de novembro é o Dia da Consciência Negra. A data, aos poucos, vai se firmando como um marco no calendário nacional. Já é tido como feriado em mais de duzentos municípios brasileiros, aí incluídos Rio de Janeiro,São Paulo e Manaus.Mais do que uma celebração, costuma ser ambientado como um dia de reivindicações do Movimento Negro: por mais escolas,por maior acesso aos serviços públicos, pelo fim da violência contra os afro-decendentes, por mais cidadania,por políticas públicas. Os números são expressivos.Qualquer que seja a dimensão escolhida (saúde, educação, emprego, renda, etc.), a situação da população negra é sempre pior do que a da média nacional, abaixo dos demais grupos da população.A existência de desigualdade racial no país é,hoje, algo consensual. Entretanto, a rigor, o Executivo ainda não se fez presente na condução de políticas públicas efetivas que venham afrontar esse campo de desigualdades. Em 2006, ao somarmos os programas e ações que, total ou parcialmente, se direcionaram à problemática racial,observamos que foram ali movimentados cerca de R$ 82 milhões, ou seja, 0,09% do total de recursos orçamentários. Falta priorização, faltam diretrizes, falta dinheiro para a ação governamental. Dois aspectos nos parecem contribuir, de forma decisiva, para esse estado de coisas e ambos têm a ver com uma leitura imprecisa acerca da problemática racial. Primeiramente, a insistência em se atribuir à situação do negro uma justificativa puramente social. A confusão entre o problema racial e o problema social mantém-se presente no debate público sob a máxima de que o preconceito existente é fruto da condição de pobreza que, majoritariamente, atinge a população negra. Nada menos verdadeiro. Negros não são intrinsecamente afetos à condição de pobreza, assim como essa condição de pobreza não pode ser explicada unicamente pela herança histórica nacional. Ao contrário, cabe ressaltar que, no processo de reprodução da pobreza e das desigualdades de oportunidades, o preconceito (ou a discriminação) racial opera como um mecanismo ativo e perverso na sociedade brasileira. E parece ser esta a causa para que o racismo se faça presente mesmo, e talvez de uma forma mais pura e candente, nas situações onde o negro se põe fora do contexto de pobreza: um exemplo recorrente é a história de negros de classe média barrados nas portarias de edifícios. Há também uma virulenta reação contra as experiências de implantação de cotas visando garantir a entrada de estudantes negros em universidades públicas, algo que nos causa surpresa. Programas de cotas têm sido utilizados no Brasil há anos e em vários outros domínios sem que isso tenha suscitado reações contrárias. Parecem ser os negros fora de seu lugar os que incomodam. E isso é sim fruto do racismo ostensivo e latente que permeia nossas relações sociais.Nada a ver com a pobreza. O segundo aspecto, ou melhor, o segundo obstáculo à consecução de ações efetivas de combate à desigualdade racial reside na recorrente tentativa de se colocarem em um mesmo patamar questões diversas como aquelas relativas aos negros, às mulheres ou às minorias de toda ordem. Primeiramente, é importante lembrar que, no Brasil, negros, assim como as mulheres, não são minorias.Representam, cada qual,parcelas significativas de nossa população - mais precisamente, algo em torno de 50%, num e noutro caso.Além disso, a problemática afeta aos negros é distinta daquela concernente à mulher, salvo no caso da mulher negra, mas essa já é uma outra história. No espaço que nos resta, cabe ressaltar que o racismo, que segrega homens e mulheres, meninos e meninas, estigmatiza, macula e atrofia individualidades e potencialidades, não apenas impede o pleno desenvolvimento dos indivíduos. Em resumo, deveríamos ter em mente que as causas da desigualdade racial residem nas raízes históricas da escravidão. Contudo, sua continuidade reflete o racismo que perpassa todo nosso tecido social. Somos um país racista e o reconhecimento dessa condição é o que nos permitirá acolher e promover as iniciativas públicas e privadas de equalização dessas desigualdades, inclusive - e principalmente - efetivas e pujantes políticas públicas. Aí, sim, teremos todos muito a comemorar. fonte:http://www.historianews.org

Equações Biquadradas

A resolução de equações e a criação de fórmulas que encontram suas soluções sempre foram objetos de estudo da matemática. Geralmente, as equações estão associadas a situações reais em que se deseja descobrir a melhor alternativa para a solução do problema. A famosa fórmula de Báskara trata-se de um modelo matemático para encontrar as raízes de uma equação do 2º grau, mas existe um grande número de equações que não apresentam fórmulas para resolvê-las.

Vamos analisar o procedimento para resolver uma equação biquadrada.

Definição: Equação biquadrada é toda equação do tipo ax⁴ + bx² + c = 0, com a ≠ 0.

Observe que a equação acima é um polinômio de grau 4, podendo ter até quatro raízes reais.

O método de resolução de uma equação biquadrada consiste em transformá-la numa equação do 2º grau, fazendo, para isso, uma mudança de variável. Após esse procedimento, utiliza-se a fórmula de Báskara para obtenção das soluções.

Vejamos alguns exemplos para melhor compreensão.

Exemplo 1. Resolva a equação x⁴ – 3x² – 4 = 0.

Solução: O objetivo inicial é transformar a equação biquadrada em uma equação do 2º grau. Faremos, então, uma mudança de variável da seguinte maneira: x² = t.

Isso significa que na equação x⁴ – 3x² – 4 = 0 no lugar de x² colocaremos t. A equação original pode ser reescrita da seguinte forma:

(x²)² – 3x² – 4 = 0

Fazendo a mudança de variável, teremos:

t² – 3t – 4 = 0

Que é uma equação do 2º grau. Utilizando a fórmula de Báskara, obtemos:

Como x² = t, temos que:
x² = 4 → x´= 2 ou x´´= -2
e
x² = – 1 → não existe solução real
Portanto, S = {– 2, 2}

Exemplo 2. Encontre as raízes da equação x⁴ – 10y² + 9 = 0.

Solução: Fazendo x² = t e substituindo na equação, obtemos:
t² – 10t + 9 = 0

Como x² = t, segue que:
x² = 9 → x´=3 ou x´´ = – 3
e
x² = 1 → x⁽³⁾ = 1 ou x⁽⁴⁾ = – 1
Portanto, S = {– 3, – 1, 1, 3}.
Marcelo Rigonatto